Chemie 5.0 Atoommodel PDF

0 Chemie 5.0 N. Sabbe Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  1 Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  2 Deel 1 H...

0 Chemie 5.0 N. Sabbe Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  1 Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  2 Deel 1 HET KWANTUMMECHANISCH ATOOMMODEL Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  3 1. De klassieke atoommodellen “Een atoom is het kleinste onderdeel van materie dat nog materie- eigenschappen bezit.” Deze definitie was de eerste zin van een voorafgaand hoofdstuk van de elementaire chemie. Het atoom hebben we daarna als een bouwsteentje beschouwd, de basis van moleculen en andere verschijnselen zoals elektrische ladingen,… Het tot nu ons bekende atoom heeft een massa, afmetingen,… maar de dimensies van een atoom zijn zodanig klein dat de wetenschap het nog steeds moet stellen met een vereenvoudigd beeld van wat de werkelijkheid inhoudt. De klassieke modellen werden verbeterd, aangepast, uitgebreid en tot in de eerste helft van de 20e eeuw waren ze vooral gestoeld op de klassieke mechanica. Nieuwe ontdekkingen zouden echter vanaf de jaren ‘20 leiden tot een compleet nieuwe invalshoek… We hernemen eerst nog even kort de klassieke theorieën die de basis zullen vormen van een nieuw atoommodel. 1.1. De oude Grieken Democritos wordt aanzien als de eerste filosoof die het atoombegrip omschrijft. De denkbeelden van Democritos werden door de Romeinse dichter Lucretius omstreeks 57 v.C. beschreven in het gedicht “De rerum natura”: “.... de natuur van het universum bestaat in essentie uit twee dingen : atomen en het niets...” Over de afmetingen van atomen hadden de Grieken weinig ideeën. Ze beweerden enkel dat het onzichtbare kleine deeltjes waren : “We kunnen de verschillende geuren van de dingen ruiken, maar nooit zien we de deeltjes naar onze neus komen.”... Deze “ruwbouw” van de atoomtheorie heeft geen stand gehouden: ze bleef beperkt tot een mooie interpretatie van gekende verschijnselen. Het overweldigende gezag van Aristoteles, die er andere beweringen op nahield, was er medeverantwoordelijk voor dat de atoomtheorie gedurende eeuwen vergeten werd. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  4 1.2. Dalton : het biljartbalmodel John Dalton (1766-1844) leefde in het Engeland van de 18 e eeuw. Niettegenstaande zijn eenvoudige komaf was hij in staat om het tot een vooraanstaand wetenschapper met een gedegen reputatie te schoppen. Hij publiceerde zeer veel werken aangaande atoomtheorie, gaswetten, kleurenblindheid (vandaar Daltonisme),… Hij leefde relatief teruggetrokken maar verbond zijn naam voor eeuwig met het eerst bruikbare atoommodel. In 1803 noteerde Dalton in zijn dagboek een aantal principes die de basis vormden van zijn atoomtheorie: - Atomen zijn massieve bolletjes. - Ze zijn ondeelbaar. - Bij elk element hoort een eigen atoomsoort. - Ze zijn verschillend door hun massa en grootte. - Bij elke chemische reactie vallen de moleculen van de uitgangsstoffen uit elkaar in atomen of atoomgroepen , waaruit door nieuwe combinaties de moleculen van andere stoffen gevormd worden. Volgens Dalton waren de atomen van een bepaald element allemaal gelijk , terwijl ze weer anders waren dan die van andere elementen. Dalton was de eerste wetenschapper die de elementen naar hun atoomgewicht indeelde , hij ontketende daarmee een revolutie in de wetenschap. Dalton beschouwde de atomen dus als de ondeelbare elementaire bouwstenen van de materie, te vergelijken met minuscule biljartballen. Het atoommodel van Dalton was een goed model om - de structuur van samengestelde stoffen te verklaren - het begrip molecule uit te leggen Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  5 1.3. Thomson: het rozijnenbroodmodel Joseph John Thomson ( 1856 – 1940) was een Engels natuurkundige. Hij was de ontdekker van het elektron, dat de aanleiding gaf tot elektrische stroom. In 1897 maakte Thomson bekend dat kathodestralen bestonden uit een stroom negatief geladen deeltjes, die later de naam “elektronen” zouden krijgen. Hij bewees dat een elektron veel kleiner was dan een atoom en dat elektronen wel eens onderdeel zouden kunnen zijn van het atoom zelf. Op basis hiervan ontwikkelde hij zijn model van het atoom. Thomson was een uitmuntend professor en dankzij zijn manier van lesgeven, werden er veel belangrijke experimenten over het elektromagnetisme en het atoom uitgevoerd in zijn labo, waar ook zeer veel uitstekende natuurkundigen hun opleiding genoten, onder wie zeven Nobelprijswinnaars. In 1906 ontving hij de Nobelprijs voor de Natuurkunde voor de ontdekking van het elektron; in 1908 werd hij sir Joseph Thomson. Hij was gehuwd en had een zoon en een dochter Thomson beschouwde een atoom als een massieve structuur met daarin verspreid de negatieve elektronen. - Een atoom heeft een heterogene structuur. - Een aantal negatief geladen deeltjes zijn als het ware ingebed in een positieve grondmaterie. - De lading van de positieve grondmaterie is even groot als de ladingen van alle elektronen samen. - Het totale atoom gedraagt zich dus als een neutraal deeltje. In Groot-Brittanië vergeleek men het model met de “plumpudding”, de typisch Engelse kerstcake van gedroogd fruit en krenten. Beter beschouwelijk voor ons is het rozijnenbrood of de watermeloen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  6 Elektrische stroom werd dan verklaard als een verspringen van elektronen van het ene atoom naar het andere : 1.4. Rutherford : het zonnestelselmodel (Lord) Ernest Rutherford (1871-1937) werd geboren in Nieuw-Zeeland Hij ging in het laboratorium van Joseph Thomson meewerken aan het onderzoek naar de effecten van röntgenstraling. In Montreal zette hij zijn onderzoek naar het verschijnsel “radioactiviteit” verder. Hij keerde later terug naar Cambridge om alsnog hoogleraar te worden en uiteindelijk zijn leermeester, Joseph Thomson, op te volgen als hoofd van het Cavendish-laboratorium in Cambridge. In 1908 kreeg hij zelf de Nobelprijs voor zijn onderzoek naar het uiteenvallen van elementen en de chemie van de radioactiviteit. Rutherford wordt ook de “vader van de kernfysica” genoemd gezien zijn enorme bijdrage aan de opvattingen over de atoomkernen De verstrooiingsproef van Rutherford was een zeer belangrijk experiment dat zijn atoommodel zou gestalte geven. Na de ontdekking van radioactiviteit was Rutherford te weten gekomen dat  – stralen positief geladen heliumdeeltjes waren. Het was immers al gelukt om alfadeeltjes af te buigen in elektrische en magnetische velden, waarmee aangetoond werd dat de deeltjes een positieve lading bezaten. Samen met zijn assistenten Geiger en Marsden bouwde hij een meettoestel om het aantal alfadeeltjes te tellen die van een radioactieve bron afkwamen. Het bestond uit een fluorescerende plaat van zinksulfide dat alfadeeltjes zichtbaar maakt als lichtflitsjes. Hiermee kon hij in 1908 bewijzen dat een  – deeltje inderdaad een heliumdeeltje was. Tijdens het experiment had Rutherford opgemerkt dat sommige deeltjes, wanneer ze door het dunne metalen plaatje dat het telinstrument afsloot werden geleid, een heel klein beetje werden afgebogen van hun rechte pad. Deze Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  7 “verstrooiing” was een raadsel voor Rutherford, omdat ze in tegenspraak was met het rozijnenbroodmodel van Thomson. Om dit verschijnsel nader te bestuderen liet hij zijn assistenten Geiger en Marsden zware alfadeeltjes afvuren op een dunne goudfolie. De meeste alfadeeltjes ging er dwars doorheen, maar een klein aantal deeltjes (1 op de 8000) werden teruggekaatst. Het leek wel alsof ze tegen iets hards waren gebotst en er binnen de goudatomen iets verborgen lag dat hard en massief genoeg was om de zware heliumdeeltjes af te stoten. Op basis hiervan stelde hij in 1911 zijn atoommodel op, dat volgens hem bestond uit een zeer kleine positief geladen kern waar de elektronen omheen cirkelen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  8 In 1920 voorspelde Rutherford het bestaan van een neutraal kerndeeltje. Dit neutrale deeltje, of neutron, werd in 1932 door de in Cambridge werkzame natuurkundige James Chadwick inderdaad ontdekt. Atomen hebben een ijle en ongelijkmatig verdeelde structuur - In het centrum zit een relatief zeer kleine kern. - De massieve kern draagt de volledige positieve lading. - In de kern bevindt zich nagenoeg gans de massa van het atoom. - De kern bestaat uit protonen en neutronen. - De atoomkern is omgeven door een relatief zeer grote elektronenmantel. Deze is negatief en bezit geen massa. - In de elektronenmantel bewegen de elektronen op relatief grote afstand van de kern. - Protonen , neutronen en elektronen noemt men de elementaire deeltjes van een atoom. Het model van Rutherford doet denken aan een soort zonnestelsel. 1.4. Bohr : het ajuinmodel Niels Bohr (1885-1962) was de zoon van een Deense hoogleraar fysiologie. In 1903 ging Niels Bohr studeren aan de universiteit van Kopenhagen om daarna in Engeland te gaan samenwerken met Joseph John Thomson en Ernest Rutherford. Tijdens zijn studies had hij al kennisgemaakt met de kwantumtheorie die ontwikkeld was door Albert Einstein en Max Planck. Hij gebruikte ze om zijn eigen theorieën over de atoomstructuur verder uit te werken en de fouten te corrigeren die hij vond in Rutherfords model. In 1922 kreeg hij de Nobelprijs voor natuurkunde voor zijn verdienste bij het atoomonderzoek en straling. Hij was de eerste directeur van CERN en hielp bij de ontwikkeling van de nucleaire geneeskunde. Bohr had 6 zonen, waarvan er 2 jong stierven. Zijn zoon Aage was eveneens Nobelprijs winnaar en volgde zijn vader op als directeur van CERN. Niels Bohr ontwierp een atoomodel waarin de elektronen gegroepeerd worden in schillen, een beetje vergelijkbaar met de rokken van een ajuin. Zijn atoommodel : - Een atoom bestaat uit een kleine massieve , positieve kern (met protonen en neutronen) Een grote ijle , negatieve elektronenmantel. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  9 - In deze elektronenmantel bewegen elektronen op welbepaalde schillen - Deze elektronen bezitten een zekere energiehoeveelheid, die overeen komen met één bepaalde schil. - Elektronen kunnen niet zomaar van schil veranderen. - Als ze verspringen van schil dan gaat dat gepaard met het opnemen of afstaan van energie (de kwantumsprong) kern Sommerfeld haalde uit de splitsing van de spectraallijnen de informatie dat er naast de cirkelvormige banen ook ellipsvormige banen moesten aanwezig zijn. Samengevat : - Griekse oudheid : atomen zijn kleinste ondeelbare deeltje van materie - Dalton : atoom wordt voorgesteld als massieve ondeelbare bol (cfr. Biljartbal, knikker,…) - Thomson : atoom wordt voorgesteld als massieve bol waarin de negatieve ladingsdragers (elektronen) verspreid zitten in een positieve massa. Cfr. Rozijnenbrood, watermeloen,… - Rutherford : atoom wordt voorgesteld als een ijle structuur met een positief geladen kern waarrond de negatieve ladingsdragers in willekeurige banen cirkelen - Bohr : Elektronen bewegen op welbepaalde banen rond de kern. Deze banen zijn verbonden aan een strikte energie-inhoud voor het elektron. Zonder invloed van buitenaf kan een elektron niet zomaar van baan veranderen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  10 2. Het kwantummechanisch atoommodel Aan het begin van de 20e eeuw kwam een nieuwe stroming in de wetenschappen op gang: de kwantumtheorie. In de kwantumtheorie wordt de realiteit op een volledig andere manier bekeken dan in de klassieke natuurkunde. Zo gaat men in de klassieke natuurkunde uit van een werkelijkheid die niet afhankelijk is van degene die waarnemingen doet. In de kwantumtheorie veranderen natuurkundige grootheden stapsgewijs en is de werkelijkheid van de waarnemer afhankelijk waardoor het effect van de waarneming niet kan uitgeschakeld worden: de keuze die de waarnemer maakt bij het opzetten van zijn proefopstelling bepaalt in belangrijke mate de uitkomst daarvan. Een zeer groot verschil tussen klassieke fysica en kwantummechanica ligt in het feit dat de kwantummechanica werkt met statistische uitspraken over een reeks van waarnemingen: het gaat om “de kans dat iets zich zo gedraagt…” en niet om sluitende werkelijkheden. Dat heeft tot gevolg dat het gedrag van een individueel elementair deeltje slechts in termen van waarschijnlijkheid kan worden beschreven. Alles hangt af van het experiment en de waarnemer. Of, met andere woorden: het hangt af van wàt je wil waarnemen hoé het deeltje zich zal gedragen! Veel klassieke wetenschappers waren allerminst te vinden voor deze “loterijnatuurkunde” en verzetten zich ertegen. Anderen waren ervan overtuigd dat deze zienswijze geen concurrentie hoefde te betekenen voor de klassieke theorieën maar er een waardevolle uitbreiding voor was. Voor grote voorwerpen, zoals planeten, stenen, auto’s,… is de kwantummechanica weinig betekenisvol omdat deze voor 100% gehoorzamen aan de klassieke fysica, maar voor deeltjes op microschaal zoals atomen, elektronen, fotonen (= lichtdeeltjes) was deze denkwijze revolutionair en leidde ze tot geheel nieuwe opvattingen die zou leiden tot enorme ontdekkingen: kernreacties, laserstralen, scanners, radiotherapie,… allemaal technologieën die vandaag de dag een groot stuk van onze welvaart bepalen. 2.1. De dualiteit van het elektron Het begon allemaal met de vraag of licht nu eigenlijk een golf of een stroom deeltjes is. Christiaan Huygens stelde dat licht een energiegolf is. De latere theorie van Isaac Newton ging hier tegenin: hij verklaarde weerkaatsing en breking van licht juist met deeltjes. De experimenten van Thomas Young met interferentie (1801) konden niet met deeltjes worden verklaard, maar wel met Huygens' golftheorie, zodat Newtons lichttheorie werd verworpen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  11 2.1.1.Het tweespletenexperiment van Young: licht is een golf Bij het oorspronkelijke experiment van Young gaat licht eerst door een enkele dunne verticale spleet en dan door twee spleten, en wordt het vervolgens afgebeeld op een achterliggend scherm. Als een van beide spleten wordt afgedekt, zodat er alleen licht door de andere spleet kan, wordt er op het achterliggende scherm een diffractiepatroon zichtbaar waarbij het licht uitgespreid is. Hierbij geldt dat hoe smaller de spleet is, des te groter wordt de uitspreiding van het licht. Dit resultaat is anders dan wat men zou verwachten als licht uit deeltjes zou bestaan. In dat geval zou de mate van uitspreiding namelijk afnemen als men de spleet smaller zou maken. Als men echter veronderstelt dat licht uit golven bestaat, kan het effect eenvoudig verklaard worden. Eenzelfde soort effect treedt ook op als men bijvoorbeeld watergolven door een smalle opening laat gaan: Als beide spleten geopend worden, zodat het licht door beide spleten kan gaan, is niet een som van twee afzonderlijke pieken te zien, zoals men zou verwachten als licht uit deeltjes zou bestaan. In plaats daarvan wordt een patroon van lichte en donkere plekken geobserveerd, een zogenaamd interferentiepatroon. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  12 Dit patroon kan het beste uitgelegd worden als de interferentie van twee lichtgolven als zij samenkomen nadat zij door de spleten zijn gegaan. Net zoals golven in het water kunnen combineren tot pieken of dalen of elkaar juist kunnen uitdoven. Op de heldere plaatsen is sprake van constructieve interferentie, omdat hier de twee pieken van twee lichtgolven combineren tot een hogere piek. Op de donkere plaatsen is sprake van destructieve interferentie omdat hier een dal van de ene golf combineert met een piek van een andere golf, waardoor de piek wordt uitgedoofd. Interferentie is de samen- of tegenwerking van verscheidene golven op dezelfde tijd en plaats. Er kunnen zich verschillende verschijnselen voordoen, afhankelijk van de frequentie, amplitude en fase van de golven en de eigenschappen van het medium. Er ontstaat in alle gevallen een interferentiepatroon met plaatsen van een hogere intensiteit, wanneer de golven in fase zijn. De golven versterken elkaar en er ontstaat een buikpunt. Dit wordt constructieve interferentie genoemd. Er ontstaan ook plaatsen met een lagere intensiteit, of zelfs volledige uitdoving, waar de golven elkaar opheffen. De golven zijn dan in tegenfase en er ontstaat een knooppunt. Dit wordt destructieve interferentie genoemd. Resulterende golf golf 1 golf 2 Twee golven in fase 180° uit fase Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  13 Interferentie van licht kan in diverse verschijnselen vastgesteld worden: - de felle kleuren bij belichting van de groeven van cd - kleuren van insecten en vogelveren, bijvoorbeeld die van de pauw - hologrammen - licht-donkerpatronen door smalle spleten en openingen, bijvoorbeeld als men door een smalle spleet naar het licht kijkt of als men door een sleutelgat kijkt ziet men deze patronen langs de randen van het sleutelgat - Newtonringen: gekleurde olie- of benzinevlekken op straat, kleuren in schuimblazen, zoals zeepbellen. Een andere aanwijzing dat licht bestond uit golven kwam in 1873 vanuit Maxwells theorie over het bestaan van elektromagnetische golven. Maxwell berekende wat de snelheid van deze elektromagnetische golven moest zijn. Deze bleek gelijk te zijn aan de snelheid van het licht, wat deed vermoeden dat licht uit elektromagnetische golven bestond. Later werd in 1886 door Heinrich Hertz experimenteel aangetoond dat elektromagnetische golven echt bestaan. Heinrich Hertz toonde hierbij ook aan dat lichtgolven en elektromagnetische golven vergelijkbaar gedrag vertonen. En net deze experimenten zouden aanleiding geven tot een andere opvatting… 2.1.2.Het foto-elektrisch effect van Albert Einstein: licht is een deeltje Het foto-elektrisch effect is het verschijnsel dat elektronen die niet zo sterk gebonden zijn aan een atoom, loskomen nadat ze voldoende energie opnemen van bijvoorbeeld invallend licht. Het fenomeen werd ontdekt door Heinrich Hertz in 1887 tijdens zijn experimenten met elektromagnetische golven. Door een metaal te bestralen kon er elektrische stroom opgewekt worden Wanneer twee geleidende platen via een gelijkspanningsbron verbonden zijn, zal een van de twee een positieve lading krijgen en de andere een negatieve lading. Valt er licht op de negatieve plaat, dan worden er elektronen uitgezonden, waardoor er een stroom gaat lopen in het circuit. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  14 Philipp Lenard stelde vast dat er een verband was tussen de frequentie van de gebruikte straling en de grootte van de opgewekte stroom (in dit geval het aantal uitgestoten elektronen). De toenmalige fysici waren ervan overtuigd dat enkel de intensiteit van de straling het aantal losgeslagen elektronen bepaalde, maar niet met de stralingsfrequentie. Dit was niet het enige vreemde gedrag van de elektronen: de spanning die nodig was om de uitgestoten elektronen te stoppen (de remspanning) bleek enkel afhankelijk van de frequentie en niet van de intensiteit! Dit was volledig in tegenspraak met de golftheorie voor het licht. Immers navolging van Christiaan Huygens en Maxwell dachten de fysici dat licht een golfverschijnsel was, maar in 1905 leek Albert Einsteins theorie voor dit foto- elektrisch effect erop te wijzen dat het toch om deeltjes zou gaan! Max Planck had in 1900 al gepostuleerd dat licht in karakteristieke energiepakketjes (de energiekwanta) wordt opgenomen en afgegeven. Uit deze hypothese leidde hij de wet van Planck voor zwarte stralers af, het startpunt van de oude kwantummechanica. De energie van lichtpakketjes is in deze beschrijving recht evenredig met de frequentie van het licht. Albert Einstein werkte dit idee in 1905 verder uit en paste het toe op het foto-elektrisch effect: om een elektron vrij te maken uit de geleider is een bepaalde arbeid nodig licht is opgebouwd uit lichtkwanta ofwel fotonen. deze fotonen kunnen niet "samenwerken" om een elektron vrij te maken Hieruit volgt direct dat elektronen alleen kunnen worden vrijgemaakt wanneer de frequentie van het opvallende licht groot genoeg is. In formulevorm: Ek = h.f -W Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  15 Waarbij: - Ek = de kinetische energie van het losgeslagen elektron - h = constante van Planck (6,63 × 10−34 J.s) - f = de frequentie van het invallende licht dus h.f vormt dan de energie van het foton - W = de energie (werkfunctie) die nodig is om het elektron vrij te slaan uit de geleidende plaat Voor dit werk kreeg Einstein in 1921 de Nobelprijs voor de fysica. Het foto-elektrisch effect is te vergelijken met iemand die een bal op het dak probeert te schoppen. Schopt hij niet hard genoeg, dan rolt de bal weer naar beneden. Schopt hij honderd keer te zacht, dan rolt de bal honderd keer weer terug. Het lukt pas als hij in een keer hard genoeg schopt. Het foto-elektrisch effect wordt onder meer toegepast in fotocellen, die gebruikt worden in bewegingsdetectoren, geluid in films en de rookdetector met licht. Het foto-elektrisch effect is eveneens het basisprincipe van zonnepanelen. 2.1.3.Het golf-deeltjes-karakter: de dualiteit van het licht Tegenwoordig wordt aangenomen dat licht zich in sommige opzichten zal gaan gedragen als een deeltje en in sommige opzichten als een golf. Deze dualiteit zou de aanleiding geven voor een enorme revolutie in de natuurkunde… Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  16 2.1.4.De Hypothese van De Broglie Louis-Victor de Broglie (1892-1987) werd geboren in Dieppe als vijfde kind van Louis-Alphonse-Victor, 5e hertog de Broglie. Eerst kreeg hij huisonderwijs daarna ging hij naar het Lycée Janson de Sailly in Parijs en studeerde hij aan de Sorbonne, waar hij in 1911 een graad in de geschiedenis haalde en in 1913 een graad in de natuurkunde. Tijdens WO1 ging hij voor zes jaar in militaire dienst. Na de oorlog, in 1920, kwam zijn wetenschappelijke carrière pas echt op gang. Geïnteresseerd door het experimentele werk uitgevoerd door zijn oudere broer Maurice richtte hij zijn aandacht op de theoretische natuurkunde en dan voornamelijk de bestudering van problemen rond de kwantumtheorie. Studerend onder begeleiding van Paul Langevin aan de faculteit wetenschap van de universiteit van Parijs leverde hij in 1924 zijn proefschrift "Recherches sur la Théorie des Quanta" af. Dit proefschrift – dat later als artikel in Annales de Physique verscheen – bevatte een aantal belangrijke bevindingen die hij verkregen had gedurende zijn tweejarige studie. De examencommissie kon echter zijn proefschrift niet goed beoordelen. Dit omdat de hypothese die hij in zijn proefschrift presenteerde geheel nieuw was. Om die reden riep zijn begeleider Paul Langevin de hulp in van Einstein, naar wie hij vooraf een kopie van het proefschrift opgestuurd had. Einstein raakte zeer onder de indruk van het werk van De Broglie. Tegenover de examencommissie verklaarde hij "De Broglie heeft het grote mysterie ontraadseld", waarop de examencommissie de doctorstitel toekende aan De Broglie. Hierna werd De Broglie docent aan de Sorbonne. Na twee jaar doceren werd hij in 1928 benoemd tot professor theoretische natuurkunde aan het pas opgerichte Institut Henri Poincaré en in 1932 aan de Faculté des Sciences van de universiteit van Parijs. Aan het begin van de twintigste eeuw verklaarden natuurkundigen natuurlijke verschijnselen in termen van deeltjes (zoals het elektron en proton) of elektromagnetische straling (zoals zichtbaar licht). Dit inzicht veranderde door twee publicaties - In 1905 stelde Albert Einstein dat elektromagnetische straling uit deeltjes zou bestaan. - In een andere publicatie toonde Einstein met de relativiteitstheorie aan dat materie een vorm van energie is. Of anders gezegd, Einstein verklaarde dat elektromagnetische straling zich ook gedroeg als materie in de vorm van fotonen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  17 Beïnvloed door Einsteins werk bedacht De Broglie een tegengesteld idee. Als licht zowel een golf- als deeltjeskarakter heeft, dan zouden materiedeeltjes zich onder bepaalde omstandigheden ook moeten kunnen gedragen als golf. Zo legde hij voor dat bijvoorbeeld een elektron zich ook kan gedragen als was het een golfbeweging (debrogliegolf) met een golflengte λ = h/p, met P = de impuls van het elektron h = de constante van Planck. Zijn hypothese van materiegolven werd in 1927 voor het eerst experimenteel waargenomen door Clinton Davisson en Lester Germer en door George Paget Thomson Het tweespletenexperiment met een elektronenbundel wierp een nieuw beeld op de eigenschappen van de corpusculaire deeltjes van het atoom, meer bepaald op het elektron. Tot hiertoe werden de elementaire deeltjes van het atoom als effectieve materiedeeltjes beschouwd. Het tweespletenexperiment met een elektronenkanon leidde echter tot een volledig nieuwe opvatting: Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  18 Elektronenbundels die tot dan toe beschouwd werden als stromen van miniscule partikeltjes kunnen, net als lichtbundels, brekingsverschijnselen, uitdoving en versterking vertonen. Een elementair deeltje kan zich dus in klassieke zin gedragen als effectief een “deeltje” met massa, afmeting,… , maar soms kan het zich ook als een golfverschijnsel gedragen. 2.1.5.De Golffunctie Het duurde tot de jaren ’20 van de 20e eeuw voordat natuurkundigen een tevredenstellend antwoord hadden gevonden op de vraag of materie nu als golf of als deeltjes moesten aanzien worden. Eén van de eersten die dat antwoord duidelijk formuleerde was de Duitse fysicus Max Born die van oordeel was dat alle bouwstenen van de natuur zowel golven áls deeltjes zijn Born stelde dat de golven uit de kwantummechanica gezien moeten worden als kansverdelingen die bepalen hoe groot de kans is om een deeltje ergens aan te treffen. In die zin wordt een deeltje dus beschreven door een golf. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  19 In bovenstaande afbeelding zien we een eenvoudig voorbeeld van een kwantummechanische golf. We noemen een dergelijke kwantumgolf ook wel een golffunctie. Waar de golffunctie het grootst is, is de kans om het deeltje aan te treffen het hoogst. Waar de golffunctie het kleinst is, is de kans om het deeltje aan te treffen het laagst. De golffunctie in de bovenstaande afbeelding schetst dus een situatie waarin we een grote kans hebben om een deeltje ergens rond een bepaalde plek aan te treffen (al weten we niet helemaal precies waar), en een heel kleine kans om het deeltje ver van die plek af te vinden. Om nu heel precies te zijn moeten we deze interpretatie iets aanpassen: - Het is eigenlijk niet de golffunctie zelf die de kansverdeling weergeeft maar het kwadraat ervan. De reden hiervoor is heel simpel: de uitwijking van een golf kan groter dan 0 zijn, maar ook kleiner: Een kans kan echter nooit een negatieve waarde aannemen. Door het kwadraat ervan te nemen wordt dit probleem opgelost: alle negatieve waarden worden positief door kwadratering! - Als we de golffuncties goed bestuderen, blijkt dat de waarde van de golffunctie geen “gewoon” getal is, maar een zogeheten complex getal. Zulke getallen kunnen voorgesteld worden als “tweedimensionale getallen”: Waar we een gewoon getal altijd kunnen weergeven als een punt op een getallenlijn, kunnen we een complex getal weergeven als een punt in een plat vlak Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  20 Op de horizontale as staan de “gewone” (reële) getallen. De extra richting wordt meestal met het symbool i (van “imaginaire eenheid”) aangeduid. De imaginaire eenheid wordt in de wiskunde beschouwd als √-1. Complexe getallen zijn dus getallen met enerzijds een reëel gedeelte (een reëel getal) en anderzijds een imaginair gedeelte (een veelvoud van i) Wat voor onze toepassingen belangrijk is om te onthouden, is dat het tweedimensionale karakter van complexe getallen ervoor zorgt dat zulke getallen niet alleen een grootte hebben, maar ook een richting. De grootte in het kwadraat is de kans waar we het hierboven over hadden. Het is belangrijk dat we beseffen dat het kansbegrip dat in de kwantummechanica een rol speelt een fundamenteel kansbegrip is. In ons dagelijks leven zijn we meestal gewend dat het begrip “kans” iets zegt over onze onwetendheid. Als we met een eerlijke dobbelsteen gooien, weten we dat de kans om een 6 te gooien 1 op 6 is. Dat wil zeggen: gegeven de informatie die we hebben, kunnen we niet bepalen welke uitkomst de worp zal hebben: alle zes de mogelijke uitkomsten zullen in soortgelijke omstandigheden even vaak voorkomen. Als we echter heel precies zouden weten hoe we de dobbelsteen vasthouden, hoe hard we die gooien, hoe ruw het tafeloppervlak is waarover de dobbelsteen rolt, enzovoort, zouden we in principe vooraf exact kunnen uitrekenen welk getal er na de worp boven komt te liggen. In dit geval is het begrip “kans” dus een gevolg van het feit dat we niet exact de situatie kennen. Bij kwantumkansen ligt dat heel anders. Om dat te begrijpen kijken we nog eens naar het tweespletenexperiment. Om het interferentiepatroon op het scherm te kunnen verklaren, moesten we daarin aannemen dat de lichtgolf door allebei de spleten ging – zelfs als we het experiment uitvoeren met maar één lichtdeeltje. In zekere zin gaat het lichtdeeltje dus door allebei de spleten: het is op een gegeven moment voor bijvoorbeeld 50% in de ene spleet, en voor 50% in de andere. Als we bij de spleten een meting zouden doen, zouden we het deeltje in één van de spleten aantreffen, maar als we die meting niet doen, is het deeltje echt “op beide plaatsen tegelijk”. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  21 Kwantumgrootheden worden om die reden ook wel fuzzy genoemd: die grootheden hebben niet één specifieke waarde, maar allerlei verschillende waardes tegelijk met allerlei verschillende kansen. De bovenstaande beschrijving leidt direct tot een nieuwe vraag. In het dagelijks leven ervaren we de wereld namelijk niet als “fuzzy”. We zien voorwerpen op duidelijk bepaalde plaatsen, zien ze bewegen met duidelijk bepaalde snelheden, enzovoort. Ook de wijzers en displays van onze meetinstrumenten geven altijd eenduidige waarden aan – zelfs als die instrumenten een meting aan een kwantumsysteem doen. Hoe kan het dat we de kwantumonzekerheden in ons dagelijks leven helemaal niet zien? Deze vraag is tot op heden niet beantwoord en zorgt nog steeds voor onenigheid tussen natuurkundigen. De reden hiervoor is dat ze eerder tot de filosofie behoort dan de natuurkunde… Er zijn 3 mogelijke antwoorden: Het “klassieke” antwoord is als volgt: zodra we een meting doen aan een kwantumsysteem “stort de golffunctie in”. Dat wil zeggen: op dat moment kiest het systeem één van de vele mogelijke toestanden, waarbij elke toestand de door de golffunctie beschreven kans heeft om gekozen te worden. Een groot nadeel van deze interpretatie is dat niet duidelijk is wat precies een meting is: - kan alleen een mens een meting doen, of kan een dier dat ook, of zelfs een apparaat? - Is er een “bewustzijn” nodig om een meting te doen? Dit wordt de Kopenhaagse Interpretatie (zie verderop) genoemd en het is duidelijk dat we met dergelijke vragen al snel het terrein van de natuurkunde verlaten. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  22 Een ander populair antwoord is dat kwantumeffecten kleiner worden naarmate het systeem dat we beschrijven complexer wordt. Om metingen te doen hebben we in het algemeen erg complexe apparaten nodig, die bestaan uit gigantische aantallen atomen. Die atomen, die de toestand weergeven van het systeem dat we bestuderen (bijvoorbeeld de positie van een deeltje) zijn zelf ook kwantumdeeltjes, en in feite bekijken we bij een meting dus nooit één deeltje, maar altijd een enorm complex systeem van kwantumdeeltjes. De stelling (die in eenvoudige gevallen ook bewezen kan worden) is nu dat de kwantumgolven van dergelijke complexe systemen altijd heel erg “gelocaliseerd” zijn: zo’n golffunctie heeft een heel smalle, scherpe piek, en van een dergelijk groot systeem is dus met grote nauwkeurigheid bepaald in welke toestand het is. Op die manier zou verklaard kunnen worden waarom we in het dagelijks leven nooit metingen kunnen doen waar een “fuzzy” antwoord uitkomt. Het grote probleem is om deze “localisatie” (ook wel coherentie genoemd) ook voor algemene systemen te bewijzen. Een laatste populaire interpretatie is dat kwantumkansen helemaal niet fundamenteel zijn, maar wel degelijk gebaseerd op onze onwetendheid. Er zouden in zo’n geval “verborgen variabelen” zijn die, als we hun waarden zouden kennen, precies zouden vertellen in welke van de mogelijke kwantumtoestanden een systeem is. Een probleem met deze interpretatie is dat we in een dergelijke theorie ook moeten kunnen verklaren hoe de kwantum-lichtgolf in het tweespletenexperiment toch door beide spleten tegelijk kan lijken te gaan. Ook dit is een probleem dat voor specifieke voorbeelden opgelost kan worden, maar waarvoor geen algemeen geldende oplossing bekend is. Dit zijn drie populaire opvattingen, maar er zijn er nog veel meer. Kortom: we weten het antwoord op de vraag “hoe worden kwantumkansen in een meting gerealiseerd” niet precies. Gelukkig is, zoals we hierboven al zeiden, deze vraag voor een groot deel filosofisch van aard. We weten namelijk wél hoe we de kwantumkansen moeten uitrekenen, en kunnen daardoor exacte voorspellingen van de uitkomsten van experimenten doen. Die uitkomsten zullen altijd een kansaspect in zich hebben, maar door het experiment vaak te herhalen kunnen Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  23 we verifiëren dat de berekende kansen inderdaad juist zijn. Hoewel de interpretatiekwesties rond de kwantummechanica dus filosofisch erg interessant zijn, zullen we ze voor de rest achter ons laten, en alleen de fysische voorspellingen van de kwantumtheorie verder bestuderen. 2.1.6.De Schrödingervergelijking Erwin Schrödinger (1887-1961) was enig kind in een middenklassegezin en genoot privéonderwijs tot zijn elfde jaar. In 1910 haalde hij zijn doctoraal in de natuurkunde behaalde. In 1911 werd hij assistent van hoogleraar Exner. Aan de universiteit werd hij sterk beïnvloed door Friedrich Hasenöhrl, een briljante fysicus die tijdens WO1 zou omkomen. In 1920 trad hij in het huwelijk met Annemarie Bertel. Het koppel bleef kinderloos, maar Schrödinger had talrijke buitenechtelijke escapades tijdens zijn leven en heeft ten minste drie buitenechtelijke kinderen verwekt bij andere vrouwen In 1920 werd hij assistent van Max Wien aan de Universiteit van Jena, en in september 1920 verkreeg hij de positie van buitengewoon hoogleraar theoretische natuurkunde in Stuttgart. In 1921 werd hij benoemd tot gewoon hoogleraar aan de Universiteit van Breslau. In de herfst van 1921 vertrok hij naar de Universiteit Zürich, waar hij de leerstoel theoretische natuurkunde overnam van Max von Laue. De zes jaar die hij aan Zürich verbleef, waren waarschijnlijk de productiefste van zijn wetenschappelijke carrière. In januari 1926 publiceerde Schrödinger in de Annalen der Physik het artikel Quantisierung als Eigenwertproblem over de golfmechanica en over hetgeen tegenwoordig bekendstaat als de schrödingervergelijking, een van de beroemdste vergelijkingen uit de kwantummechanica. De basis van zijn golfvergelijking werd gelegd in 1925, toen Schrödinger zich tijdens de kerstvakantie met 'een Weense vriendin' had teruggetrokken in het Zwitserse skioord Arosa. Zijn beschouwingen kwamen voort uit een verhandeling over het zogenaamde golf-deeltjesdualisme van de jonge Franse student Louis de Broglie, waarop Albert Einstein hem opmerkzaam had gemaakt. De hypothese van De Broglie zette hij om in een wiskundige vergelijking, de naar hem vernoemde schrödingervergelijking. In 1927 volgde hij Max Planck op als hoogleraar. In 1933 besloot hij uit eigen beweging in ballingschap te gaan en Duitsland te verlaten door het opkomende nazisme. Kort na zijn aankomst in Oxford ontving hij, samen met Paul Dirac, de Nobelprijs voor de Natuurkunde. In 1936 keerde hij terug naar zijn geboorteland Oostenrijk, waar hij in 1936 hoogleraar natuurkunde werd aan de Universiteit van Graz. De Anschluss van Oostenrijk bij nazi-Duitsland in 1938 leverde voor Schrödinger meteen problemen op vanwege zijn vertrek uit Duitsland vijf jaar daarvoor, wat door de Duitse autoriteiten was opgevat als een onvriendelijke daad. Kort daarna lukte het hem om naar Italië te vluchten, vanwaar hij doorreisde naar Oxford, en later naar de Universiteit van Gent. Van die universiteit kreeg hij in 1939 een eredoctoraat toegekend. Na een kort verblijf in Gent vertrok hij naar Ierland. Hij bleef in Dublin tot aan zijn pensionering in 1955. Hierop keerde hij als hoogleraar terug naar Wenen, waar hij op 73- jarige leeftijd zou overlijden aan de gevolgen van tuberculose. Minder bekend is dat Schrödinger ook beschouwd wordt als de vader van de moleculaire biologie. In Dublin hield hij – onder grote publieke belangstelling – op 5 februari 1942 een 'openbare les', niet over een natuurkundig maar over een biologisch onderwerp met als titel “What is Life?”. In 1944 verscheen de lezing in boekvorm. In zowel de lezing als in het boek, dat zou uitgroeien tot een van de invloedrijkste werken van de twintigste-eeuwse wetenschap, beargumenteerde hij dat de fundamentele natuur van levende organismen waarschijnlijk bestudeerd en begrepen konden worden in termen van natuurkundige principes, en dan in het bijzonder die van de kwantummechanica De kwantummechanica slaagde erin een aantal grondbeginselen uit de klassieke natuurkunde op zijn kop zette. Waar we altijd dachten dat natuurkundige verschijnselen ófwel golven ófwel deeltjes zijn, blijken in de kwantummechanica beide eigenschappen tegelijk een rol te spelen. Zowel licht als bijvoorbeeld elektronen worden beschreven door golven in de vorm van golffuncties, maar die golven geven kansverdelingen weer die ons vervolgens vertellen waar de kans het grootst is om het licht of het elektron als deeltje aan te treffen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  24 Dit leidt ertoe dat we goed moeten nadenken over de precieze interpretatie van klassieke begrippen zoals “golf” en “deeltje” in de kwantummechanica. Maar het leidt er ook toe dat de wiskunde waarmee we kwantumsystemen beschrijven een stuk ingewikkelder wordt. Het belangrijkste verschil tussen rekenen aan een klassiek systeem en rekenen aan een kwantumsysteem is het volgende: Een klassiek systeem kan volledig beschreven worden door van al zijn relevante eigenschappen te beschrijven hoe die in de loop van de tijd veranderen. Als we bijvoorbeeld de baan van een bewegend voorwerp willen beschrijven, zijn we in het algemeen geïnteresseerd in de positie (x) en de snelheid (v) van het object. Die positie en snelheid veranderen in de loop van de tijd, dus de dynamica van het systeem kan beschreven worden door een tweetal functies, x(t) en v(t). Voor een kwantumsysteem wordt een dergelijke beschrijving beduidend ingewikkelder. Bij een kwantumsysteem kunnen we namelijk, zoals we inmiddels weten, op de meeste momenten niet van een exacte plaats of een exacte snelheid spreken. Op elk tijdstip t zal er voor elke plaats x een kans zijn dat het systeem zich daar bevindt. Om het kwantumsysteem volledig te begrijpen, moeten we dus een kans, een golffunctie kennen op elk tijdstip én op elke plek. De golffunctie die de plaats weergeeft, vaak weergegeven met een Griekse hoofdletter Ψ, is dus een functie van tijd én plaats: Ψ(x,t). Op dezelfde manier is er bijvoorbeeld een golffunctie die de (kans op de) snelheid v weergeeft, en die we kunnen schrijven als Φ(v,t). Kortom: wiskundig komt de stap van klassieke natuurkunde naar kwantumfysica overeen met de stap van het werken met functies van alleen de tijd, naar het werken met (golf)functies die van nog meer variabelen afhangen. Een gevolg daarvan is dat we de natuurkundige vragen die we kunnen stellen ook iets zullen moeten aanpassen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  25 Een goede klassieke natuurkundige vraag is bijvoorbeeld: “Als ik een kogel op een bepaald moment een bepaalde snelheid en positie geef, hoe veranderen die snelheid en positie dan in de loop van de tijd?” Het antwoord op die vraag kan berekend worden met behulp van de mechanicawetten van Newton. In de kwantummechanica ziet deze vraag er echter als volgt uit: “Als ik de kansverdeling en dus de golffuncties van de plaats en snelheid van een systeem op een bepaald moment ken, hoe veranderen de bijbehorende kansen en dus de golffuncties dan in de loop van de tijd?” Om deze vraag te kunnen beantwoorden zijn er dus geheel nieuwe natuurwetten nodig. Het vinden van de natuurwetten waaraan de golffuncties uit de kwantummechanica voldoen, was een belangrijke zoektocht aan het begin van de 20e eeuw. Het antwoord op de bovenstaande vraag werd uiteindelijk door verschillende natuurkundigen op verschillende manieren beschreven. De meest beroemde formulering is afkomstig van de Oostenrijkse natuurkundige Erwin Schrödinger, die het antwoord in 1925 weergaf in zijn befaamde Schrödingervergelijking. Voor wie niet schrikt van een wiskundige vergelijking: in de meest eenvoudige formulering ziet de vergelijking van Schrödinger er als volgt uit: Om alle wiskundige details van deze vergelijking uit te leggen zou een aparte cursus nodig zijn, maar ook zonder die wiskunde kunnen we aan de bovenstaande vergelijking toch al veel interessante zaken aflezen. - Allereerst zien we duidelijk dat de vergelijking iets zegt over golffuncties: zowel links als rechts van het gelijkteken komt het symbool Ψ voor. De Ψ die we hierboven voor de plaats-golffunctie hebben gebruikt is hier overigens een meer algemeen symbool; we zouden een soortgelijke vergelijking evengoed voor de snelheids-golffunctie Φ kunnen opschrijven. - Ten tweede zien we in de linkerhelft van de vergelijking ook het symbool t – voor tijd – staan. Wie wat meer wiskunde beheerst zal ook de d’s herkennen, en zien dat het hier gaat om een afgeleide naar tijd: het linkerlid van de vergelijking beschrijft hoe de golffunctie in de loop van de tijd verandert. Dat is natuurlijk precies waar we in onze vragen hierboven in geïnteresseerd waren. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  26 Het linkerlid van de vergelijking bevat verder nog twee andere symbolen. - Ten eerste is daar het symbool ħ, dat de constante van Planck (h) gedeeld door 2π) weergeeft. Dat die constante in de vergelijking een rol speelt, is natuurlijk niet verrassend. We hebben het hier immers over kwantumeffecten, dus we kunnen verwachten dat de belangrijkste constante uit de kwantummechanica in de vergelijking voorkomt! - Ten slotte zien we het symbool i, dat staat voor een complexe getal “in de imaginaire richting” Inderdaad, kwantummechanica gaat eigenlijk over complexe getallen – niet alleen over reële – en hoewel we dit idee verder niet zullen uitwerken, is het dus niet zo vreemd dat ook in de Schödingervergelijking een complex getal voorkomt. Op deze twee constantes na zegt de linkerkant van de vergelijking dus in woorden: “de verandering van de golffunctie in de loop van de tijd is…” – en dat is precies de informatie waarin we geïnteresseerd zijn. De rechterkant van de vergelijking vertelt ons vervolgens hoe we die verandering kunnen uitrekenen. We zien daar wederom de golffunctie Ψ staan. Met andere woorden: hoe de golffunctie in de toekomst gaat veranderen, hangt af van wat die golffunctie op dit moment is. Dat is niet zo vreemd: waar een kogel in de toekomst naartoe gaat, hangt ook af van waar de kogel op dit moment is. - Tenslotte zien we rechts in de vergelijking het symbool Ĥ staan. Het hoedje op de H geeft aan dat het gaat om een zogenaamde operator: Ĥ is geen getal, maar een voorschrift dat ons vertelt hoe we uit de Ψ op dit moment, de toekomstige Ψ kunnen uitrekenen. De notatie Ĥ is een geval van extreme “shorthand” – in de praktijk is het namelijk zo dat deze Ĥ er voor ieder verschillend probleem anders uit zal zien. De ene keer is het genoeg om bijvoorbeeld Ψ te kwadrateren, de andere keer moeten we ook aan de rechterkant van Ψ bepaalde afgeleiden nemen, enzovoort. Kortom: de echte fysica zit hem in de precieze vorm van de operator Ĥ. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  27 Wat Schrödinger deed was uitzoeken hoe deze operator er voor elk fysisch systeem uitziet – dat wil zeggen: hij gaf een exact voorschrift om, als we de klassieke bewegingswetten van een systeem kennen, ook de kwantumoperator Ĥ uit te rekenen. Daarmee kon vanaf dat moment voor vrijwel elk systeem de kwantum-evolutie bepaald worden. Zo konden dus voorspellingen aan kwantumsystemen gedaan worden – voorspellingen die natuurlijk vervolgens weer in experimenten getest konden worden. De afleiding van de Schrödingervergelijking was dan ook een zeer belangrijke doorbraak in de ontwikkeling van de kwantummechanica. Om de Schrödingervergelijking ietwat beter te snappen nemen we nog eens een ander voorbeeld, met een van de eenvoudigste principes uit de Fysica Stel je hebt een deeltje met massa m waar een kracht F op staat. Vervolgens kun je met behulp van de wetten van de klassieke mechanica (bijvoorbeeld) bepalen waar het deeltje zal zijn op ieder toekomstig tijdstip. Vervolgens weet je ook de snelheid, het momentum en de kinetische energie van het deeltje. Kwantummechanica kan ditzelfde probleem oplossen. In plaats van dat de variabele x(t) (de plaats van het deeltje op tijdstip t) centraal staat, draait alles om ψ(x,t), de golffunctie (op plaats x en tijdstip t). De golffunctie kan gevonden worden door de Schrödingervergelijking op te lossen. In deze formule staat - i voor de wortel van -1 en - h met een streepje erboven (h overstreept) is Planck’s constante gedeeld door 2π. De Schrödingervergelijking speelt in de kwantummechanica een rol vergelijkbaar aan de rol van F = m.a in de klassieke mechanica. Dus als je de golffunctie weet op een bepaald moment dan kun je met behulp van de Schrödingervergelijking de golffunctie op toekomstige tijdstippen bepalen. De naam golffunctie wekt ook de suggestie dat het deeltje zoals een golf uitgespreid is in de ruimte en dus op heel veel plekken tegelijk is. Dit is niet zo: Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  28 een deeltje heeft maar één bepaalde plaats in de ruimte. De golf geeft aan waar het deeltje zou kunnen zijn. Om precies te zijn: |ψ(x,t)|2 zegt wat de kansdichtheid is dat een deeltje zich op een bepaalde plaats x bevindt, op tijdstip t. 2.1.7.De Kopenhagen interpretatie Een groot verschil tussen kwantummechanica en klassieke mechanica is dat |ψ|2 de kansdichtheid voorstelt. Dus ook al weet je wat de golffunctie op een bepaald tijdstip is, je weet nooit zeker wat hij op een later tijdstip is. Je weet alleen wat de golffunctie dan zou kunnen zijn en hoe groot de kans is dat hij dat is. Dit is totaal anders dan wanneer je met behulp van de klassieke wetten uitrekent wat de positie van een bal zal zijn, nadat iemand er een schop tegen heeft gegeven. De bal zal altijd op dezelfde plek belanden. Deze “onbepaaldheid” van positie zorgt er voor dat veel natuurkundigen nog steeds twijfelen over de theorie. Stel je meet de positie van een deeltje, en het bevindt zich op punt A. Waar was het deeltje net (oneindig kort) voor dat de meting gedaan werd? Hierop zijn verschillende antwoorden: Een realist zegt: Het deeltje moet al op C geweest zijn. Dit klinkt logisch, een deeltje zou toch nooit zomaar op een plek kunnen verschijnen? Dit houdt in dat de kwantummechanica dan een onvolledige theorie is. Het deeltje was op plek C, maar dat kon niet uit de formule gehaald worden. Een Orthodox zegt: Het deeltje was helemaal nergens. Pas toen het gemeten werd, nam het deeltje een bepaalde plaats in. De meting observeert niet de huidige toestand, maar veroorzaakt deze. Dit is de zogenaamde Kopenhagen interpretatie. Het ingewikkelde van kwantummechanica zit hem in het feit dat de Kopenhagen interpretatie bewezen is. Dus: is de maan er wel, als niemand kijkt? Schrödinger vond de Kopenhagen interpretatie maar niks. Hij bedacht een beroemd gedachte-experiment dat geboekstaafd staat als “De kat van Schrödinger”: Een levende kat wordt in een stalen box gedaan, samen met een fles dodelijk gas. De fles is gesloten, maar kan kapot geslagen worden door een hamertje. In de doos zit ook nog een radioactief goedje van een paar atomen. De vervaltijd van deze atomen is zo dat binnen een uur er een kans van 50% is dat er minstens 1 atoom vervalt. Dit hamertje zal de fles kapot slaan wanneer een atoom vervalt. Als de opstelling een uur gestaan heeft zijn er twee mogelijkheden: 1. De kat leeft: er is geen atoom vervallen. 2. De kat is dood: er is een atoom vervallen en dus is het gas vrijgekomen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  29 De golffunctie van de kat bestaat dan uit twee gelijke gedeeltes van een levende en een dode kat. De kat leeft niet en is niet dood, totdat iemand de doos open doet om te kijken. Tot dan moet je het stellen met de uitspraak dat de kat “half dood en half levend is”. Stel dat de kat dood blijkt te zijn, dan is dat niet gebeurd op het moment dat het gas vrij kwam, maar op het moment dat er gekeken werd. Dit klinkt als nonsens en daarom probeerde Schrödinger met dit gedachtenexperiment mensen er van te overtuigen dat de statistische interpretatie van zijn formule nergens op sloeg. Tegenwoordig wordt dit verhaaltje juist gebruikt om studenten een gevoel te geven over wat de theorie nou eigenlijk zeggen wil. Er wordt vaak gesuggereerd dat het mechanisme dat detecteert wanneer een atoom vervalt (bijvoorbeeld een Geiger Müller teller) al de meting doet die over het lot van de kat beslist. Dan hoeven we ons geen zorgen te maken over het feit dat blikken werkelijk zouden kunnen doden. 2.1.8.Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg Werner Heisenberg (1901-1976) werd geboren als zoon van een hoogleraar Byzantijnse geschiedenis en een dochter van de rector van het gymnasium in München, waar hij later naar school zou gaan. Hij viel op school al op door een grote leerzucht en vlijt en was ook een sterk schaker. Heisenberg had een 1,5 jaar oudere broer, Erwin, die eveneens zeer begaafd was. Tussen de broers bestond een levendige rivaliteit. Heisenberg studeerde natuurkunde in München, samen met zijn vriend Wolfgang Pauli die een paar jaar boven hem zat. Heisenberg volgde Pauli naar Göttingen om daar onder Max Born aan zijn habilitatie te werken. Na het afronden daarvan ging hij in 1924 werken aan het instituut voor theoretische natuurkunde in Kopenhagen onder Niels Bohr, die hij als student in 1922 reeds had ontmoet. Dit resulteerde in een vruchtbare samenwerking, leidend tot de Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica en uiteindelijk tot een Nobelprijs voor Natuurkunde in 1932 voor zijn werk aan de kwantummechanica. In 1927 werd hij, 26 jaar oud, hoogleraar theoretische natuurkunde in Leipzig, in 1941 aan de Universiteit van Berlijn. Heisenberg trouwde in 1937 met Elisabeth Schumacher en het echtpaar kreeg zeven kinderen. Een van zijn zoons, Martin Heisenberg, is hoogleraar genetica. In de jaren ’30 verzette Heisenberg zich eerst tegen de bemoeienis van de nazi's met de wetenschap en de uitsluiting van joodse wetenschappers, maar ten slotte schikte hij zich naar hun wensen. Het principe van kernsplijting werd in 1938 ontdekt in Duitsland. Heisenberg was betrokken bij dit Duitse kernonderzoek en bij de, uiteindelijk niet geslaagde, pogingen van de nazi's een eigen atoombom te ontwikkelen. Door zijn collaboratie met het naziregime werd Heisenberg een omstreden figuur. Toen hij aan Bohr bekendmaakte dat hij aan de ontwikkeling van een Duits atoomwapen werkte eindigde hun lange vriendschap abrupt. De mate van die collaboratie is nog steeds niet met zekerheid aan te tonen. In september 1941 was er in het bezette Kopenhagen een ontmoeting tussen Heisenberg en Bohr. Er is veel geheimzinnigheid omtrent de aard van deze ontmoeting. De familie van Bohr gaf in 2002 documenten vrij waarin valt te lezen dat Bohr geschokt was over het feit dat Heisenberg, die er blijkbaar van overtuigd was dat Duitsland de oorlog zou winnen, Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  30 onthulde dat hij meewerkte aan de ontwikkeling van een Duitse atoombom. Toen Bohr dit aan de geallieerden bekendmaakte, gaf dit een extra impuls aan het Manhattanproject: de Amerikaanse poging een atoombom te vervaardigen. In de lezing van Heisenberg deed hij integendeel juist alles om het project te vertragen. Aan het eind van de oorlog in Europa werd Heisenberg gearresteerd en zat hij enige maanden gevangen in het Verenigd Koninkrijk, samen met een aantal andere eminente Duitse geleerden onder wie Carl Friedrich von Weizsäcker, Otto Hahn, …. Na zijn vrijlating speelde Heisenberg een grote rol in het herstel van het wetenschappelijk onderwijs in Duitsland. In zijn latere leven probeerde hij een 'Theorie van alles' te ontwikkelen, maar slaagde daarin niet. Heisenberg sleet zijn verdere leven met onder andere het mede ontwikkelen van de eerste toepasbare kernreactor in Duitsland, doceren aan diverse universiteiten in binnen- en buitenland en publiceren van wetenschappelijke en populairwetenschappelijke boeken en artikelen. Hij overleed in 1976. De plaats van Heisenbergs graf is vrij nauwkeurig bepaald , dus de veel aangehaalde anekdote dat op zijn graf zou staan "Hier ligt Werner Heisenberg..... ergens" - een toespeling op zijn onzekerheidsrelatie - is apocrief. Een belangrijke en verrassende eigenschap van de kwantummechanica werd door de Duitse fysicus Werner Heisenberg in 1927 ontdekt. Dit beroemde resultaat van Heisenberg staat tegenwoordig bekend als het onzekerheidsprincipe. Het zegt iets over de hoeveelheid “klassieke” informatie die we uit een kwantummechanisch systeem kunnen halen. Het principe dat Heisenberg ontdekte, is een gevolg van het feit dat we het in de kwantummechanica nooit alleen over deeltjes hebben, maar ook altijd over de golven die een kansverdeling voor die deeltjes beschrijven. Golven hebben een belangrijke eigenschap die deeltjes niet hebben. Die eigenschap kunnen we al zien bij “klassieke” golven zoals watergolven. Gooi een zware steen in een diepe sloot, zodat een flinke golf in de lengterichting van de sloot ontstaat. Terwijl de golf zich voortplant, zal opvallen dat die steeds minder uitgesproken wordt: de piek zal minder hoog worden, en de golf zal uitgespreid worden over een groter deel van de sloot. Het is overigens van belang dat de sloot goed diep en de golf groot is. Bij kleine golven in ondiepe sloten zal dit “uitspreideffect” maar heel klein zijn, en zal de golf pas na heel lange tijd uitdoven – een effect dat rond 1895 werd beschreven door de Nederlandse wiskundigen Diederik Korteweg en Gustav de Vries. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  31 Wat gebeurt hier nu precies? De golf in het water blijkt niet precies één vaste snelheid te hebben. Delen van de golf hebben een iets andere snelheid dan andere delen, waardoor na een bepaalde tijd het ene deel van de golf zich al iets verder heeft voortgeplant dan het andere deel. Het uitspreideffect is dus een gevolg van het feit dat de golf niet een exacte snelheid heeft, maar als het ware een “bereik” van snelheden. Hoe meer uitgesproken (steiler) de golf aan het begin van dit experiment is, hoe groter dit effect zal zijn. Een enorm hoge, smalle golf zal al heel snel uitwaaieren en veel lager en breder worden. Met andere woorden: als we de plaats van de golf aan het begin van het experiment heel nauwkeurig kunnen bepalen, doordat er een heel uitgesproken piek is, kunnen we juist de snelheid niet heel nauwkeurig bepalen. Na een paar seconden zal het voorste deel van zo’n golf al veel verder zijn dan het achterste deel. Het omgekeerde blijkt ook te gelden. Stel dat we een golf willen construeren waarvan we heel nauwkeurig de snelheid willen bepalen. Met andere woorden: we willen dat de golf zijn vorm behoudt, en in die vorm zich met vaste snelheid door het water voortplant. Dat blijkt te kunnen als we de golf een heel specifieke vorm geven, namelijk de vorm van een sinus met regelmatige pieken en dalen. Zo’n golf behoudt in de loop van de tijd inderdaad zijn vorm, en heeft dus een duidelijk bepaalde snelheid, maar tegelijk kunnen we niet duidelijk een plaats aan de golf toekennen – de verschillende pieken van de golf bevinden zich immers op heel verschillende plaatsen. Kortom: - Geven we een watergolf een heel duidelijk bepaalde plaats, dan is zijn snelheid niet heel nauwkeurig bepaald - Geven we een watergolf een heel duidelijk bepaalde snelheid, dan is zijn plaats niet heel nauwkeurig bepaald. Het blijkt onmogelijk te zijn om een golf te maken die zowel een heel nauwkeurig bepaalde plaats als een heel nauwkeurig bepaalde snelheid heeft. Heisenberg vroeg zich af of een dergelijk verschijnsel zich ook bij kwantumgolven zou voordoen. Om die vraag te beantwoorden, moest natuurlijk eerst precies bekend zijn hoe zo’n kwantumgolf zich in de loop van de tijd zou voortplanten. Was dat bekend? Jazeker! Erwin Schrödinger had immers in 1925 Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  32 zijn beroemde vergelijking opgeschreven en die vergelijking beantwoordt precies deze vraag. Als de vorm van de kwantumgolf op een bepaald tijdstip bekend is, kan met de Schrödingervergelijking exact berekend worden hoe die vorm zich in de loop van de tijd voortplant. Heisenberg sloeg dus aan het rekenen met de Schrödingervergelijking, en liet uiteindelijk zien dat voor kwantummechanische golven exact hetzelfde geldt als voor “klassieke” golven. Als we de positie van zo’n golf (en dus van het bijbehorende deeltje) heel nauwkeurig kunnen bepalen, kunnen we de snelheid niet heel nauwkeurig bepalen, en omgekeerd. Hij wist dit resultaat heel nauwkeurig weer te geven in de volgende formule: Hierin staat Δx voor de onzekerheid in de plaats. Heisenberg werkte met een heel nauwkeurige wiskundige definitie van dat begrip (de zogenaamde standaarddeviatie), maar voor ons is het voldoende om die onzekerheid te zien als de “breedte” van de golffunctie op een bepaalde hoogte. Het symbool Δp staat op dezelfde manier voor de onzekerheid in de snelheid – of nog iets preciezer: de onzekerheid in de impuls, die zelf weer gelijk is aan de snelheid van het deeltje maal zijn massa. Wat Heisenberg dus liet zien, was dat het product van de twee onzekerheden altijd een bepaalde minimale waarde heeft, gegeven door de rechterkant van de vergelijking. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  33 Aan die rechterkant zien we de constante van Planck terug. Verder staan er de getallen 4 en π. De rechterkant van Heisenberg’s relatie heeft dus een heel kleine maar wel exacte waarde: ongeveer 0,527 x 10-34 Js. Kortom: we kunnen kwantumgolven zo construeren dat zowel de onzekerheid in de plaats (Δx) als de onzekerheid in de snelheid (weergegeven in Δp) enorm klein zijn. Toch kunnen we nooit helemaal exact zowel de plaats als de snelheid van een kwantumdeeltje bepalen: de onzekerheden blijven altijd iets groter dan 0. Vanwege de enorm kleine getallen merken we in het dagelijks leven zelden iets van het onzekerheidsprincipe. Pas op microscopisch niveau speelt het principe een belangrijke rol. Vanuit een fundamenteel oogpunt is het natuurlijk wel een schokkende ontdekking dat we nooit “volledige informatie” over plaats en snelheid van een deeltje kunnen krijgen! Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg is maar één van de vele punten waarop de kwantumfysica essentieel verschilt van de klassieke natuurkunde. In essentie wordt dan wel het elektron als kwantumdeeltje beschreven als een deeltje waarvan je onmogelijk tegelijkertijd plaats en energie kan gaan interpreteren. De dualiteit van fotonen en elektronen was het onderwerp voor de 5 e Solvayconferentie in Brussel in 1927 (24 tot 29 oktober). Deze conferentie van wetenschappers is de meest beroemde meeting geworden omdat daar de basis werd gelegd van de huidige wetenschappen en kwantummechanische principes. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  34 Dat deze conferentie een unicum was blijkt alleen al uit het feit dat 17 van de 29 deelnemers een Nobelprijs hadden gekregen of nog moesten krijgen. Onder hen zat als enige vrouw Marie Curie, die (eveneens als enige) in 2 verschillende disciplines een Nobelprijs had gekregen. Tijdens de conferentie ging het er levendig aan toe tussen de aanhangers van de klassieke mechanica en de revolutionaire kwantummechanica. Een van de gevleugelde uitspraken van Einstein tijdens de conferentie was “God dobbelt niet” (Gott würfelt nicht!) Deze uitspraak sloeg op de onzekerheden die inherent waren aan de kwantummechanica. Einstein kon niet accepteren dat er onzekerheid zou zijn in de fundamentele wetten van het universum. Ondanks het feit dat hij zelf een van de grondleggers was geworden van de kwantummechanica, heeft Einstein zich dus nooit veel aan de nieuwe vorm van natuurkunde gelegen laten liggen. De kwantumtheorieën stelden namelijk dat alle waarnemingen binnen een bepaalde ‘onzekerheid’ werden gedaan. Einstein had het totaal niet voor het onzekerheidsprincipe van Heisenberg dat stelde dat het niet mogelijk is om tegelijkertijd de plaats en de snelheid van een deeltje vast te stellen. Deze situatie is te vergelijken met die van een foto die genomen wordt van een bal. Fotografeert men de bal met een korte sluitertijd, dan is de plaats van de bal scherp afgebeeld maar zijn snelheid is onbekend. Fotografeert men daarentegen met een lange sluitertijd, dan is de bal door de bewegingsonscherpte als een streep afgebeeld. Hieruit kan de snelheid van de bal worden afgeleid, maar zijn plaats gedurende de opname is onzeker: ergens tussen het begin en het eind van het spoor. Einstein wilde van het onzekerheids- principe niets weten, omdat het in zijn ogen de grondslagen van de natuurkunde zelf aantastte. Werd hij aan de proef met de roulette herinnerd, dan was zijn antwoord: “God dobbelt niet!” Maar in 1933 moest Einstein zich tegenover de atoomgeleerde Niels Bohr gewonnen geven. Na een uitleg over de kwantumeffecten in de atoomtheorie richtte Bohr zich tot Einstein in de zaal, en zei: “Nu zie je dat God niet altijd doet wat jij vindt dat hij zou moéten doen! Uiteindelijk is Einstein, toen meer en meer gegevens bleken aan te geven dat de kwantumfysica effectief wel klopte, gaan inzien dat hij het verkeerd had. De rest van zijn carrière heeft Einstein besteed aan het zoeken naar een manier om zijn zwaartekrachttheorie te verenigen met de kwantummechanica. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  35 Samengevat : - Het tweespletenexperiment van Young toonde aan dat licht een energiegolf is. - Het foto-elektrisch effect toonde aan de licht een stroom deeltjes is. - Licht heeft dus een duaal karakter: enerzijds kan het aanzien worden als een energiegolf, anderzijds als een stroom aan deeltjes (fotonen) - De Broglie stelde dat licht zowel een golf- als deeltjeskarakter heeft en dat materiedeeltjes zoals elektronen zich onder bepaalde omstandigheden ook moeten kunnen gedragen als golf. Theorie volgens gedrag van licht - Max Born stelde dat de golven uit de kwantummechanica gezien moeten worden als kansverdelingen die bepalen hoe groot de kans is om een deeltje ergens aan te treffen. In die zin wordt een deeltje dus beschreven door een kwantummechanische golf. - We noemen een kwantumgolf ook wel een golffunctie. Waar de golffunctie het grootst is, is de kans om het deeltje aan te treffen het hoogst. Waar de golffunctie het kleinst is, is de kans om het deeltje aan te treffen het laagst. - Kwantumgrootheden worden fuzzy genoemd: dit soort grootheden hebben niet één specifieke waarde, maar allerlei verschillende waardes tegelijk met allerlei verschillende kansen. - De wiskunde waarmee we kwantumsystemen beschrijven wordt een stuk ingewikkelder. De meest gebruikte vergelijking om een kwantumgolf te beschrijven is de vergelijking van Schrödinger. - De Schrödingervergelijking speelt in de kwantummechanica een rol vergelijkbaar aan de rol van F = m.a in de klassieke mechanica. Dus als je de golffunctie weet op een bepaald moment dan kun je met behulp van de Schrödingervergelijking de golffunctie op toekomstige tijdstippen bepalen. De naam golffunctie wekt ook de suggestie dat het deeltje zoals een golf uitgespreid is in de ruimte en dus op heel veel plekken tegelijk is. Dit is niet zo: een deeltje heeft maar één bepaalde plaats in de ruimte. De golf geeft aan waar het deeltje zou kunnen zijn. |ψ(x,t)|2 zegt dus wat de kansdichtheid is dat een deeltje zich op een bepaalde plaats x bevindt, op tijdstip t. - Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg stelt dat het onmogelijk is om een golf te maken die zowel een heel nauwkeurig bepaalde plaats als een heel nauwkeurig bepaalde snelheid heeft. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  36 2.2. De kwantumgetallen In de beginjaren van de kwantumtheorie hielden de wetenschappers nog vast aan het planetenmodel van het atoom: elektronen bewegen in cirkelvormige of elliptische banen omheen de atoomkern. Maar om ervoor te zorgen dat de banen stabiel zouden zijn en om de spectraallijnen van atomen te verklaren, moesten deze banen aan heel speciale voorwaarden voldoen die we niet terugvinden bij planetenbanen. Deze voorwaarden werden uitgedrukt in kwantumgetallen. Kwantumgetallen beperken de mogelijke of toegelaten banen van een elektron in een atoom. De elektronen vormen een driedimensionaal golfverschijnsel rond de kern. Opdat de elektronengolf zichzelf niet zou vernietigen moet een Bohrse baan een geheel aantal De Broglie-golflengtes bevatten: 2r = n met  = h/m.v. Deze uitdrukking voor de golflengte van de elektronengolf leidde De Broglie af door gebruik te maken van de reeds geziene betrekkingen E = m.c2 en E = h.f of E = h.c/ - Voor de beschrijving van dit driedimensionaal golfverschijnsel heeft men dus beroep gedaan op de kwantummechanica: de Schrödinger-vergelijking geeft het verloop van de amplitude  (psi) van de golfbeweging in functie van de energie van het atoom. - Volgens het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg is het onmogelijk is om zowel de plaats als de energie van een elektron te gaan bepalen. Immers, vanaf het uitbrengen van Heisenbergs principe ontstond het begrip “probabiliteit” of “waarschijnlijkheid”. Vanaf nu zal dus enkel nog gesproken worden over de waarschijnlijkheid het elektron ergens rond de kern aan te treffen overeenkomend met een bepaalde energieinhoud van het systeem kern-elektron. 2.2.1.Orbitalen De zeer complexe Schrödingervergelijking heeft naast de variabelen x,y,z (die ruimte aangeven) ook nog drie parameters. Deze noemen we de kwantumgetallen en die moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen wil deze vergelijking fysisch zinvolle oplossingen krijgen. Deze fysisch zinvolle oplossingen geven ons een beeld van de aantrefkansen van de elektronen rond de kern. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  37 De oplossingen van de Schrödingervergelijkingen beschrijven aldus telkens ruimtelijke gebieden rond de kern waar de aantrefkans van een elektron 90 % bedraagt. Deze gebieden noemen we een orbitaal. In de klassieke mechanica, waartoe het atoommodel van Bohr nog behoort, bevinden de elektronen zich in een serie bolvormige schillen rondom de atoomkern. In het klassieke atoommodel bevond een elektron zich in een schil, een bolvormig gebied rondom de kern en werd het elektron als een min of meer puntvormig deeltje beschouwd. De kwantummechanica beschrijft de positie van een elektron echter met een golffunctie, die zelf ook als orbitaal wordt aangeduid. In de kwantummechanica is de positie van een elektron niet met zekerheid vast te stellen. Wel is door middel van een kansverdeling, die bepaald wordt door de golffunctie, te bepalen hoe waarschijnlijk het is dat het elektron zich in een bepaald gebied bevindt. De kwantummechanica is gebaseerd op het principe van de dualiteit: volgens dit principe kunnen we elektronen én als golven én als deeltjes beschouwen. Daarmee komt een typische deeltjes-eigenschap als 'positie' in een wat ander daglicht te staan, omdat golven nu eenmaal geen puntvormige objecten zijn, maar over grotere gebieden gelokaliseerd zijn, zoals golven op het oppervlak van de zee. Orbitalen zijn de staandegolfpatronen die ontstaan wanneer een elektron(golf) door een atoomkern ingevangen wordt in het elektrische veld van de kern. De golf-interpretatie verklaart ook veel. Zo wordt het duidelijk waarom het elektron(beschouwd als deeltje) niet gewoon op de kern neerstort: de reden is dat een elektron nu eenmaal een golf is die zich niet zo makkelijk tot zo'n kleine ruimte laat terugbrengen en een staandegolfpatroon moet vormen. Toch kan aan het staandegolfpatroon wel ook een deeltjes-interpretatie toegekend worden, wat ook wel logisch is, omdat het elektron altijd ook nog deeltjes-eigenschappen vertoont. Een elektron heeft immers nog steeds een Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  38 massa en een lading, eigenschappen die gerelateerd zijn aan deeltjes. De golffunctie Ψ(x,y,z) die het ruimtelijke golfpatroon van het elektron beschrijft, en die zelf ook wel als "orbitaal" wordt aangeduid, wordt dan gezien als bepalend voor de kansverdeling van de positie van het elektron rond de atoomkern. Preciezer gezegd: de grootheid |Ψ|2 wordt beschouwd als de kansdichtheid. Dit is een wat gevaarlijke interpretatie, omdat het de indruk zou kunnen wekken dat het elektron toch qua positie op een punt vast te pinnen zou zijn. De dualiteit en het onzekerheidsprincipe van Heisenberg, dat ermee samenhangt, zegt dat dat niet mogelijk is, doordat de onzekerheid in impuls oneindig groot zou worden als de onzekerheid in positie tot nul zou worden teruggebracht. In principe bestaat de mogelijkheid het elektron op zeer grote afstand van de kern aan te treffen, maar de kans daarop is uiterst gering. Daarom kiest men een zo klein mogelijk volume waarbinnen het elektron met een kans van 90% wordt aangetroffen. Dat gebied wordt dan als orbitaal aangemerkt. De contourvlakken van dit gebied worden als afbeeldingen van het orbitaal gebruikt. Golffuncties kunnen echter maar moeilijk in beeld worden gebracht. Ψ zelf is in de regel een complexe driedimensionale functie die ook nog met de tijd in fase varieert. Er kunnen delen zijn van het golfpatroon waar de fase een tegengesteld teken vertoont. Delen met tegengestelde fase worden gescheiden door knoopvlakken. Voor de verdere ontwikkeling van de theorie voor de binding die atomen in moleculen samenhoudt, zijn deze faseverschillen erg belangrijk. |Ψ|2 vertoont dat fasegedrag niet. De functie is niet complex, maar reëel, zelfs niet-negatief en daarmee gemakkelijker in beeld te brengen. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  39 Het eenvoudigste orbitaal is het s- orbitaal. Dit is bolvormig. De golffunctie van het laagste s- orbitaal (het 1s-orbitaal) heeft overal hetzelfde teken, zodat het orbitaal geheel aaneengesloten is. Het maximum van de kansverdeling ligt op de kern van het atoom, waar in de klassieke mechanica het elektron beslist niet kon komen, en de kansdichtheid neemt af met toenemende afstand tot de kern. De 2s en hogere orbitalen hebben knoopvlakken, vlakken waar de golffunctie door nul gaat. De knoopvlakken van de 2s, 3s enzovoorts zijn concentrische boloppervlakken. De kansverdeling van de elektronen is op die vlakken nul, het elektron kan alleen aan weerszijden van zo'n vlak worden aangetroffen. Aangezien het elektron niet op zo'n vlak kan komen, kan het alleen van de ene naar de andere kant komen door te tunnelen. Na de s-orbitalen komen de p-orbitalen. Het laagste is 2p: dit vertoont een haltervorm, waarvan het knooppunt samenvalt met de atoomkern. Er is 1 knoopvlak dat midden tussen de twee armen van de halter loopt. Een p-orbitaal is een lineaire combinatie van drie mogelijke p-orbitalen van eenzelfde subniveau. Deze zijn in de ruimte georiënteerd volgens drie loodrecht op elkaar staande richtingen. Hogere p-orbitalen (3p, 4p,... ) hebben naast het knoopvlak tussen de halters ook nog knoopvlakken als de hogere s-orbitalen, in de vorm van een bolschil. Na de orbitalen volgen nog de d-orbitalen, f-orbitalen, g-orbitalen,…. De d-, f-, en hogere orbitalen vertonen meer en meer ingewikkelde vormen en beginnen met 2, 3 en meer knoopvlakken. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  40 Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  41 2.2.2.De 4 kwantumgetallen Een gebonden elektron is een elektron dat zich niet vrij door de ruimte kan bewegen. Een elektron dat deel uitmaakt van een atoom is daar een voorbeeld van. De eigentoestanden van een gebonden elektron en zijn golffuncties worden dus beschreven door vier kwantumgetallen. a. Het hoofdkwantumgetal n Volgens het atoommodel van Bohr bewegen de elektronen met grote snelheden rond de kern. Bovendien hebben die elektronen bepaalde energieën. Met andere woorden, zij zijn verdeeld over een aantal schillen of hoofdenergieniveaus volgens welbepaalde regels. Het hoofdkwantumgetal n beschrijft in het schillenmodel de schil waarin het elektron zich met een waarschijnlijkheid van 90% bevindt. Het beschrijft het basale energieniveau en kan willekeurige natuurlijke getalwaarden groter dan nul aannemen Dit komt overeen met steeds hogere aangeslagen toestanden. Er zijn 7 hoofdenergieniveaus of schillen (K, L, M,..., Q) die genummerd worden van 1 tot 7 Hoofdkwantumgetal n n=1,2,3,…,7 Het hoofdkwantumgetal zegt dus iets over de afstand tussen de kern en het elektron. Bij de coulombse aantrekkingskracht speelt de afstand van het elektron tot de kern de belangrijkste rol voor wat de energie-inhoud van het systeem betreft. Vandaar de benaming HOOFDkwantumgetal. b. Het nevenkwantumgetal l Het nevenkwantumgetal l, ook wel impulskwantumgetal genaamd, bepaalt de vorm van het orbitaal van een elektron. Het kan de waarde 0 en alle willekeurige natuurlijke getallen aannemen, maar moet in ieder geval kleiner zijn dan n. De nevenkwantumgetallen worden ook vaak met de letters s, p, d, f, g, h, i, k,... aangeduid. De hoofdniveaus, uitgezonderd het eerste, bevatten een aantal subniveaus waarvan de energieën lichtjes verschillen. In onderstaand schema vind je een overzicht van de verschillende hoofd- en subniveaus. Het nummer van het subniveau wordt het nevenkwantumgetal l genoemd en dat kan alle gehele waarden tussen 0 en (n-1) hebben. Nevenkwantumgetal l l = 0 , 1 , 2 , … , (n-1) Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  42 Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  43 c. Het magnetisch kwantumgetal ml Uit spectroscopisch onderzoek blijkt dat in elk subniveau de elektronen een bepaald aantal banen ter beschikking hebben Het magnetisch kwantumgetal ml beschrijft de ruimtelijke oriëntatie van het baanimpulsmoment van het elektron. Het mag in waarde niet groter zijn dan het nevenkwantumgetal l, maar het mag wel negatieve waarden aannemen: De waarde van ml hangt dus af van het nevenkwantumgetal van het subniveau. De banen worden genummerd van -l tot + l. Subniveau Aantal banen Magnetisch kwantumgetal ml ml = - l , … , 0 , … , + l s 1 p 3 d 5 f 7 Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  44 d. Spinkwantumgetal s Uit de doubletstructuur van de spectraallijnen leidt men af dat in elke baan maximaal twee elektronen kunnen bewegen. Die twee elektronen voeren een tegengestelde spinbeweging uit. Door die tollende bewegingen rond hun eigen as ontstaan zeer zwakke magneetveldjes die tegengesteld gericht zijn. De pijltjes geven aan hoe een kurkentrekker zich verplaatst als de handgreep draait in dezelfde zin als het elektron. Tegengestelde pijltjes (tegengestelde magneetveldjes) trekken elkaar aan en daardoor stoten die elektronen (met tegengestelde spin) elkaar minder af. Ze krijgen een nummer (+ ½ of - ½) dat men het spinkwantumgetal s noemt. Het spinkwantumgetal s van het elektron beschrijft de oriëntatie van de spin van het elektron. Het kan alleen de waarde +1/2 of -1/2 aannemen. Die pijltjes worden later ook gebruikt om elektronen voor te stellen. Spinkwantumgetal s s = +½ , -½ OPDRACHT 1. Gegeven : Hoofdkwantumgetal = 3 Gevraagd : a) bepaal alle mogelijke waarden van de nevenkwantumgetallen b) benoem de subenergieniveau’s Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  45 2. Gegeven : hoofdwantumgetal = 5 Gevraagd : a) bepaal alle mogelijke waarden van de nevenkwantumgetallen b) benoem de subenergieniveau’s Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  46 Samengevat : - Elektronen vormen een driedimensionaal golfverschijnsel rond de kern. Voor de beschrijving van dit driedimensionaal golfverschijnsel heeft men dus beroep gedaan op de kwantummechanica: de Schrödinger-vergelijking geeft het verloop van de amplitude  (psi) van de golfbeweging in functie van de energie van het atoom. - De oplossingen van de Schrödingervergelijkingen beschrijven aldus telkens ruimtelijke gebieden rond de kern waar de aantrefkans van een elektron 90 % bedraagt. Deze gebieden noemen we een orbitaal. - De kwantummechanica is gebaseerd op het principe van de dualiteit: volgens dit principe kunnen we elektronen én als golven én als deeltjes beschouwen. - Het eenvoudigste orbitaal is het s-orbitaal. Deze heeft een bolvorm. - Het tweede orbitaal is het p-orbitaal, dat een haltervorm heeft. - - Na het p komen het d, f, g, h-orbitaal. De vormen van deze orbitalen zijn veel complexer. - Orbitalen worden beschreven voor 4 kwantumgetallen o Het hoofdkwantumgetal: dit geeft het hoofdenergieniveau (de schil) aan en loopt van 1 tot 7 (corresponderend met de schillen) o Het nevenkwantumgetal l geeft het s, p, d, f, g ,… - orbitaal aan en loopt van 0 tot n-1. o Het magnetisch kwantumgetal ml geeft het aantal ruimtelijke dimensies aan en loopt van -l tot +l. o Het spinkwantumgetal geeft de spin van het elektron aan (wijzerzin of tegenwijzerzin) en kan waarden van +1/2 en -1/2 aannemen. - Zorg dat je aan de hand van een hoofdkwantumgetal de andere kwantumgetallen kan bepalen en interpreteren. - Zorg dat je aan de hand van de kwantumgetallen de opbouw van de elektronenschillen kan verklaren en weergeven. Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  47 2.3. Elektronenconfiguraties 2.3.1. De opbouw van de elektronenschillen Met de voorgaande begrippen kunnen we ons nu stilaan een beeld maken van de opbouw van de elektronenschillen van een element. Uit de twee eerste kwantumgetallen (hoofdkwantumgetal en nevenkwantumgetal) kunnen we afleiden dat de elektronenwolk als volgt wordt opgebouwd. 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5g 6s 6p 6d 6f 6g 6h 7s 7p 7d 7f 7g 7h 7i De realiteit nuanceert dit evenwel een stuk: - Het aantal elektronen per orbitaal wordt vanaf het f-orbitaal zodanig groot dat een g-orbitaal en de volgende eerder niet voorkomen. Pas vanaf atoomnummer 118 zou een g-elektron voorkomen. - Bij het opvullen van de orbitalen met elektronen worden eerst deze met lagere energie gevuld en pas dan de hogere energielevels. Dit komt neer op volgend schema: Het kwwantummechanisch atoommodel N. SABBE  48 2.3.2. Het uitsluitingsprincipe van Pauli Het uitsluitingsprincipe van Pauli is een kwantummechanisch principe dat stelt dat twee identieke deeltjes niet dezelfde kwantumtoestand kunnen bezetten. Het principe is geformuleerd door Wolfgang Pauli in 1925 en wordt ook wel uitsluitingsprincipe, exclusieprincipe, pauliprincipe of pauliverbod genoemd. Het zegt dat er in een atoom geen twee elektronen kunnen zijn met vier identieke kwantumgetallen. Door het invoeren van het spinkwantumgetal kunnen twee elektronen zich in één orbitaal (hetzelfde magnetisch, hoofd-, nevenkwantumgetal) bevinden, mits ze verschillen in hun spinkwantumgetal. - In het 2s – orbitaal zitten de elektronen met zelfde hoofd-, neven-, magnetisch en spinkwantumgetal. Dit druist in tegen het Pauliverbod - Wanneer de elektronen