Chapitre 1 : Oscillations Libres des Systèmes à un Degré de Liberté PDF

Chapitre 1: Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté 1  INTRODUCTION:  La vibration est un phénomène oscillatoire d’un corps en mouvement autour de sa position d’équilibre.  On appelle mouvement périodique un mouvemen...

Chapitre 1: Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté 1  INTRODUCTION:  La vibration est un phénomène oscillatoire d’un corps en mouvement autour de sa position d’équilibre.  On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période, mesurée par la seconde et est définie comme suit : Où 0 est appelée la pulsation qui est mesurée en rad/s.  On définit la fréquence comme étant le nombre d’oscillations qui ont lieu par unité de temps t, elle est mesurée en Hertz: 1 0 f0   T0 2  2 1. Cordonnées généralisées d’un système en mouvement: Soit un point matériel en mouvement dans l’espace par rapport à un repère fixe. Il est repéré par ses coordonnées généralisées q i (𝑖=1,2,3..𝑛’) (cordonnées indépendantes) où 𝑛’ étant le nombre de coordonnées généralisées. Mouvement dans l’espace : Coordonnées cartésiennes (𝑥,𝑦,𝑧):  le nombre de coordonnées généralisées est n’=3 Mouvement dans le plan : Coordonnées polaires (𝑟,𝜃):  le nombre de coordonnées généralisées est n’=2 3 Toute contrainte (liaison) du mouvement réduit le nombre de degrés de liberté du système : Soit 𝑚 le nombre de liaisons, le nombre de degrés de liberté est alors donné par : 𝑛= n’−𝑚 où n’ est le nombre de cordonnées généralisées Exemple: Le mouvement d’un point matériel contraint à avoir un mouvement circulaire de rayon R : y le nombre de coordonnées généralisées n’= 2 le nombre de liaison m=1: x 2  y 2  R 2 R x le nombre de degrés de liberté: n =1 4 5 2. Energies cinétique et potentielle 2.1 Energie Cinétique: L’énergie cinétique d’un solide qui peut être assimilé à un point matériel de masse m (kg) se déplaçant à une vitesse v (en m/s) dans un référentiel donné s'exprime ainsi: 1 2 Ec  T  mv 2 Dans le cas plus général ou un solide effectue un mouvement quelconque son mouvement est décomposé en un mouvement de translation de son centre de gravité et un mouvement de rotation autour d’un axe instantané (Δ) passant par le centre de gravité. L’énergie cinétique s’écrit : 1 2 1 2 Ec  T  mvG  J 2 2 Energie de Energie de translation rotation Où vG est la vitesse de translation du centre de gravité (barycentre)  est la vitesse de rotation autour de l’axe de rotation () J est le moment d’Inertie 6  Moment d’inertie de différentes géométries Suivant la géométrie de l’objet en rotation, le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation passant par le centre de gravité de l’objet. J J J J J J 7 Théorème de Huygens Le moment d’inertie d’un objet en rotation par rapport à un axe (’) qui ne passe pas par le centre de gravité de l’objet, distant de l’axe () d’une distance d est défini par la relation suivante: J '  J   m d 2  ’ 8 2.2 Energie Potentielle: C'est le nom donné au travail effectué par des forces dites "conservatives", telles que, essentiellement, la pesanteur et les forces engendrées par des ressorts. a. Énergie potentielle de pesanteur : C'est le travail de la force de pesanteur qui correspondrait à un retour de h l'objet à l'altitude "zéro". Si l'objet, de masse m, se trouve à une altitude h: Ep  U  m g h b. Énergie potentielle élastique (ressort) : L'énergie accumulée par un ressort de raideur k (en N.m-1), lorsqu'on fait varier sa longueur d'une quantité x (en m) par rapport à sa longueur au repos, correspond à l'énergie que ce ressort pourrait restituer s'il reprenait sa longueur initiale, et s'écrit donc : 1 Ep  U  k x2 2 c. Énergie potentielle de torsion : De la même manière, pour un ressort de torsion, l'énergie accumulée lors d'une torsion d'un angle  (exprimé en radians) s'écrit: 1 Ep  U  k2  9 2 3. Etat d’équilibre: Figure 3: Equilibre stable Figure 4: Equilibre instable 10 4. Modélisation Physique: 11  Oscillations libres On appel oscillations libres ou naturelles le mouvement d’un système isolé auquel on donne une excitation initiale à l’aide d’un système de perturbation extérieure et on l’abandonne à ses oscillations libres (à lui-même). On associe à ce type de système l’équation différentielle harmonique de la forme : Où  0 la pulsation propre du système La solution de cette équation différentielle est de la forme sinusoïdale telle que: 12 Pour ce type d’équation différentielle : La solution est de la forme: Pulsation propre (naturelle) 13  On considère deux exemples pour concrétiser les méthodes de calcul des équations du mouvement: Figure 8: Pendule simple - Ressort 14  A. Pendule simple Energie cinétique de rotation h Energie Potentielle Le Lagrangien est donc de la forme: L’équation du mouvement: pulsation 15 B. Ressort vertical x Figure 9: Etat du système En Equilibre Pulsation En Mouvement 17