Podstawy elektrodynamiki PDF

PODSTAWOWE RÓWNANIA ELEKTRODYNAMIKI Równania Maxwella W próżni: W materii: 1 V E — —p V D = a ćo dB...

PODSTAWOWE RÓWNANIA ELEKTRODYNAMIKI Równania Maxwella W próżni: W materii: 1 V E — —p V D = a ćo dB VxE= VxE= - dt (0 , 0 , i) -► (0 , 1. 1 ) ( 1 , 1 , 1); (c) Linia prosta. (d) Jaka będzie wartość całki krzywoliniowej wzdłuż zamkniętej krzywej, która biegnie od początku układu do ( 1, 1, 1) wzdłuż krzywej (a), a w przeciwnym kierunku wzdłuż krzywej (b)? Zadanie 1.29. Obliczyć całkę powierzchniową z funkcji zdefiniowanej w przykł. 1.7 po denku pudełka. Tak jak poprzednio przyjąć, iż dodatnią orientację wyznacza wektor skierowany „w górę”. Czy całka powierzchniowa zależy jedynie od krzywej określającej brzeg obszaru całkowania? Jaki jest całkowity strumień przez całą powierzchnię pudełka, włącznie z denkiem (jest to powierzchnia zamknięta)? [Uwaga: Dla powierzchni zamkniętej dodatnią orientację wy­ znacza wektor skierowany „na zewnątrz” — na denku odpowiada to wektorowi skierowanemu „w dół”.] Zadanie 1.30. Obliczyć całkę objętościową z funkcji T = z2 po czworościanie o wierzchołkach (0 , 0 , 0 ), ( 1. 0 , 0 ), (0 , 1 , 0 ) i (0 , 0 , 1 ). 48 1. ANALIZA W tK IO RO W A 1.3.2. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego Przypuśćmy, że /( * ) jest funkcją jednej zmiennej. Wówczas podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego głosi, że: b f = f ( b ) - f ( a). (1.54) a Być może nic spotkaliście się z takim sformułowaniem tego twierdzenia, ale z pewnością przypominacie sobie następujący wzór: b J o F( x)dx = f ( b ) — f ( a) , gdzie d f / d x = F(x). Twierdzenie podstawowe mówi nam, jak obliczać całki z funkcji F(x): należy znaleźć funkcję f ( x ) , której pochodna jest równa F. Interpretacja geometryczna: Zgodnie z równaniem (1.33) d f — (d f / dx ) dx jest infinitezymalną zmianą wartości / przy zmianie argumentu z x na x + djc. Podstawowe twierdzenie (1.54) mówi, że gdy podzielimy przedział o końcach a i h (rys. 1.25) na wiele małych odcinków o długości d.v i dodamy przyrosty d f z każdego odcinka, to (zgodnie z oczekiwaniem) wynik równy jest całkowitej zmianie wartości / : f ( h ) —/( a ). Mówiąc inaczej, istnieją dwa sposoby na określenie całkowitej zmiany wartości funkcji: obliczenie różnicy wartości funkcji na końcach przedziału lub obliczanie zmiany małymi krokami, dodając małe przyrosty w miarę przesuwania się wzdłuż krzywej. W obu przypadkach otrzymujemy ten sam wynik. /t o f(b) fUO Rys. 1.25 Zwróćmy uwagę na ogólny schemat twierdzenia podstawowego: pochodna sta t­ kowana po odcinku daje różnicę wartości funkcji na końcach przedziału {granicach). W analizie wektorowej mamy trzy typy pochodnych (gradient, dywergencja i rotacja) i dla każdej z nich istnieje odpowiednie „twierdzenie podstawowe”, którego treść jest bardzo podobna. Nie zamierzam tu dowodzić tych twierdzeń; wyjaśnię raczej, jakie jest ich sens, i spróbuję uzasadnić, dlaczego są prawdziwe. Dowody tych twierdzeń podane są w dodatku A. 1.3. RACHUNEK CAŁKOWY 49 1.3.3. Podstawowe twierdzenie dla gradientów Przypuśćmy, że dana jest skalarna funkcja trzech zmiennych T (jc, >\ z). Rozpoczynamy z punktu a i dokonujemy niewielkiego przesunięcia dl] (rys. 1.26). Zgodnie z równa­ niem (1.37) wartość funkcji T zmieni się o (\T = (V71) dip Następnie dokonujemy kolejnego małego przesunięcia o d^; wartość funkcji T zmieni się o (V7’) dl2. W ten sposób, poruszając się krok za krokiem, przesuwamy się do punktu b. W każdym punkcie obliczamy gradient T i jego iloczyn skalarny z dl; otrzymujemy w ten sposób zmianę wartości funkcji T. Tak więc całkowita zmiana wartości T przy przejściu od a do b wzdłuż wybranej drogi wyraża się wzorem b J ( V T ) dl = T(b) - T{a). (1.55) n V Równanie to nazywa się podstawowym twierdzeniem dla gradientów; podobnie jak „zwykłe” twierdzenie podstawowe, wyraża ono fakt, że całka (w tym przypadku całka krzywoliniowa) z pochodnej (w tym przypadku gradientu) równa jest różnicy wartości funkcji na końcach przedziału całkowania (a i b). Interpretacja geometryczna: Przypuśćmy, że chcemy wyznaczyć wysokość wieży Eiffla. Możemy to zrobić na przykład wspinając się po schodach i mierząc zmianę wy­ sokości przy każdym kroku, a następnie dodając wszystkie pomiary (to odpowiadałoby lewej stronie równania (1.55)); możemy też umieścić wysokościomierze na szczycie oraz u podstawy i odjąć wartości odczytów (to odpowiadałoby prawej stronie); powinniśmy w obu przypadkach otrzymać ten sam wynik (to odpowiada twierdzeniu podstawowemu). Wiemy jednak, choćby z przykładu 1.6 , że całki krzywoliniowe zależą zwykle od wyboru krzywej, wzdłuż której całkujemy od a do b. Jednak do obliczenia prawej strony 50 1. ANALIZA WEKTOROWA równania (1.55) nie musimy znać drogi całkowania, a jedynie jej początek i koniec. Jak więc widać, funkcje wektorowe będące gradientami funkcji skalarnych mają lę szcze­ gólną własność, iż całki krzywoliniowe z takich funkcji nie zależą od drogi całkowania: Wniosek 1: / ab(VT) dl nie zależy od wyboru krzywej łączącej punkty a i b, wzdłuż której obliczana jest całka. Wniosek 2: f ( V T ) dl = 0, ponieważ początek drogi całkowania pokrywa się z końcem, a zatem T(b) - T(a) = 0. Przykład 1.9 Niech T = xy2>a będzie początkiem układu (0,0,0) i b będzie punktem (2, 1,0). Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność podstawowego twierdzenia dla gradientów. Rozwiązanie: Choć całka nie zależy od drogi, musimy wybrać jakąś drogę, aby ją obliczyć. Przypuśćmy, że wybieramy krzywą biegnącą od a wzdłuż osi x (krok i), a następnie do góry (krok ii) (rys. 1.27). Mamy jak zwykle dl = d.v x + dy y + dz ż; VT —y2 x 4- 2xy y. x Rys. 1.27 (i) y = 0 ; dl = djc x, V7 dl = v2 d* = 0 , tak więc J i VT dl = 0. (ii) x = 2; dl = dyy, V7 dl = 2jcydy = 4ydy, tak więc i I VT dl = J 4y dv = 2y2|' = 2. ii 0 Z obliczeń wynika, że całka krzywoliniowa ma wartość 2. Czy ten wynik jest zgodny z twier­ dzeniem podstawowym? Tak: T(b) —T(a) = 2 —0 = 2. Aby namacalnie przekonać się, iż odpowiedź nie zależy od wyboru drogi całkowania, obliczmy całkę krzywoliniową z tej samej funkcji, ale wzdłuż krzywej (iii) (odcinek łączący a z b): 1.3. RACHUNEK CAŁKOWY 51 (iii) y = 5*, dy = - dx, VT dl = y2óx + 2xyćy = \x2&x> tak więc J iii VT dl = 2. Zadanie 1.31. Sprawdzić podstawowe twierdzenie dla gradientów w przypadku funkcji T = x2+4xy + 2yz3, punktów a = (0, 0, 0) oraz b = ( I , l , l ) i trzech dróg całkowania, pokazanych na rys. 1.28: (a) (0 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) -> ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1 ,1): (b) (0 , 0 , 0 ) (0 , 0 , 1) -> (0 , 1. 1)-+ ( 1 , 1 , 1); (c) wycinka praboli z = xz\ y = x. 1.3.4. Podstawowe twierdzenie dla dywergencji Podstawowe twierdzenie dla dywergencji ma następującą postać: MV v)dr = (!) v da. J J V s W stosunku do tego twierdzenia — przypuszczalnie ze względu na jego wagę powszechnie używane są co najmniej trzy nazwy: twierdzenie Gaussa, twierdzenie Greena lub po prostu twierdzenie o dywergencji. Tak jak wszystkie „twierdzenia pod­ stawowe" głosi ono, iż całka z pochodnej (w tym przypadku dywergencji) po obszarze (w tym przypadku objętości) wyraża się przez wartość funkcji na brzegu tego obszaru (w tym przypadku powierzchni ograniczającej obszar całkowania). Należy podkreślić, że człon brzegowy także jest całką, a konkretnie całką powierzchniową. Jest to zgodne z na­ szymi oczekiwaniami: „brzeg” odcinka krzywej to tylko dwa punkty, ale brzeg obszaru przestrzennego to (zamknięta) powierzchnia. 52 1. ANALIZA WEKTOROWA Interpretacja geometryczna: Jeśli v przedstawia rozkład prędkości płynu nieściśli­ wego, to strumień v (prawa strona równania (1.56)) równy jest całkowitej objętości płynu przepływającego przez powierzchnię w jednostce czasu. Dywergencja funkcji wektoro­ wej jest miarą „rozbieżności” wektorów w otoczeniu danego punktu; punkt, w którym dywergencja ma dużą wartość, zachowuje się jak „źródło”, z którego wypływa płyn. Jeśli w obszarze wypełnionym płynem nieściśliwym mamy wiele „źródeł dodatnich”, to odpowiednia objętość płynu musi wydostawać się przez granice obszaru na zewnątrz. Objętość wypływającego płynu można określić na dwa sposoby: (a) zliczając wszystkie „źródła” i dodając ich wydajność lub (b) mierząc i dodając przepływ płynu w każdym punkcie powierzchni ograniczającej obszar. W obu przypadkach otrzymamy ten sam wynik: J (źródła dodatnie i ujemne wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią) (gęstość strumienia przez powierzchnię). Na tym polega istota twierdzenia o dywergencji.*1 Przykład 1.10 Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem tw ierdzenie o dyw ergencji dla funkcji v = y2x 4 - (2*y 4- z2) y + (2yz) z i obszaru całkowania będącego sześcianem o boku równym 1, umieszczonym w sposób przed­ stawiony na rys. 1.29. Rys. 1.29 Rozwiązanie: W tym przypadku V. v = 2(x 4- y) 1 V 0 0 0 1.3. RACHUNEK CAŁKOWY 53 i / (x \ y)dx = ^ I /Q + » )d ,-i. O / i* -.. O Widzimy zatem, że V vdr =2. /' Obliczyliśmy w ten sposób lewą stronę twierdzenia o dywergencji. Aby obliczyć całkę po­ wierzchniową, rozważamy każdą z sześciu ścianek osobno: (i) /vda = /J o o y2dy dz = i i (ii) J V da = - jJ o o y2óydz = i i (iii) /v.da = / o o J (2x + z2) dx dz = ~. I I (iv) /v-da— / J z2dxdz = o o I I (v) /vda = / o o J 2ydx dy = 1. i i (vi) J v da = - o o jJ OdA dy = 0. Tak więc całkowity strumień przez powierzchnię wynosi ^ v - d a = i - i + !*-i + l + 0 = 2, czyli tyle, ile oczekiwaliśmy. Zadanie 1.32. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o dywergencji dla funkcji v = (a v) x + (2yz)y 4- (3zx)i i obszaru całkowania w postaci sześcianu o boku równym 2 , przedstawionego na rys. 1.30. 54 1. ANALIZA WEKTOROWA 1.3.5. Podstawowe twierdzenie dla rotacji Podstawowe twierdzenie dla rotacji, nazywane twierdzeniem Stokesa, ma następującą postać: / (V x v) da = (i v dl. (1.57) J J s V Tak jak w poprzednich przypadkach całka z pochodnej (w tym przypadku z rotacji) po obszarze (w tym przypadku powierzchni) jest równa wartości funkcji na brzegu (w tym przypadku krzywej będącej brzegiem powierzchni). Podobnie jak w przypadku twierdzenia o dywergencji, człon brzegowy też jest całką ściśle biorąc, jest to całka krzywoliniowa po krzywej zamkniętej. Interpretacja geometryczna: Jak pamiętamy, rotacja jest miarą „wirowości" pola wektorowego v; przykładem funkcji wektorowej o wysokiej rotacji jest wir — jeśli umieścimy w nim mały wiatraczek, zacznie się on obracać. Całka z rotacji po jakiejś powierzchni (lub bardziej precyzyjnie strumień rotacji przez tę powierzchnię) odpowiada „całkowitej wirowości”, którą możemy równie dobrze wyznaczyć obiegając powierzch­ nię wzdłuż brzegu i wyliczając, do jakiego stopnia przepływ jest zgodny z brzegiem (rys. 1.31). Ta interpretacja twierdzenia Stokesa jest być może trochę naciągana, ułatwia jednak zapamiętanie twierdzenia. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, iż w twierdzeniu Stokesa istnieje pewna niejednoznaczność: przy obliczaniu całki krzywoliniowej możemy obiegać kontur na dwa sposoby (w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). Jeśli da CD Rys. 1.31 Rys. 1.32 1.3. RACHUNEK CAŁKOWY 55 wybierzemy „zły” zwrot, to wynik całkowania będzie mieć zły znak. Odpowiedz, jest na­ stępująca: wybór kierunku obiegu konturu nie ma znaczenia, jeśli tylko postępujemy w konsystentny sposób, ponieważ niejcdnoznaczość znaku całki krzywoliniowej jest kom­ pensowana przez niejcdnoznaczość znaku w całce powierzchniowej. Jak jest skierowany wektor da? Dla powierzchni zamkniętej jest on skierowany wzdłuż normalnej w kierunku na zewnątrz zamkniętego obszaru (podobnie jak w twierdzeniu o dywergencji); ale dla powierzchni, która nie jest zamknięta, pojęcie „na zewnątrz” nie ma sensu. Dlatego w twierdzeniu Stokesa (podobnie jak we wszystkich problemach tego typu) przyjmuje się regułę prawej ręki: jeśli trzymamy dłoń tak, iż palce skierowane są wzdłuż kierunku całkowania w całce krzywoliniowej, to kciuk wskazuje kierunek i zwrot da (rys. 1.32). Oczywiście istnieje wiele (nawet nieskończenie wiele) powierzchni, które mają ten sam brzeg. Można się o tym naocznie przekonać, robiąc ze spinacza ramkę i zanurzając ją w wodzie z mydłem. Błona bańki mydlanej odpowiada powierzchni, której granicą jest druciana ramka. Jeśli dmuchniemy na bańkę mydlaną, to błona rozciągnie się, ale jej brzeg nie ulegnie zmianie. Wartość całki po powierzchni zależy zwykle w istotny sposób od wyboru powierzchni, po której wykonujemy całkowanie, ale jak widać w przypadku rotacji tak nie jest (w klasie powierzchni o wspólnym brzegu — przyp. tłum.); zgodnie bowiem z twierdzeniem Stokesa całka /( V x v) da jest równa całce krzywoliniowej z v po brzegu powierzchni, który nie zależy od konkretnego wyboru powierzchni. Wniosek 1: /( V x v) da nie zależy od kształtu powierzchni, a jedynie od krzywej będącej jej brzegiem. Wniosek 2: Dla dowolnej powierzchni zamkniętej x v) - da = 0, ponieważ w tym przypadku brzeg powierzchni zostaje zredukowany do punktu i prawa strona równania (1.57) równa się zeru. Wnioski te są podobne do wniosków uzyskanych w przypadku twierdzenia o gra­ dientach. Rozwiniemy tę analogię w dalszej części rozdziału. Przykład 1.11 Załóżmy, że v = (2jcz + 3>,2)y -I- (4vr)ż. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia Stokesa dla powierzchni w kształcie kwadratu przedstawionego na rys. 1.33. 1 y Rys. 1.33 56 1. ANALIZA WEKTOROWA Rozwiązanie: Mamy V x v = (4z2 - 2x) x + 2zz i da = ćyćz x. (Jeśli założymy, że da skierowany jest wzdłuż osi jc, musimy jednocześnie przyjąć, iż kontur całkowania obiegany będzie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Moglibyśmy równie dobrze napisać da = —dydzx, ale wtedy musielibyśmy wybrać obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara.) Ponieważ na tej powierzchni x = 0. więc i i / (V x v) da = o o Jj 4z2dyóz = -. Co jednak można powiedzieć o całce krzywoliniowej? Musimy rozbić ją na cztery całki: i (i) x = 0 , z = 0 , v dl = 3y2 dy, f v dl = / 3y2 dy = 1, 0 (ii) x = 0, y = 1, v dl = 4z2 dz, / v dl = / 4z2dz = 0 0 o (iii) z= K v dl = 3.v2 dy, / v dl = / 3y2 dy = — H II i 0 x = 0, /v dl - f o d z - o. o (iv) y = 0, > II Tak więc ^ v -d l= l + f - l+ 0 = 2. czyli wynik jest zgodny z oczekiwaniem. Mała uwaga o technice całkowania: proszę zwrócić uwagę, w jaki sposób wykonane zostały obliczenia w punkcie (iii). Nasuwa się, aby napisać tu dl = —dy y, ponieważ droga całkowania biegnie w lewo. Oczywiście można tak zrobić, ale całkowanie trzeba przeprowadzić w granicach 0 — ►1. Osobiście wolę jednak zawsze pisać dl = dr x+d y y-ł-dz ż (bez żadnych znaków minus) — kierunek całkowania wynika wtedy z granic całkowania. Zadanie 1.33. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia Stokcsa dla funkcji v _ (xy)x + (2yz)y + (3zx)ż i powierzchni odpowiadającej zacieniowanemu trójkątowi, który przedstawiono na rys. 1.34. Rys. 1.34 Rys. 1.35 1.3. RACHUNEK CAŁKOWY 57 Zadanie 1.34. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność w niosku 1 dla tej samej funkcji i tego sam ego brzegu pow ierzchni, co w przykładzie 1.11, w ykonując jednak całkowanie po pięciu ściankach sześcianu przedstaw ionego na rys. 1.35. Sześcian je st otw arty z tyłu. 1.3.6. Całkowanie przez części W metodzie całkowania noszącej nieco dziwaczną nazwę całkowanie przez części wy­ korzystuje się wzór na pochodną iloczynu funkcji Całkując obie strony równania i wykorzystując twierdzenie podstawowe, otrzymujemy lub (1.5 8 ) Na tym właśnie polega całkowanie przez części. Metoda ta jest przydatna w sytuacji, kiedy musimy scałkować iloczyn jakiejś funkcji ( / ) i pochodnej innej funkcji (g); po­ zwala ona na przeniesienie pochodnej z g na f za cenę pojawienia się znaku minus i członu brzegowego. Przykład 1.12 Obliczyć całkę o J 00 xe~x d.r. Rozwiązanie: Funkcję wykładniczą można zapisać jako pochodną: e" = 4d.v- ( - e ' 1 ; mamy wtedy f ( x) = x, g(x) = -e~x i d f / dx = 1, a więc 00 / o te x (J = 1. 58 1. ANALIZA W tKIOKOW A W analogiczny sposób możemy wykorzystać twierdzenia podstawowe i reguły róż­ niczkowania iloczynu funkcji w analizie wektorowej. Na przykład, całkując V (/A ) = /( V A) + A (V /) po objętości i korzystając z twierdzenia o dywergencji, otrzymujemy J V (/A ) dr = / /( V A)dr + j A (V/)dr = / A da lub / A da. (1.59) Po lewej stronie równania otrzymaliśmy w ten sposób wyrażenie, w którym pod całką znajduje się iloczyn pewnej funkcji ( / ) i pochodnej (w tym przypadku dywergencji) innej funkcji (A); całkowanie przez części pozwala nam na przerzucenie pochodnej z A na / (gdzie staje się ona gradientem) za cenę pojawienia się znaku minus i członu brzegowego (w tym przypadku całki po powierzchni). Ktoś mógłby zapytać, jak często zdarza się natrafić na całkę z iloczynu jakiejś funkcji i pochodnej innej funkcji; okazuje się, że dzieje się tak zaskakująco często i że metoda całkowania przez części jest jednym z najbardziej efektywnych narzędzi analizy wektorowej. Zadanie 1.35 (a) Wykazać, że J / ( V x A) J A ) - da = / [A x ( V / ) ] da + / A dl. i r> ( 1.6 0 ) (b) Wykazać, że j R (V x A)dr = j A x ( V x B ) d r + ^ ( A x B) da. ( 1.6 1 ) 1.4. Współrzędne krzywoliniowe 1.4.1. Współrzędne kuliste Współrzędne kuliste (sferyczne) (r, 9,(j>) punktu P zdefiniowane są na rys. 1.36; r jest odległością od początku układu (długością promienia wodzącego), kąt 0 — nazywany kątem biegunowym (odległością biegunową) — jest kątem, jaki promień wodzący 1.4. WSPÓŁRZĘDNE KRZYWOLINIOWE 59 tworzy 7 osią z, a 0 — nazywany kątem azymutalnym (długością azymutalną) — jest kątem między osią ^ a rzutem promienia wodzącego na płaszczyznę xy. Wzory wiążące współrzędne kuliste ze współrzędnymi kartezjańskimi (jc, y, z) można odczytać z rysunku: x = /* sin 9 cos0, y = /*sin 0 sin 0, z — r cos 6. (1.62) Rys. 1.36 Na rysunku 1.36 pokazano również trzy wektory jednostkowe r. 0, , skierowane wzdłuż osi stałych współrzędnych w kierunku wzrastającej wartości współrzędnej. Two­ rzą one bazę wektorów ortogonalnych (tzn. wzajemnie prostopadłych) (zupełnie jak x, y, z), a dowolny wektor A można rozłożyć w lej bazie na składowe: A = A, r -T Ao 0 4- A$. (1.63) Ary Ao i A^ to odpowiednio radialna, biegunowa i azymutalna współrzędna wektora A. Rozkład na wektory bazy kartezjańskiej ma następującą postać: r = sin 9 cos 0 x 4 - sin 9 sin 0 y 4 - cos 0 z, 0 = cos 0 cos 0 x 4 - cos 6 sin 0 y — sin 6 ż , (1.64) 0 = —sin 0 x 4- cos 0 y, co czytelnik może łatwo sprawdzić sam (zad. 1.37). Dla wygody wzory te umieszczono na wewnętrznej stronie okładki książki. Z tymi wzorami związany jest jednak pewien problem, przed którym muszę czy­ telników ostrzec: f, 0 i związane są z konkretnym punktem P i zmieniajq kierunek, gdy przechodzimy do innego punktu P Na przykład f zawsze jest skierowany zgodnie z promieniem wodzącym, co może jednak oznaczać kierunek wzdłuż osi x 9 osi y lub dowolny inny kierunek, zależnie od tego, który punkt przestrzeni jest rozważany. Na ry­ sunku 1.37 A —y i B = —y, a jednak oba wektory zostałyby zapisane we współrzędnych kulistych jako ?. Można to podkreślić wypisując w jawnej postaci współrzędne punktu, do którego odnoszą się wektory bazy: ?(£, 0 ), 0 (0 , 0 ), (0 , 0 ), ale jest to niewygodne. Jeśli jednak pamięta się o tym problemie, to zastosowana tu notacja nie powinna prowa- 60 1. ANALIZA WEKTOROWA dzić do nieporozumień.5 W szczególności we współrzędnych kulistych niedopuszczalne jest bezpośrednie dodawanie współrzędnych wektorów związanych z różnymi punktami przestrzeni (na rys. 1.37 A 4- B = 0, a nie 2r, natomiast A B = —1, a nie +1). Nie wolno też różniczkować współrzędnych wektorów we współrzędnych kulistych, ponie­ waż jednostkowe wektory bazy również zależą od położenia (na przykład 3 r/3 9 = 0 ). Rys. 1.37 A A Nie wolno wyciągać wektorów r , 0 i (J> spod znaku całki, jak to robiliśmy w przypadku x, y i ż w równaniu ( 1.53). Jeśli nie jesteśmy pewni co do poprawności jakiejś operacji, należy wyrazić zagadnienie we współrzędnych kartezjańskich, gdzie problemy tego typu się nie pojawiają. rsinB C) Rys. 1.38 Infinitczymalnc przesunięcie w kierunku r to po prostu dr (rys. 1.38a), tak jak d x jest infinitezymalnym przesunięciem wzdłuż osi x: d/r = d / \ (1.65) Z drugiej strony, infinitezymalne przesunięcie w kierunku 0 (rys. 1.38b) nie jest równe dtf (to jest tylko przyrost kąta, który wyrażany jest nawet w innych jednostkach niż długość), ale rdO: dl t, = r d 0. (1.6 6 ) 5Na pierwszej stronie napisąłem, że wektory nie są przypisane do konkretnego miejsca, i to pod­ trzymuję. Wektory żyją „gdzieś tam”, niezależnie od tego, jak wybierzemy układ współrzędnych. Ale stosowana przez nas notacja dla tych wektorów we współrzędnych krzywoliniowych zależy od wyboru punktu przestrzeni. 1.4. WSPÓŁRZĘDNE KRZYWOLINIOWE 61 Podobnie intinitezymalne przesunięcie w kierunku (rys. 1.38c) wyraża się wzorem r sin# dó: dl# = r sin 0 d. (1.6 8 ) Wzór ten odgrywa podobną rolę (na przykład w całkach krzywoliniowych) jak wzór dl = d.r x + dy y + dz ż w przypadku współrzędnych kartezjańskich. Infinitezymalny element objętości dr we współrzędnych kulistych jest iloczynem trzech infinitezymalnych przesunięć: dr = dl, dIn dl# = r 2*sin 0 dr dO d(f). (1.69) Nie można podać tu ogólnego wyrażenia na element powierzchni da, ponieważ zależy ono od orientacji powierzchni. Należy po prostu za każdym razem przeanalizować geo metrię danego przypadku (dotyczy to w równej mierze współrzędnych kartezjańskich i krzywoliniowych). Jeśli na przykład całkujemy po sferze, to r jest stałe, a zmieniają się jedynie 0 i r Z drugiej strony, jeśli powierzchnia leży — powiedzmy — w płaszczyźnie xy, w związku z czym kąt 0 jest stały (jest równy tt / 2 ), podczas gdy r i mogą się zmieniać, to da 2 = dlr dl# 0 = r dr d(p 0. Rys. 1.39 Należy też na koniec podkreślić, iż r zmienia się od 0 do oo, (p zmienia się od 0 do 2 it, a 6 od 0 do n (a nie 2 tt, gdyż wtedy każdy punkt byłby liczony dwa razy).6 AMogliby.śmy też. przyjąć, iż 0 zmienia się od 0 do jt („półkula wschodnia”), a „półkulę zachodnią” pokryć przez zwiększenie maksymalnej wartości kąta 0 z n do 2tc. Prowadzi to jednak do niewygod­ nego zapisu, ponieważ między innymi sin 0 może wtedy przybierać wartości ujemne i konieczne byłoby umieszczanie znaku wartości bezwzględnej w wyrażeniach na element objętości i powierzchni (ponieważ powierzchnia i objętość z definicji są wielkościami dodatnimi). 62 1. ANALIZA WEKTOROWA Przykład 1.13 Obliczyć objętość kuli o promieniu K. Rozwiązanie: K jt 2n V= J JJj dr = r= 0 0=0. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia o dywergencji dla tej funkcji i ob­ szaru w kształcie górnej połowy kuli o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych (rys. 1.40). Zadanie 1.40. Obliczyć gradient i laplasjan funkcji / = r(cos#+sin# cos0). Sprawdzić wynik dla laplasjanu, wyrażając T we współrzędnych kartczjańskich i korzystając z równania (1.42). Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o gradiencie dla tej funkcji i krzywej przed­ stawionej na rys. 1.41, biegnącej od (0, 0, 0) do (0, 0, 2). 64 1. ANALIZA WEKTOROWA x Rys. 1.42 1.4.2. Współrzędne walcowe Współrzędne walcowe (cylindryczne) (a\0, z) punktu P zdefiniowane są na rys. 1.42. Zauważmy, że kąt (p w ma to samo znaczenie, co we współrzędnych kulistych, a z to samo, co wc współrzędnych kartęzjańskich; s jest odległością P od osi z, podczas gdy we współrzędnych kulistych r reprezentuje odległość od początku układu współrzędnych. x = scos(p, y = ssin0, z = z- (1.74) Wektory jednostkowe mają następującą postać (zad. 1.41): § = cos (p x + sin cp y, = —sin. Które pole wektorowe można przedstawić jako gradient funkcji skalarnej? Znaleźć odpowiedni potencjał skalarny. Które pole wektorowe można przedstawić jako rotację funkcji wektorowej? Znaleźć odpowiedni potencjał wektorowy. (b) Pokazać, że F 3 = yz x + zxy + xy ż można przedstawić zarówno jako gradient funkcji skalarnej, jak i rotację funkcji wektorowej. Znaleźć odpowiedni potencjał skalarny i wektorowy. Zadanie 1.50. Udowodnić następujące implikacje w twierdzeniu 1: (d) =$ (a), (a) => (c), (c) => (b), (b) =» (c) i (c) => (a). Zadanie 1.51. Udowodnić następujące implikacje w twierdzeniu 2 (d) => (a), (a) => (c), (c) =» (b). (b) => (c) i (c) => (a). Zadanie 1.52 (a) Które z funkcji wektorowych z zad. 1.15 można przedstawić jako gradient funkcji skalarnej? Znaleźć odpow iednie funkcje skalarne. (b) Które z funkcji wektorowych z zad. 1.15 można przedstawić jako rotację funkcji wek­ torowej? Znaleźć odpowiednie funkcje wektorowe.  76 1. ANALIZA WEKTOROWA Z a d a n ia d od atk ow e do rozdziału 1 Z ad a n ie 1.53. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia o dywergencji dla funkcji v = r 2 cos 0 r + r 2 cos 0 0 —r 1cos 0 sin 0 i bryły w kształcie jednej ósmej kuli o promieniu R (rys. 1.48). Należy upewnić się, czy w rachunkach uwzględniona została cała powierzchnia bryły. [Odpowiedź: 7i/? 4 / 4.| Zadanie 1.54. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia Stokesa dla funkcji v = a y x -I- b x y (gdzie a i b to stałe) i krzywej w postaci okręgu o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych, leżącego w płaszczyźnie xy. [Odpowiedź: n R 2(b —a).] Zadanie 1.55. Obliczyć całkę krzywoliniową z funkcji v = 6 x + y z 2y + (3y + z) z po trójkącie przedstawionym na rys. 1.49. Sprawdzić wynik za pomocą twierdzeniu Stokesa. [Odpowiedź: 8/3.] Zadanie 1.56. Obliczyć całkę krzywoliniową z funkcji v = (r cos 2 0) r — (r cos 0 sin 0) 0 + 3r po krzywej przedstawionej nu rys. 1.50 (punkty oznaczono ich kartezjaiiskimi współrzędnymi). Obliczenia wykonać we współrzędnych walcowych lub kulistych. Sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia Stokesa. \Odpowiedź: 3n/2.] Zadanie 1.57. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia Stokesa dla funkcji v = y z i powierzchni w kształcie trójkąta przedstawionego na rys. 1.51. [Odpowiedź.: a 2.] Zadanie 1.58. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia o dywergencji dla funkcji A v — r" sin 0 r + 4 r 2cos 0 S -f r 2 tg0 i bryły w kształcie „rożka do lodów”, przedstawionej na rys. 1.52 (górna część powierzchni je st w ycinkiem sfery o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych). [Odpowiedź: ( n R 4/1 2 ) ( 2 n + 3V3).I Z a d a n ie 1.59. Oto dwa zabawne sprawdzenia podstawowych twierdzeń: (a) Połączyć wniosek 2 z twierdzenia o gradiencie z twierdzeniem Stokesa (w tym przy­ padku \ = VT ). Pokazać, że wynik jest zgodny z omawianymi właściwościami drugich po­ chodnychi.  ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 1 77 Rys. 1.52 (b) Połączyć wniosek 2 z twierdzenia Stokesa z twierdzeniem o dywergencji. Pokazać, że wynik jest zgodny z innymi omawianymi twierdzeniami. Zadanie 1.60. Z podstawowych twierdzeń całkowych analizy wektorowej — twierdzeń o gra­ diencie, dywergencji i rotacji — można wyprowadzić szereg dalszych wniosków. Pokazać, że: (a) f v (VT)dz = Zda [Wskazówka: Przyjąć w twierdzeniu o dywergencji, że v = c7\ gdzie c jest stałą; następnie skorzystać z reguły dla różniczkowania iloczynu.] (b) / v (V x v)dr = - $ s v x da. [Wskazówka: W twierdzeniu o dywergencji podstawić za v funkcję (v x c).| (c) /ylT A U + (VT) (Vf/)] dr = j>g(TVU) da. [Wskazówka: Podstawić w twierdzeniu o dywergencji v —TV U | (d) fv (T AU —U AT) dr = f $(TVU —IJVT) da fUwaga: Wniosek ten znany jest jako twierdzenie Greena; wynika on z równania (c), które niekiedy nazywane jest tożsamością Greena.] (e) fL. Zadanie 2.4. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad środkiem kwadra­ towej ramki (o boku a) naładowanej jednorodnie z gęstością liniową X (rys. 2.8) [Wskazówka: Skorzystać z wyniku zad. 2.1.1 TP JE i i iz i Rys. 2.7 Rys. 2.8 Rys. 2.9 Zadanie 2.5. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości " nad środkiem okrągłej pętli o promieniu r (rys. 2.9), naładowanej jednorodnie z gęstością liniową X. Zadanie 2.6. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad środkiem cień kiego krążka o promieniu R (rys. 2. 10 ), naładowanego jednorodnie z powierzchniową gęstością ładunku a. Jaki wynik otrzymujemy w granicy R -> oo? Sprawdzić też przypadek R- Rys. 2.10 Rys. 2.11 86 2. ELEKTROSTATYKA Zadanie 2.7. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z od powierzchni kulistej o promieniu R (rys. 2.11), naładowanej jednorodnie z gęstością powierzchniową a. Rozważyć przypadek z < R (wewnątrz kuli) i z > R (na zewnątrz kuli). Wyrazić wynik przez całkowity ładunek q na kuli. [Wskazówka: Skorzystać ze wzoru cosinusów, aby wyrazić IZ przez R i 6. Upewnić się, że wykorzystywany jest pierwiastek dodatni: >/R2 + z2 —2Rz = (R —z) dla R > z, ale dla R < z jest to (z —/?).| Zadanie 2.8. Posługując się wynikami zad. 2.7. obliczyć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli o promieniu R, naładowanej jednorodnie z objętościową gęstością ładunku p. Wyrazić wynik przez całkowity ładunek kuli q. Narysować wykres zależności |E| od odległości od środka kuli. 2.2. Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1. Linie pola, strumień i prawo Gaussa W zasadzie można powiedzieć, że nasze studia nad elektrostatyką zostały zakończone. Równanie (2.8) pozwala nam obliczyć pole wytworzone przez rozkład ładunku, a rów­ nanie (2.3) określa siłę, jaka działać będzie na ładunek Q umieszczony w tym polu. Niestety, jak można się było przekonać przy rozwiązywaniu zadania 2.7, wyznaczając w ten sposób E, możemy natknąć się na bardzo trudne całki, nawet dla stosunkowo prostych rozkładów ładunku. Większość dalszych rozważań w dziedzinie elektrostatyki poświęcona jest więc rozwijaniu narzędzi i omówieniu różnych sztuczek pozwalających na uniknięcie obliczania tych całek. Pierwszym krokiem w tym kierunku jest dysku­ sja dywergencji i rotacji E. W paragrafie 2.2.2 obliczymy dywergencję E hezpośrednio z równania (2.8 ), najpierw jednak chciałbym pokazać, jak można uzyskać wynik w bar­ dziej jakościowy i intuicyjny sposób, który zapewne jest też bardziej pouczający. Zacznijmy od najprostszego przypadku: pojedynczego ładunku punktowego q y znaj­ dującego się w początku układu współrzędnych: E(r) 1 ( 2. 10) 4ne0 r 2 Aby lepiej „poczuć” to pole, można narysować kilka wektorów pola w różnych punktach, jak to zrobiono na rys. 2.12a. Ponieważ pole zmienia się z r jak 1 /r2, więc wektory stają się coraz krótsze, im bardziej oddalamy się od początku układu; poza tym zawsze skierowane są radialnie na zewnątrz. Istnieje jednak bardziej elegancki sposób na zo­ brazowanie tego pola, polegający na połączeniu strzałek w celu utworzenia linii pola (rys. 2.12b). Pozornie może się wydawać, że w ten sposób tracimy zawartą w długości strzałek informację o tym, jak silne jest pole. W rzeczy wistości jednak tak nic jest. „Siła” pola odzwierciedlana jest przez gęstość linii pola: pole jest silne w pobliżu centrum siły, gdzie linie pola leżą blisko siebie, i słabnie przy oddalaniu się od centrum, gdzie linie pola leżą dość daleko od siebie. Prawdę mówiąc, dwuwymiarowy rysunek linii pola jest nieco mylący, ponieważ gęstość linii pola przechodzących przez okrąg o promieniu r to całkowita liczba linii ? ? DYWFRGFNCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO 87 pola podzielona przez obwód (n/2nr)y co daje wynik proporcjonalny do ( 1//*), a nie (1//—). Jeśli jednak wyobrazimy sobie ten model w trzech wymiarach (na przykład jako poduszeczkę z powbijanymi igłami sterczącymi na zewnątrz we wszystkich kierunkach), to gęstość linii pola równa jest całkowitej liczbie linii podzielonej przez powierzchnię sfery (n/Anr2), co daje wynik, który jest proporcjonalny do ( 1/ r 2). Rys. 2.12 Rysunki podobnego typu mogą być również użyteczne przy przedstawianiu bardziej skomplikowanych pól. Oczywiście liczba narysowanych linii zależy głównie od tego, z jakim zapałem podchodzimy do tego zagadnienia (i jak ostry mamy ołówek), choć powinniśmy narysować ich wystarczająco wiele, by uzyskać dokładny obraz pola. Mu­ simy też być konsekwentni: jeśli z ładunkiem q wiążemy 8 linii, to z ładunkiem 2 q powinno wiązać się 16 linii. Trzeba też zachować odpowiednie odległości między li­ niami — powinny one wychodzić z ładunków punktowych symetrycznie we wszystkich kierunkach. Linie pola zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą się na ładun- ładunki równe co do wartości bezwzględnej, ale przeciwnego znaku Rys. 2.13 88 2. ELEKTROSTATYKA kach ujemnych; nic mogą skończyć się tak po prostu w dowolnym miejscu, choć mogą rozciągać się do nieskończoności. Co więcej, linie pola nie mogą się nigdy przecinać — w punkcie, w którym przecinałyby się, pole skierowane byłoby w dwóch różnych kierunkach naraz! Mając to wszystko na uwadze, łatwo jest naszkicować pole prostego układu ładunków. Zaczynamy od narysowania linii w niedużej odległości od każdego z ładunków, a następnie łączymy je lub ciągniemy do nieskończoności (rys. 2.13 i 2.14). ładunki o równej wartości Rys. 2.14 Przy tej reprezentacji pola strumień pola E przez powierzchnię ó\ ( 2. 11) jest miarą „liczby linii pola” przechodzących przez S. Określenie to umieściłem w' cu­ dzysłowie, ponieważ możemy narysować jedynie kilka reprezentatywnych linii pola — całkowita ich liczba jest nieskończona. Ale przy danej gęstości próbkowania linii pola strumień jest proporcjonalny do liczby narysowanych linii, ponieważ — jak pamiętamy — wartość natężenia pola jest proporcjonalna do gęstości linii pola (liczba na jednostkę powierzchni), a zatem E da jest proporcjonalne do liczby linii przechodzących przez infinitezymalny element powierzchni da. (Iloczyn skalarny wybiera rzut wektora da na kierunek pola E, jak to przedstawiono na rys. 2.15. Mówiąc o gęstości linii pola na jed­ nostkę powierzchni, mamy na myśli jedynie powierzchnię w płaszczyźnie prostopadłej do E. ) Sugeruje to, że strumień przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest miarą całkowi­ tego ładunku w obszarze ograniczonym przez tę powierzchnię. Wynika to stąd, że linie pola zaczynające się na ładunkach dodatnich muszą albo przechodzić przez powierzch­ nię, albo kończyć się na ładunku ujemnym wewnątrz zamkniętego obszaru (rys. 2.16a). Z drugiej strony, ładunek na zewnątrz powierzchni nie będzie dawał wkładu do całko­ witego strumienia, ponieważ linie jego pola będą z jednej strony wchodzić, a z drugiej 2.2. DYWERGENCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO 89 Rys. 2.16 wychodzić przez powierzchnię (rys. 2.16b). Taki jest zasadniczy sens prawa Gaussa. Wyrazimy to teraz w sposób ilościowy. W przypadku ładunku punktowego q znajdującego się w początku układu, strumień E przez sferę o promieniu /* wynosi (^ E d a = J J f —!— \r 2 / (r2 sinfldtf d 0 r ) = —