الاشتقاقية الاستمرارية مايو.pdf

‫ين‬ ‫الأستـاذ ‪:‬بـخدة أم‬ ‫م ‪01‬‬ ‫م ذكـرة رق‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺤﻤﻴﺪ ﺑﻦ ﺑﺎﺩﻳﺲ‪-‬ﻳﻠﻞ‪-‬ﻏﻠﻴﺰﺍﻥ‬ ‫‪ ď‬اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺘﻌﻠﻤﻴﺔ‪ :‬الإشتق...

‫ين‬ ‫الأستـاذ ‪:‬بـخدة أم‬ ‫م ‪01‬‬ ‫م ذكـرة رق‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺤﻤﻴﺪ ﺑﻦ ﺑﺎﺩﻳﺲ‪-‬ﻳﻠﻞ‪-‬ﻏﻠﻴﺰﺍﻥ‬ ‫‪ ď‬اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺘﻌﻠﻤﻴﺔ‪ :‬الإشتقاقية و الإستمرار ية‬ ‫‪ ď‬اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬بـخدة أميـن‬ ‫‪ ď‬ﻣﻴﺪان اﻟﺘﻌﻠﻢ‪ :‬التحليل‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ 3 :‬عج ت ‪ 3+‬تر ‪ 3+‬ر يا‬ ‫‪ ď‬ﻣﻮﺿﻮع اﻟﺤﺼﺔ ‪ :‬حساب مشتقة دالة‬ ‫‪ 2‬ساعة‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺪة ‪— :‬‬ ‫ـﺎت اﻟﻘ ﻠ ـــﺔ ‪ :‬حساب مشتقة دالة ‪ ،‬تعيين معادلة مماس عند نقطة‬ ‫‪ ď‬اﻟ‬ ‫ﻬ ﻓﺔ ‪ :‬تذكير ‪:‬حساب مشتقة دالة ‪ ،‬تعيين معادلة مماس عند نقطة‬ ‫‪ ď‬اﻟ ﻔﺎءات اﻟ‬ ‫‪ ď‬اﻟ اﺟﻊ ‪ :‬الكتاب المدرسـي ‪،‬الأنترنت‬ ‫ـ‬ ‫ـ ـ‬ ‫ـ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ 1‬ﻣﻨﺎﻗﺸﮥ ﻧﺸﺎط ‪ 1‬ﺻﻔﺤﮥ‬ ‫م رحـلة الإنطلاق‬ ‫‪ 1‬حساب الأعداد المشتقة ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫لدينا‪ f ′ (−1) = 0 :‬هو معامل توجيه المماس للمنحنى ‪ C f‬عند النقطة ذات الفاصلة ‪−1‬‬ ‫—‬ ‫‪2−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= )‪f ′ (−1‬‬ ‫نختار نقطتين من المماس مثلا‪ A (−1; 2) :‬و )‪ B (−2; 2‬ومنه ‪= = 0‬‬ ‫‪−1 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0−2‬‬ ‫‪−1 − 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪g ′ (2‬‬ ‫= )‪= f ′ (2‬‬ ‫ ‪= −1‬‬ ‫= )‪g ′ (−1‬‬ ‫ =‬ ‫‪30‬د‬ ‫‪2−0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2−0‬‬ ‫‪−1 − 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪( f g ) ′ (2) = f ′ (2) g (2) + g ′ (2) f (2) = −2‬‬ ‫ = )‪( f + g )′ (−1) = f ′ (−1) + g ′ (−1‬‬ ‫‪( )′‬‬ ‫‪( )′‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪f ′ (2) × g (2) − g ′ (2) × f (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪3 f ′ (−1‬‬ ‫= )‪(2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫ ‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫ ‬ ‫‪g‬‬ ‫‪( g (2))2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( f ′ (−1))2‬‬ ‫من أجل كل ‪ x‬من ]‪ [0; 2‬نضع ‪h( x) = f (2x − 1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬حساب )‪: h′ (0‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪h′‬‬ ‫لدينا‪ h′ ( x) = 2 f ′ (2x − 1) :‬ومنه‪ h′ (0) = 2 f ′ (−1) = 0 :‬و ‪= 2 f ′ (2) = −2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﻖ‪-‬اﻟﺪاﻟﺔاﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪ 2‬اﻟﻌﺪد‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔاﻟﻤﺸﺘﻖ‪-‬اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫—‬ ‫‪15‬د‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫مرحلة ب‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على مجال ‪ I‬من ‪. R‬‬ ‫‪ x0‬و ‪ x0 + h‬عددان حقيقيان من ‪ I‬مع ‪. h ̸= 0 :‬‬ ‫) ‪f ( x0 + h ) − f ( x0‬‬ ‫نهاية محدودة لما يؤول ‪ h‬إلى ‪.0‬‬ ‫ن ‪ f‬تقبل الإشتقاق عند ‪ x0‬إذا قبلت النسبة‬ ‫نقول أ ّ‬ ‫‪h‬‬ ‫تسمى هذه النهاية ‪ :‬العدد المشتق للدالة ‪ f‬عند ‪ x0‬و نرمز لها بـ ) ‪. f ( x0‬‬ ‫‪′‬‬ ‫اء م‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫) ‪f ( x0 + h ) − f ( x0‬‬ ‫‪f ′ ( x0 ) = lim‬‬ ‫‪ f ′ ( x0 ) = lim‬أو نكتب ‪:‬‬ ‫نكتب إذن ‪:‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫‪h →0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫) بوضع ‪(x = x0 + h‬‬ ‫ع‬ ‫إذا قبلت الدالة ‪ f‬الإشتقاق عند كل عدد حقيقي ‪ x‬من المجال ‪ I‬فهي تقبل الإشتقاق على ‪I‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ـ‬ ‫ارف‬ ‫بـ‪f ′ :‬‬ ‫ونرمز لدالتها المشتقة‬  ‫ﻣﺜـــﺎﻝ‬ ‫—‬ ‫ﻣﺜـــﺎﻝ‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على ‪ R‬كمايلي ‪f ( x) = x2 + x :‬‬ ‫‪15‬د‬ ‫ن ‪ f‬قابلة للإشتقاق على ‪R‬‬ ‫برهن أ ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫عيّن )‪f ′ ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ليكن ‪ x0‬عدد حقيقي كيفي‬ ‫) ‪f ( x ) − f ( x0‬‬ ‫‪+ x − − x0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x20‬‬ ‫)‪( x − x0 )( x + x0 + 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x → x0‬‬‫‪x − x0‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫) ‪f ( x ) − f ( x0‬‬ ‫ومنه ‪= lim ( x + x0 + 1) = 2x0 + 1‬‬ ‫مرحلة ب‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫‪x → x0‬‬ ‫إذن ‪ 2x0 + 1‬عدد حقيقي ومنه ‪ f‬دالة قابلة للإشتقاق عند ‪. x0‬لـكن ‪ x0‬يمسح ‪ R‬ومنه ‪ f‬قابلة للإشتقاق على ‪R‬‬ ‫لتكن ‪ f ′‬الدالة المشتقة للدالة ‪. f‬إذن يكون لدينا ‪f ′ ( x) = 2x + 1 :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫اﻟﺘﻔﺴﻴﺮاﻟﺒﻴﺎﻧﻲ)ﻣﻤﺎسداﻟﺔ (‬ ‫( ‪3‬داﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﺘﻔﺴﻴﺮاﻟﺒﻴﺎﻧﻲ)ﻣﻤﺎس ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ن‬ ‫—‬ ‫‪20‬د‬ ‫‪( −‬‬ ‫)→‬ ‫‪→ −‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اء م‬ ‫‪. o, i , j‬‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على مجال ‪ D‬من ‪. R‬و )‪ (C‬تمثيلها البياني في مستوى منسوب الى معلم‬ ‫إذا كانت ‪ f‬قابلة للاشتقاق عند ‪ x0‬من ‪ D‬و َ ) ‪ f ′ ( x0‬العدد المشتق للدالة ‪ f‬عند ‪ x0‬فإن المستقيم الذي يشمل النقطة‬ ‫)) ‪ A ( x0 , f ( x0‬ومعامل توجيهه ) ‪ f ′ ( x0‬يسمى مماس المنحنى )‪ (C‬عند النقطة ‪A‬‬ ‫تع‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0‬‬ ‫‪.‬معادلته هي‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(C‬‬ ‫اﻟ ــــ ﻫـــﺎن‬ ‫‪. f ′ (x‬‬ ‫)‪0‬‬ ‫المماس ) ‪ (T‬هو عبارة عن مستقيم معامل توجيهه‬ ‫) ‪f ′ ( x0‬‬ ‫إذن معادلة ) ‪ (T‬من الشكل ‪ y = f ′ ( x0 ) x + b‬والنقطة‬ ‫)) ‪ A( x0 ; f ( x0‬تنتمي إلى ) ‪ (T‬فإن‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) × x0 + b‬ومنه بالتعو يض‬ ‫ارف‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. b = f ( x0 ) − f ′ ( x0 ) x0‬‬ ‫وبالتالي ) ‪y = f ( x0 ) x − f ′ ( x0 ) x0 + f ( x0‬‬ ‫‪′‬‬ ‫ومنه ‪:‬‬ ‫) ‪(T‬‬ ‫) ‪y = f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0‬‬ ‫‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣﺜـــﺎﻝ‬ ‫—‬ ‫‪5‬د‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على ‪ R‬بـ‪f ( x) = x3 + 2 :‬‬ ‫معادلة المماس لمنحنى ‪ f‬عند النقطة ذات الفاصلة ‪ x0 = 1‬هي ‪:‬‬ ‫ﻣﺜـــﺎﻝ‬ ‫)‪ y = f ′ (1)( x − 1) + f (1‬أي ‪y = 5x − 2‬‬ ‫ن صفـ }‪ {58‬ـحة‬ ‫اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪ :‬حل تمر يـ }‪{4‬‬ ‫—‬ ‫‪40‬د‬ ‫—‬ ‫‪15‬د‬ ‫حل تمرين ‪ 4‬صفحة ‪58‬‬ ‫لدينا‪ A(0; 2) :‬نقطة من ) ‪ (C f‬و بالتالي ‪ f (0) = 2 :‬و ‪ −3‬معامل توجيه مماس لـ ) ‪ (C f‬عند النقطة )‪A(0, 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وبالتالي ‪f ′ (0) = −3‬‬ ‫‪f ( x) − 2‬‬ ‫هو نسبة التزايدة للدالة ‪ f‬بين ‪ x‬و ‪0‬‬ ‫العدد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) − 2‬‬ ‫‪ lim‬موجودة لأن‪:‬‬ ‫لدينا‪ f :‬قابلة للإشتقاق عند ‪ 0‬ومنه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مرحلة تقو ي‬ ‫)‪f ( x ) − f (0‬‬ ‫‪f ( x) − 2‬‬ ‫‪f ′ (0) = lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= −3‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻣﻨﺰﻟﻴﺔ‬ ‫حـل تمرين ‪ 5‬و ‪ 6‬صفحة ‪58‬‬ ‫م‬ ‫‪-‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫ين‬ ‫الأستـاذ ‪:‬بـخدة أم‬ ‫م ‪02‬‬ ‫م ذكـرة رق‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺤﻤﻴﺪ ﺑﻦ ﺑﺎﺩﻳﺲ‪-‬ﻳﻠﻞ‪-‬ﻏﻠﻴﺰﺍﻥ‬ ‫‪ ď‬اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺘﻌﻠﻤﻴﺔ‪ :‬الإشتقاقية و الإستمرار ية‬ ‫‪ ď‬اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬بـخدة أميـن‬ ‫‪ ď‬ﻣﻴﺪان اﻟﺘﻌﻠﻢ‪ :‬التحليل‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ 3 :‬عج ‪3+‬تر ‪3+‬ر يا‬ ‫‪ ď‬ﻣﻮﺿﻮع اﻟﺤﺼﺔ ‪ :‬الإستمرار ية‬ ‫‪ 1‬ساعة‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺪة ‪— :‬‬ ‫ـﺎت اﻟﻘ ﻠ ـــﺔ ‪ :‬مفاهيم أولية حول الدوال العددية‬ ‫‪ ď‬اﻟ‬ ‫ﻬ ﻓﺔ ‪ :‬دراسة السلوك التقاربي للدالة‬ ‫‪ ď‬اﻟ ﻔﺎءات اﻟ‬ ‫‪ ď‬اﻟ اﺟﻊ ‪ :‬الكتاب المدرسـي ‪،‬الأنترنت‬ ‫ـ‬ ‫ـ ـ‬ ‫ـ‬ ‫ﺍﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ﺍﻟﻨﻔﺴﻴﺔ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 1‬ﻣﻨﺎﻗﺸﮥ ﻧﺸﺎط ‪ 3‬ﺻﻔﺤﮥ‬ ‫√‬ ‫‪ 1‬حساب ]‪ [ 3] ، E(−1) ، [−2.3‬و )‪.E(11, 01‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫≤ ‪ 1‬ومنه ‪، [ 3] = 1‬‬ ‫لدينا‪ −3 ≤ −2, 3 < −2 :‬ومنه ‪3 < 2 ، E(−1) = −1 ، [−2, 3] = −3‬‬ ‫‪E(11, 01) = 11‬‬ ‫‪ 2‬نعتبر الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬المعرفة على المجال [‪ [−2; 1‬كمايلي ‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫م رحـلة الإنـط‬ ‫]‪ h( x) = x2 + 1 ، g ( x) = x − [ x] ، f ( x) = [ x‬و لتكن ‪ Cg ، C f‬و ) ‪.(Ch‬تمثيلاتها البيانية على الترتيب‬ ‫‪y‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ﺭﺳﻢ ‪C f‬‬ ‫‪Cf‬‬ ‫من أجل [‪f ( x) = −2 : x ∈ [−2; −1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫—‬ ‫‪30‬د‬ ‫⊂‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -‬من أجل [‪f ( x) = −1 : x ∈ [−1; 0‬‬ ‫‪ -‬من أجل [‪f ( x) = 0 : x ∈ [0; 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫⊂‬ ‫[‪−2; x ∈ [−2; −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫لاق‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫[‪−1; x ∈ [−1; 0‬‬ ‫إذن‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫[‪0; x ∈ [0; 1‬‬ ‫⊂‬ ‫‪y‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ﺭﺳﻢ ‪Cg‬‬ ‫من أجل [‪g ( x) = x + 2 : x ∈ [−2; −1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫⊂‬ ‫⊂‬ ‫⊂‬ ‫‪ -‬من أجل [‪g ( x) = x + 1 : x ∈ [−1; 0‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Cg‬‬ ‫‪ -‬من أجل [‪g ( x) = x : x ∈ [0; 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫[‪ x + 2; x ∈ [−2; −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫[‪x + 1; x ∈ [−1; 0‬‬ ‫إذن‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫[‪x; x ∈ [0; 1‬‬  ‫ﺭﺳﻢ ) ‪(Ch‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ -‬هل بإمكانك رسم المنحنيات ‪ Cg ، C f‬و ) ‪ (Ch‬دون‬ ‫رفع القلم )اليد(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫ لايمكن رسم المنحنيين ‪ C f‬و ‪ Cg‬دون رفع القلم )اليد(‬ ‫—‬ ‫) ‪( Ch‬‬ ‫ بينما يمكن رسم المنحنى ) ‪ (Ch‬دون‬ ‫رفع القلم ) اليد(‬ ‫⊂‬ ‫‪10‬د‬ ‫‪ -‬هل تقبل الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬نهاية عند ‪ −1‬؟ عند ‪ 0‬؟‬ ‫ الدالتان ‪ f‬و ‪ g‬لا تقبلان نهاية عند ‪ −1‬وكذا عند الصفر ‪.‬‬ ‫ الدالة ‪ h‬تقبل نهاية عند ‪ −1‬و عند ‪ 0‬لأنها معرفة‬ ‫‪x‬‬ ‫عندهما ‪ h(−1) = 2 :‬و ‪h(0) = 1‬‬ ‫ﺧــﻼﺻـــﺔ‬ ‫‪ -‬يمكن رسم المنحنى ) ‪ (Ch‬دون رفع القلم )اليد( ‪ ،‬فنقول أن الدالة ‪ h‬مستمرة على المجال ]‪. [−2; 1‬‬ ‫‪ -‬أما ‪ g ، f‬فهما غير مستمرتين على المجال ]‪[−2; 1‬‬ ‫(‪:‬‬ ‫)‬ ‫مرحلة ب‬ ‫‪ -‬الدوال المرجعية مستمرة على مجال تعر يفها‬ ‫‪ -‬مجموع و جداء دوال مستمرة عند ‪ a‬هي دالة مستمرة عند ‪. a‬‬ ‫‪ -‬الدوال كثيرات الحدود و الدوال ‪ sin ، cos‬مستمرة على ‪. R‬‬ ‫‪ -‬الدوال الناطقة )حاصل قسمة كثيري حدود ( مستمرة على كل مجال من مجموعة تعر يفها‬ ‫ن‬ ‫ﻣــﺜﺎﻝ‬ ‫—‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣــﺜﺎﻝ‬ ‫اء م‬ ‫[‪− x2 + 2; x ∈ [−2; 0‬‬ ‫‪10‬د‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫لتكن الدالة ‪ f‬المعرفة على المجال ]‪ [−2; 3‬بـ‪:‬‬ ‫]‪ x; x ∈ [0; 3‬‬ ‫‪ 1‬مثل بيانيا الدالة ‪. f‬‬ ‫ع‬ ‫‪ 2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على المجال ‪ [−2; 3] :‬؟ أذكر مجالا تكون فيه الدالة مستمرة ‪.‬‬ ‫الحـل‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪( Ch‬‬ ‫‪ 1‬الدالة ‪ f‬غير مستمرة عند ‪ 0‬و بالتالي فهي غير مستمرة‬ ‫ارف‬ ‫⊂‬ ‫على المجال ‪.[−2; 3] :‬‬ ‫‪ 2‬الدالة ‪ f‬مستمرة مثلا على المجال ]‪[0; 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫—‬ ‫‪10‬د‬ ‫تطبيق ‪: 1‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬المعرفة على المجال [‪ [−1; 2‬كما يلي ‪ f ( x) = x + 1 + E( x) :‬حيث )‪ x 7→ E( x‬هي الدالة الجزء الصحيح‪.‬‬ ‫‪ 1‬أكتب حسب قيم ‪ x‬عبارة )‪ f ( x‬بدون الرمز )‪. E( x‬‬ ‫‪ 2‬أرسم المنحنى الممثل للدالة ‪ f‬في معلم متعامد و متجانس ‪.‬‬ ‫‪ 3‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على المجال [‪ [−1; 2‬؟‬ ‫‪ 4‬عين المجالات التي تكون فيها ‪ f‬مستمرة‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫كتابة عبارة )‪ f ( x‬دون الرمز )‪E( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ال‬ ‫لدينا‪ :‬من أجل [‪ E( x) = −1 : x ∈ [−1, 0‬و من أجل [‪ E( x) = 0 : x ∈ [0; 1‬و من أجل [‪: x ∈ [1; 2‬‬ ‫‪E( x) = 1‬‬ ‫تقو ي‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫[‪ f ( x) = x ; x ∈ [−1; 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = x + 1‬‬ ‫[‪; x ∈ [0; 1‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) = x + 2‬‬ ‫[‪; x ∈ [1; 2‬‬ ‫م‬ ‫‪ 2‬إنشاء منحنى ) ‪(C f‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Cf‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 3‬الدالة ‪ f‬غير مستمرة على المجال ]‪[−1; 2‬‬ ‫‪ 4‬بعض مجالات التي تكون فيها دالة ‪ f‬مستمرة ‪ [0; 1] ، [−1; 0] :‬و ]‪[1; 2‬‬ ‫تمرين منزلي ‪ :‬تمرين ‪ 48-49‬صفحة ‪29‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫ين‬ ‫الأستـاذ ‪:‬بـخدة أم‬ ‫م ‪03‬‬ ‫م ذكـرة رق‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﻋﺒﺪ ﺍﻟﺤﻤﻴﺪ ﺑﻦ ﺑﺎﺩﻳﺲ‪-‬ﻳﻠﻞ‪-‬ﻏﻠﻴﺰﺍﻥ‬ ‫‪ ď‬اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺘﻌﻠﻤﻴﺔ‪ :‬الإشتقاقية و الإستمرار ية‬ ‫‪ ď‬اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬بـخدة أميـن‬ ‫‪ ď‬ﻣﻴﺪان اﻟﺘﻌﻠﻢ‪ :‬التحليل‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪3 :‬عج‪3+‬تر‪3+‬ر يا‬ ‫‪ ď‬ﻣﻮﺿﻮع اﻟﺤﺼﺔ ‪ :‬مبرهنة القيم المتوسطة‬ ‫‪ 2‬ساعة‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺪة ‪— :‬‬ ‫ـﺎت اﻟﻘ ﻠ ـــﺔ ‪ :‬إستمرار ية دالة على مجال ‪،‬رتابة دالة‬ ‫‪ ď‬اﻟ‬ ‫ﻬ ﻓﺔ ‪ :‬تبيان وجود حل للمعادلة ‪f ( x) = k‬‬ ‫‪ ď‬اﻟ ﻔﺎءات اﻟ‬ ‫‪ ď‬اﻟ اﺟﻊ ‪ :‬الكتاب المدرسـي ‪،‬الأنترنت‬ ‫ـ‬ ‫ـ ـ‬ ‫ـ‬ ‫ﺍﻟﺘﻬﻴﺌﺔ ﺍﻟﻨﻔﺴﻴﺔ‬ ‫¶ مبرهنة القيم المتوسطة )تقبل دون برهان(‬ ‫م رحـلة الإنطلاق‬ ‫ﻣ ﻫ ـ ــﺔ‬ ‫—‬ ‫أضف إلى‬ ‫معـلـوماتك‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على المجال ]‪ [ a, b‬وكان العدد الحقيقي ‪ k‬محصور بين )‪ f ( a‬و )‪f (b‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬د‬ ‫فإن المعادلة ‪ f ( x) = k‬تقبل حلا ّ على الأقل في المجال [‪] a; b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫· التفسير البياني‬ ‫—‬ ‫‪ -‬المستقيم ذو المعادلة ‪ y = k‬يقطع على الأقل مرة واحدة منحنى‬ ‫‪4‬‬ ‫مرحلة ب‬ ‫الدالة ‪ f‬في نقطة فاصلتها محصورة بين ‪ a‬و ‪b‬‬ ‫)‪f (b‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪10‬د‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Cf‬‬ ‫‪ -‬بالنسبة للشكل المقابل المستقيم ذو المعادلة ‪ y = k‬يقطع منحنى‬ ‫‪y=k‬‬ ‫الدالة ‪ f‬في ثلاث نقط فواصلها ‪ c2 ، c1‬و ‪.c3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على المجال ]‪ [ a; b‬و كان‬ ‫اء م‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f ( a) × f (b) < 0‬فإنه يوجد على الأقل عدد حقيقي ‪ c‬محصور بين‬ ‫)‪f ( a‬‬ ‫‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪f (c) = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ع‬ ‫‪O‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c1 1‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c3 3 b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫المعادلة ‪f ( x) = k‬‬ ‫¸‬ ‫—‬ ‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على مجال ]‪ [ a; b‬فإنه من أجل كل عدد حققيقي ‪ k‬محصور بين )‪ f ( a‬و )‪f (b‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ارف‬ ‫فإن المعادلة ‪ f ( x) = k‬تقبل على الأقل حلا ‪ c‬محصور بين ‪ a‬و ‪b‬‬ ‫‪5‬د‬ ‫ملاحظة ‪ :‬مبرهنة القيم المتوسطة تؤكد فقط وجود حل على الأقل للمعادلة ‪ f ( x) = k‬أما تعيّين الحلول او قيم مقربة لها فيتم‬ ‫بإتباع خوارزميات مختلفة ‪.‬‬ ‫ﻣــﺜﺎﻝ‬ ‫ﻣــﺜﺎﻝ‬ ‫ن المعادلة ‪ x5 + 3x4 − 6x2 = 1‬تقبل على الأقل حلا ّ في المجال ]‪[1; 2‬‬ ‫برهن بإستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أ ّ‬ ‫—‬ ‫‪15‬د‬ ‫ نتحقق من إستمرار ية الدالة ‪ f‬على المجال ]‪[ a; b‬‬ ‫طر يقة‬ ‫ نكتب المعادلة على الشكل ‪f ( x) = k‬‬ ‫ نتحقق من أن العدد ‪ k‬محصور بيّن )‪ f ( a‬و )‪f (b‬‬  ‫الحـل ‪ :‬لتكن ‪ f‬الدالة المعرفة على ]‪ [1; 2‬بـ‪f ( x) = x5 + 3x2 − 6x2 :‬‬ ‫ ‪ f‬دالة كثيرة حدود فهي مستمرة على المجال ]‪ [1; 2‬و لدينا ‪ f (1) = −2 :‬و ‪f (2) = 56‬‬ ‫ولدينا ‪ −2 < 1 < 56 :‬أي )‪، f (1) < 1 < f (2‬إذن المعادلة ‪ f ( x) = 1‬تقبل على الأقل حلا في المجال ]‪[1; 2‬‬ ‫طر يقة ‪2‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪+ 3x2‬‬ ‫‪ ،‬نضع ‪− 1‬‬ ‫‪− 6x2‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪+ 3x2‬‬ ‫المعادلة السابقة تكافئ ‪− 1 = 0 :‬‬ ‫‪− 6x2‬‬ ‫‪ f‬مستمرة على المجال ]‪ [1; 2‬و ‪ f (2) = 56 ، f (1) = −2‬ومنه ‪f (1) × f (2) < 0‬‬ ‫المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل حلا ّ في المجال ]‪[1; 2‬‬ ‫ومنهﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫—‬ ‫‪15‬د‬ ‫‪f ( x) = 3x3 − 2x −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لتكن الدالة ‪ f‬معرفة على ‪ R‬بحيث ‪:‬‬ ‫( ‪4‬‬ ‫‪f (1) ، f (0) ، f −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪ 1‬أحسب ‪، f (−1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل ثلاث حلول في المجال [‪]−1, 1‬‬ ‫‪ 2‬إستنتج أ ّ‬ ‫الحـل‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪f (1) = ، f (0) = − ، f‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫حساب الصور ‪، f (−1) = − :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مرحلة ب‬ ‫ن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل ثلاث حلول في المجال [‪]−1, 1‬‬ ‫‪ 2‬إستنتاج أ ّ‬ ‫لدينا‪ f :‬دالة كثيرة حدود ‪ ،‬فهي معرفة و مستمرة على ‪ ، R‬و بالتالي فهي مستمرة على المجال ]‪[−1; 1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f −‬أي ‪ 0‬محصور‬ ‫‪ −1; −‬و أنّ‪× f (−1) < 0 :‬‬ ‫‪ -‬لدينا ‪ f‬مستمرة على المجال‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫بين )‪ f (−1‬و‬ ‫ن‬ ‫‪f −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1; −‬‬ ‫إذن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل حلا ّ في المجال )‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫اء م‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f −‬‬ ‫‪ f (0) × f −‬أي ‪ 0‬محصور بين )‪ f (0‬و‬ ‫‪ -‬لدينا ‪ f‬مستمرة على المجال ‪ − ; 0‬و أنّ‪< 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− ;0‬‬ ‫إذن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل حلا ّ في المجال )‪(2‬‬ ‫تع‬ ‫‪2‬‬ ‫لدينا ‪ f‬مستمرة على المجال ]‪ [0; 0‬و أنّ‪ f (0) × f (1) < 0 :‬أي ‪ 0‬محصور بين )‪ f (0‬و )‪f (1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫[‪]0; 1‬‬ ‫إذن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل حلا ّ في المجال )‪(3‬‬ ‫النتيجة‪ :‬من )‪ (1‬و )‪ (2‬و )‪ (3‬فإن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل على الأقل ثلاث حلول في المجال [‪]−1; 1‬‬ ‫‪ ¹‬الدوال المستمرة و الرتيبة تماما على المجال ]‪[ a; b‬‬ ‫أضف إلى‬ ‫ﻣ ﻫ ـ ــﺔ‬ ‫—‬ ‫معـلـوماتك‬ ‫‪ -‬إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة و رتيبة تماما على المجال ]‪ [ a, b‬وكان العدد الحقيقي ‪ k‬محصور بين‬ ‫ارف‬ ‫)‪ f ( a‬و )‪ ، f (b‬فإن المعادلة ‪ f ( x) = k‬تقبل حلا ّ وحيدا في المجال [‪] a; b‬‬ ‫‪5‬د‬ ‫اﻟ ــــ ﻫـــﺎن‬ ‫نفرض أن الدالة ‪ f‬مستمرة و رتيبة تماما على المجال ]‪[ a; b‬‬ ‫و ليكن ‪ k‬عدد حقيقي محصور بين )‪ f ( a‬و )‪ f (b‬و منه حسب مبرهنة القيم المتوسطة يوجد على الأقل عدد حقيقي ‪c‬‬ ‫محصور بين ‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪. f (c) = k‬‬ ‫لنفرض أنه يوجد عدد حقيقي أخر ‪ c′‬مختلف عن ‪ c‬محصور بين ‪ a‬و ‪ b‬و يحقق ‪f (c′ ) = k‬‬ ‫يكون حينئذ ‪ c ̸= c′‬و ) ‪ f (c) = f (c′‬و هذا يناقض الرتابة التامة للدالة ‪ f‬على ]‪. [ a, b‬‬ ‫و بالتالي يوجد عدد حقيقي وحيد ‪ c‬من ]‪ [ a; b‬بحيث ‪f (c) = k‬‬ ‫‬  ‫‪y‬‬ ‫التفسير البياني‬ ‫‪ -‬المستقيم ذو المعادلة ‪ y = k‬يقطع مرة واحدة منحنى الدالة ‪f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫في نقطة فاصلتها ‪ c‬محصورة بين ‪ a‬و ‪. b‬‬ ‫مرحلة ب ن‬ ‫)‪f (b‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Cf‬‬ ‫‪ -‬إذا كان ‪ k = 0‬منحنى الدالة ‪ f‬يقطع حامل محور الفواصل في‬ ‫نقطة وحيدة فاصلتها حل للمعادلة ‪ f ( x) = 0‬في المجال [‪. ] a; b‬‬ ‫‪y=k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اء م‬ ‫—‬ ‫تعـارف‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f ( a‬‬ ‫‪5‬د‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪3‬‬ ‫¶ ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ¶‬ ‫لتكن ‪ f‬دالة عدد ية معرفة على ‪ R‬حيث جدول تغيراتها كمايلي ‪:‬‬ ‫م‬ ‫—‬ ‫‪15‬د‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪ -‬عيّن عدد حلول المعادلات التالية محددا المجال الذي ينتمي إليه كل حل ‪f ( x) = 9 ، f ( x) = −2 ، f ( x) = 0‬‬ ‫رح‬ ‫· ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫—‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ·‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬المعرفة على ‪ R‬بـ‪f ( x) = − x3 − 2x + 5 :‬‬ ‫لة الت‬ ‫‪15‬د‬ ‫‪ 1‬أحسب )‪ ، f ′ ( x‬ثم شكل جدول تغيرات الدالة ‪. f‬‬ ‫ن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل حلا ّ وحيدا ‪ α‬في المجال ]‪[1; 2‬‬ ‫‪ 2‬برهن أ ّ‬ ‫قو ي‬ ‫‪ 3‬إستنتج إشارة )‪ f ( x‬من أجل كل عدد حقيقي ‪.x‬‬ ‫‪ º‬إجاد حصر لحل معادلة بالتنصيف‬ ‫◀ للحصول على حصر أدق للعدد ‪ α‬نتبع طر يقة التصنيف التالية ‪:‬‬ ‫—‬ ‫‪a+b‬‬ ‫ نحسب كل من ‪) m = 2‬‬ ‫)مركز (المجال ]‪ ([ a; b‬و )‪f (m‬‬ ‫م‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Cf‬‬ ‫‪Cf‬‬ ‫حالتين ‪:‬‬ ‫ نقارن بي ّ ّن )‪ f ( a‬و )‪ f (m‬و نميز‬ ‫‪10‬د‬ ‫◀ إذا كان ‪ f ( a) × f (m) < 0‬فإن الحل ‪ α‬موجود في المجال [‪] a; m‬‬ ‫◀ إذا كان ‪ f ( a) × f (m) > 0‬فإن الحل ‪ α‬موجود في المجال [‪]m; b‬‬ ‫ نواصل بنفس الطر يقة من خلال تعو يض ‪ a :‬أو ‪ b‬بـ ‪ m‬و ذلك إلى غاية الحصول على الحصر المرغوب فيه ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b4‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a+b3‬‬ ‫‪b4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫∈‪α‬‬ ‫الحالة الثانية ‪; b‬‬ ‫;‪α ∈ a‬‬ ‫الحالة الأولى‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬  ‫¸ ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ¸‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬المعرفة على [∞‪ ]1; +‬كمايلي ‪− x :‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫—‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪ 1‬أدرس إتجاه تغير الدالة ‪. f‬‬ ‫‪1, 1‬‬ ‫‪8, 95‬‬ ‫‪1, 7‬‬ ‫‪0, 12‬‬ ‫‪ 2‬برهن أن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل حلا ّ وحيدا ‪ α‬في المجال [‪.]1, 1; 2, 3‬‬ ‫‪20‬د‬ ‫‪1, 85‬‬ ‫‪−0, 18‬‬ ‫بإستعمال طر يقة التنصيف عيّن حصرا للعدد ‪ α‬سعته )طوله( ‪0, 15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−0, 41‬‬ ‫‪−0, 75‬‬ ‫‪−0, 75‬‬ ‫أثبت أن‪α3 − 2α2 + α − 1 = 0 :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الحل‬ ‫دراسة إتجاه تغير الدالة ‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ′ ( x) = −‬‬ ‫الدالة ‪ f‬معرفة و قابلة للإشتقاق على [∞‪ ]1; +‬حيث ‪− √ :‬‬ ‫‪( x − 1)2‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ −‬و ‪ − √ < 0‬فإن ‪ f ′ ( x) < 0‬و بالتالي ‪ f‬دالة متناقصة تماما على المجال [∞‪.]1; +‬‬ ‫بماأن ‪< 0‬‬ ‫مرح‬ ‫‪2 x‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1)2‬‬ ‫‪ 2‬لنبرهن أن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل حلا ّ وحيدا ‪ α‬في المجال ]‪[1, 1; 2, 3‬‬ ‫‪ f -‬دالة مستمرة على المجال [∞‪ ]1; +‬فهي مستمرة على المجال ]‪.[1, 1; 2, 3‬‬ ‫لةالت‬ ‫‪ f (1, 1) ≈ 8, 95 -‬و ‪ f (2, 3) ≈ −0, 75‬ومنه ‪. f (1, 1) × f (2, 3) < 0‬‬ ‫‪ f -‬دالة متناقصة تماما على المجال [∞‪ ]1; +‬فهي متناقصة تماما على المجال ]‪.[1, 1; 2, 3‬‬ ‫إذن حسبة مبرهنة القيم المتوسطة فإن المعادلة ‪ f ( x) = 0‬تقبل حلا ّ وحيدا ‪ α‬حيث ‪.α ∈]1, 1; 2, 3[ :‬‬ ‫قو ي‬ ‫تعيين حصرا للعدد ‪ α‬سعته ‪0, 15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1, 1 + 2, 3‬‬ ‫= ‪m‬و ‪ f (1, 7) ≈ 0, 12‬ومنه ‪f (1, 7) × f (2, 3) < 0‬‬ ‫‪ -‬مركز المجال [‪ ]1, 1; 2, 3‬هو ‪= 1, 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ‪α ∈]1, 7; 2, 3[ :‬‬ ‫م‬ ‫‪1, 7, 1 + 2, 3‬‬ ‫= ‪m‬و ‪ f (2) ≈ −0, 41‬ومنه ‪f (1, 7) × f (2) < 0‬‬ ‫‪ -‬مركز المجال [‪ ]1, 7; 2, 3‬هو ‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ‪α ∈]1, 7; 2[ :‬‬ ‫‪1, 7, 1 + 2‬‬ ‫= ‪m‬و ‪ f (1, 85) ≈ −0, 18‬ومنه ‪f (1, 7) × f (1, 85) < 0‬‬ ‫‪ -‬مركز المجال [‪ ]1, 7; 2‬هو ‪= 1, 85‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ‪α ∈]1, 7; 1, 85[ :‬‬ ‫ن طول المجال الأخير هو ‪ 1, 85 − 1, 7 = 0, 15‬إذن نتوقف عن تنصيف المجال ‪.‬‬ ‫لاحظ أ ّ‬ ‫ن ‪α3 − 2α2 + α − 1 = 0‬‬ ‫إثبات أ ّ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫تكافئ‪= α :‬‬ ‫لدينا ‪ α‬حل للمعادلة ‪ f ( x) = 0‬معناه ‪ f (α) = 0‬تكافئ‪− α = 0 :‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫تكافئ‪ α(α − 1)2 = 1 :‬تكافئ ‪ α(α2 − 2α + 1) = 1 :‬تكافئ‪:‬‬ ‫=‬ ‫بالتربيع الطرفين نجد‪α2 :‬‬ ‫‪( α − 1)2‬‬ ‫‪α3 − 2α2 + α = 1‬‬ ‫إذن ‪α3 − 2α2 + α − 1 = 0 :‬‬ ‫تمرين منزلي رقم ‪ 106‬و ‪ 107‬صفحة ‪36‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫‪...................................................................................................................................................‬‬ ‫ين‬ ‫الأستـاذ ‪:‬بـخدة أم‬ ‫م ‪04‬‬ ‫م ذكـرة رق‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔﻋﺒﺪ ﺍﻟﺤﻤﻴﺪ ﺑﻦ ﺑﺎﺩﻳﺲ‪-‬ﻳﻠﻞ‪-‬ﻏﻠﻴﺰﺍﻥ‬ ‫‪ ď‬اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺘﻌﻠﻤﻴﺔ‪ :‬الإشتقاقية و الإستمرار ية‬ ‫‪ ď‬اﻷﺳﺘﺎذ ‪ :‬بـخدة أميـن‬ ‫‪ ď‬ﻣﻴﺪان اﻟﺘﻌﻠﻢ‪ :‬التحليل‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪3 :‬عج ‪ 3+‬تر‪3+‬ر يا‬ ‫‪ ď‬ﻣﻮﺿﻮع اﻟﺤﺼﺔ ‪ :‬قابلية الإشتقاق دالة عند عدد‬ ‫‪ 2‬ساعة‬ ‫‪ ď‬اﻟﻤﺪة ‪— :‬‬ ‫ـﺎت اﻟﻘ ﻠ ـــﺔ ‪ :‬حساب مشتقة دالة ‪ ،‬تعيين معادلة مماس عند نقطة‬ ‫‪ ď‬اﻟ‬ ‫ﻬ ﻓﺔ ‪ :‬قابلية إشتقاق دالة عندد عدد من اليمين و من اليسار و تفسير الهندسي‬ ‫‪ ď‬اﻟ ﻔﺎءات اﻟ‬ ‫‪ ď‬اﻟ اﺟﻊ ‪ :‬الكتاب المدرسـي ‪،‬الأنترنت‬ ‫ـ‬ ‫ـ ـ‬ ‫ـ‬ ‫‪ 1‬ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ إﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻨﺪ ﻋﺪد‬ ‫ٕ‬ ‫¶‬ ‫م رحـلة الإنطلاق‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫—‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على الأقل ‪ ،‬على مجال من الشكل ‪ [ x0 ; x0 + α[ ،‬حيث ‪ x0 :‬و ‪ α‬عددان حقيقيان مع ‪α > 0‬‬ ‫) ‪f ( x ) − f ( x0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ -‬نقول عن الدالة ‪ f‬أنها تقبل الإشتقاق عند ‪ x0‬من اليمين إذا و فقط إذا كانت ‪= ℓ1‬‬ ‫>‬ ‫‪x→x‬‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫‪20‬د‬ ‫‪0‬‬ ‫حيث ‪ ℓ1‬عدد حقيقي و يسمى العدد المشتق للدالة ‪ f‬عند ‪ x0‬من اليمين‬ ‫‪v‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪f d′ ( x0 ) > 0‬‬ ‫‪f d′ ( x0 ) < 0‬‬ ‫‪ -‬إذا قبلت الدالة الإشتقاق في ‪ x0‬من اليمين فإن تمثيلها‬ ‫البياني يقبل نصف المماس من اليمين و هو معرف كمايلي‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫من أجل ‪y = ℓ1 ( x − x0 ) + f ( x0 ) : x ≥ x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻣـــﺜﺎﻝ‬ ‫ﻣـــﺜﺎﻝ‬ ‫√‬ ‫الدالة المعرفة بـ ‪ f ( x) = x x‬قابلة للإشتقاق في ‪ 0‬من اليمين لأنها معرفة على [∞‪[0; +‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪x x−0 0‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫√‬ ‫ولدينا ‪= lim x = 0‬‬ ‫مرحلة ب‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫>‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫>‬ ‫‪x‬‬ ‫>‬ ‫‪x→0‬‬ ‫ٕ‬ ‫—‬ ‫·‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اء م‬ ‫‪20‬د‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على الأقل ‪ ،‬على مجال من الشكل ‪ [ x0 − α; x0 [ ،‬حيث ‪ x0 :‬و ‪ α‬عددان حقيقيان مع ‪α > 0‬‬ ‫ع‬ ‫) ‪f ( x ) − f ( x0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ -‬نقول عن الدالة ‪ f‬أنها تقبل الإشتقاق عند ‪ x0‬من اليسار إذا و فقط إذا كانت ‪= ℓ2‬‬ ‫ 0‬‬ ‫‪f g′ ( x0 ) < 0‬‬ ‫‪v‬‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫‪ -‬إذا قبلت الدالة الإشتقاق في ‪ x0‬من السار فإن تمثيلها‬ ‫‪A‬‬ ‫البياني يقبل نصف المماس من اليمين و هو معرف كمايلي‪:‬‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫من أجل ‪y = ℓ2 ( x − x0 ) + f ( x0 ) : x ≤ x0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫ﻣـــﺜﺎﻝ‬ ‫ﻣـــﺜﺎﻝ‬ ‫‪ -‬الدالة ‪ f‬المعرفة على ‪ R‬بـ |‪f ( x) = | x2 − 9‬‬ ‫مرحلة ب‬ ‫ ندرس قابلية الإشتقاق للدالة ‪ f‬من اليسار العدد ‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫[∞‪ x2 − 9 ; x ∈] − ∞; −3] ∪ [3; +‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫لدينا‪:‬‬ ‫]‪−( x2 − 9) ; x ∈ [−3 : 3‬‬ ‫)‪−( x2 − 9‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim −( x + 3) = −6‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫ن‬ ‫‬ ‫‪x − x0‬‬ ‫إذا كان ∞‪= −‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x−→ x0‬‬ ‫مرحلة الت‬ ‫يمين ‪ x0‬ونقول أن ) ‪ (C f‬يقبل عند يمين النقطة )) ‪ A ( x0 ; f ( x0‬نصف مماس‬ ‫عمودي موجه نحو الأسفل معادلته ‪. x = x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪f ( x ) − f ( x0‬‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ lim‬فإن ‪ f‬غير قابلة للإشتقاق عند‬ ‫‬ ‫‪x−→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) (‬ ‫إذن الدالة ‪ f‬غير قابلة لإشتقاق عند ‪ 0‬و ‪ C f‬يقبل نصف مماس عمودي على حامل محور التراتيب معادلته نحوا الأعلى‬ ‫التقويم‬ ‫‪x=0‬‬ ‫—‬ ‫‪20‬د‬ ‫‪ 2‬اﻹﺷﺘﻘﺎﻗﻴﺔ و اﻹﺳﺘﻤﺮارﻳﺔ‬ ‫إذا كانت الدالة ‪ f‬قابلة للإشتقاق عند عدد ‪ x0‬فإنها مستمرة عند ‪x0‬‬ ‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫‪ :‬عكس هذه المبرهنة ليس دوما صحيح‬ ‫ـ‬ ‫ﻣـــﺜﺎﻝ‬ ‫ﻣـــﺜﺎﻝ‬ ‫الدالة |‪ f : x 7→ | x‬مستمرة عند ‪ 0‬و لـكن غير قابلة للإشتقاق عند ‪0‬‬ ‫‪−x − 0‬‬ ‫‪x−0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim‬و ‪= −1‬‬ ‫لأن‪= 1 :‬‬ ‫‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ومنه المشتق من اليمين لا يساوي المشتق من اليسار ) ‪( f d′ ̸= f ′ g‬‬ ‫إذن ‪ f‬لا تقبل الإشتقاق عند ‪0‬‬  ‫‪Õ Õ‬‬ ‫‪ : ķʹØ ʴ× ̬ů‬أدرس قابلية إشتقاق الدالة ‪ f‬عند ‪ x0‬في كل حالة ثم فسر النتيجة بيانيا ‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪f ( x ) = x | x − 3| ; x0 = 3‬‬ ‫¸‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪x − 4 ; x0 = 4‬‬ ‫·‬ ‫‪f ( x ) = − x2 + 2 ; x0 = 1‬‬ ‫¶‬ ‫—‬ ‫‪| x | x2‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪; x0 = 0‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ‬ ‫‪20‬د‬ ‫)‪f ( x ) − f (1‬‬ ‫‪− x2 + 1‬‬ ‫)‪−( x − 1)( x − 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫¶‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪x →1 x − 1‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫)‪f ( x ) − f (1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ومنه ‪= lim −( x + 1) = −2‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪x →1‬‬ ‫مرحلة الت‬ ‫‪ :‬الدالة ‪ f‬تقبل الإشتقاق عند ‪ x0 = 1‬و ‪f ′ (1) = −2‬‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‪f ( x ) − f (4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫‪x−4× x−4‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫√‬ ‫·‬ ‫>‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫>‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫‪x → 4 ( x − 4) x − 4‬‬ ‫>‬ ‫)‪f ( x ) − f (4‬‬ ‫)‪( x − 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫√‬ ‫√ ‪= lim‬‬ ‫ومنه ∞‪= +‬‬ ‫>‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫‪x → 4 ( x − 4) x − 4‬‬ ‫>‬ ‫>‬ ‫‪x→4‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫قو ي‬ ‫‪ :‬الدالة ‪ f‬غير قابلة للإشتقاق عند ‪x0 = 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − x ( x − 3) ; x < 3‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫كتابة )‪ f ( x‬دون رمز قيمة المطلقة ‪:‬‬ ‫¸‬ ‫‪ x ( x − 3) ; x > 3‬‬ ‫دراسة قابلية إشتقاق الدالة ‪ f‬عند ‪: x0 = 3‬‬ ‫‪ -‬أولا دراسة قابلية إشتقاق الدالة ‪ f‬على يمين ‪. x0‬‬ ‫)‪f ( x ) − f (3‬‬ ‫)‪x ( x − 3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim x = 3‬‬ ‫>‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫>‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫>‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪ -‬ثانيا دراسة قابلية إشتقاق الدالة ‪ f‬على يسار ‪. x0‬‬ ‫م‬ ‫)‪f ( x ) − f (3‬‬ ‫)‪− x ( x − 3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim − x = −3‬‬ ‫>‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫>‬ ‫‪x→3‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫‪x→3‬‬ ‫>‬ ‫)‪f ( x ) − f (3‬‬ ‫ليس لها نهاية عندما ‪ x‬يؤول إلى ‪ 3‬ومنه ‪ f‬غير قابلة للإشتقاق عند العدد ‪3‬‬ ‫إذن النسبة‬ ‫‪‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫‪