Correctiesleutel Hoofdstuk 1 PDF

1 Hoofdstuk Logica Inhoudstafel 1 Een logische uitspraak p. 6 2 De implicatie p. 22 3 De equivalentie p. 28  Prikkel p. 11 Drie vrienden, Max, Rico en Anaïs, doen mee aan een spel met twee rode en drie zwarte mutsen....

1 Hoofdstuk Logica Inhoudstafel 1 Een logische uitspraak p. 6 2 De implicatie p. 22 3 De equivalentie p. 28  Prikkel p. 11 Drie vrienden, Max, Rico en Anaïs, doen mee aan een spel met twee rode en drie zwarte mutsen. Ze zetten zich op een rij en krijgen elk een muts op. De vrienden kunnen enkel de mutsen zien van degenen die voor hen staan. Aan Max, die helemaal achteraan staat, wordt gevraagd of hij weet welke kleur muts hij opheeft. Na gekeken te hebben naar de twee mutsen voor zich, antwoordt hij negatief. Vervolgens wordt dezelfde vraag gesteld aan Rico. Die ziet maar één muts voor zich en schudt ook ontkennend. Anaïs denkt even na en roept dan: ‘Ik weet de kleur van mijn muts!’ Welke kleur heeft de muts van Anaïs? Noteer je redenering. Max ziet twee mutsen voor zich. Dat kunnen twee rode, twee zwarte of één rode en één zwarte zijn. De twee mutsen kunnen niet alle twee rood zijn, want dan weet Max dat hij een zwarte muts op zijn hoofd heeft. Max ziet dus twee zwarte of één rode en één zwarte. Rico ziet één muts voor zich. Als de muts die hij voor zich ziet rood is, dan weet hij dat hij een zwarte muts op zijn hoofd heeft, want twee keer rood kan niet. Hij weet echter niet de kleur van de muts die hij draagt, dus ziet hij een zwarte muts voor zich. Anaïs heeft dus een zwarte muts op. 4 HOOFDSTUK 1 LOGICA Wat kan ik al? Signaaloefening 1 p. 14 Formuleer de omgekeerde bewering. Noteer of de omgekeerde bewering waar of vals is. a Als twee hoeken supplementair zijn, dan zijn ze samen 180°. Als twee hoeken samen 180° zijn, dan zijn ze supplementair. De omgekeerde bewering is waar. b Als twee getallen oneven zijn, dan is hun som even. Als de som van twee getallen even is, dan zijn de twee getallen oneven. De omgekeerde bewering is vals. Signaaloefening 2 p. 14 Vul in met ⇒, ⇐ of ⇔. a de rechte is de middelloodlijn van een lijnstuk de rechte gaat door het midden van het lijnstuk ⇒ b het getal is reëel het getal is natuurlijk ⇐ c de vierhoek is een parallellogram in de vierhoek snijden de diagonalen elkaar in het midden ⇔ d de grafiek van de functie is een rechte de functie is een eerstegraadsfunctie ⇐ Signaaloefening 3 p. 14 Gegeven zijn twee verzamelingen. A = {Evelien, Sien, Umar, Kaat} is de verzameling van de beste vrienden van Anna. B = {Dorien, Florian, Sien, Umar, Pjotr} is de verzameling van de beste vrienden van Bart. Noteer een omschrijving voor de verzamelingen. Noteer de verzameling door opsomming. a A∩B A B E D de verzameling van de beste vrienden van Anna en Bart S F A ∩ B = {Sien, Umar} U K P b A∪B de verzameling van de beste vrienden van Anna of Bart A ∪ B = {Evelien, Sien, Umar, Kaat, Dorien, Florian, Pjotr} c A\B De verzameling van de beste vrienden van Anna, maar niet van Bart. A \ B = {Evelien, Kaat} WAT KAN IK AL? 5  1 Een logische uitspraak 1.1 Logische uitspraken en hun negatie Oefening 1 p. 15 Noteer de letters van de uitspraken waarvan je met zekerheid kunt zeggen dat ze ofwel waar, ofwel vals zijn. uitspraken A, C, D en F A Een slang is een reptiel. B C B Wortelen zijn lekker. C 2+3=8 D Rechthoek ABCD is een vierkant. E Waar is Anaïs? F Een gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig. A D Oefening 2 p. 15 Noteer het cijfer 1 als de uitspraak waar is. Noteer het cijfer 0 als de uitspraak niet waar is. a Het getal 38 is even. 1 Het getal 38 is niet even. 0 b Hasselt ligt in de provincie Antwerpen. 0 Hasselt ligt niet in de provincie Antwerpen. 1 c Het getal 33 is een priemgetal. 0 Het getal 33 is geen priemgetal. 1 d In een gelijkzijdige driehoek is elke hoek 60°. 1 In een gelijkzijdige driehoek is niet elke hoek 60°. 0 Oefening 3 p. 16 Noteer de negatie van de propositie. Noteer de waarheidswaarde van beide proposities. a p: de middelloodlijn van een lijnstuk is een rechte waarheidswaarde: 1 ¬p: de middelloodlijn van een lijnstuk is geen rechte waarheidswaarde: 0 b p: een den is een loofboom waarheidswaarde: 0 ¬p: een den is geen loofboom waarheidswaarde: 1 c p: 15 : 3 = 6 waarheidswaarde: 0 ¬p: 15 : 3 ≠ 6 waarheidswaarde: 1 d p: cola is een frisdrank waarheidswaarde: 1 ¬p: cola is geen frisdrank waarheidswaarde: 0 6 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 4 p. 16 Noteer de proposities in symbolen. a het is mogelijk p b de hond slaapt buiten q het is onmogelijk ¬p de hond slaapt binnen ¬q het is niet onmogelijk ¬(¬p) of p de hond slaapt niet buiten ¬q Oefening 5 p. 16 Noteer de negatie van de proposities. a Iedereen eet graag tomaten. Niet iedereen eet graag tomaten. of Er zijn mensen die niet graag tomaten eten. b Niemand doet graag de afwas. Er zijn mensen die graag de afwas doen. c Geen enkel parallellogram is een vierkant. Er zijn parallellogrammen die vierkanten zijn. d Alle getallen zijn groter dan 7. Niet alle getallen zijn groter dan 7. of Er zijn getallen die niet groter zijn dan 7. of Er zijn getallen die kleiner dan of gelijk zijn aan 7. 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 7  1.2 Conjunctie Oefening 6 p. 17 Om te slagen voor een looptest, moeten leerlingen 30 minuten aan een stuk lopen en 1 kilometer afleggen in minder dan 6 minuten. a De leerkracht noteert voor elke leerling in zijn puntenboek het cijfer 0 of 1 bij de twee onderdelen. Noteer de betekenis van deze cijfers. Het cijfer 1 betekent dat die leerling voor dat onderdeel geslaagd is. Het cijfer 0 betekent dat die leerling voor dat onderdeel niet geslaagd is. b Noteer het nummer van de leerlingen die geslaagd zijn voor de looptest. 1, 5, 7, 11, 12 en 17 Klas: 4c Nr. Naam 30 min. aan een stuk 1 km in minder dan 6 min. 1 Aline 1 1 2 Jack 0 1 3 Jules 0 0 4 Xia 1 0 5 Noa 1 1 6 Louisa 0 1 7 Luka 1 1 8 Leopold 1 0 9 Matthias 0 0 10 Camille 0 1 11 Lars 1 1 12 Kieran 1 1 13 Fanta 1 0 14 Bente 0 1 15 Charlotte 1 0 16 Manou 0 1 17 Emile 1 1 18 Laura 1 0 19 Zygé 0 1 8 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 7 p. 19 Gegeven zijn vier proposities. z: de zon schijnt h: ik ben op vakantie k: de kat is thuis m: ik zwem in een meer a Noteer in symbolen. 1 De zon schijnt en ik ben op vakantie. z∧h 2 De kat is niet thuis en ik ben op vakantie. ¬k ∧ h 3 Ik ben niet op vakantie en de kat is niet thuis. ¬h ∧ ¬k 4 De zon schijnt en ik zwem niet in een meer. z ∧ ¬m b Noteer in woorden. 1 h∧k Ik ben op vakantie en de kat is thuis. 2 ¬z ∧ m De zon schijnt niet en ik zwem in een meer. 3 ¬h ∧ ¬m Ik ben niet op vakantie en ik zwem niet in een meer. 4 z ∧ ¬k De zon schijnt en de kat is niet thuis. Oefening 8 p. 19 Stel de waarheidstabel op bij ¬p ∧ q. p q ¬p ¬p ∧ q 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 Oefening 9 p. 19 Gegeven zijn de vierhoek ABCD en twee proposities. B C p: de vierhoek ABCD heeft vier even lange zijden q: de vierhoek ABCD is een rechthoek a Noteer de logische uitspraak ‘de vierhoek ABCD heeft geen vier even lange zijden en is een rechthoek’ in symbolen. ¬p ∧ q A D b Wat is de waarheidswaarde van deze logische uitspraak? Verklaar. De logische uitspraak is de conjunctie van de proposities ‘de vierhoek ABCD heeft geen vier even lange zijden’ en ‘de vierhoek ABCD is een rechthoek’. Deze conjunctie is waar omdat beide proposities waar zijn. 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 9  c Onderzoek met een deel van een waarheidstabel de waarheidswaarde van deze logische uitspraak. p q ¬p ¬p ∧ q 0 1 1 1 De logische uitspraak ‘de vierhoek ABCD heeft geen vier even lange zijden en is een rechthoek’ is waar. Oefening 10 p. 19 a Stel de waarheidstabel op bij (p ∧ q) ∧ r. p q r p∧q (p ∧ q) ∧ r 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 b Stel de waarheidstabel op bij p ∧ (q ∧ r). p q r q∧r p ∧ (q ∧ r) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 c Is het plaatsen van haakjes belangrijk bij deze twee uitspraken? nee d Welke eigenschap herken je hier? de associatieve eigenschap 10 HOOFDSTUK 1 LOGICA 1.3 Disjunctie Oefening 11 p. 20 Je mag binnen op de scoutsfuif als je minstens 16 jaar bent of als je begeleid wordt door een volwassene. Stel: p: je bent minstens 16 jaar q: je wordt begeleid door een volwassene De tabel geeft een overzicht van alle mogelijke combinaties van de waarheidswaarden van p en q. mogelijkheid p q je mag binnen op de scoutsfuif A 1 1 1 B 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 0 a Noteer de betekenis van de cijfers 0 en 1 uit de tweede kolom. Het cijfer 0 betekent dat propositie p vals is: je bent jonger dan 16 jaar. Het cijfer 1 betekent dat propositie p waar is: je bent minstens 16 jaar. b Noteer de betekenis van de cijfers 0 en 1 uit de derde kolom. Het cijfer 0 betekent dat propositie q vals is: je wordt niet begeleid door een volwassene. Het cijfer 1 betekent dat propositie q waar is: je wordt begeleid door een volwassene. c Noteer in de laatste kolom: het cijfer 0 als je niet binnen mag; het cijfer 1 als je wel binnen mag. d Bij welke mogelijkheden mag je binnen op de scoutsfuif? bij mogelijkheden A, B en C Oefening 12 p. 21 Gegeven zijn vier proposities. l: Lukas start de lesweek met biologie h: Hamid start de lesweek met fysica e: Eliza start de lesweek met chemie f: Flore start de lesweek met wiskunde a Noteer in symbolen. 1 Lukas start de lesweek met biologie of Eliza start de lesweek met chemie. l∨e 2 Hamid start de lesweek niet met fysica of Lukas start de lesweek met biologie. ¬h ∨ l 3 Flore start de lesweek met wiskunde of Eliza start de lesweek niet met chemie. f ∨ ¬e 4 Hamid start de lesweek niet met fysica of Flore start de lesweek niet met wiskunde. ¬h ∨ ¬f 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 11  b Noteer in woorden. 1 h∨f Hamid start de lesweek met fysica of Flore start de lesweek met wiskunde. 2 ¬f ∨ l Flore start de lesweek niet met wiskunde of Lukas start de lesweek met biologie. 3 ¬h ∨ ¬e Hamid start de lesweek niet met fysica of Eliza start de lesweek niet met chemie. 4 e ∨ ¬l Eliza start de lesweek met chemie of Lukas start de lesweek niet met biologie. Oefening 13 p. 21 Stel de waarheidstabel op. a p ∨ ¬q p q ¬q p ∨ ¬q 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 b p ∨ (q ∧ ¬p) p q ¬p q ∧ ¬p p ∨ (q ∧ ¬p) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 Oefening 14 p. 21 Gegeven zijn drie proposities. De drie prosposities zijn waar. p: het zwembadwater is 32 °C of warmer q: het zwembadwater wordt elk uur getest r : de verwarming van het water staat uit Onderzoek met een deel van een waarheidstabel de waarheidswaarde van de logische uitspraak ‘het zwembadwater is kouder dan 32 °C en wordt niet elk uur getest, of de verwarming van het water staat uit’. in symbolen: (¬p ∧ ¬q) ∨ r p q r ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q (¬p ∧ ¬q) ∨ r 1 1 1 0 0 0 1 De logische uitspraak ‘het zwembadwater is kouder dan 32 °C en wordt niet elk uur getest, of de verwarming van het water staat uit’ is waar. 12 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 15 p. 22 a Stel de waarheidstabel op bij (p ∧ q) ∨ r. p q r p∧q (p ∧ q) ∨ r 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 b Stel de waarheidstabel op bij p ∧ (q ∨ r). p q r q∨r p ∧ (q ∨ r) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 c Is het plaatsen van haakjes belangrijk bij deze twee uitspraken? ja 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 13  1.4 Logische uitspraken beoordelen Oefening 16 p. 22 Amina gaat volgend weekend een dagje naar zee. Ze voert daarover een gesprek met Jack. Stel: t: Amina gaat met de trein b: Amina gaat met de bus Onderzoek of de uitspraak van Amina dezelfde betekenis heeft als die van Jack. a Noteer beide uitspraken in symbolen. Amina: ¬(t ∧ b) Jack: ¬t ∧ ¬b b Stel bij elke uitspraak de waarheidstabel op. Amina t b t∧b ¬(t ∧ b) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Jack t b ¬t ¬b ¬t ∧ ¬b 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 c Betekenen de uitspraken hetzelfde? Verklaar. De uitspraken betekenen niet hetzelfde want ze hebben niet dezelfde waarheidstabel. 14 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 17 p. 22 Geïnspireerd door de versregel ‘To be or not to be’ van Williams Shakespeares Hamlet, zegt Marnix: ‘Ik spreek de waarheid of ik spreek niet de waarheid.’ a 1 Wat is de waarheidswaarde van de uitspraak van Marnix? Verklaar. De uitspraak van Marnix is de disjunctie van de proposities ‘ik spreek de waarheid’ en ‘ik spreek de waarheid niet’. Deze disjunctie is waar omdat één van de proposities waar is. 2 Stel p: ik spreek de waarheid Noteer de uitspraak van Marnix in symbolen. p ∨ ¬p Stel de waarheidstabel bij de uitspraak van Marnix op. p ¬p p ∨ ¬p 1 0 1 0 1 1 b Marnix kan ook zeggen: ‘Ik spreek de waarheid en ik spreek niet de waarheid.’ 1 Wat is de waarheidswaarde van deze uitspraak? Verklaar. In dit geval is de uitspraak van Marnix de conjunctie van de proposities ‘Ik spreek de waarheid’ en ‘Ik spreek niet de waarheid’. Deze conjunctie is vals omdat beide proposities nooit samen waar zijn. 2 Stel p: ik spreek de waarheid Noteer de tweede uitspraak van Marnix in symbolen. p ∧ ¬p Stel de waarheidstabel bij deze uitspraak op. p ¬p p ∧ ¬p 1 0 0 0 1 0 Oefening 18 p. 23 Zijn de uitspraken ¬p ∧ q en ¬(p ∧ q) logisch gelijkwaardig? Verklaar. ¬p ∧ q p q ¬p ¬p ∧ q 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 15  ¬(p ∧ q) p q p∧q ¬(p ∧ q) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 De uitspraken zijn niet logisch gelijkwaardig, want ze hebben niet dezelfde waarheidstabel. Oefening 19 p. 23 Sammy doet vier uitspraken. A Ik ga niet tennissen of zwemmen. B Ik ga niet tennissen of ik ga niet zwemmen. C Ik ga niet tennissen en zwemmen. D Ik ga niet tennissen en ik ga niet zwemmen. Welke uitspraken zijn logisch gelijkwaardig? Verklaar. Stel: t: ik ga tennissen z: ik ga zwemmen A Ik ga niet tennissen of zwemmen. ¬(t ∨ z) t z t∨z ¬(t ∨ z) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 B Ik ga niet tennissen of ik ga niet zwemmen. ¬t ∨ ¬z t z ¬t ¬z ¬t ∨ ¬z 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 C Ik ga niet tennissen en zwemmen. ¬(t ∧ z) t z t∧z ¬(t ∧ z) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 16 HOOFDSTUK 1 LOGICA D Ik ga niet tennissen en ik ga niet zwemmen. ¬t ∧ ¬z t z ¬t ¬z ¬t ∧ ¬z 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Uitspraken A en D zijn logisch gelijkwaardig, net zoals uitspraken B en C: ze hebben dezelfde waarheidstabel. Oefening 20 p. 23 Onderzoek welke logische uitspraken een tautologie, een contradictie of geen van beide zijn. a (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∨ q) b (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) c (p ∨ q) ∨ (q ∨ r) ∨ (p ∨ ¬r) d (¬p ∧ ¬q) ∧ (¬q ∧ ¬r) ∧ (¬p ∧ r) a (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∨ q) p q ¬p ¬q (¬p ∨ ¬q) (p ∨ q) (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∨ q) 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 De logische uitspraak is een tautologie, want de logische uitspraak is altijd waar, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. b (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) p q ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q) (p ∧ q) (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 De logische uitspraak is geen tautologie en geen contradictie. 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 17  c (p ∨ q) ∨ (q ∨ r) ∨ (p ∨ ¬r) Stel s: (p ∨ q) ∨ (q ∨ r) ∨ (p ∨ ¬r) p q r ¬r p∨q q∨r p ∨ ¬r s 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 De logische uitspraak is een tautologie, want de logische uitspraak is altijd waar, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. d (¬p ∧ ¬q) ∧ (¬q ∧ ¬r) ∧ (¬p ∧ r) Stel s: (¬p ∧ ¬q) ∧ (¬q ∧ ¬r) ∧ (¬p ∧ r) p q r ¬p ¬q ¬r ¬p ∧ ¬q ¬q ∧ ¬r ¬p ∨ r s 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 De logische uitspraak is een contradictie, want de logische uitspraak is altijd vals, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. 18 HOOFDSTUK 1 LOGICA 1.5 Logische poorten Oefening 21 p. 24 Een logische poort is een elektronische schakeling met een of meer ingangen en juist één uitgang. Er zijn drie basispoorten: een AND-poort, een OR-poort en een NOT-poort. Een logische poort werkt volgens drie fasen. fase 1: invoer De ingangen van de poorten kun je verbinden met een schakelaar. Zet je de schakelaar in stand 1, dan zal de bijbehorende ingang van de poort onder spanning staan. De ingang van die poort ontvangt dan een 1-signaal. Zet je de schakelaar in stand 0, dan zal de bijbehorende ingang niet onder spanning staan. De ingang van die poort ontvangt dan een 0-signaal. fase 2: verwerking De invoersignalen worden door de poort verwerkt tot één enkel uitvoersignaal. fase 3: uitvoer De uitgang van een poort kun je verbinden met een lamp. Als het uitvoersignaal van de poort gelijk is aan 1, dan zal de lamp branden. Als het uitvoersignaal van de poort gelijk is aan 0, dan zal de lamp niet branden. Onderzoek hoe de verschillende basispoorten de invoersignalen verwerken tot een uitvoersignaal. a De AND-poort 1 Noteer het cijfer 1 als de lamp brandt. Noteer het cijfer 0 als de lamp niet brandt. a schakelaar 1: 0 c schakelaar 1: 0 & lamp 0 & lamp 0 schakelaar 2: 0 schakelaar 2: 1 b schakelaar 1: 1 d schakelaar 1: 1 & lamp 0 & lamp 1 schakelaar 2: 0 schakelaar 2: 1 2 De tabel geeft een overzicht met alle mogelijke combinaties van de standen van beide schakelaars. Vul de kolom van de lamp in. stand stand de lamp schakelaar 1 schakelaar 2 brandt 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 3 De tabel lijkt op een waarheidstabel. Waar, in de logica, heb je deze waarheidstabel nog gezien? bij de conjunctie 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 19  b De OR-poort 1 Noteer het cijfer 1 als de lamp brandt. Noteer het cijfer 0 als de lamp niet brandt. a schakelaar 1: 0 c schakelaar 1: 0 ⩾1 lamp 0 ⩾1 lamp 1 schakelaar 2: 0 schakelaar 2: 1 b schakelaar 1: 1 d schakelaar 1: 1 ⩾1 lamp 1 ⩾1 lamp 1 schakelaar 2: 0 schakelaar 2: 1 2 Stel een tabel op met alle mogelijke combinaties van de standen van beide schakelaars en noteer bij welke combinaties de lamp brandt. stand stand de lamp schakelaar 1 schakelaar 2 brandt 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 3 De tabel lijkt op een waarheidstabel. Waar, in de logica, heb je deze waarheidstabel nog gezien? bij de disjunctie c De NOT-poort 1 Noteer het cijfer 1 als de lamp brandt. Noteer het cijfer 0 als de lamp niet brandt. a b schakelaar: 0 1 lamp 1 schakelaar: 1 1 lamp 0 2 Stel een tabel op met de twee standen van de schakelaar en noteer bij welke stand de lamp brandt. stand de lamp schakelaar brandt 0 1 1 0 3 De tabel lijkt op een waarheidstabel. Waar, in de logica, heb je deze waarheidstabel nog gezien? bij de negatie 20 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 22 p. 26 Gegeven is een combinatie van poorten. A B ⩾1 C a Noteer de logische uitdrukking bij deze combinatie van poorten. & Z (A ∨ B ∨ C) ∧ (D ∨ E) D ⩾1 E b Als B en D logische toestand 1 hebben en alle andere ingangen logische toestand 0, wat is dan de logische toestand van Z? Verklaar. De logische toestand van A ∨ B ∨ C en van D ∨ E is 1, dus de logische toestand van (A ∨ B ∨ C) ∧ (D ∨ E) is 1. c In welke gevallen zal de logische toestand van Z gelijk zijn aan 0? Als ingangen A, B en C tegelijkertijd 0 zijn of als ingangen D en E tegelijkertijd 0 zijn. Oefening 23 p. 26 Verklaar waarom de gegeven combinatie van poorten overeenkomt met de exclusieve of. A & B 1 ⩾1 Z 1 & Logische uitdrukking bij de schakeling: (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) Waarheidstabel A B ¬A ¬B A ∧ ¬B ¬A ∧ B (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 De schakeling komt overeen met de exclusieve of omdat de logische toestand van de uitgang enkel 1 is als die van de ene ingang 1 is en van de andere 0. 1 EEN LOGISCHE UITSPRAAK 21  2 De implicatie 2.1 De implicatie Oefening 24 p. 27 Xander zegt: ‘Als Lieze jarig is, dan bel ik haar op.’ Stel: j: Lieze is jarig b: Xander belt Lieze op a Maak een tabel van twee kolommen met alle mogelijke combinaties van de waarheidswaarden van de proposities j en b. Noteer bij elke waarheidswaarde de betekenis. j b 1 Lieze is jarig. 1 Xander belt Lieze op. 1 Lieze is jarig. 0 Xander belt Lieze niet op. 0 Lieze is niet jarig. 1 Xander belt Lieze op. 0 Lieze is niet jarig. 0 Xander belt Lieze niet op. b In welke gevallen is de uitspraak van Xander niet waar? In het tweede geval, waarbij Lieze jarig is en Xander haar niet opbelt, is de uitspraak niet waar. Oefening 25 p. 29 Zijn de implicaties waar of vals? Verklaar. a Als 5 een priemgetal is, dan is de som van de hoeken van een driehoek gelijk aan 360°. Vals, want de eerste propositie is waar en de tweede is vals. b Als 100 deelbaar is door 10, dan is 700 deelbaar door 10. Waar, want beide proposities zijn waar. c Als mijn zus op haar handen de wereld kan rondstappen, dan ben ik de koning van de Belgen. Waar, want de eerste propositie is vals. Oefening 26 p. 29 Gegeven zijn drie proposities. z: Ruby is ziek d: Ruby gaat naar de dokter s: Ruby gaat naar school a Noteer in symbolen. 1 Als Ruby ziek is, gaat ze naar de dokter. z⇒d 2 Als Ruby naar de dokter gaat, dan gaat ze niet naar school. d ⇒ ¬s 3 Als Ruby ziek is en niet naar school gaat, dan gaat ze naar de dokter. (z ∧ ¬s) ⇒ d 22 HOOFDSTUK 1 LOGICA b Noteer in woorden. 1 s ⇒ ¬d Als Ruby naar school gaat, dan gaat ze niet naar de dokter. 2 d⇒z Als Ruby naar de dokter gaat, dan is ze ziek. 3 (z ∨ d) ⇒ ¬s Als Ruby ziek is of naar de dokter gaat, dan gaat ze niet naar school. Oefening 27 p. 29 a Noteer de wiskundige eigenschappen met ‘als … dan …’ 1 In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot. Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken van de driehoek even groot. 2 De som van twee veelvouden van een gegeven getal is een veelvoud van dat gegeven getal. Als twee getallen een veelvoud zijn van een gegeven getal, dan is de som van deze twee getallen een veelvoud van dat gegeven getal. b De wiskundige uitspraken zijn implicaties. Is de implicatie een ware of valse implicatie? Verklaar. 1 Als een gegeven vierhoek een parallellogram is, dan is de vierhoek een trapezium. Waar, want een parallellogram heeft minstens één paar evenwijdige zijden en is dus een trapezium. 2 Als een gegeven getal deelbaar is door 5, dan is het deelbaar door 10. Vals, want 15 is deelbaar door 5 maar niet door 10. Oefening 28 p. 29 Stel de waarheidstabel op. a ¬p ⇒ q p q ¬p ¬p ⇒ q 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 b (p ⇒ q) ∧ (p ∨ q) p q p⇒q p∨q (p ⇒ q) ∧ (p ∨ q) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 2 DE IMPLICATIE 23  Oefening 29 p. 29 Gegeven zijn drie proposities. s: een spin heeft zes poten d: een dolfijn is een vis b: een beer kan vliegen Onderzoek de waarheidswaarde van de logische uitspraak ‘als een spin zes poten heeft of als een dolfijn een vis is, dan kan een beer vliegen’. Verklaar met een deel van een waarheidstabel. in symbolen: (s ∨ d) ⇒ b s d b s∨d (s ∨ d) ⇒ b 0 0 0 0 1 De logische uitspraak ‘als een spin zes poten heeft of als een dolfijn een vis is, dan kan een beer vliegen’ is waar. Oefening 30 p. 29 Toon aan dat de uitspraken ‘als een gegeven vierhoek een ruit is, dan snijden de diagonalen elkaar in het midden’ en ‘een gegeven vierhoek is geen ruit of de diagonalen van de vierhoek snijden elkaar in het midden’ logisch gelijkwaardig zijn. Stel: p: een gegeven vierhoek is een ruit q: de diagonalen van een gegeven vierhoek snijden elkaar in het midden Als een gegeven vierhoek een ruit is, dan snijden de diagonalen elkaar in het midden. p⇒q p q p⇒q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Een gegeven vierhoek is geen ruit of de diagonalen van de vierhoek snijden elkaar in het midden. ¬p ∨ q p q ¬p ¬p ∨ q 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 De uitspraken zijn logisch gelijkwaardig omdat ze dezelfde waarheidstabel hebben. 24 HOOFDSTUK 1 LOGICA 2.2 De contrapositie Oefening 31 p. 30 Xander zegt: ‘Als Lieze jarig is, dan bel ik haar op.’ Stel: j: Lieze is jarig b: Xander belt Lieze op a Noteer de logische uitspraak van Xander in symbolen. j⇒b b Alle gegeven logische uitspraken zijn opgebouwd met behulp van de proposities j en b. Noteer elke logische uitspraak in symbolen. 1 Als Lieze niet jarig is, dan belt Xander haar op. ¬j ⇒ b 2 Als Lieze jarig is, dan belt Xander haar niet op. j ⇒ ¬b 3 Als Lieze niet jarig is, dan belt Xander haar niet op. ¬j ⇒ ¬b 4 Als Xander Lieze opbelt, dan is ze jarig. b⇒j 5 Als Xander Lieze niet opbelt, dan is ze jarig. ¬b ⇒ j 6 Als Xander Lieze opbelt, dan is ze niet jarig. b ⇒ ¬j 7 Als Xander Lieze niet opbelt, dan is ze niet jarig. ¬b ⇒ ¬j c Van welke logische uitspraken uit b vermoed je dat ze logisch gelijkwaardig zijn met de uitspraak van Xander? eigen antwoord d Controleer je vermoeden met waarheidstabellen. j b ¬j ¬b j⇒b ¬j ⇒ b j ⇒ ¬b ¬j ⇒ ¬b 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 j b ¬j ¬b b⇒j ¬b ⇒ j b ⇒ ¬j ¬b ⇒ ¬j 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 e Vergelijk de antwoorden op vragen c en d met je klasgenoten. Welke logische uitspraak is logisch gelijkwaardig met die van Xander? Enkel logische uitspraak 7 is logisch gelijkwaardig met die van Xander. 2 DE IMPLICATIE 25  Oefening 32 p. 32 Vul in met ‘nodige’ of ‘voldoende’. a ‘Een gegeven getal is kleiner dan 3’ is een voorwaarde voor ‘het getal is kleiner dan 4’. voldoende Als een gegeven getal kleiner is dan 3, dan is het zeker kleiner dan 4. b ‘Een gegeven getal is kleiner dan 3’ is een voorwaarde voor ‘het getal is kleiner dan 2’. nodige Als een gegeven getal niet kleiner is dan 3, dan is het zeker niet kleiner dan 2. c ‘De diagonalen van een gegeven vierhoek snijden elkaar in het midden’ is een voorwaarde voor ‘de vierhoek is een rechthoek’. nodige Als de diagonalen van de gegeven vierhoek elkaar niet in het midden snijden, dan is de vierhoek zeker geen rechthoek. d ‘Twee gegeven figuren zijn congruent’ is een voorwaarde voor ‘de twee gegeven figuren zijn gelijkvormig’. voldoende Als twee gegeven figuren congruent zijn, dan zijn de figuren zeker gelijkvormig. Oefening 33 p. 33 Noteer de contrapositie van elke implicatie. a Als ik geslaagd ben, dan ga ik naar Pukkelpop. Als ik niet naar Pukkelpop ga, dan ben ik niet geslaagd. b Als ik 18 jaar ben, dan ga ik leren autorijden. Als ik niet leer autorijden, dan ben ik geen 18 jaar. c Als een gegeven getal deelbaar is door 9, dan is het gegeven getal deelbaar door 3. Als een gegeven getal niet deelbaar is door 3, dan is het gegeven getal niet deelbaar door 9. d Als twee gegeven lijnstukken elkaars schuifbeeld zijn, dan zijn de twee gegeven lijnstukken evenwijdig. Als twee gegeven lijnstukken niet evenwijdig zijn, dan zijn de gegeven lijnstukken niet elkaars schuifbeeld. 26 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 34 p. 33 Als je kunt aantonen dat een implicatie waar is, dan is de contrapositie ervan waar. Dat kan ook omgekeerd: als je kunt aantonen dat de contrapositie van een implicatie waar is, dan is de implicatie waar. Bewijs de eigenschap ‘als het kwadraat van een getal oneven is, dan is het getal oneven’ door aan te tonen dat de contrapositie waar is. a Noteer de contrapositie van de eigenschap. Als een getal even is, dan is het kwadraat van dat getal even. b Bewijs de contrapositie van de eigenschap. Een getal dat even is, kun je noteren als 2n met n ∈ N. (2n)2 = 4n2 4n2 is een veelvoud van 4 en dus even. 2 DE IMPLICATIE 27  3 De equivalentie Oefening 35 p. 34 a Elke implicatie is waar. Noteer de implicatie met de implicatiepijl. Noteer het omgekeerde van de implicatie. Noteer de waarheidswaarde van het omgekeerde. 1 Als een gegeven driehoek gelijkzijdig is, dan zijn de drie hoeken van de driehoek even groot. implicatie: een gegeven driehoek is gelijkzijdig ⇒ de drie hoeken van de driehoek zijn even groot omgekeerde implicatie: de drie hoeken van een gegeven driehoek zijn even groot ⇒ de driehoek is gelijkzijdig waarheidswaarde omgekeerde implicatie: waar 2 Als een gegeven functie een eerstegraadsfunctie is, dan heeft de functie één nulwaarde. implicatie: een gegeven functie is een eerstegraadsfunctie ⇒ de functie heeft één nulwaarde omgekeerde implicatie: een gegeven functie heeft één nulwaarde ⇒ de functie is een eerstegraadsfunctie waarheidswaarde omgekeerde implicatie: vals 3 Als twee gegeven natuurlijke getallen even zijn, dan is de som van de getallen even. implicatie: twee gegeven natuurlijke getallen zijn even ⇒ de som van de getallen is even omgekeerde implicatie: de som van twee gegeven natuurlijke getallen is even ⇒ de getallen zijn even waarheidswaarde omgekeerde implicatie: vals 4 Als een gegeven driehoek rechthoekig is, dan is het kwadraat van de lengte van de langste zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de andere zijden. implicatie: een gegeven driehoek is rechthoekig ⇒ het kwadraat van de lengte van de langste zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de twee andere zijden omgekeerde implicatie: in een gegeven driehoek is het kwadraat van de lengte van de langste zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de twee andere zijden ⇒ de driehoek is rechthoekig waarheidswaarde omgekeerde implicatie: waar b Kies een van de implicaties uit a waarvan het omgekeerde waar is. Noteer met ‘als en slechts als’. 1 Een gegeven driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de drie hoeken van de driehoek even groot zijn. 4 Een gegeven driehoek is rechthoekig als en slechts als het kwadraat van de lengte van de langste zijde van de driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de andere zijden. 28 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 36 p. 34 Het omgekeerde van de implicatie p ⇒ q is q ⇒ p. a Stel de waarheidstabel op bij (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). p q p⇒q q⇒p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 b Noteer voor welke waarheidswaarden van p en q de logische uitspraak (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) waar is. De logische uitspraak is waar als de proposities p en q dezelfde waarheidswaarde hebben. Oefening 37 p. 36 Gegeven zijn vijf proposities. B p: vierhoek ABCD is een parallellogram q: de overstaande zijden van vierhoek ABCD zijn evenwijdig r : de overstaande zijden van vierhoek ABCD zijn even lang A s: de overstaande hoeken van vierhoek ABCD zijn even groot C t: de diagonalen van vierhoek ABCD snijden elkaar in het midden a Noteer in symbolen. D 1 Vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden van de vierhoek evenwijdig zijn. p⇔q 2 De overstaande zijden van vierhoek ABCD zijn even lang als en slechts als de diagonalen van de vierhoek elkaar in het midden snijden. r⇔t 3 De overstaande hoeken van vierhoek ABCD zijn niet even groot als en slechts als de diagonalen van de vierhoek elkaar niet in het midden snijden. ¬s ⇔ ¬t b Noteer in woorden. 1 p⇔t Vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts als de diagonalen van de vierhoek elkaar in het midden snijden. 2 ¬r ⇔ ¬p De overstaande zijden van vierhoek ABCD zijn niet even lang als en slechts als de vierhoek geen parallellogram is. 3 t⇔q De diagonalen van vierhoek ABCD snijden elkaar in het midden als en slechts als de overstaande zijden van de vierhoek evenwijdig zijn. 3 DE EQUIVALENTIE 29  Oefening 38 p. 36 Toon aan dat de logische uitspraak ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q een tautologie is. p q p⇒q ¬(p ⇒ q) ¬q p ∧ ¬q ¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q) 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 De logische uitspraak is een tautologie omdat de uitspraak altijd waar is, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. Oefening 39 p. 36 Gegeven zijn drie proposities. p: Evan gebruikt een paraplu j: Evan draagt een jas r : het regent Noteer in symbolen. a Evan gebruikt een paraplu of draagt een jas als en slechts als het regent. (p ∨ j) ⇔ r b Als het regent en Evan draagt een jas, dan gebruikt hij geen paraplu. (r ∧ j) ⇒ ¬p c Evan gebruikt een paraplu als en slechts als het regent en hij geen jas draagt. p ⇔ (r ∧ ¬j) Oefening 40 p. 37 Vul in met ‘nodige’, ‘voldoende’ of ‘nodige en voldoende’. a ‘De som van de cijfers van een gegeven getal is deelbaar door 3’ is een voorwaarde voor ‘Het getal is deelbaar door 3’. nodige en voldoende Als de som van de cijfers van het gegeven getal niet deelbaar is door 3, dan is het getal zeker niet deelbaar door 3. Als de som van de cijfers van het gegeven getal deelbaar is door 3, dan is het getal zeker deelbaar door 3. b ‘De som van twee gegeven hoeken is 180°’ is een voorwaarde voor ‘De hoeken zijn nevenhoeken’. nodige Als de som van de gegeven hoeken geen 180° is, dan zijn het zeker geen nevenhoeken. Als de som van de hoeken wel 180° is, dan zijn de hoeken niet noodzakelijk nevenhoeken: zo is de som van twee opeenvolgende hoeken van een parallellogram gelijk aan 180°. 30 HOOFDSTUK 1 LOGICA c ‘Het kwadraat van een gegeven getal is gelijk aan 4’ is een voorwaarde voor ‘Het getal is gelijk aan 2’. nodige Als het kwadraat van een gegeven getal niet gelijk is aan 4, dan is het getal zeker niet gelijk aan 2. Als het kwadraat van een gegeven getal gelijk is aan 4, dan is het getal niet noodzakelijk gelijk aan 2: het kan ook gelijk zijn aan −2. d ‘Twee gegeven getallen zijn even’ is een voorwaarde voor ‘Het product van de getallen is even’. voldoende Als twee gegeven getallen even zijn, dan is het product van die getallen zeker even. Als twee gegeven getallen niet beide even zijn, dan is het product van die getallen niet noodzakelijk oneven: 2 en 3 zijn niet beide even getallen en hun product is toch even. Oefening 41 p. 37 De logische uitspraken zijn waar. Tony bakt koekjes als en slechts als Domingo op bezoek komt. Tony bakt koekjes of Domingo neemt bloemen mee. Wat is de waarheidswaarde van de propositie ‘Domingo komt op bezoek of Domingo neemt bloemen mee’? Stel: r: Tony bakt koekjes s: Domingo komt op bezoek t: Domingo neemt bloemen mee Tony bakt koekjes als en slechts als Domingo op bezoek komt. r ⇔ s Tony bakt koekjes of Domingo neemt bloemen mee. r∨t Domingo komt op bezoek of Domingo neemt bloemen mee. s∨t In een waarheidstabel kun je alle mogelijkheden schrappen waarbij r ⇔ s of r ∨ t vals is. r s t r⇔s r∨t s∨t 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 De propositie ‘Domingo komt op bezoek of Domingo neemt bloemen mee’ is altijd waar. 3 DE EQUIVALENTIE 31  Opdrachten 1 Een logische uitspraak Oefening 42 p. 40 Noteer de letter van de zinnen die een propositie zijn. B, D, E en F A Hoe laat is het? B Berlijn ligt in België. C Kijk uit wat je doet! D Nina Derwael won een gouden medaille op de Olympische Spelen in Tokio. E 7 is groter dan 12 F (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 G AA Gent is beter dan Club Brugge. Oefening 43 p. 40 Vul de waarheidstabel aan. a (p ∨ q) ∧ q p q p∨q (p ∨ q) ∧ q 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 b (p ∧ q) ∨ q p q p∧q (p ∧ q) ∨ q 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Oefening 44 p. 40 Vul de waarheidswaarde in. a 27 · 2 = 50 ¬(27 · 2 = 50) 0 1 b 8 ‒ 10 = ‒3 34 = 81 (8 ‒ 10 = ‒3) ∧ (34 = 81) 0 1 0 32 HOOFDSTUK 1 LOGICA c 8 ‒ 10 = ‒3 34 = 81 (8 ‒ 10 = ‒3) ∨ (34 = 81) 0 1 1 d 50 : 5 = 10 37 : 2 = 19 ¬(37 : 2 = 19) (50 : 5 = 10) ∧ ¬(37 : 2 = 19) 1 0 1 1 Oefening 45 p. 41 Noteer het nummer van het juiste antwoord. a Welke zin is een disjunctie? 1 1 Elsa speelt voetbal of Felix speelt hockey. 2 Elsa speelt voetbal en Felix speelt hockey. 3 Elsa speelt geen voetbal en Felix speelt hockey. 4 geen van de bovenstaande b Welke logische uitspraak is een disjunctie? 3 1 ¬p ∧ q 2 p∧q 3 p∨q 4 geen van de bovenstaande c Stel: p: ik heb een kredietkaart q: ik heb geld op zak Hoe verwoord je de logische uitspraak ¬(p ∨ q)? 2 1 Ik heb geen kredietkaart en ik heb geld op zak. 2 Het is niet zo dat ik een kredietkaart heb of geld op zak heb. 3 Ik heb geen kredietkaart of ik heb geld op zak. 4 geen van de bovenstaande d Stel: p: er gaan 1 000 meter in een kilometer q: ik eet graag cake Hoe noteer je de logische uitspraak ‘Er gaan 1 000 meter in een kilometer of ik eet niet graag cake’? 3 1 ¬p ∨ ¬q 2 p ∧ ¬q 3 p ∨ ¬q 4 geen van de bovenstaande Oefening 46 p. 41 Gegeven zijn twee proposities. p: je bent ziek q: je hebt koorts a p∧q 1 Noteer de logische uitspraak in woorden. Je bent ziek en je hebt koorts. 2 Noteer in woorden in welke gevallen deze logische uitspraak waar is. De logische uitspraak is waar als de proposities ‘je bent ziek’ en ‘je hebt koorts’ beide waar zijn. OPDRACHTEN 33  b p∨q 1 Noteer de logische uitspraak in woorden. Je bent ziek of je hebt koorts. 2 Noteer in woorden in welke gevallen deze logische uitspraak waar is. De logische uitspraak is waar als minstens één van de proposities ‘je bent ziek’ en ‘je hebt koorts’ waar is. Oefening 47 p. 41 Drie leerlingen doen een uitspraak over een driehoek: Kwik: “De driehoek is rechthoekig en gelijkzijdig.” Kwek: “De driehoek is stomphoekig en gelijkzijdig.” Kwak: “De driehoek is rechthoekig en gelijkbenig.” Wie heeft zeker een foute uitspraak gedaan? A Niemand B Kwik, Kwek en Kwak C Alleen Kwak en Kwik D Alleen Kwek en Kwak E Alleen Kwik en Kwek (Bron: © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, VWO eerste ronde, 2009, vraag 24) Het juiste antwoord is E. Een gelijkzijdige driehoek heeft drie even grote hoeken van 60° en kan dus nooit recht- of stomphoekig zijn. Een rechthoekige, gelijkbenige driehoek bestaat wel. Deze driehoek heeft een tophoek van 90° en twee basishoeken van elk 45°. Oefening 48 p. 42 Waar of niet waar? Verklaar. a Bij een AND-poort is één 0-signaal bij een ingang voldoende om de uitgang in toestand 0 te brengen. Waar Bij een AND-poort is de uitgang 1 als alle ingangen 1 zijn. Dus zodra één van de ingangen 0 is, zal de uitgang 0 zijn. b Bij een OR-poort is één 1-signaal bij een ingang voldoende om de uitgang in toestand 1 te brengen. Waar Bij een OR-poort is de uitgang 1 als minstens één ingang 1 is. Oefening 49 p. 42 Bij welke logische poorten kan deze regel in de waarheidstabel voorkomen? Kies uit: AND / OR / NOT Noteer alle mogelijke antwoorden. a ingang 1 ingang 2 uitgang b ingang 1 ingang 2 uitgang 1 0 1 0 0 0 OR OR / AND 34 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 50 p. 42 Onderzoek of de logische uitspraken (p ∧ q) ∨ p en (p ∨ q) ∧ p logisch gelijkwaardig zijn. 1 Vul de waarheidstabel bij (p ∧ q) ∨ p aan. p q p∧q (p ∧ q) ∨ p 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 2 Stel de waarheidstabel bij (p ∨ q) ∧ p op. p q p∨q (p ∨ q) ∧ p 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 3 Formuleer een besluit. De logische uitspraken zijn logisch gelijkwaardig. Oefening 51 p. 42 Gegeven zijn twee proposities. p: Peggy is moe q: Quinten is moe a Noteer in symbolen. 1 Peggy is moe en Quinten niet. p ∧ ¬q 2 Quinten is moe en Peggy niet. q ∧ ¬p 3 Peggy en Quinten zijn beiden niet moe. ¬p ∧ ¬q 4 Peggy is moe of Quinten is niet moe. p ∨ ¬q 5 Peggy noch Quinten is moe. ¬p ∧ ¬q of ¬(p ∨ q) 6 Peggy is niet moe maar Quinten wel. ¬p ∧ q 7 Het is niet waar dat Peggy en Quinten beiden niet moe zijn. ¬(¬p ∧ ¬q) b Als p en q beide waar zijn, welke uitspraken uit a zijn dan waar? q ∧ ¬p ¬p ∧ ¬q p q ¬p ¬q p ∧ ¬q p ∨ ¬q ¬(¬p ∧ ¬q) ¬p ∧ q ¬(p ∨ q) 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Uitspraken 4 en 7 zijn waar. OPDRACHTEN 35  Oefening 52 p. 42 Stel de waarheidstabel op. a ¬(¬p ∨ q) p q ¬p ¬p ∨ q ¬(¬p ∨ q) 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 b p ∧ (¬p ∨ ¬q) p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q p ∧ (¬p ∨ ¬q) 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 Oefening 53 p. 42 Gegeven zijn twee proposities. g: ik heb een goudvis h: ik heb een hamster Noteer in woorden. a g ∨ ¬h c ¬g ∧ ¬h Ik heb een goudvis of ik heb geen hamster. Ik heb geen goudvis en ik heb geen hamster. b ¬(g ∨ h) d ¬(¬g) ∧ ¬(¬h) Ik heb geen goudvis of hamster. Ik heb een goudvis en een hamster. Oefening 54 p. 43 Onderzoek met een deel van een waarheidstabel de waarheidswaarde van de logische uitspraak. ((52 = 25) ∨ (7 < ‒9)) ∧ ((19 is een priemgetal) ∨ (7 ∈ del 714)) Stel: p: 52 = 25 q: 7 < −9 r: 19 is een priemgetal s: 7 ∈ del 714 logische uitspraak in symbolen: (p ∨ q) ∧ (r ∨ s) p q r s p∨q r∨s (p ∨ q) ∧ (r ∨ s) 1 0 1 1 1 1 1 De logische uitspraak ((52 = 25) ∨ (7 < −9)) ∧ ((19 is een priemgetal) ∨ (7 is een deler van 714)) is waar. 36 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 55 p. 43 Bewijs dat de logische uitspraken ‘p ∧ q’ en ‘¬(¬p ∨ ¬q)’ logisch gelijkwaardig zijn. p q p∧q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q ¬(¬p ∨ ¬q) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 De uitspraken zijn logisch gelijkwaardig, want ze hebben dezelfde waarheidstabel. Oefening 56 p. 43 Gegeven is een combinatie van logische poorten. A 1 a Noteer de logische uitdrukking bij deze combinatie. & Z ¬A ∧ ¬(B ∨ C) B ⩾1 1 C b Noteer in welke gevallen de logische toestand van Z gelijk zal zijn aan 1. Als alle ingangen tegelijkertijd 0 zijn. Oefening 57 p. 43 De NAND- en de NOR-poort zijn twee poorten die afgeleid zijn uit de basispoorten. a De NAND-poort is een AND-poort, gevolgd door een NOT-poort. A & Z De schematische voorstelling van de NAND-poort staat hiernaast. B 1 Noteer de logische uitdrukking bij deze poort. ¬(A ∧ B) 2 Stel de waarheidstabel op bij deze uitdrukking. A B A∧B ¬(A ∧ B) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 OPDRACHTEN 37  3 Noteer wanneer de uitgang van deze poort 0 is. De uitgang van deze poort is enkel 0 als alle ingangen 1 zijn. Noteer wanneer de uitgang van deze poort 1 is. De uitgang van deze poort is 1 zodra één van de ingangen 0 is. b De NOR-poort is een OR-poort, gevolgd door een NOT-poort. A ⩾1 Z De schematische voorstelling van de NOR-poort staat hiernaast. B 1 Noteer de logische uitdrukking bij deze poort. ¬(A ∨ B) 2 Stel de waarheidstabel op bij deze uitdrukking. A B A∨B ¬(A ∨ B) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 Noteer wanneer de uitgang van deze poort 0 is. De uitgang van deze poort is 0 zodra één van de ingangen 1 is. Noteer wanneer de uitgang van deze poort 1 is. De uitgang van deze poort is enkel 1 als alle ingangen 0 zijn. Oefening 58 p. 43 Het signaal van de uitgang van een logische poort is afhankelijk van de signalen aan de ingangen. Het signaal van de ingang kun je aansturen met invoerorganen, zoals een schuifschakelaar, een drukknop, een temperatuursensor of een lichtsensor. Door de uitgang van de poort met een uitvoerorgaan zoals een zoemer, een lamp of een relais te verbinden, kun je eenvoudige schakelingen besturen. Welke logische poort gebruik je om het probleem op te lossen? Kies uit: GEEN / AND / OR / NOT a Om niet gestoord te worden tijdens het leren, wil je de deurbel kunnen afzetten met een schakelaar. De bel mag dus enkel werken als de schakelaar gesloten is en als iemand op de belknop drukt. AND belknop & deurbel schakelaar b Een ventilator moet automatisch in werking treden als het te warm wordt. De temperatuursensor geeft een 1-signaal vanaf het ogenblik dat het te warm wordt. GEEN temperatuursensor ventilator 38 HOOFDSTUK 1 LOGICA c Een nachtlampje moet beginnen te branden zodra het donker is. De lichtsensor geeft een 1-signaal vanaf het moment dat het licht is. NOT lichtsensor 1 nachtlampje d Een ventilator moet automatisch werken als het te warm wordt. De ventilator moet je kunnen uitzetten als het geluid of de tocht je hindert. De temperatuursensor geeft een 1-signaal zodra het te warm wordt. AND temperatuursensor & ventilator schakelaar e De koeling van een diepvriezer moet in werking treden zodra de temperatuur te hoog wordt of als je manueel het toestel instelt op snelvriezen. De temperatuursensor geeft een 1-signaal vanaf het ogenblik dat het te warm wordt. OR temperatuursensor ⩾1 koelsysteem schakelaar Oefening 59 p. 43 Noteer in symbolen, waarbij je telkens gebruikmaakt van het symbool ∧. a 5 is kleiner dan 8 en 9 is kleiner dan 12. (5 < 8) ∧ (9 < 12) b 17 en 28 zijn groter dan 0. (17 > 0) ∧ (28 > 0) _ c –√7 ligt tussen ‒3 en ‒2. _ _ (−3 < − √ 7 ) ∧ (− √ 7 < −2) d 16 en 38 zijn natuurlijke getallen. (16 ∈ n) ∧ (38 ∈ n) Oefening 60 p. 44 Toon aan de logische uitspraak (p ∧ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) een contradictie is. p q p∧q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q (p ∧ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 De logische uitspraak is een contradictie omdat de uitspraak altijd vals is, onafhankelijk van de waarheidswaarden van de deelproposities. OPDRACHTEN 39  Oefening 61 p. 44 Stel dat proposities p en q vals zijn en propositie s waar is. Onderzoek de waarheidswaarde van (s ∨ p) ∧ (q ∧ ¬s). Verklaar zonder waarheidstabel. De volledige logische uitspraak is de conjunctie van twee andere logische uitspraken en is enkel waar als beide logische uitspraken waar zijn. De tweede logische uitspraak is echter vals, want het is de conjunctie van twee valse uitspraken. De volledige logische uitspraak is dan vals. Oefening 62 p. 44 Gegeven zijn twee uitspraken. p: x is een priemgetal q: x is even Welke uitspraak is waar als je x vervangt door 3? Noteer de letter van het juiste antwoord. Verklaar. A p ∨ ¬q B p ∧ ¬q C p∨q D al de bovenstaande uitspraken Het juiste antwoord is D. Als je x vervangt door 3, dan is uitspraak p waar en uitspraak q vals. Omdat p waar is, zijn de disjuncties in uitspraak A en C waar (want minstens één uitspraak is waar). Als q vals is, dan is ¬q waar en is uitspraak B de conjunctie van twee ware uitspraken en dus waar. Oefening 63 p. 44 Gegeven zijn drie ware logische uitspraken. Samuel bakt niet graag biefstuk of Kira eet graag biefstuk. Samuel bakt graag biefstuk of Kira eet niet graag biefstuk. Samuel bakt niet graag biefstuk of Kira eet niet graag biefstuk. Wat is de waarheidswaarde van ‘Samuel bakt graag biefstuk’ en van ‘Kira eet graag biefstuk’? Verklaar. Stel: s: Samuel bakt graag biefstuk k: Kira eet graag biefstuk Samuel bakt niet graag biefstuk of Kira eet graag biefstuk. ¬s ∨ k Samuel bakt graag biefstuk of Kira eet niet graag biefstuk. s ∨ ¬k Samuel bakt niet graag biefstuk of Kira eet niet graag biefstuk. ¬s ∨ ¬k s k ¬s ¬k ¬s ∨ k s ∨ ¬k ¬s ∨ ¬k 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 De logische uitspraken ‘Samuel bakt graag biefstuk’ en ‘Kira eet graag biefstuk’ zijn beide vals. 40 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 64 p. 44 Vervang de combinatie van logische poorten door één logische poort. A 1 & Z ⩾1 B logische uitdrukking bij de combinatie: (¬A ∨ B) ∧ ¬A A B ¬A ¬A ∨ B (¬A ∨ B) ∧ ¬A 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 De uitgang van deze poortencombinatie is 0 als A 1 is en omgekeerd. Je kunt deze poortencombinatie dus vervangen door een NOT-poort met als ingang A. Oefening 65 p. 44 a Noteer de zinnen in symbolen. 1 Het regent maar ik draag toch geen regenjas. Stel: p: het regent q: ik draag een regenjas zin in symbolen: p ∧ ¬q 2 Ik ga naar school, hoewel ik ziek ben. Stel: p: ik ga naar school q: ik ben ziek zin in symbolen: p ∧ q 3 Zowel mijn beste vriend als ik zijn niet geslaagd voor de test van Frans, maar toch gaan we naar het verjaardagsfeest van Lina. Stel: p: mijn beste vriend is geslaagd voor de test van Frans q: ik ben geslaagd voor de test van Frans r: mijn beste vriend gaat naar het verjaardagsfeest van Lina s: ik ga naar het verjaardagsfeest van Lina zin in symbolen: ¬p ∧ ¬q ∧ r ∧ s OPDRACHTEN 41  b Bij elk van de zinnen uit a zit een waardeoordeel dat je niet meer kunt terugvinden in de symbolische notaties. Noteer welke. 1 Als het regent, is het verstandiger om een regenjas te dragen. 2 Wie gaat er nu naar school als hij ziek is? 3 Mijn beste vriend en ik zijn niet geslaagd voor de test van Frans, dus eigenlijk verdienen we het niet om naar het verjaardagsfeest van Lina te gaan. Oefening 66 p. 44 Tot het einde van de 20ste eeuw werd volleybal gespeeld volgens het side-out systeem: enkel het serverende team kon een punt scoren. Als het serverende team de rally verloor, kreeg geen enkele ploeg een punt en ging de opslag naar het andere team. Stel: p: ploeg A serveert q: ploeg A wint een rally Noteer in symbolen een logische uitspraak: a die waar is als ploeg A een punt scoort en anders vals is. Ploeg A scoort een punt als die ploeg serveert en de rally wint. p∧q b die waar is als ploeg B een punt scoort en anders vals is. Ploeg B scoort een punt als die ploeg serveert en de rally wint. ¬p ∧ ¬q c die waar is als het serverende team de huidige rally verliest en anders niet waar is. Het serverende team verliest de huidige rally als ploeg A serveert en de rally verliest of als ploeg B serveert en de rally verliest. (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) d waarvan de waarheidswaarde bepaalt of het serverende team opnieuw zal serveren. Het serverende team zal opnieuw serveren als ploeg A serveert en de rally wint of als ploeg B serveert en de rally wint. (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) Oefening 67 p. 45 a Uit oefening 19 kun je afleiden wat de negatie is van de disjunctie van twee proposities en van de conjunctie van twee proposities. Vul aan. 1 ¬(p ∨ q) is logisch gelijkwaardig met ¬p ∧ ¬q 2 ¬(p ∧ q) is logisch gelijkwaardig met ¬p ∨ ¬q Deze gelijkwaardigheden staan bekend als de wetten van De Morgan. 42 HOOFDSTUK 1 LOGICA b Noteer de letter van de negatie van de logische uitspraak. 1 De snelheidslimiet is 50 km/h en oma rijdt 35 km/h. A A De snelheidslimiet is niet 50 km/h of oma rijdt geen 35 km/h. B De snelheidslimiet is niet 50 km/h en oma rijdt geen 35 km/h. C De snelheidslimiet is niet 50 km/h of oma rijdt 35 km/h. D De snelheidslimiet is niet 50 km/h en oma rijdt 35 km/h. 2 Je draagt tijdens het sollicitatiegesprek een das die past bij je hemd of je wordt niet aangenomen. D A Je draagt tijdens het sollicitatiegesprek geen das die past bij je hemd of je wordt niet aangenomen. B Je draagt tijdens het sollicitatiegesprek geen das die past bij je hemd en je wordt niet aangenomen. C Je draagt tijdens het sollicitatiegesprek geen das die past bij je hemd of je wordt aangenomen. D Je draagt tijdens het sollicitatiegesprek geen das die past bij je hemd en je wordt aangenomen. Oefening 68 p. 45 a 1 Toon aan dat de logische uitspraken (p ∨ q) ∨ r en p ∨ (q ∨ r) logisch gelijkwaardig zijn. p q r p∨q (p ∨ q) ∨ r 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 p q r q∨r p ∨ (q ∨ r) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 De uitspraken zijn logisch gelijkwaardig, want ze hebben dezelfde waarheidstabel. 2 Vul de eigenschap aan. De disjunctie van proposities is associatief. b Verklaar waarom de disjunctie van proposities commutatief is. De disjunctie van twee proposities is waar als minstens één van de proposities waar is. Het maakt niet uit of dat de eerste of de tweede propositie is. OPDRACHTEN 43  c 1 De disjunctie van proposities is linksdistributief ten opzichte van de conjunctie als en slechts als de logische uitspraken p ∨ (q ∧ r) en (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) logisch gelijkwaardig zijn. Bewijs dat deze uitspraken logisch gelijkwaardig zijn. p q r q∧r p ∨ (q ∧ r) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 p q r p∨q p∨r (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 De uitspraken zijn logisch gelijkwaardig, want ze hebben dezelfde waarheidstabel. 2 De disjunctie van proposities is pas distributief ten opzichte van de conjunctie als de disjunctie ook nog rechtsdistributief is ten opzichte van de conjunctie. Welke logische uitspraken moeten dan logisch gelijkwaardig zijn? (p ∧ q) ∨ r moet logisch gelijkwaardig zijn met (p ∨ r) ∧ (q ∨ r). Je kunt dat opnieuw aantonen met een waarheidstabel, maar je kunt ook de bovenstaande eigenschappen gebruiken. Noteer bij elk nummer de gepaste eigenschap. (p ∧ q) ∨ r is logisch gelijkwaardig met r ∨ (p ∧ q) (1) r ∨ (p ∧ q) is logisch gelijkwaardig met (r ∨ p) ∧ (r ∨ q) (2) (r ∨ p) ∧ (r ∨ q) is logisch gelijkwaardig met (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (3) besluit: (p ∧ q) ∨ r is logisch gelijkwaardig met (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (1) De disjunctie van proposities is commutatief. (2) De disjunctie van proposities is linksdistributief ten opzichte van de conjunctie. (3) De disjunctie van proposities is commutatief. 44 HOOFDSTUK 1 LOGICA 2 De implicatie Oefening 69 p. 46 Vul de waarheidstabel aan. a (p ∧ q) ⇒ ¬q p q p∧q ¬q (p ∧ q) ⇒ ¬q 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 b (p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q) p q p⇒q ¬p ¬q ¬p ⇒ ¬q (p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q) 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 Oefening 70 p. 46 Gegeven zijn twee proposities. p: de weg ligt vol modder q: je schoenen worden vuil a p⇒q 1 Noteer de logische uitspraak in woorden. Als de weg vol modder ligt, dan worden je schoenen vuil. 2 Noteer in woorden in welke gevallen deze logische uitspraak vals is. De logische uitspraak is vals als de propositie ‘de weg ligt vol modder’ waar is en de propositie ‘je schoenen worden vuil’ vals is. b Noteer het nummer van de symbolische notatie die bij de logische uitspraak ‘als je schoenen niet vuil worden, dan ligt de weg niet vol modder’ hoort. 4 1 q⇒p 3 ¬q ⇒ p 2 q ⇒ ¬p 4 ¬q ⇒ ¬p Oefening 71 p. 46 Noteer het nummer van het juiste antwoord. a Welke zin is een implicatie? 3 1 Chavi gaat naar de scouts en Joeri zit in de Chiro. 2 Chavi gaat naar de scouts of Joeri zit in de Chiro. 3 Als Chavi naar de scouts gaat, zit Joeri in de Chiro. 4 geen van de bovenstaande OPDRACHTEN 45  b Stel: p: jij geeft mij 50 euro q: jij bent mijn beste vriend Welke van de logische uitspraken stelt ‘als je mij 50 euro geeft, dan ben jij mijn beste vriend’ voor? 2 1 p∧q 2 p⇒q 3 q⇒p 4 geen van de bovenstaande c Wat is de waarheidswaarde van p ⇒ q als q waar is en p vals is bij vraag b? 1 1 waar 2 vals 3 er is te weinig informatie gegeven 4 geen van de bovenstaande d Stel: p: 13 is een priemgetal q: 13 is oneven Welke van de logische uitspraken stelt (p ∨ q) ⇒ ¬q voor? 3 1 Als 13 een priemgetal is en 13 is oneven, dan is 13 niet oneven. 2 Als 13 een priemgetal is of 13 is niet oneven, dan is 13 oneven. 3 Als 13 een priemgetal is of 13 is oneven, dan is 13 niet oneven. 4 geen van de bovenstaande Oefening 72 p. 47 a Stel de waarheidstabel bij p ⇒ q op. p q p⇒q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 b Stel dat de implicatie p ⇒ q waar is. Zijn de uitspraken dan waar of niet waar? Verklaar door te verwijzen naar de overeenkomstige regel(s) uit de waarheidstabel. 1 Als p waar is, dan moet q waar zijn. Waar, want in de eerste regel staat dat als p waar is, q waar moet zijn. (De tweede regel doet niet mee, want de implicatie is waar.) 2 Als p vals is, dan moet q waar zijn. Niet waar , want in de derde en de vierde regel staat dat als p vals is, q waar of vals kan zijn. 3 Als q waar is, dan moet p waar zijn. Niet waar , want in de eerste en de derde regel staat dat als q waar is, p waar of vals kan zijn. 4 Als q vals is, dan moet p vals zijn. Waar , want in de vierde regel staat dat als q vals is, p vals moet zijn. (De tweede regel doet niet mee, want de implicatie is waar.) 46 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 73 p. 47 Vul de waarheidswaarde in. a 18 : 3 = 15 25 · 2 = 50 (18 : 3 = 15) ⇒ (25 · 2 = 50) 0 1 1 b 17 ‒ 10 = 7 ‒24 = 16 (17 ‒ 10 = 7) ⇒ (‒24 = 16) 1 0 0 c ‒3 + 6 = 3 8:2=4 ¬(8 : 2 = 4) (‒3 + 6 = 3) ⇒ ¬(8 : 2 = 4) 1 1 0 0 _ _ d √81 = 9 70 = 0 70 = 1 (70 = 0) ∨ (70 = 1) (√81 = 9) ⇒ ((70 = 0) ∨ (70 = 1)) 1 0 1 1 1 Oefening 74 p. 47 Noteer bij elke implicatie het nummer van de bijbehorende contrapositie. Kies uit: 1 Als ik blij ben, dan is Joshua blij. 2 Als ik blij ben, dan is Joshua niet blij. 3 Als ik niet blij ben, dan is Joshua blij. 4 Als ik niet blij ben, dan is Joshua niet blij. a Als Joshua blij is, dan ben ik blij. 4 b Als Joshua blij is, dan ben ik niet blij. 2 c Als Joshua niet blij is, dan ben ik blij. 3 d Als Joshua niet blij is, dan ben ik niet blij. 1 Oefening 75 p. 48 Gegeven zijn drie logische uitspraken. z: de boom is ziek r : de boom kan gered worden s: de boom wordt geveld a Noteer in symbolen. 1 Als de boom ziek is en gered kan worden, dan wordt hij niet geveld. (z ∧ r) ⇒ ¬s 2 Als de boom geveld wordt, dan kan hij niet gered worden. s ⇒ ¬r 3 Als de boom niet geveld wordt, dan is hij niet ziek of kan hij gered worden. ¬s ⇒ (¬z ∨ r) OPDRACHTEN 47  b Noteer in woorden. 1 (¬z ∨ r) ⇒ ¬s Als de boom niet ziek is of gered kan worden, dan wordt de boom niet geveld. 2 s ⇒ (z ∨ ¬r) Als de boom geveld moet worden, dan is de boom ziek of kan hij niet gered worden. 3 (¬r ∧ s) ⇒ z Als de boom niet gered kan worden en geveld wordt, dan is de boom ziek. Oefening 76 p. 48 Zijn de implicaties waar of vals? Verklaar. a Als 3 + 2 = 7, dan eet Piet zijn schoenen op. Waar, want de eerste propositie is vals. b Als 5 een deler is van 20, dan is de functie met voorschrift f(x) = 3x2 een eerstegraadsfunctie. Vals, want de eerste propositie is waar en de tweede is vals. c Als 15 een natuurlijk getal is, dan heeft een vierhoek vier zijden. Waar, want beide proposities zijn waar. Oefening 77 p. 48 Stel de waarheidstabel op. a ¬(p ⇒ q) p q p⇒q ¬(p ⇒ q) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 b p ∨ (p ⇒ q) p q p⇒q p ∨ (p ⇒ q) 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 48 HOOFDSTUK 1 LOGICA c (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ¬q) p q p⇒q ¬q p ⇒ ¬q (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ¬q) 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Oefening 78 p. 48 Noteer de wiskundige eigenschappen met ‘als … dan …’ a In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot. Als een vierhoek een parallellogram is, dan zijn de overstaande hoeken even groot. b In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. Als driehoeken congruent zijn, dan zijn de overeenkomstige zijden even lang. c De som van twee oneven getallen is een even getal. Als twee getallen oneven zijn, dan is hun som even. Oefening 79 p. 48 Gegeven zijn vier proposities. p: elke boom verliest zijn bladeren in de herfst q: beren hebben vier poten r : alle slangen zijn giftig s: een stier heeft geen uier Onderzoek de waarheidswaarde van de logische uitspraak ‘als elke boom zijn bladeren verliest in de herfst en beren hebben geen vier poten, dan zijn alle slangen giftig en heeft een stier een uier’. Verklaar met een deel van een waarheidstabel. in symbolen: (p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬s) p q r s ¬q p ∧ ¬q ¬s r ∧ ¬s (p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬s) 0 1 0 1 0 0 0 0 1 De logische uitspraak ‘als elke boom zijn bladeren verliest in de herfst en beren hebben geen vier poten, dan zijn alle slangen giftig en heeft een stier een uier’ is waar. Oefening 80 p. 48 Gegeven zijn twee uitspraken. p: x is een priemgetal q: x is oneven Wat is de waarheidswaarde van de implicatie p ⇒ q voor de gegeven waarde van x? Verklaar je antwoord. a x=2 Als x = 2, dan is p waar en q vals. De implicatie van deze uitspraken is dan vals. OPDRACHTEN 49  b x=3 Als x = 3, dan zijn p en q waar. De implicatie van deze uitspraken is dan waar. c x=4 Als x = 4, dan is p vals. De implicatie van deze uitspraken is dan waar. d x=9 Als x = 9, dan is p vals. De implicatie van deze uitspraken is dan waar. Oefening 81 p. 49 De wiskundige uitspraken zijn implicaties. Is de implicatie een ware of valse implicatie? Verklaar. Noteer van de ware implicaties de contrapositie. a Als een gegeven driehoek rechthoekig is, dan is hij niet gelijkzijdig. Waar, want een gegeven rechthoekige driehoek kan nooit drie even grote hoeken hebben en dus niet gelijkzijdig zijn. Contrapositie: als een gegeven driehoek gelijkzijdig is, dan is hij niet rechthoekig. b Als de richtingscoëfficiënt van een gegeven rechte gelijk is aan ‒3, dan daalt de rechte. Waar, want rechten met een negatieve richtingscoëfficiënt zijn dalende rechten. Contrapositie: als een gegeven rechte niet daalt, dan is de richtingscoëfficiënt van de rechte niet gelijk aan −3. c Als de grafiek van een gegeven functie een rechte is, dan is de functie een eerstegraadsfunctie. Niet waar, want de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = 3 is een rechte, maar de functie is geen eerstegraadsfunctie. Oefening 82 p. 49 Onderzoek of de logische uitspraak (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q een tautologie is. p q p⇒q p ∧ (p ⇒ q) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 De logische uitspraak is een tautologie, want de uitspraak is altijd waar, onafhankelijk van de waarheidswaarde van de deelproposities. 50 HOOFDSTUK 1 LOGICA Oefening 83 p. 49 Noteer de uitspraken in symbolen. Gebruik de symbolen ¬, ∧, ∨ en ⇒. a Als een getal a kleiner is dan een getal b en het getal b is kleiner dan een getal c, dan is het getal a kleiner dan het getal c. ((a < b) ∧ (b < c)) ⇒ (a < c) b Als lijnstuk [KL] 5 cm lang is en lijnstuk [OP] is 5 cm lang, dan zijn de lijnstukken even lang. ((|KL| = 5 cm) ∧ (|OP| = 5 cm)) ⇒ (|KL| = |OP|) _ _ c Als een getal g tussen √2 en √3 ligt, dan is dat getal groter dan nul. _ _ ((√2 < g) ∧ (g < √3 )) ⇒ (g > 0) d Als minstens één van twee getallen x en y gelijk is aan nul, dan is hun product gelijk aan nul. ((x = 0) ∨ (y = 0)) ⇒ (x · y = 0) Oefening 84 p. 49 Vul in met ‘nodige’ of ‘voldoende’. a ‘Een gegeven getal is een veelvoud van 70’ is een voorwaarde voor ‘het getal is deelbaar door 7.’ voldoende Als een gegeven getal een veelvoud is van 70, dan is het zeker deelbaar door 7. b ‘Twee gegeven driehoeken zijn gelijkvormig’ is een voorwaarde voor ‘de driehoeken zijn congruent’. nodige Als de gegeven driehoeken niet gelijkvormig zijn, dan zijn ze zeker niet congruent. c ‘Een gegeven getal is een natuurlijk getal’ is een voorwaarde voor ‘het getal is een geheel getal’. voldoende Als het gegeven getal een natuurlijk getal is, dan is het zeker een geheel getal. d ‘Twee gegeven lijnstukken zijn elkaars spiegelbeeld’ is een voorwaarde voor ‘de lijnstukken zijn even lang’. voldoende Als de twee gegeven lijnstukken elkaars spiegelbeeld zijn, dan zijn ze zeker even lang. Oefening 85 p. 49 Onderzoek, zonder een waarheidstabel op te stellen, de waarheidswaarde van p, q en r als je weet dat de implicatie (p ∧ q) ⇒ (q ∧ r) vals is. Noteer je redenering. De implicatie is enkel vals als de logische uitspraak voor de implicatiepijl waar is en die achter de pijl vals. De logische uitspraak voor de pijl is een conjunctie en die is enkel waar als beide proposities waar zijn, dus p en q zijn waar. De logische uitspraak achter de pijl is een conjunctie en die is vals als minstens één propositie vals is. Propositie q is waar, dus propositie r moet vals zijn. Besluit: p en q zijn waar, r is vals. OPDRACHTEN 51  Oefening 86 p. 49 Voor welke waarheidswaarden van p, q en r is de logische uitspraak (¬p ∨ q) ∧ (q ⇒ (¬r ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ r) waar? Stel (¬p ∨ q) ∧ (q ⇒ (¬r ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ r) voor door s. p q r ¬p ¬p ∨ q ¬r ¬r ∧ ¬p q ⇒ (¬r ∧ ¬p) p∨r s 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1