Simple Harmonic Motion PDF

‫ُ‬ ‫الحركة التوافق ّي ُة‬ ‫ُ‬ ‫البسيطة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻫﺪاف‪:‬‬ ‫ف الحركة التوافقيّة‬ ‫يتعر ُ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫البسيطة‪.‬‬ ‫٭ ٭يرب ُ‬ ‫بين الحركة الدائريّة‬ ‫ط َ‬ ‫المنتظمة والحركة التوافقيّة‬ ‫البسيطة‪.‬‬ ‫ف تواب َع الحركة‬ ‫يتعر ُ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫التوافقيّة البسيطة‪.‬‬ ‫ح بيانيّاً تواب َع الحركة‬ ‫٭ ٭يو ّ‬ ‫ض ُ‬ ‫ا...

‫ُ‬ ‫الحركة التوافق ّي ُة‬ ‫ُ‬ ‫البسيطة‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻫﺪاف‪:‬‬ ‫ف الحركة التوافقيّة‬ ‫يتعر ُ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫البسيطة‪.‬‬ ‫٭ ٭يرب ُ‬ ‫بين الحركة الدائريّة‬ ‫ط َ‬ ‫المنتظمة والحركة التوافقيّة‬ ‫البسيطة‪.‬‬ ‫ف تواب َع الحركة‬ ‫يتعر ُ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫التوافقيّة البسيطة‪.‬‬ ‫ح بيانيّاً تواب َع الحركة‬ ‫٭ ٭يو ّ‬ ‫ض ُ‬ ‫التوافقيّة البسيطة‪.‬‬ ‫يستنتج عالقة الطاقة‬ ‫٭٭‬ ‫ُ‬ ‫الميكانيكيّة في الحركة‬ ‫التوافقيّة البسيطة‪.‬‬ ‫ف التطبيقا ِ‬ ‫ت الحياتيّةَ‬ ‫يتعر ُ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫للحركة التوافقيّة البسيطة‪.‬‬ ‫٭ ٭يعطي أمثلةً من حياته اليوميّة‬ ‫ِ‬ ‫للحركة التوافقي ّ ِة البسيطة‪.‬‬ ‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﻴﺔ‪:‬‬ ‫٭ ٭نابض‬ ‫قوة اإلرجاع‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫٭ ٭المطال‬ ‫السعة‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫٭ ٭الدّور‬ ‫٭ ٭التواتر‬ ‫٭ ٭الطاقة الكامنة المرونيّة‬ ‫٭ ٭الطاقة الحركيّة‬ ‫٭ ٭الطاقة الميكانيكيّة‬ ‫‪6‬‬ ‫ض المبــادئ‬ ‫تعتم ـ ُد الكثيـ ُـر مــن اآلالت الصناعيّــة فــي عملهــا علــى تطبي ـ ِق بع ـ ِ‬ ‫الفيزيائيّــة كالحركـ ِـة التوافقيّـ ِـة البســيطة‪.‬‬ ‫نشاط (‪:)1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ـع المعــادن يعم ـ ُل‬ ‫يو ّ‬ ‫ضـ ُ‬ ‫ـاور ِمنشــارا ً لقطـ ِ‬ ‫ـح الشــك ُل المجـ ُ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫آليّــاً‬ ‫بســرعة‬ ‫يــدور‬ ‫كهربائــي‬ ‫بمحــر ٍك‬ ‫وصلــه‬ ‫بوســاطة‬ ‫ٍّ‬ ‫ُ‬ ‫ّ‬ ‫زاويّـ ٍـة ثابتـ ٍـة‪.‬‬ ‫‪1 .1‬ما شك ُل مسار حركة النقطة ‪ B‬من البكرة؟‬ ‫‪2.2‬ما شك ُل مسار حركة النقطة ‪ A‬من المنشار؟‬ ‫‪3.3‬بات ّجــا ٍه واحــ ٍد حركــة ُ النقطــة ‪ A‬أم باتجاهيــن‬ ‫متعا كســين ؟‬ ‫‪2.2‬أُسـلّط حزمـةً ضوئي ّـةً أفقي ّـاً ليتشـ ّكل خيــا ٌل للكــرة فــي‬ ‫ـاقولي‪.‬‬ ‫مســت ٍو شـ‬ ‫ٍّ‬ ‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫محــرك‬ ‫بوســاطة‬ ‫ثابتــة‬ ‫بســرعة زاوي ّ ٍــة‬ ‫القــرص‬ ‫ديــر‬ ‫َ‬ ‫ّ‬ ‫‪3.3‬أ ُ ُ‬ ‫كهربائــي‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫الشاقولي‪.‬‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫الكرة‬ ‫خيال‬ ‫ة‬ ‫حرك‬ ‫أصف‬ ‫‪4 .4‬‬ ‫َ‬ ‫ُ‬ ‫ّ‬ ‫ض‬ ‫‪5.5‬أقــار ُن حركــةَ الخيــال بحركــة جســم معلّــ ٍق بنابــ ٍ‬ ‫شــاقولي‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫ﻗﺮﺹ ﻳﺪﻭﺭ‬ ‫ﺑﺤﺮﻛﺔ ﺩﺍﺋﺮﻳﺔ‬ ‫ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ‬ ‫ﺧﻴﺎﻝ ﺍﻟﻜﺮﺓ‬ ‫نشاط (‪:)2‬‬ ‫ﺣﺰﻣﺔ‬ ‫ت كــر ًة صغيــر ًة بالقــر ِ‬ ‫ص قابــل‬ ‫ب مــن محيــط قــر ٍ‬ ‫‪1 .1‬أُثب ّـ ُ‬ ‫ٍ ﺿﻮﺋﻴﺔ‬ ‫للــدوران حــول محــو ٍر كمــا فــي الشــكل‪.‬‬ ‫ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ﻛﺮﺓ ﻣﺜﺒﺘﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺮﺹ‬ ‫‪x‬‬ ‫أستنتج‬ ‫نقطة ٍ‬ ‫حركة ُ الخيا ِل هي حركة ٌ اهتزازيّة ٌ إلى جانبَي ٍ‬ ‫ُسمى مرك َز االهتزاز‪.‬‬ ‫ثابتة ت ّ‬ ‫نشاط (‪:)3‬‬ ‫ســرعة ابتدائي ّ ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫ــة علــى‬ ‫أتــر ُك كــر ًة مع ِدنيّــةً صغيــر ًة دو َن‬ ‫طــر ِ‬ ‫ـح فــي‬ ‫س مُق ّع ـ ٍر كمــا هــو مو ّ‬ ‫ف وعـ ٍـاء دائــري أمل ـ ٍ‬ ‫ضـ ٌ‬ ‫الشــكل‪:‬‬ ‫تتحر ُك الكرةُ بات ّجاه واح ٍد مقارنةً بالنقطة ‪ A‬؟‬ ‫‪1 .1‬هل‬ ‫ّ‬ ‫‪2.2‬ماذا تمث ّ ُل النقطة ُ ‪ A‬مقارنةً بحركة الكرة؟‬ ‫تتحرك؟‬ ‫‪3.3‬هل سرعة ُ الكرة ثابتة ٌ وهي‬ ‫ّ‬ ‫موضع تنعدم ُ سرعة ُ الكرة؟‬ ‫‪4 .4‬في أيِّ‬ ‫ٍ‬ ‫‪A‬‬ ‫نتيجة‪:‬‬ ‫نقطة ٍ‬ ‫الحركة ُ االهتزازيّةُ‪ :‬حركة جسم ٍ يهت ُّز إلى جانبَي ٍ‬ ‫مركز التوازن‪.‬‬ ‫مركز االهتزاز‪ ،‬أو َ‬ ‫ثابتة تُسمّى َ‬ ‫ـح مثــا ٍل علــى الحركــة التوافقيّة البســيطة‪،‬‬ ‫صلْــب معل ّـ ٍق بنابـ ٍ‬ ‫ض مــر ٍن حلقاتُــهُ متباعــدةٌ هــي أوضـ ُ‬ ‫إنّ حركـة َ اهتــزا ِز جسـم ٍ ُ‬ ‫ويُدعــى هــذا النـ ّـواس المرنَ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ُ‬ ‫بني احلرك ِة الدائر ّي ِة املنتظم ِة واحلرك ِة التوافق ّي ِة البسيطة (متثيل فرينل)‪:‬‬ ‫العالقة َ‬ ‫نشاط (‪:)4‬‬ ‫ٍ‬ ‫بحركــة‬ ‫فــي الشــك ِل المجــاو ِر‬ ‫تــدور نقطــة ٌ ماديّــة ‪M‬‬ ‫ُ‬ ‫ٍ‬ ‫ع الموضــع‬ ‫دائري ّ ٍــة‬ ‫منتظمــة ســرعتُها الزاويّــة ‪ ~ 0‬وشــعا ُ‬ ‫(شــعاع نصــف القطــر) ‪ OM‬طويلتــه ‪: X max‬‬ ‫يصنعهــا ‪ OM‬مــع المحــور ‪xl x‬‬ ‫ـمي الزاويـةَ التــي‬ ‫ُ‬ ‫‪1 .1‬أسـ ّ‬ ‫‪ω0‬‬ ‫فــي اللحظة ‪ t = 0‬؟‬ ‫‪0‬‬ ‫يصنعهــا ‪ OM‬مــع المحــور ‪xl x‬‬ ‫ـمي الزاويـةَ التــي‬ ‫ُ‬ ‫‪2.2‬أسـ ّ‬ ‫‪Xmax‬‬ ‫فــي اللحظــة ‪ t‬؟‬ ‫‪X‬‬ ‫{‬ ‫ـن أ َ طويلـة ُ الشــعاع ‪ OM‬ثابتـة ٌ هــي أم متغيّــرةٌ عنـ َ‬ ‫‪max‬د ‪M‬‬ ‫‪3.3‬أُبيّـ ُ‬ ‫‪T‬‬ ‫الدوران؟‬ ‫)‬ ‫ـح هــل مســق ُ‬ ‫ط الشــعاع ‪ OM‬علــى المحــور ‪xl x‬‬ ‫‪4 .4‬أ ُ ّ‬ ‫{‪+‬‬ ‫ضـ ُ‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪w‬‬ ‫~‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫يتغيّــر عن َد الــدوران؟‬ ‫‪5.5‬أكتب عالقة ) { ‪ cos (~ 0 t +‬بداللة ‪ ، x‬و ‪. X max‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪Xmax‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪Xmax‬‬ ‫‪x‬‬ ‫أستنتج‬ ‫بين الشعاع ‪ OM‬والمحور ‪ xl x‬في اللحظة ‪. t = 0‬‬ ‫ور‬ ‫ُّ‬ ‫االبتدائي للحركة { هو الزاوية ُ َ‬ ‫– –الط ّ ُ‬ ‫بين الشعاع ‪ OM‬والمحور ‪ xl x‬في اللحظة ‪. t‬‬ ‫طور الحركة ) { ‪ (~ 0 t +‬هو الزاوية ُ َ‬ ‫–– ُ‬ ‫– –سعة ُ الحركة ‪ X max‬هي طويلة ُ الشعاع ‪ OM‬الثابتة عن َد الدوران‪.‬‬ ‫الخاص للحركة ‪ ~ 0‬يقابل السرعة الزاويّة الثابتة التي تدور بها النقطة ‪. M‬‬ ‫النبض‬ ‫–– ُ‬ ‫ُّ‬ ‫– –مطا ُل الحركة ‪ x‬هو مسق ُ‬ ‫ط الشعاع ‪ OM‬على المحور ‪ xl x‬وهو متغيّر بتغيّر الزمن‪.‬‬ ‫– –النسبة‪. cos (~ 0 t + { ) = Xxmax :‬‬ ‫ـي لحركـ ِـة المسـ ِ‬ ‫ـمى‬ ‫ـقط تاب ـ ٌع َ‬ ‫جيبـ ٌّ‬ ‫– –التابـ ُ‬ ‫ـي مــن الشــكل‪ x = X max cos (~ 0 t + { ) :‬لذلــك ت ُسـ ّ‬ ‫ـع الزمنـ ُّ‬ ‫جيبي ّـةً انســحابيّةً (توافقيّــة بســيطة)‪.‬‬ ‫الحرك ـة ُ َ‬ ‫‪8‬‬ ‫النواس امل ِر ُن‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫نشاط (‪:)5‬‬ ‫ــق كــر ًة كتلتُهــا‬ ‫‪1 .1‬أُعل ّ ُ‬ ‫‪x‬‬ ‫ِ‬ ‫الكتلــة‬ ‫ض مــر ٍن مهمــ ِل‬ ‫‪ m‬بنابــ ٍ‬ ‫ِ‬ ‫صالبتــه ‪ ، k‬مــاذا أُالحــظ؟‬ ‫ت‬ ‫حلقات ُــه متباعــدةٌ‪ ،‬ثابــ ُ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.2‬أح ّددُ القوى المؤثّرة في الكرة بعد توازنها؟‬ ‫‪1‬‬ ‫نحــو األســف ِل مســافةً مناســبةً (ضمــن‬ ‫‪3.3‬أشــ ّد الكــر َة‬ ‫َ‬ ‫‪0‬‬ ‫حــدود مرونــة النابــض) دو َن أ ْن أتركَهــا‪ ،‬وأحــ ّددُ‬ ‫‪1‬‬ ‫القــوى المؤثّــرة فــي الكــر ِة عندئــذ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ض فــي الحالــة ‪ ، A‬وقــوة‬ ‫'‪3 x‬‬ ‫ـن قـ ّـوة توتّــر الناب ـ ِ‬ ‫‪4 .4‬أقــار ُن بيـ َ‬ ‫توتــر النابــض فــي الحالــة ‪ B‬؟‬ ‫ِ‬ ‫لتتحرك (الحالة ‪ ،) C‬وأالح ُ‬ ‫حركتها‪.‬‬ ‫ظ شك َل مسا ِر‬ ‫‪5.5‬أتر ُك الكر َة‬ ‫ّ‬ ‫ِ‬ ‫حركة الكر ِة عن َد اقترابِ ها من مرك ِز االهتزاز؟ وعند ابتعا ِدها عنه؟‬ ‫‪6.6‬ما طبيعة ُ‬ ‫‪7 .7‬أح ّددُ المواض َع التي تنعدم ُ فيها السرعةُ‪.‬‬ ‫‬‫‪-‬‬ ‫‪xo‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫‬‫‪x‬‬ ‫ّقوة اإلرجاع‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫حالة السكون‪:‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺴﻜﻮﻥ‬ ‫النابــض مســافةَ ‪ x 0‬بعــد تعليــق الجســم فيــه‪،‬‬ ‫يســتطي ُل‬ ‫ُ‬ ‫قوتيــن‪ :‬قـ ّـوة ِ‬ ‫ثقلــه ‪ w‬وقـ ّـوة توتّــر‬ ‫ـم بتأثيــر ّ‬ ‫ويتــواز ُن الجسـ ُ‬ ‫ـم ســاكن‪:‬‬ ‫النابــض ‪ Fs0‬وبمــا أ ّن الجسـ َ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪|F= 0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪w + Fs 0 = 0‬‬ ‫‪Fs 0‬‬ ‫‪xo‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نحو األسفل‬ ‫باإلسقاط على محو ٍر‬ ‫شاقولي مو ّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ج ٍه َ‬ ‫‪W‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Fsl0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪w - Fs 0 = 0‬‬ ‫‪w = Fs 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ب له االستطالة ‪ x 0‬إذْ‪:‬‬ ‫تؤثّر في الناب ِ‬ ‫القوة ‪ Fsl0‬التي تسب ّ ُ‬ ‫ض ّ‬ ‫‪Fsl0 = Fs0 = k x 0‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ‬ ‫ض نج ُد‪w = k x 0 :‬‬ ‫بالتعوي ِ‬ ‫المقدار ‪ x 0‬االستطالةَ السكونيّة‪.‬‬ ‫سمى‬ ‫يُ ّ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫حالة الحركة‪:‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫القــوى الخارجيّــة ُ المؤثّــرةُ فــي مركــز عطالــة الجســم‪:‬‬ ‫وقــوة الثقــل‪w :‬‬ ‫قــوة توت ّــر النابــض‪Fs :‬‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬ ‫بتطبيق قانون نيوتن الثاني‪:‬‬ ‫‪| F = ma‬‬ ‫‪W + Fs = m a‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪Xmax‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Xmax‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Fs‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫‪W‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F's‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫نحو األسفل‪:‬‬ ‫باإلسقاط على محو ٍر‬ ‫شاقولي مو ّ‬ ‫ٍّ‬ ‫ج ٍه َ‬ ‫‪w - Fs = m a‬‬ ‫ب له االستطالة )‪ ( x + x 0‬إذْ‪:‬‬ ‫تؤثّر في الناب ِ‬ ‫القوة ‪ Fsl‬التي تسب ّ ُ‬ ‫ض ّ‬ ‫ض نج ُد‪:‬‬ ‫)‪ Fsl = Fs = k ( x + x 0‬بالتعوي ِ‬ ‫‪w - k ( x - x 0) = m a‬‬ ‫‪w - k x - k x0 = m a‬‬ ‫‪w = Fs0 = k x 0‬‬ ‫‪-k x = m a = F‬‬ ‫‪F = -k x‬‬ ‫لكن‬ ‫نتيجة‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫ـم‬ ‫إنّ ّ‬ ‫محصلـة َ القــوى الخارجيّــة المؤثّــرة فــي مركــز عطالــة الجســم فــي ك ّل لحظــة هــي قـ ّـوة إرجــا ٍع ألنّهــا تُعيـ ُد الجسـ َ‬ ‫وتعاكســه باإلشــارة‪.‬‬ ‫ـب طــرداً مــع المطــال ‪، x‬‬ ‫ُ‬ ‫إلــى مركـ ِز االهتــزا ِز دومـاً‪ ،‬وهــي تتناسـ ُ‬ ‫‪1.‬استنتاجُ طبيعة حركة النوّاس المرن‪:‬‬ ‫يتغيّـ ُـر مطــا ُل الجســم (زيــاد ًة ونقصان ـاً) بمــرو ِر الزمــن إذْ‬ ‫متناظريــن بالنســبة إلــى‬ ‫الجســم بيــن موضعيــن‬ ‫يتحــر ُك‬ ‫ّ‬ ‫َ‬ ‫ُ‬ ‫مركــز االهتــزاز‪ ،‬فمــا طبيع ـة ُ هــذه الحركــة؟‬ ‫مركــز‬ ‫يخضــع لهــا‬ ‫محصلــةَ القــوى الخارجيّــة ِالتــي‬ ‫إ ّن‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫ّ‬ ‫عطالــة الجســم ت ُعطــى بالعالقــة‪:‬‬ ‫‪F = m a = -k x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪a=-mx‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪( x ) t = - m xfff (1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫مرتيــن‬ ‫صحــة الحــ ّل‬ ‫للتح ّقــ ِق مــن ّ‬ ‫ّ‬ ‫نشــتق تابــع المطــال ّ‬ ‫بالنســبة لل ّزمــن نجــد‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪~ 20 = m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m 20‬‬ ‫= ‪~0‬‬ ‫وهذا مح ّق ٌق أل ّن ‪ k, m‬موجبان‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-Xmax‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪x = X max cos (~ 0 t + { ) fff (2‬‬ ‫بالمقارنة بين )‪ (1‬و )‪ (3‬نجد أنّ‪:‬‬ ‫ﻭﺭﻕ ﻳﺴﻴﺮ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫وهــي معادلــة ٌ تفاضليّــة ٌ مــن المرتبــة الثانيــة تقبــ ُل ّ‬ ‫حــا ً‬ ‫جيبيّــاً مــن الشــكل‪:‬‬ ‫) { ‪)lt = v = - ~ 0 X max sin (~ 0 t +‬‬ ‫) { ‪)mt = a = - ~ 20 X max cos (~ 0 t +‬‬ ‫)‪)mt = - ~ 20 x fff (3‬‬ ‫ﺍﺳﻄﻮﺍﻧﺔ ﻣﻠﻔﻮﻑ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻭﺭﻕ ﻭﺗﺪﻭﺭ‬ ‫ﺑﺴﺮﻋﺔ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+Xmax‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫نتيجة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫ـي للمطــال‬ ‫إنّ حركـة َ النـ ّـواس المــرن هــي حركـة ٌ جيبيّـة ٌ انســحابيّة ٌ (هــزازة توافقيّــة بســيطة) الشــكل العــام للتابــع الزمنـ ّ‬ ‫(الموضــع) يُعطــى بالعالقــة‪x = X max cos (~ 0 t + { ) :‬‬ ‫‪ x‬المطا ُل أو‬ ‫(موضع الجسم) في اللحظة ‪ t‬ويق ّد ُر بالمتر ‪. m‬‬ ‫ُ‬ ‫‪ X max‬سعة ُ الحركة وتق ّد ُر بالمتر ‪. m‬‬ ‫‪ ~ 0‬النبض الخاص للحركة ويق ّد ُر ‪rad.s -1‬‬ ‫ِ‬ ‫الحركة في اللحظة ‪. t‬‬ ‫طور‬ ‫) { ‪ُ (~ 0 t +‬‬ ‫{‬ ‫االبتدائي في اللحظة ‪ t = 0‬ويق ّد ُر بالراديان ‪. rad‬‬ ‫الطور‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫ندعو ّ‬ ‫ت الحركة‪.‬‬ ‫كل ً من ‪ { ، ~ 0 ، X max‬ثواب َ‬ ‫للنواس المرن‪:‬‬ ‫الخاص‬ ‫ور‬ ‫استنتاج‬ ‫‪2.‬‬ ‫ُ‬ ‫عالقة ّ‬ ‫ِّ‬ ‫ّ‬ ‫ِ‬ ‫الد ِ‬ ‫بما أنّ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪~0 = T‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪~0‬‬ ‫بالمساوا ِة نج ُد‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫= ‪T0‬‬ ‫‪T0 = 2r‬‬ ‫المتخام ِد‪.‬‬ ‫وهي عالقة ُ الدّو ِر‬ ‫ِّ‬ ‫للنواس المر ِن غي ِر ُ‬ ‫الخاص ّ‬ ‫الس ِ‬ ‫ِ‬ ‫الخاص‪:‬‬ ‫الدور‬ ‫أستنتج أ ّن‬ ‫ابقة‬ ‫من‬ ‫َّ‬ ‫العالقة ّ‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫بسعة االهتزاز ‪. X max‬‬ ‫– –ال يتعل ّ ُق‬ ‫ِ‬ ‫لكتلة الجسم ِ المهت ّز ‪. m‬‬ ‫التربيعي‬ ‫يتناسب طردا ً مع الجذ ِر‬ ‫––‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫التربيعي لثاب ِ‬ ‫صالبة النابض ‪. k‬‬ ‫ت‬ ‫يتناسب عكساً مع الجذ ِر‬ ‫––‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫النواس املر ِن‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫توابع حرك ِة ّ‬ ‫المطال‪:‬‬ ‫تابع‬ ‫‪ُ 1.‬‬ ‫ِ‬ ‫الزمني للمطال‪:‬‬ ‫للتابع‬ ‫الشك ُل العامُّ‬ ‫ِّ‬ ‫ِ‬ ‫) { ‪x = X max cos (~ 0 t +‬‬ ‫الجسم كان في مطاله األعظمي الموج ِ‬ ‫ب ‪ x = +X max‬في اللحظة ‪ t = 0‬؟‬ ‫ض أ ّن‬ ‫ما شك ُل هذا‬ ‫التابع بفر ِ‬ ‫ِ‬ ‫َ‬ ‫ّ‬ ‫‪t = 0 , x = +X max‬‬ ‫ض في الشكل العا ِّم لتابع المطال‪:‬‬ ‫أعو ُ‬ ‫ّ‬ ‫) { ‪X max = X max cos (0 +‬‬ ‫{ ‪X max = X max cos‬‬ ‫‪cos { = 1‬‬ ‫‪{ = 0 rad‬‬ ‫‪11‬‬ ‫التابع شكال ً مختزال ً‪X max = X max cos { :‬‬ ‫فيأخ ُذ‬ ‫ُ‬ ‫‪2r‬‬ ‫لدينا‪~ 0 = T :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫ض في التابع فأج ُد‪x = X max cos T t :‬‬ ‫أعو ُ‬ ‫ّ‬ ‫‪0‬‬ ‫اآلتي‪:‬‬ ‫الجدول‬ ‫ل‬ ‫كم‬ ‫أُ ُ‬ ‫َ‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪- X max‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+X max‬‬ ‫)‪x(m‬‬ ‫‪+X max‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‪t(s‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪- X max‬‬ ‫ـي لتغيّــرات المطــال بداللــة الزم ـ ِن‬ ‫‪1 .1‬أرسـ ُ‬ ‫ـم المنحنــي البيانـ ّ‬ ‫خــا َل دور‪.‬‬ ‫‪2.2‬أح ّددُ المواض َع التي يأخ َذ فيها المطال‪:‬‬ ‫‪a .a‬قيمةً عظمى (طويلة)‪.‬‬ ‫‪b .b‬قيمةً معدومة‪.‬‬ ‫‪3T‬‬ ‫‪3.3‬أح ّددُ مطا َ‬ ‫ل الجسم في اللحظة ‪t = 2 0‬‬ ‫أستنتج‬ ‫أعظمي (طويلة) في الموضعين الطرفيّين | ‪. x = | !X max‬‬ ‫المطا ُل‬ ‫ّ‬ ‫المطا ُل معدوم ٌ في مركز االهتزاز ‪. x = 0‬‬ ‫تابع السرعة‪:‬‬ ‫‪ُ 2.‬‬ ‫ِ‬ ‫األو ُل لتابع المطال بالنسبة للزمن‪.‬‬ ‫إ ّن تاب َع‬ ‫السرعة هو المشت ُّق ّ‬ ‫‪v = ( x )lt‬‬ ‫‪v = - ~ 0 X max sin w 0 t‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪v = - ~ 0 X max sin T t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اآلتي‪:‬‬ ‫أُكم ُل الجدول‬ ‫َ‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪3T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪- ~ 0 X max‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1 .1‬أرســم المنحنــي البيانــي لتغيّــرات الســرعة بداللــة الزمــن‬ ‫خــال دور‪.‬‬ ‫‪2.2‬أح ّددُ المواض َع التي تأخذ فيها السرعةُ‪:‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫)‪t (s‬‬ ‫‪5T‬‬ ‫ِ‬ ‫حركت ِه في اللحظة ‪t = 4 0‬‬ ‫‪3.3‬أح ّددُ قيمةَ سرعة الجسم‪ ،‬وجهةَ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+ ω0 Xmax‬‬ ‫‪a .a‬قيمةً عظمى (طويلة)‪.‬‬ ‫‪b .b‬قيمةً معدومة‪.‬‬ ‫‪v (m.s‬‬ ‫‪3T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪- ω0 Xmax‬‬ ‫أستنتج‬ ‫السرعة ُ أعظميّة ٌ (طويلة) | ‪ v max = | !~ 0 X max‬لحظة المرور في مركز االهتزاز‪.‬‬ ‫السرعة ُ معدومة ٌ ‪ v = 0‬لحظة المرور في المطالين األعظميين (الموضعين الطرفيّين)‪.‬‬ ‫تابع التسارع‪:‬‬ ‫‪ُ 3.‬‬ ‫ِ‬ ‫السرعة بالنسبة للزمن‪ ،‬وهو المشت ُّق الثاني لتابع المطال بالنسبة للزمن‪.‬‬ ‫األو ُل لتابع‬ ‫إ ّن تاب َع التسارع هو المشت ُّق ّ‬ ‫‪a = ( v )lt‬‬ ‫‪a = ( x )mt‬‬ ‫‪a = - ~ 20 X max cos ~ 0 t‬‬ ‫‪a = - ~ 20 x‬‬ ‫تابع التسارع بداللة المطال‪.‬‬ ‫وهو ُ‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪a = - ~ 20 X max cos T t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اآلتي‪:‬‬ ‫أنظر الشكل وأُكم ُل الجدول‬ ‫َ‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪3T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a (m.s‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ـم المنحنــي البيانــي لتغيّــرات التســارع بداللــة الزمــن‬ ‫‪1 .1‬أرسـ ُ‬ ‫خــال دور‪.‬‬ ‫ع‪:‬‬ ‫‪2.2‬أح ّددُ المواض َع التي يأخ ُذ فيها التسار ُ‬ ‫‪+ ω X max‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫)‪t(s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪- ω20 X max‬‬ ‫‪a .a‬قيمةً عظمى (طويلة)‪.‬‬ ‫‪b .b‬قيمةً معدومة‪.‬‬ ‫‪3.3‬أح ّددُ قيمةَ تسارع الجسم في اللحظة ‪. t = 52T0‬‬ ‫أتساء ُل‪:‬‬ ‫أَثابتة ٌ قيمة ُ التسارع أم متغيّرةٌ أثناء حركة الجسم؟‬ ‫أستنتج‬ ‫ـي (طويلــة)‬ ‫التســار ُ‬ ‫ع أعظمـ ٌّ‬ ‫الطرفيّين)‪.‬‬ ‫ع معدوم ٌ ‪ a = 0‬عند المرور في مركز االهتزاز‪.‬‬ ‫التسار ُ‬ ‫غير ثاب ٍ‬ ‫ت تتغي ّ ُر قيمتُه بتغيّر المطال‪.‬‬ ‫التسار ُ‬ ‫ع ُ‬ ‫‪2‬‬ ‫| ‪a max = | !~ 0 X max‬‬ ‫عنــد المرور فــي المطالين األعظمييــن (الموضعين‬ ‫‪13‬‬ ‫ُ‬ ‫الطاقة يف احلرك ِة التوافق ّي ِة البسيطة‪:‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﺍﻻﻫﺘﺰﺍﺯ‬ ‫نثبّت إلى بداية ساق أفقية ملساء طرف نابض مرن ونثب ّ ‬ ‫ت‬ ‫إلــى نهايتــه الثانيــة جســماً صلبــاً كتلتــه ونعــ ّد مركــز عطالــة‬ ‫الجســم وهــو ســاكن مبــدأ للفواصــل ‪،‬نزيــح الجســم عــن وضــع‬ ‫‪m‬‬ ‫توازنــه ونتركــه يهتــز إلــى جانبــي موضــع توازنــه علــى طــول ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+X max‬‬ ‫‪0‬‬ ‫قطعــة مســتقيمة لنش ـ ّكل بذلــك نواس ـاً مرن ـاً غيــر متخامــد إن‬ ‫ع الطاقتين‪ :‬الكامنة والحركيّة‪:‬‬ ‫للنواس المر ِن هي مجمو ُ‬ ‫الطاقة ُ الميكانيكيّة ّ‬ ‫)‪E tot = E p + E k fff (1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫•الطاقة ُ الكامنة ُ المرونيّة للنابض هي ‪E p = 2 k x 2‬‬ ‫نعوض تابع المطال‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) { ‪E p = 2 k X max cos (~ 0 t +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نعوض تابع السرعة‪:‬‬ ‫•الطاقة ُ الحركيّة للجسم هي ‪ّ E k = 2 m v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نعوض في )‪: (1‬‬ ‫) { ‪ّ E k = 2 m ~ 0 X max sin (~ 0 t +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) { ‪ E tot = 2 k X max cos (~ 0 t + { ) + 2 m ~ 0 X max sin (~ 0 t +‬لكن ‪m ~ 0 = k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) { ‪E tot = 2 k X max cos (~ 0 t + { ) + 2 m ~ 0 X max sin (~ 0 t +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E tot = 2 k X max = const‬‬ ‫‪E = const‬‬ ‫ ‬ ‫‪Ep‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+Xmax‬‬ ‫‪-Xmax‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪+Xmax‬‬ ‫‪-Xmax‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x =X max cos ω0t :‬‬ ‫‬ ‫ 
‬ ‫‬ ‫    ‬ ‫‪E = const‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪Ek‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪T0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ep‬‬ ‫‪- X max‬‬ ‫نشاط (‪:)6‬‬ ‫أح ّددُ المواض َع التي تكون فيها ك ٌّل من الطاقتين الحركيّة والكامنة المرونية‪:‬‬ ‫‪1 .1‬عظمى‬ ‫‪2.2‬معدومة‬ ‫تطبيق‪:‬‬ ‫الزمني )‪. x = 0.1 cos (rt + r‬‬ ‫تابعه‬ ‫ف من جسم ٍ وناب ٍ‬ ‫ض مر ٍن ُ‬ ‫نواس مر ٌن ٌّ‬ ‫أفقي مؤل ّ ٌ‬ ‫ّ‬ ‫ُ‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫النواس‪.‬‬ ‫‪1 .1‬ح ّددْ‬ ‫َ‬ ‫ثوابت الحركة لهذا ّ‬ ‫دوره ‪. T0‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫ْ‬ ‫احسب َ‬ ‫المتحرك (الجسم) في لحظة بدء الزمن‪.‬‬ ‫‪3.3‬حدد موضع‬ ‫ّ‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪1 .1‬‬ ‫للنواس المرن‬ ‫نكتب التابع‬ ‫َّ‬ ‫ُ‬ ‫الزمني ّ‬ ‫) { ‪x = X max cos ( ~ 0 t +‬‬ ‫) ‪x = 0.1 cos ( r t + r‬‬ ‫األعظمي ‪X max = 0.1 m‬‬ ‫بالمقارنة نج ُد‪ :‬المطا ُل‬ ‫ُّ‬ ‫النبض ‪~ 0 = r rad.s -1‬‬ ‫ُ‬ ‫الطور‬ ‫االبتدائي للحركة (عند اللحظة ‪ ) t = 0‬هو ‪{ = + r rad‬‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫‪2r 2r‬‬ ‫الخاص‪ :‬من العالقة ‪T0 = ~ = r = 2s‬‬ ‫حساب الدو ِر‬ ‫‪2.2‬‬ ‫ِّ‬ ‫ُ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t = 0 ( x = 0.1 cos r = - 0.1 3.3‬‬ ‫أي المتحرك في مطاله األعظمي السالب في لحظة بدء الزمن‪.‬‬ ‫مت‬ ‫تع َّل ُ‬ ‫ض مــر ٍن مهمــل الكتلــة حلقاتُــهُ متباعــدةٌ يهت ـ ُّز بحركـ ٍـة اهتزازيّـ ٍـة‬ ‫ـق بناب ـ ٍ‬ ‫ـب معلّـ ٌ‬ ‫صلْـ ٌ‬ ‫ـم ُ‬ ‫•النـ ّـواس المــرنُ‪ :‬جسـ ٌ‬ ‫حــولَ مرك ـ ِز االهتــزا ِز‪.‬‬ ‫‪mg‬‬ ‫‪x0 = k‬‬ ‫•االستطالة السكونيّة‪:‬‬ ‫وتعاكسه باإلشارة‪.‬‬ ‫• ّقوة اإلرجاع‪ F = - k x :‬تتناسب طرداً مع المطال‬ ‫ُ‬ ‫النواس المرن‪ :‬هي جيبيّة ٌ انسحابيّة ٌ من الشكل‬ ‫•حركة ّ‬ ‫النواس المرن‪:‬‬ ‫دور ّ‬ ‫• ُ‬ ‫نبض الحركة‪:‬‬ ‫• ُ‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) { ‪x = X max cos (~ 0 t +‬‬ ‫‪T0 = 2r‬‬ ‫= ‪ ~ 0‬أو‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪~0 = T‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫•الطاقة ُ الحركيّة‪E k = 2 m v 2 = 2 m ~ 0 X max sin (~ 0 t + { ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫•الطاقة ُ الكامنة المرونيّة‪E p = 2 k x 2 = 2 k X max cos (~ 0 t + { ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫•الطاقة ُ الكليّة الميكانيكية‪E tot = 2 k X max = const :‬‬ ‫‪15‬‬