Appunti di Fondamenti di Telecomunicazioni PDF

Appunti di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. N. Cordeschi 27 novembre 2024 Indice 1 Sistemi di telecomunicazioni 6 2 Il rumore nei sistemi di telecomunicazioni...

Appunti di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. N. Cordeschi 27 novembre 2024 Indice 1 Sistemi di telecomunicazioni 6 2 Il rumore nei sistemi di telecomunicazioni 8 2.1 Temperatura equivalente di rumore............... 8 2.2 Fattore di rumore......................... 9 2.3 Il rumore nei sistemi con molteplici stadi in cascata...... 9 2.4 Attenuatore passivo....................... 10 2.5 Esercizi.............................. 11 2.5.1 Esercizio 1......................... 11 2.5.2 Esercizio 2......................... 12 3 Sistemi analogici in banda base 13 3.1 Calcolo del rapporto segnale rumore.............. 13 3.2 Eetto pelle nei cavi metallici.................. 14 3.3 Equalizzazione e pre-enfasi.................... 15 3.4 Sistemi multi-tratta analogici.................. 15 3.5 Esercizio.............................. 16 4 Modulazioni analogiche 18 4.1 Componenti in fase e in quadratura............... 20 4.1.1 Segnali deterministici in banda passante........ 20 4.1.2 Rumore in banda passante................ 21 4.2 Potenza media di un segnale passa-banda........... 22 4.3 Distorsione lineare........................ 23 4.4 Tipologie di modulazione e demodulazione........... 23 4.5 Modulazione di ampiezza.................... 24 4.5.1 In doppia banda laterale e portante soppressa..... 24 4.5.2 Esercizi.......................... 26 4.5.3 Modulazione di ampiezza con due portanti in quadratura 28 4.5.4 Modulazione di ampiezza con portante trasmessa... 29 4.6 Modulazione angolare...................... 30 4.6.1 Rapporto segnale rumore nella modulazione di fase.. 30 4.6.2 Rapporto segnale rumore nella modulazione di frequenza 32 3  4.7 Demodulatore IQ......................... 33 4.7.1 Esempio 1: stima semplicata della frequenza e della fase di un tono pilota................... 34 5 Il canale radio 36 5.1 Propagazione in spazio libero, LOS e NLOS.......... 36 5.2 Calcolo approssimato della capacità di un canale radio.... 37 5.2.1 Esercizio 1: stima della capacità di un collegamento WiFi in assenza di ostacoli............... 38 5.2.2 Esercizio 2: stima della capacità di un collegamento WiFi in presenza di ostacoli............... 38 5.2.3 Esercizio 3: stima della capacità di un collegamento Terra-Satellite Geostazionario.............. 39 5.3 Shift doppler........................... 39 5.4 Fading e Shadowing....................... 40 5.4.1 Banda di coerenza e tempo di coerenza......... 40 5.4.2 Modelli di Fading e Shadowing............. 42 5.5 Modelli parametrici di canale radio............... 43 5.5.1 Esercizio.......................... 44 6 Sistemi numerici in banda base 46 6.1 Filtro adattato.......................... 47 6.1.1 Rumore colorato..................... 47 6.1.2 Rumore bianco...................... 48 6.2 Interferenza inter-simbolica................... 50 6.2.1 Forme d'onda di Nyquist................. 51 6.2.2 Cenni sull'equalizzazione................. 53 6.3 Dimensionamento......................... 56 6.3.1 Codica antipodale.................... 57 6.3.2 Codica unipolare.................... 58 6.3.3 Esercizio.......................... 59 6.4 Sistemi PAM multilivello..................... 61 6.4.1 Esercizio.......................... 64 6.5 Densità spettrale di potenza di segnali PAM.......... 65 6.6 Codici di linea.......................... 68 6.6.1 Codici Non Ritorno a Zero (NRZ)........... 68 6.6.2 Codici Ritorno a Zero (RZ)............... 70 6.6.3 Codice Manchester.................... 72 7 Modulazioni numeriche 73 7.1 Modulazione di ampiezza: ASK................. 73 7.1.1 On O Keying (OOK).................. 75 7.2 Modulazione di fase: PSK.................... 77 7.2.1 Modulazione di fase binaria: BPSK........... 78 4  7.2.2 Modulazione di fase quaternaria: QPSK........ 81 7.2.3 Modulazione di fase M-aria: M-PSK.......... 81 7.3 Modulazione di ampiezza in quadratura: QAM........ 82 7.3.1 Esercizio.......................... 83 7.4 Modulazione di frequenza (FSK)................ 85 5  Prof. N. Cordeschi 6 Capitolo 1 Sistemi di telecomunicazioni Un sistema di telecomunicazioni elementare è costituito da un Trasmettitore (TX) ed un Ricevitore (RX) interconnessi da un Canale di comunicazione (Fig. 1.1). ˆ TX riceve in ingresso l'informazione m da trasmettere e produce un segnale sT (t) idoneo a convogliare m sul canale. ˆ All'uscita del canale troveremo il segnale sR (t) che, nel caso ideale1 , sarà una versione attenuata e ritardata del segnale trasmesso: sR (t) = K · sT (t − τ ), 0 ≤ K ≤ 1. ˆ Sempre all'uscita del canale troveremo il rumore n(t) che si sovrappo- ne2 al segnale sR (t). ˆ RX elabora sR (t) + n(t) per estrarre una stima m′ dell'informazione m. Il canale è un'astrazione che modella il mezzo trasmissivo sico utilizzato per convogliare i segnali dal trasmettitore al ricevitore. Esistono molteplici mezzi trasmissivi che possiamo classicare in due macro categorie: ˆ a onde convogliate: cavi metallici (es. doppino telefonico e cavo coassiale) e bra ottica. ˆ a onde irradiate: mezzo radio. Il segnale sT (t) va scelto in funzione del mezzo trasmissivo: nella comuni- cazione a mezzo di onde irradiate e nei sistemi in bra ottica il segnale sT (t) è tipicamente un segnale in banda passante. Nel caso di doppino telefonico 1 Il comportamento di un canale reale si avvicina tanto più al caso ideale quanto più piccola è la banda del segnale trasmesso. 2 Nella presente trattazione si supporrà che il rumore sia additivo e gaussiano. Maggiori dettagli sul rumore nei sistemi di telecomunicazioni saranno forniti nel Capitolo 2. 7 o cavo coassiale, il segnale sT (t) può essere anche un segnale in banda base3. Quando sT (t) è un segnale in banda passante è necessario utilizzare un mo- dulatore nel sistema di TX e un demodulatore nel sistema di RX, collocati rispettivamente a monte e a valle del canale. Il compito del modulatore è generare un segnale in banda passante a partire da un segnale in banda base. Il compito del demodulatore è generare un segnale in banda base a partire da un segnale in banda passante. E' importante ricordare che la capacità di un canale aetto da rumore gaussiano bianco, misurata in bit al secondo, è pari a C = B ·log2 (1+SN R), dove B è la banda passante del canale e SN R è il rapporto segnale-rumore misurato all'uscita del canale e denito come rapporto tra la potenza del segnale e la potenza del rumore. Per accrescere C è necessario utilizzare valori di B e SN R via via cre- scenti. Tuttavia, aumentare B può innescare i comportamenti non ideali del canale. Figura 1.1: Sistema di telecomunicazioni elementare. 3 Un segnale si denisce in banda base quando il suo spettro monolatero occupa un intervallo di frequenze del tipo [0, B]. Un segnale si denisce in banda passante quando il suo spettro monolatero occupa un intervallo di frequenze del tipo [f0 − B, f0 + B]: in tal caso f0 si denisce frequenza di centro banda. Nel caso di segnali in banda passante, il canale si comporta in modo ideale quando la banda relativa 2·Bf0 1 la potenza del segnale in ingresso. Vogliamo calcolare la temperatura equi- valente di rumore Te ed il fattore di rumore F della linea. Ipotizziamo che all'ingresso della linea sia presente una rete passiva a temperatura T0. Com- plessivamente la rete passiva e la linea di comunicazione formano un'unica 11  Figura 2.3: Sistema con tre stadi in cascata. rete passiva a temperatura T0 , quindi all'uscita della linea la densità spettrale di potenza disponibile di rumore sarà pari a: SNo = k · T0 (2.5) Possiamo calcolare SNo in modo alternativo considerando la densità spet- trale di potenza disponibile di rumore all'ingresso e la temperatura equiva- lente di rumore della linea: k · T0 k · Te SNo = + (2.6) α α Eguagliando (2.5) e (2.6) si ottiene: Te = (α − 1) · T0 (2.7) e quindi: Te F =1+ =α (2.8) T0 2.5 Esercizi 2.5.1 Esercizio 1 Si consideri un sistema costituito dall'interconnessione di un'antenna ed un ricevitore. In assenza di segnale, l'antenna si comporta come un generatore di rumore termico con Tg = 100 K. La temperatura equivalente di rumore del ricevitore sia Ta = 150 K. Calcolare la temperatura equivalente di rumore del sistema quando il collegamento tra antenna e ricevitore è realizzato con una linea che attenua di 1 dB o 2 dB. Risoluzione: In assenza di perdite, la temperatura equivalente di rumore del sistema è pari a Ts = Tg + Ta = 250 K. 12 Se ipotizziamo 1 dB di perdite, l'attenuazione α introdotta dal collega- mento tra antenna e ricevitore si può ricavare dalla seguente eguaglianza 10 log10 α = 1, ottenendo α = 100.1 ≈ 1.26. Sulla base di (2.7), la tem- peratura equivalente di rumore della linea che connette antenna a ricevi- tore si calcola come Tl = (α − 1)T0. Per calcolare la temperatura equi- valente di rumore del sistema ci basiamo sull'equazione (2.3), ottenendo Ts = Tg + Tl + α · Ta ≈ 364 K. Se ipotizziamo 2 dB di perdite, l'attenuazione α introdotta dal collega- mento tra antenna e ricevitore si può ricavare dalla seguente eguaglianza 10 log10 α = 2, ottenendo α = 100.2 ≈ 1.58. Sulla base di (2.7), la tem- peratura equivalente di rumore della linea che connette antenna a ricevi- tore si calcola come Tl = (α − 1)T0. Per calcolare la temperatura equi- valente di rumore del sistema ci basiamo sull'equazione (2.3), ottenendo Ts = Tg + Tl + α · Ta ≈ 505 K. 2.5.2 Esercizio 2 Si consideri un sistema composto da un'antenna, un cavo di discesa che at- tenua di 3 dB ed un ricevitore TV con un fattore di rumore F = 10 dB. Si calcoli il fattore di rumore del sistema e si proponga una soluzione per ridurlo a 6 dB. Per calcolare il fattore di rumore del sistema Fs utilizzeremo l'equazione (2.4), ottenendo Fs = α + α(F − 1) = 2 + 2(10 − 1) = 20, in decibel Fs = 13 dB. Per ridurre il fattore di rumore del sistema introduciamo un amplicatore con guadagno A e fattore di rumore FA tra l'antenna e il cavo di disce- sa (Fig. 2.4). In questo modo il fattore di rumore del sistema diventa: A + α A = FA + A. Imponendo FA + A ≤ 4 otteniamo una F −1 Fs = FA + α−1 19 19 disequazione che ci può guidare nella scelta dell'amplicatore più idoneo. Sarà preferibile scegliere un amplicatore con basso guadagno per ridurre le distorsioni. Figura 2.4: Esercizio 2: schema del sistema. 13 Capitolo 3 Sistemi analogici in banda base 3.1 Calcolo del rapporto segnale rumore Lo schema di principio di un sistema di telecomunicazioni analogico in banda base è mostrato in Figura 3.1. L'obiettivo è quello di trasportare il segnale s(t), con banda monolatera B , sino alla sezione u mantenendo inalterata la forma d'onda. Il segnale s(t) è trasmesso con potenza pT sul canale, il quale introduce un'attenuazione pari ad α. La potenza del segnale in uscita dal canale (sezione o) è pari a pR = pT /α. All'uscita del canale, nel punto il cui è minima la potenza del segnale, si somma il contributo del rumore caratterizzato da una densità spettrale di potenza monolatera hn = kT0 , dove T0 è la temperatura di lavoro del sistema. La potenza di rumore in ingresso al ricevitore1 (sezione o) è pari a PN = kT0 B. Il rapporto segnale rumore alla sezione o sarà pari a: pT /α SN Ro = (3.1) kT0 B alla sezione u avremo invece: pT /α SN Ru = (3.2) F kT0 B dove F è il fattore di rumore del ricevitore. Quando dal canale emerge un rumore colorato (cioè con densità spettrale di potenza hn (f ) non costante in frequenza), la potenza di rumore in ingresso al ricevitore nella banda di lavoro è pari a PN = 0B hn (f )df. Di conseguenza, R il rapporto segnale rumore all'ingresso del ricevitore è pari a: pT /α SN Ro = R B (3.3) 0 hn (f )df 1 In questa trattazione semplicata si ipotizza che il ricevitore si comporti come un ltro passa-basso ideale con banda monolatera B. 14 mentre il rapporto segnale rumore all'uscita del ricevitore è pari a: pT /α SN Ru = R B. (3.4) 0 hn (f )df + (F − 1)kT0 B Si noti che il segnale ricevuto ŝ(t) è diverso dal segnale trasmesso s(t) a causa del rumore. La specica di progetto vincola il valore minimo di SN Ru e quindi il massimo scostamento tra segnale trasmesso e ricevuto ammissibile. Noto minimo valore di SN Ru ammissibile, è semplice ricavare il minimo livello di potenza in trasmissione pT che soddisfa le speciche di progetto utilizzando l'equazione (3.4) oppure l'equazione (3.2). Figura 3.1: Sistema analogico in banda base. Si noti che SN Ro > SN Ru : il rapporto segnale rumore all'ingresso del ricevitore non potrà che peggiorare a causa dell'ulteriore contributo al rumore apportato dal ricevitore. 3.2 Eetto pelle nei cavi metallici I cavi metallici sono caratterizzati da un'attenuazione (in dB) per unità di lunghezza monotonicamente crescente con la frequenza. Denita αT l'attenuazione totale (in dB) introdotta da un mezzo tra- smissivo in banda base di lunghezza L, vale la seguente relazione: αT = αs · L [dB] (3.5) dove αs è l'attenuazione specica che dipende dalla frequenza: s f αs (f ) ≈ αrif · [dB/km] (3.6) frif dove αrif è l'attenuazione specica a frequenza frif. Ad esempio un dop- pino telefonico può presentare un'attenuazione specica di 6 dB/km alla frequenza di 100 kHz, in tal caso αrif = 6 dB/km e frif = 100 kHz. L'equazione (3.6) modella l'eetto pelle nei conduttori metallici: al cre- scere della frequenza la sezione del conduttore attraversata dalle cariche elet- triche in movimento si riduce determinando un innalzamento della perdite ohmiche. 15 3.3 Equalizzazione e pre-enfasi Sulla base dell'equazione (3.6) deduciamo che l'eetto pelle altera lo spettro del segnale in ingresso al canale s(t). Per evitare questo eetto indesiderato si possono amplicare, prima della trasmissione, le componenti in frequenza di s(t) che saranno attenuate dal canale (pre-enfasi ) oppure applicare un ltro di equalizzazione in ricezione che neutralizzi l'eetto passa-basso del canale. Se il ltro di equalizzazione è passivo, la funzione di trasferimento del sistema ottenuto dalla cascata di canale e ltro equalizzatore sarà co- stante (nella banda del segnale) e pari al guadagno (≤ 1) del canale che si ottiene in corrispondenza della frequenza B. Inoltre, sempre nel caso di equalizzazione passiva2 , il rumore in uscita dall'equalizzatore avrà densità spettrale di potenza kT0 perché canale ed equalizzatore formano un'unica rete passiva a temperatura T0. 3.4 Sistemi multi-tratta analogici Nei sistemi reali, la massima potenza erogabile in trasmissione pT è limita- ta superiormente e quindi, se l'attenuazione introdotta dal canale è elevata, l'unico modo per garantire un SN Ru sucientemente grande è quello di suddividere il sistema in molteplici tratte. In questo modo, il segnale viene amplicato all'uscita del canale in ciascuna tratta per compensare l'attenua- zione del canale. Questa soluzione presenta lo svantaggio di amplicare il rumore. Infatti i contributi al rumore raccolti via via sulle varie tratte si sommano all'uscita dell'ultima tratta (Fig. 3.2). Figura 3.2: Sistema analogico multi-tratta con m=3 tratte uguali. Ipotizzando che α(f )A(f ) = 1 nella banda del segnale, il rapporto segnale- rumore in uscita dal sistema (con m tratte uguali) è pari a: 2 Nel prosieguo, per semplicare la trattazione matematica, si ipotizzerà sempre la presenza di un equalizzatore passivo all'uscita del canale, ad eccezione dei casi in cui siano esplicitamente adottate soluzioni dierenti. 16  pT SN Ru = RB. (3.7) m 0 hn (f )A(f )df Nel caso generale, si ottiene: RB hs (f )[α(f )A(f )]m df SN Ru = 0 RB. (3.8) m 0 hn (f )A(f )df dove hs è la densità spettrale di potenza monolatera del segnale. 3.5 Esercizio In un sistema multi-tratta con tratte tutte uguali, bisogna garantire SN Ru|dB ≥ 50 dB, denito come rapporto tra potenza picco-picco del segnale e potenza media del rumore. La banda monolatera del segnale è B = 5 MHz. Il cavo, equalizzato passivamente, ha attenuazione αrif = 2 dB/km alla frequenza frif = 1 MHz e lunghezza l = 100 km. Il fattore di rumore del ricevitore sia F|dB = 10 dB. La potenza massima in trasmissione sia pT = 100 mW. Si determini il numero di tratte. Risolveremo l'esercizio rifacendoci allo schema in Fig. 3.2. Il cavo è equalizzato passivamente e quindi hn = kT0 ingloba i contributi al rumore generati dalla cascata di cavo ed equalizzatore passivo. Sia A il guadagno del ricevitore. Ipotizziamo che il numero di tratte sia pari a m = 1. La potenza media equivalente di rumore in ingresso al ricevitore è: PN = F kT0 B , in decibel: PN|dBm = 10log10 F + 10log10 (kT0 ) + 10log10 B = 10 − 174 + 67 = −97dBm. A·p p Il rapporto segnale rumore è pari a SN Ru|dB = A·PRNpp = PRNpp , dove pRpp è la potenza picco-picco del segnale all'ingresso del ricevitore. In decibel si ottiene: SN Ru|dB = pRpp|dBm − PN|dBm. Dovendo essere SN Ru|dB = pRpp|dB − PN|dBm ≥ 50 dB risulta: m pRpp|dB ≥ 50 − 97 = −47 dBm. m Per calcolare la potenza necessaria in trasmissione pT è necessario valu- tare l'attenuazione del canale. Poiché il cavo è equalizzato passivamente, è necessario calcolare l'attenuazione alla massima frequenza B del segnale: s B √ α(B) = αrif = 2 5 = 4.5 dB/km. frif L'attenuazione totale risulta essere: αtot|dB = l · α(B) = 450 dB. 17 Di conseguenza la potenza in trasmissione dovrà soddisfare il seguente vin- colo: pT|dBm ≥ −47 + 450 = 403 dBm. La potenza in trasmissione è tuttavia soggetta al vincolo: pT ≤ 100 mW che in decibel diventa pT|dBm ≤ 20 dBm. Quindi, se si adotta una sola tratta (cioè m = 1), la massima potenza erogabile in trasmissione non è suciente a compensare l'attenuazione del canale ed il rumore poiché 403 dBm >> 20 dBm. Proviamo a risolvere il problema con due tratte uguali (cioè m = 2). In questo caso, l'attenuazione sulla singola tratta sarà pari a αtot|dB = 225 dB. 2 Inoltre (Fig. 3.2) la potenza di rumore raddoppia (cioè aumenta di 3 dBm ): di conseguenza la potenza picco-picco del segnale in ingresso al ricevitore della seconda tratta dovrà soddisfare il seguente vincolo Prpp|dB ≥ 50 − 97 + 3 = −44 dBm. m Il vincolo sulla potenza trasmessa per singola tratta diventa pT|dBm ≥ −44 + 225 = 181 dBm. Anche in questo caso il requisito sulla potenza in trasmissione richiesta per compensare attenuazione e rumore è ben al di sopra del vincolo sulla massima potenza erogabile in trasmissione. La disequazione di dimensionamento per un generico numero di tratte m tutte uguali è: αtot|dB SN Ru|dBm = pT|dBm − − (F kT0 B)|dBm − m|dB ≥ 50 m Nel caso specico si ottiene: 450 50 + m|dB ≤ 20 − + 97 m da cui è possibile calcolare il minimo numero di tratte m = 8 necessarie a soddisfare contestualmente i vincoli sul rapporto segnale rumore e sulla massima potenza disponibile in trasmissione. 18 Capitolo 4 Modulazioni analogiche Introduzione notazionale al capitolo e raccordo con altre dispense Benché questo capitolo sia indipendente, si consiglia di farne precedere la lettura da quella della dispensa Rappresentazione Segnali Modulati.pdf , che tratta nel dettaglio la rappresentazione dei segnali in banda passante, in linea con quanto fatto a lezione (in particolare, segnale analitico e trasfor- mata di Hilbert). Si consiglia inoltre in particolare per questo capitolo di tenere presenti gli appunti Modulazione analogica -Lezioni (Lavagna).pdf che trattano il materiale contenuto nella dispensa Rappresentazione Segnali Mo- dulati.pdf e in questo Capitolo 4, ma introducono gli argomenti in ordine leggermente diverso. Nello specico, nel le Modulazione analogica -Lezioni (Lavagna).pdf si sono inglobati i vari casi di modulazione analogica (am- piezza, portanti in quadratura, angolari) all'interno di un'unica trattazione, mentre rumore e rapporto segnale-rumore vengono presentati in blocco a val- le dei demodulatori. Gli stessi argomenti si trovano anche in questo Capitolo 4. La dierenza notazionale principale fra questo Capitolo 4 e il modo in cui gli argomenti sono stati presentati in classe (Modulazione analogica - Lezioni (Lavagna).pdf ) fa riferimento al Demodulatore IQ di Fig. 4.3 di questo capitolo. A lezione e nel relativo le Modulazione analogica -Lezioni (Lavagna).pdf si è scelto di presentare il segnale sR (t) come sR (t) = xc (t) cos(2πf0 t) − xs (t) sin(2πf0 t) ovvero sempre esplicitamente in funzione delle componenti analogiche di bas- sa frequenza xc (t) e xs (t) del segnale sR (t), dove il pedice ′ c′ di xc (t) serve a ricordare che la componente xc (t) è moltiplicata per il coseno, mentre ′ s′ di xs (t) a ricordare che quest'ultima è moltiplicata per un seno. Il coseno è anche denito segnale in fase (I), mentre il seno segnale in quadratura (Q) (cioè, ortogonale rispetto al coseno). Le componenti analogiche di bassa 19 frequenza si trovano quindi anche indicate come xI (t) ≡ xc (t) xQ (t) ≡ xs (t). E' anche possibile naturalmente continuare a utilizzare la ′ s′ di segnale anche per le componenti analogiche di bassa frequenza, scrivendo sR (t) = sI (t) cos(2πf0 t) − sQ (t) sin(2πf0 t). Si noti a titolo di ulteriore esempio come nella formula (4.1) all'inizio del- la sezione successiva di questo capitolo vengono denotate invece come x(t) (componente in fase) e y(t) (componente in quadratura). La scelta può cambiare di volta in volta in base al contesto, anche per esigenze di non sovrapposizione con eventuali altre grandezze dai nomi simili. Qualora il segnale ricevuto si esprima invece con un segno positivo di raccordo fra seno e coseno, cioé sR (t) = s1 (t) cos(2πf0 t) + s2 (t) sin(2πf0 t), come ad esempio in Fig. 4.3 di questo capitolo (Demodulatore IQ), si ri- cava immediatamente che per le componenti analogiche di bassa frequenza abbiamo xc (t) = s1 (t) xs (t) = −s2 (t). Come è ovvio, sono tutte notazioni intuitive ed equivalenti. Si noti inoltre come nel ramo in quadratura del demodulatore IQ di Mo- dulazione analogica -Lezioni (Lavagna).pdf si moltiplichi per −2 sin(2πf0 t) (anziché 2 sin(2πf0 t), vedi Fig. 4.3). Il vantaggio notazionale di utilizzare il segno meno sia per il segnale ricevuto (relativamente alla componente in quadratura) che nel seno prodotto dall'oscillatore locale in ricezione (ramo Q del demodulatore) è duplice: 1. si esprimono così i segnali in banda traslata sempre in funzione delle componenti analogiche di bassa frequenza (più comodo); 2. i segni in uscita dai LPF del modulatore IQ in Modulazione analogica -Lezioni (Lavagna).pdf, a dierenza di Fig. 4.3, sono tutti positivi (più comodo) ovvero si ha xI (t) + nI (t), ramo superiore (I); xQ (t) + nQ (t), ramo inferiore (Q) da cui è immediato constatare che le componenti analogiche di bassa fre- quenza del segnale e del rumore si sommano rispettivamente in uscita. 20  Si noti inne come anche la Fig. 5.6.4 della dispensa Rappresentazione Segnali Modulati.pdf sia equivalente allo schema del demodulatore IQ pro- posto. L'unica dierenza è il fattore moltiplicativo correttivo 2, considerato in Fig. 5.6.4 parte dei ltri passa-basso, anziché esplicitamente presente nei seni e coseni prodotti dall'oscillatore in ricezione, come preferito invece in classe e in questo capitolo. Le trattazioni sono, lo si ripeterà ancora una volta per eccesso di zelo, totalmente equivalenti, e le formule si mappano le une nelle altre, a patto di considerate i dovuti cambi di segno come indicato. Come ultima indicazione notazionale, l'inviluppo complesso, in questo ca- pitolo indicato come se(t), è anche indicato come s(t) in Modulazione analogi- ca -Lezioni (Lavagna).pdf (o in altri possibili testi di riferimento), a ricordare appunto che trattasi di un segnale vettore. Si ha dunque s(t) ≜ xc (t) + jxs (t). dove con il simbolo ≜ si denota in genere l'operatore di denizione. E' sempre possibile utilizzare le notazioni che risultino più congeniali, a patto di essere coerenti :) Buona lettura di capitolo. 4.1 Componenti in fase e in quadratura 4.1.1 Segnali deterministici in banda passante In presenza di un canale passa-banda è necessario modulare il segnale s(t) generato dalla sorgente prima di operare la trasmissione. Il segnale trasmesso sT (t) è di tipo passa-banda ed il suo spettro monolatero si estende dalla frequenza f0 − B alla frequenza f0 + B : possiamo quindi esprimere sT (t) in funzione delle sue componenti in fase e in quadratura: sT (t) = x(t) cos(2πf0 t) − y(t)sin(2πf0 t) (4.1) dove x(t) e y(t) sono denite rispettivamente componenti in fase e quadratura di sT (t). x(t) e y(t) sono segnali in banda base con banda monolatera B. Un modo alternativo per esprimere sT (t) è il seguente1 : sT (t) = A(t) cos(2πf0 t + ϕ(t)), A(t) ≥ 0 (4.2) A(t) si denisce inviluppo del segnale sT (t). Le due rappresentazioni (4.1) e (4.2) sono equivalenti. Infatti: A(t) cos(2πf0 t + ϕ(t)) = A(t) cos(2πf0 t) cos(ϕ(t)) − A(t) sin(2πf0 t) sin(ϕ(t)). (4.3) 1 Si richiama a tal proposito la formula di Eulero ejα = cos α + j sin α. 21  Da cui si possono facilmente ricavare le seguenti relazioni: ( x(t) = A(t) cos(ϕ(t)) (4.4) y(t) = A(t) sin(ϕ(t)) dalle quali risulta: ( A2 (t) = x2 (t) + y 2 (t) y(t) (4.5) tan ϕ(t) = x(t) Inoltre l'equazione (4.2) si può anche esprimere come: sT (t) = Re{A(t)ejϕ(t) ej2πf0 t } = Re{s̃T (t)ej2πf0 t } (4.6) dove il termine s̃T (t) = A(t)ejϕ(t) = A(t) cos(ϕ(t)) + jA(t) sin(ϕ(t)) = x(t) + jy(t) prende il nome di segnale equivalente in banda base (o inviluppo complesso) di sT (t). Si può facilmente dimostrare che valgono le seguenti relazioni: (4.7) p A(t) = |s̃T (t)| = x2 (t) + y 2 (t) y(t) ϕ(t) = ∠s̃T (t) = tan−1 (4.8) x(t) 4.1.2 Rumore in banda passante Il rumore che emerge da un canale passa-banda è tipicamente un processo gaussiano bianco a media nulla. Immediatamente a valle del canale possiamo ipotizzare che sia presente un ltro passa-banda, centrato sulla frequenza f0 e con banda monolatera 2B , per eliminare tutte le componenti del rumore che non si sovrappongono al segnale. Pertanto all'ingresso del ricevitore troveremo un rumore n(t) passa-banda gaussiano a media nulla (e stazionario in senso lato). Anche in questo caso possiamo rappresentare n(t) in funzione delle sue componenti in fase nI (t) e in quadratura nQ (t): n(t) = nI (t)cos(2πf0 t) − nQ (t)sin(2πf0 t) (4.9) E' possibile dimostrare che: ˆ nI (t) e nQ (t) sono processi gaussiani a media nulla stazionari in senso lato. ˆ σn2 = σn2 I = σn2 Q. ˆ SnI (f ) = SnQ (f ) = Sn (f − f0 ) + Sn (f + f0 ), |f | ≤ B. ˆ SnI (f ) = SnQ (f ) = 0, |f | > B. 22  Nota-Bene: I risultati sul rumore in banda passante riportati in questa Sezione 4.1.2 sono riassuntivi e di sintesi, requisito conoscitivo minimo per il calcolo del rapporto segnale a rumore (SNR) in uscita ai demodulatori considerati nel seguito. Per la trattazione più esaustiva del rumore in banda passante fare riferimento agli appunti in classe ***.*** e alla sezione *** di ***.***. 4.2 Potenza media di un segnale passa-banda Consideriamo un segnale passa-banda sT (t) = A(t)cos(2πf0 t + ϕ(t)) con banda relativa stretta, cioè con banda monolatera 2B > γ otteniamo γ Pf s ≈. (5.13) E[A2 (t)] Deniamo attenuazione supplementare αsupp quel valore di attenuazione 2 (t)] αsupp. Se consideriamo (5.13) otteniamo: tale per cui γ = E[A 1 αsupp ≈. (5.14) Pf s Immaginiamo di aver dimensionato il sistema in assenza di fading perché la potenza di picco del segnale ricevuto sia γ. In presenza di fading, se si vuole garantire una probabilità di fuori servizio pari a Pf s , si dovrà maggiorare la potenza trasmessa di un fattore moltiplicativo αsupp ≈ P1f s. Esistono anche altri modelli di fading che considerano la presenza di un cammino dominante (Rician fading ) o situazioni intermedie tra Rayleigh fading e Rician fading che possono essere descritte dal Nakagami-m fading. Invece, per modellare l'attenuazione causata da grandi ostacoli che si frappongono tra trasmettitore e ricevitore si possono utilizzare modelli di shadowing Log-Normali: denita pR la variabile aleatoria potenza media ricevuta, 10 log10 pR è una variabile aleatoria gaussiana. La modellazione congiunta di fading e shadowing va oltre le prerogative di un corso di base. 5.5 Modelli parametrici di canale radio Una possibile metodologia di dimensionamento dei sistemi di telecomunica- zioni è quella di denire i livelli di potenza trasmessa ignorando fading e shadowing per poi quanticare la maggiorazione da apportare alla potenza trasmessa necessaria a ridurre al di sotto di una soglia pressata la probabi- lità di fuori servizio indotta dai fenomeni di fading e shadowing. In ogni caso è necessario stimare l'attenuazione media introdotta dal canale per poter mettere in relazione la potenza media trasmessa a quella ricevuta. Un pos- sibile approccio al problema è quello dei modelli parametrici che consentono di ricavare la potenza media ricevuta in funzione della potenza trasmessa e di alcuni parametri che caratterizzano il canale. Segue un semplice modello parametrico per ricavare la potenza media ricevuta pR (d) a distanza d dal trasmettitore, nota pR (d0 ):  n d0 pR (d) = pR (d0 ) (5.15) d dove n si denisce path loss exponent ed assume valori da 1.6 a 6 in funzione del tipo di ambiente in cui avviene la comunicazione (Tab. 5.1). 44  Tabella 5.1: Valori tipici del path loss exponent. Ambiente di lavoro n Spazio libero 2 Rete cellulare in ambito urbano 2.7-3.5 Rete cellulare in ambito urbano con shadowing 3-5 Indoor (LOS) 1.6-1.8 Indoor (NLOS) 4-6 Industriale (NLOS) 2-3 Esistono tuttavia modelli più accurati e complessi come Hata Model ed Erceg Model. Inne, nel caso di comunicazione tra trasmettitore outdoor e ricevitore indoor (o viceversa), è necessario considerare l'attenuazione dei muri che varia, anche in funzione del numero di piani tra TX ed RX, da qualche unità a qualche decina di dB. 5.5.1 Esercizio In uno scenario indoor, un trasmettitore Wi-Fi a 2.4 GHz è separato dal ricevitore da una distanza d = 20 m. Alla distanza d1 = 16 m si trova un muro che introduce un'attenuazione di LW|dB = 5 dB. Il path loss exponent nel tratto TX-muro (muro-RX) è pari a n1 = 3 (n2 = 2.8). Si calcoli l'attenuazione complessiva ed il path loss exponent equivalente. Figura 5.1: Scenario Wi-Fi indoor. Per risolvere l'esercizio ipotizziamo che in un intorno sucientemente piccolo di raggio r0 dell'antenna TX la propagazione avvenga in spazio libero. In base al modello (5.15) la potenza ricevuta a distanza d si può esprimere come: n1 n2 λ 2 GR   pT G T r0 1 d1 pR (d) = · · · (5.16) 4πr02 d1 LW d 4π 45  L'attenuazione complessiva è pari a: n1  n2 (4πr0 )2  d1 d L= LW (5.17) λ2 r0 d1 Esprimiamo l'attenuazione in dB (r0 = 1 m): L|dB = 20 log10 (4πf /c) + 10n1 log10 d1 + 10n2 log10 (1 + d2 /d1 ) + 5 = 83.7 dB (5.18) Per calcolare il path loss exponent (neq ) che modella l'intero ambiente, esprimiamo la potenza ricevuta come segue: pT GT  r0 neq λ2 GR pR (d) = · (5.19) 4πr02 d 4π Eguagliando (5.16) e (5.19) si ottiene:  r neq  n1  n2 r0 d1 1 0 = · · (5.20) d d1 d LW da cui si può ricavare (con r0 = 1 m) neq ≈ 3.36. 46 Capitolo 6 Sistemi numerici in banda base In un sistema numerico in cui i bit sono generati con passo costante T , il trasmettitore dovrà generare opportuni segnali per codicare i bit 1 e 0 mentre il ricevitore dovrà stimare il valore dei bit trasmessi a partire dai segnali ricevuti. A causa del rumore, la stima dei bit sarà soggetta ad errori che saranno tanto più probabili quanto più basso sarà il rapporto-segnale- rumore all'ingresso del ricevitore. In generale, in un sistema numerico, si associa al bit 0 la forma d'onda g0 (t) ed al bit 1 la forma d'onda g1 (t). Per semplicare il sistema (senza per questo perdere in ecienza) le forme d'onda g0 (t) e g1 (t), note anche come simboli, possono essere ottenute moltiplicando la medesima forma d'onda g(t) per un coeciente reale: g0 (t) = a0 · g(t) e g1 (t) = a1 · g(t). Questo tipo di approccio prende il nome di Pulse Amplitude Modulation (PAM). La forma d'onda g(t) prende il nome di impulso base della PAM. In Fig. 6.1 è mostrato lo schema di principio di un sistema PAM in banda base: i bit in ingresso sono trasformati in opportuni segnali del tipo ak · g(t), k ∈ {0, 1} dal generatore di forme d'onda per poi essere trasmessi sul canale. Il segnale che emerge dal canale si somma al rumore e viene ltrato per eliminare le componenti di rumore che ricadono al di fuori della banda di interesse. L'uscita del ltro è campionata a passo T ed i valori campionati vengono processati per decodicare i bit. Figura 6.1: Sistema PAM in banda base: schema di principio. I gradi di libertà per progettare il sistema PAM in Fig. 6.1 sono l'impulso base g(t), la risposta all'impulso del ltro di ricezione h(t) ed i coecienti ak , k ∈ {0, 1}. La scelta di g(t), h(t) e dei coecienti ak , k ∈ {0, 1} deve essere operata per perseguire i seguenti obiettivi: 47  ˆ minimizzare la probabilità di errore massimizzando il rapporto segnale- rumore dei valori campionati all'ingresso del decisore; ˆ minimizzare l'interferenza inter-simbolica: le risposte del canale alle forme d'onda trasmesse per rappresentare bit consecutivi possono so- vrapporsi nel tempo, determinando un incremento della probabilità di errore; ˆ rendere l'occupazione di banda del segnale digitale compatibile con la banda passante del canale. 6.1 Filtro adattato Trascuriamo gli eetti dell'interferenza inter-simbolica. Obiettivo del ltro adattato è massimizzare il rapporto segnale rumore dei valori campionati a valle del ltro di ricezione. Ipotizziamo che all'ingresso del ltro di ricezione sia presente il simbolo sI (t) = b · g(t) cui si somma rumore n(t) con densità spettrale di potenza bilatera Pn (f ). L'impulso base g(t) abbia durata Ts. Deniamo il segnale ed il rumore all'uscita del ltro come: sO (t) = sI (t)∗h(t) e nO (t) = n(t) ∗ h(t), rispettivamente. Vogliamo determinare la funzione di trasferimento H(f ) del ltro di ricezione in modo che in un opportuno istante di campionamento t = tM il rapporto s2O (tM ) SN RO = (6.1) E[n2O (tM )] sia massimizzato. Si noti che poiché tM coincide con l'istante di campiona- mento, massimizzare SN RO equivale a minimizzare l'impatto del rumore sul segnale all'ingresso del decisore. 6.1.1 Rumore colorato Per risolvere il problema, esprimiamo sO (tM ) e E[n2O (tM )] in funzione di H(f ): Z +∞ sO (tM ) = H(f )SI (f )ej2πf tM df (6.2) −∞ Z +∞ E[n2O (tM )] = |H(f )|2 Pn (f )df (6.3) −∞ dove SI (f ) è la trasformata di Fourier di sI (t). Partendo da (6.2) e (6.3) si ottiene: R +∞ j2πf tM df |2 | −∞ H(f )SI (f )e SN RO = R +∞ 2 (6.4) −∞ |H(f )| Pn (f )df 48  Richiamiamo la disuguaglianza di Schwarz: Z +∞ 2 Z +∞ Z +∞ A(f )B(f )df ≤ 2 |A(f )| df · |B(f )|2 df (6.5) −∞ −∞ −∞ con A(f ) e B(f ) funzioni complesse della variabile reale f. In (6.5) si ottiene l'uguaglianza solo quando A(f ) = KB ∗ (f ), K ∈ R (6.6) SI (f )ej2πf tM Se deniamo A(f ) = H(f ) Pn (f ) e B(f ) = si ottiene: p √ Pn (f ) 2 |H(f )|2 Pn (f )df · −∞ |SPIn(f(f)|) df R +∞ R +∞ Z +∞ −∞ |SI (f )|2 SN RO ≤ R +∞ = df (6.7) |H(f )|2 P (f )df n −∞ Pn (f ) −∞ Per massimizzare SN RO è necessario imporre l'uguaglianza in (6.7) av- valendosi della proprietà (6.6): KSI∗ (f )e−j2πf tM (6.8) p H(f ) Pn (f ) = p Pn (f ) da cui si ricava: KSI∗ (f )e−j2πf tM H(f ) = ,K∈R (6.9) Pn (f ) 6.1.2 Rumore bianco Se il rumore è bianco: Pn (f ) = 2 , N0 pertanto si ottiene: 2KSI∗ (f )e−j2πf tM H(f ) = ,K∈R (6.10) N0 e quindi la risposta all'impulso del ltro è pari a: 2K h(t) = C · sI (tM − t), C =. (6.11) N0 E' importante calcolare anche il valore di SN RO quando si utilizza il ltro adattato in presenza di rumore additivo bianco. Da (6.7) si ottiene: +∞ |SI (f )|2 Z 2Es SN RO = df = (6.12) −∞ N0 /2 N0 dove Es è l'energia del simbolo sI (t). Si noti che K non ha alcuna inuenza su SN RO e pertanto è una costante arbitraria. L'istante tM può essere scelto in modo da rendere causale h(t). 49  Si noti che, ssata la potenza di picco in trasmissione, la scelta di sa- gomare g(t) come un impulso rettangolare consente di massimizzare Es in (6.12). Questa scelta, tuttavia, va ben ponderata considerando sia l'occupa- zione di banda del segnale PAM sia l'interferenza inter-simbolica che sono strettamente connesse alla scelta di g(t). Maggiori dettagli su questo aspetto saranno forniti nelle Sezioni 6.2 e 6.5. Si noti inne che in un sistema PAM, aetto da rumore bianco, sarà suciente adattare il ltro di ricezione al solo impulso base ltrato dal canale per ottenere l'adattamento a tutti i possibili simboli ricevuti. Infatti, in queste condizioni, i simboli ricevuti dieriranno tra loro per una constante moltiplicativa. Elaborazione tramite correlazione E' possibile pervenire alla stessa uscita prodotta dal ltro adattato in tM correlando l'ingresso r(t) = sI (t) + n(t) con l'impulso base g(t). Infatti, l'uscita del ltro adattato in tM è pari a: Z +∞ u(tM ) = r(tM ) ∗ h(tM ) = r(τ )h(tM − τ )dτ (6.13) −∞ Imponendo h(t) = g(tM − t) e scegliendo tM in modo che h(t) = 0 ∀t ̸∈ [0, Ts ] si ottiene: Z tM Z tM Z +∞ u(tM ) = r(τ )h(tM − τ )dτ = r(τ )g(τ )dτ = r(τ )g(τ )dτ tM −Ts tM −Ts −∞ (6.14) Ripetiamo l'analisi nel generico istante di campionamento tM +jT , j ∈ N: Z +∞ u(tM + jT ) = r(tM + jT ) ∗ h(tM + jT ) = r(τ )h(tM + jT − τ )dτ (6.15) −∞ Z tM +jT u(tM + jT ) = r(τ )h(tM + jT − τ )dτ = (6.16) tM +jT −Ts Z tM +jT Z +∞ = r(τ )g(τ − jT )dτ = r(τ )g(τ − jT )dτ (6.17) tM +jT −Ts −∞ Quindi per estrarre il campione j -mo, il ricevitore deve integrare, tra tM + jT − Ts e tM + jT , il prodotto tra il segnale ricevuto r(t) e l'impulso base traslato g(t − jT ). Se T = Ts si ottiene r(t) = bj g(t−jT )+n(t) ∀t ∈ [tM +(j −1)T, tM +jT ]. Quindi, ricevuto il simbolo j -mo, il ricevitore deve moltiplicarlo per g(t − jT ), integrare il risultato a partire dal precedente istante di campionamento, 50 campionare l'uscita del ltro in tM +jT e ripetere la procedura per il simbolo j+1-mo. Il medesimo risultato si ottiene integrando da −∞ a tM +jT purché si azzeri l'integratore ogni volta che si campiona la sua uscita. Questo tipo di procedura è particolarmente agevole da adottare nei casi in cui +∞ P j=−∞ g(t− jT ) è una forma d'onda costante: ad esempio quando g(t) è un impulso rettangolare di durata T (Fig. 6.2). Figura 6.2: Ricevitore PAM di tipo integra e azzera: schema di principio. 6.2 Interferenza inter-simbolica Sino a questo momento abbiamo trascurato l'interferenza tra simboli adia- centi - Inter-Symbol Interference (ISI). Tuttavia è importante saper mo- dellare e limitare questo importante fenomeno sino a renderlo trascurabile per evitare che le prestazioni del sistema di telecomunicazioni degradino. Supponiamo che il trasmettitore generi il segnale: +∞ (6.18) X sT (t) = bk g(t − kT ) k=−∞ Denita c(t) la risposta all'impulso del canale, il segnale ricevuto sarà: +∞ (6.19) X sR (t) = sT (t) ∗ c(t) = bk [g(t − kT ) ∗ c(t)] k=−∞ Denita h(t) la risposta all'impulso del ltro di ricezione, all'uscita del ltro si otterrà il segnale: +∞ (6.20) X sO (t) = sR (t) ∗ h(t) = bk [g(t − kT ) ∗ c(t) ∗ h(t)] k=−∞ Denito p(t) = g(t) ∗ c(t) ∗ h(t) l'impulso base g(t) ltrato dal canale e dal ltro di ricezione, possiamo esprimere sO (t) come segue: +∞ (6.21) X sO (t) = bk p(t − kT ) k=−∞ 51  Campioniamo sO (t) a passo T negli istanti di picco: +∞ X +∞ X sO (tM +jT ) = bk p[tM +(j−k)T ] = bj ·p(tM )+ bk p[tM + (j − k)T ] k=−∞ k=−∞ k̸=j | {z } ISI (6.22) Il secondo addendo in (6.22) rappresenta l'interferenza inter-simbolica sul simbolo j -mo generata dagli altri simboli nel segnale PAM. 6.2.1 Forme d'onda di Nyquist Analizzando (6.22) scopriamo che l'interferenza inter-simbolica può essere annullata se p(t) è una forma d'onda a zeri equispaziati a distanza T 1. Una possibile forma d'onda che soddisfa questo requisito è il p0 (t) = sinc(2B0 t), B0 = 2T 1. Tuttavia questa forma d'onda non può essere utiliz- zata perché le code del seno cardinale decrescono asintoticamente come 1t e quindi, in presenza di un errore sul passo di campionamento, gli inniti con- tributi all'interferenza inter-simbolica in (6.22) determinerebbero una serie divergente. Una forma d'onda a zeri equidistanti (a distanza T ) che decresce asinto- ticamente come t13 è la seguente: sinc(4B0 t) p1 (t) = (6.23) 1 − 16B02 t2 Lo spettro di questa forma d'onda è un arco di coseno rialzato con banda monolatera T1. La funzione seno cardinale e la forma d'onda in (6.23) rappresentano i due casi limite delle funzioni di Nyquist: sono funzioni con zeri equispaziati a distanza T , banda occupata compresa tra 2T1 e T1 e decadimento asintotico come t13 , ad eccezione del seno cardinale p0 (t) che decresce asintoticamente come 1t. In particolare, le forme d'onda di Nyquist sono caratterizzate dal parametro di roll-o 0 ≤ δ ≤ 1 che determina l'occupazione di banda mono- latera 1+δ 2T. Il caso δ = 0 corrisponde alla forma d'onda p0 (t) mentre il caso δ = 1 corrisponde alla forma d'onda p1 (t). Nel caso generale, le forme d'onda di Nyquist presentano il seguente andamento temporale: cos(2πδB0 t) pδ (t) = sinc(2B0 t) (6.24) 1 − 16δ 2 B02 t2 1 Si noti che una forma d'onda a zeri equi-spaziati a passo T , se campionata con il me- desimo passo, produrrà un solo campione non nullo. Pertanto, a valle del campionamento, essa presenterà uno spettro costante. 52  La trasformata di Fourier di una generica funzione di Nyquist con roll-o δ è pari a uno per frequenze comprese nell'intervallo [0, B0 (1 − δ)] mentre è pari a zero per frequenze nell'intervallo [B0 (1 + δ), 2B0 ]. Per frequenze nell'intervallo [B0 (1 − δ), B0 (1 + δ)] i valori uno e zero sono raccordati da un arco di coseno rialzato (Fig. 6.3). Inoltre è possibile dimostrare che l'energia di una forma d'onda di Nyquist con roll-o pari a δ e valore di picco unitario è: δ Eδ = T (1 − ) (6.25) 4 Figura 6.3: Spettro di pδ (t). Fissata l'uscita del ltro di ricezione pari a pδ (t), con trasformata di Fourier Pδ (f ), è necessario determinare il segnale all'ingresso del ltro di ricezione g(t) ∗ c(t). Se utilizziamo un ltro adattato, si ottiene la seguente eguaglianza: Pδ (f ) = |G(f )|2 |C(f )|2 (6.26) Tra tutte le possibili forme d'onda che soddisfano (6.26) sceglieremo quel- la con il più basso fattore di picco (denito come rapporto tra potenza di picco e potenza media) per limitare le distorsioni in trasmissione. Si noti che, se si ipotizza l'adozione di un ltro adattato, imporre una forma d'onda di Nyquist all'uscita del ltro di ricezione vincola la forma d'onda trasmessa. Fissata la potenza di picco in trasmissione, l'energia Es del simbolo così ottenuto può essere considerevolmente inferiore a quella convogliata da un impulso rettangolare con ripercussioni negative su SN RO in (6.12) e quindi sulla probabilità di errore. 53 6.2.2 Cenni sull'equalizzazione Una strategia molto ecace per minimizzare l'impatto dell'interferenza inter- simbolica consiste nell'adozione di un ltro di equalizzazione da collocare tra il campionatore ed il decisore (Fig. 6.4). L'equalizzazione può essere adottata anche congiuntamente alle forme d'onda di Nyquist per migliorare la reiezione dell'ISI. Figura 6.4: Sistema PAM con equalizzatore. Analizziamone il comportamento in un caso specico. Ipotizziamo che il canale abbia la seguente risposta all'impulso: c(t) = δ(t) + αδ(t − T ), α ∈]0, 1[ (6.27) L'impulso base sia g(t) ed il ltro adattato abbia funzione di trasferimen- to h(t) = Kg(T − t). Il segnale trasmesso sia: +∞ (6.28) X sT (t) = bk g(t − kT ) k=−∞ dove bk codica il bit k-mo e può assumere valori ±1. I bit si assumono indipendenti. Il segnale ricevuto è: +∞ (6.29) X sR (t) = bk g(t − kT ) ∗ c(t) = k=−∞ +∞ X +∞ X = bk g(t − kT ) + α bk g(t − (k + 1)T ) k=−∞ k=−∞ 54  L'uscita del ltro adattato è: sO (t) = sR (t) ∗ h(t) = (6.30) Z +∞ =K sR (τ )g(T − t + τ )dτ = −∞ +∞ X Z +∞ =K bk g(τ − kT )g(T − t + τ )dτ + k=−∞ −∞ +∞ X Z +∞ + Kα bk g(τ − (k + 1)T )g(T − t + τ )dτ = k=−∞ −∞ +∞ X +∞ X =K bk Rg (t − (k + 1)T ) + αK bk Rg (t − (k + 2)T ) k=−∞ k=−∞ dove Rg (τ ) è la funzione di autocorrelazione del segnale ad energia nita g(t). Sappiamo che Rg (0) = Es , dove Es è l'energia di g(t). Inoltre, se la durata di g(t) è pari a T , la funzione di autocorrelazione vericherà la seguente proprietà: Rg (τ ) = 0, |τ | ≥ T. Se campioniamo a passo T il segnale sO (t) in uscita dal ltro adattato si ottiene: +∞ X +∞ X sO (jT ) = sOj = K bk Rg ((j − k − 1)T ) + αK bk Rg ((j − k − 2)T ) = k=−∞ k=−∞ (6.31) = K(bj−1 + αbj−2 )Es Per mitigare l'ISI, ad ogni passo di campionamento, il ltro di equaliz- zazione calcola una somma pesata dei valori campionati di segnale e rumore sOj + nOj all'uscita del ltro adattato. Supponiamo che la somma pesata consideri gli ultimi tre valori campionati, si ottiene: 2 (6.32) X zj = wi (sOj−i + nOj−i ) = i=0 2 2 (6.33) X X = wi [KEs (bj−i−1 + αbj−i−2 )] + wi nOj−i = i=0 i=0 | {z } Nj = w0 KEs (bj−1 + αbj−2 ) + w1 KEs (bj−2 + αbj−3 ) + w2 KEs (bj−3 + αbj−4 ) + Nj = (6.34) = w0 KEs bj−1 + (w0 α + w1 )KEs bj−2 + (w1 α + w2 )KEs bj−3 + w2 αKEs bj−4 + Nj (6.35) 55  Al ne di eliminare il contributo all'ISI generato dai due campioni bj−2 e bj−3 , imponiamo che: w0 KEs = KEs (6.36) w0 α + w1 = 0 w1 α + w2 = 0 Si ottiene: w0 = 1 (6.37) w1 = −α w2 = α 2 Di conseguenza, il segnale all'ingresso del decisore è pari a: zj = KEs bj−1 + α3 KEs bj−4 +Nj (6.38) | {z } ISI residuo Si noti che l'ISI residuo è stato considerevolmente attenuato: una maggio- re attenuazione si può ottenere aumentando l'ordine del ltro equalizzatore. I campioni del rumore nOj a valle del ltro adattato sono variabili aleato- rie indipendenti gaussiane identicamente distribuite. Denita σ 2 la varianza di nOj , la potenza del rumore all'ingresso del decisore è pari a: E[Nj2 ] = (w02 + w12 + w22 )σn2 O = (1 + α2 + α4 )σn2 O (6.39) Il rapporto segnale-rumore all'ingresso del decisore sarà pertanto pari a: (KEs )2 SN Rd = (6.40) (1 + α2 + α4 )σn2 O + (KEs )2 α6 Si noti che in assenza di equalizzatore il rapporto segnale-rumore all'in- gresso del decisore sarebbe stato pari a: (KEs )2 SN Rd = (6.41) σn2 O + (KEs )2 α2 Pertanto questa strategia di equalizzazione potrebbe portare, in linea teo- rica, ad un deterioramento delle prestazioni. Per ovviare a questo problema, i coecienti wj andrebbero scelti in modo da massimizzare SN Rd invece che azzerando i contributi di bj−2 e bj−3 all'ingresso del decisore. 56 6.3 Dimensionamento Consideriamo un sistema PAM in cui il bit 0 sia codicato con la forma d'on- da a0 g(t) ed il bit 1 con la forma d'onda a1 g(t). Se trascuriamo l'interferenza inter-simbolica, a valle del campionatore misureremo il valore v0 +n0 quando viene trasmesso il bit 0 oppure v1 +n1 quando è trasmesso il bit 1, dove n0 ed n1 sono due variabili aleatorie gaussiane a media nulla e deviazione standard σnO identicamente distribuite, che modellano il rumore a valle del ltro di ricezione nell'istante di campionamento, e v0 e v1 corrispondono ai valori che si campionerebbero in assenza di rumore. Ipotizziamo che v1 > v0. Denito sC il generico valore campionato, esso avrà distribuzione gaus- siana con media v0 e deviazione standard σnO quando è trasmesso uno 0 oppure avrà distribuzione gaussiana con media v1 e deviazione standard σnO quando viene trasmesso un 1. Il decisore confronterà il valore sC con una soglia S e decodicherà 0 se sC < S oppure 1 se sC > S. La probabilità di errore si può calcolare come segue: Pe = Pr (errore) = Pr (errore|0T )Pr (0T ) + Pr (errore|1T )Pr (1T ) = (6.42) = Pr (sC > S|0T )Pr (0T ) + Pr (sC < S|1T )Pr (1T ) =     S − v0 v1 − S =Q Pr (0T ) + Q Pr (1T ) σnO σnO Infatti   S − v0 Pr (sC > S|0T ) = Q (6.43) σnO   v1 − S Pr (sC < S|1T ) = Pr (sC > 2v1 − S|1T ) = Q. σnO Figura 6.5: Densità di probabilità condizionata di sC. 57  Se Pr (0T ) = Pr (1T ) = 12 , il valore di soglia S = v1 +v 2 0 minimizza Pe (Fig. 6.5). Notiamo che se i bit sono equiprobabili, e quindi S = v1 +v 2 , si ottiene: 0     S − v0 v1 − v0 Pr (sC > S|0T ) = Q =Q (6.44) σnO 2σnO     v1 − S v1 − v0 Pr (sC < S|1T ) = Q =Q σnO 2σnO   v1 − v0 Pe = Q 2σnO E' evidente che per minimizzare Pe è necessario massimizzare la dierenza (v1 − v0 ) e quindi a1 − a0. Quindi, ssata la potenza di picco in trasmissione, se sono ammesse polarità negative, sarà opportuno impostare a1 = −a0 (codica antipodale) oppure, se non sono ammesse polarità negative, a1 > 0 e a0 = 0 (codica unipolare). 6.3.1 Codica antipodale Nella codica antipodale, a0 = −a1 e quindi v0 = −v1. Quindi da (6.44) si ottiene:   v1 p  Pe = Q =Q SN RO (6.45) σnO Nell'equazione (6.45), SN RO rappresenta il rapporto segnale-rumore al- l'ingresso del decisore, quando è trasmesso il bit 1: tuttavia otterremmo il medesimo risultato se fosse trasmesso un bit 0. Quindi, ssata la massima Pe ammessa, possiamo calcolare il minimo valore richiesto di SN RO a valle del campionatore. Ipotizziamo che il rumore in ingresso al ricevitore sia bianco con densità spettrale bilatera di potenza N20 ed utilizziamo il ltro adattato all'impulso base g(t) per massimizzare SN RO. Da (6.12) si ottiene:   r ! v1 p  2Es Pe = Q =Q SN RO = Q (6.46) σnO N0 In questo caso, l'energia all'ingresso del ricevitore Es non cambia a se- conda del bit trasmesso e pertanto possiamo scrivere: r ! 2Eb Pe = Q (6.47) N0 dove Eb = Es è l'energia media dei simboli ricevuti. Pertanto, ssata la massima Pe ammessa e noto N0 , è possibile calcolare il minimo valore richiesto per l'energia media del simbolo ricevuto Eb e quindi il minimo valore di potenza media ricevuta pR = ETb. 58  E' importante analizzare il risultato che otterremmo utilizzando in rice- zione un generico ltro passa-basso (non adattato) con guadagno unitario e banda passante monolatera B. Se B è sucientemente grande da lasciar passare inalterata la forma d'onda ricevuta, il valore di picco a valle e monte del ltro è lo stesso: ±v1. La potenza di rumore in uscita invece è pari a σn2 O = N0 B. Pertanto la probabilità di errore sarà pari a: s  v12    v1 Pe = Q = Q (6.48) σnO N0 B In questo caso, quindi, noti N0 e B e ssata Pe si può ricavare la mini- ma potenza di picco v12 richiesta all'ingresso del ricevitore e dimensionare il sistema. Si noti che se l'impulso base è rettangolare (con durata T ) allora B ≈ T1 e Eb = v12 T. Otteniamo pertanto: s  r ! v12  Eb Pe = Q  =Q (6.49) N0 B N0 A parità di Pe , quindi, rinunciare al ltro adattato, in questo caso specico, comporta un raddoppio della potenza richiesta in ricezione. Se invece l'impulso base è una forma d'onda di Nyquist con roll-o δ allora B = 1+δ 2T e Eb = v1 T (1 − 4 ). Otteniamo pertanto: 2 δ s  s ! v12  2Eb Pe = Q  =Q (6.50) N0 B N0 (1 + δ)(1 − 4δ ) Quindi a parità di Pe , rinunciare al ltro adattato comporta un incre- mento della potenza richiesta in ricezione di un fattore (1 + δ)(1 − 4δ ). 6.3.2 Codica unipolare Nella codica unipolare, a0 = 0 e a1 > 0 e quindi v0 = 0 e v1 > 0. Da (6.44) si ottiene   v1 Pe = Q (6.51) 2σnO Ipotizzando che sia stato trasmesso un bit pari a 1, che il ltro di ricezione 2 sia adattato per massimizzare il rapporto SN RO = σvn21 e che il rumore in O ingresso al ricevitore sia bianco con densità spettrale bilatera di potenza 2 , N0 da (6.12) si ottiene:    p  r ! v1 1 Es Pe = Q =Q SN RO = Q (6.52) 2σnO 2 2N0 59  In questo caso, notiamo che l'energia media del simbolo ricevuto si calcola come: Eb = E2s poiché il bit 0 viene codicato con un livello di energia nullo. Quindi si ottiene: r ! Eb Pe = Q (6.53) N0 Pertanto, ssata la massima Pe ammessa e noto N0 , è possibile calcolare il minimo valore richiesto per l'energia media del simbolo ricevuto Eb e quindi il minimo valore di potenza media ricevuta pR = ETb. Anche in questo caso, è importante analizzare il risultato che otterrem- mo utilizzando in ricezione un generico ltro passa-basso (non adattato) con guadagno unitario e banda passante monolatera B. Ipotizziamo la trasmis- sione di un bit 1: se B è sucientemente grande da lasciar passare inalterata la forma d'onda ricevuta, il valore di picco v1 a valle e monte del ltro sarà lo stesso. La potenza di rumore in uscita invece è pari a σn2 O = N0 B. Pertanto la probabilità di errore sarà pari a: s  v12   v1 Pe = Q = Q  (6.54) 2σnO 4N0 B In questo caso quindi, noti N0 e B e ssata Pe , si può ricavare la mini- ma potenza di picco v12 richiesta all'ingresso del ricevitore e dimensionare il sistema. Si noti che se l'impulso base è un rettangolare (con durata T ) allora v2 T B ≈ T1 e Eb = 12. Pertanto si ottiene: s  r ! v12  Eb Pe = Q  =Q (6.55) 4N0 B 2N0 A parità di Pe , quindi, rinunciare al ltro adattato, in questo caso specico, comporta un raddoppio della potenza richiesta in ricezione. Se invece l'impulso base è una forma d'onda di Nyquist con roll-o δ allora B = 1+δ 2T e Eb = 2 v1 T (1 − 4 ). Quindi si ottiene: 1 2 δ s  s ! v12  Eb Pe = Q  =Q (6.56) 4N0 B N0 (1 + δ)(1 − 4δ ) Quindi a parità di Pe , rinunciare al ltro adattato comporta un incremento della potenza richiesta in ricezione di un fattore (1 + δ)(1 − 4δ ). 6.3.3 Esercizio Si debbano trasmettere fs = 100 Mbps con Pe ≤ 10−7 su L = 100 km di cavo che attenua αrif = 1 dB/km alla frequenza frif = 1 MHz, equaliz- zato passivamente. Il fattore di rumore delle apparecchiature riceventi sia 60 F|dB = 10 dB. La potenza media pT disponibile in trasmissione sia 100 mW (pT|dBm ≤ 20 dBm ). Dimensionare il sistema. Deniamo γ = v2σ1 −v n 0 e γ|dB = 10 log10 γ 2. Notiamo che il tempo che O intercorre tra due bit consecutivi è pari a T = f1s. Dall'equazione (6.44) Pe ≤ 10−7 =⇒ γ|dB ≥ 14.5 dB. Per valori di Pe sucientemente piccoli, ridurre Pe di un fattore 10 comporta un incremento di γ 2 pari a +1 dB. Ipotizziamo di utilizzare una codica anti-podale con ltro adattato. Dall'equazione (6.47) si ricava: 2Eb ≥ 14.5 dB ⇐⇒ (6.57) N0 |dB 2pR T ⇐⇒ ≥ 14.5 dB ⇐⇒ N0 |dB 1 ⇐⇒ pR|dBm ≥ 14.5 + 10 log10 (kT0 ) + F|dB + 10 log10 ⇐⇒ 2T ⇐⇒ pR|dBm ≥ 14.5 − 174 + 10 + 10 log10 (50 · 106 ) = −72.5 dBm dove pR è la potenza media del segnale richiesta in ricezione. Se utiliz- ziamo una forma d'onda di Nyquist con roll-o δ = 1 la massima frequenza del segnale trasmesso sarà pari a fmax = 100 MHz. Per calcolare la potenza media necessaria in trasmissione è necessario valutare l'attenuazione introdotta dal canale: s fmax αT|dB = αrif L = 1000 dB (6.58) frif La potenza media richiesta in trasmissione è pari a pT|dBm ≥ pR|dBm + αT|dB = 927.5 dBm. Questo livello di potenza è incompatibile con il vincolo pT|dBm ≤ 20 dBm. Per riuscire a risolvere il problema è possibile adottare un sistema multi- tratta analogico. Ipotizziamo m tratte uguali. Per dimensionare la singola tratta dobbiamo considerare che all'uscita dell'ultima tratta la densità spet- trale di potenza di rumore all'ingresso del ricevitore sarà pari a mF kT0 (si αT veda la Fig. 3.2). L'attenuazione della singola tratta sarà pari a m|dB. Pertanto la disequazione di dimensionamento diventa: αT|dB 1 pT|dBm − − F|dB − 10 log10 m − 10 log10 (kT0 ) − 10 log10 ≥ 14.5 dBs m 2T (6.59) Impostando pT|dBm = 20 dBm e αT|dB = 1000 dB, possiamo ricavare che m = 13 è il più piccolo valore di m per cui (6.59) è soddisfatta. 61  Se si utilizzano m tratte numeriche uguali, invece, il rumore sull'ultima tratta non è inuenzato da ciò che accade sulle altre tratte. E' necessario tuttavia ricavare la probabilità di errore Pes ammessa su ciascuna tratta. A tal ne, si noti che Pe = 1 − (1 − Pes )m ≈ mPes (6.60) Sarà quindi necessario imporre Pes ≤ 10m per dimensionare il sistema. −7 La disequazione di dimensionamento pertanto diventa: αT|dB 1 pT|dBm − − F|dB − 10 log10 (kT0 ) − 10 log10 ≥ 14.5 + log10 m dBm m 2T (6.61) Impostando pT|dBm = 20 dBm e αT|dB = 1000 dB, possiamo ricavare che m = 11 è il più piccolo valore di m per cui (6.61) è soddisfatta. Pertanto i sistemi multi-tratta numerici richiedono un minor numero di tratte rispetto a quelli analogici, a parità di prestazioni. Se avessimo scelto la codica antipodale con impulsi base rettangolari di durata T e ltro di ricezione non adattato avremmo dovuto aggiungere +3 dB al secondo membro di (6.61). Se avessimo scelto la codica antipodale con impulsi base sagomati come forme d'onda di Nyquist con roll-o pari a δ e ltro di ricezione non adattato avremmo dovuto aggiungere +10 log10 [(1 + δ)(1 − 4δ )] dB al secondo membro di (6.61) ed aggiornare il valore di αT|dB considerando che fmax = 1+δ2T. Nel caso di codica unipolare è necessario aggiungere ulteriori +3 dB al secondo membro di (6.61) in tutti i casi considerati. 6.4 Sistemi PAM multilivello In un sistema PAM è possibile associare un numero di bit superiore ad uno a ciascun simbolo. In questo modo diventa possibile incrementare la velocità di trasmissione (bit al secondo) a spese della potenza di picco a parità di banda occupata dal segnale. In alternativa, è possibile risparmiare banda a spese della potenza di picco a parità di velocità di trasmissione. La frequenza di trasmissione dei simboli prende il nome di baudrate : il bitrate si ottiene moltiplicando il baudrate per il numero di bit associati a ciascun simbolo. In particolare, con M = 2q simboli potremo associare q bit a ciascun simbolo. Deniamo ak g(t), k ∈ {0, 1...M − 1} il simbolo associato al livello k-mo ak. Quando è trasmesso il simbolo k -mo, il campionatore a valle del ltro di ricezione restituirà il valore sC = vk + nO. Dove vk è il valore campionato in assenza di rumore ed nO è rumore gaussiano con varianza σn2 O. Essendo il sistema lineare, la relazione tra i valori ak e vk è vvkj = aakj ∀k, j ∈ {0, 1...M −1}. Supponiamo che i simboli siano equiprobabili: questa condizione si ottie- ne con tecniche di scrambling che calcolano lo XOR tra la sequenza dei bit 62 prodotta dalla sorgente ed una sequenza pseudo-casuale nota a trasmettitore e ricevitore. Supponiamo altresì che i valori ak (e quindi vk ) siano equispaziati: questa ipotesi deriva dal fatto che i simboli sono equiprobabili e che la statistica del rumore che si sovrappone a vk non cambia con k e quindi non ci sarebbe un motivo per disporre in modo alternativo i valori ak. Deniamo ∆ la distanza tra i valori vk consecutivi. Inoltre supponiamo che i valori ak siano disposti simmetricamente rispet- to all'origine per ridurre la potenza di picco in trasmissione. Il decisore utilizzerà M − 1 soglie per discriminare gli M possibili valori di vk : le soglie Sk , k ∈ {0, 1...M − 2} saranno collocate nei punti medi tra i valori vk consecutivi: Sk = vk +v2 k+1 (Fig. 6.6). Figura 6.6: Sistema PAM con M = 4 livelli. Per calcolare la probabilità di errore è necessario considerare che ciascun livello può essere equivocato con il precedente o con il successivo: è infatti trascurabile la probabilità di equivocare vk con vk±n, n≥2. Quando è trasmesso il simbolo a0 g(t), la probabilità di equivocare v0 con v1 è pari a: s ! ∆2 /4       S0 − v0 v1 − v0 ∆ P∗ = Q =Q =Q =Q (6.62) σnO 2σnO 2σnO σn2 O Notiamo inoltre che dalla simmetria del sistema che stiamo analizzando scaturisce che la probabilità di equivocare vk , k ∈ {0, 1...M − 2} con vk+1 non dipende da k e sarà sempre pari a P∗. Se consideriamo che ciascun valore vk (con l'eccezione di v0 e vM −1 ) può essere equivocato con i due valori vk−1 e vk+1 possiamo calcolare la probabilità di errore sul simbolo come segue: (M − 2)2P∗ + 2P∗ M −1 Pes = = 2P∗ (6.63) M M 63  Se le parole binarie associate a simboli consecutivi dieriscono per un solo bit (codice Gray) possiamo calcolare la probabilità di errore sul bit come segue: Pes M −1 1 Pe = = 2P∗ · (6.64) log2 M M log2 M Supponiamo che il ltro di ricezione sia adattato all'impulso base g(t). Per M = 2, v0 = − ∆2 e v1 = + ∆2. Quindi ∆2 /4 è esattamente la potenza di picco del segnale campionato a valle del ltro adattato. Quindi, considerando (6.12), (6.62) si può riscrivere come: s ! r ! ∆2 /4 2E0 P∗ = Q =Q (6.65) σn2 O N0 dove E0 è l'energia media del simbolo che si ottiene per M = 2 e N0 è la densità spettrale di potenza monolatera di rumore (bianco) all'ingresso del ltro adattato. Si noti che (6.65) è stata ricavata per M = 2 ma resta valida per qualsiasi valore di M. Per un generico valore di M = 2q , q ∈ N+ , l'energia media del simbolo ricevuto è pari a: M/2 2 X 2 M (M 2 − 1) M2 − 1 Es (M ) = (2j − 1)2 E0 = E0 = E0 (6.66) M M 6 3 j=1 L'energia media per bit ricevuto invece è pari a: Es (M ) M2 − 1 Eb (M ) = = E0 (6.67) log2 M 3 log2 M Sostituendo (6.67) in (6.64) si ottiene l'equazione di dimensionamento del sistema: s ! M −1 Eb (M ) 3 log2 M Pe = 2 Q · 2 (6.68) M log2 M N0 /2 M −1 Anche in questo caso è importante analizzare il comportamento del siste- ma quando il ltro di ricezione sia passa-basso ideale con guadagno unitario e banda passante monolatera B. In questo caso si ottiene: s  ∆2 /4 P∗ = Q   (6.69) N0 B Se l'impulso base è un rettangolo di altezza unitaria e durata TM = T · log2 M , B ≈ T1M e E0 = TM ∆2 /4. Quindi si ottiene: s  r ! ∆2 /4 E0 P∗ = Q  =Q (6.70) N0 B N0 64 Di conseguenza sarà necessario raddoppiare la potenza richiesta in ricezione rispetto al caso di ltro di ricezione adattato. Se invece l'impulso base è una forma d'onda di Nyquist con rollo δ , ed E0 = TM ∆4 (1 − 4δ ). Quindi si ottiene: 1+δ 2 B = 2T M s  s ! ∆2 /4 2E0 P∗ = Q  =Q (6.71) N0 B N0 (1 + δ)(1 − 4δ ) Di conseguenza, sarà necessario incrementare la potenza richiesta in ricezione di un fattore (1 + δ)(1 − 4δ ) rispetto al caso di ltro di ricezione adattato. Notiamo inne che, quando M > 2, la dierenza nei livelli di potenza associati agli M simboli rende i problemi di interferenza inter-simbolica più critici rispetto al caso M = 2. 6.4.1 Esercizio Si dimensioni un sistema multilivello che deve trasportare 50 Mbps con Pe ≤ 10−6 su L = 50 km di cavo, equalizzato passivamente, che attenua αrif = 2 dB/km alla frequenza frif = 1 MHz. Il fattore di rumore del ricevitore sia F|dB = 10 dB e la potenza media disponibile in trasmissione sia pari a pT ≤ 100 mW. Ipotizziamo che il ltro di ricezione sia adattato. Per M = 2 il sistema si riduce ad un sistema antipodale. 2E0 2pR T Pe ≤ 10−6 =⇒ = ≥ 13.5 dB =⇒ (6.72) N0 |dB F kT0 |dB =⇒ pR|dBm ≥ 13.5 − 174 + 10 + 10 log10 (25 · 106 ) = −76.5dBm Ipotizziamo di utilizzare un impulso base sagomato come forma d'onda di Nyquist con roll-o unitario e quindi banda monolatera fmax = T1. Calcoliamo l'attenuazione introdotta dal cavo: s fmax √ αT = αrif · L = 2 50 · 50 ≈ 707 dB (6.73) frif Calcoliamo il numero di tratte m numeriche necessarie attraverso la seguente disequazione: αT pT|dBm − ≥ 13.5 + log10 m − 174 + 10 + 10 log10 (25 · 106 ) (6.74) m che risulta soddisfatta per m = 8 quando pT|dBm = 20 dBm. Consideriamo adesso il caso M = 4. Ciascun simbolo veicolerà 2 bit. Pertanto il tempo di trasmissione tra simboli consecutivi raddoppia rispetto 65 al caso M = 2 e quindi, a parità di condizioni, la banda monolatera dell'im- pulso base si dimezza: se l'impulso base è una forma d'onda di Nyquist con roll-o unitario si ottiene fmax = 25M Hz. L'equazione disequazione di dimensionamento (6.68) diventa: s ! M −1 Eb (M ) 3 log2 M Pe = 2 Q · ≤ 10−6 ⇐⇒ (6.75) M log2 M N0 /2 M2 − 1 s ! Eb (M ) 2 4 ⇐⇒ Q · ≤ 10−6 ⇐⇒ N0 /2 5 3   Eb (M ) 2 4 ⇐⇒ · ≥ 13.5 − log10 ⇐⇒ N0 /2 5 |dB 3   pR T 2 4 ⇐⇒ · ≥ 13.5 − log10 ⇐⇒ F kT0 /2 5 |dB 3 2 1 4 ⇐⇒ pR|dBm + 10 log10 − 10 log10 (F kT0 ) − 10 log10 ≥ 13.5 − log10 ⇐⇒ 5 2T 3 1 ⇐⇒ pR|dBm − 3.97 − 10 + 174 − 10 log10 ≥ 13.5 − 0.12 ⇐⇒ 2T ⇐⇒ pR|dBm ≥ −72.65 dBm. Calcoliamo l'attenuazione causata dal cavo: s fmax √ αT = αrif · L = 2 25 · 50 ≈ 500 dB (6.76) frif La disequazione di dimensionamento con m tratte è: 500 1 pT|dBm − − 3.97 − 10 + 174 − 10 log10 ≥ 13.5 − 0.12 + log10 m m 2T (6.77) che risulta soddisfatta per m = 6 quando pT|dBm = 20 dBm. In questo caso, incrementare il numero di livello ha consentito di ridurre l'occupazione di banda e quindi l'attenuazione introdotta dal cavo. Per questo motivo il numero minimo di tratte richieste si è ridotto di due unità rispetto al caso M = 2. 6.5 Densità spettrale di potenza di segnali PAM Il calcolo della densità spettrale di potenza PX (f ) di un segnale PAM X(t) con impulso base g(t) (con autocorrelazione Rg (τ )) ci consente di valutare l'occupazione di banda in un sistema di comunicazione numerico. Faremo riferimento al seguente segnale PAM: 66  +∞ (6.78) X X(t) = bk g(t − kTM ) k=−∞ bk è il valore di ampiezza associato al k -mo simbolo trasmesso ed è una va- riabile aleatoria con valor medio costante µb ed autocorrelazione Rb (k, m) = E[bk bm ] = Rb (k − m) = Rb (m − k). E' noto che X(t) è un processo non stazionario e quindi PX (f ) non può essere derivata dalla funzione di au- tocorrelazione RX (t1 , t2 ) di X(t). Tuttavia notiamo che PX (f ) è denita come valore atteso della densità spettrale di potenza di una realizzazione di X(t). Quindi PX (f ) non cambia se ritardiamo le realizzazioni nel tempo di un ritardo θ. Scegliamo quindi θ in modo opportuno in modo da rendere il processo X(t − θ) stazionario in senso lato. In particolare scegliamo la variabile aleatoria θ uniformemente distribuita tra [0, TM ] ed indipendente da bk. Per dimostrare che X(t − θ) è stazionario in senso lato calcoliamo prima la funzione valor medio e poi la funzione di autocorrelazione. Per la funzione valor medio otteniamo che essa è costante: +∞ +∞ " # X X µX (t) = E bk g(t − kTM − θ) = µb E[g(t − kTM − θ)] = k=−∞ k=−∞ (6.79) +∞ Z TM +∞ Z t−kTM µb X µb X = g(t − kTM − θ)dθ = g(α)dα TM 0 TM t−kTM −TM k=−∞ k=−∞ | {z } α=t−kTM −θ Z +∞ µb = g(α)dα TM −∞ Per la funzione autocorrelazione RX (t1 , t2 ) otteniamo che essa dipende 67 esclusivamente dalla dierenza tra gli istanti t1 e t2 : RX (t1 , t2 ) = E[X(t1 − θ)X(t2 − θ)] = (6.80) " +∞ +∞ # X X =E bk g(t1 − kTM − θ) bm g(t2 − mTM − θ) = k=−∞ m=−∞ +∞ +∞ Z TM X X Rb (k, m) = g(t1 − kTM − θ)g(t1 + τ − mTM − θ)dθ = m=−∞ TM 0 k=−∞ | {z } t2 =t1 +τ +∞ +∞ Z t1 +τ −mTM X X Rb (k, m) = g(α − τ + (m − k)TM )g(α)dα = m=−∞ TM t1 +τ −mTM −TM k=−∞ | {z } α=t1 +τ −mTM −θ +∞ +∞ t1 +τ −mTM Rb (k − m) X X Z = g(α − τ + (m − k)TM )g(α)dα = m=−∞ TM t1 +τ −mTM −TM k=−∞ | {z } α=t1 +τ −mTM −θ +∞ +∞ Z t1 +τ −mTM X X Rb (l) = g(α − τ + lTM )g(α)dα = m=−∞ TM t1 +τ −mTM −TM l=−∞ | {z } l=m−k +∞ Z +∞ X Rb (l) = g(α − τ + lTM )g(α)dα = TM −∞ l=−∞ +∞ 1 X = Rb (l)Rg (τ − lTM ) = RX (τ ). TM l=−∞ Per ricavare la densità spettrale di potenza calcoliamo la trasformata di Fourier di RX (τ ): Z +∞ +∞ X 1 SX (f ) = Rb (l)Rg (τ − lTM )e−j2πf τ dτ = (6.81) TM −∞ l=−∞ +∞ Z +∞ 1 X = Rb (l) Rg (τ − lTM )e−j2πf τ dτ = TM −∞ l=−∞ +∞ 1 X = Rb (l)|G(f )|2 e−j2πf lTM = TM l=−∞ 1 = Sb (f )|G(f )|2 TM | {z } P+∞ Sb (f )= l=−∞ Rb (l)e−j2πf lTM Quindi la densità spettrale di potenza di un segnale PAM è pari al pro- dotto di due termini che dipendono dall'impulso base g(t) e dalla sequenza dei simboli bk. 68 6.6 Codici di linea Sulla base dell'equazione (6.81), la scelta dell'impulso base g(t) e dei valori bk determina la densità spett