Analog and Digital Signals & Systems (Unit 1) PDF

‫مدرس المادة‪ :‬د‪ /‬أنور عبدالرحمن السقاف‬  ‫)‪(Unit 1. Introduction to signals and systems‬‬ ‫الوحدة األولى ‪ :‬مقدمة في اإلشارات واألنظمة‬ ‫مفاهيم اإلشارات والنظم تظهر في مجاالت واسعة ومتنوعة‪ ،‬واألفكار والتقنيات والمعادالت الرياضي...

‫مدرس المادة‪ :‬د‪ /‬أنور عبدالرحمن السقاف‬  ‫)‪(Unit 1. Introduction to signals and systems‬‬ ‫الوحدة األولى ‪ :‬مقدمة في اإلشارات واألنظمة‬ ‫مفاهيم اإلشارات والنظم تظهر في مجاالت واسعة ومتنوعة‪ ،‬واألفكار والتقنيات والمعادالت الرياضية المرتبطة بهذه المفاهيم تلعب دورا مهما في مثل هذه المجاالت‬ ‫المتنوعة من العلوم والتقنيات‪.‬‬ ‫فعلى سبيل المثال نجدها في االتصاالت‪ ،‬ومالحة الطيران والفضاء‪ ،‬وتصميم الدوائر اإللكترونية‪ ،‬واألجهزة الميكانيكية‪ ،‬وهندسة الطب الحيوي‪ ،‬وأنظمة التوزيع‬ ‫وتوليد الطاقة‪ ،‬وعمليات التحكم الكيميائية‪ ،‬ومعالجة الصوتيات‪ ،‬والروبوتات‪ ،‬والتنبؤ أو التكهن بمستقبل األسواق المالية واالقتصادية واالجتماعية‪ ،‬وبعض التطبيقات‬ ‫الهامة في مجاالت الذكاء االصطناعي‪.‬‬ ‫❑ تعريف اإلشارة )‪:(Signal Definition‬‬ ‫تعرف بأنها أي كمية مادية أو افتراضية تختلف باختالف الوقت أو المكان أو أي متغير أو متغيرات مستقلة أخرى‪ ،‬يتم تمثيل المتغير المستقل بالمحور األفقي‬ ‫َّ‬ ‫)المحور السيني )‪ ، ((X‬والمتغير التابع يمثله المحور الرأسي )المحور الصادي(‪.()Y‬‬ ‫ ويمكن تمثيل اإلشارة في المجال الزمني أو مجال التردد‪.‬‬ ‫ بعض األمثلة الشائعة لإلشارة هي الكالم البشري‪ ،‬والتيار الكهربائي‪ ،‬والجهد الكهربائي‪ ،‬وما إلى ذلك‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫(‪ )1.1‬خصائص اإلشارة (‪)Signal properties‬‬ ‫يتم تحديد اإلشارة من خالل خصائصها وتعتمد هذه الخصائص على طبيعة اإلشارة‪ ،‬ومن هذه الخصائص‪:‬‬ ‫‪.A‬السعة )‪:(Amplitude‬‬ ‫هي قوة أو ارتفاع شكل موجة اإلشارة‪ ،‬وبصريا هو ارتفاع شكل الموجة من خط الوسط أو المحور السيني‪ ،‬ويختلف اتساع اإلشارة بمرور الوقت ويقاس المطال‬ ‫بالفولت(‪ )V‬او االمبير (‪ )A‬كما في الشكل (‪.)1.1‬‬ ‫الشكل (‪ )1.1‬إشارتين باتساعين مختلفين‬ ‫‪2‬‬  ‫‪.B‬التردد )‪(Frequency‬‬ ‫هو معدل تكرار شكل موجة اإلشارة في الثانية‪ ،‬وتكرر اإلشارات الدورية دورتها بعد مرور بعض الوقت‪ ،‬ووحدة التردد )‪)f‬هي هرتز وواحد هرتز يساوي دورة واحدة‬ ‫في الثانية‪ ،‬بحيث يقاس على طول المحور السيني لشكل الموجة ويوضح الشكل (‪ )1.2‬اشارتين بترددين مختلفين‪.‬ويعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝑻=𝒇‬ ‫)𝒛𝑯( ‪,‬‬ ‫وعلى سبيل المثال تنحصر الترددات التي تسمعها االذن البشرية بين )‪ ) 20Hz – 20 KHz‬ويتراوح مجال التردد الصوتي لإلنسان بين )‪(20Hz – 3.4 KHz‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الشكل(‪ )1.2‬امثلة إلشارتين بترددين مختلفين‬  ‫‪.C‬زمن الدورة (‪: )Period‬‬ ‫هو الوقت الذي تكتمل فيه دورة كاملة واحدة‪ ،‬ووحدة الفترة الزمنية هي الثانية بحيث‬ ‫أن الفترة الزمنية يُشار إليها بالحرف(‪ )T‬وهي عكس التردد كما هو موضح‬ ‫في الشكل (‪ )1.3a‬السابق‪.‬ويعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫=𝑻‬ ‫𝒄𝒆𝑺 ‪,‬‬ ‫𝒇‬ ‫‪.D‬الطور (‪:)Phase‬‬ ‫الشكل(‪ )1.3a‬زمن الدورة (‪)Period‬‬ ‫ى واحد وبالتالي‬ ‫طور الموجة خاصية تعبر عن توافق أو عدم توافق موجات ذات طول موج ّ‬ ‫تردد واحد حيث تحدد اإلزاحة االبتدائية للموجه عن الزمن ‪ t = 0.‬ويمكن اعتبار طور الموجة مثاال للحركة‬ ‫التوافقية البسيطة ويقاس الطور بالدرجات كل ‪ 360‬درجة تعادل )‪ (2π‬التي تقاس بوحدة الراديان ويوضح الشكل (‪ )1.3b‬ثالثة موجات بأطوار مختلفة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الشكل (‪ )1.3b‬ثالثة موجات بأطوار مختلفة‬  ‫‪.E‬الطول الموجي )‪: (Wave length‬‬ ‫هو طول الموجة الكاملة لإلشارة (‪ ، )λ‬هو عبارة عن المسافة بين قمتين متتاليتين للموجة الجيبية سواء موجبتين أو سالبتين‪ ،‬وتتحركان بسرعة ثابتة وفى اتجاه واحد‪،‬‬ ‫ويقاس طول الموجة بالمتر‪ ،‬ويمكن تعريف طول الموجة بوجه عام على أنه المسافة بين أي نقطتين متتاليتين على الموجة ومتفقتين في زاوية الوجه لهما نفس الطور‬ ‫والشكل )‪ (1.4‬يبين شكل الموجة الجيبية موضح عليها طول الموجة ويعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝑪‬ ‫=𝝀‬ ‫𝒎 ‪,‬‬ ‫𝒄𝒆𝒔‪𝒘𝒉𝒆𝒓𝒆 𝑪 = 𝟑𝒙𝟏𝟎𝟖 𝒎Τ‬‬ ‫𝒇‬ ‫الشكل (‪ )1.4‬الطول الموجي )‪(Wave length‬‬ ‫‪3‬‬  ‫(‪ )2.1‬طرق تمثيل اإلشارة (‪)Signal representation methods‬‬ ‫هناك ثالث طرق لتمثيل اإلشارة وهي كالتالي‪:‬‬ ‫‪.A‬التمثيل الرياضي لإلشارة (‪)Functional Representation‬‬ ‫هو التعبير عن دالة باستخدام معادلة أو نموذج رياضي‪.‬كما نعلم‪ ،‬فإن عملية تفسير أي مشكلة في العالم الحقيقي في وظيفة مناسبة تسمى النمذجة الرياضية‪.‬ويعبر عن‬ ‫اإلشارة المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬بالرمز)‪ x(t‬حيث ان‪:‬‬ ‫✓ (‪ - )x‬المتغير المعتمد (‪)Depended variable‬‬ ‫✓ (‪ - )t‬المتغير المستقل (‪ )Independent variable‬والذي يرمز للزمن ويعتبر من األرقام الحقيقية‬ ‫ويرمز رياضيا لإلشارة المتقطعة بالزمن (‪ )Discrete Time Signal‬بالرمز]‪ x[n‬حيث ان‪:‬‬ ‫✓ (‪ - )x‬المتغير المعتمد (‪)Depended variable‬‬ ‫✓ (‪ - )n‬المتغير المستقل (‪ )Independent variable‬والذي يرمز للقيم المتقطعة وهو عدد صحيح‪.‬‬ ‫‪.B‬التمثيل البياني (‪)Graphical Representation‬‬ ‫التمثيل الرسومي هو شكل من أشكال عرض البيانات بشكل مرئي من خالل طرق مختلفة مثل الرسوم البيانية والمخططات‪.‬يساعد في فرز البيانات وتصورها وعرضها‬ ‫بطريقة واضحة من خالل أنواع مختلفة من الرسوم البيانية‪.‬‬ ‫‪.C‬التمثيل الجدولي (‪)Tabular Representation‬‬ ‫في التمثيل الجدولي للبيانات‪ ،‬يتم عرض مجموعة البيانات المحددة في صفوف وأعمدة‪.‬عندما يتم استخدام جدول لتمثيل كمية كبيرة من البيانات في شكل مرتب ومنظم‬ ‫التمثيل التسلسلي (‪)Sequence Representation‬‬ ‫في شكل تمثيل تسلسلي‪ ،‬يمكننا تمثيل إشارة الزمن المنفصل ]‪ x[n‬بالطريقة التالية‪x[n] = {-2, 3, 0, -1, 2, 3, 1 ↑ }.:‬‬ ‫هنا يتم استخدام السهم (↑) لإلشارة إلى المصطلح المقابل لـ ‪ n = 0.‬إذا كانت هناك حالة ال يحتوي فيها تمثيل التسلسل إلشارة زمنية منفصلة على أي سهم‪ ،‬فإن الحد‬ ‫األول من هذا التسلسل سوف يتوافق مع ن = ‪.0‬‬ ‫‪2‬‬  ‫(‪ )3.1‬تصنيف اإلشارات (‪)Classification of Signals‬‬ ‫يمكن تصنيف اإلشارات على نطاق واسع إلى أنواع مختلفة بنا ًء على معايير مختلفة‪.‬فيما يلي بعض التصنيفات الشائعة لإلشارات‪.‬‬ ‫التصنيف األول‪ :‬االشارة المستمرة زمنيا ً واالشارة المتقطعة زمنيا ً (‪)Continuous Time Signal and Discrete Time Signal‬‬ ‫‪.A‬اإلشارة المستمرة زمنيا ً ()‪)Continuous Time Signal (CTS‬‬ ‫هي اإلشارة المستمرة على كل من الزمن والقيمة أي ان لها قيمة في أي لحظة زمنية وعند كل لحظة زمنية تستطيع أن تأخذ أي قيمة في حقل األعداد الحقيقية كما هو‬ ‫موضح في الشكل (‪. )1.5a‬‬ ‫الشكل (‪ )1.5a‬االشارة المستمرة‬ ‫‪.B‬اإلشارة المتقطعة زمنيا ً ()‪)Discrete Time Signal (DTS‬‬ ‫هي اإلشارة التي يكون فيها الزمن (‪ )t‬متحوال متقطعا يأخذ قيما منفصلة يمكن ترقيمها في حقل األعداد الطبيعية أي اننا نعلم قيمة اإلشارة في اللحظات (‪ )tn‬بحيث يكون‬ ‫(‪ )n‬عدد صحيح‪.‬وفي هذه الحالة فإننا نستخدم التمثيل ]‪ x[n‬بدل من )‪ x(t‬للدالة على أن الزمن يأخذ قيما متقطعة كما هو موضح في الشكل (‪. )1.5b‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الشكل (‪ )1.5b‬االشارة المتقطعة‬  ‫التصنيف الثاني ‪ :‬اإلشارة التماثليةً واإلشارة الرقميةً (‪)Analog Signal and Digital Signal‬‬ ‫‪.A‬اإلشارة التماثليةً (‪)Analog Signal‬‬ ‫هي اإلشارة التي لها اتساع يمكن أن يأخذ أي قيمة متغيرة ضمن مدى مستمر أو قيمة ماالنهاية أو قيم غير محدودة ويوضح الشكل (‪ )1.6a‬و الشكل (‪ )1.6b‬أمثلة مختلفة‬ ‫لإلشارة التماثلية مثل اإلشارة الجيبية (‪.)Sinusoidal Signals‬‬ ‫الشكل (‪ )1.6b‬اشارة تماثلية مستمرة مع الزمن واتساعها متغير‬ ‫الشكل (‪ )1.6a‬اشارة تماثلية متقطعة مع الزمن واتساعها متغير‬ ‫‪.B‬اإلشارة الرقميةً (‪)Digital Signal‬‬ ‫هي اإلشارة التي يكون أتساعها قيم محدودة بين قيمتين مثل اإلشارات الرقمية في الحاسوب (الصفر والواحد) ويوضح الشكل (‪ )1.7a‬و الشكل (‪ )1.7b‬أمثلة مختلفة‬ ‫لإلشارة الرقمية‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الشكل (‪ )1.7b‬اشارة رقمية مستمرة مع الزمن واتساعها محدد بين قيمتن‬ ‫الشكل (‪ )1.7a‬اشارة رقمية متقطعة مع الزمن واتساعها محدد بين قيمتن‬  ‫التصنيف الثالث‪ :‬اإلشارة الحتمية و اإلشارة العشوائية (‪)Deterministic Signal and Random Signal‬‬ ‫‪.A‬اإلشارة الحتمية ( ‪)Deterministic Signal‬‬ ‫هي االشارة التي يمكن التنبؤ بقيمتها سواء كان بمقدارها و زمنها او السعة والطور في أي لحظة من الزمن‪.‬وهذه اإلشارات لها نمط منتظم‪.‬مثل الموجة الجيبية‪،‬‬ ‫واإلشارات األسية‪ ،‬والموجة المربعة‪ ،‬ومن األمثلة على اإلشارات الحتمية كما هو موضح في الشكل (‪ )1.8a‬مثل اإلشارة الجيبية 𝒕 𝒔𝒐𝒄 = )𝒕(𝒙‪.‬‬ ‫الشكل (‪ )1.8a‬االشارة الحتمية‬ ‫‪.B‬اإلشارة العشوائية ( ‪)Random Signal‬‬ ‫تُعرف اإلشارة التي ال يوجد يقين بشأن حدوثها باإلشارة العشوائية‪.‬اإلشارة العشوائية ذات نمط غير منتظم وال يمكن تمثيلها بالمعادالت الرياضية‪.‬تعد الضوضاء الحرارية‬ ‫المتولدة في الدائرة الكهربائية مثاالً شائعًا لإلشارة العشوائية ‪.‬ويمكن أن تأخذ أي شكل كما في الشكل (‪. )1.8b‬‬ ‫الشكل (‪ )1.8b‬االشارة العشوائية‬ ‫‪2‬‬  ‫التصنيف الرابع‪ :‬اإلشارة الزوجية و اإلشارة الفردية ( ‪)Even Signal and Odd Signal‬‬ ‫‪.A‬اإلشارة الزوجية ( ‪)Even Signal‬‬ ‫هي تلك اإلشارة المتناظرة حول المحور الرأسي أو األصل الزمني‪.‬تُعرف أي ً‬ ‫ضا باسم اإلشارات المتماثلة و يقال أن اإلشارة زوجية عندما تستوفي الشرط التالي‪:‬‬ ‫❑ بالنسبة لإلشارات المستمرة هذا يعني أن قيم الزمن الموجب مساوية لقيم الزمن السالب كما في التعبير الرياضي التالي‪:‬‬ ‫)𝒕‪𝒙 𝒕 = 𝒙(−‬‬ ‫❑ و بالمثل لإلشارات المتقطعة نعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒏‪𝒙 𝒏 = 𝒙 −‬‬ ‫وهذا يعني أن قيم اإلشارة في الجزء الموجب (𝒏) يساوي الجزء السالب (𝒏‪ )−‬كما في الشكل (‪)1.9a‬‬ ‫الشكل (‪ )1.9a‬االشارة الزوجية‬ ‫‪.B‬اإلشارة الفردية ( ‪)Odd Signal‬‬ ‫تسمى اإلشارات غير المتماثلة حول المحور الرأسي بأنها إشارات فردية و يقال أن اإلشارة فردية كما هو موضح في الشكل (‪ )1.9b‬عندما تستوفي الشرط التالي‪:‬‬ ‫❑ بالنسب لإلشارات المستمرة يعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫)𝒕‪−𝒙 𝒕 = 𝒙(−‬‬ ‫❑ وبالمثل لإلشارات المتقطعة يعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒏‪−𝒙 𝒏 = 𝒙 −‬‬ ‫الشكل (‪ )1.9b‬االشارة الفردية‬ ‫‪2‬‬  ‫التصنيف الخامس‪ :‬اإلشارة السببية و اإلشارة الغير السببية (‪)Causal, Non-Causal, and Anti-Causal Signals‬‬ ‫‪.A‬اإلشارة السببية ( ‪)Causal Signal‬‬ ‫نقول عن اإلشارة انها إشارة سببية اذا كانت قيمها عند كل الزمن السالب مساوية للصفر كالتالي‪:‬‬ ‫𝟎 < 𝒕 𝒏𝒆𝒉𝒘 𝟎 = 𝒕 𝒇‬ ‫كما هو موضح في اإلشارة التي في الشكل (‪.)1.10a‬‬ ‫الشكل (‪ )1.10a‬االشارة السببية‬ ‫‪.B‬اإلشارة عكس السببية ( ‪)Anti-Causal Signal‬‬ ‫نقول عن اإلشارة انها عكس السببية اذا كانت قيمها عند كل الزمن الموجب مساوية للصفر كالتالي‪:‬‬ ‫𝟎 > 𝒕 𝒏𝒆𝒉𝒘 𝟎 = 𝒕 𝒇‬ ‫كما هو موضح في اإلشارة التي في الشكل (‪.)1.10b‬‬ ‫الشكل (‪ )1.10b‬اإلشارة عكس السببية‬ ‫‪.C‬اإلشارة غير السببية ( ‪)Non-Causal Signal‬‬ ‫اإلشارات غير السببية ‪ -‬مثل إشارات الزمن المستمر التي ليست سببية‪.‬وهي اإلشارة المتواجدة على محور الزمن الموجب والسالب وتوضح ذلك اإلشارات في الشكل‬ ‫(‪.)1.10c‬‬ ‫الشكل (‪ )1.10c‬اإلشارة غير السببية‬ ‫‪2‬‬  ‫التصنيف السادس‪ :‬إشارة الطاقة و إشارة القدرة ( ‪)Energy Signal and Power Signal‬‬ ‫‪.A‬إشارة الطاقة ( ‪)Energy Signal‬‬ ‫هي تلك اإلشارة التي يكون محتواها من الطاقة محدود (‪ )Finite‬وهذا يعني أن مقدار قيمة القدرة يساوي صفر(‪ )P = 0‬وبشكل عام‪ ،‬يتم تعريف طاقة اإلشارة رياضيا‬ ‫كالتالي‪:‬‬ ‫𝟐‪+𝑻ൗ‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫𝒕𝒅)𝒕( 𝟐𝒈 ‪𝑬 = න‬‬ ‫∞ 𝒐𝒕) ولذلك تتم إزاحة اإلشارة لليسار‪ ،‬وبالتالي فإن اإلشارة 𝒕 ‪ y‬تتقدم في الظهور مقارنتا مع اإلشارة‬ ‫✓‬ ‫االصلية 𝒕 𝒙‪.‬‬ ‫✓ ) 𝒐𝒕 ‪ y 𝒕 = 𝒙(𝒕 −‬في هذه المعادلة ( 𝒐𝒕) لها قيم سالبة بمعنى ان (𝟎 < 𝒐𝒕)‪ ،‬ولذلك تتم ازاحة اإلشارة لليمين وبالتالي فإن اإلشارة 𝒕 ‪ y‬تتأخر في الظهور مقارنتا مع اإلشارة‬ ‫االصلية 𝒕 𝒙‪.‬‬ ‫مثال(‪ :)1‬نفذ عملية االزاحة الزمنية لإلشارة (‪ )Time shifting‬حسب المعادالت التالية 𝟏 ‪ y 𝒕 = 𝒙 𝒕 −‬و 𝟏 ‪ y 𝒕 = 𝒙 𝒕 +‬على اإلشارة 𝒕 𝒙 التي في الشكل (‪)2.5‬‬ ‫الحل‪ :‬يوضح الشكل (‪ )2.7‬تمت إزاحة لليمين لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 و الشكل (‪ )2.6‬تمت إزاحة لليسار لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 ونالحظ هنا ان االتساع بعد االزاحة ال يتغير‬ ‫الشكل (‪ )2.5‬اإلشارة االصلية‬ ‫الشكل (‪ )2.6‬إزاحة لليسار لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‬ ‫الشكل (‪ )2.7‬إزاحة لليمين لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‬ ‫𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 ‪𝒙 𝒕 = 𝟐 𝒇𝒐𝒓 −‬‬ ‫𝟏‪y 𝒕 = 𝒙 𝒕+‬‬ ‫𝟏‪y 𝒕 = 𝒙 𝒕−‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع الوحدة الثانية ‪ :‬العمليات األساسية لإلشارات (‪(Unit 2 - Signals Basic Operations‬‬ ‫(‪ )4.2‬عملية ازاحة السعة لإلشارة (‪)Amplitude shifting‬‬ ‫عند تنفيذ االزاحة لإلشارة بواسطة االتساع فان زمن اإلشارة ال يتأثر وانما يتم إزاحة اإلشارة لألعلى او الى األسفل دون تغير شكل اإلشارة ونعبر عن عملية ازاحة السعة لإلشارة في حالة‬ ‫اإلشارات المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫‪y 𝒕 = 𝒙 𝒕 + 𝒌 )Its case of upward shifting( or‬‬ ‫(‪y 𝒕 = 𝒙 𝒕 − 𝒌 )Its case of downward shifting‬‬ ‫يوضح التعبير الرياضي أعاله أنه يمكن الحصول على اإلشارة 𝒕 𝒚 عن طريق إزاحة اإلشارة 𝒕 𝒙 بمقدار (𝒌) ‪.‬‬ ‫❑ 𝒌 ‪ y 𝒕 = 𝒙 𝒕 +‬في هذه المعادلة (𝒌) لها قيم موجبة بمعنى ان (𝟎 > 𝒌) ولذلك تتم إزاحة اإلشارة إلى األعلى دون ان يتغير شكلها األصلي مقارنة مع اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‪.‬‬ ‫❑ 𝒌 ‪ y 𝒕 = 𝒙 𝒕 −‬في هذه المعادلة (𝒌) لها قيم سالبة بمعنى ان (𝟎 < 𝒌)‪ ،‬ولذلك تتم ازاحة اإلشارة الى االسفل دون ان يتغير شكلها األصلي مقارنة مع اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‪.‬‬ ‫مثال(‪ :)1‬نفذ عملية االزاحة الزمنية (‪ )Time shifting‬حسب المعادلة 𝟐 ‪ y 𝒕 = 𝒙 𝒕 +‬لإلشارة 𝒕 𝒙 التي في الشكل (‪ )2.8‬والمعرفة بالتعبير الرياضي التالي‪:‬‬ ‫‪𝟎,‬‬ ‫𝟎𝒕‬ ‫الحل‪ :‬يوضح الشكل (‪ )2.9‬انه تم إزاحة اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 لألعلى بحسب التغيير الذي حدث على المعادلة االصلية كالتالي‪:‬‬ ‫‪𝟐,‬‬ ‫𝟎𝒕‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الشكل (‪ )2.8‬اإلشارة االصلية‬ ‫الشكل (‪ )2.9‬تمت إزاحة اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 لالعلى‬ ‫‪2‬‬ ‫𝟐 ≤ 𝒕 ≤ 𝟎 𝒓𝒐𝒇 𝟐 = 𝒕 𝒙‬ ‫𝟐‪y 𝒕 =𝒙 𝒕 +‬‬  ‫تابع عملية ازاحة السعة لإلشارة (‪)Amplitude shifting‬‬ ‫مثال(‪ :)2‬نفذ عملية االزاحة الزمنية (‪ )Time shifting‬حسب المعادلة 𝟐 ‪ y 𝒕 = 𝒙 𝒕 −‬لإلشارة 𝒕 𝒙 التي في الشكل (‪ )2.8‬والمعرفة بالتعبير الرياضي التالي‪:‬‬ ‫‪𝟎,‬‬ ‫𝟎𝒕‬ ‫الحل‪ :‬يوضح الشكل (‪ )2.10‬انه تم إزاحة اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 لألسفل بحسب التغيير الذي حدث على المعادلة االصلية كالتالي‪:‬‬ ‫‪−𝟐,‬‬ ‫𝟎𝒕‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪x (t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪y (t‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫الشكل (‪ )2.8‬اإلشارة االصلية‬ ‫الشكل (‪ )2.10‬تمت إزاحة اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 لالسفل‬ ‫𝟐 ≤ 𝒕 ≤ 𝟎 𝒓𝒐𝒇 𝟐 = 𝒕 𝒙‬ ‫𝟐‪y 𝒕 =𝒙 𝒕 −‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع الوحدة الثانية ‪ :‬العمليات األساسية لإلشارات (‪(Unit 2 - Signals Basic Operations‬‬ ‫من ضمن العمليات التي تجرى على اإلشارة هي انعكاس اإلشارة (‪ )Signal Reversal‬واالنكاس يعني تدوير اإلشارة بزاوية مقدارها ‪ 180‬درجة‪ ،‬إما حول المحور الزمني او حول محور‬ ‫السعة وبنا ًء على ذلك‪ ،‬يمكننا تصنيف االنكاس إلى فئتين تسمى االنكاس الزمني (‪ )Time Reversal‬و االنكاس السعوي (‪ ،)Amplitude Reversal‬وسيتم مناقشتها أدناه‪.‬‬ ‫(‪ )5.2‬عملية االنكاس الزمني لإلشارة (‪)Time Reversal‬‬ ‫نعبر عن عملية االنكاس الزمني لإلشارة في حالة اإلشارات المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕‪y 𝒕 = 𝒙 −‬‬ ‫يوضح التعبير الرياضي أعاله أنه يمكن الحصول على اإلشارة 𝒕 𝒚 عن طريق ضرب زمن اإلشارة 𝒕 𝒙 في (‪. )-1‬‬ ‫مثال(‪ :)1‬نفذ عملية االنكاس الزمني (‪ )Time Reversal‬لإلشارة 𝒕 𝒙 التي في الشكل (‪ )2.11‬حسب المعادلة التالية 𝒕‪y 𝒕 = 𝒙 −‬‬ ‫الحل‪ :‬يوضح الشكل (‪ )2.12‬انه حدث انعكاس لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 على المحور الزمني ونالحظ هنا ان االتساع بعد االزاحة ال يتغير‪.‬‬ ‫الشكل (‪ )2.11‬اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‬ ‫الشكل (‪ )2.12‬انعكاس زمني لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‬ ‫𝒕‪y 𝒕 = 𝒙 −‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع الوحدة الثانية ‪ :‬العمليات األساسية لإلشارات (‪(Unit 2 - Signals Basic Operations‬‬ ‫(‪ )6.2‬عملية االنعكاس السعوي لإلشارة (‪)Amplitude Reversal‬‬ ‫ً‬ ‫تحوال في الطور بمقدار ‪180‬‬ ‫عكس السعة لإلشارة هو طي اإلشارة حول المحور األفقي‪ ،‬أو أنها مجرد صورة معكوسة حول المحور األفقي (المحور السيني ‪.)X-axis,‬يعطي عكس السعة‬ ‫درجة بالنسبة إلى األفقي‪.‬‬ ‫نعبر عن عملية االنكاس السعوي لإلشارة في حالة اإلشارات المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝒙‪y 𝒕 = −‬‬ ‫يوضح التعبير الرياضي أعاله أنه يمكن الحصول على اإلشارة 𝒕 𝒚 عن طريق ضرب اإلشارة 𝒕 𝒙 االصلية في (‪. )-1‬‬ ‫مثال(‪ :)1‬نفذ عملية االنكاس السعوي (‪ )Amplitude Reversal‬لإلشارة 𝒕 𝒙 التي في الشكل (‪ )2.13‬حسب المعادلة التالية 𝒕 𝒙‪y 𝒕 = −‬‬ ‫الحل‪ :‬يوضح الشكل (‪ )2.14‬انه حدث انعكاس لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙 حول المحور األفقي (المحور السيني ‪ )X-axis,‬ونالحظ هنا ان زمن االشارة بعد االنعكاس السعوي ال يتغير‪.‬‬ ‫الشكل (‪ )2.13‬اإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‬ ‫الشكل (‪ )2.14‬انعكاس سعوي لإلشارة االصلية 𝒕 𝒙‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪x (t‬‬ ‫𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐 ‪y 𝒕 = −𝒙 𝒕 𝒇𝒐𝒓 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪y (t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع الوحدة الثانية ‪ :‬العمليات األساسية لإلشارات (‪(Unit 2 - Signals Basic Operations‬‬ ‫(‪ )7.2‬عملية جمع اإلشارات (‪)Addition of Signals‬‬ ‫تتكون عملية إضافة إشارتين أو أكثر من إضافة سعة اإلشارة بأكملها في كل لحظة من الزمان أو المكان‪ ،‬مما ينتج عنه إشارات جديدة لها خصائص جميع اإلشارات مجتمعة معًا‪.‬‬ ‫عملية جمع اإلشارات في حالة اإلشارات المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬يمكن توضيحها بالمثال التالي‪:‬‬ ‫مثال (‪ )1‬نفرض ان لدينا اشارتين 𝒕 𝟏𝒙 و 𝒕 𝟐𝒙 موضحة في الشكل (‪ )2.15‬وناتج جمع االشارتين سوف يكون إشارة جديدة نرمز لها بالرمز 𝒕 ‪ z‬نعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ‪z 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 +‬‬ ‫الحل‪ :‬من الشكل (‪ )2.15‬يمكن معرفة التعبير الرياضي لكل إشارة من حيث المدى الزمني واالتساع ونتحصل على ناتج الجمع كالتالي‪:‬‬ ‫𝟑 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑‪𝟏, −‬‬ ‫𝟎𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟎𝟏‪𝟐, −‬‬ ‫‪𝒙𝟏 𝒕 = ቊ‬‬ ‫‪𝒙𝟐 𝒕 = ቊ‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 ‪𝟎,‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 ‪𝟎,‬‬ ‫𝟑‪𝟐, −𝟏𝟎 ≤ 𝒕 ≤ −‬‬ ‫‪Then‬‬ ‫‪z 𝒕 = ቐ𝟑,‬‬ ‫𝟑 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑‪−‬‬ ‫‪𝟐,‬‬ ‫𝟎𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑‬ ‫الشكل (‪ )2.15‬ناتج عملية جمع اإلشارتين‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ‪z 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 +‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع الوحدة الثانية ‪ :‬العمليات األساسية لإلشارات (‪(Unit 2 - Signals Basic Operations‬‬ ‫(‪ )7.2‬عملية طرح اإلشارات (‪)Subtraction of Signals‬‬ ‫إن طرح إشارتين ليس سوى طرح سعتهما المقابلة ‪ ،‬مما ينتج عنه إشارة جديدة لها خصائص اإلشارتين مجتمعة معًا‪.‬‬ ‫عملية طرح اإلشارات في حالة اإلشارات المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬ويمكن تفسير ذلك بشكل أفضل من خالل المثال التالي‪:‬‬ ‫مثال (‪ )1‬نفرض ان لدينا اشارتين 𝒕 𝟏𝒙 و 𝒕 𝟐𝒙 موضحة في الشكل (‪ )2.16‬وناتج طرح االشارتين سوف يكون إشارة جديدة نرمز لها بالرمز 𝒕 ‪ z‬نعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ‪z 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 −‬‬ ‫الحل‪ :‬من الشكل (‪ )2.16‬يمكن معرفة التعبير الرياضي لكل إشارة من حيث المدى الزمني واالتساع ونتحصل على ناتج الطرح كالتالي‪:‬‬ ‫𝟑 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑‪𝟏, −‬‬ ‫𝟎𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟎𝟏‪𝟐, −‬‬ ‫‪𝒙𝟏 𝒕 = ቊ‬‬ ‫‪𝒙𝟐 𝒕 = ቊ‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 ‪𝟎,‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 ‪𝟎,‬‬ ‫𝟑‪−𝟐, −𝟏𝟎 ≤ 𝒕 ≤ −‬‬ ‫‪Then‬‬ ‫‪𝐳 𝒕 = ቐ−𝟏,‬‬ ‫𝟑 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑‪−‬‬ ‫‪−𝟐,‬‬ ‫𝟎𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑‬ ‫‪.‬‬ ‫الشكل (‪ )2.16‬ناتج عملية طرح اإلشارتين‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ‪z 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 −‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع الوحدة الثانية ‪ :‬العمليات األساسية لإلشارات (‪(Unit 2 - Signals Basic Operations‬‬ ‫(‪ )8.2‬عملية ضرب اإلشارات (‪)Multiplication of Signals‬‬ ‫يتضمن ضرب إشارتين أو أكثر مضاعفة سعاتها‪ ،‬مما ينتج عنه إشارات جديدة لها خصائص جميع اإلشارات مجتمعة معًا‪.‬هذه العملية األساسية مفيدة جدًا في عملية التعديل والتصفية وما إلى‬ ‫ذلك‪.‬‬ ‫عملية ضرب اإلشارات في حالة اإلشارات المستمرة بالزمن ( ‪ )Continuous Time Signal‬يمكن توضيحها بالمثال التالي‪:‬‬ ‫مثال (‪ )1‬نفرض ان لدينا اشارتين 𝒕 𝟏𝒙 و 𝒕 𝟐𝒙 موضحة في الشكل (‪ )2.17‬وناتج جمع االشارتين سوف يكون إشارة جديدة نرمز لها بالرمز 𝒕 ‪ y‬نعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ∙ 𝒕 𝟏𝒙 = 𝒕 ‪y‬‬ ‫الحل‪ :‬من الشكل (‪ )2.17‬يمكن معرفة التعبير الرياضي لكل إشارة من حيث المدى الزمني واالتساع‬ ‫وبذلك نتحصل على ناتج الضرب كالتالي‪:‬‬ ‫𝟑 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏‪𝟑, −‬‬ ‫𝟐 ≤ 𝒕 ≤ 𝟎 ‪𝟐,‬‬ ‫‪𝒙𝟏 𝒕 = ቊ‬‬ ‫‪𝒙𝟐 𝒕 = ቊ‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 ‪𝟎,‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐 ‪𝟎,‬‬ ‫‪𝟔,‬‬ ‫𝟐≤𝒕≤𝟎‬ ‫‪Then‬‬ ‫‪𝐲 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 ∙ 𝒙𝟐 𝒕 = ቊ‬‬ ‫‪𝟎,‬‬ ‫𝒆𝒔𝒊𝒘𝒓𝒆𝒉𝒕𝒐‬ ‫‪.‬‬ ‫الشكل (‪ )2.17‬ناتج عملية جمع اإلشارتين‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ‪z 𝒕 = 𝒙𝟏 𝒕 +‬‬ ‫‪2‬‬  ‫الوحدة الثالثة ‪ :‬األنظمة (‪(Unit 3 – The systems‬‬ ‫تعريف األنظمة ‪:‬‬ ‫يتم تعريف النظام على أنه جهاز مادي وظيفته هو انجاز مجموعة من العمليات على اشارة او عدة إشارات في الدخل (‪ )input‬لغرض الحصول على مخرجات ( ‪ )output‬أو استجابة‬ ‫(‪.)response‬بشكل عام‪ ،‬يتم تمثيل النظام من خالل مخطط صندوقي كما هو موضح في الشكل (‪. )3.1‬‬ ‫الشكل (‪ )3.1‬المخطط الصندوقي العام للنظام‬ ‫نالحظ من الشكل (‪ )3.1‬انه يشير السهم الذي يدخل الصندوق إلى إشارة اإلدخال أو اإلثارة 𝒕 𝒙 ويشير السهم الذي يغادر الصندوق إلى إشارة الخرج أو االستجابة 𝒕 𝒚‪.‬‬ ‫▪‬ ‫❑ هناك أنواع مختلفة من األنظمة كما يلي‪:‬‬ ‫النظام الميكانيكي (‪)Mechanical system‬‬ ‫▪‬ ‫النظام الكهربائي (‪)Electrical system‬‬ ‫▪‬ ‫النظام الكهروميكانيكي (‪)Electromechanical system‬‬ ‫▪‬ ‫النظام البيولوجي (‪ ، )Biological system‬وما إلى ذلك‪.‬‬ ‫▪‬ ‫ضا أمثلة على األنظمة‪.‬‬ ‫وجميع األجهزة المادية مثل المحرك الكهربائي‪ ،‬والمولد‪ ،‬والفلتر‪ ،‬والتوربينات‪ ،‬وما إلى ذلك هي أي ً‬ ‫‪2‬‬  ‫❑ طرق توصيل األنظمة (‪(Interconnections of Systems‬‬ ‫تتواجد األنظمة على هيئة اشكال متعددة تتصل ببعضها بطرق مختلفة حسب المهمة التي سوف تنفذها المنظومة ومنها التالي‪:‬‬ ‫‪.A‬توصيل األنظمة على التسلسل (‪ )serial(cascade) interconnection‬الشكل (‪)3.1a‬‬ ‫‪.B‬توصيل األنظمة على التوازي (‪ )parallel interconnection‬الشكل (‪)3.1b‬‬ ‫‪.C‬وصل نظام التغذية العكسية (‪ )feedback interconnection‬الشكل (‪)3.1c‬‬ ‫‪.D‬توصيل األنظمة على التسلسل – التوازي (‪ )serial -parallel interconnection‬الشكل (‪)3.1d‬‬ ‫الشكل (‪)3.1a‬‬ ‫الشكل (‪)3.1b‬‬ ‫الشكل (‪)3.1c‬‬ ‫الشكل (‪)3.1d‬‬ ‫‪2‬‬  ‫(‪ )1.3‬أنواع األنظمة (‪)Types of Systems‬‬ ‫اعتمادا على المجال الزمني‪ ،‬يمكن تصنيف األنظمة إلى فئتين هما أنظمة الزمن المستمر(‪ )Continuous-Time Systems‬وأنظمة الزمن المنفصل (‪.)Discrete-Time Systems‬‬ ‫(‪ )1.1.3‬أنظمة الزمن المستمر(‪)Continuous-Time Systems‬‬ ‫يسمى النظام الذي يحول إشارة دخل الزمن المستمر إلى إشارة إخراج الزمن المستمر نظام الزمن المستمر‪.‬ويقال أن اإلشارة هي إشارة زمنية مستمرة إذا تم تعريفها لكل لحظة من الزمن‪.‬‬ ‫إذا كانت 𝒕 𝒙 هي إشارات اإلدخال و 𝒕 𝒚 إشارة اإلخراج لنظام زمني مستمر على التوالي‪ ،‬هنا في النتيجة يحصل تحويل (‪ )Transform‬والذي يرمز له بالرمز (𝑻) ناتج عن استجابة‬ ‫النظام إلشارة الدخل كما في العالقة الرياضية التالية ويوضح الشكل (‪ )3.2‬التمثيل الصندوقي ألنظمة الزمن المستمر‪:‬‬ ‫𝒕 𝒙𝑻= 𝒕 𝒚‬ ‫الشكل (‪ )3.2‬المخطط الصندوقي ألنظمة الزمن المستمر‬ ‫❑ ومن االمثلة على أنظمة الزمن المستمر كما يلي‪:‬‬ ‫▪ مكبرات الصوت (‪)Amplifiers‬‬ ‫▪ أجهزة التكامل (‪)integrators‬‬ ‫▪ أجهزة التفاضل (‪)differentiators‬‬ ‫▪ دوائر التصفية ( ‪ )filter circuits‬وما إلى ذلك‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع أنواع األنظمة (‪)Types of Systems‬‬ ‫(‪ )2.1.3‬أنظمة الزمن المنفصل (‪)Discrete-Time Systems‬‬ ‫يسمى النظام الذي يحول إشارة دخل الزمن المنفصل إلى إشارة إخراج الزمن المنفصل نظام الزمن المنفصل‪.‬يقال إن اإلشارة هي إشارة زمنية منفصلة إذا تم تعريفها فقط في لحظات‬ ‫زمنية منفصلة‪.‬إذا كانت 𝒏 𝒙 و 𝒏 𝒚 هي إشارات اإلدخال واإلخراج لنظام زمني منفصل على التوالي‪ ،‬فسيتم تعريف العالقة بين إشارات اإلدخال واإلخراج لنظام الزمن المنفصل على‬ ‫أنها كالتالي‪:‬‬ ‫𝒏 𝒚𝑻= 𝒏 𝒙‬ ‫الشكل (‪ )3.4‬المخطط الصندوقي ألنظمة الزمن المنفصل‬ ‫❑ تعتبر المعالجات الدقيقة (‪ ،)Microprocessors‬واألجهزة الرقمية (‪ ،)digital devices‬وذواكر أشباه الموصالت (‪ ،)semiconductor memories‬ومسجالت االزاحة ( ‪shift‬‬ ‫‪ ،)registers‬وما إلى ذلك هي بعض األمثلة على أنظمة الزمن المنفصلة‪.‬‬ ‫(‪ )2.3‬تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫يتم تصنيف األنظمة إلى الفئات التالية‪:‬‬ ‫‪.1‬األنظمة الخطية وغير الخطية (‪)linear and Non-linear Systems‬‬ ‫‪.2‬األنظمة المتغيرة مع الزمن واألنظمة الثابتة مع الزمن (‪)Time Variant and Time Invariant Systems‬‬ ‫‪.3‬األنظمة الخطية المتغير مع الزمن واألنظمة الخطية الثابتة مع الزمن (‪)linear Time variant(LTV) and linear Time invariant (LTI) systems‬‬ ‫‪.4‬األنظمة الثابتة (بدون ذاكرة) والديناميكية (مع ذاكرة) (‪)Static(memoryless) and Dynamic(memory) Systems‬‬ ‫‪.5‬النظم السببية وغير السببية (‪)Causal and Non-causal Systems‬‬ ‫‪.6‬األنظمة القابلة للعكس وغير القابلة للعكس (‪)Invertible and Non-Invertible Systems‬‬ ‫‪.7‬األنظمة المستقرة وغير المستقرة (‪)Stable and Unstable Systems‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫(‪ )1.2.3‬األنظمة الخطية (‪ )linear Systems‬واألنظمة الغير خطية (‪)Non-linear Systems‬‬ ‫يتبع النظام الخطي قوانين التراكب (‪.)Superposition‬وهذا القانون شرط ضروري وكافي إلثبات الخطية للنظام‪.‬‬ ‫✓ التراكب (‪ :)superposition‬إذا تم تراكب اإلدخال بواسطة إشارتين‪ ،‬فيجب أن يتم تراكب اإلخراج أي ً‬ ‫ضا‪.‬‬ ‫ومبدأ التراكب هو مزيج من قاعدتين هما‪ :‬قاعدة التجميع (‪ )additivity rule‬و قاعدة التحجيم (‪ )Scaling rule‬او التجانس (‪ )Homogeneity‬المعرفة كالتالي‪.‬‬ ‫‪ (1‬قاعدة التجميع (‪ )additivity rule‬يتم اثبات قاعدة اإلضافة او التجميع على مرحلتين كالتالي ‪:‬‬ ‫المرحلة األولى ‪:‬‬ ‫نفرض ان لدينا 𝒕 𝟏𝒙 و 𝒕 𝟐𝒙 اشارات دخل لمنظومتين فان خرج هذه المنظومتين 𝒕 𝟏𝒚 و 𝒕 𝟐𝒚 كما هو موضح في الشكل (‪، )3. 5‬‬ ‫والتي نعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝟏𝒙 𝑻 = 𝒕 𝟏𝒚‬ ‫الشكل (‪)3. 5‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 𝑻 = 𝒕 𝟐𝒚‬ ‫وعند جمع خرج المنظومة األولى 𝒕 𝟏𝒚 مع خرج المنظومة الثانية 𝒕 𝟐𝒚 كما هو موضح في الشكل (‪ ، )3.6‬نعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫)𝟏( ‪𝒚𝟏 𝒕 + 𝒚𝟐 𝒕 = 𝑻 𝒙𝟏 𝒕 + 𝑻 𝒙𝟐 𝒕 … …..‬‬ ‫المرحلة الثانية ‪:‬‬ ‫الشكل (‪)3. 6‬‬ ‫وعند جمع اشارتي الدخل 𝒕 𝟏𝒙 و 𝒕 𝟐𝒙 ثم نمررهما عبر منظومة كما هو موضح في الشكل (‪ ، )3.7‬ونعبر عنها رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 ‪𝒙𝟏 𝒕 +‬‬ ‫فان ناتج خرج هذه المنظومة والذي نرمز له بالرمز 𝒙 𝒚 نعبر عنه رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫)𝟐( ‪𝒚 𝒕 = 𝑻 𝒙𝟏 𝒕 + 𝒙𝟐 𝒕 = 𝑻 𝒙𝟏 𝒕 + 𝑻 𝒙𝟐 𝒕 = 𝒚𝟏 𝒕 + 𝒚𝟐 𝒕 … …..‬‬ ‫مالحظة المعادلة رقم (‪ )1‬في المرحلة األولى تتشابه مع المعادلة رقم (‪ )2‬في المرحلة الثانية وهذا يعني انه تنطبق‬ ‫هنا الخاصية التجميعية (‪ ، )additivity rule‬بمعنى اخر اذا كان دخل منظومة قابل للجمع و الخرج أيضا‬ ‫قابل للجمع فهذه الخاصية تسمى الخاصية التجميعية (‪.)additivity rule‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الشكل (‪)3. 7‬‬  ‫تابع األنظمة الخطية (‪ )linear Systems‬واألنظمة الغير خطية (‪)Non-linear Systems‬‬ ‫‪ (2‬قاعدة التجانس (‪:)Homogeneity rule‬‬ ‫يطلق على قاعدة التجانس مسمى اخر هو قاعدة التحجيم (‪ )Scaling rule‬وهي تعرف انها إذا ضرب اشارة مدخل منظومة في ثابت و كان خرجها متشابه ‪ ،‬مع منظومة أخرى يتم فيها ضرب‬ ‫الخرج في نفس الثابت فهنا ينطبق قاعدة التجانس للمنظومتين‪.‬ويتم اثبات هذه القاعدة بمرحلتين كالتالي ‪:‬‬ ‫المرحلة األولى ‪:‬‬ ‫نفرض ان لدينا اشارة دخل 𝒕 𝒙 لمنظومة وخرج هذه المنظومة 𝒕 𝒚 الذي يتم ضربه في قيمة ثابته (𝒂) كما هو موضح في الشكل (‪)3. 8‬‬ ‫الشكل (‪)3.8‬‬ ‫فإننا نتحصل على حاصل الضرب الذي يعبر عنه رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝒚∙𝒂‬ ‫المرحلة الثانية ‪:‬‬ ‫نفرض ان لدينا اشارة 𝒕 𝒙 تضرب في قيمة ثابته (𝒂) ثم تمرر عبر منظومة فان خرج هذه المنظومة هو 𝒕 ‪ 𝒚ƴ‬كما هو موضح في‬ ‫الشكل (‪)3.9‬‬ ‫الشكل (‪ )3. 9‬والذي نعبر عنه رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫‪ƴ‬‬ ‫)𝒕(𝒚‬ ‫𝒕 𝒙∙𝒂=‬ ‫)𝒕(𝒚 فهذا يعني انه تحقق شرط التجانس(‪.)Homogeneity‬‬ ‫‪ƴ‬‬ ‫نالحظ مما سبق انه اذا كان هناك تشابه بين خرج المنظومتين 𝒕 𝒚𝒂 =‬ ‫مالحظة ‪ :‬اذا تحقق في اي منظومة كل من قاعدة التجميع (‪ )additivity rule‬و قاعدة التجانس (‪ )Homogeneity rule‬فان هذه المنظومة تسمى منظومة خطية (‪.)Linear System‬‬ ‫ويوضح الشكل (‪ )3. 10‬منظومة خطية تحقق الشرطين الذي تم ذكرهم أعاله ويعبر عن هذه المنظومة رياضيا كالتالي‪:‬‬ ‫المركبة 𝒕 𝟐𝒙𝒃 ‪ 𝒂𝒙𝟏 𝒕 +‬يعطى الوصف العام للنظام الخطي كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙𝒃 ‪𝒚 𝒕 = 𝑻 𝒂𝒙𝟏 𝒕 +‬‬ ‫الشكل (‪)3.10‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒙 𝑻𝒃 ‪= 𝒂𝐓 𝒙𝟏 𝒕 +‬‬ ‫𝒕 𝟐𝒚𝒃 ‪= 𝒂𝒚𝟏 𝒕 +‬‬ ‫حيث ان 𝒃 ‪ - 𝒂 ,‬هي قيم ثابته‪.‬‬ ‫مالحظة ‪ :‬واذا لم يتحقق الشروط السابقة فتسمى المنظومة غير خطية (‪.)Non-linear System‬‬ ‫‪2‬‬  ‫❑ امثلة على األنظمة الخطية (‪ )linear Systems‬واألنظمة الغير خطية (‪)Non-linear Systems‬‬ ‫مثال‪ :1‬صنف النظام المستمر المعطى بالعالقة التالية ما اذا كان خطي او غير خطي‪:‬‬ ‫)𝒕( 𝟐𝒙 = 𝒕 𝒚‬ ‫من اجل إشارة دخل مركبة كالتالي‪:‬‬ ‫𝟐‬ ‫)𝒕( 𝟐𝒙𝒃 ‪𝒚 𝒕 = 𝒂𝒙𝟏 (𝒕) +‬‬ ‫)𝟏( ⋯ ⋯‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫)𝒕( 𝟏𝒙𝒂 = 𝒕 𝒚‬ ‫)𝒕( 𝟐𝒙𝒃 ‪+ 𝟐𝒂𝒙𝟏 𝒕 𝒃𝒙𝟐 𝒕 +‬‬ ‫)𝟐( ⋯ ⋯ 𝒕 𝟐𝒙 𝒕 𝟏𝒙𝒃𝒂𝟐 ‪𝒚 𝒕 = 𝒂𝟐 𝒚𝟐𝟏 𝒕 + 𝒃𝟐 𝒚𝟐𝟐 𝒕 +‬‬ ‫نالحظ من المعادلة رقم (‪ )1‬والمعادلة رقم (‪ )2‬انهما غير متساويتين اذا النظام ليس خطي‬ ‫مثال‪ :2‬صنف النظام المستمر المعطى بالعالقة التالية ما اذا كان خطي او غير خطي‪:‬‬ ‫)𝒕(𝒙 𝑻 = 𝒕 𝒚‬ ‫من اجل إشارة دخل مركبة كالتالي‪:‬‬ ‫)𝟏( ⋯ ⋯ )𝒕( 𝟐𝒙𝒃 ‪𝒚 𝒕 = 𝒂𝒙𝟏 (𝒕) +‬‬ ‫)𝒕( 𝟐𝒙 𝑻𝒃 ‪𝒚 𝒕 = 𝑻 𝒂𝒙𝟏 (𝒕) + 𝒃𝒙𝟐 (𝒕) = 𝒂𝑻 𝒙𝟏 (𝒕) +‬‬ ‫)𝟐( ⋯ ⋯ )𝒕( 𝟐𝒚𝒃 ‪= 𝒂𝒚𝟏 (𝒕) +‬‬ ‫نالحظ من المعادلة رقم (‪ )1‬والمعادلة رقم (‪ )2‬انهما متساويتين اذا النظام خطي‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫(‪ )2.2.3‬األنظمة المتغيرة مع الزمن ( ‪ )Time Variant Systems‬واألنظمة الثابتة مع الزمن (‪)Time Invariant Systems‬‬ ‫يسمى النظام متغير مع الزمن (‪ )Time variant System‬إذا كانت خصائص االدخال واالخراج تتغير مع الزمن‪.‬وبخالف ذلك‪ ،‬يعتبر النظام ثابتا مع الزمن (‪ )Invariant‬وسوف نوضح‬ ‫ذلك على المثال التالي‪:‬‬ ‫▪ الخطوة األولى نفرض ان لدينا منظومة لها إشارة دخل 𝒕 𝒙 و إشارة خرج 𝒕 𝒚 فعند تنفيذ عملية إزاحة في الزمن بمقدار ( 𝟎𝒕) على اشارة الخرج بواسطة ( 𝟎𝒕 ‪ )Delay by‬فان‬ ‫إشارة الخرج تصبح كالتالي 𝟎𝒕‪ 𝒚 𝒕 −‬كما هو موضح في الشكل (‪.)3.11‬‬ ‫▪ الخطوة الثانية ننفذ عملية اإلزاحة في الزمن بمقدار ( 𝟎𝒕) بواسطة ( 𝟎𝒕 ‪ )Delay by‬على إشارة الدخل 𝒕 𝒙 حينها تصبح إشارة الدخل بعد االزاحة كالتالي 𝟎𝒕‪ 𝒙 𝒕 −‬ثم نمررها عبر‬ ‫المنظومة فاذا كان خرج المنظومة هنا والذي نرمز له بالرمز 𝒕 ‪ 𝒚ƴ‬يساوي 𝟎𝒕‪ 𝒚 𝒕 −‬فان المنظومة تكون ثابتة مع الزمن ()‪ )Time Invariant System(TIV system‬اما اذا كان‬ ‫خرج المنظومة هنا 𝒕 ‪ 𝒚ƴ‬ال يساوي 𝟎𝒕‪ 𝒚 𝒕 −‬فان المنظومة تكون متغيرة مع الزمن ()‪ )Time variant System (TV system‬كما هو موضح في الشكل (‪.)3.11‬‬ ‫وبشكل عام سوف نعبر رياضيا لما سبق كالتالي ‪:‬‬ ‫𝒕 𝒙 𝑻 = 𝒕 𝒚 𝒇𝒊‬ ‫𝟎𝒕 ‪𝑻𝒉𝒆𝒏 𝑻 𝒙 𝒕 + 𝒕𝟎 = 𝒚 𝒕 +‬‬ ‫ويوضح الشكل (‪ )3 12‬مثاال لرسم بياني لمنظومة ثابتة مع الزمن (‪.)Time Invariant System‬‬ ‫الشكل (‪)3.11‬‬ ‫الشكل (‪)3.12‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫امثلة على األنظمة المتغيرة مع الزمن ( ‪ )Time Variant Systems‬واألنظمة الثابتة مع الزمن (‪)Time Invariant Systems‬‬ ‫مثال(‪ )1‬صنف النظام المعرف بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫)𝒕𝟐(𝒙 = 𝒕 ‪y‬‬ ‫لنرى أوال ما هو خرج النظام من اجل اشارة أخرى ناتجة عن اإلشارة االصلية بانزياح زمني‪.‬من اجل إشارة خرج مزاحة بمقدار ( 𝟎𝒕) أي ) 𝟎𝒕 ‪ 𝒙𝟏 𝒕 = 𝒙(𝒕 +‬فان الخرج يكون كالتالي‪:‬‬ ‫𝟎𝒕 ‪𝒚𝟏 𝒕 = 𝒙𝟏 𝟐𝒕 = 𝒙 𝟐𝒕 +‬‬ ‫ثم نقوم بحساب اإلشارة الناتجة عن إزاحة اشارة الخرج الموافقة لإلشارة االصلية‪.‬واذا طبقنا نفس االنزياح على إشارة الخرج الموافقة لإلشارة 𝒕 𝒙 نحصل على التالي‪:‬‬ ‫𝟎𝒕𝟐 ‪𝒚𝟐 𝒕 = 𝒚 𝒕 + 𝒕𝟎 = 𝒙 𝟐 𝒕 + 𝒕𝟎 = 𝒙 𝟐𝒕 +‬‬ ‫ثم نقارن بين النتيجتين‪.‬بما أن 𝒕 𝟏𝒚 ≠ 𝒕 𝟐𝒚 فان هذا النظام يكون متغير مع الزمن (‪.)Time variant System‬‬ ‫مثال(‪ )2‬صنف النظام المعرف بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫)𝒕(𝒙 ‪y 𝒕 = 𝟐 +‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫الخطوة األولى ‪ :‬حسب التعريف السابق للمنظومة نقوم بتنفيذ ازاحة بمقدار ( 𝟎𝒕) على اشارة خرج المنظومة 𝒕 ‪ y‬فنتحصل على التالي ) 𝟎𝒕 ‪y 𝒕 = 𝟐 + 𝒙(𝒕 −‬‬ ‫الخطوة الثانية ‪ :‬حسب التعريف السابق للمنظومة نقوم بتنفيذ ازاحة بمقدار ( 𝟎𝒕) على اشارة دخل المنظومة 𝒕 ‪ x‬فنتحصل على التالي ) 𝟎𝒕 ‪𝟐 + 𝒙(𝒕 −‬‬ ‫نستنتج من الخطوة األولى والثانية ان الناتج متساوي للمعادلتين ولذلك فان المنظومة هي (‪.)Time Invariant System‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫(‪ )3.2.3‬األنظمة الخطية المتغير مع الزمن ( ‪)linear Time variant (LTV) systems‬‬ ‫واألنظمة الخطية الثابتة مع الزمن (‪(linear Time invariant (LTI) systems‬‬ ‫النظام الخطي الثابت مع الزمن (‪ )LTI‬هو النظام الذي يحقق شرطي كل من النظام الخطي (‪ )linear System‬والنظام الثابت مع الزمن (‪.)Time Invariant System‬‬ ‫‪ ‬نظام ‪ LTI‬للزمن المستمر يتم فيه دائ ًما أخذ في االعتبار فيما يتعلق باالستجابة النبضية‪ ،‬وهذا يعني أن الدخل 𝒕 𝒙 هو اشارة النبضية 𝒕 𝜹 والخرج 𝒕 ‪ y‬هو االستجابة النبضية‪.‬‬ ‫ويوضح الشكل ( ‪ )3.12a‬المخطط الصندوقي لنظام ‪ LTI‬للزمن المستمر‪.‬‬ ‫الشكل ( ‪)3.12a‬‬ ‫‪ ‬ولكي نثبت ان النظام هو نظام خطي ثابت مع الزمن نفرض ان إشارة دخل المنظومة 𝒕 𝒙 هي اشارة نبضيه (‪ 𝜹 𝒕 )pulse signal‬وبذلك نعبر عن إشارة الدخل كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝜹= 𝒕 𝒙‬ ‫فان إشارة االستجابة للمنظومة او اشارة الخرج تكون كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝜹𝐓= 𝒕 𝒉= 𝒕 ‪y‬‬ ‫ووفقا لخاصية االزاحة لإلشارات يمكن التعبير عن أي إشارة لمجموعة من اإلشارة النبضية المزاحة كالتالي‪:‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫𝝉𝒅 𝝉 ‪𝒙 𝒕 = න 𝒙 𝝉 ∙ 𝜹 𝒕 −‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫وبذلك فان خرج المنظومة يصبح كالتالي‪:‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫𝒕 𝒙𝑻= 𝒕 𝐲‬ ‫=‬ ‫𝒙 ∞‪−‬׬‬ ‫⇒ 𝝉𝒅 𝝉 ‪𝝉 ∙ 𝑻 𝜹 𝒕 −‬‬ ‫= 𝒕 𝐲‬ ‫𝒙 ∞‪−‬׬‬ ‫)𝟏( ‪𝝉 ∙ 𝒉 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 … … ….‬‬ ‫تعرف المعادلة رقم (‪ )1‬بتكامل الطي او التكامل االلتفافي (‪ ) convolution integral‬وناتج هذا التكامل يصبح كالتالي‪:‬‬ ‫)𝟐( ‪y 𝒕 = 𝒙 𝒕 ∙ 𝒉 𝒕 … … ….‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫(‪ )4.2.3‬األنظمة الساكنة (بدون ذاكرة) (‪ )Static(memoryless) Systems‬واألنظمة الديناميكية (مع ذاكرة) (‪)Dynamic(memory) Systems‬‬ ‫‪.A‬يسمى النظام ساكن (‪ )Static Systems‬أذا كان خرجة في لحظة ما ‪ ،‬يعتمد على القيم الحالية لدخلة و بذلك النظام ليس له ذاكرة (‪.)memoryless‬‬ ‫مثال(‪ )1‬لنأخذ النظام المستمر المعطى بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫𝒕 𝒙𝟐 = 𝒕 𝒚‬ ‫وعند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة الزمن (𝟎 = 𝐭)‪ ،‬يكون مخرج النظام هو‪.‬‬ ‫𝟎 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚‬ ‫هنا‪ ،‬يعتمد اإلخراج فقط على المدخالت الحالية‪.‬ومن ثم فإن النظام يكون بذون ذاكرة أو ساكن (‪.)Static Systems‬‬ ‫مثال(‪ )2‬اذا كان لدينا نظام متقطع معرف بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫𝒏 𝒙= 𝒏 𝒚‬ ‫وعند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة الزمن (‪ ،)𝑛 = 0‬فإن مخرجات النظام هي‬ ‫𝟎 𝒙= 𝟎 𝒚‬ ‫نالحظ من الناتج أن مقدار الخرج )‪ 𝑦(0‬يعتمد على القيمة الحالية للدخل )‪. 𝑥(0‬وبالتالي فإن النظام هو ساكن (‪.)Static Systems‬‬ ‫‪.B‬يسمى النظام ديناميكي (‪ )Dynamic Systems‬أذا كان خرجة يعتمد على قيمة دخلة الماضية والحالية والمستقبلية ‪.‬و بذلك النظام له ذاكرة (‪.)memory‬‬ ‫مثال(‪ )3‬لنأخذ النظام المستمر المعطى بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫)𝟑 ‪𝒚 𝒕 = 𝟐𝒙 𝒕 + 𝟑𝒙(𝒕 −‬‬ ‫وعند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة الزمن (‪ ،)t = 0‬فإن مخرجات النظام هي‬ ‫)𝟑‪𝒚 𝟎 = 𝟐𝒙 𝟎 + 𝟑𝒙(−‬‬ ‫هنا )‪ 𝑥(−3‬هي القيمة السابقة للمدخالت الحالية التي يحتاج النظام إلى ذاكرة للحصول على هذا اإلخراج‪.‬وبالتالي فإن النظام هو نظام ديناميكي (‪.)Dynamic Systems‬‬ ‫مثال(‪ )4‬لنأخذ النظام المتقطع المعطى بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫)𝟑 ‪𝒚 𝒏 = 𝒙 𝒏 + 𝒙(𝒏 +‬‬ ‫وعند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة (‪ ،)𝑛 = 0‬فإن مخرجات النظام هي‬ ‫)𝟑‪𝒚 𝟎 = 𝒙 𝟎 + 𝒙(+‬‬ ‫نالحظ من المعادلة أن االستجابة او خرج النظام )‪ 𝑦(0‬يعتمد على القيمة الحالية للدخل )‪ 𝑥(0‬والقيمة المستقبلية )‪.𝑥(+3‬وبالتالي حسب القاعدة فإن النظام هو نظام ديناميكي (‪.)Dynamic Systems‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫(‪ )5.2.3‬النظم السببية (‪ )Causal Systems‬والنظم الغير سببية (‪)Non-causal Systems‬‬ ‫‪.A‬يطلق على النظام أنه سببي (‪ )Causal‬متى ما كان خرجه في أي لحظة زمنية يعتمد على القيمة الحالية والقيمة الماضية للدخل‪.‬وال يعتمد على القيمة المستقبلية للمدخالت‪.‬‬ ‫ويمكن التعرف على أن النظام السببي عندما يكون ناتج قيمة الزمن لخرج النظام أكبر من أو يساوي قيمة زمن الدخل كما في العالقة التالية‪(𝒕𝒐𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕 ≥ 𝒕𝒊𝒏𝒑𝒖𝒕 ( ، y 𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 :‬‬ ‫‪.B‬يطلق على النظام أنه غير سببي (‪ )Non-Causal‬عندما يكون خرج النظام يعتمد على القيمة المستقبلية للمدخالت‪.‬‬ ‫ويمكن التعرف على أن النظام الغير سببي عندما يكون ناتج قيمة الزمن لخرج النظام أصغر من أو يساوي قيمة زمن الدخل كما في العالقة التالية‪(𝒕𝒐𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕 ≤ 𝒕𝒊𝒏𝒑𝒖𝒕 ( ، y 𝒕 ⇒ 𝒙 𝒕 :‬‬ ‫مثال(‪ :)1‬صنف النظام المتقطع المعرف بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫)𝟏 ‪y 𝒏 = 𝒙 𝒏 + 𝒙(𝒏 −‬‬ ‫عند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة (𝟎 = 𝒏)‪ ،‬فإن مخرجات النظام هي‬ ‫)𝟏‪y 𝟎 = 𝒙 𝟎 + 𝒙(−‬‬ ‫نالحظ من الناتج أن مقدار الخرج )‪ 𝑦(0‬يعتمد على القيمة الحالية للدخل )‪ 𝑥(0‬والقيمة الماضية للدخل )‪. 𝑥(−1‬وبالتالي فإن النظام هو سببي (‪.)Causal System‬‬ ‫مثال(‪ :)2‬صنف النظام المستمر المعرف بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐 ‪y 𝒕 = 𝟐𝒙 𝒕 +‬‬ ‫)𝟏 ‪𝒙 (𝒕 +‬‬ ‫عند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة (𝟎 = 𝒕)‪ ،‬فإن مخرجات النظام هي‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐 ‪y 𝟎 = 𝟐𝒙 𝟎 +‬‬ ‫)𝟏‪𝒙 (+‬‬ ‫𝟐‬ ‫نالحظ من الناتج أن مقدار الخرج )‪ 𝑦(0‬يعتمد على القيمة الحالية للدخل ‪ 2𝑥 0‬والقيمة المستقبلية للدخل)𝟏‪. 𝒙 (+‬وبالتالي فإن النظام هو غير سببي (‪.)Non-Causal System‬‬ ‫مثال(‪ :)3‬صنف النظام المتقطع المعرف بعالقة الخرج التالية‪:‬‬ ‫)𝟏 ‪y 𝒏 = 𝒙𝟐 𝒏 + 𝒙(𝒏 − 𝟏) + 𝒙𝟑 (𝒏 +‬‬ ‫وعند التعويض في المعادلة السابقة عن قيمة الزمن (𝟎 = 𝒏)‪ ،‬فإن مخرجات النظام هي‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫)𝟏‪y 𝟎 = 𝒙 𝟎 + 𝒙(−𝟏) + 𝒙 (+‬‬ ‫اعتمادا على نتيجة خرج النظام )‪ 𝑦(0‬نالحظ انه يعتمد على القيمة الحالية للدخل 𝟎 𝟐𝒙 والقيمة الماضية للدخل )‪ 𝑥(−1‬ويعتمد أيضا على القيمة المستقبلية )𝟏‪. 𝒙 (+‬وبالتالي حسب الشرط‬ ‫𝟑‬ ‫النظام هو غير سببي (‪.)Non-Causal System‬‬ ‫‪2‬‬  ‫تابع تصنيف األنظمة (‪)Classification of Systems‬‬ ‫(‪ )6.2.3‬األنظمة القابلة للعكس (‪ )Invertible Systems‬واالنظمة الغير قابلة للعكس (‪)Non-Invertible or Inverse Systems‬‬ ‫‪.A‬يطلق على النظام انه قابل للعكس(‪)Invertible‬‬ ‫يُقال إن النظام قابل للعكس إذا كان من الممكن استرداد مدخالت النظام من مخرجات النظام‪.‬بمعنى اذا كان الخرج 𝒕 ‪ 𝒚ƴ‬للمنظومة العكسية ( 𝟏‪ )𝑺𝒚𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑻−‬يساوي اشارة الدخل 𝒕 ‪ x‬فيطلق على المنظومة انها‬ ‫قابلة للعكس (‪.)Invertible‬كما هو موضح في الشكل (‪ )3.6‬المخطط الصندوقي للنظام القابل للعكس‪.‬‬ ‫يمكن التعبير رياضيا عن النظام القابل للعكس كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝒙 𝑻 𝟏‪𝒙 𝒕 = 𝑻−𝟏 𝒚 𝒕 = 𝑻−‬‬ ‫𝒎𝒆𝒕𝒔𝒚𝒔 𝒆𝒎𝒊𝒕 𝒔𝒖𝒐𝒖𝒏𝒊𝒕𝒏𝒐𝒄 𝒓𝒐𝒇‬ ‫الشكل (‪ )3.6‬المخطط الصندوقي للنظام القابل للعكس‬ ‫𝒏 𝒚 𝟏‪𝒙 𝒏 = 𝑻−‬‬ ‫𝒏 𝒙 𝑻 𝟏‪= 𝑻−‬‬ ‫𝒎𝒆𝒕𝒔𝒚𝒔 𝒆𝒎𝒊𝒕 𝒆𝒕𝒆𝒓𝒄𝒔𝒊𝒅 𝒓𝒐𝒇‬ ‫‪.B‬نظام غير قابل للعكس (‪)Non-Invertible or Inverse System‬‬ ‫اذا كان الخرج 𝒕 ‪ 𝒚ƴ‬للمنظومة العكسية ( 𝟏‪ )𝑺𝒚𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑻−‬ال يساوي اشارة الدخل 𝒕 𝒙 فيطلق على المنظومة انها‬ ‫غير قابلة للعكس (‪.)Non-Invertible‬كما هو موضح في الشكل (‪ )3.7‬المخطط الصندوقي للنظام الغير قابل للعكس‪.‬‬ ‫ويمكن التعبير رياضيا عن النظام الغير قابل للعكس كالتالي‪:‬‬ ‫𝒕 𝒙 𝑻 𝟏‪𝒙 𝒕 ≠ 𝑻−‬‬ ‫𝒎𝒆𝒕𝒔𝒚𝒔 𝒆𝒎𝒊𝒕 𝒔𝒖𝒐𝒖𝒏𝒊𝒕𝒏𝒐𝒄 𝒓𝒐𝒇‬ ‫الشكل (‪ )3.7‬المخطط الصندوقي للنظام الغير قابل للعكس‬ ‫𝒓𝒐‬ ‫𝟏‪𝒙 𝒏 ≠ 𝑻−‬‬ ‫𝒏 𝒙𝑻‬ ‫𝒎𝒆𝒕𝒔𝒚𝒔 𝒆𝒎𝒊𝒕 𝒆𝒕𝒆𝒓𝒄𝒔𝒊𝒅 𝒓𝒐𝒇‬ ‫مثال (‪ : )1‬اذا كان لدينا منظومة قابلة للعكس (‪ )Invertible System‬كالتالي‪:‬‬ ‫نالحظ من الشكل (‪ )3.7a‬ان دخل المنظومة االولى (‪ 𝒙 𝑡 )System 1‬يتم ضربة في (‪ )3‬فنحصل عل الناتج وهو خرج‬ ‫‪1‬‬ ‫هذه المنظومة )𝒕(𝒙 ∙ 𝟑 = 𝒕 𝟏𝒚 ثم يمرر او يتم ضرب هذا الناتج عبر منظومة عكسية وهي ( ) فنتحصل على ناتج الخرج‬ ‫‪3‬‬ ‫والذي يساوي التالي‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫)𝒕(𝒙 = 𝒕 𝒙 ∙ 𝟑 ∙ = 𝒕 𝟏𝒚 = 𝒕 𝒚‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫الشكل (‪)3.7a‬‬ ‫نالحظ من المعادل