Chapitre 2 : Théories des ensembles (2023-2024) PDF

AIT-IKHLEF.N Chapitre 2 : Théories des ensembles. (2023-2024) Chapitre 2 : les ensembles Introduction : Les notions de la théorie des ensembles et des fonctions sont à la base d’une présentation moderne des mathématiques. Imma...

AIT-IKHLEF.N Chapitre 2 : Théories des ensembles. (2023-2024) Chapitre 2 : les ensembles Introduction : Les notions de la théorie des ensembles et des fonctions sont à la base d’une présentation moderne des mathématiques. Immanquablement, on y fait appel pour la construction d’objets plus complexes, ou pour donner une base solide aux arguments logiques. En plus d’être des notions fondamentales pour les mathématiques, elles sont aussi cruciales en informatique, par exemple pour introduire la notion des structures de données. Définition 1 : Un ensemble est une collection bien définie d’objets. On note par , et en écrit , (c’est la notation d’un ensemble). Un ensemble peut être écrit en extension, c’est-à-dire que l’on donne la liste de tous ses éléments, ou en compréhension, c’est-à-dire que l’on définit cet ensemble par une propriété. Définition 2 : Les objets de sont appelés éléments. Un élément qui est dans est dit appartenant à ou appartient à et on note. Dans les accolades et entre les éléments d’un ensemble on écrit des virgules. Si le n’appartient pas à , on écrit. Exemples des ensembles :  est défini en extension, et est défini en compréhension. Remarquons que  L’ensemble des entiers naturels.  , les éléments de sont les éléments de vérifiant la relation donc les éléments de sont et , on note  , les éléments de sont les éléments de vérifiant la relation donc , ( est la notation de l’ensemble vide) est l’ensemble qui contient aucun élément. Remarque : Si est un ensemble formé par un seul élément, alors est dit singleton. Exemple : Il y a des notations réservées pour certains ensembles ; par exemple : est l’ensembles des nombres complexes. est l’ensemble des nombres réels. est l’ensemble des nombres réels positifs. est l’ensembles des nombres réels négatifs. est l’ensemble des entiers relatifs. est l’ensemble des entiers naturels. 1 AIT-IKHLEF.N Chapitre 2 : Théories des ensembles. (2023-2024) Si ou bien ou bien ou bien , alors : l’ensemble est noté par Définition 3 : Le cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments qui forment l’ensemble , et on le note par ou bien. 2- Opérations sur les ensembles : Il nous faudra parfois effectuer des opérations sur les ensembles. Par exemple, nous voudrons peut- être trouver des éléments communs à plusieurs ensembles ou ceux qui appartiennent à un seul de ces ensembles. La section suivante vous présente les opérations ensemblistes les plus importantes, ainsi que leurs notations symboliques. 2-1 : Définition de l’inclusion : Soient et deux ensembles, on dit que : est contenu dans ou est une partie de ou est un sous- ensemble de si et seulement si tout élément de est un élément de et on note ou bien , on écrit : Si l’ensemble n’est pas une partie de l’ensemble , on écrit donc : ou bien Exemple d’un sous- ensemble : On distingue deux types d’inclusion :  Définition de l’inclusion large : Soient et deux ensembles, est inclus au sens large dans si et seulement si est une partie de , et on note : ou bien Exemple :  Définition de l’inclusion stricte : Soient et deux ensembles, est inclus au sens stricte dans si et seulement si est une partie de , mais n’est pas une partie de , et on note. Exemple : car est une partie de l’ensemble des réels , mais ce dernier n’est pas une partie de. 2-2 : L’ensemble des parties d’un ensemble : L’ensemble de toutes les parties d’un ensemble est noté. Exemple : Soit l’ensemble et. Remarques :  Si est un ensemble donc et on a  2 AIT-IKHLEF.N Chapitre 2 : Théories des ensembles. (2023-2024) Dans l’exemple précédent : La notion de l’inclusion permet de définir l’égalité entre les ensembles : 2-3 : Définition de l’égalité : Soient et deux ensembles, l’ensemble est égal à l’ensemble , si et seulement si l’ensemble est une partie de et l’ensemble est une partie de et on écrit , donc on a la relation suivante : et Propriétés :  Pour un ensemble on a l’équivalence :  Soit un sous- ensemble d’un ensemble donc :  Soient et trois ensembles alors : et C’est-à-dire que l’inclusion est transitive. 2-4 : Intersection des ensembles : Soient et deux parties d’un ensemble , l’intersection de et notée est définie par la relation suivante : et Si alors et sont dit disjoints. 2-5 : Réunion des ensembles : Soient et deux parties d’un ensemble la réunion de et notée est définie par la relation suivante : ou 2-6 : Complémentaire d’un ensemble : Soit une partie d’un ensemble , le complémentaire de dans noté est défini par la relation suivante : tel que 2-7 : Différence de deux ensembles : Soient et deux parties d’un ensemble , la différence de et notée est définie par la relation suivante : et 2-8 : Différence symétrique de deux ensembles : Soient et deux parties d’un ensemble la différence symétrique de et notée est définie par la relation suivante : 3 AIT-IKHLEF.N Chapitre 2 : Théories des ensembles. (2023-2024) Remarque très importante : Si est un ensemble défini par une expression comme suit : donc on peut écrire et on a :  est une propriété qui dépend de. Cette propriété définit l’ensemble. Et on peut écrire : et on a.  Dans l’ensemble on peut remplacer la propriété par une deuxième propriété équivalente à cette première propriété. On note cette deuxième propriété par alors on peut écrire. 3- Partition d’un ensemble : Soit un ensemble et une famille des sous-ensembles de tels que avec Les forment une partition de si et seulement si :  , avec  , , et avec  Exemple : Soit un ensemble. Nous considérons les sous-ensembles et de définis par : et et forment une partition de car : , , et 4