FC6b Estimation of Confidence Intervals - PDF

Estimation des intervalles de confiance Professeur : OLLIER FC N°6b Date : 26/09/2023 SOMMAIRE I. INTERVALLE DE CONFIANCE (SUITE) ........................................................................................................................................ 1 II. APPLICATION A L’ANALYSE D...

Estimation des intervalles de confiance Professeur : OLLIER FC N°6b Date : 26/09/2023 SOMMAIRE I. INTERVALLE DE CONFIANCE (SUITE) ........................................................................................................................................ 1 II. APPLICATION A L’ANALYSE DES ESSAIS CLINIQUES ................................................................................................................. 5 1. EXEMPLE D’ESSAI CLINIQUE ........................................................................................................................................................ 5 2. ESPERANCE DE LA DIFFERENCE DE DEUX VARIABLES QUANTITATIVES ...................................................................................................... 5 3. ERREUR TYPE POUR LA DIFFERENCE DE DEUX MOYENNES .................................................................................................................... 6 4. INTERVALLE DE CONFIANCE POUR LA DIFFERENCE DE DEUX MOYENNES ................................................................................................... 7 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Intervalle de confiance (suite) ESTIMATEUR D’UNE PROPORTION • Soit (x₁,…, xn), N réalisations d’une variable aléatoire de Bernoulli X de probabilité p Définition 1 avec P(𝑋 = 1) = 𝑝 (succès) 𝑋𝑖 ={ 0 avec P(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝 (é𝑐ℎ𝑒𝑐 ) • Estimateur de p : 𝑝̂ = ∑𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑁 • Données : • Baisse au moins de 1O mmHg de la tension artérielle systolique 2h après la prise du médicament (10 sujets). Exemple (-10, -2, -9, -8, -18, -11, -20, -4, -16, -32) ↓ (1,0,0,0,1,1,1,0,1,1) • Pour transformer de manière binaire : o Ce qui baisse d’au moins de 10 mmHg prend le rang 1. o Ce qui ne baisse pas d’au moins 10 mmHg prend le rang 0. Question • Quelle est la probabilité que la tension artérielle systolique baisse au moins de 10 mmHg ? • L’estimation ponctuelle de p est donnée par : Réponse 𝜌̂ = 1 1+0+0+0+1+1+1+0+1+1 6 ∑ 𝑥𝑖 = = = 0,6 𝑁 10 10 𝑖 1 ̂ ERREUR-TYPE DE 𝒑 • Soit (𝑋𝑖 …𝑋𝑁 ) avec 𝑋𝑖 des variables aléatoires de Bernouilli de probabilité p 1 avec P(𝑋 = 1) = 𝑝 (succès) 𝑋𝑖 = { 0 avec P(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝(é𝑐ℎ𝑒𝑐) ̅ • L’erreur-type de 𝑿 correspond à : Définition 𝑆𝑑 [𝑝̂ ] = √𝑉𝑎𝑟[𝑝̂ ] = √ 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑁 • En effet, 1 1 𝑁 2 Var[𝑝̂ ] = [𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ]=𝑁2 𝑉𝑎𝑟 [∑𝑖=1 𝑋𝑖 ] (𝑉𝑎𝑟 [𝑎𝑋] = 𝑎 𝑉𝑎𝑟 [𝑋]) 1 = 𝑁2 𝑁𝑝(1 − 𝑝) ≈ Question 𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑁 (∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ~ 𝐵(𝑛, 𝑝)) • Quelle est l’erreur-type de la probabilité que la tension artérielle systolique baisse d’au moins de 10 mmHg ? • Données : • Baisse au moins de 10 mmHg de la tension artérielle systolique 2h après la prise du médicament. Réponse (1,0,0,0,1,1,1,0,1,1) 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 0,6 × 0,4 𝑆𝑑 [𝑝̂ ] = √ =√ = 0,1549 𝑁 10 CONVERGENCE DE LA LOI BINOMIALE VERS LA LOI NORMALE • Quand n est grand, la loi binomiale converge vers la loi Normale : Définition 𝐵(𝑛, 𝑝) → 𝑁→+∞ 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1 − 𝑝)) 𝑁 ∑ 𝑋𝑖 ~ 𝐵(𝑛, 𝑝) 𝑖=1 → 𝑁→+∞ 𝑁(𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1 − 𝑝)) 2 INTERVALLE DE CONFIANCE DE NIVEAU (1-𝜶) D’UNE PROPORTION 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) ) N • Intervalle de confiance de niveau 1 - 𝛼 pour p : 𝑝̂ ~ 𝑁(𝑝, I𝐶1−𝛼 (𝑝) = [𝑝̂ − 𝑧𝛼 √ Hypothèse 𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑁 ; 𝑝̂ + 𝑧𝛼 √ 𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑁 ] • Avec 𝑧𝛼 le quantile de niveau 𝛼 de la loi normale N(0, 1) • Attention : quand N est petit, cette hypothèse de normalité peut renvoyer des bornes > 1 ou < 0 alors que p ∈ [0; 1] Calcul de 𝒛𝜶 exemple 1 • Pour 𝛼 = 5% 𝛼 = 0,05 = 0,00 + 0,05 𝑧0,05 = 1,960 Donc Calcule de 𝒛𝜶 exemple 2 • Pour 𝛼 = 22% 𝛼 = 0,22 = 0,20 + 0,02 Donc 𝑧0,22 = 1,227 3 Question • Quelle est l’intervalle de confiance à 95% de la probabilité que la tension artérielle systolique baisse au moins de 10 mmHg ? • On sait déjà que : o 𝑝̂ = 0,6 𝑆𝑑 [𝑝̂ ] = 0,1549 et 𝑧0,05 = 1,96 Réponse • On a donc : I𝐶0,95 (𝜇) = [𝑝̂ − 𝑧0,05 𝑆𝑑 [𝑝̂ ]; 𝑝̂ + 𝑧0,05 𝑆𝑑 [𝑝̂ ]] = [0,6 − 1,96 × 0,1549; 0,6 + 1,96 × 0,1549] = [0,296; 0,904] IMPACT DE N SUR LA LARGEUR DE L’INTERVALLE DE CONFIANCE Exemples de différents échantillons Calcul de l’intervalle de confiance à 95% de𝑋̅ sur 100 échantillons (µ = 10) de taille N = 20, 200 et 2000. • Plus la taille de l’échantillon N augmente Sur l’intervalle de confiance o Plus l’erreur type de l’estimateur 𝑆𝑑 [𝜙(𝑋)] diminue ✪ o Plus la précision de l’estimateur augmente ✪ • Plus la largeur de la distribution d’échantillonnage diminue ↗ 𝑵 ⇒ ↘ 𝑺𝒅[𝝓(𝑿)] ⇒ ↘ de la largeur de l’IC 4 II. Application à l’analyse des essais cliniques 1. Exemple d’essai clinique • Il s’agit ici d’un essai contrôlé (avec deux groupes : un groupe sans dénervation et un groupe avec dénervation). • L’objectif est de tester l’effet d’une dénervation rénale pour traiter l’hypertension artérielle résistante aux médicaments. Principe • L’essai est randomisé car les sujets sont répartis aléatoirement entre les deux groupes de traitement. • On mesure l’évolution de la pression artérielle systolique dans les groupes et on regarde s’il y a une différence. • On randomise pour éviter un déséquilibre des caractéristiques entre les groupes donc on évite les biais de mesure. 2. Espérance de la différence de deux variables quantitatives • Soit X et Y deux variables aléatoires quantitatives indépendantes avec : o 𝐸 [𝑋] = 𝜇𝑥, 𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝜎 2 𝑥 𝑒𝑡 𝐸 [𝑌] = 𝜇𝑦, 𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝜎 2 𝑦 • On dispose de deux échantillons de N et M observations : o {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 } 𝑒𝑡 {𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑚 } Démonstration • Par linéarité de l’espérance, on a : o 𝐸 [𝑋 − 𝑌] = 𝐸 [𝑋] − 𝐸 [𝑌] = 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 • L’estimation ponctuelle de E[X − Y] est donc donnée par : 1 1 o 𝑋̅ − 𝑌̅ = 𝑁 (∑ 𝑋𝑖 ) − 𝑀 (∑𝑗 𝑌𝑗 ) Exemple Données • Baisse de la tension artérielle systolique (mmHg) 2h après la prise du médicament dans chaque groupe de traitement (10 sujets par groupe), X est la variable du groupe 1 et Y la variable du groupe 2. 𝑋 ∶ {−10, −2, −9, −8, −18, −11, −20, −4, −16, −32} 𝑌 ∶ {−18, −14, −13, −24, −29, −39, −30, −19, −21, −38} 5 Questions • Quelle est la différence moyenne de baisse de pression artérielle entre les 2 groupes (Y - X) ? • Quelle est la baisse moyenne de la tension artérielle systolique 2h après la prise du médicament ? 1 −130 • TT1 : 𝑋̅ = 10 ∑𝑖 𝑥𝑖 = 10 = −13 𝑚𝑚𝐻𝑔 Réponse 1 • TT2 : 𝑌̅ = 10 ∑𝑖 𝑦𝑖 = −245 10 = −24,5 𝑚𝑚𝐻𝑔 ⇒ 𝑌̅ − 𝑋̅ = −24,5 + 13 = −11,5 𝑚𝑚𝐻𝑔 3. Erreur type pour la différence de deux moyennes • Soit X et Y deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes avec : 𝐸 [𝑋] = 𝜇𝑥, 𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝜎 2 𝑥 𝑒𝑡 𝐸 [𝑌] = 𝜇𝑦, 𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝜎 2 𝑦 • On dispose de deux échantillons de N et M observations : {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 } 𝑒𝑡 {𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑚 } • Par linéarité de l’espérance on a : Démonstration 𝑉𝑎𝑟[𝑋̅ − 𝑌̅] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋̅] + (−1)2 𝑉𝑎𝑟[𝑌̅] + 2𝐶𝑜𝑣[𝑋̅, 𝑌̅] = • L’estimation ponctuelle de 𝑆𝑑 [(𝑋̅ − 𝑌̅)] est donc donnée par : 𝜎𝑥2 𝜎𝑦2 + 𝑁 𝑀 𝑆𝑥2 𝑆𝑦2 𝑆𝑌̅−𝑋̅ = √ + 𝑁 𝑀 • Quelle est l’erreur type de la différence moyenne de baisse de pression artérielle entre les deux groupes (Y - X) ? • Réponse : Exemple 1 TT1 : 𝑆𝑋2 = 9 ∑𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 = 77,8 𝑚𝑚𝐻𝑔2 1 TT2 : 𝑆𝑌2 = 9 ∑𝑖 (𝑦𝑖 − 𝑌̅ )2 = 85,6 𝑚𝑚𝐻𝑔² 77,8 ⇒ 𝑆𝑌̅−𝑋̅ = √ 10 + 85,6 10 = 4,04 𝑚𝑚𝐻𝑔 6 4. Intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes • L’intervalle de confiance de 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 correspond à : Expression 𝑆𝑥2 𝑆𝑦2 𝐼𝐶1−𝛼 (𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 ) = [𝑋̅ − 𝑌̅ ± 𝑡𝛼𝑁+𝑀−2 √ + ] 𝑁 𝑀 • Avec 𝑡𝛼𝑁+𝑀−2 se calculant à l’aide d’une loi 𝛵(𝑁 + 𝑀 − 2) Question • Quelle est l’IC à 95% de la différence moyenne de baisse de pression artérielle entre les deux groupes (Y - X) ? • On sait déjà que : Réponse 18 𝑌̅ − 𝑋̅ = −11,5 𝑚𝑚𝐻𝑔 𝑆𝑌̅−𝑋̅ = 4,04 𝑚𝑚𝐻𝑔 𝑒𝑡 𝑡0,05 = 2,101 18 18 𝐼𝐶0,95 (𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 ) = [𝑌̅ − 𝑋̅ − 𝑡0,05 𝑆𝑌̅−𝑋̅ ; 𝑌̅ − 𝑋̅ + 𝑡0,05 𝑆𝑌̅−𝑋̅ ] = [−11,5 − 2,101 × 4,04 ; −11,5 + 2,101 × 4,04] = [−19,99 ; −3,01] • Donc l’efficacité du traitement 2 est supérieur au traitement 1 car le 0 n’est pas dans l’intervalle de confiance. 7