Achsen, Wellen und Zapfen PDF

Achsen, Wellen und Zapfen 11 11.1 Funktion und Wirkung Achsen sind Elemente zum Tragen und Lagern von Laufrädern, Seilrollen, Hebeln u. ä. Bauteilen (Funk- tion). Sie werden im Wesentliche...

Achsen, Wellen und Zapfen 11 11.1 Funktion und Wirkung Achsen sind Elemente zum Tragen und Lagern von Laufrädern, Seilrollen, Hebeln u. ä. Bauteilen (Funk- tion). Sie werden im Wesentlichen durch Querkräfte auf Biegung, seltener durch Längskräfte zusätzlich auf Zug oder Druck beansprucht. Achsen übertragen im Gegensatz zu Wellen kein Drehmoment. Achsen werden unterschieden in:  Feststehende Achsen (Bild 11.1a), auf denen sich die gelagerten Teile, z. B. Seilrollen, lose drehen, sind wegen der nur ruhend oder schwellend auftretenden Biegung beanspruchungsmäßig günstig.  Umlaufende Achsen (Bild 11.1b), die sich mit den festsitzenden Bauteilen, z. B. Laufrädern, drehen, werden wechselnd auf Biegung beansprucht, sodass ihre Tragfähigkeit geringer ist als die bei festste- henden Achsen gleicher Größe und gleichem Werkstoff. Hinsichtlich der Lagerung sind sie jedoch vorteilhafter. Ein- und Ausbau, Reinigen und Schmieren der Lager sind bei der hierbei gegebenen Anordnung leichter möglich als in den häufig schwer zugänglichen umlaufenden Radnaben auf fest- stehenden Achsen. Wellen (Bild 11.1c) laufen ausschließlich um und dienen dem Übertragen von Drehmomenten (Funktion), die z. B. durch Zahnräder, Riemenscheiben und Kupplungen ein- und weitergeleitet werden. Sie werden auf Torsion und vielfach durch Querkräfte zusätzlich auf Biegung beansprucht. Bestimmte Übertragungs- elemente, z. B. Kegelräder oder schrägverzahnte Stirnräder, leiten zusätzliche Längskräfte ein, die von der Welle und von den Lagern als Axialkräfte aufzunehmen sind. Zapfen sind die zum Tragen und Lagern (Funktion) dienenden, meist abgesetzten Enden von Achsen und Wellen oder auch Einzelelemente, wie z. B. Spurzapfen und Kurbelzapfen. Sie können zylindrisch, kegelig oder kugelförmig ausgebildet sein (s. Bilder 11.13 und 11.14). Bild 11.1 Achsen und Wellen, a) feststehende Achse, b) umlaufende Achse mit Achszapfen, c) Welle mit Wellenzapfen © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 383 H. Wittel et al., Roloff/Matek Maschinenelemente, https://doi.org/10.1007/978-3-658-26280-8_11 384 11 Achsen, Wellen und Zapfen Zu erwähnen sind noch zwei Wellen-Sonderausführungen, die aber in diesem Kapitel nicht weiter be- handelt werden:  Gelenkwellen: Sie werden verwendet zum Übertragen von Drehbewegungen zwischen nicht fluchtenden und in ihrer Lage veränderlichen Wellenteilen (Funktion), z. B. im Werkzeugmaschinenbau bei Tischan- trieben von Fräsmaschinen, bei Mehrspindelbohrmaschinen und im Kraftfahrzeugbau zur Verbindung von Wechsel- und Achsgetriebe. Sie bestehen aus der Antriebswelle, den beiden Einfach-Gelenken und der ausziehbaren Zwischenwelle, der Teleskopwelle. Einzelheiten siehe Kap. 13 „Kupplungen“.  Biegsame Wellen: Zum Antrieb (Funktion) ortsveränderlicher Maschinen kleiner Leistung, wie Hand- schleifmaschinen und Handfräsen oder ortsfester Geräte mit starkem Versatz zum Antrieb, wie Ta- chos, werden vorwiegend biegsame Wellen verwendet. Sie bestehen aus schraubenförmig in mehre- ren Lagen und mehrgängig gewickelten Stahldrähten (1), die von einem beweglichen Metallschutz- schlauch (3) umhüllt und häufig noch durch ein schraubenförmig gewundenes Stahlband (2) verstärkt sind (Bild 11.2). Die Drehung biegsamer Wellen hat entgegen dem Windungssinn der äußeren Drahtlage zu erfolgen, um ein Abwickeln dieser Lage auszuschließen. Die im Bild 11.2 gezeigte Welle ist für Rechtsdrehung vorgesehen, da die äußere Lage linksgängig gewunden ist. Die Normalausführung ist für Rechtslauf. Die anzuschließen- den Teile werden meist durch aufgelötete Muffen verbunden. Das von der biegsamen Welle übertragbare Drehmoment ist abhängig vom Durchmesser der Wellenseele, der Ausführungsart, der Länge, dem kleins- ten Biegeradius u. a. Einflussgrößen. Werte sind unter Angabe der Einsatzbedingungen vom Hersteller zu erfragen. Bild 11.2 Biegsame Welle mit Metallschutzschlauch 11.2 Gestalten und Entwerfen 11.2.1 Gestaltungsgrundsätze 1. Gestaltungsrichtlinien hinsichtlich der Festigkeit Die äußere Form der Achsen, Wellen und Zapfen wird sowohl durch ihre Verwendung, z. B. als Radachse, Kurbelwelle, Getriebewelle und Lagerzapfen, als auch durch die Anordnung, Anzahl und Art der Lager, der aufzunehmenden Räder, Kupplungen, Dichtungen u. dgl. bestimmt. Die Aufgaben des Konstrukteurs bestehen darin, kleine Abmessungen anzustreben, die Dauerbruchgefahr auszuschalten und eine möglichst einfache und kostensparende Fertigung zu erreichen. Hierfür sind konstruktive Maßnahmen, insbesonde- re zur Vermeidung gefährdeter Kerbstellen, oft entscheidender als die Verwendung von Stählen höherer Festigkeit. Folgende Gestaltungsregeln sollten beachtet werden: 1. Gedrängte Bauweise mit kleinen Rad- und Lagerabständen anstreben, um kleine Biegemomente und damit kleine Durchmesser zu erreichen. Die mit den Achsen und Wellen zusammenhängenden Bau- teile (Radnaben, Lager usw.) können dann ebenfalls kleiner ausgeführt werden, wodurch sich Größe, Gewicht und Kosten der Gesamtkonstruktion wesentlich verringern können (s. auch Bild 11.8). 2. Bei abgesetzten Zapfen das Verhältnis D=d D 1;4 nicht überschreiten. Übergänge gut runden mit r D d=20 : : : d=10 (Bild 11.3a). 11.2 Gestalten und Entwerfen 385 3. Keil- und Passfedernuten bei Umlaufbiegung nicht bis an die Übergänge heranführen, damit die Kerb- wirkungen aus beiden Querschnittsveränderungen wegen erhöhter Dauerbruchgefahr nicht in einer Ebene zusammenfallen (Bild 11.3a). Liegt nur statische Torsion (und statische Biegung) vor, siehe Passfederverbindungen (Abschn. 12.2.1-1). 4. Festigkeitsmäßig sehr günstig, konstruktiv jedoch nicht immer ausführbar, ist der Übergang mit zwei Rundungsradien, einem Korbbogen mit r  d=20 und R  d=5 (Bild 11.3b). Bei aufgesetzten Wälz- lagern ist hierbei ein Stützring erforderlich, da die Lager nicht direkt an die Wellenschulter gesetzt werden können. 5. Rundungsradien nach DIN 250 wählen; Vorzugsreihe (Nebenreihe): 0,2 (0,3) 0,4 (0,5) 0,6 (0,8) 1 (1,2) 1,6 (2) 2,5 (3) 4 (5) 6 (8) 10 (12) 16 (18) 20 usw. nach den Normzahlreihen R5, R10, R20. Bei direkt an den Wellenschultern sitzenden Wälzlagern sind die den Lagern zugeordneten Rundungsradien (auch Schulterhöhen) nach DIN 5418 (siehe TB 14-9) zu beachten. 6. Freistich vorsehen, wenn ein Zapfen, z. B. für eine Gleitlagerung, geschliffen werden soll, damit die Schleifscheibe freien Auslauf hat (Bild 11.3c, Freistich nach DIN 509, Form E). Soll auch die Absatz- fläche geschliffen werden, so kommt ein Freistich nach Bild 11.3d (DIN 509 Form F) in Frage (Werte siehe TB 11-4). 7. Wellenübergänge ohne Schulter festigkeitsmäßig am günstigsten nach Bild 11.4 ausführen; Rundung R  d=5. Aufgeschrumpfte Naben von der Übergangsstelle etwas zurücksetzen (Maß a) und Boh- rungskanten leicht brechen, um die Kerbwirkung klein zu halten. 8. Räder und Scheiben gegen axiales Verschieben möglichst durch Distanzscheiben oder -hülsen, Stell- ringe oder Wellenabsätze (Wellenschultern) und nicht durch Sicherungsringe sichern. Die Nuten für diese Ringe haben eine große Kerbwirkung und erhöhen damit die Dauerbruchgefahr. Sicherungsringe deshalb möglichst nur an den Wellenenden anordnen (Bild 11.5a). 9. Nuten etwas kürzer als Naben ausführen (Abstand a > 0), damit Distanzhülsen einwandfrei an der Nabe anliegen, Einbauungenauigkeiten durch Verschieben der Räder ausgeglichen werden können und die Kerbwirkungen von Nutende und Nabensitz nicht zusammenfallen (Bild 11.5a). 10. Axiale Führung der Achsen und Wellen durch Ansatzflächen der Lagerzapfen (Bild 11.6a) oder bei glatter Ausführung z. B. durch Stellringe (Bild 11.6b) an beiden Lagern (A und B) sichern. Ausrei- chend Spiel vorsehen, um ein Verspannen bei Wärmedehnung zu vermeiden und um Einbauungenau- igkeiten ausgleichen zu können (bei Wälzlagerung s. Stützlagerung und Fest-Loslagerung im Kap. 14). Durch die Führung an nur einem Lager (B1 ) kann ein „Schwimmen“ vermieden werden. Bei mehr- facher Lagerung (Bild 11.6c) übernimmt ein Lager (B), bei Wälzlagerung das Festlager, die axiale Führung, alle anderen Lager, die Loslager müssen sich in Längsrichtung frei einstellen können. 11. Möglichst Fertigwellen (siehe auch unter Abschn. 11.2.2-1) verwenden, um Bearbeitungskosten zu sparen. 11 12. Feststehende Achsen wegen günstiger Beanspruchungsverhältnisse gegenüber umlaufenden bevorzu- gen (siehe auch unter Abschn. 11.2.2-2). 13. Lager dicht an Scheiben und Räder setzen, damit die Durchbiegung der Welle klein bleibt und die kritische Drehzahl hoch liegt (siehe unter Abschn. 11.3.3). 14. Bei hochtourig laufenden und deshalb genauestens auszuwuchtenden Wellen sollen Nuten, Bohrungen usw. vor der Endbearbeitung der Oberflächen gefertigt werden, um Druckstellen und Verformungen durch das Einspannen beim Fräsen oder Bohren zu vermeiden. 15. Liegt Umlaufbiegung vor, ist eine Erhöhung der Dauerschwingfestigkeit durch Oberflächenverfesti- gung möglich, z. B. durch Drücken, Kugelstrahlen oder auch Härten (durch Überlagern der Druckei- genspannung und der Betriebsspannung wird die resultierende Mittelspannung in den Druckbereich verlagert, d. h. die „gefährlichere“ Zugspannung wird kleiner). 386 11 Achsen, Wellen und Zapfen Bild 11.3 Gestaltung der Zapfenübergänge. a) normaler Übergang, b) Übergang mit Korbbogen c) und d) Freistich E und F nach DIN 509 Bild 11.4 Wellenübergang ohne Schulter Bild 11.5 Festlegen von Rädern bzw. Scheiben a) durch Distanzhülsen, b) durch Wellenschultern Bild 11.6 Axiale Führung von Achsen und Wellen a) durch Wellenschultern, b) durch Stellringe, c) bei mehrfacher Lagerung 11.2 Gestalten und Entwerfen 387 2. Gestaltungsrichtlinien hinsichtlich des elastischen Verhaltens Die Neigung der Achse/Welle in den Lagern ist für die Auswahl der Lager, die Durchbiegung und Neigung an den Stellen wo Bauteile aufgesetzt sind, für deren einwandfreie Funktion bzw. die Genauigkeit der Baugruppe, entscheidend. Bei längeren Wellen ist evtl. die Verdrehung für die Auslegung entscheidend. Bei hohen Drehzahlen (n > 1 500 min1 ) treten infolge von Unwucht Schwingungen auf, welche zu überprüfen sind (kritische Drehzahlen, siehe Abschn. 11.3.3). Eine genauere rechnerische Ermittlung der Neigung, Durchbiegung und biege- bzw. torsionskritischen Drehzahl ist, besonders bei mehrfach abgesetzten Wellen mit mehreren Scheiben oder Rädern, oft schwierig und zeitaufwendig. In der Praxis werden hierfür Rechnerprogramme eingesetzt. Die kritischen Drehzahlen sind, falls erforderlich, wegen der schwer erfassbaren versteifenden Wirkung der Lager, Räder usw. nur durch Versuche genauer ermittelbar. Allgemein ist eine möglichst hohe kritische Drehzahl anzustreben, die mindestens 10... 20 % über, oder, wenn dieses nicht zu erreichen ist, ebenso viel unter der Betriebsdrehzahl liegt. Zum Erreichen einer hohen kritischen Drehzahl sind konstruktiv anzustreben: 1. Lager möglichst dicht an umlaufende Scheiben, Räder usw. setzen, um die Durchbiegung klein zu halten. 2. Wellen mit umlaufenden Teilen bei hohen Drehzahlen sorgfältig auswuchten, damit die Fliehkräfte und ihre Wirkungen klein bleiben. 3. Umlaufende Scheiben, Räder, Kupplungen usw. leicht bauen, um ein kleines Massenträgheitsmoment (und auch eine geringere Durchbiegung) zu erhalten. Zu beachten ist, dass die kritischen Drehzahlen nur von der Gestalt (Masse und Verformung) und dem Werkstoff (nur E-Modul) abhängig sind, nicht von den äußeren Kräften oder der Lage der Welle (liegend oder stehend). Werden steife Wellen gefordert, z. B. für Spindeln von Werkzeugmaschinen, sind die Wellen kurz zu gestalten oder wenn nicht möglich, als Hohlwellen auszuführen, da Hohlwellen ein deutlich größeres Wi- derstandsmoment bei gleichem Querschnitt aufweisen. 11.2.2 Entwurfsberechnung 1. Werkstoffe und Halbzeuge Für normal beanspruchte Achsen und Wellen von Getrieben, Kraft- und Arbeitsmaschinen, Fördermaschi- nen, Hebezeugen, Werkzeugmaschinen u. dgl. kommen insbesondere die unlegierten Baustähle nach DIN EN 10 025, z. B. S235, S275, E295 und E335 in Frage. Für höher beanspruchte Wellen, z. B. von Kraft- 11 fahrzeugen, Motoren, schweren Werkzeugmaschinen, Getrieben, Turbinen u. dgl. werden vorzugsweise die Vergütungsstähle nach DIN EN 10083, z. B. 25CrMo4, 28Mn6 u. a., bei Beanspruchung auf Verschleiß auch die Einsatzstähle nach DIN EN 10 084, z. B. C15, 17CrNiMo6 u. a. verwendet. Siehe hierzu TB 1-1. Achsen und Wellen können ohne Nacharbeit aus geraden blanken Rundstäben nach DIN EN 10278 mit gezogener, geschälter und geschliffener Oberfläche (Kurzzeichen: +C, +SH und +SL) in Längen bis 9 m hergestellt werden, siehe TB 1-6. Die Toleranzfelder betragen für gezogene und geschälte Rundstäbe h10 (h9, h11 und h12) und für geschliffene bzw. polierte Rundstäbe h9 (h6, h7, h8, h10, h11 und h12). Die Rundstäbe können auch mit den in ( ) angegebenen Toleranzfeldern geliefert werden. Nach den technischen Lieferbedingungen DIN EN 10 277-2 bis -5 können diese blanken Rundstäbe mit den mechanischen Eigenschaften gewalzt + geschält (+SH), kaltgezogen (+C), vergütet und kaltgezo- gen (+QT + C) und gewalzt und geschält (+SH) als Stähle für allgemeine technische Verwendung, z. B. E295GC + C, C60 + SH; als Automatenstähle, z. B. 11SMn37 + C, 44SMn28 + QT + C; als Einsatzstähle, z. B. C15R + C, 16MnCrS5 + A + C und als Vergütungsstähle, z. B. C60E + C + QT, 25CrMoS4 + QT + C verwendet werden, siehe TB 1-1h. Oberflächenfehler werden in vier Güteklassen berücksichtigt. Die Ober- flächengüteklasse 4 „herstellungstechnisch rissfrei“ ist nur in geschältem und/oder geschliffenem Zustand erreichbar. Achsen und Wellen mit anderen Toleranzen oder teilweise unbearbeiteter Oberfläche sind zweckmä- ßig aus warmgewalztem Rundstahl von 10... 250 mm Durchmesser nach DIN EN 10 060 zu fertigen, 388 11 Achsen, Wellen und Zapfen siehe TB 1-6. Bei größeren Abmessungen oder besonderen Formen, z. B. Vorderachsen von Kraftfahrzeu- gen, Kurbelwellen, stärker abgesetzte oder angeformte Achsen und Wellen (siehe Bild 11.11), werden sie vorgeschmiedet, gepresst oder auch gegossen. Werkstoffe und Halbzeuge sollen aus wirtschaftlichen Gründen nicht hochwertiger als unbedingt er- forderlich gewählt werden. Nur wenn Raum- und Gewichtsbeschränkungen bei hohen Beanspruchungen zu kleinen Abmessungen zwingen, z. B. bei Kfz-Getrieben, oder wenn besondere Anforderungen an Ver- schleiß, Korrosion, magnetische Eigenschaften, Warmfestigkeit usw. gestellt werden, sollten entsprechende Werkstoffe wie höherlegierte Vergütungs- und Einsatzstähle oder korrosionsbeständige Stähle verwendet werden. Gegebenenfalls können auch noch Forderungen nach guter Schweiß-, Zerspan- und Schmiedbar- keit für die Werkstoffwahl mitbestimmend sein. Empfehlungen über die für bestimmte Anforderungen und Verwendungszwecke zu wählenden Stähle enthält die Werkstoffauswahl TB 1-1. 2. Berechnungsgrundlagen Achsen und Wellen lassen sich nur unter Einbeziehung der mit diesen verbundenen Bauteilen wie Räder, Lager u. dgl., also unter Zugrundelegung des gesamten Konstruktionsumfeldes gestalten und berechnen, wobei von folgenden Fällen ausgegangen werden kann. Fall 1 Der Einbauraum für die Achse oder Welle ist durch die bereits festliegenden Abmessungen der Gesamtkonstruktion vorgegeben, z. B. für eine Fahrzeugachse durch die Breite des Fahrzeuges (Bild 11.1b) oder für die Antriebswelle eines Kettenförderers durch die aufgrund der Förderleistung bedingte Trogbreite (z. B. B D 315 mm in Bild 11.7). In solchen Fällen liegen die Abstandsmaße für Lager, Räder usw. fest oder lassen sich zumindest gut abschätzen, so dass mit den relativ genau zu bestimmenden Biege- und Torsionsmomenten die Achsen bzw. Wellen für den Entwurf schon ausreichend genau berechnet werden können. Fall 2 Der Einbauraum ist nicht vorgegeben, da die Abmessungen der Gesamtkonstruktion im wesent- lichen erst durch die vom zunächst noch unbekannten Achsen- bzw. Wellendurchmesser d abhängigen Größen der Radnaben, Lager usw. bestimmt werden müssen, wie z. B. bei der Getriebewelle (Bild 11.8). In solchen Fällen liegen die Lager- und Radabstände und damit auch die Wirklinien der Kräfte noch nicht fest, sodass die Biegemomente auch nicht ermittelt werden können. Hier muss durch eine Entwurfsberechnung nach Abschn. 11.2.2-3 der Durchmesser d0 zunächst überschlägig ermittelt werden und damit die Größen der Radnaben, Lager usw. annähernd bestimmt und die Abstandsmaße durch einen Vorentwurf festgelegt werden. Erst danach kann eine „genauere“ Berechnung nach Abschn. 11.3 (meist in der Form der Nach- prüfung) erfolgen und anschließend, falls erforderlich, eine entsprechende Korrektur der Abmessungen vorgenommen und der endgültige Entwurf erstellt werden. Die Vorgehensweise für eine überschlägige rechnerische Auslegung von Achsen und Wellen ist im Bild 11.9 dargestellt. Bild 11.7 Antriebswelle eines Förderers mit vorgegebenen Einbaumaß (schematisch) 11.2 Gestalten und Entwerfen 389 Bild 11.8 Welle mit vorerst nicht bekannten Einbaumaßen (schematisch) Bild 11.9 Ablaufplan zur Berechnung von Achsen und Wellen 11 390 11 Achsen, Wellen und Zapfen Querkraftverlauf um 90° gedreht dargestellt Fq τ max = 4 · 3 A σbd Momentenverlauf σbz a) b) Bild 11.10 Beanspruchung einer Achse. a) Querkraft- und Biegemomentenverlauf, b) Schnittgrößen und Spannungsverlauf Festigkeitsbetrachtungen Bei der Berechnung der Achsen und der Wellen werden die äußeren Kräfte (Radkräfte, Lagerkräfte) der Einfachheit halber meist als punktförmig angreifende Kräfte angenommen, wobei deren Wirklinien all- gemein durch die Mitten der Angriffsflächen, also der Zahnbreiten, Scheibenbreiten, Lagerbreiten usw. gelegt werden (siehe Bilder 11.1 und 11.8). Nur bei der Krafteinleitung über verhältnismäßig lange Naben ist ggf. die Betrachtung als Streckenlast angebracht. Gewichtskräfte aus den Eigengewichten von Achse bzw. Welle, Rädern usw. können – im Gegensatz zu den Untersuchungen von Verformungen und kritischen Drehzahlen (siehe unter Abschn. 11.3.3) – bei der Festigkeitsberechnung meist vernachlässigt werden. Achsen Achsen werden auf Biegung und auf Schub beansprucht (s. Bild 11.10a). Wie aus Bild 11.10b zu erkennen ist, hat die Biegespannung ¢b (Normalspannung) in der Randzone ihren Maximalwert, während die Schubspannung £s in der Randzone annähernd Null ist. Nach Gl. 3.5 ist die Vergleichsspannung in der Randzone ¢v  ¢  ¢b. Zur Biegeachse hin wird der Einfluss der Schubspannung zwar größer, aber infolge der Abnahme der Biegespannung wird die Vergleichsspannung zur Mitte hin für „normale“ Anwendungs- fälle immer kleiner sein als die Randspannung ¢b. Nur für kleine Abstände lx , z. B. bei Bolzen, Stiften, evtl. auch bei kurzen Lagerzapfen (s. Bild 11.10) ist der Einfluss der Schubspannung (£s ) zu berücksichti- gen. Allgemein kann gesagt werden, dass bei der Ermittlung des Achsdurchmessers d die Schubspannung vernachlässigt werden kann, wenn lx > d ist. Zylindrische Achsen Bei einer zylindrischen Achse muss bei reiner Biegebeanspruchung die Biegehaupt- gleichung ¢b D Mb =W  ¢b zul erfüllt sein. Mit W D. =32/  d3 für den Kreisquerschnitt wird der Mindestdurchmesser der Achse s s 3 32  Mb Mb d  2;17  3 (11.1)  ¢b zul ¢b zul 11.2 Gestalten und Entwerfen 391     bzw. mit k D di =da und W D. =32/  da4  di4 =da D. =32/  da3  1  k 4 wird der Außendurchmesser der Hohlachse s s 32  Mb Mb da  3  2;17  3 (11.2) .1  k /  ¢b zul 4.1  k 4 /  ¢b zul sowie der Innendurchmesser der Hohlachse di  k  da (11.3) M b größtes Biegemoment Der Begriff „maximales Biegemoment“ ist für den statischen Nachweis vergeben und berücksich- tigt die höchste mögliche auch einmalige Belastung; der Begriff „äquivalentes Biegemoment“ gilt für den dynamischen Nachweis: M b eq D KA  Mb nenn , siehe Kap. 3 ¢b zul zulässige Biegespannung. Für Überschlagsrechnungen ¢b zul D ¢bD =SDmin nach Gl. 3.26 k angenommenes Durchmesserverhältnis d i =da der Hohlachse, mit Innendurchmesser d i und Au- ßendurchmesser d a. Das Widerstandsmoment von Hohlachsen (und -wellen) nimmt bei Werten k  0;5 nur geringfügig bei bereits merklicher Reduzierung der Querschnittsfläche bzw. der Gewichtskraft ab Angeformte Achsen Schwere Achsen (und auch Wellen), z. B. für große, hochbelastete Seilscheiben von Förderanlagen werden aus Gründen der Werkstoff- und Gewichtsersparnis häufig einem Träger gleicher Festigkeit angeformt. Der nach Gl. 11.1 ermittelte Durchmesser ist theoretisch nur an der Stelle des größten Biegemomentes M erforderlich. An allen anderen Querschnittsstellen könnte der Durchmesser entspre- chend der Größe des dort auftretenden Biegemomentes u. U. kleiner sein. Für die im Bild 11.11 dargestellte Seilrollenachse ergibt sich der Durchmesser d x an der Stelle x mit dem Biegemoment M bx D FA  x und ¢b zul wie zu Gl. 11.1 aus s s 3 32  Mbx FA  x dx   2;17  3 (11.4)  ¢b zul ¢b zul Hiermit ergibt sich ein Rotationskörper, der durch eine kubische Parabel begrenzt ist. Die Achse ist zweck- mäßig durch zylindrische oder kegelige Abstufungen so auszubilden, dass ihre Begrenzungskanten die Parabel an keiner Stelle einschneiden, siehe Bild 11.11. Die Übergänge sind sanft zu runden, um die Kerb- wirkung möglichst klein zu halten. 11 Ein Gestalten nach diesen Gesichtspunkten lohnt sich jedoch nur bei Achsen größeren Durchmessers, die vor der spanenden Bearbeitung ohnehin vorgeschmiedet werden, und wenn die höheren Fertigungskos- ten durch Werkstoffeinsparung, durch kleinere und damit preiswertere Lager an den kleineren Achsenden und durch geringere Transport- und Montagekosten sich wieder ausgleichen. Achszapfen Die Durchmesser d 1 von Lagerzapfen umlaufender Achsen werden nach der Berechnung des Achsdurchmessers d meist konstruktiv festgelegt und nur in ungünstigsten Fällen ist die Kontrolle des Querschnittes A–B im Bild 11.12 erforderlich. Die Beanspruchung des Lagerzapfens erfolgt vorwiegend wechselnd auf Biegung. Die zusätzliche Schubbeanspruchung kann erfahrungsgemäß vernachlässigt wer- den. Tragzapfen feststehender Achsen werden wie Lagerzapfen festgelegt und überprüft. Die Beanspruchung erfolgt bei diesen jedoch vorwiegend ruhend oder dynamisch schwellend auf Biegung. Einzelzapfen als Führungszapfen (z. B. bei Schwenkrollen, Bild 11.13a), als Kurbelzapfen (z. B. bei Kurvenscheiben, Bild 11.13b) und als Halszapfen (z. B. bei Kransäulen, Bild 11.13c) werden im Wesentlichen auf Biegung durch das Moment M b D Fl bzw. M b D Fl=2 beansprucht und entsprechend wie Lagerzapfen konstruktiv festgelegt und nur in ungünstigen Fällen in den gefährdeten Querschnitten A–B geprüft. 392 11 Achsen, Wellen und Zapfen Bild 11.11 Angeformte Achse Bild 11.12 Achszapfen Bild 11.13 Einzelzapfen: a) als Führungszapfen, b) als Kurbelzapfen, c) als Halszapfen Bild 11.14 Einzelzapfen: a) Spurzapfen b) Kugelzapfen 11.2 Gestalten und Entwerfen 393 Einzelzapfen als Spur- oder Stützzapfen (z. B. bei Wanddrehkranen, Bild 11.14a) werden auf Flächen- pressung und meist noch auf Biegung durch das Moment M b D Fr  l beansprucht. Die noch auftretenden Beanspruchungen auf Druck und Schub können vernachlässigt werden. Kugelzapfen dienen einer gelenk- artigen Lagerung von Achsen, Wellen und Stangen, die räumliche Bewegungen ausführen, z. B. Schubstan- gen bei Kurbeltrieben von Exzenterpressen (siehe Bild 11.14b). Die Beanspruchung erfolgt hauptsächlich auf Flächenpressung: p D Fa =A  pzul. Als Fläche A gilt die Fläche der Projektion der gepressten Kugel- zone. Wellen Für die Berechnung der Wellenabmessungen sind in erster Linie Höhe und Art der Beanspruchung (Torsion, Torsion und Biegung) maßgebend. In manchen Fällen können jedoch auch die elastische Verfor- mung (Drillwinkel, Durchbiegung), eine geforderte Steifigkeit (z. B. bei Werkzeugmaschinen) und etwaige Schwingungen (kritische Drehzahl) für die Bemessung entscheidend sein (siehe unter Abschn. 11.3). Torsionsbeanspruchte Wellen Reine Torsionsbeanspruchung liegt selten vor, denn häufig tritt noch eine zusätzliche Biegebeanspruchung auf. Wird diese jedoch nur durch die Gewichtskräfte hervorgerufen, dann kann sie meist vernachlässigt werden. Annähernd reine Torsionsbeanspruchung tritt z. B. bei Kardanwellen, bei direkt mit einem Motor oder Getriebe gekuppelten Wellen von Lüftern, Zentrifugen, Kreiselpumpen u. dgl. auf. Für Vollwellen mit Kreisquerschnitt ergibt sich mit W t D. =16/  d3 aus der Torsionshauptgleichung £t D T=Wt  £t zul der Mindestdurchmesser s s 16  T T d 3  1;72  3 (11.5)  £t zul £t zul Hohlwellen werden vorgesehen, wenn eine hohe Steifigkeit bei möglichst kleiner Masse gefordert wird, z. B. bei Arbeitsspindeln von Dreh- und Fräsmaschinen, bei Gelenkwellen (Bild 11.15) oder wenn z. B. Spann-, Schalt- und Steuerstangen hindurchzuführen sind.  Torsionshauptgleichung lässt sich für Hohlwellen mit Kreisquerschnitt für Wt D. =16/  4Aus 4der   da  di =da und dem Durchmesserverhältnis k D di =da und somit Wt D. =16/  da3  1  k 4 der Außendurchmesser ermitteln aus s s 16  T T da  3  1;72  3 (11.6) .1  k 4 /  £tzul.1  k 4 /  £tzul 11 T das von der Welle zu übertragende größte Torsionsmoment £t zul zulässige Torsionsspannung nach Angaben zu Gl. 3.26; £t zul D £tD /SDmin k siehe zu Gl. 11.3 Der Innendurchmesser d i wird nach Gl. 11.3 errechnet und sinnvoll festgelegt. Bild 11.15 Gelenkwelle in Rohrausführung (Hohlwelle) 394 11 Achsen, Wellen und Zapfen Bild 11.16 Torsions- und biege- beanspruchte Welle Gleichzeitig torsions- und biegebeanspruchte Wellen Gleichzeitige Torsions- und Biegebeanspruchung liegt bei Wellen am häufigsten vor. Durch das zu übertragende Torsionsmoment werden Torsionsspan- nungen, durch Riemenzug-, Zahn- oder andere auf die Welle wirkende Kräfte zusätzlich Biege- und auch Schubspannungen hervorgerufen, siehe Bild 11.16. Die Schubspannungen sind erfahrungsgemäß jedoch vernachlässigbar klein und müssen nur in extrem ungünstigen Fällen mit in die Berechnung einbezogen werden (siehe auch unter Achsen). Die aus Torsion und Biegung zusammengesetzten Beanspruchungen treten allgemein bei Wellen mit Zahnrädern, Riemenscheiben, Hebeln u. ä. Übertragungselementen auf, wie z. B. bei Getriebe- und Kurbel- wellen. Bild 11.16 zeigt, dass im Bereich zwischen der Wirklinie der Kraft F und dem Lager B die größte Beanspruchung (Torsion, Schub, Biegung) liegt. Beim Zusammenwirken von Torsion und Biegung (die Schubbeanspruchung soll in nachfolgender Betrachtung vernachlässigt werden) treten die jeweils höchsten Spannungen in den Randfasern auf. Die Gesamtwirkung lässt sich für duktile Werkstoffe mit der GE- Hypothese nach Gl. 3.5 ermitteln. Wird hierin für ¢b D Mb =Wb und für £t D T=Wt D T=.2  Wb / eingesetzt, kann das Vergleichsmoment1 berechnet werden aus s s  2  2 ¢ b zul ¢b zul Mv D Mb2 C 0;75  T D Mb2 C T (11.7) ®  £t zul 2  £t zul Mb Biegemoment für den gefährdeten Querschnitt T von der Welle zu übertragendes Torsionsmoment ¢b zul , £t zul zulässige Spannungen für die vorhandenen Beanspruchungsfälle: ¢b zul =.®£t zul /  0;7 wenn Torsion ruhend oder schwellend, Biegung wechselnd auftritt; ¢b zul =.®  £t zul /  1, wenn Torsion und Biegung im gleichen Belastungsfall auftreten, z. B. beide wechselnd; ¢b zul =.®  £t zul /  1;5, wenn Torsion wechselnd, Biegung statisch oder schwellend auftritt ® Faktor zur Berechnung des Anstrengungsverhältnisses: ® D 1;73 q Aus der zu erfüllenden Bedingung ¢v D ¢b2 max C 3 .¢b zul =.®  £t zul /  £t max /2  ¢b zul kann analog zu den Gln. 11.1 bis 11.4 jeweils der erforderliche Wellendurchmesser ermittelt werden. Für Vollwellen mit Kreisquerschnitt gilt dann s s 3 32  Mv Mv d  2;17  3 (11.8)  ¢b zul ¢b zul 1 Vergleichbares Biegemoment mit gleicher Wirkung wie Biege- und Torsionsmoment gemeinsam. Analoge Be- trachtung wie bei der Vergleichsspannung. 11.2 Gestalten und Entwerfen 395 und für Hohlwellen mit Kreisquerschnitt s s 32  Mv Mv da  3  2;17  3 (11.9) .1  k 4 /  ¢b zul.1  k 4 /  ¢b zul Mv Vergleichsmoment (ideelles Biegemoment) W b , W t Biege-, Torsions-Widerstandsmoment ¢b zul , k wie zu Gln. 11.1 und 11.3 Der Innendurchmesser der Hohlwelle wird nach Gl. 11.3 ermittelt. Beachte In vielen Fällen lässt sich das Biegemoment vorerst nicht genau ermitteln, da die zu dessen Be- rechnung erforderlichen Abstände der Lager, Räder usw. sowie teilweise auch deren Kräfte noch unbekannt sind, wie bereits ausführlich unter Abschn. 11.2.2-2 zu Fall 2 beschrieben. In solchen Fällen wird der Durchmesser durch eine Entwurfsberechnung zunächst überschlägig ermittelt und nach der konstruktiven Gestaltung entsprechend nachgeprüft, siehe unter Abschn. 11.3. Wellenzapfen Die nur zur Lagerung dienenden Lagerzapfen (Bild 11.17a) werden wie Achszapfen vor- wiegend wechselnd auf Biegung beansprucht und auch wie diese nach Abschn. 11.3.1 geprüft. Der Antriebszapfen (Bild 11.17b) überträgt ausschließlich das von der Kupplung eingeleitete Torsions- moment T und wird nur auf Torsion beansprucht. Gefährdet sind der Übergangsquerschnitt C–D und der Nutquerschnitt E–F, wobei meist nur der Nutquerschnitt wegen der Schwächung durch die Nuttiefe und auch wegen der häufig höheren Kerbwirkung nach Abschn. 11.3.1 nachgeprüft zu werden braucht. Der Antriebszapfen (Bild 11.17c) wird im wesentlichen durch das von der Kupplung eingeleitete Tor- sionsmoment T auf Verdrehung beansprucht. Die durch die Lagerkraft F im Querschnitt G–H zusätzlich entstehende Biegebeanspruchung ist wegen des meist kleinen Abstandes l1 , z. B. bei Wälzlagern, im Ver- hältnis zur Verdrehbeanspruchung gering und kann normalerweise vernachlässigt werden. Es braucht also praktisch nur der Nutquerschnitt I–K auf Torsion nach Abschn. 11.3.1 nachgeprüft zu werden. Bei dem Antriebszapfen (Bild 11.17d) wird das Torsionsmoment T über eine „fliegend“ angeordne- te Riemenscheibe (oder ein Zahnrad) eingeleitet. Neben der Verdrehbeanspruchung entsteht durch die Scheiben- oder Radkraft F 2 für den Übergangsquerschnitt L–M eine nicht mehr zu vernachlässigende Biegebeanspruchung. Unter Zugrundelegung des Vergleichsmomentes M v ist der Querschnitt L–M und si- cherheitshalber auch der überwiegend auf Verdrehung beanspruchte Querschnitt N–O nach Abschn. 11.3.1 nachzuprüfen. 11 Bild 11.17 Wellenzapfen. a) biegebeansprucht, b) torsionsbeansprucht, c) und d) torsions- und biegebeansprucht Wellenenden Zur Aufnahme von Riemenscheiben, Zahnrädern und Kupplungen sollen möglichst ge- normte Wellenenden verwendet werden: Zylindrische Wellenenden nach DIN 748 T1 und T3 (s. TB 11-1); kegelige Wellenenden mit langem und kurzem Kegel und Außengewinde nach DIN 1448 (s. TB 11-2); solche mit Innengewinde nach DIN 1449. 396 11 Achsen, Wellen und Zapfen Torsions- und Biegemomente Für die Dimensionierung von Achsen und Wellen sind in erster Linie die sich aus der zu übertragenden Leistung und der zugehörigen Drehzahl ergebenden Torsions- und Biegemomente ausschlaggebend. Quer- kräfte, die sich aus schweren Massen, umlaufenden exzentrischen Massen und anderen von der Achse oder Welle aufzunehmenden Bauteilen (z. B. Steuernocken) ergeben, sind vielfach mit zu berücksichtigen wie auch die z. B. bei Riemenantrieben sich aus der Vorspannung ergebenden Querkräfte, die oftmals um ein vielfaches größer sind als die aus dem Drehmoment resultierende Tangentialkraft (Umfangskraft). Schwie- rigkeiten bei der genauen Erfassung der von der Achse und Welle aufzunehmenden Kräfte und Momente bereiten die dynamischen Vorgänge der gesamten Leistungsübertragung, wie z. B. Beschleunigen und Ab- bremsen der Massen, die Art der Antriebs- und Belastungsverhältnisse, z. B. bei Verbrennungsmotor oder Elektromotor bzw. selten Volllast oder Volllast mit starker Stoßwirkung. Torsionsmomente2 Aus der Grundbeziehung P D T  ¨ D T  2   n wird das zu übertragende Nenn- drehmoment P Tnenn D (11.10) 2 n und mit den in der Praxis üblichen Einheiten sowie unter Berücksichtigung der dynamischen Vorgänge durch den Anwendungsfaktor K A (siehe Bild 3.8) ergibt sich das für die Berechnung maßgebende äquiva- lente Drehmoment aus der Gebrauchsformel KA  P T P n T D Teq D KA  Tnenn  9 550  (11.11) n Nm kW min1 K A Anwendungsfaktor3 zur Berücksichtigung dynamischer Vorgänge nach TB 3-5 P größte zu übertragende Nennleistung n zur Nennleistung P gehörige (kleinste) Drehzahl Biegemomente Das Ermitteln der von den Achsen und Wellen aufzunehmenden Biegemomente ist oft erheblich aufwendiger und schwieriger als das der Torsionsmomente. Grundsätzlich werden die sich bei der Leistungsübertragung ergebenden Aktionskräfte (Lagerkräfte, Riemenzugkräfte, Zahnkräfte, u. a.) aus dem äquivalenten Torsionsmoment nach Gl. 11.11 ermittelt, um auch für die benachbarten Bauteile den schwer erfassbaren Einfluss der dynamischen Vorgänge mit zu berücksichtigen. Für die Berechnung maßgebend ist häufig das größte Biegemoment, dessen Bestimmung an einigen Beispielen gezeigt werden soll. In allen Fällen sind – falls nicht aus vorangegangenen Berechnungen bereits bekannt – die Lagerkräfte zu ermitteln. Der einfachste Fall liegt bei nur einer angreifenden Kraft vor, z. B. einer Achse mit einer Seilrolle oder einem Laufrad bzw. einer Welle mit einer Riemenscheibe, siehe Bild 11.18. Hier liegt das größte Biegemoment M b im Angriffspunkt der Gesamtzugkraft F bei einer Scheibenanordnung zwischen den Lagern; bei „fliegender“ Anordnung der Scheibe dagegen im Lager B (Strichlinie). Aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen †M.A/ D 0 bzw. †M.B/ D 0 lassen sich die Lagerkräfte F B bzw. F A ermitteln. Im Bild 11.18 sind die Verläufe für das Biegemoment (M b ), die Querkraft (F Q ) und das Torsionsmoment (T) dargestellt. 2 Nach DIN 1304 wird unterschieden zwischen dem Drehmoment (Kraftmoment) M und dem Torsionsmoment T als inneres Moment. Der Einfachheit halber wird (wie in der weiterführenden Literatur meist üblich) generell als Formelzeichen für das Dreh- und Torsionsmoment T eingesetzt. 3 Die Festlegung des Anwendungsfaktors muss sehr gewissenhaft vorgenommen werden, denn eine hierbei er- folgte Fehleinschätzung wird durch keine noch so genaue Berechnung wieder wettgemacht. 11.2 Gestalten und Entwerfen 397 Bild 11.18 Ermittlung der Lagerkräfte und der Biege- momente Die Ermittlung der Lagerkräfte und der benötigten Biegemomente für Systeme mit mehreren, in 11 verschiedenen Richtungen wirkenden Kräften wird mit den Bildern 11.19 und 11.20 gezeigt. Zunächst wird die Zahnnormalkraft F bn in ihre einzelnen Komponenten zerlegt. Bei einer Geradverzahnung nach Bild 11.19 sind das die Umfangskraft F t und die Radialkraft F r , bei der Schrägverzahnung nach Bild 11.20 kommt zusätzlich noch die Axialkraft F a hinzu. Als nächstes wird für die Bestimmung der Biegemomente das vorhandene räumliche Kräftesystem in zwei ebene Kräftesysteme zerlegt. Die Aufteilung der äußeren Kräfte F t , F r und F a auf die zwei Ebenen wird wie folgt vorgenommen: Eine Kraft wird in einer Ebene berücksichtigt, wenn sie unverzerrt sichtbar ist und nicht mit der Wellenmitte zusammenfällt. Für die Welle nach Bild 11.19 wirken danach in der x-z-Ebene die Kräfte F t1 und F t2 (bestimmt werden damit die Lagerkräfte F Ax , F Bx und der M bx -Verlauf des Biegemoments), in der y-z-Ebene die Kräfte F r1 und F r2 (bestimmt werden damit die Lagerkräfte F Ay , F By und der M by -Verlauf des Biegemoments). Alle Kräfte können für eine anschaulichere Darstellung zur Biegemomentenberechnung in der Wellenmitte angreifend dargestellt werden: die Kräfte F r1 und F r2 durch ein Verschieben entlang ihrer Wirkungslinien, die Kräfte F t1 und F t2 durch Parallelverschiebung. Für die Welle nach Bild 11.20 wirkt in der x-z-Ebene die Kraft F t (bestimmt werden damit die Lagerkräfte F Ax , F Bx und der M bx -Verlauf des Biegemoments), in der y-z-Ebene sind die parallel zur Welle mit dem Abstand d 1 /2 wirkende Kraft F a und die Kraft F r (bestimmt werden damit die Lagerkräfte F Ay , F By und der M by -Verlauf des Biegemoments) zu berücksichtigen. Zur 398 11 Achsen, Wellen und Zapfen x z y Bild 11.19 Ermittlung der Lagerkräfte und Biegemomente bei einer Getriebezwischenwelle mit zwei Geradstirn- rädern x z y 1 Bild 11.20 Ermittlung der Lagerkräfte und Biegemomente bei einer Welle mit Schrägstirnrad 11.2 Gestalten und Entwerfen 399 Veranschaulichung werden in Bild 11.20 die in der y-z-Ebene durch F r und F a entstehenden Biegemomen- tenverläufe separat dargestellt (wirken zusammen in dieser Ebene in aufsummierter Form), ebenfalls die anteiligen Lagerreaktionskräfte F Ay1 , F Ay2 , F By1 und F By2. Im letzten Berechnungsschritt erfolgt dann die Zusammenführung beider Ebenen, indem die resultierenden Lagerkräfte F Ar und F Br und das resultierende Biegemoment M b res ermittelt werden. 3. Ermittlung des Entwurfsdurchmessers Im Rahmen des eigentlichen Konstruktionsprozesses werden für Achsen und Wellen selten punktuell die jeweils erforderlichen Durchmesser berechnet. Ausgehend von dem z. B. nach Bild 11.21 ermittelten Richt- durchmesser wird vielfach das Bauteil erst konstruktiv gestaltet und dann auf ausreichende Sicherheit gegenüber statischer und Dauerfestigkeit, der zulässigen Formänderung und evtl. der kritischen Drehzahlen nachgeprüft, siehe auch Bild 11.9. Die in Abschn. 11.2.2-2 aufgeführten Gleichungen zur Durchmesserberechnung setzen voraus, dass u. a. die jeweils zulässige Spannung bereits bekannt ist. Diese kann aber erst nach Vorliegen der entspre- chenden Konstruktionsdaten ermittelt werden. So sind erst nach der Gestaltung viele z. T. voneinander abhängige Einflussgrößen (Durchmesser, Kerbform, Oberflächenbeschaffenheit) zur Ermittlung der zu- lässigen Spannung bekannt. Um trotzdem einen Durchmesser für die zu konstruierenden Achsen und Wellen auslegen zu können, wird eine mögliche Überschlagsberechnung für die zulässigen Spannungen durchgeführt. Dazu dienen die in Kap. 3, Abschn. 3.7 dargestellten Zusammenhänge. Bei dynamischer Beanspruchung wird der nach Gl. 3.26 angegebene maximale Wert für die Mindestsicherheit SD min D 4 verwendet. Für Achsen und Wellen ergeben danach folgende Beziehungen: ¢b zul D ¢bD =SD min  ¢bD =4 bzw. £t zul D £tD =SD min  £tD =4, wobei für ¢bD (£tD ) der für den vorliegenden Beanspruchungsfall maßgebende Wert ¢b Sch (£tSch ) bzw. ¢bW (£tW ) zu verwenden ist. Mit diesen Beziehungen zur überschlä- gigen Bestimmung der zulässigen Spannungen ergeben sich: aus Gl. 11.6 neu Gl. 11.12, aus Gl. 11.5 neu Gl. 11.13, aus Gl. 11.8 neu Gl. 11.14 und Gl. 11.15, aus Gl. 11.1 neu Gl. 11.16 und aus Gl. 11.2 neu Gl. 11.17. Benötigt wird nun noch das Vergleichsmoment M v in den Gln. 11.14 und 11.15, welches bei Wellen mit gleichzeitiger Torsions- und Biegebeanspruchung maßgebend ist. Nachdem nur die Torsionsbean- spruchung bekannt ist, das wirkende Biegemoment aber erst nach ausgeführter Konstruktion, muss das Verhältnis M b =T überschlägig abgeschätzt werden. Für typische Konstruktionen liegt das Verhältnis M b =T zwischen den Werten M b =T D 1 für sehr kompakte Konstruktionen und M b =T D 2 für Konstruktionen mit relativ großem Lagerabstand. Wird damit das Vergleichsmoment nach Gl. 11.7 – hergeleitet nach der GE- Hypothese, gültig deshalb nur für duktile Werkstoffe – für den Fall berechnet, dass die Torsion ruhend oder schwellend wirkt, liegen die Vergleichsmomente zwischen den zwei Werten M v  1;17T und M v  2;1T. Bei Wellen, die nur statisch auf Torsion beansprucht werden, wird die zulässige Spannung nach Gl. 3.24 11 mit einer Mindestsicherheit SF min D 1;8 bestimmt. Die Verwendung der Gln. 11.12 und 11.13 in angege- bener Weise auch bei einer geänderten Sicherheit von SF min D 1;8 gegenüber SD min D 4 wird durch einen angepassten Festigkeitswert (2;1  £tF ) ermöglicht. Wird für T nach Gl. 11.11 T D 9 550  103  KA .P=n/ (in Nmm) eingesetzt, ergeben sich für die Überschlagsrechnung die Gln. 11.12a... 11.15a. Die mit den Gleichungen nach Bild 11.21 überschlägig ermittelten Richtdurchmesser d 0 sind sinn- voll auf den Entwurfsdurchmesser d zu runden, unter Beachtung der oft genormten Abmessungen von zu montierenden Bauteilen wie Passfedern, Lager, Sicherungselemente und Dichtungen und von Herstellungs- werkzeugen und Prüfmitteln (Lehren). Letzteres wird erreicht, wenn wie in Bild 11.22 der auszuführende Entwurfsdurchmesser gewählt wird (d 0 entspricht dem Durchmesser d in TB 3-9, auf welchen sich die Kerbwirkungszahlen beziehen). 400 11 Achsen, Wellen und Zapfen Mb σ bD d KA T τ tD da , d i k, φ P n Bildliche Darstellung der Schnittgrößen siehe Bild 11.10a und Bild 11.16 Nmm N/mm 2 mm 1 kW min –1 T = Teq = KA· Tnenn , M = Meq = KA· Mres Stelle der größten Beanspruchung bestimmen vorliegende Beanspruchung T T T, Mb Mb Lastfall Torsion Lastfall Biegung Lastfall T und M Lastfall Biegung maßgebende Momente und Lastfall σ 2 Mv = Mb2+0,75 φ · bD τ tD ·T Mb = Mv k = di /da Mv 1,17 · T Mv 2,1 · T k = di /da (11.12) (11.13) (11.14) (11.15) (11.16) (11.17) ‚ 3 T ‚ 3 T ‚ 3 Mv ‚ 3 Mv ‚ 3 Mb ‚ 3 Mb Berechnen da 2,7 da 2,7 · da 3,4 · da 3,4 · da 3,4 · da 3,4 (1 – k 4) τ tD τ tD σbD σbD σbD (1 – k 4) σbD und Festlegen ‚ 3 KA · P ‚ 3 KA · P ‚ 3 KA · P ‚ 3 KA · P des da 570 d 570 · d 760 · d 920 · n (1 – k 4) τ tD n · τ tD n · σbD n · σbD Richtdurch-‚ messers d (11.12a) (11.13a) (11.14a) (11.15a) ‚ ‚ ‚ ‚ di = k · da di = k · da Festlegen des Entwurfsdurchmessers φ = 1,73 d unter Berücksichtigung eventueller KA- Werte siehe TB 3-5 Querschnittsschwächungen (s. Bild 11.22) σbD = σbW bzw. σbSch , Werte s. TB 1-1 τ tD = τ tW bzw. τ tSch , Werte s. TB 1-1 τ tD = τ tF (Torsion statisch) Bild 11.21 Ablaufplan zur Ermittlung des Richtdurchmessers für Achsen und Wellen t Bild 11.22 Rechnerisch ermit- telter Richtdurchmesser d0 und auszuführender Entwurfsdurch- messer d ‚ ‚ d d 11.3 Kontrollberechnungen 401 11.3 Kontrollberechnungen 11.3.1 Festigkeitsnachweis Nachdem das Bauteil (Achse, Welle) unter Zugrundelegung des nach Bild 11.21 ermittelten Richtdurch- messers d0 mit Berücksichtigung der evtl. vorhandenen Querschnittsschwächungen entworfen und gestaltet ist, kann für die kritischen Querschnitte, z. B. Wellenabsätze, Eindrehungen, Gewindefreistiche u. a., der Festigkeitsnachweis geführt werden (siehe Kap. 3 unter Abschn. 3.7). Danach ist für dynamisch belastete Bauteile nicht nur der dynamische Festigkeitsnachweis mit den äquivalenten Momenten (Berücksichtigung des Anwendungsfaktors K A ) zu führen, sondern auch der statische Festigkeitsnachweis mit den maximalen Momenten (siehe Kap. 3, Bild 3.8), da in Einzelfällen die Sicherheit des statischen Nachweises (besonders, wenn T max viel größer als T eq bei seltenen sehr großen Stößen ist) für die endgültige konstruktive Festle- gung des Durchmessers d maßgebend sein kann. Alle für den Sicherheitsnachweis benötigten Angaben sind nach der Gestaltungsphase bekannt bzw. können bestimmt werden. Bild 11.23 zeigt einen möglichen Ablaufplan zur vereinfachten Ermittlung der vorhandenen Sicherheit für den jeweils betrachteten Querschnitt (Vereinfachungen siehe unter Abschn. 3.7.3). Genauere Berech- nungen sind mit den Angaben in Abschn. 3.7 durchzuführen, wobei aufgrund des hier z. T. sehr hohen Rechenaufwandes der Einsatz von Maschinenelemente-Berechnungsprogrammen empfehlenswert ist. 11.3.2 Elastisches Verhalten 1. Verformung bei Torsionsbeanspruchung Bei längeren Wellen, z. B. Fahrwerkwellen von Laufkranen, Drehwerkwellen von Drehkranen, bei denen der Abstand zwischen den das Torsionsmoment übertragenden Bauteilen, wie Zahnräder, Riemenschei- ben und Kupplungen verhältnismäßig groß ist, wird vielfach die Verdrehverformung für die Berechnung maßgebend. Erfahrungsgemäß soll der Verdrehwinkel ®zul  0;25ı : : : 0;5ı je m Wellenlänge nicht über- schreiten, siehe Bild 11.24. Durch die Verformung wird in der Welle, wie in einer Drehstabfeder, eine Formänderungsarbeit gespei- chert. Bei auftretenden Drehmomentenschwankungen wird diese z. T. wieder frei, wodurch Schwingungen erzeugt werden können. Außerdem ergibt ein großer Verdrehwinkel eine kleine Federsteife und damit eine niedrige kritische Drehzahl (siehe unter Abschn. 11.3.3-3). Der Verdrehwinkel für glatte Wellen ergibt sich aus 11 180ı l  £t 180ı T  l ®D  D  (11.18) r G G  It Werden hierin gesetzt: Verdrehwinkel ® D 0;25ı , Wellenlänge l D 1 000 mm, Torsionsspannung £t D.T=Wp / in N=mm2 , Wellenradius r D d=2 in mm, Torsionsmoment T in Nmm nach Gl. 11.11, polares Flächenmoment 2. Grades I t D. =32/  d4 in mm4 , Schubmodul (für Stahl) G D 81 000 N=mm2 , dann ergibt sich für Wellen aus Stahl nach Umformen obiger Gleichung unter Berücksichtigung der vorliegenden Betriebsverhältnisse der überschlägige Wellendurchmesser, bei dem ein Verdrehwinkel von 0,25ı je m Wellenlänge nicht überschritten wird, aus r p 4 4 P d T KA P n d  2;32  T  129  KA  (11.19) n mm Nmm 1 kW min1 Eine anschließende Kontrolle auf Dauerfestigkeit nach Abschn. 11.3.3 ist erforderlich. 402 11 Achsen, Wellen und Zapfen Bild 11.23 Ablaufplan für einen vereinfachten statischen und dynamischen Sicherheitsnachweis. Die Momen- tengleichungen sind für Wellen angegeben, beansprucht nach Bild 3.8 (Anfahren mit Anlaufkupplung) Wellen mit einer Länge, bei der nicht sicher vorauszusehen ist, ob die Festigkeit oder die Formänderung maßgebend ist, können zunächst auf Festigkeit nach Abschn. 11.2.2 und 11.3.1 berechnet werden. Danach wird der Verdrehwinkel nachgeprüft und nötigenfalls der Durchmesser geändert. 11.3 Kontrollberechnungen 403 Bild 11.24 Elastische φ Verformung bei Torsions- beanspruchung T d l T Für abgesetzte Wellen mit den Durchmessern d 1 , d 2... d n und den dazugehörigen Längen l1 , l2... ln ergibt sich der Verdrehwinkel ® angenähert aus   180ı 32  T X l ®   (11.20) G d4 P        T, G wie zu Gln. 11.18 und 11.19, l=d 4 D l1 = d14 C l2 d24 C : : : ln = dn4 2. Verformung bei Biegebeanspruchung Die Durchbiegung f und die Neigung tan ’ im Bild 11.25 werden durch die Art, Größe und Lage der hierfür maßgebenden Kräfte, sowie durch die elastischen Eigenschaften des Wellen- (oder Achsen-)Werkstoffes bestimmt. Bild 11.25 Elastische Verfor- mung bei Biegebeanspruchung 11 Für einige oft vorkommende Beanspruchungsfälle lassen sich die Verformungen von glatten Wellen oder Achsen nach TB 11-6 ermitteln. Greifen Kräfte in verschiedenen Ebenen an, so sind sie in zweckmä- ßig gerichtete, z. B. waagerechte und senkrechte, Komponenten zu zerlegen. Die Durchbiegungen in beiden Ebenen ergeben die resultierende Durchbiegung q fres D fx2 C fy2 (11.21) f x , f y Einzeldurchbiegung in x- und y-Richtung Entsprechend ergibt sich die resultierende Neigung aus q ’res D ’2x C ’2y (11.22) 404 11 Achsen, Wellen und Zapfen Treten mehrere Beanspruchungsfälle nach TB 11-6 gleichzeitig auf, so addieren sich die Lagerkräfte, Durchbiegungen und Neigungen aus den Einzelfällen. Schwieriger ist das Ermitteln der Durchbiegung und Neigung abgesetzter Wellen oder Achsen, also bei verschiedenen Durchmessern. In vereinfachter Form wird nachfolgend ein rechnerisches Verfahren dargestellt. Rechnerische Ermittlung der Durchbiegung abgesetzter Achsen und Wellen Für den am häufigsten vorkommenden Fall einer zweifach gelagerten, abgesetzten Welle mit einer Punktlast nach Bild 11.26 kann die Durchbiegung unter der Kraft F wie folgt berechnet werden: Im Angriffspunkt der Kraft F wird die Achse bzw. Welle mit den Durchmessern d an bzw. d bn gedanklich fest eingespannt (zwei Freiträger, siehe auch Bild 11.27). Die durch die jeweilige Lagerkraft F A und F B hervorgerufene Durchbiegung f A und f B wird angelehnt an die allgemeine Beziehung für Freiträger f D F  l3 =.3  E  I/ mit I D. =64/  d4 zunächst für jede Lagerstelle (A und B) getrennt nach Gln. 11.23 und 11.24 berechnet. Die Durchbiegung f unter der Kraft F kann dann nach Gl. 11.25 ermittelt werden   6;79  FA a13 a23  a13 a33  a23 fA D 4 C 4 C 4 C : : : (11.23) E da1 da2 da3  3  6;79  FB b1 b23  b13 b33  b23 fB D  4 C 4 C 4 C ::: (11.24) E db1 db2 db3 a f D fA C .fB  fA / (11.25) l Bild 11.26 Zweifach gelager- l te, abgesetzte Welle mit einer a b Punktlast a b F d b4 d b2 da1 da2 d b1 da3 d b3 FA b 1 FB a1 b2 a2 b3 a3 b4 α β fA f fB Mit tan ’0  ’0 und tan “0  “0 in den Gl. 11.26 sowie mit tan ”  ” D.fB  fA /=l (s. Bild 11.26) ergeben sich die Neigungen der Zapfen in den Lagern mit hinreichender Genauigkeit aus den Gl. 11.27   10;19  FA a12 a22  a12 ’0   4 C 4 C : : : (11.26a) E da1 da2  2  10;19  FB b1 b22  b12 “0   4 C 4 C : : : (11.26b) E db1 db2 11.3 Kontrollberechnungen 405 fB  fA ’  ’0 C (11.27a) l f  fA f F E a; b; d “  “0  B (11.27b) l mm N N=mm2 mm Hinweis: Obige Betrachtungen wurden unter der Annahme punktförmig angreifender Kräfte angestellt, was praktisch jedoch nicht ganz zutrifft. So können versteifende Wirkungen von festsitzenden Naben kaum erfasst werden; die tatsächlichen Durchbiegungen und Neigungen werden somit etwas kleiner sein als die rechnerischen Werte. Um Funktionsstörungen an Maschinen (Verkanten von Zahnrädern, Kantenpressung in den Lagern u. dgl.) zu vermeiden, sollen die Verformungen die Werte nach TB 11-5 nicht überschreiten. Bei mehreren äußeren Kräften sind die Durchbiegungen und Neigungen für jede Kraft separat zu be- stimmen und diese dann vorzeichengerecht aufzusummieren. Bei räumlichen Kräftesystemen sind mit den Kräften zwei ebene Kräftesysteme zu bilden. Nach der Berechnung der Gesamtdurchbiegung und Gesamt- neigungen beider Ebenen sind diese entsprechend zu überlagern (Kräfteaufteilung auf zwei Ebenen und Überlagerung der Ergebnisse beider Ebenen siehe Hinweise im Text zu den Bildern 11.19 und 11.20 bzw. Gln. 11.21, 11.22). Die Berechnungsgleichungen für unterschiedliche Kraftangriffe sind in TB 11-7 ange- geben. Zu beachten ist, dass bei umgekehrt wirkender Kraftrichtung die Kräfte mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen nach TB 11-7 einzusetzen und für die spiegelbildende Seite B die Bezeichnungen nach Bild 11.16 bzw. Gl. 11.26a zu verwenden sind. Beispiel: Für die nach Bild 11.27a gegebene Welle sollen die Lagerneigungen und die Durchbiegung unter der Kraft F 2 ermittelt werden. Bestimmt wurden bereits die Lagerkräfte F A und F B. Bild 11.27b zeigt die für die Berechnung verwendeten zwei Freiträger A und B. Mit den Gleichungen nach TB 11-7 werden jeweils für die Kräfte F A , F 1 und F 4 für die Seite A die Einzeldurchbiegungen f AA , f A1 und f A4 sowie die Einzelneigungen ’0A , ’01 und ’04 bestimmt. Jeweils für die Kräfte F B und F 3 werden für die Seite B die Einzeldurchbiegungen f BB und f B3 sowie die Einzelneigungen “0B und “03 ermittelt. Für die Seite A werden dann die Einzeldurchbiegungen zur Gesamtdurchbiegung f A und die Einzelneigungen zur Gesamtneigung ’0 aufsummiert. Die Gesamtdurchbiegung f B und Gesamtneigung “0 für die Seite B werden entsprechend berechnet. Die gesuchte Durchbiegung f unter der Kraft F 2 und die Lagerneigungen ’ und “ können jetzt mit den Gln. 11.25, 11.27a und 11.27b bestimmt werden. Bild 11.27 Getriebewelle, a) durch eine Kräfteaufteilung 11 erhaltene Berechnungsebene, b) Freiträger A und B für eine Verformungsberechnung 406 11 Achsen, Wellen und Zapfen 11.3.3 Kritische Drehzahl 1. Schwingungen, Resonanz Wird ein Körper, z. B. ein Federstab (Bild 11.28a), durch eine kurzzeitig wirkende Kraft F elastisch verformt, so wird er nach Aufhören dieser Kraftwirkung durch eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Rückstellkraft in Biegeschwingungen versetzt. Die Schwingungsfrequenz (Schwingungszahl je Zeiteinheit) ist dabei umso größer, je größer die Elastizität (Federkonstante) und je kleiner die Masse des Körpers ist. Sie ist jedoch unabhängig von der Größe der erregenden Kraft, die nur die Amplitude (Weite des Schwingungsausschlages) bestimmt. Alle Körper haben somit eine bestimmte Eigenfrequenz. Bei einer einmaligen Erregung werden die Schwingungen durch Luftwiderstand, Reibung oder ähnlichen allmählich bis zum Stillstand gedämpft. Wird jedoch ein Körper immer wieder durch Kraftstöße im Rhythmus der Ei- genfrequenz von neuem angeregt, dann kommt es zur Resonanz (Überlagerung der Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz). Die Schwingungsausschläge werden nach jedem Anstoß größer, sodass unter Umständen sogar ein Bruch eintreten kann. Zu gleichen Erscheinungen kann es auch bei Drehschwingungen kommen (Bild 11.28b). Bild 11.28 Elastische Schwingungen. a) Biegeschwingungen, b) Drehschwingungen 2. Biegekritische Drehzahl Bei umlaufenden Wellen (und Achsen) entstehen schwingungserregende Kräfte durch Unwuchten der um- laufenden Massen, z. B. der Riemenscheiben, Zahnräder, Kupplungen als auch der Wellen selbst. Eine Un- wucht entsteht, wenn der Schwerpunkt der Massen nicht mit der Drehachse zusammenfällt (Exzentrizität). Eine solche Unwucht verursacht an den umlaufenden Massen eine Fliehkraft F z als schwingungserregen- de Kraft (Bild 11.29). Anhand einfacher Beispiele soll das grundsätzliche Verhalten umlaufender Wellen dargestellt und erläutert werden. Bild 11.29 Entstehung von Biegeschwingungen bei Wel- len Fall 1 Zweifach gelagerte Welle mit einer Einzelmasse (Bild 11.29). Die gewichtslos gedachte Welle trägt eine Scheibe mit der Masse m = G/g, deren Schwerpunkt S um den Betrag e außerhalb der Wellenmitte M 11.3 Kontrollberechnungen 407 liegt. Bei der Winkelgeschwindigkeit ¨ wird die Welle durch die Fliehkraft F z D mr¨2 D m.yCe/¨2 um den Betrag y ausgelenkt. Bedingt durch den Verformungswiderstand (Federsteife) der Welle wirkt dieser Fliehkraft die Rückstellkraft F R D c  y entgegen, sodass im Beharrungszustand der Welle Gleichgewicht herrscht: F z  FR D 0; mit obigen Werten: m .y C e/  ¨2  c  y D 0. Die Gleichung umgestellt, ergibt die Auslenkung des Scheibenmittelpunktes y D.m  e  ¨2 /=.c  m  ¨2 / D e=Œc=.m  ¨2 /  1. Würde in dieser Gleichung die Winkelgeschwindigkeit ¨ so erhöht, dass ¨2 D c=m wird, ergebe sich theoretisch eine unendlich große Auslenkung y, die zum Bruch der Welle führen würde. Es kommt zur gefürchteten Resonanz. Diese Eigenkreisfrequenz (kritische Winkelgeschwindigkeit) ergibt sich somit aus r c ¨k D (11.28) m c Federsteife für elastische Biegung m Masse der umlaufenden Scheibe p Mit c D G=f und m D G=g wird ¨k D 99 .1=f /. Wird für ¨k D  nk =30 gesetzt, dann ergibt sich aus der Zahlenwertgleichung die biegekritische Drehzahl zu s 1 nk f nk  946  (11.29) f min1 mm Unter Berücksichtigung der Lagerung oder „Einspannung“ wird die biegekritische Drehzahl für Achsen und Wellen s 1 nkb k f nkb  k  946  (11.30) f min1 1 mm f Durchbiegung an der Stelle der umlaufenden Masse k Korrekturfaktor für die Art der Lagerung: k D 1 bei frei gelagerten, d. h. nicht eingespannten, in den Lagern umlaufenden Achsen oder Wellen (Normalfall); k D 1;3 bei an den Enden eingespannten feststehenden Achsen mit darauf umlaufenden Scheiben, Rädern u. dgl. 11 Fall 2 Zweifach gelagerte Welle mit mehreren Einzelmassen. Für mehrfach gelagerte und mit mehreren Einzelmassen besetzte Wellen (allgemeiner Fall) gilt prinzipiell der gleiche Sachverhalt, jedoch hat die mit n Einzelmassen belegte Welle auch n kritische Drehzahlen. In der Regel interessiert jedoch nur die niedrigs- te kritische Drehzahl, weil alle anderen ein vielfaches höher liegen. Eine exakte rechnerische Ermittlung der kritischen Drehzahl ist sehr aufwendig, wenn außer mehreren Scheibenmassen die Welle noch mehr- fach gelagert und darüber hinaus nicht glatt, sondern mehrfach abgesetzt ist. Sie wird, wenn erforderlich, meist mit Berechnungsprogrammen durchgeführt. Zur Ermittlung der kritischen Drehzahl bzw. Winkelgeschwindigkeit von zweifach gelagerten Wellen mit mehreren Drehmassen können folgende Näherungsverfahren angewandt werden. a) Die maximale Durchbiegung f max wird rechnerisch oder zeichnerisch ermittelt (siehe unter Ab- schn. 11.3.2-2). Die kleinste (niedrigste) kritische Drehzahl ergibt sich dann (bis zu 5 % zu niedrig) aus Gl. 11.30, wobei k D 1 zu setzen ist und f D fmax die maximale Durchbiegung an den Stellen der umlaufenden Massen bedeutet (ist nicht identisch mit der maximalen Durchbiegung der Welle). 408 11 Achsen, Wellen und Zapfen b) Zunächst werden, jeweils für sich, die kritischen Winkelgeschwindigkeiten (Eigenkreisfrequenzen) ¨k0 der Welle allein (häufig vernachlässigbar) und aller Scheiben mit masselos gedachter Welle ¨k1 , ¨k2... berechnet. Die niedrigste kritische Winkelgeschwindigkeit der ganzen Welle ¨k kann nach Dunkerley ermittelt werden (meist 5 bis 10 % zu niedrig) aus 1 1 1 1 1 D 2 C 2 C 2 C::: C 2 (11.31) ¨2k ¨k0 ¨k1 ¨k2 ¨kn Bei Vernachlässigung der Wellenmasse geht durch Einsetzen von 1=¨2 D Œ.30= /  n2 D f=g dieses „Dunkerley’sche Gesetz“ über in die o. a. Näherungsgleichung Gl. 11.30 mit k D 1 und f D †f D f1 C f2 C f3 C : : : C fn D fmax. Hierunter ist die maximale Durchbiegung der Welle zu verstehen, die sich an der Stelle einer umlaufenden Masse aus den Einzelbeträgen f1 , f 2... f n durch die Einzelmassen m1 , m2... mn an dieser Stelle ergibt. Fall 3 Glatte Wellen ohne Scheiben. Wie im Fall 2 dargelegt, gibt es für ein n-Massensystem auch n verschiedene kritische Drehzahlen. Wird die stetig verteilte Eigenmasse der glatten Welle aus unendlich vielen kleinen Einzelmassen zusammengesetzt gedacht, so folgt daraus, dass es in diesem Fall unend- lich viele kritische Drehzahlen gibt. In den meisten Fällen interessiert nur die kleinste dieser Drehzahlen (Grundfrequenz). Ohne näher auf die mathematischen Zusammenhänge einzugehen, sollen für die prakti- schen Anwendungsfälle je nach Art der Lagerung Anhaltswerte gegeben werden für glatte Stahlwellen mit dem Durchmesser d und der Wellenlänge l jeweils in mm: a) Freiaufliegende (kugelig gelagerte) Welle (z. B. Pendellager) nk1 D 122;5  106  d=l2 in min1 ; nk2 D 4  nk1 ; nk3 D 9  nk1 ; nk4 D 16  nk1 usw. b) An beiden Enden eingespannte Welle (z. B. bei sehr starren Lagern) nk1 D 277;7  106  d=l2 in min1 ; nk2 D 2;8  nk1 ; nk3 D 5;49  nk1 ; nk4 D 8;9  nk1 c) Fliegende Welle (ein Ende eingespannt, ein Ende frei) nk1 D 43;6  106  d=l2 in min1 ; nk2 D 6;276  nk1 ; nk3 D 17;55  nk1 ; nk4 D 34;41  nk1 Durchbiegungen durch Zahnkräfte, Riemenzugkräfte und sonstige radial auf die Welle wirkenden Kräf- te dürfen zur Ermittlung der biegekritischen Drehzahl nicht eingesetzt werden, da sie keine Fliehkräfte verursachen und somit auch keinen Einfluss auf die Höhe der kritischen Drehzahl haben. Die biegekritische Drehzahl ist unabhängig von einer späteren etwaigen schrägen oder sogar senkrech- ten Lage der Welle oder Achse. 3. Verdrehkritische Drehzahl Zu gefährlichen Drehschwingungen kann es bei Wellen kommen, wenn sie durch Drehmomentenstöße mit einer solchen Frequenz angeregt werden, die mit der Eigenkreisfrequenz der Welle übereinstimmt. Diese Gefahr besteht insbesondere bei Kurbelwellen von Kolbenmaschinen. Drehschwingungsresonan- zen können bei konstruktiv ungünstig ausgelegten Antriebssträngen beobachtet werden, wenn sie bei einer bestimmten Drehzahl in starke Schwingungen geraten und diese sich auf die gesamte Maschine übertragen. Die Erregerfrequenzen sind z. B. bei Verbrennungsmotoren von der Anzahl der Zündungen pro Umdrehung abhängig. Mit der Wellendrehzahl n betragen die Erregungsdrehzahlen z. B. für einen 4-Zylinder-Zweitaktmotor (4 Zündungen je Kurbelwellenumdrehung) 4n, 8n, 12n usw. Das einfachs- te Drehschwingungssystem besteht aus zwei durch eine Drehfeder (Welle) verbundene Massen, siehe Bild 11.30. 11.3 Kontrollberechnungen 409 Bild 11.30 Drehschwinger J2 , m2 φ a) mit zwei Scheibenmassen 2 (Zweimassensystem), 2l b) Torsionspendel (ein Wel- K Knoten lenende fest eingespannt) l c 1l d φ 1 J1 , m1 Fall 1 Torsionspendel. Die Welle ist an einem Ende fest eingespannt (eine Masse ist unendlich groß). Für dieses System beträgt die Eigenkreisfrequenz r ct ¨k D (11.32) J ct (Dreh-)Federsteife aus ct D Ip  G=l mit dem polaren Flächenmoment I p des Wellenquerschnitts (für Kreisflächen ist I p D. =32/  d4 ); G Schubmodul; l Länge der Welle. Besteht eine Welle aus mehreren Absätzen mit verschiedenen Durchmessern, so berechnet sich die Federsteife aus.1=ct / D.1=ct1 / C.1=ct2 / C : : : C.1=ctn / J Trägheitsmoment (Massenmoment 2. Grades) ; ® D. =180ı /  ®ı  ®ı =57;3ı gesetzt, dann ergibt sich die   Wird für ¨k D. =30/  nk ; ct D T =® verdrehkritische Drehzahl aus r s 30 ct T nkt ct T ® J nkt D   72;3  (11.33) J ®J min1 Nm Nm ı kg m2 T von der Welle zu übertragendes Torsionsmoment ® Verdrehwinkel der Welle nach Gl. 11.18  Vollzylinder (Wellen, Scheiben): J D.1=8/  m  d ; für Hohlzylinder: 2 J wie zu Gl. 11.32;  2z. B. für J D.1=8/  m  da C di 2 11 Fall 2 Welle mit zwei Massen. Für eine Welle mit zwei Massen m1 und m2 und den zugehörigen Träg- heitsmomenten J 1 und J 2 (siehe Bild 11.30) gilt die Eigenkreisfrequenz der beiden um den Knotenpunkt K schwingenden Wellenenden s   1 1 ¨k D ct  C (11.34) J1 J2 ct , J 1 und J 2 wie zu Gl. 11.32 Die Welle hat dieselbe Eigenkreisfrequenz wie die im Knotenpunkt eingespannt gedachten Wellen- stücke l1 mit dem Trägheitsmoment J 1 bzw. l2 mit J 2. Es gilt: J 1  l1 D J2  l2 und ®1 =l1 D ®2 =l2. Auf der Seite der größeren Masse liegt somit der kleinere Ausschlag und der geringere Abstand zum Schwin- gungsknoten. Das entstehende Torsionsmoment ist wechselnd und über die Wellenlänge konstant. Wird für ¨k D nk . =30/, für ct D T =®  ® D. =180ı /  ®ı gesetzt, so ergibt sich die verdrehkritische und für  410 11 Achsen, Wellen und Zapfen Drehzahl aus s   s   30 1 1 T 1 1 nkt D  ct  C  72;3   C (11.35) J1 J2 ® J1 J2 nkt ct ® T J min1 Nm ı Nm kg m2 Fall 3 Wellen mit mehr als zwei Drehmassen. Systeme mit mehr als zwei Drehmassen besitzen mehrere Eigenkreisfrequenzen. Die Berechnung derartiger Systeme ist sehr aufwendig, so dass hier darauf ver- zichtet werden soll. Die kritischen Drehzahlen werden mit Programmen oder auch experimentell ermittelt. Allgemein soll nur gesagt werden, dass ein System mit n Massen (also n  1 Wellenabschnitten) auch n  1 verschiedene Eigenkreisfrequenzen hat. 11.4 Berechnungsbeispiele Beispiel 11.1: Der auf Biegung und Torsion beanspruchte Wellenabsatz ei- ner Getriebewelle aus E335 in Bild 11.31 (Rohteildurchmes- ser d D 110 mm) soll überschlägig nachgerechnet werden. Bereits bekannt sind das Biegemoment mit M res D 2 600 Nm und das Torsionsmoment T nenn D 3 400 Nm. Aufgrund der sehr häufigen An- und Abschaltvorgänge wird das Torsions- moment schwellend angenommen. Der Anwendungsfaktor wird mit K A  1;3 geschätzt. Bild 11.31 Wellenabsatz einer Getriebewelle Allgemeiner Lösungshinweis Um schnell eine Aussage zu den vorhandenen Sicherheiten zu erhalten wird die Berechnung stark vereinfacht durchgeführt. Eine genauere Nachrechnung ist z. B. mit dem Ex- celprogramm auf der Internetseite des Buches möglich. Da keine genaueren Angaben vorliegen wird der statische Nachweis mit M max  Meq und T max  Teq durchgeführt. Zuerst werden die Festigkeitswerte der Welle ermittelt, danach die statische und dynamische Sicherheit. Erforderliche Festigkeitswerte Probestab (Werte aus TB 1-1) Bauteildurchmesser (Rohling: d D 110 mm) RmN ReN ¢bW N £tW N Rm Re ¢bW £tW K t D 0;99 K t D 0;86 K t D 0;99 K t D 0;99 570 N=mm2 335 N=mm2 290 N=mm2 180 N=mm2 564 N=mm2 288 N=mm2 287 N=mm2 178 N=mm2 Umrechnung mit dem technologischen Größeneinflussfaktor K t aus TB 3-11a mit Gl. 3.7 bzw. 3.9. 11.4 Berechnungsbeispiele 411 Statischer Nachweis Mit den Gleichungen des Ablaufplanes nach Bild 11.23 ergibt sich: W D  d3 =32 M b max  Mb eq ¢b max ¢bF  1;2  Re 1 D 71 569 mm3 D KA  Mb res D Mb max =Wb D 346 N=mm2 SF D s 2   D 3 380 Nm D 47;2 N=mm2 ¢b max £t max 2 p C W t D  d3 =16 T max  Teq £t max D Tmax =Wt £tF  1;2  Re = 3 ¢bF £tF D 143 139 mm3 D KA  Tnenn D 30;9 N=mm2 D 200 N=mm2 D 4;85 D 4 420 Nm Die Berechnung der Spannungen erfolgt immer mit den größten auftretenden Momenten. Ergebnis Die Sicherheit gegen die Fließgrenze ist entsprechend der Mindestsicherheit SFmin D 1;5 nach TB 3-14 ausreichend. Dynamischer Nachweis Der dynamische Nachweis erfolgt ebenfalls nach Bild 11.23. Zusätzlich wird vereinfachend der Konstruktionsfaktor für Biegung auch für Torsion verwendet (Ergebnis liegt auf der sicheren Seite da “kb > “kt und K O¢ < KO£ ). Die Berechnung erfolgt mit den Ausschlagspannungen. Bei schwellend angenommener Torsion gilt damit T a D Tnenn =2.   M b a eq ¢ba D Mb a eq =Wb “kb 1 ¢bGW  1 D KA  Mb res D 47;2 N=mm 2 K Db D C  1 ¢b W =KDt SD D s Kg KO¢ 2   D 3 380 Nm D 152 N=mm2 ¢ba £ta 2 1=KV D 1;89 C ¢bGW £tGW T a eq D KA Ta £t a D Ta eq =Wt K Dt  KDb vereinfa- £tGW  £t W =KDt D 2;85 D 2 210 Nm D 15;4 N=mm2 chend gesetzt D 94 N=mm2 Die Werte für den Konstruktionsfaktor K D werden mit den Tabellen TB 3-9 bis TB 3-12 bestimmt. Die Kerbwirkungszahl ist nach TB 3-9a “kb  “kb.Probe/ D 1 C cb .“kb.2;0/  1/ D 1 C 0;4 .2;25  1/ D 1;5 (Bei kleinen Kerbwirkungszahlen kann “kb  “kb.Probe/ gesetzt werden). Der Größeneinflussfaktor ergibt sich nach TB 3-11c zu K g D 0;83, der Oberflächeneinflussfaktor mit Rz D 6;3 mm zu K O¢ D 0;92. Der Oberflächenverfestigungsfaktor ist nach TB 3-12 bei größeren Bauteilen (d > 40 mm) immer 1 zu setzen. Ergebnis Mit SD min D 1;5 und Sz D 1;2 für Biegung wechselnd, Torsion schwellend nach TB 3-14a und c wird die erforderliche Sicherheit 11 SD erf D SD min  Sz D : : : D 1;8: Die vorhandene Bauteilsicherheit gegen dynamische Beanspruchung ist damit ausreichend. Beispiel 11.2: Für die Antriebswelle aus E295 des Becherwerkes nach Bild 11.32a sind die Durchmesser zu berech- nen und festzulegen. Aufgrund der Fördermenge Q D 50 t=h Getreide und der Förderhöhe h D 30 m ergab sich die erforderliche Leistung des Getriebemotors von P D 7;5 kW bei n D 80 min1. Der Wirkungsgrad des Getriebes ist mit ˜ D 80 % anzunehmen. Die Betriebsbedingungen sind durch den Anwendungsfaktor K A  1;2 zu berücksichtigen. Aus konstruktiven Überlegungen wurden bereits der Gurtscheibendurchmesser mit DS D 800 mm und der Lagerabstand mit la D 560 mm festgelegt. Untersuchungen ergaben unter Nennbelastung eine die Welle radial belastende Gesamtkraft aus Eigen- gewichten und Gewicht des Fördergutes von Fges D F1 C F2  9;2 kN: 412 11 Achsen, Wellen und Zapfen Im Einzelnen sind a) der Durchmesser d der Antriebswelle überschlägig zu berechnen und nachfolgend auf Festigkeit zu prüfen. b) der Durchmesser d 1 des Wellenzapfens zum Aufnehmen der Kupplung konstruktiv festzulegen und nachzuprüfen. Bild 11.32 Antriebswelle eines Becherwerkes. a) Darstellung des Becherwer- kes, b) Antriebswelle mit Darstellung der Beanspru- chungsverläufe Allgemeine Lösungshinweise Es gilt der Fall 1 nach Abschn. 11.2.2-2, da der Abstand zwischen den La- gern bekannt ist. Durch die Einleitung des Drehmomentes über die Kupplung wird der Wellenzapfen nur auf Torsion beansprucht. Zwischen dem Lager B und der Stelle A–B liegt, die Querkraft vernachlässigt, zusammengesetzte Beanspruchung aus Biegung und Torsion, zwischen A–B und Lager A nur Biegebean- spruchung vor. Die Berechnung des Entwurfsdurchmessers erfolgt nach Gl. 11.16 im Bild 11.21 mit den Werten aus den Belastungen an der Stelle A–B. Der Festigkeitsnachweis der Welle ist statisch und dyna- misch für den Querschnitt A–B zu führen, da hier neben der Torsionsspannung die größte Biegespannung vorliegt und durch die Passfedernut Kerbeinfluss vorhanden ist. Der Festigkeitsnachweis des Wellenzapfens ist wegen der statisch wirkend angenommenen Torsion nur statisch am Wellenquerschnitt C–D erforderlich. Lösung a) Entwurfsdurchmesser: Mit der von der Welle zu übertragenden Leistung P D PMotor  ˜Getriebe D 7;5 kW  0;8 D 6 kW ergibt sich das von der Welle zu übertragende äquivalente Drehmoment nach Gl. 11.11 P 6 Teq D 9 550  KA  D 9 550  1;2   860 Nm: n 80 11.4 Berechnungsbeispiele 413 Das äquivalente Biegemoment ist la 0;56 m Mb eq D KA  Mb D KA  Fges  D 1;2  9 200 N   1 546 Nm: 4 4 Mit Gl. 11.7 wird das Vergleichsmoment (Biegung wechselnd, Torsion schwellend bzw. statisch) s  2 q ¢bD Mv D Mb eq C 0;75  2  Teq D.1 546 Nm/2 C 0;75 .0;7  860 Nm/2  1 632 Nm:.®  £tD / Mit ¢bD D ¢bWN D 245 N=mm2 für E295 aus TB 1-1 ergibt die Gl. 11.16 im Bild 11.21 für die Antriebs- welle einen Richtdurchmesser s s 0 3 Mv 1 632  103 Nmm d  3;4  D 3;4  3 N  64 mm: ¢bD 245 mm 2 Konstruktiv wird unter Berücksichtigung der genormten Lagerdurchmesser zunächst d D 65 mm festge- legt. Statischer Nachweis Der Ablauf des Nachweises erfolgt nach Bild 11.23. Mit maximaler Belastung ist zu rechnen, wenn gegebenenfalls das Becherwerk mit vollgefüllten Bechern anlaufen muss. Ist keine An- laufkupplung (siehe Kap. 13) vorgesehen, kann das Anlaufdrehmoment des Motors, ein Mehrfaches des Nenndrehmoments (siehe Motorenkatalog), wirksam werden. Für das Beispiel wird das Anlaufmoment mit T an D Tmax  2;5  Tnenn angenommen. Damit ergibt sich P 6 Tmax D 2;5  9 550  D 2;5  9 550   1 790 Nm; n 80 la 0;56 m Mb max D 2;5  Fges  D 2;5  9 200 N   3 220 Nm: 4 4 Die Berechnung der Widerstandsmomente erfolgt nach TB 11-3 mit dem vollen Wellenquerschnitt, wie in DIN 743, zu Wb D d 3  D.65 mm/3  D 26 961 mm3 ; 32 32 Wt D d 3  D.65 mm/3  D 53 922 mm3 : 16 16 Die Maximalspannungen sind dann Mb max 3 220  103 Nmm N 11 ¢b max D D 3  119 ; Wb 26 961 mm mm2 Tmax 1 790  103 Nmm N £t max D D  33 : Wt 53 922 mm3 mm2 Für den Werkstoff E295 ist nach TB 1-1 Rp0;2N D 295 N=mm2 und für d D 65 mm (¶ Rohteildurchmesser) nach TB 3-11 K t  0;92 (Streckgrenze). Es ergeben sich dann die Fließgrenzen N ¢bF D 1;2  Rp0;2N  Kt D 1;2  295 2  0;92  326 N=mm2 ;   mm 1;2  Rp0;2N  Kt 326 N=mm2 N £tF D p  p  188 2 : 3 3 mm Mit den Maximalspannungen und den Werten der Fließgrenzen wird die Sicherheit gegen die Fließgrenze 1 1 SF D s 2  2 D s  2;47:  2  2 ¢b max £t max 119 N=mm2 33 N=mm2 C C ¢bF £tF 326 N=mm2 188 N=mm2 414 11 Achsen, Wellen und Zapfen Ergebnis Die Sicherheit gegen die Fließgrenze ist entsprechend des Mindestwertes SF min D 1;5 nach TB 3-14 ausreichend. Dynamischer Nachweis Der Berechnungsablauf erfolgt nach Bild 11.23. Nach Bild 3.8 tritt auch bei Tor- sion statisch wirkend ein dynamischer Anteil des Torsionsmomentes T a eq D.KA  1/  Tnenn auf. Dieser soll hier vernachlässigt werden. Die Gl. 3.29 für die Bauteilsicherheit vereinfacht sich damit zu 1 ¢bGW SD D s  2  ¢ba : ¢ba ¢bGW Hierfür sind ¢ba , K Db und ¢bGW zu ermitteln. Für die rein wechselnd wirkende Biegung mit M b eq D KA Mb  1 546103 Nmm und W b D d3  =32 D.65 mm/3  =32  26 961 mm3 wird ¢ba D Mba eq =Wb D : : :  57;3 N=mm2 (die Passfedernut wird durch “k berücksichtigt). Für die Passfedernut, Nutform N1, ist nach TB 3-9b mit Rm D RmN  Kt D 470 N=mm2 (RmN D 470 N=mm2 aus TB 1-1, K t D 1 für d D 65 mm aus TB 3-11a) die Kerbwirkungszahl “kb D “kb.Probe/  K’ Probe =K’  1;75 (Gl. 3.15c) (K ’ Probe =K’  1 nach TB 3-11d). Wird die Oberflächenrauheit an der Schnittstelle mit Rz D 12;5 m festgelegt, ergibt sich nach TB 3-10 ein Oberflächeneinflussfaktor K O¢  0;91 und für Biegung sowie d D 65 mm wird nach TB 3-11c der Größeneinflussfaktor K g  0;85. Nach Gl. 3.16 wird mit K V D 1;0 (keine Oberflächenverfestigung) der Gesamteinflussfaktor   “kb 1 1 KDb D C 1  D : : :  2;16: Kg KO¢ KV Mit K t D 1;0 nach TB 3-11a (Zugfestigkeit) und ¢bWN D 245 N=mm2 nach TB 1-1 für E295 wird die Gestaltfestigkeit ¢bWN  Kt 245 N=mm2  1;0 N