نظرية الحزم في المواد الصلبة PDF

‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪ -7‬الكتلة الفعلية‪Effective mass :‬‬ ‫‪،‬‬ ‫في وسط التشتت )‪ (dispersion medium‬فان سرعة الموجة تساوي‬...

‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪ -7‬الكتلة الفعلية‪Effective mass :‬‬ ‫‪،‬‬ ‫في وسط التشتت )‪ (dispersion medium‬فان سرعة الموجة تساوي‬ ‫عندما تنتشر الموجة‬ ‫في بعد واحد وفي ثالثة ابعاد فانها تساوي‬ ‫بينما سرعة مجموعة االمواج )‪(group velocity‬‬ ‫ومن العالقتين‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫و‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪3-23‬‬ ‫نحصل على سرعة االلكترون‬ ‫‪3-24‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫(نتيجة تسليط مجال كهربائي) فان مقدار التغير الحاصل في طاقته‬ ‫عندما يتعرض االلكترون الى قوة خارجية‬ ‫في زمن ‪ dt‬يساوي‬ ‫‪3-25‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫ومن العالقة تربط بين ‪ k,ε‬نحصل على‬ ‫‪3-26‬‬ ‫ومن المعادلتين )‪ (3-25‬و )‪(3-26‬‬ ‫او‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫ولكن‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪-15-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫و ذلك الن ‪ k‬غير ثابتة لوجود المجال الكهربائي‪ ،‬وعليه فان‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪3-27‬‬ ‫و بذلك فان القوة تمثل معدل تغير زخم البلورة ‪ (crystal momentum) ℏ‬ان االلكترون تحت تاثير هذه القوة‬ ‫يتحرك بتعجيل مقداره‬ ‫او‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪3-28‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫ان المعادلة )‪ (3-28‬اللكترون داخل بلورة تمثل قانون نيوتن في الحركة‬ ‫‪3-29‬‬ ‫في المعادلة )‪ (3-28‬هي‬ ‫ان المركبات الثالثة للمتجه‬ ‫‪3-30‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫من الواضح اليمكن تطبيق قانون نيوتن بصيغته البسيطة )‪ (3-29‬الن االلكترون داخل البلورة يعاني من تاثيرات‬ ‫قوى اخرى باالضافة الى المجال الكهربائي المسلط عليه‪.‬وعليه فال بد من ادخال مفهوم الكتلة الفعلية *‪ m‬في‬ ‫المعادلة )‪ (3-29‬لتصبح‬ ‫‪3-31‬‬ ‫وبالمقارنة بين المعادلتين ‪ 33‬و ‪ 31‬نحصل على‬ ‫‪3-32‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪-16-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪.‬ونضرب طرفي المعادلة )‪ (3-31‬نحصل على مركبة‬ ‫وحدة متجه )‪ (unit vector‬باتجاه‬ ‫نفرض ان‬ ‫‪.‬‬ ‫التعجيل المطلوبة‬ ‫‪3-33‬‬ ‫ان اهمية مفهوم الكتلة الفعلية هو لمعرفة مسار االلكترون خالل حزمة الطاقة في بلورة نقية جدا‪.‬نفرض ان شكل‬ ‫العالقة بين ‪ k, ε‬وكما موضح في الشكل )‪.(3-8‬‬ ‫الشكل )‪ (3-8‬حركة االلكترون خالل حزمة الطاقة‪.‬‬ ‫‪ -8‬مفهوم الفجوات الموجبة‪:‬‬ ‫عندما تكون حزمة طاقة مملؤة كليا عدا الحالة التي يكون متجه موجتها ‪ ،‬فيمكن القول انه توجد فجوة )‪(hole‬‬ ‫ايضا‪.‬ان الفجوة تتحرك في مجال وكان لها كتلة فعلية تعاكس تماما‬ ‫عند تلك الحالة ومتجه موجتها يساوي‬ ‫الكتلة الفعلية لاللكترون ولها نفس زخم البلورة‪ ،‬اي‬ ‫‪-17-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪3-34‬‬ ‫ان الفجوات تتولد قرب الحافات العليا من حزمة الطاقة‪ ،‬حيث الكتلة الفعلية لاللكترونات عند تلك الحافات تكون‬ ‫سالبة و بذلك فان الكتلة الفعلية للفجوات وكذلك شحنتها تكون موجبة‪.‬نفرض ان حدود منطقة بريليون تمتد ‪+k‬‬ ‫الى ‪ –k‬و عليه فان معدل التعجيل‬ ‫ان القوة ‪ F‬ال تعتمد على ‪ k‬وباستخدام المعادلة )‪ (3-32‬نحصل على‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫تتناسب مع السرعة والتي تساوي صفر عند حافتي منطقة بريليون‪.‬وبذلك فان معدل تعجيل‬ ‫ولكن‬ ‫فان التعجيل يساوي التكامل اعاله‬ ‫والن عندما تكون حزمة الطاقة مملؤة عدا الحالة التي يكون متجه موجتها‬ ‫اي‬ ‫ناقصا تعجيل االلكترون الذي متجه موجته‬ ‫المتولدة‬ ‫قرب قمة حزمة الطاقة سالبة‪ ،‬فان الكتلة الفعلية للفجوة‬ ‫ولما كانت الكتلة الفعلية لاللكترون‬ ‫نتيجة فقدان الكترون تكون موجبة‪.‬‬ ‫‪ -9‬دراسة سطح فيرمي‪:‬‬ ‫ان دراسة سطح فيرمي ذات اهمية بالغة في فيزياء الحالة الصلبة‪ ،‬حيث شكل سطح فيرمي يساعدنا في غهم‬ ‫الخواص الكهربائية والبصرية في المعادن‪.‬اما الهدف الثاني من ه ذه الدراسة يساعدنا في فهم تركيب حزم الطاقة‬ ‫في المواد الصلبة‪.‬هناك طرق عديدة تستخدم لدراسة سطح فيرمي منها‪:‬‬ ‫‪-18-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪ -1‬الظاهرة السطحية الشاذة‬ ‫‪ -2‬التردد المداري‬ ‫‪ -3‬الظاهرة الصوتية المغناطيسية‬ ‫‪ -4‬ظاهرة دي هاز‪-‬فان الفن‬ ‫ويمكن اجراء التجارب اعاله في حالة تحقق الشروط التالية‬ ‫‪ -1‬توفر بلورة اخادية التبلور‬ ‫‪ -2‬بلورة نقية جدا‬ ‫‪ -3‬درجات ح اررة واطئة‬ ‫‪ -4‬مجال مغناطيسي عالي‬ ‫ان من اهم الطرق المستخدمة في قياس سطح فيرمي هي ظاهرة دي هاز‪-‬فان الفن حيث ان نتائجها العملية‬ ‫تحقق معلومات دقيقة عن سطح فيرمي ولمعظم المعادن‪.‬‬ ‫‪ -1-9‬الظاهرة السطحية الشاذة‪:‬‬ ‫اجريت اول دراسة لتحديد شكل سطح فيرمي من قبل العالم ببارد )‪ (Pippard‬وذلك بقياس انعكاس وامتصاص‬ ‫الموجات الكهرومغناطيسية الدقيقة )‪ (electromagnetic microwave‬من سطح معدن النحاس (بغيايب‬ ‫المجال المغناطيسي) واذا كان تردد الموجات الدقيقة ‪ ω‬ليس كبيرا‪ ،‬فان المجال الناتج عن هذه الموجات سوف‬ ‫حيث‬ ‫يخترق المعدن لمسافة‬ ‫‪3-35‬‬ ‫‪-19-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫العمق السطحي الكالسيكي )‪ (classical skin depth‬و ‪ σ‬التوصيلية الكهربائية تم اشتقاق المعادلة‬ ‫وتسمى‬ ‫اكبر من معدل مسار االلكترون الحر ‪.l‬عندما تكون البلورة تقية جدا‬ ‫اعاله على اساس ان العمق السطحي‬ ‫تقترب او اقل من معدل مسار االلكترون الحر ‪ l‬وبذلك فاننا نحتاج الى‬ ‫وعند درجات ح اررية واطئة جدا فان‬ ‫وبذلك تسمى الظاهرة‬ ‫نظرية اكثر دقة لتفسير سبب عدم استخدام نظرية تناقص المجال اسيا خالل المسافة‬ ‫يساهم في عملية التوصيل الكهربائي وعليه فان‬ ‫السطحية الشاذة ان جزءا من االلكترونات يساوي‬ ‫كثافة االلكترونات الفعالة ‪ δ‬هي العمق السطحي‪.‬وبذلك فان‬ ‫حيث ‪ n‬كثافة االلكترونات و‬ ‫هي التوصيلية الكهربائية الفعالة‬ ‫التوصيلية الكهربائية االعتيادية و‬ ‫حيث‬ ‫‪3-36‬‬ ‫وبالتعويض عن ‪ σ‬ب ‪ σeff‬في المعادلة )‪ (3-35‬نحصل على‬ ‫‪3-37‬‬ ‫من المعادلتين ‪ 33‬و‪ 33‬نحصل على‬ ‫‪3-38‬‬ ‫وال تعتمد على مسار االلكترون الحر وبذلك‬ ‫نالحظ من المعادلة اعاله ان التوصيلية الفعالة تتناسب مع‬ ‫فاننا ضمن حالة شاذة تدعى الظاهرة السحية الشاذة‪.‬ان من اهم مميزات هذه الظاهرة هو اعتمادها على الشكل‬ ‫‪-20-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫الهندسي لسطح فيرمي وذلك الن االلكترونات التي تسير موازية للسطح هي التي تساهم في عملية التوصيل‬ ‫الكهربائي‪.‬‬ ‫‪ -2-9‬التردد المداري (السايكترون)‪:‬‬ ‫فى هذه الظاهرة عند تطبيق مجال مغناطيسي عمودي على شريحة معدنية فإن ذلك يجعل اإللكترونات تتحرك‬ ‫فى مسار دائري عكس اتجاه حركة عقارب الساعة فى مستوى عمودي على المجال وكما موضح بالشكل ‪(3-‬‬ ‫)‪9‬أ‪.‬تسمى مثل هذه الحركة بحركة السيكلوترون‪.‬يعطى تردد هذه الحركة (تردد السيكلوترون) بالعالقة اآلتية‬ ‫‪3-39‬‬ ‫الشكل )‪ (3-9‬أ‪ -‬رسم تخطيطي يبين حركة السيكلوترون‪ ،‬ب‪ -‬اعتماد معامل االمتصاص على التردد‪.‬‬ ‫بالتعويض فى هذه المعادلة بكتلة اإللكترون الحر نجد أن التردد الخطى للسيكلوترون يكون‬ ‫ويكون في مدى‬ ‫حيث ‪ B‬بالكيلوكاوس‪ ،‬فإذا كانت ‪ B=1kG‬فان التردد يكون‬ ‫المواجت الدقيقة‪.‬‬ ‫‪-21-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫افترض اآلن أن إشارة كهرومغناطيسية تمر عبر الشريحة المعدنية فى اتجاه موازى للمجال‬ ‫المغناطيسي‪ ،‬فإن المجال الكهربي لإلشارة سوف يؤثر على اإللكترونات ويتم إمتصاص جزء من‬ ‫طاقة اإلشارة بواسطة اإللكترونات ‪.‬يكون معدل اإلمتصاص قيمة عظمى عندما يتساوى تردد‬ ‫اإلشارة مع تردد السيكلوترون‪ ،‬أي أن‪،‬‬ ‫تعبر هذه المعادلة عن حالة الرنين فى السيكلوترون وعندما تتحقق هذه الحالة يكون اإللكترون فى‬ ‫طور واحد مع الموجة على مدى كامل الدورة ‪.‬عندما ال تتحقق هذه المعادلة فإن اإللكترون يكون‬ ‫فى طور واحد مع الموجة على مدى جزء من الدورة يمتص فيها الطاقة من الموجة وفى باقي‬ ‫الدورة يكون خارج طور الموجة ويفقد الطاقة التى امتصها‪.‬‬ ‫يستخدم تردد السيكلوترون بشكل شائع فى قياس كتلة اإللكترون فى المعادن والمواد شبه الموصلة ‪.‬‬ ‫يتم تعيين تردد السيكلوترون من المنحنى ويعوض به فى المعادلة )‪ (3-39‬لحساب قيمة الكتلة‬ ‫الفعالة لإللكترون ‪.‬وتعتبر هذه الطريقة دقيقة جدا وخاصة عند استخدام شعاع الليزر‪.‬‬ ‫‪ -3-9‬الظاهرة الصوتية المغناطيسية‪:‬‬ ‫يمكن الحصول على معلومات مباشرة عن الشكل الهندسي لسطح فيرمي وذلك عن طريق قياس توهين‬ ‫)‪ (attenuation‬الموجات الصوتية في المعادن خالل انتشارها عموديا على مجال مغناطيسي منتظم و خاصة‬ ‫اذا كانت الموجة ناتجة عن ازاحة االيونات التي تكون عمودية على اتجاه انتشارها وعلى اتجاه المجال‬ ‫المغناطيسي المسلط لما كانت هذه االيونات مشحونة كهربائيا‪ ،‬فان الموجة تكون مصحوبة بمجال كهربائي له‬ ‫نفس التردد ومتجه الموجة واالستقطاب‪.‬ان االلكترونات في المعدن تتصادم مع الموجة الضوئية من خالل هذا‬ ‫المجال الكهربائي وعليه اما ان تكون معرقلة او مقوية النتشار الموجة‪.‬اذا استطاع االلكترون ان يعمل عدة‬ ‫مدارات كاملة بوجود المجال المغناطيسي قبل تصادمه فان توهين الموجات الصوتية يعتمد على الطول الموجي‬ ‫بطريقة تعكس لنا الشكل الهندسي لسطح فيرمي‪.‬عندما يقترب الطول الموجي للموجة الصوتية من ابعاد المدار‬ ‫‪-22-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫االلكتروني فان تاثير المجال الكهربائي للموجة على االلكترون يعتمد على مدى تقارب طول الموجة ‪ l‬مع اقصى‬ ‫بعد خطي ‪ lc‬للمدار باتجاه انتشار الموجة (‪ lc‬يمثل قطر مدار االلكترون)‪.‬عندما يكون االلكترون في مدار قطره‬ ‫يساوي نصف طول الموجة فان االلكترون بتعجيل دائم (بتباطأ دائم) خالل مداره الكامل بواسطة الموجة‬ ‫الصوتية‪.‬اما اذا كان قطر المدار مساويا الى طول موجة كاملة فان االلكترون يتغجل دائما خالل جزء من مداره‬ ‫ويتباطأ في الجزء المتبقي من المدار وكما موضح بالشكل )‪.(3-10‬اي ان اقتران االلكترون بالموجة يكون‬ ‫ضعيفا عندما يساوي قطر مداره ‪ nl‬ويكون قويا عندما يساوي قطر مداره ‪ ،(n+1/2)l‬اي‬ ‫اقتران ضعيف‬ ‫اقتران قوي‬ ‫لذا فان االلكترونات ال قريبة من سطح فيرمي تستطيع التاثير على توهين الموجات الصوتية الن مبدا االنفراد يمنع‬ ‫االلكترونات ذات الطاقات القليلة من تبادل كميات قليلة من الطاقة مع الموجة‪.‬ان التوهين والموجات الصوتية‬ ‫تتغير دوريا مع مقلوب الطول الموجي‪ ،‬وان الدورة تساوي مقلوب اقصى قطر لسطح فيرمي باتجاه انتشار الموجة‪.‬‬ ‫اي‬ ‫‪3-40‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪lc‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪lc‬‬ ‫الشكل )‪ (3-10‬مدار االلكتروني قطره يساوي نصف طول الموجة الصوتية وطول موجة كاملة‪.‬‬ ‫‪-23-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪ -4-9‬ظاهرة دي هاز‪-‬فان الفن‪:‬‬ ‫في هذه التجربة يتطاب بلورة نقية جدا ومجال مغناطيسي عالي عند درجات ح اررة واطئة‪.‬تكون المدارات‬ ‫‪ ℏ‬عندما يكون المجال المغماطيسي موازي للمحور ‪ ،z‬اي‬ ‫االلكترونية مكممة بوحدات طاقة‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪3-41‬‬ ‫اي ان طاقة المدارات االلكترونية هي مجموع الطاقة المكممة للحركة الدورانية في مستو عمودي على المجال و‬ ‫الطاقة االنتقالية باتجاه المجال‪ ،‬لما كانت‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪3-42‬‬ ‫‪3-43‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫ان المعادلة )‪ (3-42‬تتحقق عندما‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪3-44‬‬ ‫مساحة المدار في فضاء ‪.k‬ومن المعادلتين ‪ 41‬و ‪ 44‬نحصل على‬ ‫حيث‬ ‫‪3-45‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪.‬ان‬ ‫نستنتج من المعادلة اعاله ان المساحة الدارية لالكترون هي مكممة ايضا في فضاء ‪ k‬بوحدات‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫المستويات الجديدة موجود مجال مغناطيسي تسمى مستويات النداو )‪.(Landau levels‬ان المساحة بين‬ ‫سطحي الطاقة التي تفصلهما طاقة مكممة قدرها ‪ dε‬هي‬ ‫‪-24-‬‬  ‫النظرية الحزم في المواد الصلبة‬ ‫فيزياء الحالة الصلبة المتقدم‪ :‬المرحلة الرابعة‬ ‫الفصل الثالث‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫عند زيادة قيمة المجال المغناطيسي المسلط فان مستويات النداو تكبر وتترك سطح فيرمي وهذا يؤدي الى ظاهرة‬ ‫التذبذب في معظم الخواص الفيزياوية في المعادن كالمقاومة النوعية والح اررة النوعية‪.‬وعند هذه الحالة فان‬ ‫‪3-46‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫اقصى مساحة ‪ external area‬للمدار‪.‬عندما تكون ‪ n‬كبيرة )‪ (n=104‬فمن ‪ 43‬نحصل على‬ ‫حيث‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫ويسمى تردد دي هاز‪-‬فان الفن‪.‬ان العزم المغناطيسي ‪ (magnetic momentum) μ‬عند‬ ‫حيث‬ ‫‪ ،‬حيث ‪ μ‬يتذبذب مع ‪ 1/B‬وكما في الشكل ‪(3-‬‬ ‫درجة ح اررة الصفر المطلق ياخذ الصيغة التالية‬ ‫)‪.11‬ان تذبذب العزم المغناطيسي عند تغير المجال و في درجات ح اررة الواظئة يدعى ظاهرة دي هاز‪-‬فان‬ ‫الفن‪.‬ان التذبذب يحصل بفترات متساوية من ‪ ،1/B‬وعليه‬ ‫‪3-47‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫يمكن الحصول على مساحة سطح فيرمي ومنها يمكن معرفة شكل وابعاد سطح فيرمي‪.‬‬ ‫من قياس‬ ‫‪μ‬‬ ‫الشكل )‪ (3-11‬العزم المغناطيسي كدالة ‪.1/B‬‬ ‫‪-25-‬‬