Física I - Cinemática I - Grado en Ingeniería Física - PDF

Grado en Ingeniería Física Física I Cinemática I Luis Guanter Palomar Departamento de Física Aplicada (mailto:[email protected]) Cinemática Índice 1. Concepto de cinemática 2. Vector de posición. Trayectoria 3. Velocidad 4. Aceleración. Componentes intrínsecas Concepto de...

Grado en Ingeniería Física Física I Cinemática I Luis Guanter Palomar Departamento de Física Aplicada (mailto:[email protected]) Cinemática Índice 1. Concepto de cinemática 2. Vector de posición. Trayectoria 3. Velocidad 4. Aceleración. Componentes intrínsecas Concepto de cinemática Cinemática: Estudia las características del movimiento, sin atender a sus causas (esto lo hace la dinámica) Es parte de la mecánica, junto con la dinámica Una buena base de conocimientos en cinématica es clave para profundizar después en otros conceptos de la dinámica Descriptores básicos del movimiento: posición, velocidad, aceleración Clasificaciones “conceptuales”: Cinemática del punto, del sólido y de sistemas Formulación vectorial (aquí) vs separación 1D / 2D-3D (Tipler Cap. 2 y 3) Vector de posición. Trayectoria Trayectoria r(t)  curva descrita por el punto = conjunto de posiciones ocupadas por el punto Vector de posición de un punto P(x,y,z) z     r = x i + y j+ zk P  Como la posición de P varía con el tiempo r (t )     trayectoria r (t ) = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k y Se trata de una función vectorial de variable escalar, donde la variable escalar x es el tiempo Movimiento de un punto: 3 grados de libertad (gdl) x, y, z Vector de posición. Trayectoria Ejemplos de movimiento en 2D - partiendo de (2, 0) - 1 2 3          r (t ) = (2 cos 2p t i + 2 sen 2p t j) e -2t r (t ) = 2 cos 2p t i + 2 sen 2p t j r (t ) = 2 cos 2p t i + 2 sen 4p t j t Î[0, 1] s; vector en t = 0.09 s t Î[0, 1] s; vector en t = 0.04 s t Î[0, 1] s; vector en t = 0.25s Velocidad instantánea Definición   Componentes cartesianas  Dr dr  v = lim =  dr (t ) dx  dy  dz     Dt 0 Dt dt v= = i+ j + k = x i + y j + zk    dt dt dt dt “Tasa” de cambio de la posición con el tiempo Es tangente a la trayectoria Módulo (celeridad)  Dimensiones y unidades  2 2 2 dr ds (s=camino v = x + y + z = = recorrido) [v] = L T-1 ; (m/s) dt dt Concepto de trayectoria y Velocidad Tipler 6 Ed. - Ejemplo 2.5    Dr dr v = lim = Dt 0 Dt dt Un cuerpo se mueve en 1D según el diagrama - cuestiones: Respuestas A. Encuentra la velocidad instantánea en el instante t=1.8 s A. 1.5 m/s B. ¿Cuándo se da la máxima velocidad? B. ~4.0 s C. ¿Cuándo está el cuerpo quieto? C. t=0 & 6 s D. ¿Es la velocidad negativa en algún instante? D. 6 s E. ¿Cuál es la velocidad media entre t=0.5 y 6? E. ~1.3 m/s Ejercicio: velocidad Ejemplo. Un punto se mueve según las ecuaciones: x(t) = b·cos(ct2) y(t) = b·sen(ct2) Calcula el vector v, su módulo y el vector T (tangencial a la trayectoria) en función de las direcciones i, j ¿Cuánto vale s(t)? Aceleración Durante el movimiento, la velocidad puede cambiar su módulo y su dirección La variación del módulo está relacionada con la celeridad El cambio en la dirección está relacionado con cómo se curva la trayectoria La aceleración es la tasa de variación de la velocidad [a] = L T-2 ; (m/s2) Dimensiones y unidades Se puede expresar en coordenadas cartesianas, pero en el caso más general de movimientos no rectilíneos se suele hacer en base al triedro intrínseco o de Frenet Éste es un sistema de referencia intrínseco a la curva que permite descomponer el vector aceleración en base a vectores tangenciales y normales a la trayectoria  Triedro intrínseco Se define a partir de su posición y tres vectores unitarios perpendiculares entre sí. Esos vectores se llaman: vector tangente (T), vector normal (N) y vector binormal (B). Su origen está en el punto, en cada instante. O sea, el triedro intrínseco cambia de posición a medida que el punto se mueve. El vector unitario tangente, T, es un vector tangente a la trayectoria en cada punto, siguiendo el sentido del movimiento. O sea, es el vector unitario de la velocidad (v=vT). El vector unitario normal, N, es un vector unitario, perpendicular a T , en el plano de la trayectoria y dirigido hacia el centro de la curva (hacia la parte cóncava) El vector unitario Binormal (B), es T x N https://i.stack.imgur.com/J9LHU.gif Aceleración - componentes intrínsecas   d  dv  dT dv  v 2  a = éëvT ùû = T + v = T+ N dt dt dt dt r  dv  Aceleración tangencial. Depende de la rapidez aT = T con la que cambia el modulo de v dt 2 v  Aceleración normal. Depende de la rapidez con la aN = N que cambia la dirección de la velocidad T r a 2 = ax2 + a y2 + az2 = aT2 + aN2 Módulo Cálculo de componentes intrínsecas 1) Si solo quieres los módulos 2) Si quieres los vectores aT = dv     aT = (a  T) T dt    aN = a2 - aT2 a N = a - aT   dT v  NOTA COMPLEMENTARIA: justificación de que = N dt r   dT DT Da da da ds 1 = limDt 0 = limDt 0 = = = v dt Dt Dt dt ds dt r   dT 1 dT v  = vÞ = N dt r dt r En estos enlaces de abajo tienes una descripción bastante completa: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/cinematica/curvilineo/curvatura.html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular2/circular2.htm#Deducci%C3%B3n%2 0de%20la%20formula%20de%20la%20aceleraci%C3%B3n%20normal%20por%20Newton Ejemplo de componentes intrínsecas T y N La velocidad del satélite sólo tiene componente tangencial La aceleración sólo tiene componente normal (centrípeta + gravedad) Ejemplo de componentes intrínsecas T y N Si hay una aceleración por la rotación de la Tierra, ¿por qué no la sentimos? Esto era un argumento de los geocentristas: “(...) que una rueda que gira tiene la propiedad de expeler y dispersar las materias adheridas a la máquina. En este hecho muchos fundan la opinión, y Ptolomeo entre otros, que si la Tierra girase con tan grande velocidad, las piedras y criaturas que están sobre ella serían lanzadas al aire y que no habría mortero bastante fuerte para fijar los edificios a sus cimientos de modo que no sufrieran semejante expulsión” http://astronomia.net/cosmologia/lec112.htm Ejercicio: demostrad que la aceleración centrípeta es ~0.35% la de la gravedad [Tomad el radio de la Tierra R = 6,400 km ] Ejercicio: aceleración Un punto se mueve según las ecuaciones: x(t) = b·cos(ct2) y(t) = b·sen(ct2) Calcula la aceleración, las componentes intrísecas y el radio de curvatura (v y el vector T ya se calcularon en el ejercicio de velocidad) Posición, velocidad, aceleración - cuestión ¿Cuál de las curvas posición-tiempo muestra mejor el movimiento de un objeto A. con aceleración positiva? B. con velocidad positiva constante? C. siempre en reposo? D. con aceleración negativa? (Puede haber más de una respuesta correcta en algún apartado) Respuestas A. (d) B. (b) C. (e) D. (a) y (c)