Statistics 2 Past Paper 2021-2022 - University of Qسنطينة 2 - PDF

‫© جامعت لسىطَىت ‪2‬‬ ‫‪ 2022–-2021‬انسذاسٌ ‪2‬‬ ‫إحصاء ‪2‬‬ ‫– الدرس ‪– 6‬‬ ‫الفصل الثالث‪:‬‬...

‫© جامعت لسىطَىت ‪2‬‬ ‫‪ 2022–-2021‬انسذاسٌ ‪2‬‬ ‫إحصاء ‪2‬‬ ‫– الدرس ‪– 6‬‬ ‫الفصل الثالث‪:‬‬ ‫‪.2‬المتغير العشوائي المستمر‬ ‫أهداف الدرس‬ ‫كَفَت إٍجاد تابع انتوسٍع وتمثَهً بَاوَا‬ ‫انتطزق نهخصائص انعذدٍت نهمتغَز انعشوائٌ انمستمز‬ ‫المتغير العشوائي المستمر‬ ‫المتغٌر العشوائً المتصل ( مستمر) هو متغٌر عشوائً ٌمكنه أن ٌأخذ عددا ال نهائٌا من القٌم الممكنة داخل مجال‬ ‫معلوم محصور ما بٌن قٌمتٌن‪ ،‬قٌمة دنٌا و قٌمة عظمى كأن نقول‪ 𝑋𝜖Ω𝑋=[a-b] :‬مثل طول شخص ما ‪ ،‬الدخل الشهري‬ ‫ألسرة ما‪.....‬إلخ‬ ‫𝑋‪ :Ω‬مدى المتغير العشوائي ‪ :‬هو القٌم التً ٌمكن أن ٌأخذها المتغٌر العشوائً𝑋‬ ‫ٌسمى قانون التوزٌع اإلحتمالً فً هذه الحالة بتابع الكثافة اإلحتمالٌة )‪( f(X‬دالة الكثافة اإلحتمالٌة ) حٌث من خالل‬ ‫هذا التابع ٌمكن حساب إحتمال مجال معٌن لقٌم المتغٌر العشوائً‪ ،‬حٌث ٌمثل إحتمال مجال معٌن لقٌم المتغٌر العشوائً الدالة‬ ‫األصلٌة لتابع الكثافة فً تلك المجال‪ ،‬وٌوضح ذلك كماٌلً‪:‬‬ ‫(‬ ‫) ( ∫ )‬ ‫وهندسٌا هذا اإلحتم ال ٌمثل المساحة المحصورة بٌن التمثٌل البٌانً لتابع الكثافة ومحور الفواصل فً المجال المعنً لقٌم‬ ‫المتغٌر العشوائً‪ ،‬وبالتالً كلما صغر المجال صغر اإلحتمال‪ ،‬ألن المساحة تكون أقل‪ ،‬أما إحتمال قٌمة معٌنة لوحدها‬ ‫فإحتمالها هو صفر دوما‪.‬‬ ‫والذي تقابله دوما الصورة الرٌاضٌة التالٌة‪:‬‬ ‫‪ -‬تابع الكثافة (دالة الكثافة)‪ :‬وٌعرف تابع الكثافة بالرمز ) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫{‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫وحتى ٌكون التابع المعطى تابع كثافة (دالة الكثافة) ٌجب أن ٌحقق الشرطٌن التالٌٌن‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪ -‬انذانت دائما موجبت‬ ‫) ( ∫‬ ‫‪ -‬انتكامم عهي انذانت مه أول انمذى إني آخزي ٍساوً ‪:1‬‬ ‫مالحظت‪:‬‬ ‫) ( ∫‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) ( ∫ = )‪P (x = 0‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫انتكامم بَه ‪ a‬و وفسً ٍساوً ‪: 0‬‬ ‫صفحة ‪ 1‬من ‪3‬‬ ‫©أماوٌ عشوسة‬ ‫© جامعت لسىطَىت ‪2‬‬ ‫‪ 2022–-2021‬انسذاسٌ ‪2‬‬ ‫إحصاء ‪2‬‬ ‫وبما أن اإلحتمال عىذ لَمت معَىت ٍساوً انصفز فإن ‪:‬‬ ‫(‪P‬‬ ‫(‬ ‫(‪) = P‬‬ ‫(‪) = P‬‬ ‫(‪) = P‬‬ ‫)‬ ‫مثال‪ :‬نتكه انذانت انزٍاضَت انتانَت‪:‬‬ ‫) (‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫{‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪.3‬أحسب )‬ ‫‪.2‬أحسب إحتمال أن ٌأخذ ‪ X‬القٌمة ‪.1‬‬ ‫‪.1‬أثبت أن ) ( دالة كثافة إحتمالٌة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪.1‬إلثبات أن ) ( دالة كثافة إحتمالٌة‪ٌ :‬جب التأكد من صحة الشرطان كماٌلً‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) ( ‪،‬‬ ‫) (‬ ‫محمك‬ ‫‪.2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫] ) ( [‬ ‫] ) ( [‬ ‫∫‬ ‫محمك‬ ‫وبالتالً فان) ( دالة كثافة احتمالٌة‬ ‫ألن ‪ x‬متغٌر عشوائً مستمر والنقطة ال تمتلك مساحة‬ ‫‪P (x = 1) = 0‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫(‬ ‫‪.3‬حساب )‬ ‫≤‪P(2‬‬ ‫)‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫( [‬ ‫] )‬ ‫] ) ( [‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪ -‬التمثيل البياني لتابع الكثافة اإلحتمالية‪ :‬التمثيل البياني‬ ‫لتابع الكثافة اإلحتمالية يكون عمى شكل منحنى بياني‬ ‫متصل وليس عمى شكل أعمدة كما في المتغير العشوائي‬ ‫المتقطع والشكل التالي يبين كيفية تمثيمه كما يمي‪:‬‬ ‫‪ -‬تابع التوزيع لمتغير عشوائي مستمر‪ :‬وهي دالة عددية نرمز لها بالرمز )‪ ،F(x‬وهي معرفة كاالتي‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) ( ∫‬ ‫{‬ ‫مثال‪ :‬مه خالل انمثال انسابك وانذً ٍعطٌ تابع انكثافت كما ٍهٌ‪:‬‬ ‫) (‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫{‬ ‫نجد تابع التوزٌع )‪ F(x‬كما ٌلً‪:‬‬ ‫) (‬ ‫{‬ ‫صفحة ‪ 2‬من ‪3‬‬ ‫©أماوٌ عشوسة‬ ‫© جامعت لسىطَىت ‪2‬‬ ‫‪ 2022–-2021‬انسذاسٌ ‪2‬‬ ‫إحصاء ‪2‬‬ ‫‪ -‬التمثيل التمثيل البياني لتابع التوزيع االحتمالي للمتغير المستمر‪:‬‬ ‫يأخذ تابع التوزيع اإلحتمالي شكل منحنى هو اآلخر عند تمثيمه‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬من خالل المثال السابق يمكن تمثيل تابع التوزيع اإلحتمالي‬ ‫كما هو مبين في الشكل التالي‪:‬‬ ‫الخصاص االساسية للتوزيع االحتمالي المستمر‪:‬‬ ‫‪ -‬التوقع الرياضي‪ :‬فٌ حانت متغَز عشوائٌ مستمز فان انتولع انزٍاضٌ‪ ،‬او ما ٍعزف بمتوسط انتوسٍع و انوسط‬ ‫انحسابٌ ٍحسب بانعاللت انتانَت‪:‬‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫) (‬ ‫‪ -‬التباين‪ٍ :‬حسب انتباٍه بانعاللت انتانَت‪:‬‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫) (‬ ‫]) ( [‬ ‫) ( √ 𝛿‬ ‫‪ -‬االوحزاف انمعَارً‪ :‬االوحزاف انمعَارً عبارة عه‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬مه خالل انمثال انسابك وحسب األمم انزٍاضٌ وانتباٍه واإلوحزاف انمعَارً كما ٍهٌ‬ ‫األمل الرياضي‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪ -‬التباين‪:‬‬ ‫) (‬ ‫∫‬ ‫) (‬ ‫]) ( [‬ ‫∫‬ ‫] [‬ ‫∫‬ ‫] [‬ ‫[=‬ ‫]‬ ‫] [‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫𝛿‬ ‫) ( √‬ ‫√‬ ‫االنحراف المعياري‬ ‫‪-‬‬ ‫صفحة ‪ 3‬من ‪3‬‬ ‫©أماوٌ عشوسة‬