Cours 1 : Maths Fi PDF

Décisions nancières à long terme et évaluation des actifs nanciers GFN105 - Mathématiques financières et évaluation d'actifs Lionel Almeida Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 1 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financ...

Décisions nancières à long terme et évaluation des actifs nanciers GFN105 - Mathématiques financières et évaluation d'actifs Lionel Almeida Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 1 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Mathématiques financières et évaluation d'actifs - Valeur temps de l'argent VAN et TRI Le prix du risque Transposer des ux dans le temps Transposer une séquence de ux Rentes perpétuelles et annuités Déterminer le taux implicite Ouvrage de référence Berk et DeMarzo, Finance d'entreprise, Pearson - Chapitres 3 et 4 Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 2 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Introduction Décisions nancières à long terme et évaluation des actifs 1 Évaluer des projets d'investissements / les actifs de l'entreprise Flux de trésorerie anticipés, plan d'investissement Rentabilité ? Création de valeur ? → Évaluer des actifs à partir de ux étalés dans le temps 2 (valeur temps de l'argent) Financer les actifs Modalités et plan de nancement Coût du nancement (coût du capital) Choix de structure nancière (levier de dette...) → Estimer la rentabilité exigée par les investisseurs ⇒ Mathématiques nancières et modèles d'évaluation Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 3 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Introduction Évaluer un projet ou des actifs La valeur nancière d'un projet d'investissement ou d'un actif est fonction des ux de revenus générés par l'investissement ou l'actif dans le futur Comment ces ux futurs contribuent-ils à la valorisation aujourd'hui ? → 1 e dans le futur n'est pas égal à 1 e aujourd'hui... Valeur temps de l'argent Les capitaux produisent une rémunération dans le temps Les ux futurs incluent une part de rémunération en comparaison de la valeur aujourd'hui Partant d'un ux futur, il faut "corriger" de la valeur temps de l'argent pour en connaître la valeur aujourd'hui Pour évaluer un projet ou des actifs → on doit transposer des valeurs dans le temps → Valeur actualisée des ux de trésorerie futurs générés par les actifs Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 4 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Introduction Un investissement est créateur de valeur si : Valeur actuelle des revenus futurs > Coût d'investissement initial Revient à comparer des ux... qui sont étalés dans le temps (bénéces attendus dans le futur...) qui sont incertains et risqués (plusieurs scénarios de gains futurs possibles, possibilité de réaliser des pertes...) Outils de mathématiques nancières qui permettent de comparer de manière able des coûts et bénéces qui se produisent à des instants diérents qui sont exposés à des risques diérents Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 5 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Valeur temps de l'argent La valeur d'1 e aujourd'hui n'est pas égale à la valeur d'1 e dans un an Principe de préférence pour le présent On peut placer les 1 e aujourd'hui et avoir plus d'1 e dans un an... La valeur temps de l'argent correspond à la diérence entre la valeur d'1 e aujourd'hui et la valeur d'1 e dans le futur Elle est mesurée par le taux d'intérêt → Du point de vue d'un investisseur (prêteur) il s'agit de la rémunération attendue → Du point de vue d'une entreprise (emprunteur) il s'agit du coût du nancement Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 6 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Prenons un projet industriel qui nécessite un investissement de 100 000 e aujourd'hui pour acquérir les actifs productifs et lancer une nouvelle activité On prend un Dans un an, horizon de temps d'un an en fonction des conditions de lancement du projet (bonne réception ou non par le marché/clients, réussite technique,...), on estime que la valeur des actifs sera de : scénario pessimiste (proba. 25 %) : 90 000 e scénario intermédiaire (proba. 50 %) : 105 000 e scénario optimiste (proba. 25 %) : 120 000 e → Soit une valeur espérée (moyenne pondérée) de : 0, 25 × 90 000 + 0, 50 × 105 000 + 0, 25 × 120 000 = 105 000 e Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 7 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent On a donc un projet d'investissement avec un coût d'investissement initial de 100 000 e et une valeur espérée dans un an de 105 000 e La valeur nette (= bénéces − coûts) est-elle positive ? → Il n'est pas possible de le dire avec les informations fournies On ne peut comparer des ux que s'ils surviennent à une même période On ne peut sommer ou soustraire des ux que s'ils surviennent à une même période Pour comparer des ux qui surviennent à des périodes diérentes, il faut transposer la valeur dans le temps (i.e., actualiser ou capitaliser) ⇒ Quelle est la valeur aujourd'hui des 105 000 e espérés dans un an ? ou, ⇒ Quelle est la valeur dans un an de 100 000 e placés aujourd'hui ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 8 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Le taux d'intéret sans risque Le taux d'intérêt sans risque est un taux auquel on peut placer son argent avec la certitude qu'on pourra le récupérer dans le futur, intérêts compris. Le taux sans risque pour un particulier taux d'un placement sans risque → taux du Livret A, du fonds Euro dans une assurance vie... De manière générale, sur les marchés nanciers, le taux sur les obligations d'État à 10 ans sert de référence pour dénir le taux sans risque En France, correspond au taux OAT 10 ans (OAT : Obligation assimilable du Trésor) Dans ce cours, on notera r le taux sans risque f r pour "rate " et f pour "free of risk " Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 9 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Remarque : Taux prêteur (placement) et taux d'emprunt Dans ce cours, on fera généralement l'hypothèse qu'on peut emprunter et placer/prêter au même taux Dans la réalité, le taux auquel on peut placer son argent est inférieur à celui auquel on peut emprunter... → e.g., Taux de placement sur livret à 3 % vs. Taux emprunt immobilier à 3,5 % Cette hypothèse est utile pour simplier les raisonnements et les calculs Les taux d'intérêt sont toujours exprimés en base annuelle Un taux d'intérêt sur un prêt/placement ou emprunt indique les intérêts à verser ou dûs sur une période d'1 an Sauf mention contraire explicite Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 10 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Supposons que le taux sans risque soit de 2 % Cela signie que : rf = 2 % je peux placer 100 000 e aujourd'hui (sur des titres de dette souveraine) et obtenir de manière certaine dans un an : 100 000 + 100 000 × 0, 02 = 100 000 × 1, 02 = 102 000 e Peut-on comparer ces 102 000 e avec les 105 000 e espérés pour notre projet d'investissement ? → Non, car les deux placements ont des risques diérents Placement sans risque : 102 000 e avec une probabilité de 100 % Investissement risqué : 90 000 e (25%) ou 105 000 e (50%) ou 120 000 e (25 %) → On n'attend pas la même rentabilité selon le niveau de risque Le surcroît de valeur pour le projet risqué est-il susant pour rémunérer le risque pris ?... Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 11 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Le prix du risque Le taux sans risque ne peut être utilisé que pour des projets d'investissement "sans risque" Projets dont les revenus futurs sont certains → Il existe un seul scénario de ux futur espéré, associé à une probabilité de réalisation de 100 % Mais les projets d'investissement comportent le plus souvent des risques Les ux futurs de revenus sont estimés, ils sont incertains et soumis à de nombreux aléas... L'anticipation des ux futurs espérés comporte un risque d'erreur Plus l'incertitude est élevée (forte variabilité des scénarios de ux possibles) et plus le projet est risqué Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 12 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent L'aversion pour le risque Les investisseurs sont averses au risque Ils ne sont pas indiérents au risque supporté par le projet Ils sont sensibles à la "variabilité" des scénarios de rentabilité future et au risque de perte en capital Ils n'acceptent de prendre des risques que si le projet leur permet d'espérer une rentabilité future moyenne supérieure à celle du taux sans risque Le risque n'est pris que s'il est rémunéré par une espérance de rentabilité future plus élevée que celle oerte par un projet sans risque Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 13 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent La prime de risque La prime de risque se dénit comme la diérence entre le taux sans risque et le taux de rentabilité exigé par les investisseurs (pour un niveau de risque donné) Plus le risque est élevé pour un investissement donné et plus la prime de risque est élevée Taux de rentabilité exigé pour investir dans un projet = Taux sans risque + Prime de risque demandée pour le projet La prime de risque rémunère le risque pris par l'investisseur Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 14 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Comment dénir la prime de risque d'un projet ou d'une entreprise pour nancer ses actifs ?... → Soit le d'un projet ou entreprise ≡ Coût de nancement des actifs coût du capital On procède par comparables → Identier des actifs ou entreprises comparables (même secteur d'activité, même caractéristiques, cycle de maturité, type de marché,...) Estimer le taux de rentabilité exigé pour ces actifs ou entreprises en identiant des transactions récentes dans le secteur (côté ou non) dont on peut déduire un taux de rentabilité ou en prenant des titres cotés sur les marchés (informations publiques) et l'utiliser comme référence pour dénir le taux d'intérêt (ici, coût du capital) qu'on utilisera pour évaluer notre projet Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 15 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Exemple. Taux de rentabilité exigé Un investisseur envisage de nancer un projet d'investissement. On suppose que le projet a un horizon d'un an. D'après le business plan du projet, le gain futur espéré est de 1 220 e. Le taux sans risque est de 6%. D'après sa connaissance de projets avec un niveau de risque similaire, l'investisseur estime que la prime de risque doit être de 16%. 1 Quel est le taux de rentabilité exigé par l'investisseur pour nancer le projet ? 2 Comment peut-on qualier ce taux exigé ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 16 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Valeur actuelle et valeur future Soit une prime de risque estimée pour notre projet de 4 % (et rf = 2%) Taux d'intérêt : 2 % + 4 % = 6 % Reprenons le projet d'investissement coût de 100 000 e aujourd'hui et valeur espérée dans un an de 105 000 e Avec un taux d'intérêt de 6 % Je peux placer 100 000 e et espérer dans un an : 100 000 + 100 000 × 6% = 100 000 × (1 + 6%) = 106 000 e → La valeur future (dans un an) de 100 000 e est de 106 000 e A l'inverse, 106 000 e dans un an valent aujourd'hui 100 000 e : 106 000 e = 100 000 e 1, 06 → La valeur actuelle de 106 000 e dans un an est de 100 000 e Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 17 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Supposons qu'on emprunte 100 000 e aujourd'hui sur une durée d'un an, au taux de 6 %, pour nancer l'investissement → Le projet est-il rentable ? A-t-il une valeur nette positive ? Dans un an, on doit rembourser l'emprunt (capital + intérêts) : 100 000 e × (1 + 6%) = 106 000 e contre 105 000 e de revenus espérés (en moyenne) de l'investissement → Perte nette de 1 000 e dans un an Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 18 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent... Supposons que l'on détienne les 100 000 e nécessaires à l'investissement → Le projet est-il alors rentable ? A-t-il une valeur nette positive ? Il faut toujours tenir compte des autres alternatives ou opportunités de placement → On peut placer les 100 000 e avec un même niveau de risque au taux de 6 % plutôt que de les investir dans le projet d'investissement On obtiendrait 106 000 e vs. 105 000 e pour le projet → Perte nette de 1 000 e dans un an par rapport à l'opportunité de faire un autre placement comparable Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 19 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Principe de séparation → Que le coût d'investissement initial soit nancé : par endettement ou sur fonds propres Le résultat sur la création de richesse associée au projet est identique : → Perte nette de 1 000 e dans un an Principe de séparation entre la décision d'investissement et les choix de nancement La rentabilité/création de valeur apportée par un investissement est étudiée indépendamment de la façon dont on le nancera Les modalités de nancement (levier de la dette...) n'interviennent pas dans la décision initiale de réaliser ou non l'investissement (Voir théorème de Modigliani-Miller, infra dans le cours ) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 20 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Le coût d'opportunité Investir dans le projet c'est renoncer au gain potentiel de 6 % sur un autre placement → Coût d'opportunité de 6 %... Le projet doit rapporter au moins 6 % pour couvrir le coût d'opportunité Le coût d'opportunité Un projet d'investissement doit toujours être considéré en comparaison des autres opportunités qui s'orent à l'investisseur Investir son capital dans un projet donné, c'est renoncer à investir ce même capital sur d'autres opportunités comparables ⇒ Le renoncement à la rémunération d'un autre placement comparable est le coût d'opportunité Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 21 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent On a 100 000 e à placer On peut les placer sur des titres cotés (des actions), avec un niveau de risque donné, et en espérer une valeur de 106 000 e dans un an Si on renonce à ce placement, on renonce aux 6 % de rémunération espérée → Choisir un autre projet de placement induit un coût d'opportunité ⇒ On ne choisira un autre projet, pour un même niveau de risque et même horizon de placement, que si ses bénéces sont au moins aussi élevés Ccl. Le projet d'investissement qui rapporte un gain espéré de 5 000 e dans un an n'est pas intéressant ! Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 22 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent On a raisonné avec les valeurs dans un an : 105 000 e dans un an vs. 106 000 e dans un an → Perte nette de 1 000 e Mais il est possible de raisonner avec les valeurs aujourd'hui, i.e., les valeurs actuelles Combien faut-il aujourd'hui pour avoir 105 000 e dans un an avec un placement au taux de 6 % ? ≡ Valeur actuelle de 105 000 e dans un an ? 105 000 e = 99 056, 60 e (1, 06) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 23 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Comparons les coûts et bénéces du projet en valeur actuelle : Coût de 100 000 e (on investit ce montant aujourd'hui) Valorisation à 99 056,60 e (valeur actuelle de 105 000 e dans un an) → Perte nette de : Bénéces − Coûts = 99 056, 60 e − 100 000 e = −943, 40 e Soit une perte nette de : 943,40 e en valeur actuelle 1 000 e en valeur future (dans un an) → On peut vérier que la valeur actuelle d'une perte de 1 000 e dans un an est de : −1 000 e = −943, 40 e 1 + 6% Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 24 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Avec un taux d'intérêt de 6 %, un projet qui nécessite un investissement de 100 000 e aujourd'hui et qui vaut 105 000 e dans un an n'est pas intéressant → La perte nette est de 943,40 e en valeur actuelle, ce qui équivaut à une perte de 1 000 e dans un an Quel prix serait-on prêt à investir dans ce projet ? Je suis prêt à investir 99 056,60 e dans ce projet Vaudra 105 000 e dans un an, soit les 6 % de rémunération attendue ≡ Soit la valeur de marché du projet Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 25 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Pour comparer des coûts et bénéces, il faut comparer des valeurs comparables dans le temps En valeur future (ou valeur acquise ou valeur à terme ) → Coûts et bénéces exprimés dans leur valeur à la date nale du projet (ici, dans un an) ⇒ On multiplie les valeurs d'aujourd'hui par (1 + r) pour les rendre comparables aux ux qui surviennent dans un an En valeur actuelle (ou valeur présente ) → Coûts et bénéces exprimés dans leur valeur aujourd'hui ⇒ On divise les ux qui surviennent dans un an par (1 + r) pour les rendre comparables aux ux d'aujourd'hui ≡ On multiplie les ux dans un an par le facteur d'actualisation : 1 1+r → On privilégiera une comparaison des ux dans leur valeur actuelle Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 26 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Valeur temps de l'argent Le coût du capital Le concept de coût d'opportunité a permis de déterminer le taux de rentabilité minimum que l'investisseur va demander pour accepter de nancer le projet Taux exigé → au minimum le taux que j'obtiendrais avec d'autres opportunités d'investissement, d'horizon et de risque comparables Le taux de rentabilité exigé par l'investisseur détermine... →... le coût du capital du projet Point de vue investisseur : taux de rentabilité exigé Point de vue projet/entreprise : coût de nancement des actifs Le coût du capital est le taux à utiliser pour actualiser les ux futurs d'un projet d'investissement Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 27 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Valeur actuelle nette La valeur actuelle nette (VAN) (Net Present Value, NPV ) Diérence entre la valeur actuelle des bénéces et la valeur actuelle des coûts : VAN = VA(Bénéces) − VA(Coûts) Ou, avec des ux aectés d'un signe positif (bénéces) ou négatif (coûts) : VAN = VA(Ensemble des ux) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 28 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Dans notre exemple, on a : Coût d'investissement aujourd'hui : 100 000 e Valeur actuelle des bénéces : 105 000 e 1+6% = 99 056, 60 e Soit une VAN de : −100 000 e + 99 056, 60 e = −943, 40 e La VAN du projet d'investissement est négative, et correspond à une perte nette de 943,40 e. → Le projet d'investissement est destructeur de valeur Le coût d'investissement initial est supérieur à la valorisation (actuelle) des ux futurs générés ≡ L'investissement n'apporte pas la rentabilité souhaitée de 6 % (coût du capital) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 29 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Accepter ou rejeter un projet La VAN est un critère de décision d'investissement Un projet d'investissement ne doit être retenu que si sa VAN est positive ⇒ Projet créateur de richesse pour l'entreprise Si la VAN est négative ⇒ Le projet détruit de la valeur pour l'entreprise et ne doit pas être retenu Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 30 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Exemple. Valorisation et VAN Reprenons l'exemple du projet d'investissement, qui a un horizon d'un an et un gain futur espéré de 1 220 e. Le taux de rentabilité exigé par l'investisseur est de 22 % (coût du capital). 1 Quelle est la valorisation aujourd'hui du projet ? 2 Quelle est la VAN du projet si le coût d'investissement est de : a. 1 000 e b. 1 200 e c. 900 e Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 31 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Taux de rentabilité Reprenons notre projet d'investissement avec un coût d'investissement initial de 100 000 e qui aura une valeur espérée de 105 000 e dans un an → Quel est le taux de rentabilité oert par ce projet ? Pour un projet simple avec deux ux à un an d'intervalle, le taux de rentabilité se calcule comme un taux de variation : ou, Flux nal − Flux initial Flux initial = Flux nal −1 Flux initial (Nota : on parle ici du taux de rentabilité oert par le projet ̸= Coût du capital et taux exigé par l'investisseur ) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 32 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Le taux de rentabilité du projet sur un an est : 105 000 e − 1 = 0, 05 = 5 100 000 e % Le taux de rentabilité attendu, étant donné le niveau de risque, est de 6 % On n'accepte le projet d'investissement que s'il ore une rentabilité supérieure à celle oerte par un autre placement de mêmes caractéristiques → Taux de rentabilité oert par le projet (5 %) inférieur au coût du capital (6 %) Cela est cohérent avec la VAN négative La VAN mesure en euro ce que le projet fait perdre par rapport à l'opportunité d'un placement de mêmes caractéristiques Diérentiel de 6% − 5% = 1 % → Le projet fait perdre 100 000 e× 1 % = 1 000 e dans un an, 000 e soit 11+6 % = 943,40 e en valeur actuelle (on retrouve la VAN) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 33 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Exemple. Taux de rentabilité Vous avez la possibilité de prendre part à un projet qui requiert un investissement de 160 000 e aujourd'hui et pour lequel on anticipe un gain espéré de 170 000 e dans un an 1 2 Quel est le taux de rentabilité de ce projet ? Vous avez par ailleurs la possibilité de placer votre argent sur une durée d'un an sur un fond, dont vous estimez qu'il a un même niveau de risque que le projet et qui est rémunéré au taux de 4 %. Le projet proposé est-il intéressant ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 34 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Pour calculer la VAN, on doit appliquer un taux d'actualisation qui correspond au coût du capital. Si on refait le calcul de la VAN mais en utilisant le taux de rentabilité trouvé ci-avant (5 %), on obtiendra par construction une VAN nulle : −100 000 + 105 000 =0e 1+5 % Le TRI Le taux qui permet d'annuler la VAN est appelé le (TRI) taux de rentabilité interne La VAN doit être calculée avec un taux d'actualisation qui correspond au coût du capital et pas avec le TRI Le TRI découle de la formule de la VAN et est le taux qui "mathématiquement" fait annuler la VAN NB : Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 35 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs VAN et TRI Exemple. VAN et TRI Soit un projet qui nécessite un investissement de 500 e aujourd'hui et qui génère un ux de revenu espéré de 540 e dans un an. Le taux de rentabilité exigé (ou coût du capital) sur ce projet est de 5 %. 1 2 3 4 5 Quelle est la VAN de ce projet ? Faut-il le mettre en ÷uvre ? Quel est le taux de rentabilité oert par ce projet ? Montrez que ce taux correspond au TRI. En vous appuyant sur la valeur du TRI trouvée, pouvait-on anticiper une VAN positive ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 36 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer des flux dans le temps Transposer des flux dans le temps Jusqu'à présent, on a considéré des projets avec une unique échéance à un an. Les projets d'investissements et les ux générés par les actifs s'étalent généralement sur plusieurs périodes... Ce qui implique de : dresser un échéancier des ux transposer les ux dans le temps : actualiser ou capitaliser Des formules d'actualisation particulières existent pour : les annuités les rentes perpétuelles Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 37 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer des flux dans le temps Transposer des ux dans le futur Soit un capital initial de 1 000 e dont on veut connaître la valeur future dans un an. Pour un taux d'intérêt de 10 %, on aura : 1 000 e × (1 + 10 %) = 1 100 e.Partant de la valeur capitalisée dans un an, on aura dans deux ans : 1 100 e × (1 + 10 %) = 1 210 e. Valeur future (ou valeur à terme, ou valeur acquise ) > Valeur actuelle La diérence est la valeur temps de l'argent Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 38 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer des flux dans le temps On passe d'une hausse de 100 e pour la transposition de la valeur sur la 1ère année, à 110 e pour la 2ème année La 2ème année, les intérêts sont aussi calculés sur les intérêts acquis la 1ère année → intérêts composés ou capitalisation des intérêts Pour transposer un ux dans le futur, il faut le capitaliser Pour capitaliser sur 2 ans, on a fait : Soit : 1 000 e × (1 + 10 %) × (1 + 10 %) = 1 210 e 1 000 e × (1 + 10 %)2 = 1 210 e En généralisant, pour capitaliser un ux d'une valeur F sur n périodes, avec un taux d'intérêt noté r, on obtient : Valeur future d'un ux dans n périodes V Fn = F × (1 + r) × (1 + r) ×... × (1 + r) = F × (1 + r)n | {z } n fois Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 39 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer des flux dans le temps Transposer des ux dans le passé Pour exprimer en valeur actuelle un ux futur de 1 000 e dans un an, avec un taux d'intérêt de 10 %, on fait : 1 000 e = 909, 09 e (1 + 10 %) Si le montant de 1 000 e est reçu dans 2 ans et qu'on souhaite l'exprimer dans sa valeur actuelle, on divise à nouveau par le facteur d'intérêt (1 + 10 %). Ce qui revient à calculer : 1 000 e = 826, 45 e (1 + 10 %)2 Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 40 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer des flux dans le temps Dans l'exemple précédent, la valeur actuelle de 1 000 e à recevoir dans 2 ans est de 826,45 e. Diviser par le facteur d'intérêt correspond à une opération d'actualisation. Pour transposer un ux dans le passé, il faut l'actualiser. En généralisant, on obtient : Valeur actuelle d'un ux F qui se produit dans n périodes VA= F (1 + r)n avec r, le taux d'actualisation Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 41 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer des flux dans le temps Exemple. Valeur actuelle d'un ux futur simple L'entreprise Dutinnesse choisit de s'endetter en émettant des titres de dette sur le marché nancier (i.e., émission d'obligations ≡ dette nancière). Le taux sans risque est de 2 % et les investisseurs exigent une prime de risque de 4 % pour accepter de nancer la dette de Dutinnesse. Les obligations sont des obligations "zéro coupon", de valeur nominale totale 15 000 e et d'échéance 10 ans (soit, aucun intérêt/coupon versé pendant 10 ans, et 15 000 e remboursés par l'entreprise à échéance). Quelle est la valeur actuelle des obligations émises ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 42 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Transposer la valeur d'une séquence de flux On a vu comment capitaliser et actualiser un montant sur plusieurs périodes Capitaliser et transposer la valeur d'un ux dans le futur Actualiser et transposer la valeur d'un ux vers le passé Comment actualiser et capitaliser une séquence de ux ? Soit un échéancier représentant une séquence de ux Les ux de coût (sortie de trésorerie) auront un signe négatif Les ux de revenu (entrée de trésorerie) auront un signe positif Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 43 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Valeur actuelle d'une séquence de ux La valeur actuelle de la séquence de ux se calcule en actualisant chaque ux, puis en sommant toutes les valeurs actualisées Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 44 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux La formule de calcul de la valeur actuelle d'une séquence de N ux est donc : V A = F0 + F2 F1 FN + +... + (1 + r) (1 + r)2 (1 + r)N Cette formule peut être réécrite de manière plus synthétique : Valeur actuelle d'une séquence de VA= N X V A(Fn ) = n=0 N N X Fn (1 + r)n n=0 Rem. : (1 + r)0 = 1 et donc pour le ux en date 0, on a Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. ux Almeida F0 = F0 (1 + r)0 45 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Valeur future d'une séquence de ux Pour calculer la valeur future d'une séquence de ux, on peut d'abord calculer la valeur actuelle des ux (formule précédente) puis calculer la valeur future dans n périodes à partir de la valeur actuelle Valeur future (dans n périodes) d'une séquence de ux V Fn = V A × (1 + r)n Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 46 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux On place 1 000 e aujourd'hui puis 1 000 e dans un et deux ans. Sachant que le taux d'intérêt est de 10 %, quelle est la valeur future dans 3 ans de cette séquence de ux ? D'abord, on actualise les ux : Puis on calcule la valeur future dans 3 ans de la valeur actualisée : 47 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux D'autres méthodes sont possibles...... en appliquant les règles de transpositions des valeurs dans le temps, et on retrouve la même valeur future. Calcul alternatif 1 : Capitaliser chaque montant investi (1 000 e) vers la date 3 : Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 48 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Calcul alternatif 2 : Capitaliser période par période, et ajouter le nouveau montant investi (1 000 e) à chaque fois : On retrouve bien avec chaque méthode la valeur future de 3 641 e. Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 49 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Valeur actuelle nette d'une séquence de ux Un projet d'investissement sera associé à une séquence de ux de trésorerie dans le futur, avec : des ux sortants (coûts d'investissement, dépenses...) avec un signe négatif des ux entrants (bénéces...) avec un signe positif Comme vu précédemment, on a : VAN = VA(Ensemble des ux) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 50 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Exemple. VAN d'une séquence de ux Un projet d'investissement promet un revenu de 500 e à la n de chaque année pendant 3 ans, en investissant aujourd'hui 1 000 e. Par ailleurs, on a la possibilité de placer de l'argent au taux de 3 % (pour un placement qui a un niveau de risque et un horizon de temps comparables à celui du projet d'investissement). Doit-on choisir d'investir dans le projet ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 51 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Les exemples traités ici sont relativement simples car ils n'incluent qu'un faible nombre de périodes... Les projets ont souvent lieu sur un nombre plus élevé de périodes (d'autant plus si périodes = mensualités sur plusieurs années). L'utilisation du tableur Excel est rapidement indispensable... En reprenant l'exemple précédent, on aurait : avec le détail des formules suivant : → Voir chier Excel dans Moodle Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 52 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Transposer une séquence de flux Il existe une fonction Excel pour calculer directement la VAN NB : La fonction ne prend en charge que les ux commençant à la n de la période 1, il faut ajouter le ux en date 0 (aujourd'hui) le cas échéant. Il peut être préférable de faire le détail des calculs... Cela permet de voir le détail des ux et leurs valeurs actuelles pour chaque période Évite des erreurs possibles dans l'utilisation de la formule (inclusion de la date 0, cellules vides qui créent des décalages...) Et utiliser la formule comme contrôle uniquement Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 53 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Rentes perpétuelles et annuités Pour calculer la valeur actuelle d'une séquence de ux, on fait la somme des valeurs actualisées par période (qu'il faut calculer période par période). Pour certains prols de ux, il existe des formules synthétiques qui permettent de calculer "en une fois" la valeur actuelle C'est le cas des : rentes perpétuelles (constantes ou croissantes) annuités (constantes ou croissantes) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 54 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Les rentes perpétuelles Rente perpétuelle : ux perçu périodiquement à horizon inni E.g. : Titre de dette qui verse un paiement régulier d'intérêts sans que jamais le principal ne soit remboursé La rente est perpétuelle, jusqu'à ce que : l'emprunteur fasse faillite ou rachète tous les titres de dette en circulation sur le marché Cas d'emprunts d'État, mais tombé en désuétude (dernières rentes perpétuelles d'État en France en 1988), ou obligations émises par des banques ou entreprises Comment calculer la valeur actuelle d'une rente perpétuelle ? Rem. : Le premier ux se produit à l'issue de la première période, en date 1. Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 55 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités La valeur actuelle d'un ux F constant à un horizon inni (rente perpétuelle), pour un taux d'intérêt r, se calcule : ∞ VA= X F F F F + + +... = 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)n n=1 Cette somme se dénit, en mathématiques, comme une suite géométrique. Il est possible de montrer (cf. annexe ) que cette somme à l'inni est égale à la formule ci-dessous... Valeur actuelle d'une rente perpétuelle constante VA(F perpétuel) = Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. F r Almeida 56 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Exemple. Rente perpétuelle Une entreprise a la possibilité d'investir dans un projet qui lui promet une revenu de 100 000 e chaque année, sans limite dans le temps (1er ux dans un an). La durée de vie de l'entreprise étant elle-même considérée comme à horizon indéni, on suppose que ce ux de 100 000 e a un horizon inni (≡ rente perpétuelle). Le coût du capital pour cette entreprise (i.e., le taux auquel elle peut nancer ses actifs) est de 5,5 %. 1 Quelle est la valeur actuelle de cette rente perpétuelle ? 2 Si le coût d'investissement initial de ce projet est de 2 Me, l'entreprise doit-elle accepter le projet ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 57 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Les rentes perpétuelles croissantes → Séquence de ux périodiques, à l'inni, dont le montant augmente au taux g à chaque période. Le premier ux se produit en date 1 puis augmente de g % à chaque période à partir de la date 2. À la date 3, le ux a augmenté 2 fois de g % : F × (1 + g)2 À la date n, le ux a augmenté (n − 1) fois de g % : F × (1 + g)n−1 Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 58 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités La valeur actuelle d'une rente perpétuelle croissante s'écrit : VA = ∞ X F (1 + g)n−1 F (1 + g)2 F (1 + g) F + +... = + (1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)n n=1 Si le taux de croissance de la rente, g , est supérieur au taux d'actualisation, r, alors : VA = somme de montants qui sont croissants ⇒ tend vers l'inni → Une telle rente perpétuelle ne peut pas exister : personne ne peut payer un prix inni... Seules des rentes perpétuelles pour lesquelles g < r peuvent exister. Cette somme converge alors vers la formule suivante (cf. annexe ) : Valeur actuelle d'une rente perpétuelle croissante VA= F r−g Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 59 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Les annuités constantes → Séquence de N ux constants se produisant à intervalles réguliers La diérence avec une rente perpétuelle est que les ux se produisent sur N périodes et non à l'inni Cas de la plupart des prêts automobiles, immobiliers et des obligations On parle d'annuités, mais la période peut être d'un mois (mensualités), un trimestre,... Comment calculer la valeur actuelle d'annuités constantes ? Rem. : Le premier ux se produit à l'issue de la première période, en date 1. Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 60 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Valeur actuelle d'une annuité de N périodes, avec un ux F constant et un taux d'intérêt r : N VA= X F F F F F + + +...+ = 2 3 N (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)n n=1 Il s'agit à nouveau d'une suite géométrique, nie, dont il est possible de montrer (cf. annexe ) qu'elle se calcule directement par la formule ci-dessous... Valeur actuelle d'une annuité constante VA(F sur N périodes) = F r Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L.  1− Almeida 1 (1 + r)N  61 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Quelle est la valeur future dans N périodes d'un ux constant F ? On connaît la valeur actuelle d'un ux constant sur N périodes. Pour en connaître la valeur future, on capitalise la valeur actuelle sur N périodes au taux d'intérêt r : VF = VA × (1 + r)N = =   1 F 1− × (1 + r)N r (1 + r)N
F (1 + r)N − 1 r Valeur future d'une annuité constante VF (F sur N périodes) = Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L.
F (1 + r)N − 1 r Almeida 62 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Les annuités croissantes → Séquence de N ux croissants versés à intervalles réguliers Pour une annuité avec un ux initial F (en date 1) qui croît au taux g à chaque période jusqu'à la date N , on a : On peut montrer (cf. annexe ) que la valeur actuelle d'une telle séquence de ux est de : Valeur actuelle d'une annuité croissante F VA= r−g  1− Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. 1+g 1+r N ! Almeida 63 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Synthèse rentes perpétuelles et annuités Valeur actuelle d'une séquence de VA= Valeur future (dans n N ux N X Fn (1 + r)n n=0 périodes) d'une séquence de ux V Fn = V A × (1 + r)n VA → Nécessite de calculer la valeur actuelle pour chaque ux et de les sommer (avec l'aide d'Excel...). Des formules simples pour calculer la valeur actuelle existent pour certains prols de séquence de ux : Rentes perpétuelles (constantes ou croissantes) Annuités (constantes ou croissantes) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 64 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Valeur actuelle d'une rente perpétuelle constante VA(F perpétuel) = F r Valeur actuelle d'une rente perpétuelle croissante VA(F perpétuel croissant) = Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida F r−g 65 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Valeur actuelle d'une annuité constante F VA(F sur N périodes) = r  1− 1 (1 + r)N  Valeur future d'une annuité constante VF(F sur N périodes) =
F (1 + r)N − 1 r Valeur actuelle d'une annuité croissante F VA(F sur N périodes, croissant) = r−g Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida  1− 1+g 1+r N ! 66 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Exemple. Actualisation de ux de dividendes Soit une entreprise cotée dont vous détenez des actions. Le prochain dividende (dans un an) sera de 5 e par action. Vous estimez que ce dividende sera ensuite constant dans le futur. D'après la rentabilité oerte par les actions d'entreprises de caractéristiques semblables, le taux de rentabilité exigé sur ce titre est de 7 %. Le prix d'une action peut être estimé à partir de la valeur actualisée des ux de revenus générés par cette action dans le futur. Quelle est la valeur de l'action : 1 en supposant une durée de vie de l'entreprise de 70 ans ? 2 en supposant un horizon de temps inni ? On suppose que le dividende croît de 1,5 % par an. Quelle est la valeur de l'action : 3 avec une durée de vie de l'entreprise de 70 ans ? 4 avec un horizon de temps inni ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 67 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Rentes perpétuelles et annuités Exemple. Actualisation de ux de dividendes Remarque sur les résultats questions 1 et 2 : Le prix de l'action estimé est très proche pour une actualisation à horizon 70 ans ou à horizon inni... : 70, 80 e vs. 71, 43 e → Par simplication, on tend à faire l'hypothèse d'horizon inni pour les titres nanciers associés à des entreprises dont la durée de vie est "très longue" Remarque sur la question 4 : La formule utilisée correspond à un modèle connu de valorisation du prix des actions, dit "Modèle de Gordon-Shapiro". Ce modèle consiste à estimer la valeur de l'action à partir du dividende attendu en année 1 (Div1 ), son taux de croissance espéré à horizon inni (g ) et pour un taux de rentabilité exigé sur les actions (soit le coût des capitaux propres, noté rcp ) : P = Div1 rcp − g Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 68 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Utilisation de fonctions Excel Utilisation de fonctions Excel L'ensemble des calculs nanciers vus ici peuvent être facilement réalisés à partir de fonctions Excel (ou autre tableur) NB : Rem : Variable Notation (cours) Taux d'intérêt Nb de périodes Flux Valeur actuelle Valeur future r N F VA VF Notation (Excel ) TAUX NPM VPM VA VC Commentaire Taux d'intérêt pro ratisé Nombre de paiements Valeur des paiements Valeur actuelle Valeur capitalisée Fonctions Excel applicables dans le cas de ux (F ) et taux d'intérêt (r) constants sur toute la période considérée Les fonctions Excel ne seront pas mobilisées lors de l'examen de n de semestre Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 69 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Variation de calcul : trouver le taux Jusqu'à présent, pour un nombre de périodes et un taux d'intérêt donnés, on a calculé : des valeurs actuelles à partir de ux périodiques ou d'une valeur future donnés, des valeurs futures à partir de ux périodiques ou d'une valeur actuelle donnés Il se peut aussi qu'on connaisse les valeurs actuelles et/ou futures, la valeur des ux périodiques et qu'on cherche à déterminer : le taux d'intérêt... Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 70 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite → On connaît la valeur actuelle, la valeur des ux futurs et le nombre de périodes ; l'inconnue est le taux d'intérêt. Soit un projet qui nécessite un investissement immédiat de 1 000 e et qui rapporte 1 400 e dans six ans. Quel est le taux d'intérêt implicite de ce placement ? On cherche la valeur de r telle que : 1 000 e = 1 400 e (1 + r)6 Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 71 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite L'équation peut se réécrire : 1 400 e 1 000 e  1/6 1 400 e ⇒ 1+r = 1 000 e 1/6  1 400 e − 1 = 0, 0577 ⇒ r= 1 000 e (1 + r)6 = Le taux d'intérêt implicite du projet est de 5,77 % → Il ore l'équivalent d'une rentabilité annuelle de 5,77 % pendant 6 ans On peut utiliser la formule Excel : Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 72 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Dans l'exemple qui précède, on a recherché r tel que... : 1 000 e = 1 400 e (1 + r)6 →... la valeur du coût d'investissement initial soit égale à la valeur actuelle des ux futurs attendus Cela revient à chercher la valeur de r telle que : −1 000 + 1 400 =0 (1 + r)6 → La formule de calcul est celle de la VAN On a donc cherché la valeur de r telle que la VAN soit nulle : V AN = −1 000 + 1 400 =0 (1 + r)6 → Le taux obtenu correspond au taux de rentabilité interne (TRI) du projet Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 73 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite De manière générale, pour un placement aujourd'hui d'une valeur P sur N périodes et une valeur future V F , le TRI est de : TRI avec deux ux =  VF P 1/N −1 → Cette formule du TRI vaut uniquement pour des projets avec deux ux (P et V F ) Rem. : Cette formule correspond au calcul de la rentabilité totale du projet (VF/P) qui est annualisée (exposant 1/N ) → Calcul d'un Taux annuel eectif Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 74 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Formule du taux équivalent Le résultat qui précède peut aussi être trouvé grâce à la formule du taux équivalent Taux équivalent sur n périodes : (1 + r)n − 1 Cette formule détermine, pour un taux r sur une période, le taux équivalent pour n périodes Ici, on part d'un taux période sur 6 ans de : 1 400 − 1 = 40% 1 000 qu'on cherche à annualiser... Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 75 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite... On cherche à exprimer le taux période sur une base annuelle (pour le rendre comparable, taux d'intérêts annuels par convention) → On part d'un taux période de 6 ans et on veut le taux équivalent sur 1/6 de cette période (→ n = 1/6) Soit une application de la formule du taux équivalent comme suit : (1 + 40%)1/6 − 1 = 1, 41/6 − 1 = 5, 77% Notre investissement, pour lequel on investit 1 000 aujourd'hui et qui rapporte 1 400 dans 6 ans → ore une rentabilité de 5,77 % Inutile de préciser "annuelle" ; par défaut, sauf mention contraire, une rentabilité désigne un taux annuel Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 76 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Exemple. Formule du taux équivalent 1 Soit un taux (annuel) de 4 %. Quel est le taux équivalent sur 5 ans ? 2 Quel est le taux annuel équivalent à un taux période sur 3 ans de 9 %? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 77 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Pour une rente perpétuelle constante, taux implicite pour un placement d'un montant P aujourd'hui qui ore une rente perpétuelle constante de valeur F ? On a : P = Fr ⇒ r = PF Si P et F sont connus, alors r désigne un TRI : TRI d'une rente perpétuelle constante = Pour une rente perpétuelle croissante, F P placement d'un montant P aujourd'hui qui ore une rente perpétuelle de ux initial F avec un taux de croissance g F F ⇒ r= P +g On a : P = r−g Si P et F et g sont connus, alors r désigne un TRI : TRI d'une rente perpétuelle croissante = Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida F +g P 78 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite On a vu la formule du TRI pour : Un projet avec deux ux (P et V F ) Une rente perpétuelle (constante ou croissante) Mais en dehors de ces deux prols de ux, il n'existe pas de formule simple pour calculer le TRI... Par exemple, un fournisseur nous propose de nancer l'achat d'une machine d'une valeur de 40 000 e à crédit, en versant quatre fois 15 000 e sur quatre ans (1er versement dans 1 an) Par ailleurs, on a la possibilité de nancer ces 40 000 e par un emprunt bancaire au taux de 20 % → On cherche à déterminer quel est le taux d'intérêt implicite de l'ore de crédit du fournisseur (soit le calcul du TRI), pour pouvoir le comparer au taux proposé par la banque Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 79 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite... On cherche le taux d'intérêt de sorte que les quatre ux annuels de 15 000 e aient une valeur actuelle de 40 000 e On cherche donc à résoudre : 40 000 = 15 000 × 1 r  1− 1 (1 + r)4  → Il n'existe aucune méthode ou formule pour résoudre de manière simple cette équation Le seul moyen est de procéder par tâtonnement ou par interpolation linéaire... Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 80 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Procéder par tâtonnement : → essayer diérentes valeurs de r et se rapprocher peu à peu du résultat de 40 000 e... Par exemple, on prend r = 10 %, on obtient : 15 000 × 1 0, 1  1− 1 (1, 1)4  = 47 548 e → trop élevé. Essayons avec une valeur de r plus élevée, r = 20 % : 15 000 × 1 0, 2  1− 1 (1, 2)4  = 38 831 e → trop faible. Le taux recherché se situe donc entre 10 % et 20 %. On essaie ensuite 15 %, et ainsi de suite jusqu'à trouver la valeur de r qui donne un résultat de 40 000 e. On trouve nalement 18,45 %. 15 000 × 1 0, 1845  1− 1 (1, 1845)4  = 40 000 e Le taux implicite proposé par le fournisseur est inférieur au taux de 20 % proposé par la banque. L'achat à crédit est donc plus intéressant. Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 81 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Par interpolation linéaire : → consiste à approximer la valeur recherchée en appliquant un rapport de proportionnalité On sait que : pour r1 = 10 %, la valeur actuelle est 47 548 e, soit V AN1 = 7 548 e (47 548 − 40 000) pour r2 = 20 %, la valeur actuelle est 38 831 e, soit V AN2 = −1 169 e (38 831 − 40 000) Or, on recherche la valeur de r = T RI telle que VAN= 0 e. Plutôt que de procéder par tâtonnement, on peut approximer la valeur du TRI par interpolation linéaire, i.e. en appliquant un rapport de proportionnalité à partir des cinq valeurs connues pour trouver la valeur du TRI et en s'appuyant sur le théorème de Thalès... Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 82 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Théorème de Thalès : Soit dans notre cas : AB AC = AD AE r1 − T RI V AN1 − 0 = r1 − r2 V AN1 − V AN2 ⇒ T RI = r1 − (r1 − r2 ) × V AN1 − 0 V AN1 − V AN2 ⇒ T RI = 10 % − (10 % − 20 %) × ⇒ 7 548 7 548 − (−1 169) T RI = 18, 66 % Le TRI est de 18,66 % (valeur approximée par interpolation linéaire) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 83 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Le plus simple reste d'utiliser la fonction Excel... Remarque : Ici, on saisit le ux de 15 000 e avec un signe négatif et la valeur actuelle de 40 000 e avec un signe positif La valeur actuelle correspond à un montant emprunté (achat à crédit ou emprunt bancaire : entrée de trésorerie) Les ux sont des ux de remboursement du crédit (sortie de trésorerie) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 84 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite Exemple. TRI Une banque accepte de nancer un projet d'1 million d'euros en échange d'un remboursement annuel de 125 000 e pendant 30 ans (1er versement dans un an). Quel est pour la banque le taux de rentabilité interne du prêt consenti ? On peut résoudre l'équation suivante par tâtonnement ou interpolation   linéaire : 125 000 1 1 000 000 = r 1− (1 + r)30 Plus simplement, avec la fonction Excel, on obtient : Rem. : La banque verse le prêt aujourd'hui (-) et reçoit les annuités (+). Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 85 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Déterminer le taux implicite La fonction TAUX dans Excel permet de calculer le TRI lorsque les ux (VPM) sont constants. Pour des ux non constants, il est possible de saisir l'échéancier dans Excel et d'utiliser la fonction TRI : NB : Le premier ux est à la date 0 (contrairement à la fonction VAN ⇒ 1er ux en date 1) La séquence de ux doit contenir au moins une valeur négative La fonction TRI ignore les cellules vides (saisir 0 si pas de ux sur une période) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 86 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercices complémentaires Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 87 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Valeur temps de l'argent Vous avez la possibilité de placer votre argent au taux de 5 %. On suppose que vous avez aussi la possibilité d'emprunter à ce taux. 1 2 Est-il préférable de recevoir 2 000 e aujourd'hui ou dans un an ? Vous avez la possibilité de recevoir 2 000 e aujourd'hui, ou de recevoir un montant X dans un an. À partir de quel montant X dans un an acceptez-vous de renoncer aux 2 000 e aujourd'hui ? (NB : On suppose que le taux de 5 % inclut une prime de risque qui correspond au risque de ne pas être payé dans un an) On vous propose de recevoir 2 000 e aujourd'hui ou 2 200 e dans un an. Que choisissez-vous, sachant que vous avez besoin de liquidités dès aujourd'hui ? 4 Si vous deviez recevoir 2 000 e dans un an, à quel montant cela serait-il équivalent aujourd'hui ? 5 On vous propose de recevoir 1 950 e aujourd'hui ou 2 000 e dans un an. Que choisissez-vous, sachant que vous n'aurez pas besoin de liquidités avant un an ? 3 Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 88 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Valeur actuelle d'une séquence de ux Vous souhaitez faire un emprunt sur 4 ans pour nancer l'achat d'une voiture. Le montant de votre emprunt (et donc votre budget) va être déterminé par vos capacités de remboursement. Vous estimez que vous pourrez rembourser 5 000 e dans 1 an puis 8 000 e par an sur les 3 années suivantes. Votre banque vous propose un taux d'intérêt de 6 %. Combien pouvez-vous emprunter ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 89 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Valeur future d'une séquence de ux Le taux d'intérêt est de 6 %. Quelle est la valeur future (dans 4 ans) de la séquence de ux de 5 000 e dans 1 an puis 8 000 e par an pendant 3 ans ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 90 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Rente perpétuelle Une association d'anciens élèves souhaite créer un gala annuel et souhaite mettre en place un plan de nancement qui assurera la pérennité de l'événement. Le premier gala a lieu dans un an. Son coût annuel est estimé à 30 000 e et les placements sont rémunérés au taux de 4 %. Quelle somme l'association doit-elle placer pour assurer le nancement du gala chaque année éternellement ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 91 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Rente perpétuelle croissante Reprenons l'exemple de l'association d'anciens élèves qui souhaite nancer de façon pérenne un gala annuel dont le coût annuel est de 30 000 e. Le premier gala a lieu dans un an. Les placements sont rémunérés à 4 %. Dans l'exemple précédent, on ne tenait pas compte de l'ination et de l'augmentation du coût du gala chaque année. Si on suppose que le coût du gala augmentera de 2 % par an en raison de l'ination, quel doit être le montant du placement initial ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 92 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. VF d'une annuité Vous souhaitez vous constituer une épargne pour votre retraite en commençant à épargner 10 000 e par an pendant 30 ans. Le placement est rémunéré à 4 %. 1 Quel montant d'épargne sera disponible dans 30 ans ? On considère maintenant qu'on obtient tous les ans une augmentation de salaire et qu'on prévoit d'augmenter son épargne annuelle de 3 % par an. 2 De combien sera alors l'épargne constituée dans 30 ans ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 93 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Valeur future avec Excel (1) On place aujourd'hui 20 000 e au taux de 8 %. A l'aide d'Excel, déterminez le montant dont on disposera dans 15 ans. NB : Dans la fonction Excel, "=VC(TAUX ;NPM ;VPM ;[VA])" → Les variables TAUX, NPM et VPM sont obligatoires Variable entre crochets [VA] optionnelle (i.e., Excel saurait calculer une VC avec seulement TAUX, NPM et VPM) [Voir le chier Excel avec les formules dans Moodle ] Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 94 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Valeur future avec Excel (2) On place toujours 20 000 e aujourd'hui au taux de 8 %. Mais on retire 2 000 e à la n de chaque année. A l'aide d'Excel, déterminez le montant dont on disposera dans 15 ans. Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 95 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. La VAN d'un projet Une entreprise du BTP vient de remporter un contrat de construction d'un pont. Ce projet requiert un investissement de 10 millions d'euros aujourd'hui et de 5 millions d'euros dans un an. Le client (l'État) versera 20 millions d'euros dans un an, une fois le pont livré. Le coût du capital est de 1,5 %. Quelle est la VAN de ce contrat ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 96 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. La VAN de plusieurs projets Considérons trois projets dont les ux sont les suivants : Projet A B C Flux aujourd'hui (e) Flux dans un an (e) −10 20 5 5 20 −10 Le taux d'intérêt sans risque est de 1 % et la prime de risque associée à chacun de ces trois projets est de 5 %. Quelle est la VAN de chaque projet ? Quel projet choisir si l'on ne peut en retenir qu'un ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 97 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Valeur actuelle et préférences de liquidités Une société d'informatique a besoin d'acheter 10 000 claviers auprès d'un fournisseur. Un premier fournisseur lui demande de verser 100 000 e aujourd'hui puis 10 e par clavier dans un an. Un second fournisseur lui demande simplement de verser 21 e par clavier dans un an. Le taux d'intérêt auquel l'entreprise peut se nancer est de 6 %. Quelle est la diérence entre les deux ores en euros d'aujourd'hui ? Quelle ore est la plus intéressante ? 2 On suppose que la société d'informatique souhaite ne pas dépenser de liquidités aujourd'hui. Comment peut-elle faire pour accepter la première ore sans avoir à dépenser son propre argent aujourd'hui ? Combien doit-elle alors payer dans un an ? 1 Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 98 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Annuités constantes (loto) Vous venez de gagner au loto. Vous avez le choix entre recevoir 15 millions d'euros immédiatement ou recevoir 1 million d'euros par an pendant 30 ans (avec un premier versement aujourd'hui). On suppose que le taux d'intérêt des placements est de 4 %. 1 2 Rem. Quelle solution est la plus intéressante ? Si le taux de placement était de 8 %, quel choix ferait-on ? La première solution permet de recevoir 15 millions d'euros aujourd'hui et la seconde de recevoir 30 millions d'euros étalés dans le temps... Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 99 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exercice. Montants à payer (loto) Dans l'exercice précédent, sur les gains au loto, on avait un emprunt de 14 Me au taux de 4 % sur 29 années et l'annuité était d'environ 824 000 e. Calculez le montant exact de l'annuité. On s'aidera de la ré-écriture de la formule d'annuités constantes, qui permet de déterminer la valeur des ux F pour un montant emprunté aujourd'hui (soit la VA, notée ici P pour le "principal" de l'emprunt) F = P 1 r  1− 1 (1+r)N Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L.  Almeida 100 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Exercices Exemple. TRI d'une rente perpétuelle croissante Il faut 1 million d'euros pour constituer une entreprise qui orira 100 000 e de bénéces à l'issue de la première année ; ce montant devrait ensuite croître de 4 % par année. Quel est le taux de rentabilité interne ? Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 101 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Annexe Annexe (hors programme de l'UE) Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 102 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Annexe Pour information, démonstration de la formule des annuités constantes : VA= N X n=1 PN n=1  1 1+r n F (1 + r)n ⇒ VA=F × N X n=1 1 (1 + r)n est une progression géométrique de 1er terme et de raison dont la somme est égale à : 1er terme × Soit : 1 1+r 1−raisonN 1−raison 1 1 − (1+r)N 1 × 1 1+r 1 − 1+r La partie en bleu peut être simpliée : 1 1 1 × = × 1 1+r 1+r 1 − 1+r 1 1+r−1 1+r = 1 1+r 1 × = 1+r r r Soit :     1 1 − (1+r) N 1 1 1 1 1 × = × 1− ⇒ V A = F × × 1 − 1 1+r r (1 + r)N r (1 + r)N 1 − 1+r Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 103 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Annexe Démonstration de la formule des annuités croissantes : VA= PN n=1  1+g 1+r n N X F.(1 + g)n−1 (1 + r)n n=1 N ⇒ VA= X F × 1 + g n=1  1+g 1+r n est une progression géométrique de 1er terme et de raison 1+g 1+r dont la somme est égale à : 1er terme × 1−raison 1−raison Soit :  N N 1+g 1 + g 1 − 1+r × 1+r 1 − 1+g 1+r La partie en bleu peut être simpliée : 1+g 1 1+g × = × 1+r 1+r 1 − 1+g 1+r Soit :  1+g 1 1+r−1−g 1+r = 1+g 1+r 1+g × = 1+r r−g r−g N 1 + g 1 − 1+r × 1+r 1 − 1+g 1+r = 1+g × r−g Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L.  1− Almeida 1+g 1+r N ! 104 Décisions financières à long terme et évaluation des actifs financiers Mathématiques financières et évaluation d'actifs Annexe On a donc : N X F.(1 + g)n−1 VA= (1 + r)n n=1 F 1+g ⇒ VA= × × 1+g r−g F ⇒ VA= × r−g  1− 1+g 1+r  1− 1+g 1+r N ! N ! D'où on peut démontrer la formule de la rente perpétuelle croissante : < 1 et si N tend vers l'inni, On a g < r, donc 1+g 1+r Donc si N tend vers l'inni : F × r−g  1− 1+g 1+r N ! →  1+g 1+r N tend vers 0. F F × (1 − 0) ⇒ V A = r−g r−g D'où on peut démontrer pour une rente perpétuelle constante : Dans ce cas, g = 0%, et → V A = F r Conservatoire national des arts et métiers  GFN105  L. Almeida 105