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Contents      𝐶 =𝐴∙𝐵      𝐶 = 𝐴+𝐵       𝐶 = 𝐴̅      𝐶 = ̅̅̅̅̅̅ 𝐴∙𝐵      𝐶 = ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴+𝐵       𝐶 = 𝐴 ⊕𝐵       𝐶=𝐴 ⨀ 𝐵       ̅̅̅̅̅ 𝐴̅ 𝐵̅ = 𝐴̅ + 𝐵̅ = 𝐴 + 𝐵  ...

Contents      𝐶 =𝐴∙𝐵      𝐶 = 𝐴+𝐵       𝐶 = 𝐴̅      𝐶 = ̅̅̅̅̅̅ 𝐴∙𝐵      𝐶 = ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴+𝐵       𝐶 = 𝐴 ⊕𝐵       𝐶=𝐴 ⨀ 𝐵       ̅̅̅̅̅ 𝐴̅ 𝐵̅ = 𝐴̅ + 𝐵̅ = 𝐴 + 𝐵       ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴̅ + 𝐵̅ = 𝐴̅𝐵̅ = 𝐴 𝐵  o o o o o o o o o  o o o                                                    𝐸𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 = 0.01 𝑥 0.252 = 0.0025210  𝐸10 = 2−𝑛  2−𝑛 < 0.00252  2𝑛 > 397  𝑛 log 2 = log 397 log 397 𝑛= = 8.63 ≈ 9 log 2     o o  o o o  o o o o  o o o o    o o o o o o o  o o o o o o  o  o o o o o o o -  o o o o o  o                                       ⊕ ⊕ ⊕   ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1  ⊕ ⊕ ⊕   ⊕ ⊕ ⊕                                          𝐴 ∙ 0 = 0 (𝑁𝑢𝑙𝑙 𝐿𝑎𝑤) 𝐴 ∙ 1 = 𝐴 (𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑦 𝐿𝑎𝑤) 𝐴∙𝐴 =𝐴 𝐴 ∙ 𝐴̅ = 0  𝐴 + 0 = 𝐴 (𝑁𝑢𝑙𝑙 𝐿𝑎𝑤) 𝐴 + 1 = 1 (𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑦 𝐿𝑎𝑤) 𝐴+𝐴 =𝐴 𝐴 + 𝐴̅ = 1  𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴 𝐴∙𝐵 =𝐵∙𝐴  (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (𝐴 ∙ 𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵 ∙ 𝐶)  𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶  𝐴 + 𝐵𝐶 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐶)  𝐴 + 𝐴̅𝐵 = 𝐴 + 𝐵 𝐴(𝐴̅ + 𝐵) = 𝐴𝐵  𝐴∙𝐴 =𝐴 𝐴+𝐴 =𝐴  𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝐴 𝐴(𝐴 + 𝐵) = 𝐴 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴̅ 𝐵̅ 𝐶̅   ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 𝐵 𝐶 = 𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅  ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓 = 𝐴[𝐵 + 𝐶̅ (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶̅ ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐴[𝐵 + 𝐶̅ (𝐴𝐵 𝐴𝐶̅ )] = 𝐴[𝐵 + 𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐵̅)(𝐴̅ + 𝐶)] = 𝐴[𝐵 + 𝐶̅ (𝐴̅𝐴̅ + 𝐴̅𝐶 + 𝐵̅𝐴̅ + 𝐵̅𝐶)]  = 𝐴[𝐵 + 𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐴̅𝐶 + 𝐴̅𝐵̅ + 𝐵̅𝐶)] ∙ = 𝐴(𝐵 + 𝐶̅ 𝐴̅ + 𝐶̅ 𝐴̅𝐶 + 𝐶̅ 𝐴̅𝐵̅ + 𝐶̅ 𝐵̅𝐶) = 𝐴(𝐵 + 𝐴̅𝐶̅ + 0 + 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 0) ∙ = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐴̅𝐵̅𝐶̅ = 𝐴𝐵 ∙ 𝑓 = 𝐴 + 𝐵[𝐴𝐶 + (𝐵 + 𝐶̅ )𝐷] = 𝐴 + 𝐵[𝐴𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐶̅ 𝐷] = 𝐴 + 𝐵𝐴𝐶 + 𝐵𝐵𝐷 + 𝐵𝐶̅ 𝐷 = 𝐴 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶̅ 𝐷 ∙ = 𝐴(1 + 𝐵𝐶) + 𝐵𝐷(1 + 𝐶̅ ) = 𝐴 ∙ 1 + 𝐵𝐷 ∙ 1 = 𝐴 + 𝐵𝐷   𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = 𝐴̅𝐵 + 𝐵̅𝐶    𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = (𝐴̅ + 𝐵̅)(𝐵 + 𝐶)      𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = 𝐴̅𝐵 + 𝐵̅𝐶 = 𝐴̅𝐵 (𝐶 + 𝐶̅ ) + (𝐴 + 𝐴̅)𝐵̅ = 𝐴̅𝐵𝐶 + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶 + 𝐴̅𝐵̅𝐶      𝐴̅𝐵̅𝐶̅ 𝐴̅𝐵̅𝐶 𝐴̅𝐵𝐶̅ 𝐴̅𝐵𝐶 𝐴𝐵̅𝐶̅ 𝐴𝐵̅𝐶 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐴𝐵𝐶   𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) =   𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = ∑𝑚(1, 2, 3, 5)     𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = (𝐴̅ + 𝐵̅)(𝐵 + 𝐶) = (𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶𝐶̅ ) (𝐴𝐴̅ + 𝐵 + 𝐶) = (𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶)(𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅ )(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)(𝐴̅ + 𝐵 + 𝐶)      𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = ∙ ∙ ∙  𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = ∏𝑀(0, 4, 6, 7)                  ∑𝑚(0, 2, 8, 10, 13) ∏𝑀(0, 1, 4, 5, 10, 11, 14, 15)          ∑𝑚(2, 7, 15) + 𝑑(3, 8, 11, 12) ∑𝑚(1, 3, 7, 11, 15) + 𝑑(0, 2, 5)      𝑋 = 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ + 𝐴𝐵𝐶 ′ + 𝐴𝐵′ 𝐶 ′ + 𝐴𝐵𝐶  𝑋 𝐶 ∑𝑚(1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15)                                         As minterm 1 is covered by S and T.  ∑𝑚(0, 1, 3, 7, 8, 9, 11, 15)                                        ∑𝑚(0, 2, 3, 5)          ∑𝑚(2, 3, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15)                         I0 O0 I1 O1 I2. O2 M inputs. Encoder.. N outputs. IM-2. ON-2 IM-1 ON-1    ∑𝑚( 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15) ∑𝑚( 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15) ∑𝑚( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)          S = AB’ + BA’ = A ⨁ B  C = AB                       d = AB’ + BA’ = A ⨁ B d = A’B                                  ⊕  ⊕       ⨀ ⨀ ⨀ ⨀     ⨀  ⊙ ⊙  ⊙ ⊙                     ∑𝑚( 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) ∑𝑚( 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) ∑𝑚( 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13) ∑𝑚( 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14)    ⨁ ⨁ ⨁     𝚺 𝚺 𝚺 𝚺                                                                              ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐿𝑂𝐴𝐷  ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐿𝑂𝐴𝐷  ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐿𝑂𝐴𝐷   ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐿𝑂𝐴𝐷                                                    ≤                           ̅ 𝑊  ̅ 𝑊 ̅ 𝑊       ̅ 𝑊    ̅ 𝑊                               = ∑𝑚(1, 3, 4, 6) = ∑𝑚(2, 4, 5, 7) = ∑𝑚(0, 1, 5, 7) = ∑𝑚(1, 2, 3, 4)                                                 ∑𝑚(2, 12, 13) ∑𝑚(7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) ∑𝑚(0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 15) ∑𝑚(1, 2, 8, 12, 13)           ∑𝑚(0, 1, 2, 4) ∑𝑚(0, 5, 6, 7)