Функции, их свойства и графики PDF

2.ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 2.1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Переменная величина y называется функцией переменной величины x , если каждому численному значению x из множества X соответствует единственное определенное значение y из множества Y : y = f (x ) ,...

2.ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ 2.1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Переменная величина y называется функцией переменной величины x , если каждому численному значению x из множества X соответствует единственное определенное значение y из множества Y : y = f (x ) , x ∈ X , y ∈ Y. Переменная величина x называется независимой переменной или аргументом. Множество X называется областью определения функции (ООФ) или областью допустимых значений аргумента (ОДЗ). Множество Y изменения функции называется областью значений функции (ОЗФ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f (x ) называется множество точек плоскости xOy , координаты которых связаны соотношением y = f (x ). Нули функции y = f (x ) – точки x ∈ X , при которых функция обращается в ноль, т.е. корни уравнения f (x ) = 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) с областью определения X называется четной, если для любого x ∈ X выполняется равенство f (x ) = f (− x ). Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции y = x 2 , y = x являются четными, их графики имеют вид: y y 2 y=x y= x y0 –x0 0 x0 x 0 x ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) с областью определения X называется нечетной, если для любого x ∈ X выполняется равенство f ( x ) = − f ( −x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции y = x 3 и y = 2 x являются нечетными, их графики имеют вид: y y y = x3 y0 y = 2x –x0 0 x 0 x0 x –y0 Функция, в которой переменные x и y поменялись своими ролями, называется обратной по отношению к первоначальной функции. В свою очередь первоначальная функция является обратной к полученной. 15  Свойство графиков взаимно обратных функций: один получается из другого зеркальным отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. линии y = x. Множество значений обратной функции y = f −1 (x ) совпадает с областью определения функции y = f (x ) , а область определения обратной функции y = f (x ) совпадает со множеством значений −1 функции y = f (x ). 2.2. Линейная функция ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = kx + b , где k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. 1. Область определения – x ∈ (− ∞, + ∞ ). 2. Множество значений: при k ≠ 0 y ∈ (− ∞ , + ∞ ) , при k = 0 y = b. 3. Четность, нечетность. При k = 0 функция четная, при b = 0 функция нечетная. 4. Периодичность. При k = 0 функция периодическая с любым положительным периодом. При k ≠ 0 функция непериодическая. 5. Точки пересечения с осями: ⎛⎜ − ,0 ⎞⎟ и (0 ,b ). b ⎝ k ⎠ 6. Промежутки знакопостоянства. При k =0 функция сохраняет знак b коэффициента b ; функция положительна при k > 0, если x > − , и при k 0) y = kx + b (b > 0) (b > 0) −b/k α α 0 0 x 0 −b/k x y = b (b < 0) Случай k = 0 Случай k > 0 Случай k < 0 16  Угол между двумя прямыми k1 = tgб1 , k2 = tgб 2. tgб 2 -tgб1 y tgϕ = tg ( б 2 -б1 ) = ; 1+tgб1Чtgб 2 ϕ k −k tgϕ = 2 1. α1 α2 1 + k1 ⋅ k2 x Условие перпендикулярности прямых: k1 ⋅ k 2 = −1. 2.3. Квадратичная функция ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, задаваемая формулой y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) , называется квадратичной. 1. Область определения – x ∈ (− ∞, + ∞ ). 2. Область значений. Выполним преобразование ⎛ b c⎞ ⎛ b c⎞ ⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ 2 ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = a ⎜ x 2 + 2 x + ⎟ = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎥= ⎝ a a⎠ ⎝ 2a a⎠ ⎢⎣⎝ 2a ⎠ 4a 2 ⎥⎦ 2 ⎛ ⎛ b ⎞ b 2 − 4ac b 2 D ⎞⎟ = a⎜ x + ⎟ − = a⎜ x + − , где D = b 2 − 4ac – дискриминант. ⎝ 2a ⎠ 4a ⎜ 2a 4a ⎟⎠ ⎝ 2 ⎛ b ⎞ ⎛ D ⎞ ⎛ D⎞ Так как ⎜x + ⎟ ≥ 0, то при a>0 y ∈⎜ − , + ∞⎟ , а при a 0 ; ⎛ b ⎞ ⎜− ,0 ⎟ , если D = 0 ; если D < 0 , точек пересечения нет. ⎝ 2a ⎠ Точка пересечения с осью Oy : (0, c ). 6. Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов найдем производную и критические точки: y ′ = (ax 2 + bx + c ) = 2ax + b ; ′ b 2ax + b = 0 при x = −. 2a ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ Определим знаки y′ в промежутках ⎜ − ∞, − ⎟ и ⎜− , + ∞⎟. ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ Результаты исследования представим в таблице ⎛ b ⎞ b ⎛ b ⎞ ⎜ − ∞; − ⎟ − ⎜− ; + ∞⎟ ⎝ 2a ⎠ 2a ⎝ 2a ⎠ x a Знак или a>0 – 0 + значение y ′ min Поведение y Знак или a 0 , и влево, 2a 2a b если − < 0 ) и последующего сдвига вдоль оси 2a D Oy на − единиц (вверх, если − D > 0 , и вниз, 4a 4a D если − < 0 ). Парабола имеет ось симметрии, ею 4a является прямая x = − b. 2a Варианты графиков представлены на рисунках. В пункте 2 показано, что квадратичную функцию y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к виду y = a (x − x0 )2 + y0 путем выделения полного квадрата. Точка с координатами (x0 , y0 ) есть вершина параболы. ПРИМЕР. Постройте график функции y = x 2 − 3x − 3. y Выделим полный квадрат 1,5 y = x 2 − 3x − 3 = x 2 − 3 x − 3 = 0 x 2 2 –3 ⎛ 3 ⎞ 9 3⋅ 4 ⎛ 3 ⎞ 21 =⎜x− ⎟ − − =⎜x− ⎟ − = (x − 1,5)2 − 5,25. –5,25 ⎝ 2 ⎠ 4 4 ⎝ 2 ⎠ 4 Следовательно, A(1,5; − 5,25) – вершина параболы. Найдем точку пересечения параболы с осью ординат. Если x = 0 , то y = −3 : точка (0, − 3) – точка пересечения с осью Oy. Ветви параболы направлены вверх, так как a = 1 > 0 , ее график симметричен относительно прямой x = 1,5. 2.4. Степенные функции y = x α y = xn (n ∈ N ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = x n , n∈N , называется степенной функцией с натуральным показателем. 18  1. Область определения функции (n – четное) (n – нечетное) n y y=x y y = xn 1 –1 0 1 x –1 0 1 x –1 D ( y ) ∈ ( 0 , +∞ ). D ( y )∈ (− ∞, + ∞ ) 2. Функция является четной при четном n и нечетной при нечетном n. 3. Если n нечетно, то функция y = x n возрастает при x ∈ (− ∞, + ∞ ) ; если n четно, то функция y = x n возрастает при x ∈ [0, ∞ ) и убывает при x ∈ (− ∞, 0]. 4. Функция непрерывна на (− ∞, + ∞ ). 1 y = x −n = (n ∈ N ) xn ( n – четное) ( n – нечетное) y 1 y 1 y= y= x n xn –1 0 1 x –1 0 1 x ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = x −n называется степенной функцией с целым отрицательным показателем. 1. Область определения функции – x ∈ (− ∞ , 0 ) ∪ (0 , + ∞ ). 2. Функция является четной при четном n и нечетной при нечетном n. 3. Функция убывает при x > 0 ; при x < 0 функция убывает, если n нечетное, и возрастает, если n четное. 4. Функция непрерывна на (− ∞, 0) и на (0, + ∞ ) ; x = 0 – точка разрыва функции. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой k y = , где k ≠ 0. x 1). Область определения x ∈ (− ∞ ,0 ) ∪ (0 ,∞ ). 2). Область значений x ∈ (− ∞ ,0 ) ∪ (0 , ∞ ). График не проходит через начало координат. 3). y = k – нечетная функция (поскольку f (− x ) = k = − k = − f (x ). График этой x −x x функции симметричен относительно начала координат. 4). Если k > 0 , то функция y = k убывает на y x промежутке (0, + ∞ ) и на промежутке (− ∞, 0). Если k 0 y > 0 на (0, + ∞ ) , y < 0 на (− ∞, 0). При k < 0 y > 0 на (− ∞, 0) , y < 0 на (0, + ∞ ). 7). Функция непериодическая. 8). Если k < 0 , то ветви графика расположены в II и IV координатных четвертях. Графиком обратной пропорциональности y = k , k ≠ 0 является x гипербола. y = x1/ n = n x (n ∈ N ) y y y=n x y=n x ( n – нечетное) –1 0 1 x ( n – четное) 0 1 x Функция y = n x является обратной к функции y = x n. Отразив график функции y = x n симметрично относительно прямой y = x ,получим график функции y = n x. y = x p / q ( p, q ∈ Z , q ≠ 0 ) y ( p / q > 1) y ( p / q > 0) y = xp/q 1 y = xp/q (0 < p / q < 1) 1 0 1 x 0 1 x 2.5. Дробно–линейная функция ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = ax + b , где a, b, c, d – постоянные, c≠0, cx + d ad ≠ bc , называется дробно-линейной. 1. Область определения функции x ∈(− ∞, − d / c) ∪ (− d / c, + ∞). 2. Для построения графика преобразуем функцию, выделив в ее выражении целую часть следующим образом. 20  Преобразуем тождественно числитель, чтобы выделить в нем слагаемое, содержащее знаменатель a ax + b = (cx + d ) − ad + b ; c c поделив это выражение почленно на (cx + d ) , получим ad bc − ad −b 2 a a y= − c = + c , c cx + d c d x+ c a d bc − ad ax + b k таким образом, обозначая =n, =m, k = , видим, что y= =n+ , где c c c2 cx + d x+m n – целая часть исходного выражения. График дробно-линейной функции получается y сдвигом графика гиперболы y = k на m единиц вдоль x n оси Ox и на n единиц вдоль оси Oy. Прямые y = n и x=m 0 –m x являются асимптотами гиперболы. ПРИМЕР. Постройте график функции y = 2 x − 1. x +1 3 y Запишем эту функцию так: y =2−. Графиком функции x +1 будет гипербола, центр которой находится в точке (− 1, 2) , 2 асимптоты - x = −1 , y = 2. 0 -1 Ѕ x -1 2.6. Показательная функция y = ax (a > 0, a ≠ 1) y y y = a x y = (1 / 2 )x y = 2x y = a x (a < 1) (a > 1) y = e− x y = ex e ≅ 2,7182 1 0 x 0 x ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = a x , где a – некоторое положительное число, не равное единице (a > 0, a ≠ 1) , называется показательной. 1. Область определения функции x ∈ (− ∞, + ∞ ). 2. Множество значений функции y ∈ (0, + ∞ ). 3. При x = 0 значение функции y = 1. 4. При a > 1 функция возрастает на всей числовой оси; если x > 0 , то y = a x > 1 ; если x < 0 , то 0 < a x < 1. 5. При 0 < a < 1 функция убывает на всей числовой оси; если x > 0 , то 0 < a x < 1 ; если x < 0 , то a x > 1. 21  2.7. Логарифмы и их свойства ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Логарифмом числа b по основанию a , где b > 0 , a > 0 , a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить число b. x – логарифм (x = loga b ) числа b > 0 по основанию a > 0 ( a ≠ 1 ), если a x = b. a log a b = b. 1. log a 1 = 0. 2. log a a = 1. 3. log a bc = log a b + log a c (bc > 0). b 4. log a = log a b − log a c (bc > 0). 5. log a b n = n ⋅ log a b. c 6. loga n b = 1 loga b. 7. loga m bn = n loga b. 8. log a n b = 1 log a b. n m n 9. loga b = loga n bn. 10. loga b = c b. log 11. log a b = log c b ⋅ log a c. log c a 1 12. loga b =. 13. log10 b = lg b. 14. log e b = ln b. log b a 2.8. Логарифмическая функция y = loga x ( a > 0 , a ≠ 1 ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической: y = loga x. 1. Область определения функции x ∈ (0, + ∞ ). 2. Множество значений функции y ∈ (− ∞, + ∞ ). 3. При x = 1 y = loga x = 0. 4. При a > 1 функция возрастает; если 0 < x < 1 , то loga x < 0 , если x > 1 , то log a x > 0. 5. При 0 < a < 1 функция убывает; если 0 < x < 1 , то loga x > 0 , если x > 1 ,то loga x < 0. y y y y = log a x y = loga2 x a2 > a1 (a > 1) x y = loga1 x 0 y = log a1 x 0 1 x 1 (0 < a < 1) 0 x y = log a x y = log a2 x a2 < a1 2.9. Геометрические преобразования графиков функций Если известен график функции y = f (x ) , то с помощью некоторых преобразований можно построить графики более сложных функций. 1. График функции f (x ± a ) получается y параллельным переносом графика f (x ) вдоль a>0 f (x + a ) f (x ) f (x − a ) оси Ox на ±a. Значение функции f (x − a ) при x = x0 + a a совпадает со значением f (x ) при x = x0. x0 -a 0 x 0 x0+a x 22  2. График функции f (x ) ± a получается параллельным y a>0 переносом графика функции f (x ) вдоль оси Oy на ± a. f (x ) + a 3. График функции k ⋅ f (x ) получается растяжением f (x ) f (x ) − a графика f (x ) вдоль оси Oy в k (k > 0) раз при k > 1 и сжатием вдоль этой оси в 1 / k раз при 0 < k < 1 ; если k < 0 , 0 x то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение относительно оси Ox. y y y y 2 f (x ) f (x ) / 2 1 2 f (x ) 1/2 0 1 x 0 1 x 0 1 x − f (x ) 0 1 x –1 4. График функции f (kx ) получается сжатием графика f (x ) вдоль оси Ox в k (k > 0) раз при k > 1 и растяжением вдоль этой же оси в k раз при 0 < k < 1 ; если k < 0 , то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение относительно оси Oy. y y y y f (x ) f (2 x ) f (x / 2) f (− x ) 1 1 1 1 Ѕ Ѕ 1 –Ѕ 0 1 x 0 x 0 2 x –1 0 x –1 –1 –1 –1 5. График функции f (x ) получается из графика функции f (x ) следующим преобразованием: часть графика, лежащая выше оси Ox , остается на месте; часть графика, лежащая ниже y f (x ) оси Ox , зеркально отражается относительно оси Ox 6. График функции f ( x ) получается из графика 0 x f (x ) следующим преобразованием: при x ≥ 0 график не изменяется; при x < 0 график заменяется на y f (x ) зеркальнoе отражение относительно оси Oy части графика, соответствующей x ≥ 0. y y 0 x f (x ) f( x ) 0 x 0 x 23