AP - Fractions - 2 PDF

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Accompagnement personnalisé: Fractions: Comparaison, calculs Seconde Simplifier une fraction Comparer des fractions Réduire au même dénominateur Fractions Somme, différence de fractions Produit de fractions Quotient de fractions Diviser par un nombre non nul re- vient à multiplier par son inverse 1 Réduire des fractions au même dénominateur Outil 1 a k×a Si b 6= 0 et k 6= 0 alors =. b k×b Outil 2 Décomposer un nombre entier en un produit de facteurs entiers. Exemple 5 7 Réduire au même dénominateur les fractions et. 12 15 Étape 1 : On applique l’outil 2 aux deux dénominateurs : 12 = 3 × 4 et 15 = 3 × 5 5 5 5×5 25 7 7 7×4 28 Étape 2 : On utilise l’outil 1 : = = = et = = = 12 3×4 3×4×5 60 15 3×5 3×5×4 60 À vous de jouer 23 9 Réduire au même dénominateur les fractions et. 35 14 Étape 1 : On applique l’outil 2 aux deux dénominateurs :............................................................. 23 9 Étape 2 : On utilise l’outil 1 : =.................................... et =.................................... 35 14 Réduire des fractions au même dénominateur permet de : 1.1 Comparer des fractions Dans ce paragraphe, on ne considère que des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. Outil 3 Si le numératuer est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1. Si le numératuer est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1. Outil 4 Des fractions de même dénominateur se rangent dans le même ordre que leurs numérateurs. Outil 5 Des fractions de même numérateur se rangent dans l’ordre contraire de leurs dénominateurs. Dans le cas où aucun de ces trois outils ne permet de comparer les fractions, on utilise les outils 1 et 2 pour réduire les fractions au même dénominateur puis l’outil 4 pour conclure. Exemple 2 7 Comparer les fractions et. 12 15 2 10 7 28 Étape 1 : On utilise les outils 1 et 2 : = et = 12 60 15 60 10 28 2 7 Étape 2 : On utilise l’ outil 4 pour conclure : 10 < 28 donc < d’où <. 60 60 12 15 À vous de jouer 23 9 Comparer les fractions et. 35 14 23 9 Étape 1 : On utilise les outils 1 et 2 : =................................ et =................................ 35 14 Étape 2 : On utilise l’ outil 4 pour conclure :........................................................................  Accompagnement personnalisé: Fractions: Comparaison, calculs Seconde 1.2 Effectuer la somme ou la différence de deux fractions Outil 6 a c a+c a c a−c Si b 6= 0 alors + = et − =. b b b b b b Exemple 2 7 2 7 Calculer S = + et D = −. 12 15 12 15 2 10 7 28 Étape 1 : On utilise les outils 1 et 2 : = et = 12 60 15 60 2 7 10 28 38 2 7 10 28 −18 Étape 2 : On utilise l’ outil 6 : S = + = + = et D = − = − = 12 15 60 60 60 12 15 60 60 60 Étape 3 : On utilise l’outil 1 pour simplifier (c’est-à-dire pour écrire le résultat sous forme d’une fraction irréductible) : 38 2 × 19 19 −18 6 × (−3) −3 S= = = et D = = = 60 2 × 30 30 60 6 × 10 10 À vous de jouer 23 9 23 9 Calculer S = + et D = −. 35 14 35 14 23 9 Étape 1 : On utilise les outils 1 et 2 : =.................................. et =.................................. 35 14 23 9 23 9 Étape 2 : On utilise l’ outil 6 : S = + =........................... et D = − =........................... 35 14 35 14 Étape 3 : On utilise l’outil 1 pour simplifier (c’est-à-dire pour écrire le résultat sous forme d’une fraction irréductible) : 23 9 23 9 S= + =........................................... et D = − =........................................... 35 14 35 14 2 Produit de deux fractions Outil 7 a c a×c Si b 6= 0 et d 6= 0 alors × =. b d b×d Penser à simplifier ce qui peut l’être (à l’aide de l’outil 1) avant d’effectuer les multiplications. Exemples 3 6 3×6 18 7 4 7×4 7×2×2 2 × = = × = = = 5 11 5 × 11 55 2 21 2 × 21 2×7×3 3 À vous de jouer 2 5 6 14 × =................................................. × =............................................... 3 7 21 15 15 4 5 × =................................................ 6× =................................................. 8 9 18 3 Quotient de deux fractions Outil 8 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. a c a d Autrement dit, si b 6= 0, c 6= 0 et d 6= 0 alors ÷ = ×. b d b c Exemples 1 9 1 2 1×2 2 5 3 5 4 5×4 5×2×2 10 ÷ = × = = ÷ = × = = = 3 2 3 9 3×9 27 2 4 2 3 2×3 2×3 3 À vous de jouer 2 5 3 9 ÷ =................................................. ÷ =................................................ 3 7 8 16  Accompagnement personnalisé: Fractions: Comparaison, calculs Seconde 4 Exercices Exercice 4 Seconde/Calcul-numérique/exo-040/texte 1. Écrire chacun des nombres suivants sous forme d’une 4.1 Calculs fraction irréductible. 1 1 3 Exercice 1 Seconde/Calcul-numérique/exo-002/texte + − Å 1 5 ã Å 7 ã Å 1 5 ã Calculer et exprimer chacun des nombres suivants sous la A= 3 2 7 B= + × 3+ ÷ − 2 4 1 2 3 4 2 6 forme la plus simple possible : − + 3 7 6 Niveau 1 2. Retrouver le nombre caché sous le symbole ♠. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 2 4 1 4 2 = + + + + + + A= + B= + C= − D= × 4 10 20 30 40 50 60 ♠ 3 3 2 3 7 5 7 3 1 1 3. Quels termes faut-il enlever de la somme S = + + 3 2 Å ã2 2 3 2 7 2 4 E= × F= ×5 G= ÷ H =4÷ 1 1 1 1 7 3 3 7 5 5 + + + pour que la somme des termes restants 6 8 10 12 Niveau 2 soit égale à 1 ? 4. Retrouver les signes cachés ainsi que les parenthèses Å 1 1 ã 1 2 4 35 72 manquantes dans l’égalité suivante : I= − ×3 J= + × K= × 4 6 3 3 5 56 45 16 3 2 16 ♣ ♥ = 5 7 7 7 4 2 10 − 2− Å ã2 2 1 Exercice 5 Seconde/Calcul-numérique/exo-042/texte L= 3 7 M= 7 N= +5× Écrire sous forme d’une fraction irréductible : 4 2 1 5 3 4 × + 3 7 3 7 1 3 A= 5 2 Ö è 1 −14 +(−3)2 1− 3 3 O= P= Q= 2− 1 1 1 10 + 2 × 9 4 2− − 3− 1 2 3 5 2− 3 Exercice 2 Seconde/Calcul-numérique/exo-041/texte Exercice 6 Seconde/Calcul-numérique/exo-001/texte 1. Écrire chacun des nombres suivants sous forme d’une 3 1 3 On considère A = − ÷ 2 −. fraction irréductible : 2 3 5 1 4 9 12 1 1. Calculer A et donner le résultat sous forme de fraction A= + F = × I= irréductible. 3 3 8 27 1 1 1 1 + B= − 2 3 2. Où faut-il placer des parenthèses pour que : 4 2 −1 5 −3 G= ÷ J= 1 29 5 1 1 3 6 2 8 a) A = − ? b) A = ? c) A = ? C= + − 60 15 6 4 3 3 7 9 7 4 D= − Exercice 7 Seconde/Calcul-numérique/exo-036/texte 10 100 H= 5 On donne : 2 13 Å ã3 7 6 15 1 + E= × 11 49 3 6 5 5− 3 27 8 13 16 L= × × × × , M= 3 et N = 2. Écrire plus simplement chacun des nombres suivants : 6 3 5 7 11 5 1 Å 2 ã2 −6 4 2 1 1 + −1 K= + − Q= − Prouver que L = M = N. 12 4 3 35 10 14 126 90 2 6 26 Å 1 ã L= + − R=2 3+ 15 120 60 4 4.2 Comparaisons 20 3 4 1 M= + × S= 28 14 9 3 1 Exercice 8 Seconde/Calcul-numérique/exo-038/texte 15 26 28 + N= × × Å2 6 ã 1. Sans effectuer le moindre calcul et sans calculatrice, 39 25 42 1 7 2 19 comparer les fractions données puis justifier la réponse. 1+ T = − ÷ 3 8 5 15 16 15 18 18 59 64 P = −60 14 −22 44 a) et ; b) et ; c) et ; 1 17 17 15 13 61 63 −2 U= × × × 4 7 4 16 −55 2. Sans calculatrice, comparer les fractions suivantes : 2 19 17 6 6 7 Exercice 3 Seconde/Calcul-numérique/exo-039/texte a) et ; b) et ; c) et. 3 30 15 5 7 8 Calculer astucieusement : 5 2 3 7 2 5 50 1. a = × × × ; 3. c = + − ; Exercice 9 Seconde/Calcul-numérique/exo-043/texte 7 9 ã5 4 24 2 60 Ranger dans l’ordre croissant les fractions suivantes : 2 3 Å + × (23 − 8) 5 9 3 4 + 2. b = ; 4. d = 6 12. 296 297 301 297 299 297 5 11 3 10 321 201 321 195 321 227 × + 7 6 4 12  Accompagnement personnalisé: Fractions: Comparaison, calculs Seconde Exercice 10 Seconde/Calcul-numérique/exo-037/texte Exercice 16 Seconde/Calcul-numérique/exo-032/texte 17 19 1. Établir que pour tout entier naturel non nul n : 1. Calculer −. 14 15 1 1 1 2. Ranger dans l’ordre croissant les fractions suivantes : − = n n+1 n(n + 1) 19 17 17 19 17 9 2. Calculer la somme S suivante : 15 20 15 20 14 10 1 1 1 1 S= + + +...+ 1×2 2×3 3×4 999 × 1000 4.3 Exercices portant sur d’autres thèmes Exercice 17 Seconde/Calcul-numérique/exo-047/texte Exercice 11 Seconde/Calcul-numérique/exo-044/texte 1. Établir que pour tout entier naturel non nul n : Dix citrons coûtent autant que huit oranges, seize oranges 1 n−1 n+1 autant que douze pamplemousses, quatre pamplemousses 1− 2 = × n n n autant qu’un melon et six melons autant que quarante-huit bananes. 2. Calculer le produit P suivant : Pour le prix de cinq citrons, combien peut-on avoir de ba- 1 1 1 1 Å ã Å ã Å ã Å ã P = 1− 2 × 1− 2 × 1− 2 ×... × 1− 2 nanes ? 2 3 4 15 Exercice 12 Seconde/Calcul-numérique/exo-045/texte Exercice 18 Seconde/Calcul-numérique/exo-046/texte Un paquet de 500 feuilles de papier a pour épaisseur 7 cm. Observer, vérifier, généraliser et prouver : On prend une feuille et on effectue des pliages successifs. 32 + 1 72 + 1 12 + 22 = 32 + 42 = Une table est bancale : l’un de ses pieds a environ 1,8 cm de 2 2 52 + 1 92 + 1 moins que les autres. Combien de fois faut-il plier la feuille 2 2 +3 =2 2 4 +5 =2 pour fabriquer une cale qui convienne ? 2 2 Exercice 19 Seconde/Calcul-numérique/exo-035/texte Exercice 13 Seconde/Calcul-numérique/exo-048/texte On considère un triangle ABC rectangle en A tel que Dans un village, vivent 800 femmes majeures. 4 % d’entre 1 2 AB = et AC =. elles ont un seul enfant. Sur les 96 % restants, trois quarts 2 3 Calculer la longueur de l’hypoténuse [BC] puis le périmètre en ont exactement deux et l’autre quart n’en a aucun. et l’aire du triangle ABC. Combien y a-t-il d’enfants dans le village ? Exercice 20 Seconde/Calcul-numérique/exo-016/texte Exercice 14 Seconde/Calcul-numérique/exo-049/texte On considère un trapèze BCED de petite base [BD] et de 2x − 3 Soit f la fonction définie par f (x) = et C sa courbe grande base [EC] tel que BC = 1. x2 + 1 représentativeÅdans un repère du Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et on donne Å plan. ã 11 3 −2 −28 4 −7 ã Les points A ; et B ; appartiennent-ils AC = et AD =. 3 9 7 5 6 7 Faire une figure puis calculer AE. àC? Exercice 15 Seconde/Calcul-algébrique/exo-048/texte Exercice 21 Seconde/Calcul-numérique/exo-009/texte 9530883 23009587 a et b désignant deux réels distincts non opposés, simplifier : On considère les nombres c = et d =. 6739352 16270235 a b a2 + b2 1. Calculer c et d à l’aide de la calculatrice. A= − − a − b a + b (a − b)(a + b) Les résultats obtenus permettent-ils de confirmer ou d’infirmer l’affirmation « c=d » ? 2. L’égalité c = d est-elle vraie ?