Fisica II Lecture Notes PDF

lOMoARcPSD|18027022 Fisica II Fisica 2 (Politecnico di Torino) Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Appunti di 03AXPNZ - Fisica II 1 Studente: MACI Samuele Docente: UMMARINO Giovanni Politecnico di Torino Prof. Associato Confermato Anno Accademico 2011/2012 [email protected] [email protected] Ultima revisione: 10 gennaio 2012 1 Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente con l’applicativo TEXnicCenter Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Indice I Elettromagnetismo 3 1 Campo Elettrostatico 1.1 Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunque . . 1.1.2 Carica che si muove in un campo elettrico . . . . . . 1.1.3 Campo Elettrico, estensione di un campo puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 6 2 Potenziale 2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse 2.2 Potenziale di un campo macroscopico . . . . . . . 2.3 Dipolo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo . . . . . 2.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettrico . 2.3.3 Momento di un dipolo . . . . . . . . . . . 2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costante 2.3.5 Applicazioni del concetto di dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 10 10 11 12 12 12 3 Teorema di Gauss 3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiforme . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Campo elettrico generato da un filo carico . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinito . . . . . . . . . . . 3.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneo . . . . . 3.1.5 Campo elettrico di una sfera carica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un punto 3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 14 14 14 15 15 16 4 Condensatori e Dielettrici 4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico . . . . . . . 4.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Collegamento tra condensatori . . . . . . . . . . 4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energia 4.4 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 17 19 21 21 5 Dielettrici 5.1 Rigidità dielettrica . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dipolini all’interno di un dielettrico . . . . 5.3 Condittori metallici . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Corrente elettrica . . . . . . . . . . 5.3.2 Legge di conservazione della carica 5.3.3 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Effetto Joule . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Resistenze in serie . . . . . . . . . 5.3.6 Resistenze in parallelo . . . . . . . 5.3.7 Carica di un condensatore . . . . . 5.3.8 Scarica di un condensatore . . . . 5.3.9 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 24 24 29 29 30 31 31 32 32 32 33 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 6 Campo magnetico 6.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Seconda legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Momento di un dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Spettrometro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Selettore di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Prima legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Formulazione 1 − D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Formulazione 3 − D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Definizione dell’unità di misura dell’Ampere . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Applicazione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Flusso e Controflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Calcolo di coefficienti di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Comportamento di materiali in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Classificazione dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Ridefinizione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3 Induzione magnetica in presenza di un’interfaccia . . . . . . . . . . . . 6.8.4 Comportamento di χm nei diversi materiali . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Smagnetizzazione di un magnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Legame tra campo elettrico e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.1 Esperimenti di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Terza e Quarta equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Legge di Felici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Forza elettromotrice e correnti indotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13.1 Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse . . . . . . . . . . . . . 6.13.2 Energia assorbita nel campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13.3 Densita di energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13.4 Pressione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13.5 Trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14 Calcolo della corrente in circuiti RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14.1 Circuito RLC con generatore non costante . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15 Cenni di Relatività ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15.1 Invarianza di Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16.1 Intensità di un’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16.2 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16.3 Onde cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16.4 Ona di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16.5 Somma di onde distinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17.1 Relazione tra l’onda del campo elettrico e l’onda del campo magnetico 6.17.2 Energia associata all’onda elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . 6.17.3 Vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17.4 Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo . . . . . . . . . 6.17.5 Legame tra velocità di gruppo e velocità di fase . . . . . . . . . . . . . 6.17.6 Spettro di onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17.7 Onda elettromagnetica in un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ottica 35 35 36 37 38 39 39 39 40 40 40 42 44 44 45 46 46 47 48 49 49 52 52 52 52 53 54 55 58 59 59 60 61 62 65 65 67 69 69 69 70 70 70 71 73 73 74 75 76 76 79 7 Riflessione e rifrazione della luce 7.1 Principio di Huygens-Fresnel . . . . . 7.2 Teorema di Kirchhoff . . . . . . . . . . 7.3 Leggi di Snell . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Intensità delle onde riflesse e rifratte . 7.4.1 Onda incidende perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 81 82 83 84 lOMoARcPSD|18027022 Elenco delle figure 6.1 Andamento di I0 (ω) in un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) 64 lOMoARcPSD|18027022 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Presentazione L’esame è composto da una parte scritta (test al computer, con 30 domande a risposta multipla) in cui il voto = rispesatte − risperrate + 3 e se il voto ≥ 18 si può passare all’esame orale. L’esame orale consiste 3 il un’orale breve (voto massimo di 24) o si può accedere all’orale lungo se il voto è di almeno 24. 1 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 2 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Parte I Elettromagnetismo 3 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Capitolo 1 Campo Elettrostatico Il campo elettrostatico è il risultato analiico effettuato da Coulomb. In seguito a tutte le prove effettuate si è raggiunti al risultato che: F~ = 1 q1 · q2 q1 · q2 1 · · · ~r = · rb 4 · π · ε0 r3 4 · π · ε0 r2 dove rb indica il versore di r, vettore con modulo unitario e direzione di r. 2 C2 q = analisi dimensionale [ε0 ] = 2 r ·F N · m2 C2 N · m2 Il Coulomb è una unità di misura derivata, in quanto le unita fondamentali sono: ε0 = 8.85 · 10−12 • Intensità di corrente [A] • Intensità luminosa [cd] • Lunghezza [m] • Massa [kg] • Quantità di sostanza [mol] • Temperatura termodinamica [K] • Tempo [sec] Poichè [A] = Cs si ha che [C] = [A] · [s]. Un oggetto si dice puntiforme si le sue dimensioni sono molto trascurabili rispetto all’ambiente in cui si trovano, pertanto la legge di coulomb vale solo se le cariche sono molto distanti. 1.1 Campo Elettrico Il campo elettrico indica la modificazione che si ha nello spazio in presenza di una carica, pertanto si pone all’interno del campo una carica che non modifichi le caratteristiche del campo. ~ ~ = lim F E q0 →0 q0 ~ E(x, y, z) = Ex (x, y, z) · bi + Ey (x, y, z) · b j + Ez (x, y, z) · b k Supponiamo di avere q1 , q2 e q3 e se volessimo determinare la forza complessiva avenge su q1 si sfrutta il principio di sovrapposizione delle forze1 F~1 = F~21 + F~31 E~tot = 3 X i=1 rb qi · 4 · π · ε0 r Se volessi calcolare il campo elettrico generato da un corpo esteso potrei scomporlo in infiniti corpi infinitesimi (puntiformi). Ogni zona conterrà una carica dq = ρ(x, y, z) · d3 ~x 1 non in tutti i campi della fisica questo principio è valido, ma in questo si 5 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 dove ρ(x, y, z) indica la densità di carica, dipende dalla posizione perchè non è deto che sia costante. Quindi: Q= ZZZ dx dy dz · ρ(x, y, z) Se la densità fosse costante allora Q = ρ · V . 1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunque La definizione compatta è la seguente: ~ r) = E(~ 1 · 4 · π · ε0 Z dr~′ · ρ(r~′ ) · (~r − r~′ ) |~r − r~′ |3 p (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 , allora: Z Z Z (x − x′ ) 1 · dx′ · dy ′ · dz ′ · ρ(x′ , y ′ , z ′ ) · Ex (x, y, z) = 3 4 · π · ε0 [(x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 ] 2 Z Z Z 1 (y − y ′ ) Ey (x, y, z) = · dx′ · dy ′ · dz ′ · ρ(x′ , y ′ , z ′ ) · 3 4 · π · ε0 [(x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 ] 2 Z Z Z 1 (z − z ′ ) ′ ′ Ez (x, y, z) = · dx · dy · dz ′ · ρ(x′ , y ′ , z ′ ) · 3 4 · π · ε0 [(x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 ] 2 Poichè |~r − r~′ | = 1.1.2 Carica che si muove in un campo elettrico Si sfrutta la seconda legge della dinamica ~ m · ~a = F~ = q · E Scomponendo per componenti si ottiene un sistema differenziale del secondo ordine in tre equazioni. Risolvendolo si può ottenere x(t), y(t) e z(t) (traiettoria della carica).  2 q d x   dt2 = m · Ex     d2 y q dt2 = m · Ey       d2 z q dt2 = m · Ez 1.1.3 Campo Elettrico come estensione del campo elettrico puntiforme Per effettuare tale passaggio dimostrativo è necessario introdurre una funzione matematica denominata delta di dirac. Delta di Dirac É la formulazione della curva Guassiana in cui σ → 0 x2 1 δ(x) = lim √ · e− σ 2 = σ→0 2·π·σ Proprietà del delta di Dirac Z Z b a δ(x − x0 ) dx = b a F (x)δ(x − x0 ) dx = 1 0 0 +∞ x 6= 0 x=0 a < x0 < b x0 < a o x0 > b F (x0 ) 0 a < x0 < b x0 < a o x0 > b δ(x) = δ(−x) δa · x = 1 · δ(x) |a| δ(~x) = δ(x) · δ(y) · δ(z) 6 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Poichè la densità di carica in un corpo puntiforme è: lim ρ = lim V →0 V →0 Q = +∞ V quindi ha un corportamento simile al delta di Dirac, pertanto: ρ(x′ , y ′ , z ′ ) = q · δ(x − x′ ) · δ(y − y ′ ) · δ(z − z ′ ) 7 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 8 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Capitolo 2 Potenziale Si ha potenziale in prsenza di forze conservative, forse che compiono un lavoro nullo su un percorso chiuso Ra (W = aγ F~ · d~s = 0). Una carica q genera un campo elettrico: 1 q ~ = R · · rb 4 · π · ε0 r 2 e si pone q0 in a e si osserva che essa subisce uno spostamento, traslandola in b. Z b Z b ~ · d~s E F~ · d~s = q0 · Wa,b = DISEGNO a a I risultati trovati valdono per tutti i tipi di campi elettrostatici, poichè vale il principio di sovrapposizione. Z rb Z b rb · d~s ~ · d~s = q0 · q · E Wa,b = q0 · = 4 · π · ε0 ra r 2 a = DISEGNO q0 · q · 4 · π · ε0 Z rb ra ds · cos(ϑ) q0 · q · = 2 r 4 · π · ε0 Z rb ra 1 dr 1 q0 · q · − = r2 4 · π · ε0 ra rb W = q0 · [Va − Vb ] = Ua − Ub q Va = 4 · π · ε 0 · ra q Vb = 4 · π · ε 0 · rb Il potenziale si misura in Volt, grandezza derivata [V ] = [J] · [C]−1 . Il vantaggio di aggiungere il potenziale è che essendo una grandezza scalare, legata al campo elettrico, i calcoli sono estremamente semplificati. 2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse U (n) = n X n X i=1 j=1 2.2 q i · qj 4 · π · ε · ri,j · 2 i 6= j Potenziale di un campo macroscopico Z Z Z ρ(x′ , y ′ , z ′ ) dz ′ p (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2 Una distribuzione di cariche qualunque mi genera in (x, y, z) un potenziale nel punto P . Quanto vale il potenziale in P ′ , punto a distanza infinitesima da P ? V (x, y, z) = dV 1 · 4 · π · ε0 dx′ · dy ′ · = −V (x + dx, y + dy, z + dz) + V (x, y, z) = = −V (x, y, z) − =− ∂V ∂V ∂V · dx − · dy − · dz + V (x, y, z) ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂V · dx − · dy − · dz ∂x ∂y ∂z 9 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 ~ · d~s ⇒ dV = E ~ · d~s dW = q0 · dV = q0 · E   Ex = − ∂V Ex · dx = − ∂V   ∂x · dx ∂x         ~ = −∇V ~ Ey · dy = − ∂V Ey = − ∂V E ∂y · dy ∂y           Ez = − ∂V · dz Ez · dz = − ∂V ∂z ∂z Richiamo di Analisi II La circuitazione di un vettore in un intervallo chiuso, l, è: Z I ~ ×E ~ · ~n · dΣ ~ ∇ E · d~s = Σ l ~ dove Σ è una superficie chiusa da l e ~n è il vettore normale a Σ. Si definisce rotore di E: bi ∂ ∂x Ex ~ ×E ~ = ∇ b j ∂ ∂y Ey b k ∂ ∂z Ez Poichè la circuitazione è una scrittura equivalente di un integrale di curva, se si ha un campo conservativo allora la circuitazione è nulla. Dimostrazione 1 I ~ 6= 0, allora Poichè ∀Σ, ~n · dΣ l ~ · d~s = 0 E ~ ×E ~ =0 ∇ Dimostrazione 2 Se il campo è conservativo: ~ ×E ~ = ∇ bi ∂ ∂x = − −b j· = bi · ∂V ∂x b j ∂ ∂y − ∂V ∂y b k ∂ ∂z − ∂V ∂z = bi · ∂ ∂V ∂V ∂ − + · − · − ∂y ∂z ∂z ∂y ∂ ∂ ∂V ∂V ∂V ∂V ∂ ∂ · − · − · − · − − +b k· − = ∂x ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x 2 2 ∂2V ∂ V ∂ V ∂2V ∂2V ∂2V b b −j· +k· =0 − − − ∂y · ∂z ∂z · ∂y ∂x · ∂z ∂z · ∂x ∂x · ∂y ∂y · ∂x ∂2V ∂2V = 0, se V è una funzione continua. − ∂y · ∂z ∂z · ∂y 2.3 Dipolo Elettrico Il dipolo elettrico è un concetto abbastanza semplice le cui applicazioni sono tantissime. Definizione 1 Si definisce dipolo elettrico un oggetto costituito da due cariche, q, uguali e opposte distanti a. 2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo É possibile calcolare il potenziale generato da un dipolo solo se il punto, P , si trova a una distanza molto superiore di a. disegno 1 q q q 1 V (P ) = − = · − 4 · π · ε 0 · r1 4 · π · ε 0 · r2 4 · π · ε0 r1 r2 10 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Se P è molto lontano, allora ϑ ≃ ϑ′ e r2 − r1 = a · cos(ϑ). r2 − r1 a · cos(ϑ) p~ · ~r q q · · = ≃ V (P ) = 4 · π · ε0 r 2 · r1 4 · π · ε0 r2 4 · π · ε0 dove p~ = q · ~a indica il momento del dipolo. Differenziazione dei sistemi coordinati Sistema di Riferimento Cartesiano Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate x, y e z. ∂f b ~ = ∂f · bi + ∂f · b ∇f j+ ·k ∂x ∂y ∂z Sistema di Riferimento Polare o Sferico Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate: • ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0, +∞[) • ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π, +π[) • ϕ che indica l’angolo formato con l’asse z (ϕ ∈ [0, 2 · π[) 1 ∂f ~ = ∂f · rb + 1 · ∂f · ϑb + · ∇f ∂r r ∂ϑ r · sin(ϑ) ∂ϕ Sistema di coordinate Cilindriche Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate: • ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0, +∞[) • ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π, +π[) • z che indica la distanza del punto dal piano xy (z ∈ [0, +∞[) ~ = ∂f · rb + 1 · ∂f · ϑb + ∂f · b k ∇f ∂r r ∂ϑ ∂z In coordinate sferiche ~ = − ∂V · rb − 1 · ∂V · ϑb − ∂V · b E k ∂r r ∂ϑ ∂z Riprendendo il calcolo precedente: V (P ) = 2.3.2 q a · cos(ϑ) · 4 · π · ε0 r2 Er = 2 · q · a · cos(ϑ) p~ · ~r = 4 · π · ε0 · r 3 4 · π · ε0 · r 4 Eϑ = q · a sin(ϑ) 4 · π · ε0 · r 3 Eϕ = 0 h i p ~ ϑ) = · 2 · cos(ϑ) · rb + sin(ϑ) · ϑb E(r, 3 4 · π · ε0 · r p=q·a Dipolo all’interno di un campo elettrico Ho un dipolo immerso in un campo elettrostatico esterno al dipolo. DISEGNO p1 = (x, y, z) p2 = (x + ax , y + ay , z + az ) La sua energia elettrostatica vale: Udipolo = −q · V (p1 ) + q · V (p2 ) = −q · V (x, y, z) + q · V (x + ax , y + ay , z + az ) Si pone a trascurabile (si può quindi fare lo sviluppo in serie), si considera il campo conservativo e, pertanto, si ha: ∂V ∂V ∂V Udipolo = −q · V (x, y, z) + q · V (x, y, z) + q · · ax + · ay + · az ∂x ∂y ∂z = q · (−Ex · ax − Ey · ay − Ez · az ) = −(Ex · px + Ey · py + Ez · pz ) = ~ = −P~ · E 11 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 2.3.3 Momento di un dipolo In un campo elettrostatico costante un dipolo può solo ruotare, non può traslare. ~ M ~ + r~2 × (q · E) ~ = = r~1 × F~1 + r~2 × F~2 = r~1 × (−q · E) ~ = q · (r~2 − r~1 ) × E ~ = q · ~a × E ~ = p~ × E ~ = (r~2 − r~1 ) × (q · E) 2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costante Se un dipolo è immerso in un campo elettrico non costante, nel quale quindi la risultante non è nulla ~ 6= 0, il dipolo oltre a ruotare può anche traslare. R F~tot = F~1 + F~2 = −q · E~1 + q · E~2 ~ E~1 = E(x, y, z) ~ + ax , y + ay , z + az ) E~2 = E(x Sviluppando in serie E~2 si ha E~2 = q · F~tot ! =q· ~ ~ ~ ∂E ∂E ∂E ~ ~ E(x, y, z) + · ax + · ay + · az − E(x, y, z) ∂x ∂y ∂z = Px · ~ ~ ~ ∂E ∂E ∂E ~E ~ + Py · +z · = P~ · ∇ ∂x ∂y ∂z In un campo conservativo 2.3.5 ~ ~ ~ ∂E ∂E ∂E ~ · ax + · ay + · az E(x, y, z) + ∂x ∂y ∂z ! = ~ = −∇ ~ −P~ · E ~ R~tot = −∇U Applicazioni del concetto di dipolo Voglio conoscere il potenziale della carica in G. 1 · V (~r) = 4 · π · ε0 poichè Z dr~′ · ρ(r~′ ) 1 · = ′ ~ 4 · π · ε0 |~r − r | Z dr~′ · ρ(r~′ ) r· 1− r~′ ~ r r~′ ~ r è una quantita molto piccola è possibile effettuare lo sviluppo in serie1 " Z # Z ~′ r 1 1 1 · · dr~′ · ρ(r~′ ) + · · dr~′ · ρ(r~′ ) V (~r) ∼ 4 · π · ε0 r r ~r Z Z q 1 1 1 P~ · ~r ′ ′ ′ ′ ′ ~ ~ ~ ~ ~ · = · dr · ρ(r ) + 2 · r · dr · ρ(r ) = + 4 · π · ε0 r r 4 · π · ε0 · r 4 · π · ε 0 · r 3 P~ =− Z r~′ · ρ(r~′ ) · d3 r~′ Il copenziale di un corpo qualunque posto a grande distanza può essere visto come il potenziale di una carica puntiforme a cui viene aggiunto il potenziale di un dipolo. 1 1 1−x ∼1+x 12 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Capitolo 3 Teorema di Gauss É un teorema di valenza generale, vale in campi in cui si ha un andamento del tipo r12 . ~ attraverso Σ è: Se ho una superficie, Σ, e ne prendo una parte infinitesima, dΣ, il flusso di E ~ · ~n · dΣ dΦ = E ~ = E(x, ~ con E y, z) e ~n = ~n(x, y, z). Il teorema di Gauss afferma che il flusso attraverso una superficie chiusa è: n Z X qi ~ = ~ · ~n · dΣ = Φ E E ε Σ i=1 0 con qi interno alla superf icie Nel caso di un corpo macroscopico Z Z 1 ~ ρ(x, y, z) · dx · dy · dz E · ~n · dΣ = ε0 v Σ v = volume racchiuso da Σ Dimostrazione 3 (Teorema di Gauss) Dimostrando il teorema per una carica puntiforme lo si può dimostrare anche per n cariche e quindi anche per un corpo macroscopico. Se q è una carica interna alla superficie IMAMGINE ~ · ~n · dΣ = dΦ = E q u br · ~n · dΣ 4 · π · ε0 · r 2 u br · ~n · dΣ = dΩ r2 angolo solido dr · r2 · sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dv = dr · dΣ dΣ = sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dΩ 2 Z 2·π Z Z π r dϕ = 4 · π sin(ϑ) · dϑ · dΩ = 0 0 Φ= Z dΦ = Z q u br · ~n · dΣ q · · = 4 · π · ε0 r2 4 · π · ε0 Z dΩ = q ε0 Se q fosse una carica esterna alla superficie il flusso è nullo Φ=0 in quanto attraversa, per entrare, la superficie in un punto con ~n in una direzione e la riattraversa la superficie, per uscire, con ~n in direzione opposta perciò l’angolo solido che si forma è nullo. 3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss Il teorema di Gauss è utile nel calcolare in modo semplice, in determinate condizioni, il campo elettrico. 13 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiforme IMMAGINE Per definire il campo elettrico per una carica puntiforme, poichè la carica ha simmetria sferica, si sceglie come superficie una sfera1 . Z ~ · ~n · dΣ = q ~ = E Φ E ε0 Sulla superficie della sfera il campo è costante, quindi lo si può portare fuori dall’integrale Z Z ~ Φ E =E· u br · ~n · dΣ = E · dΣ = E · Σ In una sfera la superficie esterna è Σ = 4 · π · r E · Σ = 4 · π · r2 = 3.1.2 u br e ~n sono paralleli quindi u br · ~n = 1 2 q q ⇒E= ε0 4 · π · ε0 · r 2 Campo elettrico generato da un filo carico Poichè un filo carico ha simmetria cilindrica, si sceglie come superficie un cilindro coassiale con il filo. IMMAGINE Z ~ · ~n · dΣ = Q ~ = E Φ E ε0 Σ Z tot Z Z ~ ~ ~ ~ · ~n · dΣ Φ E = E · ~n · dΣ = E · ~n · dΣ = E Σlaterale ~ =E· Φ E 3.1.3 Z Σsuperiore R Σinf eriore Σsuperiore dΣlaterale = E · 2 · π · l · r = ~ · ~n · dΣ = E R Σinf eriore ~ · ~n · dΣ = 0 E q Q ~ = ⇒E ·u br ε0 4 · π · ε0 · l Campo elettrico generato da un piano infinito Si ha un piano infinito uniformemente carico IMMAGINE si pone un cilindro che attraversa il piano, il ~ contributo sarà dato solo dalle superfici circolari del cilindo (la superficie laterale è perpendicolare a E, quindi prodotto scalare nullo). Z Z σ · Σbase Q ~ · ~n · dΣ = 2 · E = dΣ = E Φ=2· ε ε0 0 Σbase_cilindro Σbase_cilindro 2 · E · Σbase = σ · ~ = E 3.1.4 Σbase ε0 σ ·u br 2 · ε0 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneo Si prendono sempre superfici concentriche al guscio. IMMAGINE Se r < R, cioè la superficie è interna al guscio ~ =0⇒E ~ =0 Φ(E) Se r > R, cioè la superficie è esterna al guscio Z Z Z ~ = Q = E ~ · ~n · dΣ = E · u br · ~n · dΣ = E · dΣ Φ(E) ε0 Q Q Q E·Σ= ⇒ E · 4 · π · R2 = ⇒E= ε0 ε0 4 · π · ε0 · r 2 Il risultato ottenuto è esattamente come se ci fosse un unica carica puntiforme posta al centro del guscio. Z Z Q Q V (r) = − E · dr = − dr = 4 · π · ε0 · r 2 4 · π · ε0 · r  Q   r≥R   4 · π · ε0 · r V (r) =   Q   r<R 4 · π · ε0 · R 1 la superficie si può scegliere a piacimento, in quanto il teorema suppone solo superfici chiuse. Quindi è utile scegliere le superfici atte a semplificare i conti 14 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 3.1.5 Campo elettrico di una sfera carica IMMAGINE Se P , punto della carica campione, è esterno alla sfera (cioè r ≥ R). Il flusso di una sfera di raggio r, concentrica alla sfera carica, è Z Z Q ~ E · ~n · dΣ = E · dΣ = ε0 E·Σ= E · 4 · π · r2 = Q ε0 Q Q ~ = ⇒E ·u br ε0 4 · π · ε0 · r 2 Se P è interno alla sfera (cioè r ≤ R). Il flusso di una sfera di raggio r, concentrica alla sfera carica, è Z ′ ~ · ~n · dΣ = q E q ′ carica interna alla sfera di raggio r ε0 E · 4 · π · r2 = q′ q′ ~ = ⇒E ·u br ε0 4 · π · ε0 · r 2 Poichè q ′ non è in funzione dei dati del problema bisogna ricondurla a tali valori. Si definisce ρ la densità di carica la seguente quantità Q Q = 4 ρ= 3 v · 3 πR Q= 4 4 · π · R3 · ρ ⇒ q ′ = Q(r) = · π · r3 · ρ 3 3 ~ = E 4 3 · π · r3 · ρ ρ · ~r ·u br = 4 · π · ε0 · r 2 3 · ε0 L’andamento del campo è completamente diverso all’interno e all’esterno del campo  Q   br r ≥ R   4 · π · ε0 · r 2 · u     ρ · ~r 3 · ε0 r≤R Poichè il potenziale è una funzione continua, in quanto derivabile ho che +∞ Z +∞ Z +∞ Q q = E · dr = − E · dr ⇒ V (r) = V (+∞) − V (r) = − 4 · π · ε0 · r r 4 · π · ε0 · r r r Q 4 · π · ε0 · R 2 Z R Z R ρ R r2 ρ r · dr = · · − E · dr = V (R) − V (r) = − 3 · ε0 r 3 · ε0 2 2 r 2 2 2 2 ρ Q r r R R ρ + V (R) = + · − · − V (r) = 3 · ε0 2 2 3 · ε0 2 2 4 · π · ε0 · R 2 ρ R r2 1 V (r) = · − + ε0 6 6 4·π V (R) = 3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un punto Si utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti, ipotizzando la cavità come una sfera carica ma con carica opposta. Definiremo quindi R1 il raggio della sfera, R2 il raggio della cavitò, Q1 la carica della sfera, Q2 la carica della cavità, r~1 la posizione di P rispetto al centro della sfera e r~2 la posizione di P rispetto al centro della cavità. Se P è esterno alle sfere (r > r′ ) ~ E 4 4 · π · R1 3 · ρ · π · R2 3 · ρ Q2 Q1 · r~1 + · r~2 = 3 · r~1 − 3 · r~2 = 3 3 3 4 · π · ε 0 · r1 4 · π · ε 0 · r2 4 · π · ε 0 · r1 4 · π · ε 0 · r2 3 ! 3 3 R1 R2 ρ · r~1 − · r~2 = 3 · ε0 r1 r2 = 15 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Se P è interno alla cavità ~ E = = 4 4 3 3 Q2 Q1 3 · π · r1 · ρ 3 · π · r2 · ρ · r ~ + · r ~ = · r ~ − · r~2 = 1 2 1 3 3 3 4 · π · ε 0 · r1 4 · π · ε 0 · r2 4 · π · ε 0 · r1 4 · π · ε 0 · r2 3 ρ ρ ~ · [r~1 − r~2 ] = ·R 3 · ε0 3 · ε0 Se il buco è concentrico alla sfera, si ha che il campo all’interno della cavità è nullo (è un guscio sferico). 3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenziale Teorema di Gauss, di analisi matematica Il teorema di Gauss consente di portare un integrale di volume di un campo vettoriale generico in un integrale di superficie (se la superficie è la superficie che racchiude il volume). ZZ ZZZ ~ · ~n · dx · dy ~ ~ E ∇ · E · dx · dy · dz = Σ v T ∂Ex ∂ ∂ ∂Ey ∂Ez ~ ·E ~ = bi · ∂ + b j + Ez · b k = · Ex · bi + Ey · b j· +b k· + + ∇ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Forma differenziale In fisica il teorema di Gauss è Z Z ~ · ~n · dΣ = Q = 1 · ρ · dv E ε0 ε0 ZZZ ZZZ ZZZ 1 ρ ~ ~ ~ ~ ~ ·E ~ = ρ ∇ · E · dv = ∇·E− ρ · dv ⇒ · dv = 0 ⇒ ∇ · ε0 ε0 ε0 16 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Capitolo 4 Condensatori e Dielettrici 4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico Un conduttore è un materiale che può condurre cariche elettriche. Si tratteranno, nel prosieguo del corso, solo i conduttori solidi (di tipo metallico). Un metallo può essere rappresentato mediante il metodo a nuvola di elettroni. Se si pone un metallo in un campo elettrostatico il campo resta statico (il sistema si pone immediatamente in equilibrio, in un tempo stimato di 10−13 s). L’unica posizione di equilibrio possibile si ha quando nel metallo si ha un campo elettrico nullo (deve essere così altrimenti gli elettroni risentono di una forza e quindi si muovono, non è statico). Se il metallo è carico (vi è un eccesso di elettroni), le cariche aggiuntive possono stare solo sulla superficie esterna, in modo da avere campo nullo all’interno. Se supponessimo di avere un metallo cavo IMMAGINE ~ =0 I(E) Calcolando la circuitazione lungo l si ha I l E · dr = 0 ma all’interno della cavità si ha un contributo, mentre all’interno del metallo non ci sono contributi; ~ = 0 allora pertanto le cariche si dispongono solo sulla superficie esterna (gabbia di Faraday). Poiche E all’interno del metallo ho sempre lo stesso potenziale. Definiamo E~2 il campo elettrico fuori dal metallo, E~1 il campo elettrico all’interno del metallo. E2 n − E1 n = σ ε0 ma E1n = 0, mentre E2t = E1t = 0 All’esterno del metallo il campo è sempre normale al metallo (se si è vicini). ~ = σ · ~n E ε0 Poichè σ = 4.2 Q Σ legge di Coulomb allora si ha che nelle punte il campo è molto più intenso che sulle superfici piane. Condensatore Introducendo un metallo in un campo elettrico le cariche si spostano in modo che il campo all’interno del metallo sia nullo. Etot = E + E ′ = 0 ⇒ E ′ = −E 17 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Se ho n conduttori si avrà: V1 = a11 · q1 +a12 · q2 +... +a1n · qn V2 = a21 · q1 +a22 · q2 +... +a2n · qn .. . .. . .. . .. . .. . Vn = an1 · q1 +an2 · q2 +... +ann · qn aij sono i coefficienti di potenziale (si può dimostrare che aij = aji , aij > 0, aii > aij ) q1 = c11 · v1 +c12 · v2 +... +c1n · vn q2 = c21 · v1 +c22 · v2 +... +c2n · vn .. . .. . .. . .. . .. . qn = cn1 · v1 +cn2 · v2 +... +cnn · vn cij sono i coefficienti di capacità (si può dimostrare che cij = cji , cij < 0, cii > 0) Se si mette un metallo in un campo elettrico occorre usare l’equazione di Laplace con le giuste condizioni a contorno, in quanto per pendere Emet = 0 si crea uno pseudo-dipolo. Esercizio 1 In una zona dello spazio è presenta un campo elettrico il cui potenziale vale V (x, y) = a · x2 + b · y a, b ∈ R Calcolare: • il modulo del campo elettrico nel punto di coordinate P = (x, y, z) • la carica complessiva presente in un cubo di lato L con un vertice nell’origine, gli spigoli paralleli agli assi e giacente nel primo ottante  Ex = −2 · a · x      ~ = −∇V ~ ⇒ Ey = −b E      Ez = 0 ~ E(x, y, z) = −2 · a · x · bi − b · b j p ~ E(x, y, z) = 4 · a2 · x2 + b2 Occorrebbe calcolare il flusso su ogni faccia del cubo, ma si ottiene un calcolo estremamente lungo, pertanto ~ ·E ~ = ρ. si prova a calcolare la divergenza di E, ∇ ε0 ~ ·E ~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez = −2 · a + 0 + 0 = ρ ⇒ ρ = −2 · a · ε0 ∇ ∂x ∂y ∂z ε0 Z Q = ρ · dv = −2 · a · ε0 · L3 v Esercizio 2 Data una sfera di raggio a entro cui esiste una densità di carica ρ(r) = k r2 con r pari alla distanza dal centro. Calcolare il campo elettrico e il potenziale in un generico punto P . Si utilizzano le coordinate sferiche per semplificare i conti (nel caso specifico è molto utile). dv = r2 · dr · sin(ϑ) · dϑ · dϕ 18 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 • r≥a Q= Z v dv · ρ = • r≤a ′ q = Z r 0 Z a 0 k · r2 · dr · r2 Z π 0 sin(ϑ) · dϑ · Z 2·π 0 dϕ = k · a · [−(−1 − 1)] · 2 · π = 4 · π · k · a ~ = Q = 4·π·k·a Φ E ε0 ε0 k·a 4·π·k·a ~ = 4·π·k·a ·u ⇒E br = ·u br E·Σ= ε0 ε0 · 4 · π · r 2 ε0 · r 2 ′ ′ q′ ~ = q ⇒E·Σ= q ⇒E = Φ E ε0 ε0 4 · π · r 2 · ε0 Z Z k·a k·a dr = V (r) = − E · dr = − 2 ε0 · r ε0 · r k · r2 · dr · r2 Z π 0 sin(ϑ) · dϑ · Z 2·π dϕ = k · r · [−(−1 − 1)] · 2 · π = 4 · π · k · r 0 k ~ = 4·π·k·r ·u E br = ·u br 4 · π · r 2 · ε0 ε0 · r Z Z k k dr = − · log(r) + V0 V (r) = − E · dr + V0 = − ε0 · r ε0 poichè il potenziale è continuo allora − k·a k k · log(a) + V0 = · (1 + log(a)) ⇒ V0 = ε0 ε0 · a ε0 Si ha un condensatore ogni volta che si hanno due superfici con cariche opposte, sono in tale condizione poichè la carica complessiva è sempre nulla. Definizione 2 (Capacità) Si definisce capacità il rapporto tra la carica e il potenziale, vq , tale rapporto è dipendente solo dalla forme geometrica del conduttore. Non dipende dalla densità in quanto le densità saranno presenti sia in q che in v e si semplificano. q C= v La capacità si misura in farad, [F ]; 1 farad indica una capacità estremamente grande. 4.2.1 Collegamento tra condensatori Due condensatori possono essere collegati in serie o in parallelo. Definizione 3 (Condensatore in serie) Due condensatori si dicono collegati in serie se sono attraversati dalla stessa corrente, pertanto sono attraversati dalla stessa carica. IMMAGINE 1 q 1 1 q + =q· + =q· vc − va = vc − vb + vb − va = C1 C2 C1 C2 Ceq −1 1 1 Ceq = + C1 C2 Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie !−1 n X 1 Ceq = Ci i=1 Definizione 4 (Condensatore in parallelo) Due condensatori si dicono collegati in parallelo se ai loro capi è presente la stessa differenza di potenziale. IMMAGINE Ceq = C1 + C2 Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie Ceq = n X Ci i=1 19 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Calcolo della capacità di un condensatore sferico Un condensatore sferico è composto da due sfere concentriche di raggio r1 e r2 , tra le due sfere vi è induzione completa. IMMAGINE −(V2 − V1 ) = q q q(r1 − r2 ) q(r2 − r1 ) − =− = 4 · π · ε 0 · r1 4 · π · ε 0 · r2 4 · π · ε 0 · r 1 · r2 4 · π · ε 0 · r 1 · r2 1 r2 − r1 V1 − V 2 = = q C 4 · π · ε 0 · r1 · r2 r 1 · r2 C = 4 · π · ε0 · r1 − r 2 Se h = r2 − r1 e h ≪ r1 , r2 allora r1 ≃ r2 ≃ r (r è la media geometrica tra r1 e r2 ). 4 · π · ε0 · R 2 ε0 · Σ = h h si ha quindi che l’area è proporzionale all’area dell’armatura e inversamente proporzionale alla distanza. C≃ Calcolo della capacità di un condensatore cilindrico Un condensatore cilindrico è composto da due cilindri coassiali di raggio r1 e r2 , tra i due cilindri vi è induzione completa. IMMAGINE Z r2 Z r2 r2 λ λ · dr ~ ~ · log = E · dl = V 1 − V2 = 2 · π · ε · r 2 · π · ε r1 0 0 r1 r1 log rr12 V1 − V 2 = q =d·λ q 2 · π · ε0 · d Se h = r2 − r1 e h ≪ r1 , r2 allora r1 ≃ r2 ≃ r (r è la media geometrica tra r1 e r2 ). C≃ poichè h R → 0 allora 2 · π · ε0 · d 2 · π · ε0 · d = h r2 −r1 log 1 + R log 1 + r1 h h ∼ log 1 + R R 2 · π · ε0 · d 2 · π · ε0 · d · R Σ ∼ C= = · ε0 h h h log 1 + R Si osserva che il valore di C è dipendende solo dalla superficie. Calcolo della capacità di un condensatore piano Un condensatore piano è composto da due piani infiniti paralleli tra loro. Z ~ · d~l V1 − V2 = E Ma abbiamo dimostrato che E è costante tra i piani e vale E = σ ε0 , mentre è nullo all’esteno dei piano. σ·h σ·Σ·h q = = ·h ε ε0 · Σ ε0 · Σ ε0 · Σ q = C= V1 − V 2 h V1 − V2 = Esempio 1 Si calcola la circuitazione di E lungu un percorso chiuso quadrato di lato l. In un campo generato da due piani paralleli è sempre costante e parallelo alle armature. I ~ · d~l = σ · l + 0 + 0 + 0 = σ E ε0 ε0 Il secondo e il quarto ternine sono entrambi nulli perche paralleli ai piani, mentre il terzo termine è nullo perchè esterno al campo. Si ha una contraddizione in quanto la circuitazione non è nulla, anche se si trova in un campo elettrostatico. La contraddizione è spiegabile dal fatto che uscendo dai piani il campo non è nullo, come considerato, inoltre vicino ai bordi E 6= εσ0 . Le condizioni poste si hanno se i piani sono piani infiniti. 20 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energia Si hanno due lastre pooste come le armature di un condensatore piano. Tali lastre sono inizialmente scariche, se si collega un generatore di tensione alle piastre tale generatore sposte le cariche dalle piastre imponendo una differenza di potenziale di V (il condensatore si carica). Per spostare una carica bisogna compiere un lavoro dW = dq ′ · V ′ ma poiche q V = C allora V ′ = q′ C quindi q′ dW = dq · ⇒W = C ′ poichè in un condensatore piano C = W = e0 ·Σ d Z q 0 q2 C ·V2 q′ · dq ′ = = C 2·C 2 e q = σ · Σ allora si ha che ε0 q2 · d σ 2 · Σ2 ε0 σ 2 q2 = = ·d= · 2 · (Σ · d) = · E2 · V 2·C 2 · ε0 · Σ 2 · ε0 · Σ 2 ε0 2 W =U Si definisce densità di energia il rapporto ε0 W = · E2 V 2 Dimostrazione 4 Si fa un ragionamento diverso, il cui risultato può comunque essere esteso, l’energia interna al sistema è U= 1 · 2 N X i, j = 1 i 6= j N 1 X qi · q j qi · v i = · 4 · π · ε0 · rij 2 i=1 vi = N X j=1 j 6= i qj 4 · π · ε0 · rij In un campo carioco macroscopico si ha che Z Z 1 1 U = · dq · V = · dV · ρ · V 2 2 v bisogna sempre integrare in coordinate spaziali, dq = ρ · dV Sfruttando la divergenza di E (teorema di Gauss in forma differenziale) si ha 1 · 2 Z v dV · ρ · V = ~ ·E ~ ~ ·E ~ = ρ ⇒ ρ = ε0 · ∇ ∇ ε0 Z Z 1 ε0 ~ ·E ~ · V · dV = ~ ~ · ∇ = · dV · ε0 · ∇ · E · V = 2 v 2 v Z Z Z h i ε0 ~ · E ~ ·V −∇ ~ · V ·E ~ = ε0 ~ · E ~ · V + ε0 · E 2 · dV = · dV · ∇ dV · ∇ 2 2 2 Z Z ε0 ~ · ~n + ε0 = dΣ · V · E E 2 · dV 2 Σ 2 v Il risultato ottenuto è più generale in quanto se prendo tutto il volume il campo sulla superficie è nullo, mentre se non èrendo tutto il volume il campo non è nullo. 4.4 Pressione elettrostatica Si otterrà che il campo elettrico esercita una pressione, in quanto se c’è carica nelle armature le piastre si attraggono e si si attraggono c’è una forza e quindi anche una pressione. All’interno di una campo elettricfo non è intuivito pensare alla presenza di una pressione, ma questo vale anche per onde elettromagnetiche come il raggio di una luce (essendo gli effetti troppo bassi si è portati a pensare che non ci sia). U= q2 q2 = ·h 2·C 2 · ε0 · Σ 21 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 dU = q2 · dh 2 · ε0 · Σ dh < 0 in quanto la lastra muovendosi compie un lavoro. dU = σ 2 · Σ2 ε0 σ 2 · Σ · dh · dh = · 2 · ε0 · Σ 2 ε0 2 ε0 σ 2 dU =− · 2 ·Σ dh 2 ε0 ε0 F = − · E2 · Σ 2 ε0 F = − · E2 P = Σ 2 − Si osserva che |P | = |densità di energia| Poichè si hanno solo forze conservative allora F = −∇U 22 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Capitolo 5 Dielettrici I dielettrici sono i materiali isolanti. Gli atomi negli isolanti (a differenza dei conduttori) si tengono stretti attorino a loro la nuvola di elettroni (non essendo molto liberi di muoversi non si ha conduzione), ma se pongoun atomo isolante in un campo elettrico gli elettroni vengono spostati su un lato, quindi si genera un dipolo. Definizione 5 (dielettrico polare) Si definisce polare un dielettrico che in un campo nullo è un dipolo Definizione 6 (dielettrico a-polare) Si definisce a-polare un dielettrico che in un campo nullo non è un dipolo. Se in un condensatore piano si pone un metallo, lastra (di lato s), si ha V 0 = Eh Vm = E · (h − s) = E · h · h−s h−s = v0 · h h Se invece si pone una lastra di dielettrico (di lato s) si ha Vk = E·k V0 = k k Si ha sempre che Vm < Vk , ponendo un metallo all’interno di un condensatore si ha un potenziale sempre inferiore al potenziale che si ottiene mettendo un dielettrico all’interno del condensatore. Poichè nel dielettrico le cariche non possono muoversi come è possibile spiegare la riduzione del potenziale? Succede che ogni atomo diventa un dipolo, ottenendo così equilibrio interno e resta la carica solo sul bordo (le cariche interne si elidono a due a due). L’effetto è più piccolo perchè non contribuiscono tutte le cariche ma solo quelle esterne. Dimostrazione 5 Sperimentalmente si ha che k ≥ 1. k= V0 Vk V0 Vk = h k·h E0 k σ0 k−1 σ0 σ0 1 σ0 E0 − Ek = = − · 1− · = ε0 ε0 · k ε0 k ε0 k σ0 σ0 k−1 k−1 σ0 = · − · Ek = E0 − ε0 k ε0 ε0 k k−1 σp = σ0 · k Ek = Ek = σ0 σp − ε0 ε0 23 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Nella nuova modellizzazione si ha che V0 → V0 k E0 → E0 k ε0 → ε = k · ε 0 Ck = q Vk =k· q V0 = k · C0 Si osserva che la capacità dello stesso condensatore in presenza di un dielettrico aumenta di un fattore k. k è dipendente dalla temperatura (le tabelle sono spesso scritte alla temperatura di 20◦ C), i k indicati sono unici per materiali isolanti isotropi, mentre sono due valori (kk e k⊥ ai piani). 5.1 Rigidità dielettrica Definizione 7 (Rigidità dielettrica) Si definisce rigidità dielettrica il valore massimo di campo eletV . trico che un dielettrico può sopportare è dell’ordine di 106 ÷ 107 m Se il campo elettrico, nel quale è immerso il dielettrico, è maggiore della rigidità dielettrica dell’area si ha che il campo distrugge la struttura atomica del dielettrico, si ha la formazione del plasma. Esempio 2 (Fulmine) Un esempio tangibile di tale fenomeno è un fulmine. Il fulmine si ha in presenza di una grandissima differenza di potenziale tra nuvole e terreno, pertanto si forma un campo elettrico molto elevato che distrugge la struttura atomica dell’aria, la velocità delle particelle dissociate è estremamente elevata quindi aumenta moltissimo anche la temperatura (temperatura ∝ velocità). 5.2 Dipolini all’interno di un dielettrico Cosa succede ai dipolini elementari che fi formano ponendo un dielettrico all’interno di un campo elettrico? Definizione 8 (Momento medio di dipolo elementare) Si definisce momento medio di dipolo elementare la media del momento di un numero finito di dipoli, è valido solo se ilo numero di dipoli elementari ha l’ordine di almeno un milione di lementi. hpi Definizione 9 (Vettore di polarizzazione o momento di dipolo di un volumetto infinitesimo) ∆N · hpi = n · hpi P~ = ∆τ con N pari al numero di atomi presenti nel volume, τ il volume indicato e n il numero di atomi presenti per unità di volume. Sperimentalmente si ha ~ = ε0 · χ(t) · E ~ P~ = ε0 · (k − 1) · E ~ in generale si ha In quasi tutti i materiali P~ ∝ E, ~ ·E ~ P~ = ε0 · χ t, E ~ si può sviluppare in serie, quindi ma χ t, E ∂χ(t, E → 0) ~ ~ P ≃ ε0 · χ(t, 0) + · E + ... · E ∂E · E è molto piccolo (molti ordini di grandezza inferiori) pertanto lo si ignora, ma In generale ∂χ(t,E→0) ∂E nei materiali ferro elettrici tale valore non è trascurabile. IMMAGINE P = dp ⇒ dp = P · dτ = P · dΣ · dh dτ dp = dq · dh = σp · dΣ · dh 24 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Si ricava che il vettore di polarizzazione per unità di volume, P~ , è P = σp . Se i campi non hanno una struttura estremamente regolare come quella dell’immagine precedente si ha che σp = P~ · ~n IMMAGINE Z Σ σp · dΣ = Z p~ · ~n · dΣ = 0 La somma delle cariche deve essere nulla, poichè da un lato si ha +q e dall’altro lato c’è −q pertanto si equivalgono. Se il materiale è onogeneo la supposizione che i dipoli interni si annullano è veta, mentre se il materiale non è omogeneo vi saranno dei termini correttivi. Analisi con materiale non omogeneo IMMAGINE dτ è un volumetto infinitesimo Se il materiale non è omogeneo dqp − dqp′ 6= 0, pertanto si avrà una carica netta dqp − dqp′ = −[P ′ − P ] · dΣ P ′ = σp′ · dΣ P = σp · dΣ dΣ = dx · dy · dz P ′ ≡ P (x + dx + y + z) P ≡ P (x, y, z) P ′ − P = P (x, y, z) + ∂P ∂P · dx − P (x, y, z) = dx ∂x ∂x La carica netta che rimane è dq = dqp − dqp′ = − ∂P ∂P ∂P · dx · dΣ = − · dx · dy · dz = − · dτ ∂x ∂x ∂x Lo stesso procedimento andrà effettuato anche lungo y e lungo z. Si avrà quindi che ∂P ∂P ∂P ~ · P~ · dτ = −∇ + + dq = − ∂x ∂y ∂z ~ · P~ = −ρp ∇ Esempio 3 (applicativo) IMMAGINE Se si vol determinare il potenziale presente nel punto F , bisogna considerare, oltre al potenziale generato dal campo del corpo C, anche gli effettu delle cariche presenti sull’isolante I. Z Z Z 1 1 σc · dΣc 1 σp · dΣ dτ · ρp + V (F ) = + · · · 4 · π · ε0 ΣC r′ 4 · π · ε0 Σ r 4 · π · ε0 τ r {z } {z } | {z } | | corpo C isolante I se il materiale non è omogeneo non si usa εisolante ~ · P~ ρp = ∇ σp = P~ · ~n perche F è fuori dall’isolante ~ 6= 0, allora nell’isolante avrò delle Se ho un campo generato da q esterno all’isolante e nell’isolante E cariche di polarizzazione (qp ). In tale situazione comunque vale il teorema di Gauss Z ~ · ~n · dΣ = q + qp ~ = E Φ E ε0 ~ ·E ~ = ρ − ρp ⇒ ε 0 · ∇ ~ ·E ~ =ρ−∇ ~ · P~ ∇ ε0 ~ · ε0 · E ~ + P~ = ρ ∇ 25 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Definizione 10 (Induzione elettrica) Si definisce induzione elettrica la seguente quantità ~ = ε0 · E ~ + P~ D Si ha quindi che ( ~ ·D ~ ∇ = ρ ~ =q Φ D É possibile quindi definire l’elettrostatica con due equazioni ( ~ ·E ~ = ρtotali ∇ ε0 ~ ×E ~ =0 ∇ ≡ ~ ·D ~ = ρlibere ∇ ~ ×E ~ =0 ∇ ~ ·E ~ devo avere traccia di tutte le cariche interne, mentre considerando la ∇ ~ ·D ~ devo Se si considera la ∇ considerare solo le cariche libere, quelle cariche non appartenenti all’isolante. É chiaro quindi che è più ~ · D, ~ non si usa il ∇ ~ ×D ~ in quanto in genere non è nullo. semplice considerare ∇ Dimostrazione 6 (Conservazione della componente normale di un campo elettrico) In un campo elettrico si è dimostrato che sull’interfaccia si ha la conservazione dela componente tangenziale, ma cosa succede se si considera l’induzione elettrica? ~ costante, ma i risultati trovati sono del tutto generali. IMMAGINE Per seemplicità di calcolo si pone D ~ =D ~1 · n~1 · Σ1 + D ~2 · n~2 · Σ2 = 0 Φ D ~ = D1n · Σ1 − D2n · Σ2 = 0 ⇒ D1n · Σ1 = D2n · Σ2 Φ D n~1 = −n~2 Poichè Σ1 = Σ2 si ha che D1n = D2n ~ si conserva, in presenza di un’interfaccia. Si ha quindi che la componente normale di D Osservazione ~ ~ = ε0 · E ~ + P~ = ε0 · E ~ + ε0 · χ · E ~ = ε0 · E ~ + ε0 · (k − 1) · E ~ = ε0 · k · E ~ = εr · E ~ ⇒E ~ = D D εr ~ ~ D k−1 ε0 · (k − 1) · D ~ ~ ~ ~ P = ε0 · (k − 1) · E = ε0 · (k − 1) · E = ε0 · (k − 1) · ·D = = εr ε0 · k k Se il materiale è omogeneo non si hanno cariche libere, quindi ~ ·D ~ =0 ~ · P~ = k − 1 · ∇ ∇ k mentre se il materiale non è omogeneo ~ ·D ~ +D ~ ·∇ ~ ~ · P~ = k − 1 · ∇ ∇ k k−1 k 6= 0 ~ ∇ ~ Il primo termine è nullo, in quanto non vi sono cariche libere; mentre il secondo termine vale D· −ρpolarizzazione . Nel caso di materiali non isotropi P1 = ε0 · (χ11 · E1 + χ12 · E2 + χ13 · E3 ) P2 = ε0 · (χ21 · E1 + χ22 · E2 + χ23 · E3 ) P3 = ε0 · (χ31 · E1 + χ32 · E2 + χ33 · E3 ) χij = −χji Quindi χ è una mtrice quadrata di lato 3, tale matrice è caratterizzata da 6 elementi distinti. 26 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) k−1 k = lOMoARcPSD|18027022 Esercizio 3 In un condensatore puiano l’area totale delle armature è S = 200cm2 e la distanza tra di esse è d = 0.2cm. Se la distanza tra le armature viene dimezzata, calcolare di quanto varia l’energia del condensatore nei seguenti casi: 1. il condensatore rimane sempre collegato a una batteria di forza elettromotrice V = 300V 2. il condensatore, originariamente collegato alla batteria, viene disconnesso prima di avvicinare le armature. C i = ε0 · C f = ε0 · S d 2 S d = 2 · ε0 · S = 2 · Ci d Soluzione caso: 1. Wi = Wf = 1 · Ci · V 2 2 1 1 · Cf · V 2 = · 2 · Ci · V 2 = Ci · V 2 2 2 ∆W = Wf − Wi = Ci · V 2 − ∆W = 1 1 · Ci · V 2 = · Ci · V 2 2 2 8.85 · 10−12 · (300)2 · 2 · 10−2 9.95 · 9 1 ε0 · S · V 2 · = = · 10−7 J ≃ 39.83 · 10−7 J 2 2·d 2 · 2 · 10−3 2 2. il sistema viene isolato, quindi si ha la conservazione della carica Wi = Q2 2·C Q2 Q′2 = 2·C 4·C Q2 Q2 1 ∆W = Wf − Wi = · −1 =− 2·C 2 4·C Wf = Q=C ·V ∆W = Wf − Wi = − C2 · V 2 C ·V2 ε0 · S · V 2 =− =− ≃ −2 · 10−6 J 4·C 4 4·d Si osserva che nel primo caso si ha un lavoro positivo, effettuato dalla batteria, mentre nel secondo caso si ha un lavoro negativo in quanto per avvicinare le armature bisogna compiere un lavoro. Esercizio 4 Le armature di un condensatore piano sono costutuite da piastre quadrate di lato l e distanti d. Il condensatore viene caricato alla tensione V , successivamente le armature vengono isolate in modo che la carica su ogni piastra rimanga costante. Si introduce, poi, fra le armature e parallelemente ad esse una lamina metallica piana molto estesa e spessa h. Calcolare: 1. il lavoro che si deve effettuare per introdurre tale lamina 2. la nuova tensione V ′ tra le armature IMMAGINE Se interpone una lamina metallica, all’interno della lamina si ha campo nullo, quindi è come se avessi due condensatori collegati in serie. 27 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Wi = 1 1 l2 · C i · V 2 = · ε0 · · V 2 2 2 d Dopo aver posto la lamina C 1 = ε0 · l2 d−h−x C 2 = ε0 · l2 x 1 1 1 d−h−x x d−h ε0 · l 2 = + = + = ⇒ Cf = 2 2 2 Cf C1 C2 ε0 · l ε0 · l ε0 · l d−h 1 · Cf · V 2 2 Q2 1 d−h Q2 Q2 1 d Q2 Q2 ∆W = Wf − Wi = − = − · · − ·h = =− 2 2 2 · Cf 2 · Ci 2 Cf Ci 2 ε0 · l ε0 · l 2 · ε0 · l 2 Wf = Poichè Q = Ci · V = ε0 · l 2 · V , allora d ∆W = − ε0 2 · l 4 · V 2 ε0 · l 2 · V 2 ·h=− ·h 2 2 2 · d · ε0 · l 2 · d2 Si ha che ∆W < 0 in quanto tutti i valori sono positivi ed è presente il segno meno. ε0 · l 2 d d ε0 · l 2 = · = Ci · d−h d d−h d−h Q Q d−h Q h V′ = = = · = V · 1 − d Cf Ci d d Ci · d−h Cf = Si osserva subito che V ′ < V . Esercizio 5 Calcolare il valore della capacità se la variazione dell’energia elettrostatica di un condensatore piano, con le armature di area S poste alla distanza d e caricato con una carica Q, quando si inserisce tra le armature un foglio di materiale dielettrico di spessore sp < d, avente le stesse dimensioni delle armature e con costante dielettrica εr . IMMAGINE Se interpone una lamina di dielettrico, all’interno della lamina si ha campo non nullo, quindi è come se avessi tre condensatori collegati in serie, in quanto è come se all’interno del dielettrico ci fosse un altro condensatore. 1 1 1 d − sp − x sp 1 1 1 1 x 1 = + + = ε0 ·S + εr ·S + ε0 ·S = · + + Cf C1 C2 C3 S ε ε ε 0 r 0 d−s −x s x p p h i 1 sp 1 1 1 = · d − sp − x + +x = · d − sp · 1 − Cf ε0 · S k ε0 · S k Ci = ε0 · S d Wi = 1 Q2 · 2 Ci 1 Q2 · 2 Cf 1 Q2 1 1 Q2 Q2 1 = Wf − Wi = · − · = · − = 2 Cf 2 Ci 2 Cf Ci Wf = ∆W # " d − sp · 1 − k1 Q2 Q2 d 1 = = −d = · − · d − sp · 1 − 2 ε0 · S ε0 · S 2 · ε0 · S k = Q2 k−1 sp · (1 − k) · Q2 = · −sp · <0 2 · ε0 · S k 2 · ε0 · S · k poichè k > 1 28 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) e r = k · ε0 lOMoARcPSD|18027022 Esercizio 6 Tra le armature di un condensatore piano di larghezza m e lunghezza l, distanti d viene introdotto per t < d un materiale dielettrico di permiabilità εr . Calcolare la forza con cui il materiale viene risucchiato all’interno del condensatore all’atto in cui si stabilisce tra le armature una differenza di potenziale V . IMMAGINE In tale configurazione, si ha una parte (t) delle armature nel quale è presente il dielettrico, mentre dall’altra parte (l − t) non vi è il dielettrico, poiche in entrame le parti si ha la stessa V allora è come se vi fossero due condensatori in parallelo. εr = k · ε0 ε0 · m · l d εr · m · t ε0 · m · (l − t) C1 + C1 = + = d d Ci = Cf (t) = = k · ε0 · m · t ε0 · m · (l − t) ε0 · m + = · [(k − 1) · t + l] d d d 1 ε0 · m · V 2 · Cf (t) · V 2 = · [(k − 1) · t + 1] 2 2·d L’energia prodotta dal generatore è W (t) più l’energia necessaria per tirare “dentro” il dielettrico. Wf (t) = dWg = V · dq = V · V · dC = V 2 · dC Wg è l’energia prodotta complessivamente dal generatore. dWe = V2 · dC 2 We è l’energia elettrostatica immagazinata. dWg = dW + dWe ⇒ dW = dWg − dWe = dq = F · dt ⇒ F = 5.3 V2 V 2 dC · dC = · · dt 2 2 dt V 2 dCf V 2 m · (k − 1) dW = · = · · ε0 dt 2 dt 2 d Condittori metallici Se ho un metallo in un campo non conservativo si ha la formazione di ua corrente (l’alettrone lasciato libero dall’atomo si muove con una velocità di un ordine di grandezza inferiore alla velocità della luce, si muove con v ≃ 106 m s ). Questo non è contraddittorio con cià che è stato detto precedentemente in quanto avere velocità media nulla non imploca chte tutte le velocità siano nulle. ~vitot = ~vi + ~vderiva ~vderiva velocità casuata dal campo esterno N N 1 X 1 X ~vitot = ~vi + ~vderiva ⇒ ~vtot = 0 + ~vderiva · · N i=1 N i=1 vderiva ∼ 10−4 m s v ∼ 106 m s Può sembrare strano ma per le considerazioni che faremo la grandezza fondamentale è vderiva 1 . 5.3.1 Corrente elettrica Definizione 11 (Corrente elettrica) Si definisce corrente elettrica la variazione temporale della carica. dq i= qt [i] = [C] = [A] [s] [A] è una unità di misura fondamentale. 1 Nel proseguo della trattazione vd = vderiva 29 Downloaded by Ron Rossi ([email protected]) lOMoARcPSD|18027022 Quanto vale la variazione della carica in un filo (cilindro) di oro? IMMAGINE Si prende un tratto infinitesimo e si considera la sezione dΣ. Si considera n densità di elettroni, portatori, per unità di volume, mentre si considera e la carica di un portatore (presa in valore assoluto). ∆q = n · e · ∆τ poichè ∆τ = vd · ∆T · dΣ · cos(ϑ) ∆q = n · e · vd · ∆T · dΣ · cos(ϑ) ∆q = n · e · vd · dΣ · cos(ϑ) ∆T Z Z n · e · vd · dΣ · cos(ϑ) = i= J~ · ~n · dΣ Σ Σ Definizione 12 (Densità di corrente elettrica) Si definisce densità di corrente elettrica la seguente quantità J~ = n · e · ~vd Si misura in [A] [m]2 . Se ho un metallo come portatori non si hanno solo gli elettroni ma possono essere presenti anche dei portatori positivi (generati da lacune), si ha che J~ = n+ · e · ~vd+ − n− · e · ~vd− = e · n+ · ~vd+ − n− · ~vd− Poichè le cariche si muovono con verso opposto allora vbd+ = vbd− . J~ = e · vbd− · n+ · vd+ − n− · vd− Pertanto misurando la densità di corrente, non si può sapere se tale valore è dovuto a portatori positivi o portatoni negativi. 5.3.2 Legge di conservazi

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