ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ PDF

# ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ## Ορισμός Απόλυτης Τιμής: | | a, αν a ≥ 0 | |---|---| | |a| = | -a, αν a < 0 | ## Συνέπειες του Ορισμού: 1. |a| = |-a| ≥ 0 2. a ≤ |a| και |a| ≥ -a 3. |a²| = a² 4. Για κάθε θ>0 ισχύει: |x|= 0 ⇔ x = θ ή x=-θ π.χ.1 |x|=5 ⇔ x=5 ή x=-5 π.χ.2 |2x-1|= 3 ⇔ 2x-1=3 ή 2x-1=-3 ⇔...

# ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ## Ορισμός Απόλυτης Τιμής: | | a, αν a ≥ 0 | |---|---| | |a| = | -a, αν a < 0 | ## Συνέπειες του Ορισμού: 1. |a| = |-a| ≥ 0 2. a ≤ |a| και |a| ≥ -a 3. |a²| = a² 4. Για κάθε θ>0 ισχύει: |x|= 0 ⇔ x = θ ή x=-θ π.χ.1 |x|=5 ⇔ x=5 ή x=-5 π.χ.2 |2x-1|= 3 ⇔ 2x-1=3 ή 2x-1=-3 ⇔ 2x=4 ⇔ x=2 ή 2x=-2 ⇔ x=-1 5. |x|=α ⇔ x=α ή x=-α π.χ.1 |x + 3| = 3|x − 2| ⇔ x +3= 3(x-2) ⇔ x+3=3x-6 ⇔ 2x=9 ⇔ x = 9/2 ή x + 3 = -3(x - 2) ⇔ -x + 3 = -3x +6 ⇔ 4x= 3 ⇔ x= 3/4 ## Ιδιότητες Απολύτων Τιμών: 1. |α·β| = |α|·|β|, π.χ. |x² - 4| = |x² - 2²| = |(x-2)(x+2)| = |x-2|- |x + 2| *Απόδειξη:* Επειδή και τα δύο μέλη της ισότητας |α· β| = |α|·|β| είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά: α·β = α·β ⇔ α·β² = (α|·|β|)² ↔ |α·β]² = |a|²·|β]² ↔ (α·β)² = a² · β², που ισχύει. # ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Όταν σε μια άσκηση υπάρχουν απόλυτες τιμές και θέλω να απαλλαγώ από αυτές τότε: * Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική, τότε φεύγει η απόλυτη τιμή και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται όπως είναι. Δηλ. π.χ.1 (x² + 3 = x² + 3, επειδή x² + 3 > 0 για κάθε x∈R . π.χ.2 |√7 −2|= √7 − 2 =, επειδή √7 −2 > 0 * Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα αρνητική, τότε η απόλυτη τιμή γίνεται παρένθεση και βγαίνει ένα μείων (-) απέξω. Δηλ. π.χ.1 - x² - 3| = -(-x2 − 3) = x² +3, επειδή – x2 − 3 < 0 για κάθε χ∈R. π.χ.2 |√8 -3 = -(√8-3) = −√8 +3, επειδή √8−3 <0. * Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο τότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις με βάση τον ορισμό. |A(x)|={ -A(x), αν Α(x) <0 A(x), αν Α(x) ≥0 } Δηλ |x+3 = { x+3, αν x+3≥0 -(x+3), αν x+3<0 } <=> { x+3, αν x ≥ -3 [-x-3, αν χ<-3 } Το ίδιο μπορεί να γίνει με πινακάκι και περιπτώσεις: Μηδενίζω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή, βρίσκω τη ρίζα ή τις ρίζες της και κάνω πινακάκι. Από το πινακάκι διακρίνω τις αντίστοιχες περιπτώσεις και βγάζω το πρόσημο της παράστασης στο διάστημα που θέλω. Δηλ. |x +31, το x+3 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο άρα, x + 3 = 0 ⇔ x = -3