Cursus_p87-179 PDF - Hoofdstuk 6 Traagheidsmomenten

Hoofdstuk 6 Traagheidsmomenten Doelstellingen van dit hoofdstuk Een methode ontwikkelen om het traagheidsmoment te bepalen voor een oppervlak; Het traagheidsproduct introduceren; Het massatraagheidsmoment behandelen. 6.1 Oppervlaktetraagheidsmoment...

Hoofdstuk 6 Traagheidsmomenten Doelstellingen van dit hoofdstuk Een methode ontwikkelen om het traagheidsmoment te bepalen voor een oppervlak; Het traagheidsproduct introduceren; Het massatraagheidsmoment behandelen. 6.1 Oppervlaktetraagheidsmoment 81 6.1 Oppervlaktetraagheidsmoment Wanneer een verdeelde belasting loodrecht op een oppervlak werkt en de grootte ervan lineair varieert, speelt bij de berekening van het moment van de belastingsverdeling om een as een grootheid een rol die we het traagheids- moment voor het oppervlak of oppervlaktetraagheidsmoment zullen noemen. Beschouw bijvoorbeeld de plaat in figuur 6.1, die onderworpen is aan een vloeistofdruk p. Volgens de wet van Pascal oefent een vloeistof in rust in Figuur 6.1: Plaat ondergedompeld in water een punt een druk p uit die in alle richtingen hetzelfde is. De grootte van p, gemeten als kracht per oppervlakte-eenheid, hangt af van het soortelijk gewicht γ of de soortelijke massa ρ van de vloeistof en diepte y van het punt ten opzichte van de vloeistofspiegel. Dit verband kan dus wiskundig als volgt worden uitgedrukt: p = γy = ρgy (6.1) waarbij g de versnelling ten gevolge van de zwaartekracht is. De kracht uitgeoefend op het differentiaaloppervlak dA van de plaat is dus gelijk aan dF = pdA = (γy)dA. Het moment van deze kracht om de x-as is dus gelijk aan dM = ydF = γy 2 dA enRdus levert integreren vanRdM over het gehele oppervlak van de plaat M = γ y 2 dA op. De integraal y 2 dA wordt het traagheidsmoment Ix van het oppervlak om de x-as genoemd. Integra- len van deze vorm komen vaak voor in formules uit de vloeistofmechanica, materiaalkunde, constructieleer en mechanisch ontwerpen en dus moet de ingenieur vertrouwd zijn met de hiervoor gebruikte berekeningsmethode. Per definitie worden de traagheidsmomenten van een differentiaaloppervlak 6.1 Oppervlaktetraagheidsmoment 82 dA om de x- en om de y-as gegeven door respectievelijk dIx = y 2 dA en dIy = x2 dA (Figuur 6.2). Voor het gehele oppervlak A worden de traag- Figuur 6.2: Oppervlaktetraagheidsmoment rond de x- en de y-as heidsmomenten bepaald door te integreren, dit wil zeggen: Z Ix = y 2 dA (6.2) ZA Iy = x2 dA (6.3) A We kunnen ook het traagheidsmoment voor dA om de oorsprong O of de z-as bepalen (Figuur 6.2). Dit wordt het polair traagheidsmoment genoemd, dJO = r2 dA. Hierin is r de loodrechte afstand van de oorsprong (z-as) tot het element dA. Het polair traagheidsmoment van het gehele oppervlak is: Z JO = r2 dA = Ix + Iy (6.4) A Het verband tussen JO en Ix , Iy is mogelijk aangezien r2 = x2 + y 2 (Fi- guur 6.2). Uit de formules hierboven volgt dat Ix , Iy en JO altijd positief zullen zijn, aangezien ze het product van de gekwadrateerde afstand en de oppervlakte omvatten. En daarnaast is het zo dat de eenheden van het traagheidsmoment de lengte tot de vierde macht omvatten, bijvoorbeeld m4 of mm4. 6.2 Stelling van Steiner voor een oppervlak 83 6.2 Stelling van Steiner voor een oppervlak De stelling van Steiner kan gebruikt worden voor het bepalen van het traag- heidsmoment van een oppervlak om een willekeurige as, die evenwijdig is aan een as door het zwaartepunt en waarvan het traagheidsmoment bekend is. Voor het afleiden van deze stelling bepalen we het traagheidsmoment van het gekleurde gebied in figuur 6.3 om de x-as. Om te beginnen kiezen Figuur 6.3: De stelling van Steiner we een differentiaalelement dA op een willekeurige afstand y 0 van de x’-as door het zwaartepunt. Als de afstand tussen de evenwijdige x-en x’-assen gelijk is aan dy , dan is het traagheidsmoment van dA om de x-as gelijk aan dIx = (y 0 + dy )2 dA. Voor het hele gebied geldt: Z Ix = (y 0 + dy )2 dA (6.5) Z A Z Z 02 0 2 = y dA + 2dy y dA + dy dA (6.6) A A A De eerste integraal geeft het traagheidsmoment van het oppervlak om de zwaartepuntas weer (Ix0 ). De tweede integraal is gelijk aan nul, aangezien de R 0x’-as door R het zwaartepunt C van het oppervlak gaat; dat wil zeggen: 0 0 y dA = yC dA = 0, aangezien yC = 0. Als we bedenken dat de derde integraal het totale oppervlak A weergeeft, dan is de uiteindelijke uitkomst dus: Ix = Ix0 + Ad2y (6.7) 6.3 Traagheidsstraal van een oppervlak 84 Een soorgelijke formule kan worden opgesteld voor Iy ; dat wil zeggen: Iy = Iy0 + Ad2x (6.8) En omdat voor het polair traagheidsmoment JC = Ix0 + Iy0 en d2 = d2x + d2y , hebben we tot slot de formule: JO = JC + Ad2 (6.9) In deze vergelijkingen wordt gesteld dat het traagheidsmoment van een op- pervlak om een as gelijk is aan het traagheidsmoment om een evenwijdige as die door het zwaartepunt van het oppervlak gaat plus het product van de oppervlakte en het kwadraat van de loodrechte afstand tussen de assen. 6.3 Traagheidsstraal van een oppervlak De traagheidsstraal (of gyratiestraal of gyrostraal) van een oppervlak om een as wordt uitgedrukt in lengte-eenheden en is een grootheid die vaak wordt gebruikt bij het ontwerpen van kolommen in de constructieleer. Wanneer de oppervlakten en traagheidsmomenten bekend zijn, kunnen de traagheids- stralen worden bepaald met behulp van volgende formules: r Ix kx = (6.10) r A Iy ky = (6.11) r A JO kO = (6.12) A Oefening Bepaal het traagheidsmoment van het gekleurde oppervlak in de figuur 6.4. Antwoord: Ix = 107.106 mm4. 6.4 Traagheidsmomenten van samengestelde oppervlakken 85 (a) (b) Figuur 6.4: Traagheidsmoment van een oppervlak 6.4 Traagheidsmomenten van samengestelde op- pervlakken https://www.slideshare.net/slideshow/moment-of-ineria/70069636 Een samengesteld oppervlak bestaat uit een verzameling met elkaar verbon- den, eenvoudige figuren, zoals rechthoeken, driehoeken en cirkels. Wanneer het traagheidsmoment van al deze onderdelen om een gemeenschappelijke as bekend is of bepaald kan worden, is het traagheidsmoment voor het samen- gestelde gebied om deze as gelijk aan de algebraïsche som van de traagheids- momenten van alle samenstellende delen. Oefening Bepaal het traagheidsmoment van het oppervlak in figuur 6.5. Antwoord: Ix : 101.106 mm4. Figuur 6.5: Traagheidsmoment van een samengesteld oppervlak 6.5 Traagheidsproduct voor een oppervlak 86 6.5 Traagheidsproduct voor een oppervlak Figuur 6.6: Traagheidsproduct voor een oppervlak Het traagheidsproduct van het gebied in figuur 6.6 ten opzicht van de x- en de y-as is gedefinieerd als: Z Ixy = xydA (6.13) A Als het gekozen element van het oppervlak in twee richtingen een oneindig kleine afmeting heeft, zoals afgebeeld in figuur 6.6, moet een dubbele inte- gratie worden uitgevoerd om Ixy te berekenen. Het is vaak eenvoudiger om een element te kiezen dat slechts in één richting een oneindig kleine afmeting of dikte heeft, in welk geval slechts één keer hoeft te worden geïntegreerd voor de berekening. Het traagheidsproduct wordt net zoals het traagheids- moment uitgedrukt in een lengte-eenheid tot de vierde macht, maar omdat x of y negatief kan zijn, kan het traagheidsproduct positief, negatief of nul zijn, afhankelijk van de plaats en de zin van de coördinaatassen. Men kan ook de stelling van Steiner toepassen voor de bepaling van het traagheids- product ten opzichte van willekeurige assen evenwijdig met de assen door het zwaartepunt (Figuur 6.7). Men kan bewijzen dat: Ixy = Ix0 y0 + Adx dy (6.14) Het is van belang dat bij het toepassen van deze vergelijking de algebraïsche tekens voor dx en dy behouden blijven. 6.6 Massatraagheidsmoment 87 Figuur 6.7: Stelling van Steiner voor het traagheidsproduct 6.6 Massatraagheidsmoment 6.6.1 Definitie Het massatraagheidsmoment van een lichaam is een maat voor de weerstand van dat lichaam tegen hoekversnelling. Aangezien het in de dynamica wordt gebruikt om draaiende bewegingen te bestuderen, worden hieronder metho- den voor de berekening van het massatraagheidsmoment besproken. Men definieert het massatraagheidsmoment als de integraal van het kwadra- tisch moment om een as van alle elementaire massadeeltjes dm waaruit het lichaam bestaat (Figuur 6.8). Figuur 6.8: Massatraagheidsmoment 6.6 Massatraagheidsmoment 88 Z I= r2 dm (6.15) m Hierbij is de momentarm r de loodrechte afstand tussen de as en het wil- lekeurig element dm (Figuur 6.8). De waarde van I hangt af van de as waaromheen het wordt bepaald. Wanneer de as door het massacentrum G van het lichaam gaat, wordt het massatraagheidsmoment IG genoteerd. Het massatraagheidsmoment wordt uitgedrukt in kg.m2. De elementaire massa dm kan worden uitgedrukt als functie van de soortelijke massa en het volume, namelijk dm = ρdV. Vergelijking 6.15 wordt: Z I= r2 ρ(x, y, z)dV (6.16) V In het bijzondere geval waarin ρ een constante is, kan deze term buiten de integraal worden geplaatst en is de integraal zuiver een functie van de vorm van het lichaam: Z I=ρ r2 dV (6.17) V Wanneer het voor integratie gekozen volume-element oneindig klein is in drie richtingen, dat wil zeggen dV = dxdydz (Figuur 6.9), moet het mas- satraagheidsmoment worden berekend met een drievoudige integraal. Deze kan echter worden teruggebracht tot een enkelvoudige integraal, wanneer het gekozen volume-element slechts in één richting een oneindig kleine afmeting of dikte heeft. Figuur 6.9: Volume-element voor de berekening van het massatraagheids- moment 6.6 Massatraagheidsmoment 89 6.6.2 Stelling van Steiner Wanneer het massatraagheidsmoment IG van het lichaam, om een as die door het massacentrum van het lichaam gaat, gekend is, kan het massatraagheids- moment om elke andere evenwijdige as gemakkelijk bepaald worden. I = IG + md2 (6.18) waarbij d de afstand tussen de evenwijdige assen is (Figuur 6.10). Figuur 6.10: Massatraagheidsmoment in geval van evenwijdige assen 6.6.3 Traagheidsstraal De traagheidsstraal (gyratiestraal) van een lichaam met massa m om een as wordt gedefinieerd als de afstand k tussen de as en een fictieve puntmassa met massa m, zodat het massatraagheidsmoment van het lichaam en de puntmassa om de as gelijk zijn. p I = mk 2 ⇔ k = I/m (6.19) Opmerking Wanneer de as door G gaat, wordt de gyratiestraal kG geno- teerd. Combinatie van vergelijkingen 6.18 en 6.19 geeft: k 2 = kG 2 + d2 (6.20) 6.6 Massatraagheidsmoment 90 6.6.4 Samengestelde lichamen Wanneer een lichaam bestaat uit een aantal delen met een eenvoudige vorm zoals een schijf, bol of cilinder, kan het massatraagheidsmoment van het lichaam om een as worden bepaald door de algebraïsche som te nemen van de massatraagheidsmomenten van alle onderdelen om evenwijdige assen door de respectieve massacentra van elk onderdeel. De stelling van Stei- ner (evenwijdige-assenstelling) moet toegepast worden telkens wanneer het massacentrum niet gelegen is op de as om dewelke men het massatraagheids- moment wil berekenen. zie p426 boek dynamica Oefening De plaat op de figuur 6.11 heeft een soortelijke masssa van 8000 kg/m3 en een dikte van 10 mm. Bereken het massatraagheidsmoment van de plaat om een as die loodrecht op het vlak van de figuur staat en door het punt O gaat. Antwoord: IO = 1, 20 kg.m2. Figuur 6.11: Massatraagheidsmoment van een samengesteld lichaam  Deel II Dynamica Hoofdstuk 7 Kinematica van het starre lichaam in een plat vlak Doelstellingen van dit hoofdstuk De verschillende soorten bewegingen van een star lichaam in een plat vlak leren onderscheiden; De translatie en hoekbeweging van een star lichaam in het platte vlak om een vaste as onderzoeken; De beweging in een vlak bestuderen aan de hand van de absolute be- wegingsanalyse; Kennismaken met een analyse van snelheid en versnelling van een re- latieve beweging; Aantonen hoe het ogenblikkelijk rotatiecentrum bepaald kan worden. 7.1 Beweging van een star lichaam 93 7.1 Beweging van een star lichaam De studie van het starre lichaam in het vlak is een bijzonder geval van de studie van de algemene beweging in de ruimte. Een star lichaam beweegt in een vlak wanneer alle puntmassa’s ervan een baan beschrijven die allemaal dezelfde vorm hebben en zich op een gelijke afstand ten opzichte van een vast vlak bevinden. 7.2 De vlakke bewegingen van het starre li- chaam Een star lichaam ondergaat drie soorten vlakke bewegingen: de translatie, de rotatie om een vaste as en de algemene beweging, die rotatie en translatie combineert (Figuur 7.1). Figuur 7.1: Bewegingen van een star lichaam in het vlak: (a) en (b) zijn translaties, (c) is een rotatie om een vaste as en (d) is een algemene beweging We zullen de drie soorten beweging bestuderen in de volgende paragrafen. Figuur 7.2 toont een mechanisme dat ze alledrie combineert. 7.3 Translatie 94 Toepassing: Bepaal voor elk onderdeel van het mechanisme van figuur 7.2 of het een rotatie, een translatie of een algemene beweging ondergaat. Figuur 7.2: Mechanisme dat de drie soorten vlakke beweging combineert 7.3 Translatie Een translatie is een beweging waarbij elk lijnstuk dat twee punten van het lichaam verbindt, evenwijdig blijft aan zijn beginpositie. Wanneer een lichaam een rechtlijnige translatie ondergaat (Figuur 7.1(a)), bewegen alle puntmassa’s van het lichaam langs een rechte lijn. De bewe- ging van een trein in rechte lijn is een voorbeeld van rechtlijnige translatie. Wanneer de banen echter kromme lijnen vormen die op een gelijke afstand van elkaar liggen, wordt de beweging kromlijnige translatie genoemd (Fi- guur 7.1(b)). De ballistische slinger vormt een typisch voorbeeld, net als be- paalde kermisattracties (Figuur 7.3). Als de beweging van één van de punten gekend is, is de beweging van alle andere punten gemakkelijk te bepalen. Figuur 7.3: Cirkeltranslatie: ballistische slinger en reuzenrad 7.3 Translatie 95 7.3.1 Plaats De ligging van twee punten A en B in het lichaam wordt bepaald ten opzichte van een absolute ruimte door de plaatsvectoren r̄A en r̄B. We kiezen een absoluut assenstelsel XY Z met O als oorsprong. Een relatief assenstelsel xyz wordt vast verbonden met het lichaam, met de oorsprong in punt A. De plaats van B ten opzichte van A wordt aangegeven door de relatieve plaatsvector r̄B/A , (Figuur 7.4). Figuur 7.4: Positie van 2 punten van het lichaam ten opzichte van het ab- solute en relatieve assenstelsel De (absolute) positie van B wordt: r̄B = r̄A + r̄B/A (7.1) De oorsprong van het relatieve assenstelsel, punt A in dit geval, moet niet noodzakelijk deel uitmaken van het starre lichaam. Opmerking Vectoroptelling is niet gebonden aan de keuze van een as- senstelsel. Wanneer de vectoren worden geprojecteerd in een assenstelsel, bekomt men de vectoriële componenten in dat assenstelsel. Men kan projec- teren in een absoluut of relatief assenstelsel, maar om de componenten op te kunnen tellen, moeten ze allen in hetzelfde assenstelsel geprojecteerd zijn. 7.4 Rotatie om een vaste as 96 7.3.2 Snelheid Het verband tussen de (ogenblikkelijke) snelheden van A en B wordt verkre- gen uit de tijdsafgeleide van de plaatsvergelijking (7.1): v̄B = v̄A (7.2) hierin zijn v̄A en v̄B absolute snelheden. De afgeleide van r̄B/A is nul aangezien zijn grootte constant is op grond van de definitie van een star lichaam en zijn richting constant is omdat het lichaam een translatiebeweging uitvoert. 7.3.3 Versnelling Wanneer we de tijdsafgeleide van de snelheidsvergelijking (7.2) bepalen, le- vert dit het verband op tussen de (ogenblikkelijke) versnellingen van A en B. āB = āA (7.3) 7.3.4 Besluiten De bovenstaande twee vergelijkingen geven aan dat alle punten van een star lichaam dat onderworpen is aan een rechtlijnige of kromlijnige translatie, met dezelfde snelheid en versnelling bewegen. Men kan zich dus tevreden stellen met de studie van de beweging van één van zijn punten, bijvoorbeeld het massacentrum. Men gebruikt dus de kinematica van het materieel punt om de translatiebeweging van een star lichaam te bestuderen. 7.3.5 Voorbeeld De pijlen op figuur 7.3 stellen de snelheden voor in verschillende punten van een ballistische slinger en de gondel van een reuzenrad. 7.4 Rotatie om een vaste as Wanneer een lichaam om een vaste as roteert, beschrijft elk punt P van het lichaam een cirkelvormige baan (Figuur 7.5), en elk segment loodrecht op de rotatieas draait over dezelfde hoek gedurende eenzelfde tijdsinterval. 7.4 Rotatie om een vaste as 97 Opmerking Het lichaam vertoont niet noodzakelijk symmetrie ten op- zichte van de rotatieas. Figuur 7.5: Rotatie om een vaste as 7.4.1 Definities Hoekstand De hoekstand wordt bepaald door de hoek θ, gemeten tussen een vaste referentielijn en de plaatsvector r̄ (Figuur 7.5). Hoekverplaatsing De verandering van de hoekstand dθ wordt hoekver- plaatsing genoemd en wordt gemeten in graden, radialen of omwentelingen. Men kan de hoekverplaatsing weergeven als een volgens de as gerichte vec- toriële grootheid dθ̄ waarvan de drager de rotatieas is. De zin wordt bepaald met de regel van de kurkentrekker en de grootte is gelijk aan dθ̄ , de absolute waarde van de hoekverplaatsing. Hoeksnelheid De tijdsafgeleide van de hoekstand wordt de hoeksnelheid ω̄ genoemd: dθ̄ ω̄ = (7.4) dt 7.4 Rotatie om een vaste as 98 Ze wordt meestal uitgedrukt in rad/s. Haar richting is altijd gelijk aan die van de rotatieas. Wanneer men werkt in het referentievlak, duidt men de conventionele positieve zin van de hoeksnelheid aan met een gekromde pijl (Figuur 7.5(b)). De scalaire waarde van ω̄ wordt ω genoteerd en eveneens hoeksnelheid ge- noemd: dθ ω= (7.5) dt Hoekversnelling De hoekversnelling ᾱ is de tijdsafgeleide van de hoek- snelheid ω̄. dω̄ ᾱ = (7.6) dt Met scalaire grootheden: dω α= (7.7) dt Door gebruik te maken van vergelijking 7.5 kunnen we α uitdrukken als d2 θ α= (7.8) dt2 De hoekversnellingsvector is eveneens gericht volgens de rotatieas. De zin van ᾱ is gelijk aan die van ω̄ in het geval van een versnelde rotatiebeweging en tegengesteld aan die van ω̄ in het geval van een vertraagde rotatiebeweging. Door dt te elimineren uit vergelijkingen 7.5 en 7.7 bekomen we: αdθ = ωdω (7.9) Opmerking Elk segment van het starre lichaam ondergaat dezelfde hoek- verplaatsing, met dezelfde hoeksnelheid en hoekversnelling. 7.4.2 Constante hoekversnelling Wanneer de hoekversnelling van het lichaam constant is, m.a.w. ᾱ = ᾱc , leveren de bovenstaande formules de volgende resultaten op: ω = ω0 + αc (t − t0 ) (7.10) 1 θ = θ0 + ω0 (t − t0 ) + αc (t − t0 )2 (7.11) 2 ω 2 = ω02 + 2αc (θ − θ0 ) (7.12)  7.4 Rotatie om een vaste as 99 Hierbij zijn θ0 en ω0 de beginwaarden van respectievelijk de hoekstand en de hoeksnelheid van het lichaam. Opmerking Men bemerkt onmiddellijk de overeenkomst met de kinema- tische vergelijkingen van de éénparig versnelde rechtlijnige beweging. p339 7.4.3 Beweging van een punt van het starre lichaam Als het star lichaam van figuur 7.6 roteert, beweegt het punt P langs een cirkelvormige baan met straal r en middelpunt in O. Figuur 7.6: De baan van punt P is een cirkel met centrum O Plaats De plaats van P is bepaald door de plaatsvector r̄ die vanuit O naar P loopt. Als het lichaam over een hoek θ roteert, legt P een afstand ds = rdθ af. Snelheid De snelheid van P heeft een grootte die bepaald kan worden door ds = rdθ te delen door dt. Men bekomt dan uiteindelijk: v = ωr (7.13) De richting van v̄ valt samen met de raaklijn aan de cirkelvormige baan. Zo- wel de grootte als de richting van v̄ kunnen bepaald worden via het uitwendig 7.4 Rotatie om een vaste as 100 product van ω̄ en r̄P. In dit geval loopt r̄P vanuit een willekeurig punt op de rotatieas naar het punt P. We kunnen schrijven dat: v̄ = ω̄ × r̄P (7.14) In het bijzondere geval waarbij men voor r̄P de positievector r̄ neemt, bekomt men: v̄ = ω̄ × r̄ (7.15) Versnelling De versnelling van P wordt uitgedrukt door de normale en tangentiële componenten (Figuur 7.7). Wanneer we gebruik maken van at = dv/dt en an = v 2 /ρ en opmerken dat ρ = r, v = ωr en α = dω/dt, dan: at = αr (7.16) an = ω 2 r (7.17) De tangentiële component geeft de tijdsafgeleide van de grootte van de snel- heid weer, terwijl de normale component de tijdsafgeleide van de richting van de snelheid weergeeft. Net als de snelheid kan de versnelling van het punt P Figuur 7.7: De versnelling van een willekeurig punt P van het lichaam is de som van de tangentiële en normale versnellingsvectoren worden uitgedrukt door een uitwendig product. Wanneer we de tijdsafgeleide nemen van vergelijking (7.14), bekomen we: dv̄ dω̄ dr̄P ā = = × r̄P + ω̄ × (7.18) dt dt dt dω̄ dr̄P Waarbij ᾱ = en = v̄ = ω̄ × r̄P. We bekomen aldus: dt dt ā = ᾱ × r̄P + ω̄ × (ω̄ × r̄P ) (7.19)  7.5 Algemene beweging 101 Neemt men voor r̄P de positievector r̄, dan kan deze vergelijking ook worden geschreven als: ā = āt + ān = ᾱ × r̄ − ω 2 r̄ (7.20) Aangezien de vectoren āt et ān loodrecht op mekaar staan, kan men de stelling van Pythagoras gebruiken om de grootte van de versnelling te bepalen. p343 dynamica boek Oefening Om een stilstaand wiel (θ = 0) is een touw gewikkeld zoals in figuur 7.8 wordt weergegeven. Op het touw wordt een kracht uitgeoefend die het een versnelling geeft a = (4t) m/s2 , waarbij t in seconden wordt uitgedrukt. Bepaal als een functie van de tijd de hoeksnelheid van het wiel en de hoekstand van lijn OP in radialen. Antwoord: ω = 10t2 rad/s (); θ = 3, 33t3 rad. Figuur 7.8: Kracht op een katrol 7.5 Algemene beweging De algemene vlakke beweging van een star lichaam is een combinatie van translaties en rotaties. De studie van de beweging ten opzichte van een inertiële ruimte (waarbij de verplaatsingen, snelheden en versnellingen als absoluut worden beschouwd) is niet altijd mogelijk of gemakkelijk en veel problemen worden sterk vereenvoudigd wanneer men gebruik maakt van één of meerdere bijkomende ruimtes die men als relatief bestempelt. Door het combineren van de relatieve grootheden met de (absolute) beweging van de relatieve ruimte kan men de absolute beweging van het lichaam bepalen.  7.5 Algemene beweging 102 Strikt genomen mag de absolute ruimte niet versnellen (inertieel). Voor het merendeel van de ingenieursproblemen volstaat het echter dat de versnelling verwaarloosbaar is voor het bestudeerde probleem. Voor de meeste aardse toepassingen volstaat aldus een systeem dat vast aan de aarde verbonden is. 7.5.1 Absolute beweging In sommige gevallen is het wel mogelijk de beweging te bestuderen ten op- zichte van de inertiële ruimte. Als we het voorwerp voorstellen als een dunne plaat, dan maakt deze plaat een translatiebeweging in het vlak van de plaat en roteert de plaat om een as die loodrecht op dit vlak staat. Deze beweging kan in zijn geheel worden bepaald wanneer we zowel de hoekverdraaiing we- ten van een vaste lijn van het voorwerp als de rechtlijnige beweging van een punt van het voorwerp. Een manier om deze bewegingen vast te stellen, is door een rechtlijnige plaatscoördinaat s te gebruiken om de plaats van een punt langs zijn baan aan te geven en een hoekcoördinaat θ om de draaizin van de lijn aan te geven. Het verband tussen de twee coördinaten wordt vervolgens meetkundig bepaald. Door directe toepassing van de tijdsdiffe- rentiaalvergelijkingen v = ds/dt, a = dv/dt, ω = dθ/dt en α = dω/dt kan het verband worden bepaald tussen de beweging van het punt en de hoekbeweging van de lijn. p354 dyn boek Oefening Het uiteinde van staaf R die in figuur 7.9 wordt weergegeven, blijft door middel van een veer contact maken met de nok. De nok draait om een as door punt O en heeft een hoekversnelling ᾱ en een hoeksnelheid ω̄. Bereken de snelheid en de versnelling van de staaf als de nok zich onder een willekeurige hoek θ bevindt. Antwoord: v = −2rω sin θ en a = −2r(α sin θ + ω 2 cos θ) Figuur 7.9: Staaf en nok  7.5 Algemene beweging 103 p356 Oefening Het grote raam in figuur 7.10 wordt geopend door de hydrauli- sche cilinder AB. De cilinder wordt met een constante snelheid van 0,5 m/s uitgeduwd. Bepaal de hoeksnelheid en de hoekversnelling van het raam op het ogenblik dat θ = 30◦ Antwoord: ω = 0, 620 rad/s en α = −0, 415 rad/s2 Figuur 7.10: Hydraulische cilinder in raam 7.5.2 Relatieve beweging We beschouwen twee ruimtes: een absolute, waaraan men de assen XY Z verbindt en een relatieve, bepaald door het assenstelsel xyz, in translatie ten opzichte van de absolute ruimte. Als oorsprong van het relatieve assen- stelsel kiezen we een punt van het starre lichaam waarvan de beweging is gekend, hier aangeduid door A. De assen van de relatieve ruimte zijn niet vast verbonden aan het lichaam. Hun oriëntatie verandert namelijk niet met de tijd. 7.5 Algemene beweging 104 7.5.2.1 Plaats De plaatsvector r̄A geeft de positie van het punt A aan, terwijl de relatieve plaatsvector r̄B/A die van het punt B van het lichaam aangeeft ten opzichte van de oorsprong A van het relatieve assenstelsel. Figuur 7.11: De vector r̄B geeft de absolute positie van B weer De absolute positie van B wordt bepaald door de vectorsom r̄B = r̄A + r̄B/A zoals voorgesteld op figuur 7.11 7.5.2.2 Verplaatsing Gedurende een tijdsinterval dt ondergaan A en B respectievelijk de verplaat- singen dr̄A en dr̄B , zoals voorgesteld op figuur 7.12. De beweging van het punt B, zoals waargenomen door een waarnemer in het punt A moet cirkelvormig zijn, gezien de afstand tussen A en B constant is. Deze vaststelling is een sleutelelement voor het begrijpen van het merendeel van de vlakke bewegingsproblemen van starre lichamen. De beweging kan dus ontbonden worden in twee delen: het lichaam ondergaat een translatie 7.5 Algemene beweging 105 Figuur 7.12: De uiteindelijke verplaatsing is de combinatie van een trans- latie en een rotatie (voor dewelke de verplaatsing van B = verplaatsing van A) en draait rond het punt A over een hoek dθ. De uiteindelijke verplaatsing van B wordt dus gegeven door de vectorsom van de verplaatsing van A (= dr̄A ) en de rotatie om A (= dr̄B/A ): dr̄B = dr̄A + dr̄B/A (7.21) Opmerking Het punt A werd willekeurig gekozen als referentiepunt en oorsprong van het relatieve assenstelsel. Het punt B kan eveneens worden gekozen en in dat geval zal A een relatieve rotatie uitvoeren om B met dezelfde rotatiezin. Men heeft: dr̄B/A = −dr̄A/B. 7.5.2.3 Snelheid Teneinde het verband te bekomen tussen de snelheid van het punt B en deze van het punt A, volstaat het om de voorgaande relatie af te leiden naar de tijd (of te delen door dt): dr̄B dr̄A dr̄B/A = + (7.22) dt dt dt De termen dr̄B /dt en dr̄A /dt stellen de absolute snelheden van beide punten voor. De grootte van de derde term van voorgaande vergelijking is rB/A θ̇ = rB/A ω. We noemen deze term de relatieve snelheid van B ten opzichte van A. Ze wordt gemeten door een waarnemer die een vaste plaats inneemt ten opzichte van de assen in translatie. Deze waarnemer ziet punt B bewegen 7.5 Algemene beweging 106 volgens een cirkelbaan met straal rB/A. Daarom heeft v̄B/A een grootte rB/A ω en een richting die loodrecht staat op r̄B/A. Deze belangrijke eigenschap vormt één van de sleutels tot het oplossen van vele problemen. Men heeft dus: v̄B = v̄A + v̄B/A (7.23) De drie termen uit vergelijking (7.23) worden grafisch weergegeven in de kinematische schema’s van figuur 7.13. Aangezien de relatieve snelheid v̄B/A voortkomt uit de rotatiebeweging van het punt B rondom A, kan zij worden uitgedrukt met behulp van het volgende vectorieel product: ω̄ × r̄B/A. De vergelijking (7.23) wordt: v̄B = v̄A + ω̄ × r̄B/A (7.24) waar ω̄ de rotatievector is, loodrecht op het vlak van de beweging. Figuur 7.13: Samenstelling der snelheden voor een algemene vlakke bewe- ging Bij het oplossen van problemen moet men allereerst de onbekenden iden- tificeren. De vectoriële snelheidsvergelijking geeft na projectie op de assen 2 onafhankelijke scalaire vergelijkingen, waarmee dus 2 onbekenden kunnen worden bepaald. Het kan eveneens interessant zijn om de vectoren grafisch voor te stellen na het kiezen van een geschikte schaal. Dit laat toe om zich een idee te vormen van de oplossing en het numerieke antwoord hieraan te toetsen. Oefening Een stang wordt in A en B door twee in vaste gleuven bewegende blokjes geleid (Figuur 7.14). Bepaal de snelheid van B op het ogenblik dat 7.5 Algemene beweging 107 θ = 45◦ , als de snelheid van A 2 m/s verticaal neerwaarts is. Antwoord: vB = 2 m/s(→) en ω = 14, 1 rad/s( ). Figuur 7.14: Stangenstelsel 7.5.2.4 Ogenblikkelijk rotatiecentrum De snelheid van een willekeurig punt B dat zich op een star lichaam bevindt, kan op een heel directe manier worden bepaald wanneer men als referen- tiepunt A het punt neemt dat een snelheid nul heeft op het beschouwde ogenblik. In dit geval is v̄A = 0, waardoor de snelheidsvergelijking herleid wordt tot v̄B = ω̄ × r̄B/A. In het geval van een lichaam dat een algemene beweging in het vlak onder- gaat, wordt dit punt het ogenblikkelijk rotatiecentrum (OR) genoemd. Dit punt ligt op de ogenblikkelijke rotatieas. Deze as staat altijd loodrecht op het vlak waarin het lichaam zich verplaatst. Het punt B beschrijft een ogenblik- kelijke cirkelvormige baan om het OR. Met andere woorden lijkt het lichaam te roteren om de ogenblikkelijke as. De grootte van v̄B is gelijk aan ωrB/OR , waarbij ω de hoeksnelheid van het lichaam voorstelt. Omdat het een cirkelvormige beweging betreft, moet de richting van v̄B altijd loodrecht staan op r̄B/OR. 7.5 Algemene beweging 108 Belangrijke opmerking: rollen zonder glijden Als een wiel rolt zonder te glijden op een stilstaand oppervlak (Figuur 7.15) heeft het contactpunt met de grond een snelheid nul. Dit punt stemt dus overeen met het OR. De snelheid van een willekeurig punt van het wiel wordt aangegeven door v̄B = ω̄ × r̄B/OR. De snelheid van het centrum O van het wiel wordt gegeven door v̄O = ω̄ × r̄O/OR en haar grootte vO is gelijk aan ω.r, met r de straal van het wiel. Figuur 7.15: Het ogenblikkelijke rotatiecentrum ligt in het contactpunt van het wiel met de grond Bepaling van het OR Het OR kan worden bepaald als de richtingen van de snelheden van twee willekeurige punten op het lichaam gekend zijn. Om- dat de vector r̄ altijd loodrecht op elke snelheid staat, bevindt het OR zich op het snijpunt van de twee dragers. De ligging wordt berekend uitgaande van de geometrie van het lichaam. Zodra het OR is bepaald, kan de snelheid van elk willekeurig punt P van het lichaam berekend worden via v = ωr, waarbij r de lengte van het lijnstuk is tussen het OR en het punt P. Er bestaan verschillende mogelijkheden die in figuur 7.16 zijn weergegeven: De snelheid v̄A van een punt A op het lichaam en de hoeksnelheid ω van het lichaam zijn gegeven (a); De dragers van twee niet-evenwijdige snelheden zijn gegeven (b); De grootte en richting van twee evenwijdige snelheden zijn gegeven (c) en (d). 7.5 Algemene beweging 109 Figuur 7.16: Verschillende voorbeelden om het OR te bepalen Aangezien het lichaam zich verplaatst, zal de positie van het OR verande- ren in de ruimte, maar eveneens ten opzichte van het lichaam. Het geheel van ruimtelijke posities van het OR wordt ruimtepoolbaan genoemd. De li- chaamspoolbaan wordt gevormd door de posities van het OR ten opzichte van het lichaam gedurende de beweging. Op elk beschouwd ogenblik zijn beide poolbanen rakend in het OR, waarbij de lichaamspoolbaan ’rolt’ zonder glij- den op de ruimtepoolbaan. Deze eigenschap kan gemakkelijk gevisualiseerd worden in het geval van een wiel dat rolt zonder glijden op een vlak. De ruimtepoolbaan is de contactrechte terwijl de lichaamspoolbaan de omtrek van het wiel is. Opmerking De ogenblikkelijke versnelling van het OR is over het algemeen verschillend van nul.  7.5 Algemene beweging 110 p378 Oefening Laat zien hoe de plaats van het ogenblikkelijk rotatiecentrum kan worden bepaald voor de verschillende drijfstangen in figuur 7.17 (a) (b) Figuur 7.17: Bepaling van het ogenblikkelijk rotatiecentrum Oefening De cilinder die in figuur 7.18 is afgebeeld, rolt zonder glijden tussen twee bewegende platen E en D. Bepaald de hoeksnelheid van de cilinder en de snelheid van het middelpunt. Antwoord: ω = 2, 60 rad/s() en vC = 0, 0750 m/s (←). Figuur 7.18: Cilinder tussen twee bewegende platen 7.5.2.5 Versnelling Het verband tussen de versnelling van twee punten van een star lichaam kan worden bekomen door de snelheidsvergelijking naar de tijd af te leiden: dv̄B dv̄A dv̄B/A = + (7.25) dt dt dt 7.5 Algemene beweging 111 De eerste twee termen stellen de absolute versnelling van de punten A en B voor. De laatste term stelt de versnelling van punt B voor ten opzichte van A. Aangezien punt B een cirkelvormige baan beschrijft om A, kunnen we de versnelling uitdrukken in haar tangentiële en normale componenten. De vergelijking van de relatieve versnelling kan dus worden geschreven als: āB = āA + (āB/A )t + (āB/A )n (7.26) waarbij (aB/A )t = αrB/A (loodrecht op r̄B/A ) en (aB/A )n = ω 2 rB/A (van B naar A gericht). Elk van de vier termen wordt grafisch weergegeven in de kinematische schema’s van figuur 7.19. Figuur 7.19: Vectoroptelling van de versnellingen Omdat de relatieve bewegingscomponenten het effect van een cirkelbeweging voorstellen, bekeken vanuit de assen in translatie, die hun oorsprong in het punt A hebben, kunnen deze termen worden uitgedrukt als volgt: āB = āA + ᾱ × r̄B/A + ω̄ × (ω̄ × r̄B/A ) = āA + ᾱ × r̄B/A − ω 2 r̄B/A (7.27) Opmerkingen Wanneer we deze laatste vergelijking in de praktijk toepassen om de versnelling van een star lichaam te bestuderen dat scharnierend is be- vestigd aan twee andere lichamen (Figuur 7.20), moeten we bedenken 7.5 Algemene beweging 112 dat de punten die samenvallen met het scharnier met dezelfde versnel- ling bewegen, omdat de bewegingsbaan die ze beschrijven dezelfde is. Figuur 7.20: Versnellingen van scharnierend aan elkaar verbonden starre lichamen Wanneer twee lichamen met elkaar contact maken zonder te glijden en de contactpunten een verschillende baan beschrijven (Figuur 7.21), zijn de tangentiële versnellingscomponenten van de punten gelijk, de normale component echter niet. In tegenstelling tot de snelheden, zijn de versnellingen meestal niet rakend aan de banen. Aangezien de normale versnelling van de snelheid afhangt, is het meestal noodzakelijk om de snelheden te bepalen alvorens zich op de versnel- lingen toe te leggen. Zoals in de studie van de snelheden kan een grafische oplossing worden gebruikt in parallel met het oplossen van de vergelijkingen. Het referentiepunt is een punt waarvan de versnelling gekend is of ge- makkelijk te bepalen is. 7.5 Algemene beweging 113 Figuur 7.21: Versnellingen wanneer de contactpunten verschillende banen volgen Belangrijke opmerking: rollen zonder glijden Wanneer een wiel rolt zonder glijden op een onbeweeglijk horizontaal oppervlak (Figuur 7.22), voert het middelpunt O een rechtlijnige horizontale beweging uit en zijn versnelling āO heeft enkel een horizontale component. De baan van de punten op de omtrek van het wiel is een cycloïde. Vlak voor het contact met de grond is hun snelheid verticaal en naar beneden gericht. Vlak na het contact is de snelheid nog steeds verticaal, doch naar boven gericht. De ogenblikkelijke versnelling van het contactpunt A (het OR) is dus ook verticaal. Toepassen van vergelijking 7.27 tussen O en A leidt tot āO = āA + ᾱ × r̄O/A − ω 2 r̄O/A. Oplossen geeft de groottes van de versnellingen van het middelpunt en van het contactpunt: aO = α r (7.28) aA = ω 2 r (7.29) 7.5 Algemene beweging 114 Figuur 7.22: Het wiel rolt zonder glijden op een stilstaand horizontaal op- pervlak. De versnelling van het middelpunt is horizontaal en die van het contactpunt is verticaal Oefening Een stang AB wordt gedwongen langs hellende vlakken te be- wegen (Figuur 7.23). Op het ogenblik dat de stang horizontaal is, heeft punt A een versnelling van 3 m/s2 en een snelheid van 2 m/s, beide neerwaarts t.o.v. het vlak. Bepaal de hoekversnelling van de stang op dit ogenblik. Antwoord: α = 0, 344 rad/s2. Figuur 7.23: Stang op twee hellende vlakken Oefening De klos, die in figuur 7.24 is weergegeven, wikkelt het touw af zodanig dat deze klos op het gegeven ogenblik een hoeksnelheid heeft van 3 rad/s en een hoekversnelling van 4 rad/s2. Bepaal de versnelling van het punt B. Antwoord: aB = 3, 7 m/s2. 7.5 Algemene beweging 115 Figuur 7.24: Afwikkelen van een klos Oefening De krukas AB draait met een hoekversnelling van 20 rad/s2 met de klok mee (Figuur 7.25). Bepaal de versnelling van de zuiger op het ogenblik dat AB in de getoonde stand staat. Op dit ogenblik is ωAB = 10 rad/s en ωBC = 2, 43 rad/s. Antwoord: aC = −13, 6 m/s2. Figuur 7.25: Kruk- en drijfstangmechanisme 7.5 Algemene beweging 116 7.5.3 Relatieve ruimte in translatie en rotatie In een aantal vraagstukken kan een ruimte worden gebruikt die zowel een translatie als een rotatie ondergaat. Een dergelijke keuze is bijvoorbeeld nuttig wanneer er glijeffecten optreden op de plaats waar starre lichamen met elkaar in verbinding staan of nog om bewegingen te analyseren van twee punten op een mechanisme die zich niet op hetzelfde starre lichaam bevinden (zie figuur 7.26). In de volgende analyse worden twee vergelijkingen opgesteld die het verband uitdrukken tussen de snelheid en versnelling van twee punten, waarvan er één de oorsprong is van een bewegende ruimte die zowel een translatie als een rotatie in het vlak ondergaat. Figuur 7.26: De punten A en B bevinden zich niet op hetzelfde starre li- chaam: v̄B 6= v̄A + ω̄ × r̄B/A en āB 6= āA + ᾱ × r̄B/A − ω 2 r̄B/A ! 7.5.3.1 Plaats We beschouwen de twee punten A en B die zijn afgebeeld in figuur 7.27. Hun plaats wordt gegeven door de plaatsvectoren r̄A en r̄B die worden gemeten ten opzichte van een absoluut assenstelsel. Het punt A is oorsprong van het relatieve assenstelsel, dat een translatie en een rotatie ondergaat ten opzichte van de absolute ruimte. De positie van B ten opzichte van A wordt gegeven door de relatieve positievector r̄B/A. De componenten van deze vector kunnen worden uitgedrukt ten opzichte van het absolute XY Z-assenstelsel of in het relatieve xyz-assenstelsel. 7.5 Algemene beweging 117 In xyz heeft men: r̄B/A = xB ī + yB j̄ met ī en j̄ de eenheidsvectoren van de assen x en y. Door vectoroptelling wordt het verband tussen de 3 plaatsvectoren in fig 7.27 gegeven door de vergelijking r̄B = r̄A + r̄B/A (7.30) Op het beschouwde tijdstip heeft punt A een snelheid v̄A en een versnelling āA , terwijl de hoeksnelheid en hoekversnelling van de x- en y-as gelijk is aan respectievelijk Ω̄ en Ω̄˙ = dΩ̄/dt. Al deze vectoren zijn dus verbonden aan bewegingen waargenomen vanuit de absolute ruimte, maar hun componenten kunnen zonder onderscheid worden uitgedrukt ten opzichte van I¯J¯K̄, de eenheidsvectoren van het absolute assenstelsel, of īj̄ k̄, de eenheidsvectoren van het relatieve assenstelsel. Omdat het om een beweging in het vlak gaat, staan Ω̄ en Ω̄˙ altijd loodrecht op het referentievlak terwijl v̄A en āA in dit vlak liggen. Figuur 7.27: Plaatsvectoren van punten A en B 7.5 Algemene beweging 118 7.5.3.2 Snelheid De snelheid van punt B wordt bepaald door de tijdsafgeleide van vergelij- king 7.30 te nemen: dr̄B/A v̄B = v̄A + (7.31) dt De laatste term in deze vergelijking is gelijk aan: dr̄B/A d = (xB ī + yB j̄) (7.32) dt dt dxB dī dyB dj̄ = ī + xB + j̄ + yB dt dt dt dt dxB dyB dī dj̄ = ( ī + j̄) + (xB + yB ) dt dt dt dt De twee termen tussen het eerste paar haakjes geven de snelheidscomponen- ten van punt B weer, zoals gemeten door een waarnemer die zich in een vast punt ten opzichte van de relatieve ruimte bevindt. Deze termen worden aan- gegeven door de vector (v̄B/A )rel. Tussen het tweede paar haakjes staat de ogenblikkelijke tijdsafgeleide van vectoren ī en j̄, gemeten door een waarne- mer die zich in de absolute ruimte bevindt. Op basis van figuur 7.28 kunnen deze afgeleiden bepaald worden: dī dθ dj̄ dθ = j̄ = Ωj̄ en = (−ī) = −Ωī dt dt dt dt Figuur 7.28: Afgeleiden van de eenheidsvectoren ī en j̄ Deze afgeleiden kunnen ook uitgedrukt worden met uitwendige producten: dī dj̄ = Ω̄ × ī en = Ω̄ × j̄ dt dt 7.5 Algemene beweging 119 Door substitutie van deze resultaten wordt vergelijking 7.32: dr̄B/A = (v̄B/A )rel + Ω̄ × (xB ī + yB j̄) = (v̄B/A )rel + Ω̄ × r̄B/A dt en uiteindelijk wordt vergelijking 7.31: v̄B = v̄A + Ω̄ × r̄B/A + (v̄B/A )rel (7.33) Waarbij: v̄B de absolute snelheid is van B (beweging van B, waargenomen vanuit de absolute ruimte) v̄A de absolute snelheid is van A (beweging van A, waargenomen vanuit de absolute ruimte) Ω̄ × r̄B/A de snelheid is, veroorzaakt door de rotatie van de relatieve ruimte. Deze laatste twee termen geven de beweging van de relatieve ruimte weer, waargenomen vanuit de absolute ruimte. Men spreekt van de sleepsnelheid. (v̄B/A )rel is de relatieve snelheid van B ten opzichte van A (beweging van B, waargenomen vanuit de relatieve ruimte) Deze verschillende componenten worden gevisualiseerd op figuur 7.29, waar- bij het punt B een kromlijnige baan volgt, vast ten opzichte van een plaat die meedraait met de relatieve ruimte. De snelheid van B ten opzichte van de plaat is rakend aan de kromlijnige baan. Opmerking Het bekomen resultaat voor de snelheid kan worden uitgebreid naar om het even welke vector. Beschouwen we een vector D̄. Zijn afgeleide in de absolute ruimte kan worden berekend in functie van zijn afgeleide in de relatieve ruimte en de rotatiesnelheid Ω̄ van de relatieve ruimte ten opzichte van de absolute:     dD̄ dD̄ = + Ω̄ × D̄ (7.34) dt abs dt rel 7.5 Algemene beweging 120 Figuur 7.29: Snelheidscomponenten in geval van een relatieve ruimte in rotatie 7.5.3.3 Versnelling De versnelling van punt B kan worden uitgedrukt door de afgeleide van ver- gelijking 7.33. Door gebruik te maken van vergelijking 7.34, bekomt men: dv̄B dv̄A dΩ̄ dr̄B/A d(v̄B/A )rel = + × r̄B/A + Ω̄ × + dt dt dt dt dt dr̄ d(v̄ ) = āA + Ω̄˙ × r̄B/A + Ω̄ × B/A B/A rel āB + (7.35) dt dt Hierin is Ω̄˙ de hoekversnelling van de relatieve ruimte en is enkel een maat voor de verandering in grootte van Ω̄ aangezien de beweging in het platte vlak gebeurt en Ω̄ altijd loodrecht op het bewegingsvlak staat. dr̄B/A De derde term van vergelijking 7.35 wordt na substitutie van (eerder dt berekend): dr̄B/A Ω̄ × = Ω̄ × (v̄B/A )rel + Ω̄ × (Ω̄ × r̄B/A ) (7.36) dt Voor wat betreft de laatste term van vergelijking 7.35, uit: (v̄B/A )rel = (vB/A )x ī + (vB/A )y j̄ krijgen we: 7.5 Algemene beweging 121   d(v̄B/A )rel d(vB/A )x d(vB/A )y = ī + j̄ dt dt dt   dī dj̄ + (vB/A )x + (vB/A )y dt dt = (āB/A )rel + Ω̄ × (v̄B/A )rel (7.37) Wanneer we deze uitkomsten in vergelijking 7.35 substitueren, levert dit: āB = āA + Ω̄˙ × r̄B/A + Ω̄ × (Ω̄ × r̄B/A ) (7.38) + 2Ω̄ × (v̄B/A )rel + (āB/A )rel Waarbij āB de absolute versnelling van B is (beweging van B, waargenomen vanuit de absolute ruimte). āA de absolute versnelling van A is (beweging van de oorsprong van de relatieve ruimte, waargenomen vanuit de absolute ruimte). Ω̄˙ × r̄B/A de versnelling is ten gevolge van de hoekversnelling van de relatieve ruimte. Ω̄ × (Ω̄ × r̄B/A ) de (centripetale) versnelling is ten gevolge van de hoek- snelheid van de relatieve ruimte. De eerste drie termen van het rechterlid stellen de beweging van de relatieve ruimte voor, waargenomen vanuit de absolute ruimte en men noemt deze de sleepversnelling. 2Ω̄ × (v̄B/A )rel is het gecombineerde effect van de relatieve beweging van B ten opzichte van de relatieve ruimte en de rotatie van de re- latieve ruimte. Deze term wordt Coriolisversnelling genoemd en is steeds loodrecht op Ω̄ en (v̄B/A )rel. De Coriolisversnelling is een be- langrijke component van de versnelling waarmee men steeds rekening moet houden in het geval van ruimtes in rotatie. Dit is dikwijls het geval voor versnellingen van raketten of langeafstandraketten of andere lichamen waarvan de beweging sterk wordt beïnvloed door de rotatie van de aarde. 7.5 Algemene beweging 122 (āB/A )rel de relatieve versnelling van B is ten opzichte van A. Deze verschillende versnellingen worden voorgesteld op figuur 7.30. Figuur 7.30: Voorstelling van de verschillende versnellingen bij gebruik van een relatieve ruimte in rotatie Als we vergelijking 7.38 vergelijken met vergelijking 7.27, geldig voor een ruimte in translatie, zien we dat het verschil tussen de vergelijkingen wordt gevormd door de termen 2Ω̄ × (v̄B/A )rel en (āB/A )rel. De Coriolisversnelling is moeilijk te visualiseren omdat ze is samengesteld uit twee verschillende fysische effecten. Teneinde het begrijpen ervan te verge- makkelijken, zullen we de meest eenvoudige beweging beschouwen bij dewelke deze effecten optreden. Op figuur 7.31(a), zien we een draaiende schijf met een radiale groef in dewelke een deeltje A verplicht is te bewegen. We ver- onderstellen dat de schijf draait met een constante hoeksnelheid ω en dat A zich verplaatst met een constante snelheid vrel ten opzichte van de groef. De absolute snelheid van A heeft dus twee componenten: de relatieve snelheid vrel = ẋ en de snelheid tengevolge van het draaien van de schijf = ωx. De va- riaties van deze snelheden door het draaien van de schijf worden voorgesteld op figuur 7.31(b) voor het tijdsinterval dt, gedurende hetwelke de xy-assen draaien over een hoek dθ waarna ze zich in x0 y 0 bevinden. De snelheidstoe- name als gevolg van de richtingsverandering van vrel is ẋdθ en deze te wijten aan de wijziging van de grootte van ωx is ωdx, beiden in de richting van y, loodrecht op de groef. Door de toenames te delen door dt en ze op te tellen, bekomt men ω ẋ + ẋω = 2ẋω, wat gelijk is aan de grootte van de Coriolisver- snelling 2ω̄ × v̄rel. De derde toename gedeeld door dt komt overeen met de centripetale versnelling xω 2. 7.5 Algemene beweging 123 Figuur 7.31: De componenten van de Coriolisversnelling Oefening De stang op de figuur 7.32 draait in het vlak van de figuur. Terzelfdertijd verplaatst de glijder C zich langs de stang. Wanneer de stang een hoek van 60◦ maakt met de horizontale, heeft ze een (ogenblikkelijke) hoeksnelheid van 3 rad/s en een hoekversnelling van 2 rad/s2. Op hetzelfde moment bevindt de glijder zich in x= 0,2 m, en bedragen zijn snelheid en versnelling, gemeten ten opzichte van de stang, respectievelijk 2 m/s en 3 m/s2. Bepaal de Coriolisversnelling, alsook de (absolute) snelheid en de versnelling van de glijder op het beschouwde ogenblik. Antwoord: aCor = {−12j̄} m/s2 ; vC = {2ī − 0, 6j̄} m/s; aC = {1, 2ī − 12, 4j̄} m/s2. Figuur 7.32: Stang met glijder 7.5 Algemene beweging 124 Oefening Twee vliegtuigen A en B vliegen op dezelfde hoogte en bewegen zoals in figuur 7.33 is weergegeven. Bepaal de snelheid en de versnelling van A zoals die gemeten wordt door de piloot van B. Antwoord: (v̄A/B )xyz = {94j̄} km/u; (āA/B )xyz = {−119ī + 151j̄} km/u2. Figuur 7.33: Twee vliegtuigen Hoofdstuk 8 Dynamica van het starre lichaam in het vlak: grondvergelijking en algemene stellingen Doelstellingen van dit hoofdstuk Definiëren van hoeveelheid beweging, kinetisch moment en stoot en het toepassen van deze begrippen; De bewegingsvergelijkingen voor een star lichaam in het vlak bestude- ren; Het toepassen van de bewegingsvergelijkingen voor translaties, rotaties en algemene bewegingen; Het bestuderen van de stelling van hoeveelheid beweging en de stelling van het kinetisch moment; Het inleiden van het begrip botsing. 8.1 Inleiding 126 8.1 Inleiding We bestuderen in dit hoofdstuk de dynamica van starre lichamen die een vlakke beweging uitvoeren. Alle punten van het lichaam verplaatsen zich dus in evenwijdige vlakken. Het vlak waarin het massacentrum beweegt noe- men we het referentievlak. De baan van elk punt van het lichaam is een vlakke kromme, evenwijdig met het (vaste) referentievlak. Om een vlakke beweging te garanderen, moet het massacentrum in het referentievlak blijven. Dat is enkel mogelijk als de krachtresultante in het referentievlak blijft en het moment er loodrecht op blijft staan. In dit geval kan de algemene studie van het aan verschillende uitwendige krachten onderworpen lichaam herleid worden tot de studie in het referentievlak van het lichaam dat aan de in dit vlak geprojecteerde krachten onderworpen wordt (Figuur 8.1). De uitwen- dige krachten die worden uitgeoefend op het lichaam zijn de zwaartekracht, elektrische, magnetische of contactkrachten met naburige lichamen. Onder invloed van externe krachten kan het lichaam een translatie en/of een rotatie uitvoeren. Het systeem bezit 3 vrijheidsgraden: de coördinaten xy leggen de positie van het massacentrum vast en een hoek θ bepaalt de oriëntatie. Drie vergelijkingen zijn nodig om de beweging van het lichaam volledig te kenmerken: 2 voor de translatie en 1 voor de rotatie. De studie van de beweging wordt gevoerd ten opzichte van een inertiële ruimte. Zoals voor het materieel punt of de statica van het starre lichaam zullen we bijzondere aandacht besteden aan de keuze van de ruimte en de identificatie van het bestudeerde systeem, dat van de omgeving zal geïsoleerd worden (vrijlichaamsschema); we zullen de grenzen van het systeem en de uitwendige krachten steeds duidelijk weergeven. Figuur 8.1: Krachten en momenten in het bewegingsvlak 8.1 Inleiding 127 In functie van de toegepaste krachten, kunnen we drie gevallen onderscheiden: 1. Translatiebeweging: het krachtstelsel kan herleid worden tot één enkele kracht die door het zwaartepunt gaat (Figuur 8.2). 2. Rotatie om een vaste as: het krachtstelsel kan herleid worden tot een krachtkoppel (Figuur 8.3). 3. Algemene beweging: het krachtstelsel kan herleid worden tot één enkele kracht die niet door het zwaartepunt gaat. De krachtresultante kan verplaatst worden tot in het massacentrum, mits er een gepast moment aan toegevoegd wordt (Figuur 8.4). Het lichaam voert een beweging uit die samengesteld is uit een translatie en een rotatie. Een dergelijke beweging wordt een algemene (of willekeurige) beweging genoemd. Figuur 8.2: Wanneer de resultante door het massacentrum gaat, voert het lichaam enkel een translatie uit Figuur 8.3: Het lichaam voert enkel een rotatie uit onder invloed van een krachtenkoppel Teneinde de bewegingsvergelijkingen van een star lichaam op te stellen, zul- len we twee nieuwe concepten zoals hoeveelheid (van) beweging en kinetisch moment invoeren. Deze grootheden zullen worden bepaald voor de drie hier- boven aangehaalde soorten beweging. 8.2 Hoeveelheid beweging 128 Figuur 8.4: Het lichaam voert een algemene beweging uit wanneer de re- sultante niet door het massacentrum gaat 8.2 Hoeveelheid beweging 8.2.1 Hoeveelheid beweging van een materieel punt De hoeveelheid beweging van een materieel punt i met massa mi en snelheid v̄i is de vector L̄i gedefinieerd als (zie ook cursus Mechanica van het punt): L̄i = mi v̄i Opmerking In veel literatuur wordt hoeveelheid beweging voorgesteld door het symbool p̄. 8.2.2 Hoeveelheid beweging van een star lichaam Een star lichaam kan worden beschouwd als een geheel van materiële punten (Figuur 8.5). Aangezien het lichaam star is, zijn de afstanden tussen de materiële punten constant. Elk materieel punt heeft een massa mi en een snelheid v̄i. De hoeveelheid beweging van het starre lichaam wordt bekomen door de hoeveelheid beweging van alle puntmassa’s van het lichaam vectorieel op te tellen: X L̄ = mi v̄i P Vanuit de definitie van het massacentrum ( mi r̄i = mr̄G ) bekomt men door afleiden: X mi v̄i = mv̄G En dus: L̄ = mv̄G (8.1) 8.2 Hoeveelheid beweging 129 Figuur 8.5: Een star lichaam is opgebouwd uit materiële punten De hoeveelheid beweging van een star lichaam is het product van de massa met de snelheidsvector v̄G van het massacentrum. De hoeveelheid beweging van een star lichaam is dus een vectoriële grootheid, met een grootte mvG die meestal wordt uitgedrukt in kgm/s en een richting en zin die aangegeven wordt door v̄G , de snelheid van het massamiddelpunt van het lichaam. Opmerkingen De vergelijking 8.1 kan eveneens worden toegepast op een materieel stelsel (= geheel van starre lichamen). De hoeveelheid beweging is gelijk aan nul wanneer v̄G = 0̄. Een ty- pisch voorbeeld is de rotatie om een vaste as door G, voor dewelke elk punt van het lichaam een cirkelbaan beschrijft om het onbeweeglijke massacentrum (Figuur 8.6). 8.3 Kinetisch moment 130 Figuur 8.6: De hoeveelheid beweging is gelijk aan nul in het geval van een rotatie om een vaste as door G 8.3 Kinetisch moment In deze paragraaf definiëren we het kinetisch moment, een concept dat de basis vormt voor de vergelijkingen die de rotatie van een star lichaam be- schrijven. 8.3.1 Kinetisch moment van een puntmassa Het kinetisch moment (of bewegingsmoment) H̄A van een puntmassa P ten opzichte van een punt A wordt gedefinieerd als het moment ten opzichte van A van de hoeveelheid beweging van P (Figuur 8.7). Figuur 8.7: H̄A is het kinetisch moment van P ten opzichte van A 8.3 Kinetisch moment 131 Het kinetisch moment kan worden berekend door middel van het volgende uitwendig product: H̄A = r̄P/A × mv̄P (8.2) 8.3.2 Kinetisch moment van een star lichaam Het kinetisch moment van een star lichaam ten opzichte van een punt A is per definitie gelijk aan de som van de kinetische momenten ten opzichte van A van alle materiële punten van dat lichaam : X H̄A = (r̄i/A × mi v̄i ) (8.3) Het starre lichaam van figuur 8.8 bezit een massa m en de positie van het massacentrum G ten opzichte van het punt A wordt gegeven door de vector r̄G/A. De absolute snelheid v̄i van een puntmassa i kan geschreven worden als Figuur 8.8: Berekening van het kinetisch moment van een star lichaam v̄G + v̄i/G , met v̄i/G de relatieve snelheid van het materieel punt i ten opzichte van G. We kunnen dus schrijven: 8.3 Kinetisch moment 132 X H̄A = (r̄i/A × mi (v̄G + v̄i/G )) X X = (r̄i/A × mi v̄G ) + (r̄i/A × mi v̄i/G ) X = Σ(r̄i/A mi ) × v̄G + ((r̄G/A + r̄i/G ) × mi v̄i/G ) X = mr̄G/A × v̄G + Σ(r̄G/A × mi v̄i/G ) + (r̄i/G × mi v̄i/G ) X X = r̄G/A × mv̄G + r̄G/A × (mi v̄i/G ) + (r̄i/G × mi v̄i/G ) P Gezien (mi v̄i/G ) altijd gelijk is aan nul (per definitie van het massacen- trum), bekomen we: X H̄A = r̄G/A × mv̄G + (r̄i/G × mi v̄i/G ) P De term (r̄i/G ×mi v̄i/G ) is het kinetisch moment van het lichaam, berekend met de relatieve snelheden v̄i/G , en wordt het relatieve kinetisch moment genoemd. Men noteert het H̄Gr. Uiteindelijk: H̄A = r̄G/A × mv̄G + H̄Gr (8.4) Het (absolute) kinetisch moment van een star lichaam ten opzichte van een punt A is dus gelijk aan de vectorsom van twee termen: het kinetisch moment, ten opzichte van dat punt, van het massacen- trum, aan hetwelke men de volledige massa van het lichaam toebedeelt: r̄G/A × mv̄G ; het relatieve kinetisch moment H̄Gr. Particulier geval Als we deze vergelijking schrijven ten opzichte van het massacentrum, krijgen we: H̄G = 0̄ × mv̄G + H̄Gr = H̄Gr (8.5) We zien dus dat het relatieve kinetisch moment ten opzichte van G gelijk is aan het absolute kinetisch moment ten opzichte van G. We kunnen dus de notie ’relatief’ weglaten om naar het relatieve kinetisch moment ten opzichte van G te refereren en we zullen de relatieve snelheid kunnen gebruiken om het absolute kinetisch moment ten opzichte van G te berekenen: X H̄G = (r̄i/G × mi v̄i/G ) (8.6) 8.3 Kinetisch moment 133 De relatieve snelheid v̄i/G is gelijk aan ω̄ × r̄i/G , met ω̄ de hoeksnelheid van het starre lichaam. Het kinetisch moment ten opzichte van G wordt: X H̄G = (r̄i/G × mi (ω̄ × r̄i/G )) X = mi ((r̄i/G · r̄i/G )ω̄ − (r̄i/G · ω̄)r̄i/G ) Gezien r̄i/G en ω̄ onderling loodrecht zijn, heeft men: X 2 H̄G = (mi ri/G ω̄) (8.7) 2 P De som mi ri/G wordt, zoals reeds gezien, het massatraagheidsmoment van het lichaam genoemd, ten opzichte van een as door G en loodrecht op het bewegingsvlak (zoals reeds gezien in hoofdstuk 6). Men kan dus schrijven: H̄G = IG ω̄ (8.8) en H̄A = IG ω̄ + r̄G/A × mv̄G (8.9) Opmerkingen: IG is een constante eigenschap van het starre lichaam en is een maat van de weerstand tegen een verandering van de hoeksnelheid; Het uitwendig product r̄G/A ×mv̄G is gelijk aan [m(vG )y.xG −m(vG )x.yG ]k̄ als we de oorsprong van het assenstelsel in het punt A nemen; Het kinetisch moment van een star lichaam om een punt A komt overeen met het moment van de hoeveelheid beweging mv̄G om A plus IG ω. 8.3.3 Uitdrukking van het kinetisch moment voor fun- damentele bewegingen 8.3.3.1 Translatie Wanneer een star lichaam een (rechtlijnige of kromlijnige) translatie onder- gaat, is de hoeksnelheid gelijk aan nul (ω̄ = 0̄). Het kinetisch moment om G is dus gelijk aan nul: H̄G = 0̄ (8.10) Het kinetisch moment ten opzichte van een ander punt A wordt: H̄A = r̄G/A × mv̄G (8.11) 8.3 Kinetisch moment 134 Figuur 8.9: Lichaam in translatie 8.3.3.2 Rotatie om een vaste as door G Voor een lichaam dat met een hoeksnelheid ω̄ draait om een vaste as door het massacentrum heeft men dat v̄G = 0̄ en men toont gemakkelijk aan dat: H̄A = H̄G = IG ω̄ (8.12) 8.3.3.3 Rotatie om een vaste as door een punt O 6= G Wanneer een star lichaam roteert om een vaste as die door een willekeurig punt O gaat (Figuur 8.10), is het kinetisch moment ten opzichte van G gelijk aan: H̄G = IG ω̄ (8.13) Figuur 8.10: Lichaam in rotatie om een vaste as door een punt O 8.4 Bewegingsvergelijkingen 135 Het kinetisch moment ten opzichte van een punt A, verschillend van G, wordt:
H̄A = IG ω̄ + r̄G/A × mv̄G (8.14) Soms is het nuttig om het kinetisch moment om het rotatiepunt O te be- schouwen. In dat geval heeft men: H̄O = IG ω̄ + r̄G/O × mv̄G (8.15)
Gezien de rotatiebeweging is mv̄G = m ω̄ × r̄G/O. We bekomen voor de tweede term van het rechterlid van vergelijking 8.15 :
r̄G/O × mv̄G = r̄G/O × m ω̄ × r̄G/O

= m r̄G/O · r̄G/O · ω̄ − m r̄G/O · ω̄ · r̄G/O | {z } (8.16) 0̄ 2 = mrG/O ω̄ Door substitutie van vergelijking 8.16 in 8.15 bekomen we: 2 H̄O = (IG + mrG/O )ω̄ (8.17) Men bekomt dus uiteindelijk: H̄O = IO ω̄ (8.18) 8.3.3.4 Algemene vlakke beweging Voor een star lichaam dat een willekeurige vlakke beweging beschrijft, heeft men (zie vergelijkingen 8.8 en 8.9): H̄G = IG ω̄ (8.19) H̄A = IG ω̄ + r̄G/A × mv̄G (8.20) 8.4 Bewegingsvergelijkingen 8.4.1 Vergelijking van de krachten Een star lichaam kan worden beschouwd als een stelsel van puntmassa’s die zich binnen een afgesloten gebied in de ruimte bevinden. De willekeurige i- de puntmassa met een massa mi is onderhevig aan een stelsel van inwendige krachten f¯i en uitwendige krachten F̄i (Figuur 8.11(a)). 8.4 Bewegingsvergelijkingen 136 Figuur 8.11: Toepassing van de grondvergelijking op elke puntmassa Wanneer we de bewegingsvergelijking toepassen, geeft dit: X F̄ = mi āi ⇒ F̄i + f¯i = mi āi Het vrijlichaamsschema voor de i-de puntmassa is weergegeven in figuur 8.11(b). Wanneer de bewegingsvergelijking wordt toegepast op elk van de andere puntmassa’s van het stelsel, leidt dit tot soortgelijke vergelijkingen. Wan- neer alle vergelijkingen vectorieel worden opgeteld, krijgen we: X X X F̄i + f¯i = mi āi (8.21) | {z } 0̄ De som van de inwendige krachten is gelijk aan nul omdat ze elkaar opheffen volgens de derde wet van Newton. Zij r̄G de plaatsvector van het massacentrum G van het lichaam. Uit de definitie van het massacentrum volgt dat: X mr̄G = mi r̄i P Met m = mi. We leiden deze vergelijking tweemaal af naar de tijd en bekomen achtereenvolgens: X mv̄G = mi v̄i X māG = mi āi 8.4 Bewegingsvergelijkingen 137 Substitutie van deze uitkomst in vergelijking 8.21 geeft: X F̄i = māG (8.22) Zo bekomt men de grondvergelijking van de dynamica van een star lichaam die de beweging van het massacentrum beschrijft. Deze vergelijking is van fundamenteel belang omdat ze toelaat de translatiebeweging van het star lichaam te bepalen door de beweging van een puntmassa te bestuderen die in het massacentrum zou liggen en waarop de krachtresultante uitgeoefend wordt. Opmerkingen Het betreft een ogenblikkelijke vergelijking. Aangezien de krachten veranderlijk kunnen zijn, kan de versnelling eveneens veranderen in de tijd. Door deze vectoriële vergelijking op de assen te projecteren, bekomt men X Fx = m(aG )x X (8.23) Fy = m(aG )y De vectorvergelijking impliceert dat de versnellingsvector ā dezelfde richting moet hebben als de resultante van de uitwendige krachten, wat niet noodzakelijk betekent dat deze door G gaat. We kunnen deze vergelijking eveneens uitdrukken met behulp van de hoe- veelheid beweging. De tijdsafgeleide L̄˙ van de hoeveelheid beweging van het starre lichaam is mv̄˙ G = māG. Deze is dus gelijk aan de resultante van de uitwendige krachten die op het lichaam inwerken. We hebben dus: F̄i = L̄˙ X (8.24) De resultante van de uitwendige krachten die op het lichaam inwerken is gelijk aan de tijdsafgeleide van de hoeveelheid beweging van dat lichaam. Het is een alternatieve vorm van de tweede wet van Newton. Opmerking Deze laatste vergelijking is eveneens geldig voor systemen waarvan de massa varieert in de tijd. 8.4 Bewegingsvergelijkingen 138 8.4.2 Vergelijking van de momenten We beschouwen een materieel punt van een star lichaam op hetwelke in- wendige en uitwendige krachten worden toegepast. De door deze krachten gegenereerde momenten ten opzichte van een punt A kunnen met behulp van de grondvergelijking in verband worden gebracht met het kinetisch moment van het materieel punt. F̄i + f¯i = mi āi We berekenen het moment van deze twee termen ten opzichte van A en we Figuur 8.12: De grondvergelijking toegepast op een materieel punt i van een star lichaam maken de som voor alle materiële punten van het lichaam: X X (r̄i/A × (F̄i + f¯i )) = (r̄i/A × mi āi ) In deze uitdrukking is de som van de momenten van de inwendige krachten gelijk aan nul. Men bekomt dus: X X (r̄i/A × F̄i ) = (r̄i/A × mi āi ) We schrijven het resulterend moment onder de volgende vorm: X X (r̄i/A × F̄i ) = M̄A Door vergelijking (8.3) naar de tijd af te leiden, bekomen we: X d H̄˙ A = X X X X (r̄i/A ×mi v̄i ) = (v̄i/A ×mi v̄i )+ (r̄i/A ×mi āi ) = (v̄i/A ×mi v̄i )+ M̄A dt 8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 139 De absolute snelheid v̄i van een materieel punt i is gelijk aan v̄A + v̄i/A , met v̄i/A de relatieve snelheid van het materieel punt i ten opzichte van A. We kunnen v̄i/A dus vervangen door v̄i − v̄A en de laatste vergelijking wordt: H̄˙ A = X X X (v̄i × mi v̄i ) − (v̄A × mi v̄i ) + M̄A | {z } | {z } 0̄ v̄A ×mv̄G Men heeft dus: M̄A = H̄˙ A + v̄A × mv̄G X (8.25) Vanaf vergelijking 8.9: H̄˙ A = IG ω̄˙ + v̄G/A × mv̄G + r̄G/A × māG (8.26) Door v̄G/A te vervangen door v̄G − v̄A : H̄˙ A = IG ω̄˙ − v̄A × mv̄G + r̄G/A × māG (8.27) Uiteindelijk geeft de combinatie van vergelijking 8.25 en 8.27: X M̄A = IG ᾱ + r̄G/A × māG (8.28) Door de momenten ten opzichte van G te schrijven vinden we: X M̄G = IG ᾱ (8.29) 8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 8.5.1 Rechtlijnige translatie Wanneer een lichaam een rechtlijnige translatie ondervindt, beschrijven alle deeltjes van het lichaam een evenwijdige, rechtlijnige baan. Alle puntmassa’s hebben dezelfde snelheid v̄G en dezelfde versnelling āG = ā. De hoeksnelheid ω̄ en de hoekversnelling ᾱ zijn nul. Het kinetisch moment om G is dus nul en het P lichaam is in rotationeel evenwicht om zijn massacentrum, wat impliceert MG = 0. De bewegingsvergelijkingen die in dit geval van toepassing zijn, luiden dus:  P  P Fx = m(aG )x Fy = m(aG )y (8.30)  P MG =0  8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 140 De laatste vergelijking stelt dat de som van de momenten om het massacen- trum van het lichaam gelijk is aan nul. Het is natuurlijk mogelijk om de som van de momenten om een ander punt van het lichaam te bepalen. In dat geval wordt de momentenvergelijking voor de rechtlijnige translatie: X M̄A = r̄G/A × māG Het vrijlichaamsschema en het dynamisch schema zijn afgebeeld in figuur 8.13. Figuur 8.13: Bewegingsvergelijkingen in geval van rechtlijnige translatie p440 dyn boek Oefening De auto die in figuur 8.14 is afgebeeld, heeft een massa van 2000 kg en zijn massamiddelpunt ligt in G. Bepaal de versnelling van de auto als de aangedreven achterwielen altijd glijden, terwijl de voorwielen vrij kunnen draaien. Verwaarloos de massa van de wielen. De kinetische (dynamische) wrijvingscoëfficiënt tussen de wielen en de weg is µk = 0, 25. Antwoord: aG = 1, 59 m/s2 (←). Figuur 8.14: Achterwielaangedreven auto 8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 141 Oefening Een homogene kist van 50 kg is in beweging op een horizontaal oppervlak waarvan de dynamische (kinetische) wrijvingscoëfficiënt µk gelijk is aan 0, 2. Bepaal de versnelling van de kist als op de kist een kracht P̄ met een grootte van 600 N wordt uitgeoefend (Figuur 8.15). Antwoord: aG = 10 m/s2 (→). Figuur 8.15: Kist op een horizontaal oppervlak 8.5.2 Kromlijnige translatie Wanneer een star lichaam een kromlijnige translatie ondergaat, beschrijven alle deeltjes van het lichaam een evenwijdige kromlijnige baan. Voor de ana- lyse is het vaak handig om een inertieel coördinatenstelsel te gebruiken met een oorsprong die op het beschouwde moment samenvalt met het massacen- trum van het lichaam en waarvan de assen volgens de normale en tangentiële richting aan de baan zijn gericht. De drie scalaire bewegingsvergelijkingen zijn dan:  P  P Fn = m(aG )n Ft = m(aG )t (8.31)  P MG = 0 Wanneer de momentenvergelijking om een willekeurig punt uitgedrukt wordt, moet men rekening houden met de momenten van de twee componenten m(aG )n en m(aG )t. In het voorbeeld van figuur 8.16 bekomt men: X MB = e [m((aG )t )] + h [m((aG )n )] Opmerking Dit punt wordt meestal gekozen op het snijpunt van de dragers van zoveel mogelijk onbekende krachten om de analyse te vereenvoudigen.  8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 142 Figuur 8.16: Bewegingsvergelijkingen in geval van kromlijnige translatie p444 Oefening Een balk BD van 100 kg wordt gedragen door twee stangen met verwaarloosbare massa (Figuur 8.17). Bepaal de kracht in de twee stangen op het moment dat θ = 30◦ en ω = 6 rad/s. Antwoord: TB = TD = 1, 32 kN. Figuur 8.17: Balk in kromlijnige translatie 8.5.3 Rotatie om een vaste as door het massacentrum In dit geval draait het lichaam om zijn massacentrum dat vast is in de be- schouwde inertiële ruimte. Gezien de snelheid v̄G gelijk is aan nul, is de hoeveelheid beweging eveneens gelijk aan nul en de bewegingsvergelijking van het massacentrum wordt: X F̄ = 0̄ (8.32) 8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 143 Het kinetisch moment ten opzichte van G is H̄G = IG ω̄. De momentenverge- lijking is dus: X M̄G = IG ᾱ (8.33) P Deze vergelijking heeft dezelfde vorm als F̄ = mā; een moment is voor de rotatie wat een kracht is voor de translatie. Het traagheidsmoment is een maat van de weerstand van een lichaam tegen een hoekversnelling, vergelijk- baar met de massa die een maat is van de weerstand van een lichaam tegen een lineaire versnelling. Oefening Een homogene schijf van 30 kg met een straal r = 0,2 m is in haar middelpunt scharnierend bevestigd (Figuur 8.18). Bepaal het aantal omwentelingen dat de schijf moet maken om een hoeksnelheid van 20 rad/s te bereiken, als ze vanuit rust begint te draaien. Bepaal ook de reacties op het scharnier. De schijf ondergaat een kracht F = 10 N, die op een touw wordt uitgeoefend dat om de omtrek is gewikkeld, en een constant koppelmoment M = 5 Nm. Verwaarloos in de berekening de massa van het touw. Antwoord: 2,73 omwentelingen (); Gh = 0 N en Gv = 304 N (↑). Figuur 8.18: Homogene schijf 8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 144 8.5.4 Rotatie om een vaste as door een punt O 6= G De hoeksnelheid en hoekversnelling van het lichaam uit figuur 8.19, dat uit- sluitend in een vlak kan roteren om een vaste as die door het scharnierend punt O gaat, worden veroorzaakt door het stelsel van uitwendige krachten en koppels die op het lichaam worden uitgeoefend. Omdat het massacentrum G van het lichaam een cirkelvormige baan beschrijft, wordt de versnelling van dit punt weergegeven door zijn tangentiële en normale componenten. De tangentiële versnellingscomponent heeft een grootte (aG )t = αrG en moet in een richting worden uitgeoefend die overeenstemt met de hoekversnelling α van het lichaam. De grootte van de normale versnellingscomponent is (aG )n = ω 2 rG. Deze component is altijd van punt G naar O gericht, onaf- hankelijk van het teken van ω. De krachten en momenten die op het lichaam uitgeoefend worden, gewicht en reactiekracht F̄O in het scharnier inbegrepen, zijn in het vrijlichaamsschema opgenomen. De twee componenten van mā en IG ᾱ zijn in het dynamisch schema aangegeven. De twee schema’s zijn natuurlijk aan elkaar gelijk en de bewegingsvergelijkingen zijn dus:  P  P Fn = m(aG )n = mω 2 rG Ft = m(aG )t = mαrG (8.34)  P MG = IG α Figuur 8.19: Vrijlichaamsschema (a) en dynamisch schema (b) van een li- chaam in rotatie om een vaste as  8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 145 De momentenvergelijking kan worden geschreven ten opzichte van het rota- tiecentrum O en men bekomt dan (zie vergelijking 8.18) : X MO = IO α (8.35) Wanneer men de momentenvergelijking wil schrijven ten opzichte van een ander, willekeurig punt A, heeft men (zie vergelijking 8.28). X M̄A = IG ᾱ + r̄G/A × māG. (8.36) p455 Oefening Het ongebalanceerde vliegwiel van 25 kg, afgebeeld in figuur 8.20, heeft een gyrostraal van kG = 0, 18 m om een as die door zijn massamiddel- punt G gaat. Bepaal de horizontale en de verticale reactiecomponenten op het scharnier O als het vanuit stilstand wordt losgelaten. Antwoord: On = 0 N en Ot = 145 N. Figuur 8.20: Ongebalanceerd vliegwiel Oefening De schijf in figuur 8.21 heeft een massa van 60 kg en een gyros- traal van kO = 0, 25. Om de omtrek van de schijf wordt een touw met een verwaarloosbare massa gewikkeld en vervolgens bevestigd aan een blok met een massa van 20 kg. Bepaal de hoekversnelling van de schijf als het blok vanuit rust wordt losgelaten. Antwoord: α = 11, 3 rad/s2 ( ). 8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 146 Figuur 8.21: Schijf verbonden aan massa 8.5.5 Algemene beweging in het platte vlak Het star lichaam uit figuur 8.22 ondervindt een algemene vlakke beweging ten gevolge van een stelsel van uitwendige krachten en koppelmomenten. Het vrijlichaamsschema en het dynamisch schema zijn respectievelijk afgebeeld in figuur 8.22(a) en 8.22(b). Figuur 8.22: Vrijlichaamsschema (a) en dynamisch schema (b) van een li- chaam in algemene beweging Wanneer een star lichaam een algemene beweging uitvoert, zijn de hoeveel- heid beweging en het kinetisch moment om G gelijk aan:  L̄ = mv̄G (8.37) H̄G = IG ω̄  8.5 Toepassing van de bewegingsvergelijking 147 De twee grondvergelijkingen van de dynamica zijn dus: ˙  P P F̄ = L̄ = māG (8.38) M̄G = IG ᾱ Deze twee vergelijkingen drukken de tweede wet van Newton uit. De eerste wordt gebruikt om de beweging van het massacentrum te bestuderen terwijl de tweede wordt toegepast om de rotatie om het massacentrum te bestuderen. Wanneer een (absoluut) assenstelsel wordt gekozen zoals afgebeeld, kunnen de drie bewegingsvergelijkingen als volgt worden geschreven:  P  P Fx = m(aG )x Fy = m(aG )y (8.39)  P MG = IG α Bij een aantal vraagstukken is het handiger om de momenten te beschouwen ten opzichte van een vast punt, verschillend van G. Dit gebeurt meestal om onbekende krachten uit de momentensom te elimineren. Men moet dan in het kinetisch moment rekening houden met het moment van L̄ ten opzichte van dit punt (zie vergelijking 8.20). De momentenvergelijking wordt dan als volgt geschreven: X M̄A = IG ᾱ + r̄G/A × māG. (8.40) Oefening Bepaal de hoekversnelling van de haspel in figuur 8.23. De haspel heeft een massa van 8 kg en een gyrostraal van kG = 0, 35. De touwen hebben een verwaarloosbare massa en zijn respectievelijk om de naaf en de omtrek van de haspel gewikkeld. Antwoord: α = 10, 3 rad/s2 (). p473 Oefening De homogene dunne paal, die in figuur 8.24 is afgebeeld, heeft een massa van 100 kg. De statische en dynamische wrijvingscoëfficiënt tussen de paal en het oppervlak zijn respectievelijk µs = 0, 3 en µk = 0, 25. Bepaal de hoekversnelling van de paal op het ogenblik dat de horizontale kracht van 400 N wordt uitgeoefend. De paal staat in het begin stil. Antwoord: α = 0, 428 rad/s2 ( ). 8.6 Rolbeweging 148 Figuur 8.23: Haspel Figuur 8.24: Homogene dunne paal 8.6 Rolbeweging Een aantal vraagstukken over dynamica in het vlak vraagt speciale aandacht. Hierbij gaat het om wielen, cilinders of lichamen met een soortgelijke vorm die over een ruw oppervlak rollen. In sommige gevallen weet men niet of het lichaam onder de uitgeoefende belastingen rolt zonder te glijden of glijdt bij het rollen. Beschouwen we bijvoorbeeld een homogene schijf met massa m waarop een gekende horizontale kracht F̄ wordt uitgeoefend (Figuur 8.25). 8.6 Rolbeweging 149 Figuur 8.25: Rolbeweging Figuur 8.26: Rolbeweging: vrijlichaamsschema Vanaf het vrijlichaamsschema (Figuur 8.26) kan men de bewegingsvergelij- kingen schrijven:   F − Ff = maG N − mg = 0 Ff r = IG α  We hebben een systeem van 3 vergelijkingen met 4 onbekenden: Ff , N, α en aG. Een vierde vergelijking is nodig. Zonder glijden In dit geval is de snelheid van het contactpunt gelijk aan nul en de wrijvingskracht F̄f is dus een statische wrijvingskracht F̄s. Daar- voor moet de statische wrijvingskracht groot genoeg zijn, wat moet nagegaan worden door het resultaat te vergelijken met de maximale waarde Fsmax. Gezien er geen glijden optreedt, kan het verband tussen aG en α worden uitgedrukt door de kinematische vergelijking: aG = αr (8.41) De vier onbekenden worden bepaald door de vier bovenstaande vergelijkingen gelijktijdig op te lossen. Fs.r = IG.α = 1/2mr2 α = 1/2mr2 aG /r = 1/2mraG ⇒ Fs = 1/2maG  8.6 Rolbeweging 150 We substitueren dit resultaat in de eerste vergelijking: F − 1/2maG = maG 2F waaruit: F = 3/2maG => aG = 3m F en dus: Fs = 3 Wanneer de oplossing wordt verkregen, moet de hypothese van rollen zonder glijden worden gecontroleerd. Men weet dat er geen glijden optreedt wanneer Fs ≤ Fsmax = µs N , waarbij µs de statische wrijvingscoëfficiënt is. Wanneer hieraan is voldaan, is het vraagstuk opgelost. Wanneer echter Fs > µs N , moet het vraagstuk opnieuw worden bekeken, aangezien de schijf dan glijdt bij het rollen. Met glijden Bij glijden zijn aG en α onafhankelijk van elkaar en moet een andere vergelijking worden gebruikt. Er wordt gebruik gemaakt van de dynamische (kinetische) wrijvingscoëfficiënt µk , die de verhouding aangeeft tussen de grootte van de wrijvingskracht en de grootte van de normaalkracht: F d = µk N (8.42) Achteraf in de vgl aanpassen!!! F − µk mg In dit geval bekomt ment: F − µk mg = maG => aG =. m Het is het model van een dragend wiel (de achterwielen van een voertuig met voorwielaandrijving). De studie van het aangedreven wiel wordt in de volgende oefening gevoerd. zie kladboek Oefening Een wiel van 25 kg heeft een giratiestraal kG = 0, 2 m (Fi- guur 8.27). Bepaal de versnelling van zijn massacentrum G, als op het wiel een koppelmoment van 50 Nm wordt uitgeoefend. De statische en dynamische wrijvingscoëfficiënten tussen het wiel en het vlak bedragen respectievelijk 0,3 en 0,25. Antwoord: aG = 2, 45 m/s2. 8.7 Stellingen en behoudsprincipes 151 Figuur 8.27: Rollen van een wiel over een oppervlak 8.7 Stellingen en behoudsprincipes 8.7.1 Stoot De integraal I¯ = F̄ dt wordt gedefinieerd als de stoot. Deze term is een R vectorgrootheid die het effect van een kracht aangeeft gedurende de tijd dat de kracht wordt uitgeoefend. Aangezien tijd een positieve scalair is, werkt de stootvector in dezelfde zin als de kracht en wordt zijn grootte uitgedrukt in kracht maal tijd, dat wil zeggen Ns. Wanneer de kracht wordt uitgedrukt als functie van de tijd, kan de stoot worden bepaald door de integraal direct te bepalen. Als zowel de grootte als de zin van de kracht constant is, wordt de resulterende stoot: Z t2 I¯ = F̄c dt = F̄c (t2 − t1 ) t1 Grafisch kan de grootte van de stoot worden voorgesteld als het gekleurde op- pervlak onder de kromme die de kracht tegen de tijd weergeeft (Figuur 8.28). Figuur 8.28: Stoot van een veranderlijke kracht 8.7 Stellingen en behoudsprincipes 152 8.7.2 Stelling van de hoeveelheid beweging We vertrekken van de grondvergelijking van de krachten voor een star li- chaam: X dv̄G F̄i = m dt We bekomen: X ( F̄i )dt = mdv̄G Dit is de uitdrukking van de stelling van de hoeveelheid beweging onder dif- ferentiële vorm. De elementaire vectoriële variatie van de hoeveelheid bewe- ging van een star lichaam tussen twee oneindig nabije tijdstippen is gelijk aan de vectoriële som van de elementaire stoten tussen die twee oneindig nabije tijdstippen van de rechtstreeks toegepaste krachten en de uitwendige verbindingskrachten. Wanneer we deze vergelijking integreren tussen t = t1 , v̄G = (v̄G )1 en t = t2 , v̄G = (v̄G )2 , krijgen we: X Z t2 F̄i dt = m(v̄G )2 − m(v̄G )1 (8.43) t1 Deze vergelijking is de stelling van de hoeveelheid beweging onder integrale vorm. Ze drukt uit dat de som van alle stoten als gevolg van het uitwendige krachtenstelsel gedurende het tijdsinterval t1 tot t2 , gelijk is aan de verande- ring van de hoeveelheid beweging van het lichaam gedurende dit tijdsinterval. Er is weinig verschil tussen de grondvergelijking en de stelling van de hoeveel- heid beweging in de gebruikelijke toepassingen. De stelling van de hoeveel- heid beweging zal echter van groot belang zijn in de problemen van botsingen, of wanneer de tijd een gegeven van het vraagstuk is en men snelheden moet bepalen. 8.7.3 Principe van het behoud van hoeveelheid bewe- ging Wanneer de som van alle stoten die op een star lichaam uitgeoefend worden gelijk is aan nul, is de hoeveelheid beweging van het stelsel constant. (mv̄G )1 = (mv̄G )2 (8.44) Deze vergelijking wordt het behoud van hoeveelheid beweging genoemd. 8.7 Stellingen en behoudsprincipes 153 8.7.4 Stelling van het kinetisch moment Beschouwen we vergelijking 8.25. Wanneer we de momenten uitdrukken ten opzichte van een vast punt O, bekomen we: M̄O = H̄˙ O X (8.45)