Introduction aux réserves en assurance IARD PDF

Chapitre 6 Introduction aux réserves en assurance IARD 6.1 Introduction Un rôle important et central de l'actuaire non-vie est le. L'approbation du passif des polices doit être signée par un actuaire FICA dans les états nanciers d'une compagnie d'assurance. Rôles du FICA La si...

Chapitre 6 Introduction aux réserves en assurance IARD 6.1 Introduction Un rôle important et central de l'actuaire non-vie est le. L'approbation du passif des polices doit être signée par un actuaire FICA dans les états nanciers d'une compagnie d'assurance. Rôles du FICA La signature des réserves est l'un des seuls rôles exclusivement réservés à un actuaire FICA. Une autre tâche réservée à l'actuaire FICA est l'Examen Dynamique de Susance du Capital (EDSC). Même si l'actuaire FICA est le seul qui peut signer les réserves, une équipe d'actuaires est souvent dédiée à l'analyse des réserves. De nombreuses études, recherches scientiques et papiers sont publiés annuellement dans le domaine. Le but du calcul des réserves est simple. En eet, les provisions techniques sont destinées à permettre le ré- glement intégral des engagements pris envers les assurés. L'impact de la réserve sur les de la compagnie sont immenses. Les provisions techniques représentent ainsi, en moyenne en assurance non- vie, près de 75% du total du bilan (selon les branches d'assurance). Ainsi, l'actuaire FICA joue le rôle de duciaire pour au moins deux groupes entités. 1. Pour les régulateurs, l'actuaire protège les. En eet, en vériant que la compagnie d'assurance a assez d'argent pour payer toutes les réclamations existantes, l'actuaire s'assure ainsi que les promesses de couverture seront honorées. Si les réserves sont susantes, même si la compagnie d'assurance venait à fermer, ou pire à faire faillite, il y aurait ainsi assez d'argent dans les cores pour payer les réclamations aux assurés. 2. L'actuaire sert aussi l'assureur, les propriétaires (ou actionnaires) et les potentiels futurs propriétaires. En vériant correctement le montant des réserves, l'actuaire s'assure que les prots rapportés sont véridiques et exacts, et qu'ils peuvent être distribués our réinvestis. 6.1.1 Introduction rapide à la comptabilité et aux états nanciers La est le processus qui permet d'enregistrer, de traiter, de classier, de résumer et d'interpréter les opérations nancières. Ces opérations incluent l'achat et la vente de produits ou de services, l'achat de matériel et de fournitures ainsi que l'encaissement et le versement 1 2 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD d'espèces pour les dépenses, les salaires et les impôts sur le revenu. L'équation comptable est à la base de toutes les opérations et tous les registres comptables. L'équation comptable fondamentale s'exprime comme : ACTIF = PASSIF + AVOIR DES PROPRIÉTAIRES L'équation comptable de base découle du système de comptabilité en partie double. Il s'agit d'un système normalisé à l'échelle mondiale. Quelques dénitions simples :  Actif : Ensemble de biens ayant une valeur et appartenant à un individu ou à une entreprise. L'actif peut inclure les fonds en caisse ou déposés à la banque, les comptes clients, les inventaires, les terrains, les immeubles, les véhicules, les brevets d'invention, les droits réservés, etc.  Passif : En termes simples, le passif correspond aux dettes d'un individu ou d'une entreprise. Il peut inclure les comptes fournisseurs, les obligations à payer, les factures à payer, les réclamations à payer, etc.  Avoir du propriétaire, ou fonds propres : comprend toutes les sommes investies par le propriétaire, tous les bénéces accumulés depuis la création de l'entreprise mais qui n'ont peut-être pas été concré- tisés. On parle d'avoir du propriétaire dans le cas d'une entreprise individuelle. Dans le cas d'une société de personnes, les capitaux propres sont appelés avoir des associés. Dans une société, les capitaux propres sont appelés avoir des actionnaires. Une partie des bénéces est distribuée aux actionnaires sous forme de dividendes. Exemple 6.1.1. Au temps t , vous avez un actif d'une valeur de X , et un passif d'un montant de Y. Au temps t + 1, vous empruntez 250000$ pour acheter une maison d'une valeur de 250000$. Quelles sont vos actifs, vos passif et vos fonds propres au temps t et t + 1 ? Réponse D'autres éléments sont pertinents à connaître :  Revenus : Correspond à l'argent reçu par ses activités commerciales : ventes, locations, commissions, redevances, intérêts, etc.  Dépenses : Les dépenses sont les coûts engagés pour l'exploitation de l'entreprise. Elles peuvent inclure le loyer, le paiement des salaires, les services publics, la publicité et autres. 6.1.2 Retour à l'assurance Dans les activités d'assurance, une compagnie vend donc des contrats d'assurance à un certain prix (la prime commerciale ), en échange d'une protection d'assurance. Les primes reçues par la compagnies sont un revenu, les dépenses d'une compagnie d'assurance incluent le montant des réclamations (entre 67% et 72% de la prime), le loyer, les salaires, les impôts, etc. 6.1. INTRODUCTION 3 Ainsi, à la n de l'année, les revenus des primes d'assurance moins les dépenses occasionnées par l'activité d'assurance passent à la colonne des actifs. Par contre, les réclamations qui ne sont pas encore payées (et qui devront l'être) doivent être ajoutées au. L'assureur ne peut pas déclarer comme prot la totalité de la prime vendue ! Responsabilité de l'actuaire par rapport à son ordre professionnel L'actuaire FICA a ainsi la responsabilité professionnelle, responsabilité supervisée par son ordre professionnel - l'Institut Canadien des Actuaires - d'évaluer le passif des polices. Cette tâche est importante : ce qui est déclaré comme passif est soustrait directement du prot d'une compagnie, et les dividendes des actionnaires sont ainsi diminuées. Exemple 6.1.2. Prenons un cas d'assurance responsabilité civile automobile simplié, avec dommages cor- porels :  Le 1er décembre 2023, un conducteur souscrit une police d'assurance chez la compagnie X pour la période allant du 1er décembre 2023 au 30 novembre 2024 ;  Le 15 novembre 2024, cet assuré frappe un piéton avec sa voiture ;  Le 1er décembre 2024, le même conducteur décide de changer de compagnie d'assurance et souscrit une police d'assurance chez la compagnie Y.  Le 10 janvier 2025, le piéton commence à ressentir de violents maux de dos et de tête, conséquence de l'accident et une poursuite est engagée contre le conducteur par le piéton ;  Le 22 janvier 2025, l'assuré contacte son assureur X (et non l'assureur Y) pour l'avertir de la ré- clamation et le service d'indemnisation de la compagnie d'assurance X évalue automatiquement la réclamation à 20 000$ (dans un contexte pratique, il se peut que cela soit appelé une case reserve, i.e. une réserve assignée spéciquement à une réclamation) ;  Le 1er mars 2025, des spécialistes de la compagnie d'assurance X évalue plus en détails la réclamation à 200 000$ (modication de la case reserve ) ;  Le 30 mars 2025, la piéton refuse l'ore de 100 000 dollars de la compagnie d'assurance X et décide d'intenter une poursuite civile ;  Le 30 juin 2025, la compagnie d'assurance X paie 15 000 dollars de frais légaux pour les services d'avocat (pour cette cause), et estime qu'il reste encore 150 000$ à payer pour ce dossier.  Le 30 mai 2026, la compagnie d'assurance X paie 30 000 dollars de frais légaux pour les services d'avocat (pour cette cause), et estime qu'il reste encore 150 000$ à payer pour ce dossier. ;  Le 6 octobre 2027, la décision de la cour est une indemnité de 250 000 dollars. Remarques pertinentes :  La quasi-totalité de l'histoire se situe à un moment où l'assuré n'a plus de contrat avec l'assureur X. Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, la majorité des contrats d'assurance est basée sur la date du sinistre, et non sur la date de déclaration du sinistre ;  Le 31 décembre 2024, pour ses états nanciers, la compagnie se devait d'inscrire une réserve pour toutes les réclamations qui ne sont pas fermées. Parmi celles-ci, l'accident du 15 novembre. Pourtant, à cette date, aucune réclamation n'avait été soumise à l'assureur. Ce genre de provisions s'appelle IBNR (Incured but not reported ) ;  On peut noter que des paiements ont lieu tout au long de la vie de la réclamation, jusqu'à sa fermeture ;  Le 31 décembre 2025 et 2026, la compagnie se devait aussi d'inscrire pour l'année d'accident 2024, une réserve pour ce sinistre ; 4 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD  Le 31 décembre 2027, malgré qu'il semble que le sinistre soit fermé, il existe peut-être une possibilité de réouverture du dossier (dossier en appel, etc.) Il s'agit ici d'un simple cas de sinistre. La compagnie gère des milliers de contrats et chaque contrat peut être dans une situation similaire. Le graphique de Lexus suivant illustre bien la situation des calculs de réserve pour les actuaires : 6.1.3 Notation et motivation Lors de l'estimation des réserves, certaines hypothèses initiales seront utilisées :  Les techniques d'évaluation du provisionnement seront utilisées avec des dollars constants ;  Aucune actualisation des montants n'est considérée. Responsabilité de l'actuaire par rapport à son ordre professionnel Pendant longtemps, l'actualisation des réserves a été illégale dans l'évaluation du passif des polices, même si l'eet du facteur d'escompte n'est pas négligeable sur des branches d'assurance à longs développements. Denition 6.1.3 (Réserve individuelle de sinistre (traduction libre de Case Reserve ). Il s'agit de l'estimé actuel du coût qu'il reste à payer d'une réclamation par la compagnie d'assurance, par les spécialistes de la compagnie d'assurance dans le cas d'un sinistre important. Denition 6.1.4 (Sinistres survenus mais non-rapportés (IBNR ou SSND )). Il s'agit de sinistres (ou de montants de sinistres) qui sont survenus mais dont l'assureur ne connait pas encore l'existence. Responsabilité de l'actuaire par rapport à son ordre professionnel Les pertes totales pour un assureur, ou encore l' pour un assureur correspond à tout ce qu'il a payé et tout ce qu'il lui reste à payer (réserve). 6.2. TECHNIQUES INTUITIVES 5 Denition 6.1.5. Une est composée des éléments suivants :  Les réserves individuelles ;  Ajustements futurs des réserves individuelles ;  Sinistres survenus mais non-rapportés (IBNR) ;  Réclamations fermées qui peuvent réouvrir ;  Sinistres rapportés mais non-enregistrés. 6.1.4 Dynamique La dynamique de la vie des sinistres dépend beaucoup de. Pour un type de risque particulier, les sinistres sont constatés (avec plus ou moins de retard), puis ensuite payés, encore avec plus ou moins de retard. Pour n d'illustration, si un accident a lieu durant l'année T, le tableau suivant donne une idée des cadences de règlement pour diérentes branches d'assurance : Règlemens à la n de l'année T T+1 T+2 T+3 T+4 Multirisque habitation 55% 90% 94% 95% 96% Automobile 55% 79% 84% 89% 90% dont corporel 13% 38% 50% 65% 72% Responsabilité civile 10% 25% 35% 40% 45% Responsabilité professionnelle L'assurance pour responsabilité professionnelle présente parfois une cadence de réglement encore plus lente que la responsabilité civile, comme pour l'assurance médicale, l'assurance professionnelle des avocats ou des notaires. Le but de ce chapitre est de développer des techniques an d'estimer le plus précisément possible le montant des réserves à chaque bilan nancier de l'assureur, c'est-à-dire lorsque l'on se trouve à la n des années T , T + 1, etc. Ainsi, on peut établir l'équation suivante : Réserve estimée = Pertes ultimes estimées montants payés = (montants payés + Réserves individuelles + IBNR + :::) montants payés = Réserves individuelles + IBNR + Réclamations fermées qui peuvent réouvrir + Sinistres rapportés mais non-enregistrés 6.2 Techniques intuitives Dans certaines situations où les paiements d'assurance futurs sont très , et très prévisibles, il est possible d'utiliser des méthodes simples pour l'estimation des réserves. Ainsi : 1. Méthode des réserves enregistrées : L'idée de la méthode est d'utiliser le total de toutes les réserves individuelles de sinistres et d'ajouter un pourcentage arbitraire an d'inclure l'évolution possible de tous les coût des réclamations. 6 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Exemple 6.2.1. Le 31 décembre 2023, une compagnie d'assurance a payé 1 810 345 $ de réclamations pour l'année d'accident 2023. On estime qu'une réserve correspondant à 5 % des sinistres payés est susante. Calculez la réserve. Réponse Évidemment, un problème évident de cette méthode est l'estimation du pourcentage. Assurance automobile au Québec En assurance des dommages matériels automobile au Québec (assureurs privés), cette technique de calcul des réserves peut être bien satisfaisante. 2. Méthode des rapports sinistres/primes espérés : Denition 6.2.2. (RAPPEL) Loss Ratio ou rapport sinistre/prime : Il s'agit du ratio entre les coûts encourus et les primes récoltées par l'assureur. L'idée de la méthode est d'utiliser le rapport sinistres/primes prédit (ou attendu) de la branche d'aaire pour estimer l'encouru, puis d'y retrancher les montants de réclamations déjà payés à ce jour an d'estimer la réserve. Ainsi, pour une année i xée : Pertes ultimes estiméesi = Rapport sinistres/primes espéréi  Primes acquisesi Réserve estiméei = Pertes ultimes estiméesi montants payési En sommant toutes les années de couverture, nous obtenons un estimé de la réserve : Réserve estimée totale = X Réserve estimée totalei i Exemple 6.2.3. Nous avons les primes acquises suivantes et les montants totaux payés suivants à n de 2025, pour les années 2020 à 2025 : Année Primes acquises Montants payés 2020 100,000 58,000 2021 105,000 50,000 2022 110,000 45,000 2023 112,500 40,000 2024 120,000 25,000 2025 115,000 12,000 Estimez la réserve totale pour les années 2020 à 2025 si on prévoit un rapport sinistres/primes de 60% pour toutes les années. 6.2. TECHNIQUES INTUITIVES 7 Réponse 6.2.1 Triangles de développement An d'étudier l'évolution des coûts d'assurance au cours du temps, et de pouvoir estimer les réserves d'une compagnie d'assurance, une construction typique en assurance non-vie est l'utilisation de triangles de développement, ceux-ci reétant plus clairement la dynamique des sinistres. La notation usuelle de ces données est la suivante :  i correspond à l'indice des années de survenance i = 1;:::;n ;  j correspond à l'indice des années de développement j = 1;:::;n ;  Yi;j correspond au montant des sinistres survenus l'année i et payés l'années i + j (ou après j années de développement). Pour cette variable, on parle aussi d'incréments.  Ci;j correspond aux paiements agrégés des sinistres survenus l'année i , en j années de développement, i.e. Ci;j = Yi;1 + Yi;2 + ::: + Yi;j. Pour cette variable, on parle aussi de montants cumulés. La sinistralité d'une branche peut ainsi représenté avec des paiements cumulés comme : C1;1 C1;2... C1;n 1 C1;n C2;1 C2;2... C2;n 1...... Cn 1;1 Cn 1;2 Cn;1 ou, avec des paiements incrémentaux, comme : Y1;1 Y1;2... Y1;n 1 Y1;n Y2;1 Y2;2... Y2;n 1...... Yn 1;1 Yn 1;2 Yn;1 Cumulatifs ou incrémentaux Il est important de bien distinguer les triangles cumulatifs des triangles incrémentaux. Certaines techniques actuarielles utilisent les triangles cumulatifs pour le calcul des réserves, alors que d'autres techniques se basent sur les triangles incrémentaux. 8 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD La lecture des triangles de développement peut se faire selon divers angles. Ainsi :  La lecture d'une colonne à l'autre correspond à l'année d'accident, ou année de survenance j , et réète l'évolution de la vie d'un sinistre ;  La lecture d'une ligne à l'autre correspond à l'année de développement i , et réète les changements de souscriptions, de taille du portefeuille, etc. ;  La lecture par diagonale correspond à l'année de calendrier, et peut montrer des changements à la jurisprudence, à la gestion des sinistres dans la compagnies d'assurance ; Exemple 6.2.4. Considérons le triangle de paiements Yi;j suivant. Pour aider à la notation, on suppose que la première année d'accident, i.e la première ligne, est l'année 2017 : Année 1 2 3 4 5 1 (2017) 26,312 31,467 24,672 13,055 6,158 2 (2018) 30,470 35,012 25,491 12,589 3 (2019) 49,756 51,831 35,267 4 (2020) 50,420 52,315 5 (2021) 56,762 Calculez :  Les montants payés en 2019 pour les sinistres survenus pendant l'année 2019 ;  Les montants payés en 2019 pour les sinistres survenus pendant l'année 2017 ;  Le montant total des sinistres payés pour l'année de survenance 2018 observé à la n de l'année 2020. Réponse L'idée du provisionnement est de prévoir le montant nal des sinistres an de mettre en réserve les paiements non-eectués. Sous l'hypothèse que tous les sinistres soient réglés après n années, on cherche donc, pour le triangle des paiements cumulatifs : C1;1 C1;2... C1;n 1 C1;n \\ \ C2;1 C2;2... C2;n 1 Cd 2;n...... Cn 1;1 Cn 1;2... Cn 1;n 1 Cn 1;n Cn;1 Cd n;2... Cn 1;n 1 Cd n;n ou encore, pour le triangle des paiements incrémentaux : Y1;1 Y1;2... Y1;n 1 Y1;n \\ \ Y2;1 Y2;2... Y2;n 1 Yd 2;n...... Yn 1;1 Yn 1;2... Yn 1;n 1 Yn 1;n Yn;1 Yd n;2... Yn 1;n 1 Yd n;n 6.3. MÉTHODE CHAIN-LADDER (CL) 9 Ayant estimé ces paiements futurs, le montant des provisions pour l'année de souscription i est alors donné par : Ri = Cd i;n Ci;n+1 i = Ybi;n+2 i + Ybi;n+3 i + ::: + Ybi;n soit, un montant total des réserves nécessaires : n n R= Ri = i;n Ci;n+1 i = Cd Ybi;j X X X i =1 i =1 (i;j )2
n où
n désigne l'ensemble f(i;j ); i + j  n + 2; i  n et j  ng. Notation complexe La variable
n est complexe, mais ne correspond nalement qu'à toutes les cellules du triangle qui sont dans le coin droit inférieur, i.e. les cellules correspondant au futur. Aucune n au triangle Les modèles basés sur les triangles de développement supposent souvent que tous les sinistres soient réglés après n années. En d'autres termes, qu'il ne se passe plus rien après la dernière colonne. An d'assouplir cette condition, il est aussi possible de considérer des ajustement pour tenir compte des futures évolutions. 6.3 Méthode Chain-Ladder (CL) La prochaine méthode et ses variantes sont considérées déterministes. Méthode déterministe On appelle déterministes les méthodes qui ne se basent pas, ou qui n'utilisent pas de distributions statistiques ou de propriétés statistiques. Cette méthode reposent sur l'hypothèse de s'écou- lant entre la survenance d'un sinistre et le règlement. Ainsi, sont exclus :  Eet d'ination ;  Changement de structure du portefeuille ;  Changement des contrats d'assurance ;  Changement dans la gestion des sinistres. Propriétés de la méthode :  Cette approche est simple et intuitive ; 10 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD  On ne considère que le triangle des coûts encourus (triangle de C ) ;  L'idée est d'observer comment l'encouru cumulatif évolue d'une période de développement à l'autre. Concrètement, si on observe que pour passer d'une période à l'autre, l'encouru cumulatif augmente d'un certain pourcentage, alors le même phénomène devrait se reproduire pour les années d'accident futures. De même, s'il n'y a pas eu de coûts incrémentaux supplémentaires dans le passé pour passer d'une période à l'autre, alors, il n'y a pas de raisons que cette tendance ne soit pas répétée dans l'avenir. Notations Les paramètres j représentant les pourcentages d'augmentation sont appelés facteurs multiplicatifs, ou bien facteurs de déroulement, ou encore facteurs de développement. L'indice j représente le passage de la période j à la période j + 1, ou encore de la colonne j à la colonne j + 1. Le modèle sous-jacent est donc que Ci;j +1 = j Ci;j : Les coecients j sont estimés à l'aide des observations, comme : Pn j Ci;j +1 ^ j = Pi =1 n j pour j = 1;:::;n 1 i =1 Ci;j ^ j , nous pouvons estimer : A partir de ces  C^i;j = ^ n+1 i  ^ n+2 i  :::^ j Ci;n+1
1 i Exemple 6.3.1. Considérons encore le triangle de paiements Yi;j suivant (en supposant que la première année est l'année 1997) : Année 1 2 3 4 5 1 (2017) 26,312 31,467 24,672 13,055 6,158 2 (2018) 30,470 35,012 25,491 12,589 3 (2019) 49,756 51,831 35,267 4 (2020) 50,420 52,315 5 (2021) 56,762 Complétez le triangle de développement en utilisant la méthode Chain Ladder, et estimez la réserve totale de l'assureur. 6.3. MÉTHODE CHAIN-LADDER (CL) 11 Réponse 6.3.1 La mise à jour des estimations Dans nos exemples, on se place toujours à la n de l'année 2021 pour estimer les réserves. En pratique, l'exercice sera répété à chaque bilan comptable, c'est-à-dire à la n des années 2022, 2023, etc.. Ainsi, il est possible d'eectuer annuellement une mise à jour des estimations. Exemple 6.3.2. Reprenons notre triangle initial et supposons que nous avons estimé les réserves totales par la méthodes Chain Ladder (250,136). Fin 2022, une autre diagonale est ajoutée aux données : Année 1 2 3 4 5 6 2017 26 312 57 779 82 451 95 506 101 604 101 604 2018 30 470 65 482 90 973 103 562 113,455 2019 49 756 101 587 136 854 160,233 2020 50 420 102 735 138,653 2021 56 762 123,156 2022 61,262 Calculez les paiements eectués dans la dernière année de calendrier (2022), et comparez avec ce qui était attendu avec la méthode Chain Ladder. De plus, à partir de ce nouveau triangle, calculez les nouveaux estimés naux de l'encouru pour chaque année de survenance et comparez avec la prédiction eectuée précédemment par la méthode Chain Ladder 12 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Réponse Malgré le caractère intuitif et simple de la méthode, celle-ci comporte plusieurs défauts importants :  Le développement est identique pour toutes les années de survenance, ce qui n'est pas le cas en pratique :  Changement de jurisprudence ;  Changement de management.  Pour les années récentes, l'incertitude est très importante : l'évaluation de la réserve correspondra au produit de plusieurs estimateurs.  Par exemple, si les paiements de la première année sont de l'ordre de 1%, une variation de 0.8% à 1.2% fera changer la réserve de 50%.  Il est impossible d'eectuer une évaluation de la précision de l'estimation puisque la méthode est déter- ministe. Il pourrait être intéressant (et plus que souhaitable) que les méthodes utilisées indiquent des intervalles de conance pour les réserves. 6.3.2 Autres variantes An de solutionner certains problèmes connus de la méthode Chain Ladder pure, il est fréquent que les praticiens utilisent une pondération des données lors de l'estimation des k. Notons ici quelques exemples de pondérations typiquement utilisées en pratique :  Plus de poids aux années récentes et moins aux années éloignées ;  Pondération en relation avec l'exposition au risque ;  Choix des données en excluant les valeurs extrêmes (minimums-maximums) ;  Utilisation d'autres types de moyennes (géométrique, harmonique, etc.) - chacune ayant son avantage ;  Calcul de diverses statistiques pour évaluer :  Changement de jurisprudence ;  Changement de management ; Contexte pratique Un actuaire utilisera souvent diverses pondérations et choisira des k selon son jugement. 6.3. MÉTHODE CHAIN-LADDER (CL) 13 Il est important de noter que lorsque l'estimé des k n'est plus calculé comme : Pn k Ci;k +1 ^ k = Pi =1 n k pour k = 1;:::;n 1:; i =1 Ci;k on ne parle plus de la technique Chain Ladder, mais de l'une de ses variantes. Ainsi, pour rester rigoureux, la technique appelée Chain Ladder ne correspond qu'à l'équation ci-dessus. Exemple 6.3.3. (Suite de l'exemple précédent) Reprenons notre tableau des paiements en tableau cumulatif : Année 1 2 3 4 5 2017 26 312 57 779 82 451 95 506 101 604 2018 30 470 65 482 90 973 103 562 2019 49 756 101 587 136 854 2020 50 420 102 735 2021 56 762 Calculez diverses fonctions k à partir de ces données. Réponse 6.3.3 Actualisation de la réserve Le triangle de développement construit pour le calcul de la réserve fait en sorte qu'il est possible de connaître à quelle année les paiements futurs seront eectués. Il devient ainsi relativement facile d'actualiser la réserve. Exemple 6.3.4. (Suite de l'exemple précédent) En reprenant le modèle CL de base utilisé sur les paiements totaux, évaluez la réserve totale si un taux d'intérêt annuel composé de 5% est supposé. Réponse 14 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD 6.3.4 Ouverture vers les méthodes stochastiques Depuis le début de ce chapitre, nous nous sommes placés dans un contexte déterministe, où nous n'avons pas considérés les paiments, la sévérité ou le charge totale comme des variables aléatoires. Évidemment, pour un actuaire, il convient d'éventuellement introduire des notions probabilistes dans la modélisation, d'autant plus que les autorités nancières et les régulateurs exigent maintenant que diverses valeurs statistiques, telles que des intervalles de conance, soit aussi calculées en plus de la valeur de la réserve. Dans un cours plus avancé, vous verrez en détails certaines approches stochastiques. Ici, nous ne ferons qu'introduire quelques concepts. Pour une telle introduction, nous verrons une version stochastique du modèle Chain-Ladder, appelé le modèle de Mack. Hypothèses du modèle de Mack 1. H1 : Indépendance par ligne du triangle : (Cij )j =1;:::;n et (Ci j )j =1;:::;n sont indépendants pour 0 i 6= i 0 2. H2 : On peut lier Cij +1 sachant le passé Ci 1 ; :::;Cij : E [Cij +1 jCi 1 ; :::;Cij ] = j Cij 3. H3 : V ar [Ci;k +1 jCi;1 ;:::;Ci;k ] = Ci;k k2 Avec les hypothèses H 1 et H 2, ce modèle stochastique fournit exactement les mêmes réserves que le modèle Chain-Ladder. En eet, sous les hypothèses H 1 et H 2, pour tout k > n i + 1, nous avons : E [Cij +1 jCi 1 ; :::;Cij ] = n i +1 n i +2 :::k 1 Ci;n+1 i Alors que sous les hypothèses H 1 et H 2, les estimateurs standards de Chain-Ladder, exprimés comme : Pn j Ci;j +1 ^ j = Pi =1 n j pour j = 1,..., n-1 i =1 Ci;j sont sans biais et non-corrélés. Preuve  Sans Biais : D'après (H2) : E [Cij +1 jCi 1 ; :::;Cij ] = j Ci;j et donc : 6.3. MÉTHODE CHAIN-LADDER (CL) 15 n j Ci;j +1 "P # E [^ j jCi 1 ; :::;Cij ] = E Pi =1 n j j Ci 1 ; :::;Cij i =1 Ci;j = Pn j j i =1 E [Ci;j +1 Ci 1 ; :::;Cij ] Pn j i =1 Ci;j Pn j j Ci;j = Pi =1 n j = j i =1 Ci;j et donc : E [E [^ j jCi 1 ; :::;Cij ]] = j  Non-corrélés : Pour j n i + 1 avec la convention C^i;n i +1 = Ci;n i +1 ;  Estimateur de la variance des paiements futurs n k 2 = n k1 1 Ci;k CCi;k +1 ^ k  ^ 2 ; k = 1;:::n 2 X k pour i =1 i;k 16 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Démonstration. La preuve est en dehors du cours. Avec le calcul des ces valeurs, et en supposant une loi normale pour la distribution de la réserve, un intervalle de conance (à 95%) de la réserve serait donc de : Ri 2 [R^i 1:96sce (R^i ); R^i + 1:96sce (R^i )] Exemple 6.3.5. Supposons le triangles des paiements cumulés suivants : Année 1 2 3 4 5 1 35.40 37.69 39.13 39.76 40.16 2 38.61 41.61 43.37 44.56 3 43.85 47.30 49.45 4 49.52 53.33 5 55.47 En utilisant les formules standards de Chain-Ladder, nous obtenons : ^1 = 1:0750 ^2 = 1:0423 ^3 = 1:0221 ^4 = 1:0101 ^k2 : Trouvons maintenant les  5 1 2 1 X C ^12 = 5 1 1 Ci;1 Ci;1+1 ^ 1   i =1 i;1 2 2 1 37 :69 41 :61   = 3 35:40 35:40 1:0750 + 38:61 38:61 1:0750 h 2 2 i 47 :30 53 :33   +43:85 43:85 1:0750 + 49:52 49:52 1:0750 = 1:6080  10 3 ^22 = 0:5510  10 3 ^32 = 2:6444  10 3 et donc :  4 ^3 f 2g  ^42 = min ; min ^ 2;  2 3^ ^ 2  2 3 2 = min (20::6444 10 ) 5510 10 3 ; minf0:5510 10 ; 2:6444 10 g  3 3 = 0:5510 10 3 Nous pouvons projeter les paiements cumulatifs C^i;5 et estimer les réserves R ^i : Année 1 2 3 4 5 R^i 1 35.40 37.69 39.13 39.76 40.16 0 2 38.61 41.61 43.37 45.01 44.56 0.45 3 43.85 47.30 50.54 51.05 49.45 1.60 4 49.52 53.33 55.58 56.81 57.38 4.05 5 55.47 56.63 62.15 63.52 64.16 8.69 6.3. MÉTHODE CHAIN-LADDER (CL) 17 Estimons maintenant les mse : 5 1 ^k2 1 + P5 1k ^ ! d (R mse ^2 ) = C^22;5 X ^ 2 k =5 2+1 k C2;k ^ j =1 Cj;k ^ 2 1 1 " !# = C^22;5 ^42 ^ + P1 ^ 4 C2;4 j =1 Cj;4 = 45:012 0:5510   10 3  1 + 1  1:01012 44:56 39:76 = 0:0521 5 1 ^k2 1 1 ! d (R^3 ) = ^ 2 mse C3;5 ^ 2 ^ + P5j =1k C^j;k X k =5 3+1 k C3;k ^ 2 1 1 ^ 2 1 1 " ! !# = C^32;5 ^32 ^ + P5 3 ^ + ^42 ^ + P5 4 ^ 3 C3;3 j =1 Cj;3 4 C3;4 j =1 Cj;4 = 51:052 2:6444   10 3  1 1  0:5510  10 3 1 1  1:02212 49:45 + 39:13 + 43:37 + 1:01012 50:54 + 39:76 = 0:2766 d (R mse ^4 ) = 0:3715 d (R mse ^5 ) = 0:5740 L'intervalle de conance `95%, sous l'hypothèse de la loi normale pour les réserves peut donc se calculer : R2 2 [R^2 2sce (R^2 ); R^2 + 2sce (R^2 )] 2 [ 0:01; 0:90] R3 2 [0:55; 2:65] R4 2 [2:83; 5:27] R5 2 [7:17; 10:20] Finalement, l'erreur quadratique moyenne du montant total de provisions, R^ = R^2 + ::: + R^n est aussi ^ intéressante à calculer. On ne peut pas se contenter de la somme des mse (Ri ) parce qu'il y a corrélation entre elles. R^ est estimée par : n n n 1 ^     2 2^ = 2 d (R mse ^) = d (R mse ^i ) + C^i;n  C^j;n  Pn k k k  X X X i =2 j =i +1 k =n i +1 j =1 Cj;k Exemple 6.3.6. (suite de l'exemple précédent) La réserve totale s'établit à : R^ = R^2 + R^3 + R^4 + R^5 = 0:45 + 1:60 + 4:05 + 8:69 = 14:79 Alors que l'erreur quadratique moyenne se calcule comme : 5 5 5 1 ^     2 2^ = 2 d (R mse ^) = d (R mse ^i ) + C^i;5  C^j;5  P5 kk k  X X X i =2 j =i +1 k =5 i +1 j =1 Cj;k | {z } Somme de 4 éléments 18 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD 5 4 2^2 =^ 2   (i = 2) = mse d (R^2 ) + C^2;5  C^j;5  P5 kk k X X j =3 k =4 j =1 Cj;k = 0:0521 + 45:01(51:05 + 57:38 + 64:16) 2  0:5510 39  10 3 =1:01012   :76 = 0:2631 5 4 ^3 ) + C^3;5  C^j;5  P2^5 kk=^ k   2 2 (i = 3) = d (R mse X X j =4 k =3 j =1 Cj;k = 0:2766 + 51:05(57:38 + 64:16) 2  2:644  10 3 =1:02212 + 2  0:5510  10 3 =1:01012   39:13 + 43:37 39:76 = 0:8258 5 4 2^2 =^ 2   (i = 4) = mse d (R^4 ) + C^4;5  C^j;5  P5 kk k X X j =5 k =2 j =1 Cj;k = 0:3715 + 57:38(64:16) 2  0 :5510  10 3 =1:04232 2  2:644  10 3 =1:02212 2  0:5510  10 3 =1:01012  37:69 + 41:61 + 47:30 +  +  39:13 + 43:37 39:76 = 0:72688 5 4 ^5 ) + C^5;5  C^j;5  P2^5 kk=^ k   2 2 (i = 5) = d (R mse X X j =6 k =1 j =1 Cj;k 4 2 ^2 = 0:5740 + 64:16(0) P2^5 kk=k X k =1 j =1 Cj;k = 0:5740 d (R Ainsi mse ^) = 2:3900 et donc sce (R^) = 1:5460, soit 10% de R^ 6.4. BORNHUETTER-FERGUSON 19 6.4 Bornhuetter-Ferguson Le but de cette méthode est de s'assurer une meilleure stabilité de l'estimation des réserves pour les jeunes années de survenance, qui dépendent trop des premiers paiements. La méthode proposée se décompose en trois étapes : 1. Déterminer les pertes ultimes espérées ; 2. Calculer les taux de déroulement en utilisant la méthode Chain Ladder ; 3. Déterminer les proportions du montant ultime qu'il reste à payer. Les pertes ultimes espérées peuvent être calculées selon le nombre de polices vendues, les primes reçues, ou bien établies directement à partir du jugement du l'actuaire. Dans tous les cas, l'information peut provenir d'une source extérieure aux données du triangle. De manière historique, les actuaires utilisent surtout la Méthode des espérés pour trouver les pertes ultimes. La méthode Bornhuetter Ferguson utilise une procédure analogue à celle de la méthode Chain Ladder pour le calcul des taux de déroulement. Ces taux de déroulement sont utilisés avec pour extrapoler les pertes dans le futur. Autrement dit, la structure des facteurs de déroulement est utilisée pour exprimer l'encouru cumulatif comme un pourcentage des pertes ultimes. On rappelle que pour la méthode Chain Ladder, nous avions : n Cd = Ci;j
k ; Y i;n (6.4.1) k =j où nk =j k représente le produit des facteurs de déroulement jusqu'à la période ultime, Ci;n est l'encouru Q ultime et Ci;j est le montant cumulatif de l'année de survenance i à la période de déroulement j. La réserve Ri(j ) de l'année d'accident i à partir de la période de développement j de la méthode Chain Ladder est, par dénition, la diérence entre l'encouru ultime et l'encouru à la période de déroulement j : Ri(j ) = Cd i;n Ci;j : (6.4.2) En combinant ces deux dernières équations, on obtient : 1 ! R(j ) i i;n
1 = Cd QJ i;n
(1 = Cd j) (6.4.3) k =j k où j = 1 a été utilisé an de simplier la notation. La variable C perte ultime Q n =  d i;n correspond à la de l'année de survenance i. k espérée k j Source externe Alors que la méthode Chain Ladder utilise les données du triangle et les k pour trouver la valeur de C d i;n , la méthode Borhuetter-Ferguson se permet d'utiliser une source extérieure aux données du triangle pour son estimation. Dans le cas classique de la méthode Borhuetter-Ferguson, la source externe est la méthode des rapports sinistres/primes espérés , mais il est possible d'utiliser n'importe quelle autre source externe, jusqu'à même 20 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD utiliser son propre jugement. Pour trouver les pertes incrémentales Yi;j prévues pour une année d'accident et une période donnée, on utilise la même logique que la technique Chain-Ladder. D'abord, on trouve les réserves à partir du début de la période jusqu'à la période ultime. Ensuite, on trouve les réserves à partir de la n de la période ciblée jusqu'à la période ultime. La diérence entre les deux réserves représente les pertes incrémentales prévues, notées Yi;j. Ainsi, Yi;j = Ri(j ) Ri(j +1) = (Ci;n (1 j )) (Ci;N (1 j +1 )) = Ci;n ( j +1 j ) Exemple 6.4.1. Supposons que nous avons estimé les facteurs de développement suivant par Chain Ladder : 1! 2 2! 3 3! 4 4! 5 5 !1 1.41 1.22 1.16 1.08 1.04  Pour l'année 2018, on estime le 31/12/2019 des paiements cumulatifs de 420 000$ ;  Les primes acquises de 2018 sont de 1 000 000 $ ;  Le rapport sinistres/primes espéré est de 0,600. Estimez les réserves pour l'année d'accident 2018 : 1. En utilisant la méthode du rapport sinistres/primes espéré ; 2. En utilisant la méthode Chain Ladder ; 3. En utilisant la méthode Bornhuetter-Ferguson. Réponse Exemple 6.4.2. Ventilez les réserves par année de développement et analysez les résultats. Réponse 6.4. BORNHUETTER-FERGUSON 21 22 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Fig. 6.5.1  Droite des moindres carrés pour le nuage de points entre les périodes 2 et 3 6.5 London Chain Cette méthode se veut une généralisation de la méthode Chain Ladder. Rappel On se rappelle que : la méthode Chain Ladder suppose la forme suivante : CL : Ci;j +1 = j Ci;j : Dans le cas de la méthode London Chain, un autre paramètre est ajouté pour l'ajustement : London : Ci;j +1 = j Ci;j + j : Ainsi, en plus de considérer une tendance multiplicative entre les périodes (les facteurs j ), on suppose qu'il y a aussi une tendance additive (les facteurs j ). Si la tendance incrémentale est nulle, il est possible d'obtenir la méthode Chain Ladder en choisissant une méthode d'estimation appropriée. La gure 6.5.1 représente le nuage de points et la droite entre les périodes j et j + 1, ici la transition entre un période 2 et une période 3. Pour déterminer les paramètres de la droite, on utilise les moindres carrés. Ainsi, on veut trouver les ^ j et ^ j qui minimisent : paramètres  n k Q= (Ci;k +1 k Ci;k )2 X k i =1 6.5. LONDON CHAIN 23 Réponse Dernière colonne Notons que n ne peut être calculé car on cherche à la fois une tendance multiplicative et additive alors qu'il n'y a qu'un seul couple d'observations. Alors, la convention veut que l'on ne considère que l'eet multiplicatif pour cette dernière période de développement. Pour résumer, il est préférable d'utiliser le London Chain seulement s'il y a de bonnes raisons de croire qu'il y a un facteur additif en plus d'un facteur multiplicatif dans le modèle. Exemple 6.5.1. (Suite de l'exemple initial) Estimez les réserves avec la méthode London Chain : Année 1 2 3 4 5 2017 26 312 57 779 82 451 95 506 101 604 2018 30 470 65 482 90 973 103 562 2019 49 756 101 587 136 854 2020 50 420 102 735 2021 56 762 Réponse 24 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD 6.6 Méthode des provisions constituées Le principe de la méthode suppose que deux facteurs de projection diérents sont utilisés dans la constitution de la réserve :  Pour les paiements ;  Pour les réserves. La méthode Chain-Ladder classique ne s'eecutait que sur l'encouru total (qui correspond aux réserves individuelles et auz paiements), et supposait donc que les paiements et les réserves se développent de manière identique. L'intérêt de la méthode pourrait se résumer aux deux éléments suivants :  Utilise davantage d'informations que le modèle Chain Ladder classique ;  Utile pour les branches à développement très lentes, ou lorsque très peu de sinistre réglés la première année. 6.6.1 Description de la méthode La méthode s'eectue par étapes consécutives. 1. Modèle pour les réserves Notons :  Qi;jest la provision pour les sinistres survenus au cours de l'année i , inscrite au passif du bilan en n d'année i + j 1 Le modèle : Qi;j +1 = kj Qij Yi;j +1 où kj mesure la variation entre les années j et j + 1 de la prévision faite sur le coût total de sinistres survenus à l'année i. On estime kj : Pn j k^j = i =1 (Yij +1 + Qij +1 ) n j i =1 Qij P 2. Modèle pour les paiements Le montant Yi;j +1 payé au cours de l'année de développement j + 1 est une fraction de Qij : Yi;j +1 = hj Qij On estime hj : Pn j Yij +1 h^j = Pi =1 n j i =1 Qij 3. Extrapolation des triangles Le triangle des paiements et des réserves sont complétés simultanément, diagonale par diagonale, en utilisant le formules précédentes l'une après l'autre. 6.6. MÉTHODE DES PROVISIONS CONSTITUÉES 25 (a) On commence par la première diagonale inconnue des paiements : Y^i;n i +2 = h^n i +1 Qin i +1 pour i = 2;:::;n (b) On complète la première diagonale inconnue des réserves : Q^ i;n i +2 = kn i +1 Qin i +1 Y^i;n i +2 pour i = 2;:::;n (c) On commence par l'autre diagonale inconnue des paiements... Remarque intéressante : on peut combiner ce modèle avec le modèle classique Chain Ladder. En eet, en combinant les équations des réserves et des paiements, nous avons le résultat suivant : Qi;j +1 = kj Qij Yi;j +1 = kj Qij hj Qij = (kj hj )Qij Pn j Pn j i =1 (Yij +1 + Qij +1 ) i =1 Yij +1 Q ! = Pn j n j ij i =1 Qij i =1 Qij P Pn j Qij +1 = Pi =1 n j Qij i =1 Qij ce qui revient à la méthode Chain Ladder. L'avantage de cette méthode est qu'elle utilise plus d'informations que la méthode Chain-Ladder. On peut donc choisir des facteurs de développements diérents pour les paiements et les réserves (qui, elles, sont plus subjectives que les paiements - raison scales, politiques, etc.). Exemple 6.6.1. Complétez les triangles de paiements et de réserves suivants : Année 1 2 3 4 5 2017 15.40 4.90 7.77 7.19 4.3 2018 16.61 2.60 11.03 9.12 2019 21.35 7.29 5.59 2020 24.52 8.49 2021 30.47 Année 1 2 3 4 5 2017 20.0 17.39 11.06 4.50 0.60 2018 22.0 22.40 13.13 5.20 2019 22.5 18.66 15.22 2020 25.0 20.32 2021 25.0 26 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Réponse 6.7. MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS DE DEVYLDER 27 6.7 Méthode des moindres carrés de DeVylder Cette méthode est basée sur les incréments et non plus les montants cumulatifs. On se base sur l'équation suivante : Yi;j = rj pi  où pi est la charge ultime des sinistres survenus l'années i ;  rj la proportion du montant pi payé dans l'année de déroulement j. Le triangle peut s'exprimer comme : r1 p1 r2 p 1... rn 1 p 1 r n p 1 r1 p2 r2 p 2... rn 1 p 2......... r1 pn 1 r2 pn 1 r1 pn 6.7.1 Estimation du modèle On minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observés Yij et leur forme théorique rj pi : (Yi;j rj pi )2 X i +j n avec contrainte r1 + r2 + ::: + rn = 1. Ce qui donne : r^j Yij P p^i = Pj 2 j r^j p^ Y P r^j = Pi i 2ij i p^i Puisque les deux expressions sont interdépendantes, nous devons utiliser des valeurs initiales arbitraires de r^j pour calculer p^i. Ensuite, on peut calculer r^j , re-calculer p^i , et ainsi de suite jusqu'à convergence. Normalisation An de s'assurer que r1 + r2 + ::: + rn = 1, après chaque itération, on peut diviser chaque nouveau r^j par la somme des nouveaux r^j. 28 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Exemple 6.7.1. Considérons le triangle de paiement suivant : Année 1 2 3 4 5 2017 26,312 31,467 24,672 13,055 6,158 2018 30,470 35,012 25,491 12,589 2019 49,756 51,831 35,267 2020 50,420 52,315 2021 56,762 Trouvez la provision totale, si nous avons estimer que les r^j (après convergence de l'algorithme) sont égaux à: r^1 r^2 r^3 r^4 r^5 0.2875 0.3086 0.2221 0.1210 0.0606 Note : Les r^j correspondent aux proportions annuelles payées de l'encouru total. Réponse 6.8. EXERCICES 29 6.8 Exercices 6.8.1 Questions 1. Nommez les éléments qui expliquent l'évolution de l'encouru total d'une réclamation ; 2. Expliquez pourquoi certaines lignes d'aaires en assurance ont une cadence de règlement plus lente que d'autres ; 3. Nous avons les primes acquises suivantes et les montants totaux payés suivants à la n de 2025, pour les années 2020 à 2025 : Année Primes acquises Montants payés Rapport sinistres/primes espéré 2020 200,000 158,000 85% 2021 205,000 150,000 87.5% 2022 210,000 145,000 85% 2023 212,500 140,000 78% 2024 220,000 125,000 80% 2025 215,000 112,000 75% En utilisant la méthode des rapports sinistres/primes espérés, estimez la réserve totale pour les années 2020 à 2025. 4. Nous avons les primes acquises suivantes et les réserves individuelles de chaque sinistre à la n de 2025, pour les années 2020 à 2025 : Année Primes acquises Somme des réserves individuelles 2020 100,000 58,000 2021 105,000 50,000 2022 110,000 45,000 2023 112,500 40,000 2024 120,000 25,000 2025 115,000 12,000 (a) En utilisant la méthode des réserves enregistrées, estimez la réserve totale pour les années 2000 à 2005 si on utilise un facteur de 5% ; (b) Expliquez ce qu'est une réserve individuelle. 5. Vous avez les informations suivantes sur les montants payés cumulatifs, en fonction des années de développement et de l'année de survenance du sinistre : Année 1 2 3 4 5 6 7 2013 1780 2673 2874 3094 3157 3166 3166 2014 3226 4219 4532 4881 5144 5199 2015 3652 4989 5762 6436 6720 2016 2723 4301 5526 6231 2017 2923 4666 5349 2018 2990 5417 2019 3917 (a) Combien de dollars ont été payés pour les sinistres survenus en 2013 ? (b) En 2017, combien de dollars ont été payés pour les sinistres survenus en 2015 ? (c) Quel est le montant total de sinistres payés pour l'année de survenance 2018 ? (d) Combien de dollars ont été payés en indemnités pendant l'année 2019 ? (e) Combien de dollars ont été payés en indemnités pendant l'année 2018 ? 6. Vous avez les informations suivantes sur les montants payés cumulatifs Ci;j , en fonction des années de développement et de l'année de survenance du sinistre : 30 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD Année 1 2 3 4 5 6 7 2013 1780 2673 2874 3094 3157 3166 3166 2014 3226 4219 4532 4881 5144 5199 2015 3652 4989 5762 6436 6720 2016 2723 4301 5526 6231 2017 2923 4666 5349 2018 2990 5417 2019 3917 En utilisant diverses variantes de la méthode Chain Ladder, estimez les réserves pour ces données, (a) si vous estimez les facteurs de déroulement par la méthode Chain Ladder usuelle ; (b) si vous estimez les facteurs de déroulement (j ) par une moyenne arithmétique ; (c) si vous estimez les facteurs de déroulement (j ) par une moyenne géométrique. 7. Vous avez les informations suivantes sur les montants payés par année Yi;j , en fonction des années de développement et de l'année de survenance du sinistre : Année 1 2 3 4 5 6 2014 192 251 153 145 98 0 2015 205 280 195 150 102 2016 230 345 230 212 2017 288 410 275 2018 398 563 2019 530 En utilisant diverses variantes de la méthode Chain Ladder, estimez les réserves pour ces données, (a) si vous estimez les facteurs de déroulement par la méthode Chain Ladder usuelle ; (b) si vous estimez les facteurs de déroulement (j ) par une moyenne arithmétique ; (c) si vous estimez les facteurs de déroulement (j ) par une moyenne géométrique. 8. Pour une certaine années d'accident, nous avons les informations suivantes :  Primes acquises : 1000 ;  Rapport Sinistres/Primes espéré : 0.650 ; Qult  k k = 1:12 ;  Encourus à ce jour : 600  Payés à ce jour : 500 Trouvez l'estimé des réserves en utilisant la technique de Bornhuetter-Ferguson. 9. Supposons que nous avons estimée les facteurs de développement par Chain Ladder : 1! 2 2! 3 3! 4 4! 5 5 !1 1.75 1.6 1.4 1.1 1.05  Pour l'année 2018, on estime le 31/12/2019 des paiements cumulatifs de 320,000 ;  Les primes acquises de 2018 sont de 1,000,000 $ ;  Le rapport sinistres/primes espéré de l'année 2018 est de 0.650. Estimez les réserves pour l'année d'accident 2018 : (a) En utilisant la méthode du rapport sinistres/primes espéré ; (b) En utilisant la méthode Chain Ladder ; (c) En utilisant la méthode Bornhuetter-Ferguson ; (d) Le 31/12/2020, les paiements cumulatifs sont maintenant de 400,000$. Pour les 3 méthodes précédentes, calculez la diérence entre la réalisation et la projection ; 6.8. EXERCICES 31 (e) Expliquez d'où peuvent venir les diérences en d). 10. Supposons que nous avons estimée les facteurs de développement par Chain Ladder : 1! 2 2! 3 3! 4 4! 5 5!6 6 !1 1.55 1.5 1.3 1.25 1.15 1.05  Pour l'année 2019, on estime le 31/12/2019 des paiements cumulatifs de 120,000 ;  Les primes acquises de 2019 sont de 1,350,000 $ ;  Le rapport sinistres/primes espéré de l'année 2018 est de 0.600. Estimez les réserves pour l'année d'accident 2019 : (a) En utilisant la méthode du rapport sinistres/primes espéré ; (b) En utilisant la méthode Chain Ladder ; (c) En utilisant la méthode Bornhuetter Ferguson ; (d) Le 31/12/2022, les paiements cumulatifs sont maintenant de 200,000$. Pour les 3 méthodes précédentes, calculez la diérence entre la réalisation et la projection ; (e) Le 31/12/2023, les paiements cumulatifs sont maintenant de 500,000$. Pour les 3 méthodes précédentes, calculez la diérence entre la réalisation et la projection ; (f) Quel est l'avantage d'utiliser la méthode de Bornhuetter-Ferguson par rapport à celle de Chain Ladder ? 11. (Examen nal automne 2007) Nous avons estimé les facteurs de développement ^ par Chain Ladder : 1! 2 2! 3 3! 4 4! 5 5 !6 6 !1 1.75 1.65 1.4 1.3 1.2 1.01  Pour l'année 2019, on estime le 31/12/2021 des paiements cumulatifs de 220,000 ;  Les primes acquises de 2019 sont de 2,000,000 $ ;  Le rapport sinistres/primes espéré de l'année 2019 est de 0.700. Estimez les réserves pour l'année d'accident 2019 : (a) En utilisant la méthode Bornhuetter-Ferguson ; (b) Le 31/12/2022, les paiements cumulatifs sont maintenant de 300,000$. Calculez la diérence entre la réalisation et la projection par la méthode Bornhuetter-Ferguson ; (c) Quel est l'avantage d'utiliser la méthode de Bornhuetter-Ferguson par rapport à celle de Chain Ladder ? 12. (a) Quel est le lien entre la méthode London Chain et la méthode Chain Ladder ? (b) Exprimez graphiquement la diérence entre la méthode London Chain et la méthode Chain Ladder. 13. Sachant que : C (1) i;1 = 31;250 C (1) i;2 = 37;375 4 Ci;1 Ci;1+1 = 4;730;000;000 X i =1 4 Ci;21 = 3;975;000;000 X i =1 (a) Si C5;1 = 45;000, déterminez Cb5;2 par la méthode Chain Ladder ; (b) Si C5;1 = 45;000, déterminez Cb5;2 par la méthode London Chain ; (c) Expliquez la diérence entre Cb5;2 et C5;2. 32 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX RÉSERVES EN ASSURANCE IARD 14. En utilisant le triangle des paiments cumulatifs suivants : Année d'accident 1 2 3 4 5 6 7 2013 1780 2673 2874 3094 3157 3166 3166 2014 3226 4219 4532 4881 5144 5199 2015 3652 4989 5762 6436 6720 2016 2723 4301 5526 6231 2017 2923 4666 5349 2018 2990 5417 2019 3917 (a) Déterminez la réserve pour les années d'accident 2018, 2016 et 2015 par la méthode Chain Ladder ; (b) Déterminez la réserve pour les années d'accident 2018, 2016 et 2015 par la méthode London Chain ; (c) Pourquoi peut-on dire que la méthode London Chain inclut la méthode Chain Ladder ?