Open Channel Flows (Portuguese) PDF

Características gerais Ondas superficiais Escoamentos com superfície livre (1/3) Laura Campo Deaño Mecânica dos Fluidos II (MIEM) AULA 12 / 12 e 13 de Novembro de 2024 / Semana 9 Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais...

Características gerais Ondas superficiais Escoamentos com superfície livre (1/3) Laura Campo Deaño Mecânica dos Fluidos II (MIEM) AULA 12 / 12 e 13 de Novembro de 2024 / Semana 9 Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (1 of 15)  Características gerais Ondas superficiais Conteúdo Características gerais do escoamento em canais abertos Classificação do escoamento Ondas de superfície Velocidade da onda Efeitos do número de Froude 10.1 e 10.2 Munson, Young and Okiishi’s Fundamentals of Fluid Mechanics (9 Edition, SI version), 2021. Philip M. Gerhart, Andrew L. Gerhart, John I. Hochstein John Wiley & Sons, Inc. Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (2 of 15)  Características gerais Aplicações e técnicas Ondas superficiais Classificação do escoamento Aplicações e técnicas Escoamento em canais abertos (ou superfície livre) O escoamento de um fluido ao longo de um canal ou conduta parcialmente cheia. Existe uma superfície livre entre o fluido (água, em geral) em movimento e o fluido acima (ar, atmosfera, por exemplo). O escoamento realiza-se por ação das forças gravíticas (peso). Aplicações canais de irrigação ou drenagem linhas de água (rios, ribeiros), escoamento de águas da chuva, esgotos, etc. Técnicas: teóricas: analíticas ou numéricas (computacionais) experimentais (modelos à escala) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (3 of 15)  Características gerais Aplicações e técnicas Ondas superficiais Classificação do escoamento Aplicações e técnicas Escoamento em canais abertos (ou superfície livre) O escoamento de um fluido ao longo de um canal ou conduta parcialmente cheia. Existe uma superfície livre entre o fluido (água, em geral) em movimento e o fluido acima (ar, atmosfera, por exemplo). O escoamento realiza-se por ação das forças gravíticas (peso). Aplicações canais de irrigação ou drenagem linhas de água (rios, ribeiros), escoamento de águas da chuva, esgotos, etc. Técnicas: teóricas: analíticas ou numéricas (computacionais) experimentais (modelos à escala) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (3 of 15)  Características gerais Aplicações e técnicas Ondas superficiais Classificação do escoamento Aplicações e técnicas Escoamento em canais abertos (ou superfície livre) O escoamento de um fluido ao longo de um canal ou conduta parcialmente cheia. Existe uma superfície livre entre o fluido (água, em geral) em movimento e o fluido acima (ar, atmosfera, por exemplo). O escoamento realiza-se por ação das forças gravíticas (peso). Aplicações canais de irrigação ou drenagem linhas de água (rios, ribeiros), escoamento de águas da chuva, esgotos, etc. Técnicas: teóricas: analíticas ou numéricas (computacionais) experimentais (modelos à escala) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (3 of 15)  Características gerais Aplicações e técnicas Ondas superficiais Classificação do escoamento Classificação do escoamento (1/3) Nos escoamentos em canais abertos, a existência de uma superfície livre permite uma classificação adicional do escoamento que não existia no escoamento em condutas. RVF rapidly varying flow (Escoamento rapidamente variado) UF uniform flow (Escoamento uniforme) GVF gradually varying flow (Escoamento gradualmente variado) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (4 of 15)  Características gerais Aplicações e técnicas Ondas superficiais Classificação do escoamento Classificação do escoamento (2/3) 3 Em função da variação da profundidade y ao 1 Em função da variação com o longo do canal tempo, t Escoamento uniforme, UF (dy/dx=0) Estacionário ou permanente Transitório 2 Em função do número de Reynolds, Re Laminar Re < 500 A profundidade é constante ao longo do canal. Transição 500 < Re < 12500 Escoamento não uniforme, (dy/dx6=0) Turbulento Re > 12500 escoamento rapidamente variado, RVF Número de Reynolds ρVRh Re = (1) µ A profundidade muda consideravelmente numa distância curta dy /dx ≈ 1 1 A Rh = D = (Raio hidráulico) escoamento gradualmente variado, GVF 4 h P V (velocidade média do fluido) A profundidade muda lentamente ao longo do canal dy /dx  1 Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (5 of 15)  Características gerais Aplicações e técnicas Ondas superficiais Classificação do escoamento Classificação do escoamento (3/3) Escoamentos em canais abertos envolvem uma superfície livre que pode deformar-se para formar ondas. As ondas movimentam-se ao longo da superfície a velocidades que dependem do seu tamanho (altura ou amplitude e comprimento) e das propriedades do canal. O carácter do escoamento depende da diferença entre a velocidade do fluido e a Fr < 1: escoamento subcrítico velocidade da onda relativamente à velocidade Fr = 1: escoamento crítico do fluido. Fr > 1: escoamento supercrítico O número de Froude (2) é o parâmetro adimensional que descreve este comportamento Número de Froude V Fr = √ (2) gy Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (6 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Equações da continuidade e da quantidade de movimento Uma onda de pequena altura δy é produzida quando a parede se move com velocidade δV Um observador estacionário vê a onda a movimentar-se com velocidade c. Não há movimento do fluido diante da onda. O escoamento é transitório. Para um observador que se move ao longo do canal com velocidade c, o escoamento é estacionário. Para o observador em movimento a velocidade do ~ =-c~i (direita), e fluido é V ~ =(-c+ δV ) ~i (esquerda). V NOTA: no texto grandeza vetorial é representada com seta (.~..) em substituição de negrito ou acento circunflexo na figura. Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (7 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Aplicando as equações da continuidade e da quantidade de movimento Para escoamento uniforme e unidimensional a equação da continuidade (conservação R ~ ·~ de massa, ρ S V n dS = 0): Z Z ρ V ~ ·~ n dS + ρ ~ ·~ V n dS = 0 |{z} 1 |{z} 2 (+) (−) ρ(−c + δV )(y + δy )b − ρ(−cyb) = 0 | {z } | {z } ṁ(1) ṁ(2) (y + δy )δV c= δy No limite para pequenas amplitudes de onda δy  y δV c=y (3) δy Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (8 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Aplicando as equações da continuidade e da quantidade de movimento De forma análoga, a equação da conservação da quantidade de movimento linear R P ~V (ρ S V ~ ·~ n dS = FExt ) : y y + δy ρ(−c + δV )(y + δy )b(c − δv ) − ρcyb c = ρg yb − ρg (y + δy )b | {z } | {z } | {z2} |{z} | {z2 } | {z } ṁ (1) ṁ (2) área (2) área (1) | {z } pressão (2) | pressão (1) {z } fluxo de quant. de movimento somatório das forças exteriores (4) Considerando onda de pequena amplitude (δy )2  y δy δV g = (5) δy c Combinando (3) e (5): √ c= gy (6) A velocidade da onda é proporcional à raiz quadrada da profundidade (y ) e independente da amplitude da onda (δy ) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (9 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Aplicando as equações da continuidade e da quantidade de movimento De forma análoga, a equação da conservação da quantidade de movimento linear R P ~V (ρ S V ~ ·~ n dS = FExt ) : y y + δy ρ(−c + δV )(y + δy )b(c − δv ) − ρcyb c = ρg yb − ρg (y + δy )b | {z } | {z } | {z2} |{z} | {z2 } | {z } ṁ (1) ṁ (2) área (2) área (1) | {z } pressão (2) | pressão (1) {z } fluxo de quant. de movimento somatório das forças exteriores (4) Considerando onda de pequena amplitude (δy )2  y δy δV g = (5) δy c Combinando (3) e (5): √ c= gy (6) A velocidade da onda é proporcional à raiz quadrada da profundidade (y ) e independente da amplitude da onda (δy ) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (9 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Aplicando as equações da continuidade e da energia A equação de Bernoulli: V2 + y = constante (7) 2g diferenciando: Movendo-se com a velocidade da onda (c), um observador vê o escoamento como V δV + δy = 0 (8) estacionário. g diferenciando a equação da continuidade (Vy = cte): y δV + V δy = 0 (9) Combinando (8) e (9), e porque V = c (observador com velocidade c): √ c= gy (10) resultado idêntico ao de (6), obtido através do uso da conservação de massa e conservação de quantidade de movimento linear. Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (10 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Outras aproximações (1/2) 1 Para ondas de tamanho finito e solitárias (em que a condição δy /y  1 não seja válida) a velocidade da onda δy 1/2   √ c≈ gy 1+ (11) y excede aquela da (6) 2 Se considerarmos ondas contínuas, com vários comprimentos (λ) e amplitudes (δy ) de onda,   1/2 gλ 2πy c= tanh (12) 2π λ Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (11 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Outras aproximações (1/2) 1 Para ondas de tamanho finito e solitárias (em que a condição δy /y  1 não seja válida) a velocidade da onda δy 1/2   √ c≈ gy 1+ (11) y excede aquela da (6) 2 Se considerarmos ondas contínuas, com vários comprimentos (λ) e amplitudes (δy ) de onda,   1/2 gλ 2πy c= tanh (12) 2π λ Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (11 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Outras aproximações (2/2) 3 Se a profundidade (y ) é muito maior que o comprimento da onda λ (y  λ), a velocidade da onda (c) é independente de y r gλ c= (13) 2π Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (12 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Efeitos do número de Froude (1/2) 1 Se a camada de fluido é estacionária, a onda move-se para a direita com velocidade c em relação ao fluido e ao observador estacionário. 2 Se o fluido se move para a esquerda com velocidade V = c, a onda permanece estacionária, mas se V>c a onda será levada para a esquerda com velocidade V − c. 3 Se o fluido se move para a esquerda com velocidade V < c, a onda move-se para a direita com velocidade c − V em relação ao observador fixo. Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (13 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Efeitos do número de Froude (2/2) V V Fr = √ = gy c 1 Se a corrente se move de forma rápida, a velocidade do escoamento é maior que a velocidade da onda (V > c), não há comunicação a montante com o que acontece a jusante. V > c ou Fr > 1 =⇒ escoamento supercrítico 2 Se a corrente e o fluido se movem à mesma velocidade V = c ou Fr = 1 =⇒ escoamento crítico 3 Se a corrente é estacionária ou se move de forma lenta (V < c), a onda pode mover-se para montante do escoamento V < c ou Fr < 1 =⇒ escoamento subcrítico Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (14 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Efeitos do número de Froude (2/2) V V Fr = √ = gy c 1 Se a corrente se move de forma rápida, a velocidade do escoamento é maior que a velocidade da onda (V > c), não há comunicação a montante com o que acontece a jusante. V > c ou Fr > 1 =⇒ escoamento supercrítico 2 Se a corrente e o fluido se movem à mesma velocidade V = c ou Fr = 1 =⇒ escoamento crítico 3 Se a corrente é estacionária ou se move de forma lenta (V < c), a onda pode mover-se para montante do escoamento V < c ou Fr < 1 =⇒ escoamento subcrítico Ondas de superfície (vídeo) Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (14 of 15)  Características gerais Velocidade da onda Ondas superficiais Efeitos do número de Froude Exercício Exemplo I Numa localização ao longo dum rio, a velocidade, V , do escoamento é função da profundidade, y , do rio. Uma aproximação razoável para estes resultados experimentais é: V = 5y 2/3 Para que intervalo da profundidade da água será uma onda de superfície capaz de viajar a montante? Laura Campo Deaño (2022-2023) Escoamentos em canais abertos ou com superfície livre (15 of 15)