Cours 2 - Dynamique des fluides parfaits PDF

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FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 Partie I : Hydrodynamique biologique-Rhéologie du sang Chapitre II- Dynamique des fluides parfaits incompressibles : II-1- Ecoulement d’un fluide : L’écoulement d’un fluide se produit sous l’influence des forces extérieures qui sont dues à la pesanteur ou à des différences de pression. Si on néglige les forces de frottement interne (viscosité), le fluide est dit parfait. Les diverses particules du fluide sont parfaitement mobiles les unes par rapport aux autres ; qui en se déplaçant, vont d’écrire des trajectoires. - Trajectoire : On appelle trajectoire le lieu géométrique des positions de la particule au cours du temps. - Ligne de courant. Tube de courant : Une ligne de courant est une courbe qui est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse en ce point. Les lignes de courant représentent la répartition des vitesses des différentes particules du fluide au même instant. L’ensemble des lignes de courant, s’appuyant sur un contour fermé, forme un tube de courant. II-2- Caractère de l’écoulement : II-2-1- Ecoulement permanent : L’écoulement est considéré permanent ou encore stationnaire, lorsque les grandeurs :𝜌, p et 𝑣⃗, caractéristiques du fluide et de l’écoulement, sont indépendantes du temps. Dans ces conditions, la vitesse ne dépend que des coordonnées d’espace et les lignes de courant, tangentes au vecteur vitesse, s’identifient bien aux trajectoires des particules. II-2-2- Ecoulement unidimensionnel : Un écoulement est qualifié d’unidimensionnel si dans un tube de courant toutes les grandeurs liées  à la particule ( v , p,  , T ) ont, à un instant donné, la même valeur en tout point d’une section droite. On choisit une abscisse curviligne (Fig-1) sur une ligne de courant médiane, OX. Dans toute section  droite chaque particule à la même vitesse v , de module v = dx/dt. UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 1  FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 II-3- Le débit d’un fluide en mouvement : Le mouvement d’un liquide idéal dans un tuyau de section S est caractérisé par son débit D, qui représente le volume balayé par la surface de section S lorsqu’elle avance avec une vitesse v : D  vS (1) En unités du système international, le débit s’exprime en m3s-1 (S étant en m2 et v en ms-1). Cette unité est assez mal adaptée aux valeurs de débit rencontrées en médecine, et l’on préfère souvent utiliser des unités différentes comme le litre ou le millilitre par minute. II-4- L’équation de continuité : Dans un circuit hydraulique dont la section est variable d’un endroit à l’autre, la vitesse circulatoire v est également variable, mais le débit doit rester constant (il s’agit d’un tube rigide et non déformable) (Fig-2) en suivant le principe que la quantité de liquide qui entre à une extrémité du circuit doit ressortir à l’autre bout. L’équation de continuité qui découle de cette remarque exprime que le produit de la section et de la vitesse est constant en tout point du circuit et égal au débit : D  S1v1  S2v2 (2) C’est une relation qui traduit la conservation de la masse au cours de son déplacement dans un tube de courant (aucune accumulation ou apparition de matière, ni aucune disparition de matière). II-5- L’énergie mécanique d’un fluide : Un liquide en mouvement possède trois formes d’énergie composant l’énergie mécanique liées respectivement à la pression, à l’altitude et à la vitesse. Pour les deux premières il s’agit du travail de pression qui s’exerce sur chaque section droite du fluide et d’énergie potentielle et pour la troisième, d’énergie cinétique. L’énergie totale du fluide se conserve (écoulement des liquides parfaits) au cours de son déplacement dans un tube de courant. La somme des énergies transportées par une masse dm de fluide est la même en tout point du tube de courant. On exprime généralement ces formes d’énergie en unités de pression (c’est en fait l’énergie par unité de volume : Jm-3 = Pa) et elles participent à la “charge” du liquide (on parle notamment de “perte de charge” lorsque l’énergie du fluide diminue entre deux points d’un circuit - phénomène qui n’existe, comme nous le verrons, que pour un fluide réel). 1 Emec tot  PV  mgz  mv 2  cste (3) 2 Cette relation traduit la conservation de l’énergie mécanique. UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 2  FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 En divisant cette expression par le volume, on obtient : 1 P  gz  v 2  cste  Pr ession totale (4) 2 Cette relation importante de la dynamique des fluides représente, en termes de pression, l’équation de Bernoulli (1738). p : est la pression statique. gz : est la pression de pesanteur ou encore la pression potentielle. 1 2 v : est la pression dynamique ou encore la pression cinétique. 2 1 On appelle charge du fluide la somme : P  gz  v 2 elle représente aussi la pression totale. 2 Le théorème de Bernoulli s’énonce donc ainsi : Dans un fluide incompressible parfait, c'est-à-dire sans frottement, en mouvement permanent, la charge est constante le long de la conduite. Remarque : en l’absence d’écoulement 𝑣 = 0 l’équation de Bernoulli s’identifie à l’équation fondamentale de l’hydrostatique. II-6- Applications : II-6-1- Expérience de Torricelli : Cette expérience donne la vitesse d’écoulement d’un fluide parfait de masse volumique  , incompressible, en écoulement quasi permanent et irrotationnel par un orifice de petite surface s (Fig- 3). P A 0 x h P g ZA 0 B x ZB Figure 3  Hypothèses : - soumis à l’action de la pesanteur g. - S A  S B - PA  PB  P0 UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 3  FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 Ecrivons la relation de Bernoulli entre les points A et B : 1 1 PA   g Z A   v A2  PB   g Z B   vB2 2 2 1 1 P0   g Z A   v A2  P0   g Z B   vB2 2 2 1 1   g Z A   v A2   g Z B   vB2 2 2 Soit, après simplification : vB2  v A2  2 g ( Z A  Z B ) (5) En raison de la conservation du débit volumique : v A S A  vB S B et sachant que h  Z A  Z B , on obtient :  S B2  vB2 1    2g h (6)  S A2  D’où l’on tire l’expression de la vitesse au point B : 2gh vB   2gh car S A  S B (7)  S B2  1  2   S   A Ainsi, la vitesse de la particule de fluide à la sortie est celle qu’elle aurait acquise après une chute libre d’une hauteur h. il en résulte qu’un liquide lourd s’écoule aussi vite qu’un liquide léger. II-6-2- Effet Venturi : On appelle effet Venturi, la diminution de la pression observée lorsque l’écoulement incompressible d’un fluide subit un étranglement. P2 O A1 A2 x 𝑣1 ሬሬሬሬ⃗ 𝑣2 ሬሬሬሬ⃗ S2 P1 S1 Figure 4 UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 4  FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 Un fluide parfait incompressible, de masse volumique  , s’écoule de manière irrotationnelle en  régime permanent dans une canalisation d’axe de symétrie OX , horizontal, présentant une section d’aire minimale au niveau de A2 (Fig-4). L’écoulement est supposé unidirectionnel. La relation de Bernoulli entre les deux points A1 et A2 s’écrit : 1 1 P1   g Z1   v12  P2   g Z 2   v22 2 2 Comme Z1  Z 2 : 1 1 P1   v12  P2   v22 2 2 L’expression de la pression P2 se déduit de la relation de Bernoulli :  P2  P1  (v12  v22 ) (8) 2 D’après la conservation du débit volumique : Dv  S1v1  S2v2 Donc on obtient :   1 1  2  1  D  P1   1  2  Dv P2  P1    (9) 2  S12 2  v S2  2  S 2 S12  2 1 Lorsque la section S2 diminue, le rapport augmente provoquant une diminution de la pression P2 S 22 par rapport à la pression P1. Dans les secteurs rétrécis d’une canalisation, la pression statique est plus faible. C’est l’effet Venturi. Exemple : la sténose vasculaire. I- 12-3- Tube de Pitot : a)- Notion de point d’arrêt : Soit un obstacle immobile dans un fluide en mouvement (Fig-5) il existe une ligne de courant NM qui s’arrête au point M sur l’obstacle et le long de laquelle on peut appliquer la relation de Bernoulli. UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 5  FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 M : représente le point d’arrêt avec vM  0. 1 1 PM   g Z M   vM2  PN   g Z N   vN2 2 2  1 PM   g Z M  PN   g Z N   vN2 2 (10) En posant : P  P   g Z La pression P est comptée au-dessus de P0 , autrement dit, P0 est pris comme origine des pressions ( P0  0) : 1 PM  PN   vN2 (11) 2 b) - Tube de Pitot : C’est un double tube très fin que l’on place parallèlement aux lignes de courant d’un fluide en écoulement permanent de telle sorte que son introduction n’apporte qu’un minimum de perturbation (Fig-6). Δh UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 6  FACULTE DE MEDECINE MODULE : BIOPYSIQUE DEPARTEMENT DE MEDECINE DENTAIRE 1ère Année 2024/2025 Sur la figure-6 : dans le 1er cas, le manomètre (A) est situé latéralement et la membrane est parallèle aux flux : la pression mesurée est dite, pression latérale. 1 PL  PN  PM   vN2 (12) 2 Dans le 2ème cas : le manomètre fait face au flux liquidien, la pression mesurée est dite, pression terminale : 1 vt  0 Pt  PM  PN   vN2 (13) 2 L’expérience montre, conformément à la théorie, que la pression latérale est inférieure à la pression terminale. 1 Pression terminale = Pression latérale +  v2 2  Application :  Le tube de pitot, permet par exemple de déterminer la vitesse d’un avion en vol.  En médecine, si on cathétérise un vaisseau sanguin avec des aiguilles convenablement orientées, on peut évaluer la pression statique et la pression dynamique dans le vaisseau. UNIVERSITE SAAD DAHLEB (BLIDA I): Dr W.Bekhti 7