Chapitre 1 : Champ et Potentiel Électrique (PDF)

R. Lardé Chapitre 1 : Champ & potentiel électrique (En régime statique : électrostatique) I –La charge électrique R. Lardé 1. La charge électrique - La charge électrique est une propriété de la...

R. Lardé Chapitre 1 : Champ & potentiel électrique (En régime statique : électrostatique) I –La charge électrique R. Lardé 1. La charge électrique - La charge électrique est une propriété de la matière (tout comme la masse) Les corps peuvent porter une charge électrique notée Q. On parle alors de corps chargés. L’unité de la charge électrique dans le système SI est le Coulomb noté C. - La charge électrique d’un corps chargé est quantifiée : c’est un multiple de la charge élémentaire e Robert Millikan en 1910. - La charge électrique d’un corps est positive ou négative A l’état naturel, les corps sont électriquement neutres Nombre d’électrons (Ne) = Nombre de protons (NP) Corps chargé négativement = excès d’électrons Ne > NP Corps chargé positivement = déficit d’électrons Ne0 Q20 Q1 0 IV– Propriétés fondamentales du champs électrique R. Lardé - Calcul de la divergence du champ créé par une charge ponctuelle z O Y x IV– Propriétés fondamentales du champs électrique R. Lardé - Calcul de la divergence du champ créé par une sphère chargée z M R P A faire à la maison y x IV– Propriétés fondamentales du champs électrique R. Lardé 2.b Théorème de Green-Ostogradski IV– Propriétés fondamentales du champs électrique R. Lardé 2.b Equation de Maxwell-Gauss (théorème de Gauss local) Equation de Maxwell-Gauss V– Le potentiel électrique R. Lardé 1. Introduction historique de la notion de potentiel Lagrange et la notion de potentiel (1778) Quelle est la force gravitationnelle exercée par plusieurs corps sur une particule en un point M? F1 M   m1 Ftotale   Fi F2 Fi i Il faut sommer des vecteurs, pas facile! m2 On préfère sommer des grandeurs scalaires ! m3 mi  F   grad V  Le potentiel en M sera donc : Vtotal   Vi Ftotale   grad Vtotal i Avec Vi le potentiel créé en M par la masse mi V– Le potentiel électrique R. Lardé 1. Introduction historique de la notion de potentiel Quelle est la force gravitationnelle exercée par un corps de forme quelconque sur une particule en un point M? - On découpe le volume en éléments de volume d1 dF1   M F   dFi dF2 d2 Il faut sommer des vecteurs, pas facile! m  Vtotal   Vi Ftotale   grad Vtotal La notion de potentiel peut apparaitre comme un outil mathématique (permet de travailler avec des grandeurs scalaires plutôt que vectorielles) V– Le potentiel électrique R. Lardé 2. Définition du gradient Le gradient d’un champ scalaire (x,y,z) est défini en coordonnées cartésiennes par : Il s’applique à une fonction scalaire ou C’est un vecteur Le gradient est donc un champ vectoriel Le gradient en un point donne la direction dans laquelle la grandeur  augmente le plus rapidement. La dérivée d’un champ scalaire donne un champ vectoriel appelé gradient. V– Le potentiel électrique R. Lardé 2. Définition du gradient (complément) Construction mathématique du gradient : Soit (x,y,z) une fonction scalaire de x, y et z, soit d la différentielle de . Par définition on a : + V– Le potentiel électrique R. Lardé Exemple : champ de température dans une barre chauffée (𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 x V– Le potentiel électrique R. Lardé Exemple : gradient d’un champ de températures, d’un champ de pressions…. Lignes isobares V– Le potentiel électrique R. Lardé Exemple : gradient d’altitude Codage couleur des valeurs du champ scalaire z 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Montagne Vallée Vallée Montagne Champ de gradient Vallées Montagnes V– Le potentiel électrique R. Lardé Compléments sur le gradient : gradient  dérivée Pour les fonctions scalaires: 𝑑𝑓 Fonction d’une seule variable f(x) 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 1 seule dérivée possible Champ scalaire 1D 𝑑𝑥 𝜕𝑓 Fonction de 2 variable f(x,y) 𝜕𝑥 2 dérivées possibles 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝜕𝑓 Champ scalaire 2D 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 Fonction de 3 variable f(x,y,z) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 3 dérivées possibles Champ scalaire 3D 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑧 V– Le potentiel électrique R. Lardé Compléments sur le gradient : gradient  dérivée Fonctions vectorielles: 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 Fonction 𝐹⃗ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐹⃗ = 9 dérivées possibles 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Champ vectoriel 3D 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Tenseur gradient V– Le potentiel électrique R. Lardé 3. Le potentiel électrique On construit le potentiel électrique de la façon suivante: 3.a Potentiel V d’une charge ponctuelle V– Le potentiel électrique R. Lardé Exprimons le gradient en coordonnées sphériques : On a donc : D’où: On fixe arbitrairement V=0 pour r->, d’où cste=0 Le potentiel électrique créé dans l’espace par une charge ponctuelle Q est donc : V– Le potentiel électrique R. Lardé 3.b Courbes ou surfaces équipotentielles (isovaleur) Une courbe équipotentielle est une courbe le long de laquelle le potentiel V à la même valeur. Une surface équipotentielle est une surface sur laquelle le potentiel V à la même valeur. Pour une charge ponctuelle les surfaces équipotentielles sont des sphères Le champ 𝐸 est toujours perpendiculaire V(r1) V(r2) V(r3) V(r4) aux surfaces équipotentielles V– Le potentiel électrique R. Lardé Lignes de champ et équipotentielles de 2 charges positives Vue 3D du potentiel dans un plan contenant les charges V– Le potentiel électrique R. Lardé 4. Potentiel électrique et distribution de charges : Equation de Poissson On sait que : et que : On a donc : Or: et Opérateur laplacien Equation de Poisson