محاضرات في الرياضيات 1 للعدادي هندسة - PDF

‫محاضرات‬ ‫فى‬ ‫الرياضيات ‪1‬‬ ‫ألعدادي هندسة‬ ‫الجزء االول‪ :‬التفاضل‬ ‫اعداد‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬...

‫محاضرات‬ ‫فى‬ ‫الرياضيات ‪1‬‬ ‫ألعدادي هندسة‬ ‫الجزء االول‪ :‬التفاضل‬ ‫اعداد‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫مقدمــــــــــــــــــة‬ ‫جمموعات األعداد‪:‬‬ ‫مجموعة األعداد الطبيعية‬ ‫‪‬‬ ‫‪N  1,2,3,........‬‬ ‫مجموعة األعداد الصحيحة‬ ‫‪‬‬ ‫‪Z  0, 1,  2,  3,........‬‬ ‫مجموعة األعداد القياسية‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q   : a,b  Z , b  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫مجموعة األعداد غير القياسية وهي اإلعداد التي ال يمكن وضعها في صورة كسر بسطة ومقامة إعداد‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 , 5,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫صحيحة مثل )‪2 ,  , sin (1‬‬ ‫مجموعة األعداد الحقيقية ‪ R‬هي مجموعة كل األعداد القياسية و الغير قياسية‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫عدد غير قياسي‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬برهن إن ‪2‬‬ ‫احلــم‪ :‬نفرررج جرردال إن ‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a, b‬‬ ‫حير‬ ‫‪2‬‬ ‫عرردد قياسرري وبالتررالي يمكررن وضررعر ع ر الصررورة‬ ‫‪b‬‬ ‫عددان صحيحان ال يوجد بينهما عامل مشترك‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a 2  2b 2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫وبالتالي يكون ‪ a 2‬عدد زوجي وبالتالي فان ‪ a‬تكون عدد زوجي الن مربع أي عدد فردي يكون دائما عدد فردي‬ ‫‪c  Z such that a  2c  a 2  4c 2  b 2  2c 2‬‬ ‫‪ a, b‬إعرررداد‬ ‫إن كرررال مرررن‬ ‫وبالترررالي فررران ‪ b 2‬عررردد زوجررري وبالترررالي فررران ‪ b‬تكرررون عررردد زوجررري وحيررر‬ ‫زوجيرررة فيوجرررد بينهمرررا عامرررل مشرررترك وهررراا ينررراقج الفررررج القائرررل بررران ‪ a, b‬عرررددان صرررحيحان ال يوجرررد‬ ‫بينهما عامل مشترك‬ ‫عدد غير قياسي‪.‬‬ ‫مما يثبت أن ‪2‬‬ ‫انفرتات‪:‬‬ ‫الفترة المفتوحة‬ ‫‪‬‬ ‫‪a,b   x  R‬‬ ‫‪: a  x b ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫الفترة المغ قة‬ ‫‪‬‬ ‫‪a,b   x  R : a  x  b ‬‬ ‫الفترة نصف المفتوحة‬ ‫‪‬‬ ‫‪a,b   x  R‬‬ ‫‪: a  x b ‬‬ ‫الفترة نصف المق قة‬ ‫‪‬‬ ‫‪a,b   x  R : a  x  b ‬‬ ‫قوانني املتباينات‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة ‪1 x  7x  5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  x  7x  5  1  x  x  5  7x  x  5  4  6x ‬‬ ‫احلم‪ x :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة ‪ 32 ,  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة ‪4  3x  2  13‬‬ ‫احلم‪4  3x  2  13  4  2  3x  2  2  13  2  2  x  5 :‬‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة ‪ 2,5 ‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة ‪x 2  5x  6  0‬‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫‪x 2  5x  6  0   x  3 x  2   0‬‬ ‫‪ x : x  3  0 and x  2  0 or x : x  3  0 and x  2  0‬‬ ‫‪ x : x  3 and x  2 or x : x  3 and x  2‬‬ ‫‪ x :2  x  3  or   x :2  x  3 ‬‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة ‪ 2,3‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة ‪ 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3  x : 5  3x and x  0  or x : 5  3x and x  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x :  x  or ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 53 ,  ‬‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة ‪ 6‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪ x : 3x  6  x  2  and x  2  0  or x : 3x  6  x  2  and x  2  0‬‬ ‫‪ x : x  4 and x  2  or x : x  4 and x  2‬‬ ‫‪ x : x  2  or x : x  4 ‬‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة ‪.  , 4   2,  ‬‬ ‫انقيمة املطهقة‪:‬‬ ‫القيمة المط قة ل عدد الصحيح ‪ x‬ويرمز لها بالرمز ‪ x‬وتعرف كالتالي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:x 0‬‬ ‫‪x  ‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪:x 0‬‬ ‫‪5  5, 5  5, x 2  x‬‬ ‫وبالتالي يكون‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المعادلة ‪2x  5  3‬‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫‪2x  5  3  2x  5  3 or 2x  5  3‬‬ ‫‪ x  4 or x  1‬‬ ‫‪x 5  2‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة‬ ‫احلم‪x  5  2  2  x  5  2  3  x  7 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة ‪.  3,7 ‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجموعة حل المتباينة ‪3x  2  4‬‬ ‫احلم‪or x  2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3x  2  4  3x  2  4 or 3x  2  4  x ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.  ,2   2 , ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫إان مجموعة حل المتباينة هي الفترة‬ ‫اننقطة يف اإلحداثيات انكارتيزية‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬ارسم المجموعات التالية‬ ‫‪a )  x , y  : x  0‬‬ ‫‪b )  x , y  : y  1‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪ x , y  : y‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫معهومات هندسية ‪:‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬المسافة بين النقطتين ‪ P x , y , P x , y‬تعطي بالقانون‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪PP ‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪ y y‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين ‪ P x , y , P x , y‬تعطي بالقانون‬ ‫‪y y 2  y 1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x x  x‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫كما أن ميل محور السينات يساوي صفر وال يوجد ميل لمحور الصادات‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪ ‬معادلة الخط المستقيم بمع ومية الميل ونقطة ع ية تعطي بالقانون‬ ‫‪ ‬معادلة الخط المستقيم بمع ومية الميل وطول الجزء المقطوع من محور الصادات‬ ‫تعطي بالقانون‬ ‫الصورة‬ ‫‪ ‬الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم تكون ع‬ ‫حي‬ ‫‪9‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪ ‬شرررط ترروازي مسررتقيمين هررو تسرراوي مي همررا كمررا إن شرررط تعامررد مسررتقيمين هررو أن‬ ‫يكون حاصل ضرب مي هما يساوي سالب واحد‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬ارسم الخط المستقيم ‪3x  5y  15‬‬ ‫‪ x  0‬نحصررل ع ر نقطررة التقرراطع مررع محررور السررينات وهرري ‪ 0, 3‬‬ ‫احلــم‪ :‬بررالتعويج عررن‬ ‫وبالتعويج عن ‪ y  0‬نحصل ع نقطة التقاطع مع محور الصادات وهي ‪ 5, 0 ‬‬ ‫مثال‪ :‬ارسم المتباينة ‪x  2 y  5‬‬ ‫احلــم‪ :‬نرسررم الخررط المسررتقيم ‪ x  2 y  5‬بررالتعويج عررن ‪ x  0‬نحصررل ع ر نقطررة التقرراطع مررع‬ ‫محررور السررينات وهرري ‪  0, 52 ‬وبررالتعويج عررن ‪ y  0‬نحصررل ع ر نقطررة التقرراطع مررع محررور‬ ‫الصادات وهي ‪  5, 0 ‬فتكون مجموعة حل المتباينة ‪ x  2 y  5‬هي كل النقاط الواقعة ع‬ ‫الخط المستقيم ‪ x  2 y  5‬كما بالشكل التالي‪:‬‬ ‫‪01‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫اندوال املثهثية‪ :‬من المث‬ ‫فمثال‬ ‫تكون الدوال المث ثية كالتالي‪:‬‬ ‫‪00‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫انرسم انتوضيحي نهدوال املثهثية‪:‬‬ ‫‪f (x )  sin x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x )  cosec x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x )  cos x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪01‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪f (x )  sec x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x )  tan x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x )  cot x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫املتطابقات املثهثية‪:‬‬ ‫‪ ‬من الشكل التالي‬ ‫نجد أن‬ ‫‪y 2 x 2 x 2  y 2 r2‬‬ ‫‪ sin 2   cos2  ‬فان‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫أن ‪ 2  1‬‬ ‫‪ ‬حي‬ ‫‪r2 r2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ cos 2 ‬نحصل ع‬ ‫‪ ‬بقسمة طرفي المعادلة السابقة ع‬ ‫‪ sin 2 ‬نحصل ع‬ ‫‪ ‬بقسمة طرفي المعادلة السابقة ع‬ ‫‪ ‬دوال الـ ‪ sin , cos , tan‬لمجموع وفرق زاويتين‬ ‫‪03‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪ ‬دوال الـ ‪ sin , cos‬لضعف الزاوية‬ ‫‪ ‬باستخدام المتطابقة ‪ sin 2   cos 2   1‬نحصل ع‬ ‫ومنها نحصل ع‬ ‫‪ ‬من المتطابقات السابقة نحصل ع‬ ‫‪04‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ )1( ‫تفاضل وتكامل‬ ‫مقدمة‬ ‫متارين‬ :‫) اختار اإلجابة انصحيحة مما يأتي‬1( x : 2x  5  3 ‫ حل المعادلة‬ (A ) x  1 or x  2 (B ) x  1 or x  4 (C ) x  2 or x  4 (D ) x  1 or x  3 x : 3x  2  0 ‫ حل المعادلة‬ (A ) x   23 ,1 (B ) x   23 ,1 (C ) x   2,3 (D ) x   2,3 ‫ فأن‬x  5  2 ‫ إاا كانت‬ (A ) x 3, 7  (B ) x   3, 7 (C ) x 3, 7 (D ) x   3, 7  ‫ فأن‬4  3x  2  13 ‫ إاا كانت‬ (A ) x  2,5 (B ) x   2,5 (C ) x  2,5 (D ) x   2,5 tan  ‫ فأن‬sin   1 , cos  3 ‫ إاا كانت‬ 2 2 (A ) 3 (B ) 2 3 (C ) 2 (D ) 3 3 05 ‫ صالح الدين عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪ ‬إاا كانت ‪ sin   1 , cos  3‬فأن ‪cot  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(A ) 3‬‬ ‫‪(B ) 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(C ) 2‬‬ ‫‪(D ) 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪ )2‬اختار اإلجابة انصحيحة مما يأتي‪:‬‬ ‫‪07‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪08‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل (‪)1‬‬ ‫مقدمة‬ ‫‪09‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬  ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫اندانت ذاث ادلتغري احلقٍقً‬ ‫جم ‪ D , E‬بحجةةأ ك ةةص تنةةع ةةم تينةةع‬ ‫ة‬ ‫الدالةةه ةةق ترةةه ي ةعنا رةةجم تينةةع‬ ‫ةةه ‪ E‬قيع ةةل للدالةةه بةةيلع ل‬ ‫ةةه ‪ D‬ي ةعيبا برتنةةع قا ةةد اصةةا ةةم تينةةع ال‬ ‫ال‬ ‫‪f : D E‬‬ ‫ونالحظ هنا التالً‪:‬‬ ‫‪ ‬عناصر المجموعة ‪ D‬تسمً بمجال تعرٌف الدالة وتكتب ‪. Df‬‬ ‫‪ ‬عناصر المجموعة ‪ E‬تسمً بالمجال المقابل للدالة‪.‬‬ ‫‪ f (x ) ‬تعنً قٌمة الدالة ‪ f‬عند النقطة ‪. x  D‬‬ ‫‪ ‬مدي الدالة ٌعررف كالترالً ‪ R f  f (x ) : x  D f ‬وهرو مجموعرة جيةٌرة مرن المجرال‬ ‫المقابل‪.‬‬ ‫‪ٌ ‬مكن التعبٌر عن الدالة بالصورة‬ ‫‪f   x , y  : y  f (x )‬‬ ‫حٌث نسمً ‪ x‬بالمتغٌر المستقل كما نسمً ‪ y‬بالمتغٌر التابع‪.‬‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫وعند رسم الدالة ) ‪ f (x‬فهً عبرارة عرن مجموعرة اايوال المرتبرة ‪  x , f (x ) ‬حٌرث‬ ‫‪x  Df‬‬ ‫مثال‪ :‬ارسم الدوال التالٌة ثم حدد المجال والمدى‬ ‫‪(1) f (x )  2x 1‬‬ ‫‪(2) g (x )  x 2‬‬ ‫هً معادلة خط مستقٌم ٌمر بالنقطتٌن ‪ 0, 1 ,  12 , 0 ‬‬ ‫‪f (x )  2x 1‬‬ ‫احلم ‪ )2( :‬الدالة‬ ‫ومن الرسم نجد أن مجال ومدي هذه الدالة هً مجموعة ااعداد الحقٌقٌة‬ ‫‪D f  R f   ,   ‬‬ ‫‪ g (x )  x 2‬هً معادلة قطع مكافئ‬ ‫(‪ )0‬الدالة‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ D g ‬والمدى ‪. R g   0,  ‬‬ ‫المجال هو مجموعة ااعداد الحقٌقٌة‬ ‫مثال‪ :‬أوجد مجال تعرٌف الدوال التالٌة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1) f (x )  x  2‬‬ ‫‪(2) f (x ) ‬‬ ‫‪(3) f (x ) ‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x 2  5x‬‬ ‫احلم ‪ )2( :‬مجال الدالة ‪ f (x )  x  2‬هو‬ ‫‪D  x  : x  2  0  x  : x  2   2,  ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x ) ‬هو‬ ‫(‪ )0‬مجال الدالة‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  : x 2 x  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  : x  x 1  0 ‬‬ ‫‪ 0,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x ) ‬هو‬ ‫(‪ )3‬مجال الدالة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x 2  5x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D  x  : x 2  5x  0  x  : x  x  5   0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ x  : x  0   x  5   0  x  : x  0   x  5   0‬‬ ‫‪ x  : x  0  x  5  x  : x  0  x  5‬‬ ‫‪ x  : x  5  x  : x  0   ,0   5,  .‬‬ ‫اختبار اخلط انراسً‪:‬‬ ‫المنحنً فً المستوي ٌمثل دالة إذا كان ال ٌوجد خط راسرً ٌتقراطع مرع المنحنرً فرً أكثرر مرن‬ ‫نقطة‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬وضح أي من المنحنٌات التالٌة تمثل دالة‬ ‫‪00‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫احلم‪ :‬من الرسم التالً نجد أن ‪ x  y 2  2‬ال تمثل دالة ‪,‬و المنحنٌات‬ ‫‪ y  x  2, y   x  2‬تمثل دالة‬ ‫مثال‪ :‬لتكن الدالة ‪ f‬معرفة كالتالً‬ ‫احسب ‪ f  2  , f  1 , f  0 ‬ومن ثم ارسم الدالة‪.‬‬ ‫احلم‪f  2   0, f  1  1, f  0   0 :‬‬ ‫‪. Rf ‬‬ ‫‪ Df ‬ومداها هو‬ ‫واضح أن مجال تعرٌف دالة المقٌاس هً‬ ‫مثال‪ :‬لتكن الدالة ‪ f‬معرفة كالتالً‬ ‫احسب ‪ f  2  , f  2  , f  0 ‬ومن ثم ارسم الدالة‪.‬‬ ‫احلم‪f  2   2, f  2   2, f  0   0 :‬‬ ‫‪03‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ Df ‬ومداها هو ‪. R f   0,  ‬‬ ‫واضح أن مجال تعرٌف دالة المقٌاس هً‬ ‫اندانت انسوجٍت واندانت انفردٌت‪:‬‬ ‫‪ ‬الدالة ‪ f  x ‬تسمً دالة يوجٌة إذا كانت‬ ‫‪ ‬الدالة ‪ f  x ‬تسمً دالة فردٌة إذا كانت‬ ‫مثال‪ :‬حدد أي من الدوال التالٌة تكون يوجٌة أو فردٌة أو لٌست يوجٌة وال فردٌة‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫وبالتالً فان هذه الدالة فردٌة ونالحظ أن منحنً هذه الدالة متماثل حول نقطة ااصل‪.‬‬ ‫وبالتالً فان هذه الدالة يوجٌة ونالحظ أن منحنً هذه الدالة متماثل حول محور الصادات‪.‬‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫حٌرررث أن ) ‪ h  x   h (x‬كمرررا أن ) ‪ h  x   h (x‬فررران هرررذه الدالرررة لٌسرررت يوجٌرررة وال‬ ‫فردٌة‪.‬‬ ‫اندانت ادلتساٌدة وادلتناقصت‪:‬‬ ‫‪ ‬الدالة ‪ f  x ‬تكون دالة متياٌدة على الفترة ‪ I‬إذا كانت‬ ‫‪ ‬الدالة ‪ f  x ‬تكون دالة متناقصة على الفترة ‪ I‬إذا كانت‬ ‫كما هو موضح بالشكل التالً‪:‬‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫فنجد أن الدالة ‪ f  x   x 2‬متياٌدة فً الفترة ‪  0,  ‬ومتناقصة فً الفترة ‪ , 0‬‬ ‫دوال كثرياث احلدود‪ :‬أي دالة على الصورة‬ ‫حٌث ‪ a , a ,....., a , an‬ثوابت حقٌقٌة كما أن ‪ n‬عدد صحٌح موجب كما أن ‪, a0  0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫تسررمً كثٌرررة حرردود مررن الدرجررة ‪ , n‬ونالحررظ أن مجررال تعرٌررف كثٌرررات الحرردود هررً مجموعررة‬ ‫ااعداد الحقٌقٌة‪.‬‬ ‫دانت انقوي‪ :‬هً دالة تكون على الصورة ‪ f (x )  x n‬حٌث ‪ n‬مقدار ثابت‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n  1‬نحصل علً معادلة خط مستقٌم ٌمر بنقطة ااصرل ‪ f (x )  x‬مجالهرا‬ ‫ومداها مجموعة ااعداد الحقٌقٌة‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n  2‬نحصل علً معادلة قطع مكافئ ‪ f (x )  x 2‬مجالها مجموعة ااعداد‬ ‫الحقٌقٌة ومداها ‪R f   0,  ‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n  3‬نحصل علً المنحنً ‪ f (x )  x 3‬مجالها ومداها‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n  4‬نحصل علً معادلة المنحنً ‪ f (x )  x 4‬مجالها مجموعة ااعداد‬ ‫الحقٌقٌة ومداها ‪R f   0,  ‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n  5‬نحصل علً المنحنً ‪ f (x )  x 5‬مجالها ومداها‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n ‬نحصل علً المنحنً ‪ f (x )  x‬مجالها ومداها ‪ 0,  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n ‬نحصل علً المنحنً ‪ f (x )  3 x‬مجالها ومداها‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x ) ‬مجالها ومداها ‪ 0‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ n  1‬نحصل علً المنحنً‬ ‫‪x‬‬ ‫اندانت انقٍاسٍت‪ :‬هً دالة الناتجة عن قسمة كثٌرتً حدود ) ‪P (x ), Q (x‬‬ ‫) ‪P (x‬‬ ‫‪f (x ) ‬‬ ‫‪, Q (x )  0‬‬ ‫) ‪Q (x‬‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪2x 4  x 2  4‬‬ ‫‪ f (x ) ‬دالة قٌاسٌة مجالها ‪ 2‬‬ ‫فمثال الدالة‬ ‫‪x 2 4‬‬ ‫اندانت اجلربٌت‪ :‬هً الدالة الترً ٌمكرن الحصرول علٌهرا بر جرا عردد نهراةً مرن عملٌرات الجمرع‬ ‫والطرررح والضرررب والقسررمة والجررذور علررى المتغٌررر ‪ x‬ونالحررظ أن الدالررة القٌاسررٌة هررً حالررة‬ ‫خاصة من الدوال الجبرٌة‪.‬‬ ‫اندانت ادلثهثٍت‪:‬‬ ‫ومداها ‪  1,1‬ونالحظ هنا أن‬ ‫‪ f (x )  sin x‬هً دالة مجالها‬ ‫‪‬‬ ‫‪ sin x  0‬عندما ‪ x  n‬حٌث ‪ n‬عدد صحٌح‪.‬‬ ‫ومداها‬ ‫‪ f (x )  cosec x‬هً دالة مجالها ‪ 0,   ,  2 ,  3 ,...... ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1,1‬‬ ‫‪02‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫ومداها ‪  1,1‬ونالحظ هنا أن‬ ‫‪ f (x )  cos x‬هً دالة مجالها‬ ‫‪‬‬ ‫‪ cos x  0‬عندما ‪ x   2  ‬حٌث ‪ n‬عدد صحٌح‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ومداها‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f (x )  sec x ‬هً دالة مجالها ‪   ,  3 ,  5 ,......‬‬ ‫‪  1,1‬‬ ‫ومداها‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ,  3 ,  5 ,.......‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هً دالة مجالها ‪‬‬ ‫‪f (x )  tan x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫ومداها‬ ‫‪ f (x )  cot x‬هً دالة مجالها ‪ 0,   ,  2 ,  3 ,...... ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ومداها ‪ 0,  ‬‬ ‫هً دالة مجالها‬ ‫اندانت األسٍت‪f (x )  a x :‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ a  1‬فترسم الدالة كالتالً‪:‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت ‪ a  1‬فترسم الدالة كالتالً‪:‬‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬الدالة ااسٌة تحقق القوانٌن التالٌة‬ ‫‪ ‬الدالة ااسٌة ‪ f (x )  e x‬حٌث ‪ e  2.71828‬وٌكون مٌل المماس لمنحنً‬ ‫هذه الدالة عند النقطة ‪ٌ  0,1‬ساوي الواحد‪.‬‬ ‫اندانت انهوغارٌتمٍت‪:‬‬ ‫هً دالة مجالها ‪  0,  ‬ومداها‬ ‫‪f (x )  logax‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬الدالة اللوغارٌتمٌة تحقق القوانٌن التالٌة‪:‬‬ ‫‪ ‬اللوغارٌتم الطبٌعً ‪ f (x )  ln x‬نحصل علٌه بالتعوٌض عن ‪ a  e‬غً الدالة‬ ‫اللوغارٌتمٌة ‪ f (x )  logax‬كما نالحظ أن ‪. ln e  1‬‬ ‫إزاحت انرسم انبٍانً نهدانت‪:‬‬ ‫إذا كان لدٌنا الدالة ) ‪ y  f (x‬فانه ٌمكننا الحصول علً دوال جدٌردة عرن طرٌرق تحرٌره هرذه‬ ‫الدالة ٌمٌنا وٌسارا والى اعلً والى أسفل باستخدام القوانٌن التالٌة‪:‬‬ ‫‪ ‬بتحرٌه الرسم البٌانً للدالة ) ‪ y  f (x‬مسافة قدرها ‪ c‬إلى اعلرً نحصرل علرى‬ ‫الدالة ‪. y  f (x )  c‬‬ ‫‪ ‬بتحرٌه الرسم البٌانً للدالة ) ‪ y  f (x‬مسافة قدرها ‪ c‬إلى أسفل نحصل علرى‬ ‫الدالة ‪y  f (x ) c‬‬ ‫‪ ‬بتحرٌه الرسرم البٌرانً للدالرة ) ‪ y  f (x‬مسرافة قردرها ‪ c‬ناحٌرة الٌسرار نحصرل‬ ‫على الدالة ) ‪y  f (x  c‬‬ ‫‪33‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬بتحرٌه الرسم البٌانً للدالرة ) ‪ y  f (x‬مسرافة قردرها ‪ c‬ناحٌرة الٌمرٌن نحصرل‬ ‫على الدالة ) ‪y  f (x  c‬‬ ‫‪ ‬بانعكرراس الرسررم البٌررانً للدالررة ) ‪ y  f (x‬حررول محررور السررٌنات نحصررل علررى‬ ‫الدالة ) ‪. y  f (x‬‬ ‫‪ ‬بانعكاس الرسرم البٌرانً للدالرة ) ‪ y  f (x‬حرول محرور الصرادات نحصرل علرى‬ ‫الدالة ) ‪y  f (x‬‬ ‫مثال‪ :‬من الدالة ‪ y  x‬ارسم الدوال التالٌة‪:‬‬ ‫‪(a ) y  x  2‬‬ ‫‪(b ) y  x  2‬‬ ‫‪(c ) y   x‬‬ ‫‪(d ) y  x‬‬ ‫احلم‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬أرسم الدالة ‪. y  x 2  4x  3‬‬ ‫احلم‪ :‬نعلم أن ‪y  x 2  4x  3   x  2   1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫مثال‪ :‬أرسم الدالة ‪. y  x 2  6x  10‬‬ ‫احلم‪ :‬نعلم أن ‪y  x 2  6x  10   x  3  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪ :‬أرسم الدالة ‪. y  x 2  1‬‬ ‫احلم‪ :‬نعلم أن‬ ‫‪x 2  1,‬‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪y  x 1  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  x ,‬‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبالتالً ف ننا نرسم أوال منحنً الدالة ‪ y  x 2‬ثم نحركه إلى أسفل مسافة قدرها ‪ 1‬فنحصرل‬ ‫على رسم لمنحنً الدالة ‪ y  x 2  1‬كما هو مبٌن بالرسم التالً‪:‬‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫ومررن تعرٌررف دالررة المقٌرراس هنرراه جرري سررالب للدالررة خررالل الفترررة ‪ 1  x  1‬نعكررس خاللهررا‬ ‫المنحنً حول محور السٌنات لنحصل على الرسم التالً‪:‬‬ ‫مترٌن حمهول‪ :‬أرسم الدالة ‪. y  3  2x‬ثم حدد مجالها ومداها‪.‬‬ ‫احلم‪ :‬نرسم أوال منحنً الدالة ‪ y  2x‬ثم نعكسها حول محور السٌنات لنحصرل علرى رسرم‬ ‫للدالة ‪ y  2x‬ثم نحركها مسافة قدرها ‪ 3‬إلى اعلً لنحصل على رسم للدالة ‪y  3  2x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ومداها هو ‪.  ,3‬‬ ‫ومن الرسم نجد أن مجال الدالة ‪ y  3  2x‬هو‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫مترٌن حمهول‪ :‬أرسم الدالة ‪. y  1 sin x‬ثم حدد مجالها ومداها‪.‬‬ ‫احلم‪ :‬نرسم أوال منحنً الدالة ‪y  sin x‬‬ ‫ثم نعكسها حول محور السٌنات لنحصل على رسم للدالة ‪ y   sin x‬ثم نحركها مسافة قدرها‬ ‫‪ 1‬إلى اعلً لنحصل على رسم للدالة ‪ y  1 sin x‬كما هو مبٌن بالشكل التالً‪:‬‬ ‫ومداها هو ‪.  0, 2‬‬ ‫ومن الرسم نجد أن مجال الدالة ‪ y  1 sin x‬هو‬ ‫انعمهٍاث اجلربٌت عهى اندوال‪:‬‬ ‫بفرض أن ‪ g  x  , f  x ‬أي دالتٌن ف ن‬ ‫ومجال تعرٌف كل منها ٌعطً من المعادلة التالٌة‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪Dg , D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D g  x : g (x )  0‬‬ ‫‪f g‬‬ ‫‪f g‬‬ ‫‪f g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫كما أن عملٌة تحصٌل الدالتٌن تعطى من المعادلة‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g  (x )  f  g (x ) ‬‬ ‫ومجال تعرٌفها ٌعطى من المعادلة‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  D g : g (x )  D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا كانت ‪. g (x )  2  x , f (x )  x‬أوجد الدوال التالٌة ومن ثم حدد مجالها‬ ‫‪D g   ,2 ‬‬ ‫احلم‪ :‬حٌث أن ‪ D   0,  ‬كما أن‬ ‫‪f‬‬ ‫ومجال تعرٌفها‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  D g : g (x )  D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x   ,2  : 2  x  0,  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ,2 ‬‬ ‫ومجال تعرٌفها‬ ‫‪D‬‬ ‫‪g f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪: f (x )  D g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  0,   : x   ,2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  0,   :‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  0,   : 0  x  4  0,4 ‬‬ ‫ومجال تعرٌفها‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪: f (x )  D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  0,   : x  0,  ‬‬ ‫‪ 0,  ‬‬ ‫ومجال تعرٌفها‬ ‫‪‬‬ ‫‪D g g  x  D g : g (x )  D g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x   , 2 : 2  x   , 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x   , 2 :‬‬ ‫‪2x  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x   , 2 : 2  x  4‬‬ ‫‪ x   , 2 :  2  x  2   2, 2‬‬ ‫اندانت األحادٌت‪ :‬تسمً الدالة ) ‪ f (x‬دالة أحادٌة إذا كانت صور العناصر المختلفة تكون‬ ‫مختلفة‬ ‫‪x  y  f (x )  f ( y ) or f (x )  f ( y )  x  y‬‬ ‫أو بمعنً آخر تكون الدالة أحادٌة إذا ال ٌوجد خط أفقً ٌقطع منحنً الدالة فً أكثر من نقطة‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬الدوال التالٌة ) ‪ f (x‬دالة أحادٌة ولكن ) ‪ g (x‬لٌست أحادٌة‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫مثال‪ :‬أختبر أحادٌة الدوال التالٌة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1) f (x ) ‬‬ ‫‪(2) f (x )  x 3‬‬ ‫‪(3)f (x )  x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫احلم‪ (1) :‬الدالة‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x )  f ( y ) ‬‬ ‫‪ f (x ) ‬أحادٌة ان ‪  x  y‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (2‬الدالة ‪ f (x )  x 3‬أحادٌة ان ‪f (x )  f ( y )  x 3  y 3  x  y‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫)‪ (3‬الدالة ‪ f (x )  x 2‬لٌست أحادٌة ان ‪f (x )  f ( y )  x 2  y 2  x   y‬‬ ‫اندانت انعكسٍت‪ :‬بفرض أن ) ‪ f (x‬دالة أحادٌة مجالها ‪ A‬ومداها ‪ B‬فأن معكوسها ٌكون‬ ‫‪ f 1‬مجالها ‪ B‬ومداها ‪ A‬وتعرف كالتالً‪:‬‬ ‫‪f 1( y )  x  f  x   y y  B.‬‬ ‫نالحظ هنا أن‬ ‫ونالحظ أٌضا‬ ‫‪ f‬هو انعكاس للدالة ‪ f‬حول المستقٌم ‪y  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫كما أن رسم الدالة‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫مثال‪ :‬أوجد معكوس الدالة ‪. f (x )  x 3  2‬‬ ‫احلم‪ :‬أوال نكتب الدالة كالتالً‬ ‫ثانٌا نحل المعادلة فً ‪ x‬أي نوجد‬ ‫ثالثا نستبدل ‪ x‬بـ ‪ y‬فنحصل على ‪ y  3 x  2‬فٌكون المعكوس هو‬ ‫‪f 1  x   3 x  2‬‬ ‫‪. f (x )  1  x‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد معكوس الدالة‬ ‫احلم‪ :‬حٌث ‪ y  f (x )  1  x  y 2  1  x  x  1  y 2‬وبالتالً ٌكون‬ ‫المعكوس هو ‪f 1 (x )  1  x 2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪ ‬معكوس الدالة اللوغارٌتمٌة ‪ f (x )  loga x‬هو الدالة ااسٌة ‪ f (x )  a x‬حٌث‬ ‫‪ a  1, a  0‬والعكس صحٌح ان‬ ‫‪ ‬معكوس الدالة اللوغارٌتمٌة ‪ f (x )  ln x‬هو الدالة ااسٌة ‪ f (x )  e x‬والعكس‬ ‫صحٌح ان‬ ‫‪23‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬معكوس الدالة المثلثٌة ‪f (x )  sin x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ‬معكوس الدالة المثلثٌة ‪f (x )  cos x‬‬ ‫‪ ‬معكوس الدالة المثلثٌة ‪f (x )  tan x‬‬ ‫‪ ‬معكوس الدوال المثلثٌة ‪f (x )  cot x , sec x , co sec x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫متارٌن‬ ‫أختار اإلجابت انصحٍحت‪:‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪f (x ) ‬‬ ‫(‪ )2‬الدالة‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(أ) فردية‬ ‫(ب) زوجية‬ ‫(جـ) زوجية وفردية‬ ‫(د) ليست زوجية وليست فردية‬ ‫‪ f(x)  2x  1 ‬هو‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪ )0‬مجال الدالة ‪4  x‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 2 ,  ‬‬ ‫(أ)‬ ‫‪1 ‬‬ ‫(ب) ‪ ,  ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫(جـ)‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬‫‪,‬‬ ‫(د)‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f(x) ‬هو‪:‬‬ ‫(‪ )2‬مجال الدالة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) )‪[0, ‬‬ ‫(جـ) )‪(, 0) (0, ‬‬ ‫(د) بخالف ذلك‬ ‫(‪ )3‬مجال الدالة ‪ f(x)  1  x 2‬هو‪:‬‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) )‪[0, ‬‬ ‫(جـ) ]‪[ 1,1‬‬ ‫(د) بخالف ذلك‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f ..............‬‬ ‫(‪ )4‬أذا كان الدالة ‪ f (x)  2  x‬فإن مجال الدالة‬ ‫‪ ,2‬‬ ‫(أ)‬ ‫‪ ,2 ‬‬ ‫(ب)‬ ‫‪ 2, ‬‬ ‫(جـ)‬ ‫(د) ‪ 2,2‬‬ ‫‪f(g(x)) ..............‬‬ ‫(‪ )5‬أذا كان الدالة ‪ f(x)  x 2‬و ‪ g(x)  x‬فإن‬ ‫‪x‬‬ ‫(أ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(ب)‬ ‫(جـ) ‪x‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪x‬‬ ‫(د) ‪x‬‬ ‫(‪ )7‬مجال الدالة ‪f(x)  3x 2  2x  5‬‬ ‫‪R‬‬ ‫(أ)‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫(ب)‬ ‫‪ x: x  R ‬‬ ‫(جـ)‬ ‫(د) جميع ما سبق‬ ‫(‪ )8‬مجال الدالة ‪f(x)  x  a‬‬ ‫‪ , a ‬‬ ‫(أ)‬ ‫‪ ,  ‬‬ ‫(ب)‬ ‫‪a ,  ‬‬ ‫(جـ)‬ ‫(د) ‪ a, a ‬‬ ‫(‪ )9‬مجال الدالة ‪f(x)  x  a‬‬ ‫‪ , a ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) ‪ 0, ‬‬ ‫‪a ,  ‬‬ ‫(جـ)‬ ‫(د) ‪ a, a ‬‬ ‫(‪ )01‬مجال الدالة )‪f(x)  ln(x  2‬‬ ‫‪ 2,  ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) ‪ 2, ‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫‪ 2,  ‬‬ ‫(جـ)‬ ‫(د) ‪ 2, ‬‬ ‫(‪ )00‬مجال الدالة )‪f(x)  ln(2  x  1‬‬ ‫‪ 3,  ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) ‪3, ‬‬ ‫(جـ) ‪ ,3‬‬ ‫(د) ‪ 1,3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x) ‬‬ ‫(‪ )01‬مجال الدالة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0, ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) ‪ 0, ‬‬ ‫(جـ) ‪ ,0 ‬‬ ‫(د) ‪ ,0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x) ‬‬ ‫(‪ )02‬مجال الدالة‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪a ,  ‬‬ ‫(أ)‬ ‫(ب) ‪ ,  ‬‬ ‫(جـ) ‪ ,a ‬‬ ‫(د) ‪ a,  ‬‬ ‫(‪ )03‬مجال الدالة ‪f(x)  x 2  a 2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬  , a  a,   )‫(أ‬  a , a  )‫(ب‬  a, a  )‫(جـ‬  , a  a,   )‫(د‬ f(x)  a 2  x 2 ‫) مجال الدالة‬04(  , a  a,   )‫(أ‬  a , a  )‫(ب‬  a, a  )‫(جـ‬  , a  a,   )‫(د‬ f(x)  3 x 2  a 2 ‫) مجال الدالة‬05(  , a  a,   )‫(أ‬  ,   )‫(ب‬  a, a  )‫(جـ‬  , a  a,   )‫(د‬ 5x  2 f(x)  ‫) مجال الدالة‬07( x  8x  12 2  ,2   6,   )‫(أ‬  6, 2 )‫(ب‬  6, 2  )‫(جـ‬ 22 ‫ صالح الدٌن عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ ‫(د) ‪ , 6   6, 2   2,  ‬‬ ‫(‪ )08‬الرسم التالي للدالة )‪ f(x‬فان )‪ f (5), f(1‬تساوي‬ ‫(أ) ‪f (5)  1, f(1)  3‬‬ ‫(ب) ‪f (5)  1, f(1)  3‬‬ ‫(جـ) ‪f (5)  0, f(1)  3‬‬ ‫(د) بخالف ذلك‬ ‫(‪ )08‬مجال ومدي للدالة المعطاه في السؤال (‪ )07‬هي‬ ‫(أ) ‪D f   0, 7  , R f   2, 4‬‬ ‫(ب) ‪D f   2, 4 , R f   0, 7 ‬‬ ‫(جـ) ‪D f   2, 4  , R f   0, 7 ‬‬ ‫‪D f   0, 7  , R f   2, 4 ‬‬ ‫(د)‬ ‫(‪ )09‬اذا كانت ‪ f (x )  2x 2  5x  1, h  0‬فان ‪f (a  h ) ‬‬ ‫(أ) ‪2a 2  4ah  2h 2  5a  5h  1‬‬ ‫(ب) ‪2a 2  4ah  2h 2  5a  5h  1‬‬ ‫(جـ) ‪2a 2  4ah  2h 2  5a  5h  1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدٌن عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ 2a 2  4ah  2h 2  5a  5h  1 )‫(د‬ f (a  h )  f (a )  ‫ فان‬f (x )  2x 2  5x  1, h  0 ‫) اذا كانت‬11( h 2a  4h  5 )‫(أ‬ 4a  2h  5 )‫(ب‬ 4a  2h  5 )‫(جـ‬ 4a  2h  5 )‫(د‬ ‫) قاعدة تعريف الدالة الموضحة بالشكل التالي هي‬10( x if 0  x  1  f (x )  2  x if 1  x  2 )‫(أ‬  0 if x  2  x if 0  x  1  f (x )  2  x if 1  x  2 )‫(ب‬  0 if x  2  2  x if 0  x  1  f (x )   x if 1  x  2 )‫(جـ‬  0 if x  2  ‫(د) بخالف ذلك‬ 20 ‫ صالح الدٌن عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ f g  ‫فان‬ g (x )  x  3, f (x )  x 2 ‫) اذا كانت إذا كانت‬11(  x  3 2 )‫(أ‬ x  3 )‫(ب‬ 2 x  3 )‫(جـ‬ x  3 )‫(د‬ g f  ‫فان‬ g (x )  x  3, f (x )  x 2 ‫) اذا كانت إذا كانت‬12( x 2  3 )‫(أ‬ x  3 )‫(ب‬ 2 x  3 )‫(جـ‬ x 2  3 )‫(د‬ x f g h ‫فان‬ f x   , g (x )  x 10 , h (x )  x  3 ‫) اذا كانت‬12( x 1  x  3 10 f x   )‫(أ‬  x  3  1 10  x  3 10 f x   )‫(ب‬  x  3  1 10  x  3 10 f x   )‫(جـ‬  x  3  1 10  x  3 10 f x   )‫(د‬  x  3  1 10 ‫ فان‬F  f g h ‫ حيث‬F  x   cos 2 (x  9) ‫) اذا كانت‬13( f (x ) ..., g (x ) ...., h (x ) ... 23 ‫ صالح الدٌن عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫الدالة ذات المتغير الحقيقي‬ f (x )  x 2 , g (x )  x  9, h (x )  cos x. )‫(أ‬ f (x )  cos x , g (x )  x 2 , h (x )  x  9. )‫(ب‬ f (x )  cos x , g (x )  x  9, h (x )  x 2. )‫(جـ‬ f (x )  x  9, g (x )  cos x , h (x )  x 2. )‫(د‬ : f 1 (1)  ‫ فإن‬f(x)  3x 3  1 ‫) اذا كانت‬52( 1 )‫(أ‬ 0 )‫(ب‬ 3 )‫(جـ‬ 3 )‫(د‬. 22 ‫ صالح الدٌن عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫النهايات‬ ‫‪ f (x )  x 2  x  2‬وأخةحاا ‪ x‬تقتةخ نةا الدةج ‪ 2‬فيسكششةا توةن ا الجةجو‬ ‫إذا أعطيشا الجالة‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫ةةا ) ‪f (x‬‬ ‫‪ x‬نةةا ‪ 2‬سةنام نةةا ااحية اليسةةيا أو نةةا ااحية اليدةةا‬ ‫أاةةد عشةةجنا تقتةةخ‬ ‫االحة‬ ‫تقتخ نا ‪ 4‬كسا اخي نا سم الجال‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫‪ 2‬تدةاوي ‪4‬‬ ‫‪ x‬إلة‬ ‫‪ f (x )  x 2  x  2‬عشةجنا تةلو‬ ‫وبالتالي إاشا اقةن أ اااةة الجالة‬ ‫وتوتب كالتالي‪:‬‬ ‫‪ x  a‬أو ‪ f (x )  L‬كسا اخى نا‬ ‫‪ lim  f (x )   L‬ال تتطمب أ تون‬ ‫واالح أ‬ ‫‪x a‬‬ ‫الخسم التالي‪:‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪lim x‬‬ ‫مثال‪ :‬أحدب الشااة‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫احلل‪ :‬نكون الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ f (x ) ‬غيخ ندخ عشج‬ ‫عم الخغم نا أ الجال‬ ‫‪lim x‬‬ ‫‪ 0.5‬‬ ‫لحلك ا‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. x  1‬كسا إاشا إذا عخ شا الجوا التالي ‪:‬‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫إ ‪. lim [f (x )]  lim [ g (x )]  lim [h (x )]  0.5‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫النهاية اليمني واليسري ‪:‬‬ ‫‪ a‬نا ااحي اليسيا وتوتب‬ ‫‪ x‬إل‬ ‫‪ L‬عشجنا تلو‬ ‫‪ ‬الجال ) ‪ f (x‬تلو إل‬ ‫‪x a‬‬ ‫كسا أ ‪ x a ‬تدشي أ‬ ‫‪ a‬نا ااحي اليدا وتوتب‬ ‫‪ x‬إل‬ ‫‪ L‬عشجنا تلو‬ ‫‪ ‬الجال ) ‪ f (x‬تلو إل‬ ‫‪x a‬‬ ‫كسا أ ‪ x a ‬تدشي أ‬ ‫قط‬ ‫‪ a‬إذا كا وكا‬ ‫‪ x‬إل‬ ‫‪ L‬عشجنا تلو‬ ‫‪ ‬الجال ) ‪ f (x‬تلو إل‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫مثال‪ :‬أحدب الشااة لمجال‬ ‫احلل‪ :‬من الرسم التالي‪:‬‬ ‫اجج أ‬ ‫غيخ ننجن ة أل الشااة اليسشي ال تداوي الشااة اليدخى‪.‬‬ ‫‪lim  H (x )‬‬ ‫وبالتالي ا‬ ‫‪t 0‬‬ ‫النهايات الغري منتهية‪:‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫إذا كانتتا الدالتت ) ‪ f (x‬ندخ ةةد عم ة جةةااقي الشقط ة ‪ x  a‬وغيةةخ ندخ ةةد عشةةج الشقط ة‬ ‫افداا ا‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪. lim ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪lim  x‬‬ ‫مثال‪ :‬أحسب النهايتان‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫احلل‪ :‬من الرسم السابق نجد أن‬ ‫وبالسثل ةسكا تدخ ف الشااةات الغيخ نشتاي اليسشي واليدخي كسا بالخسم‪:‬‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫اخلط التقاربي الراسي‪:‬‬ ‫يسمي المستقيم ‪ x  a‬بالخط التقا بي الخاسي إذا تحققت احجي الشااةات التالي ‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد الخط التقاربي الراسي للدوال التالي ‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪(1) f (x ) ‬‬ ‫‪(2) f (x ) ‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪(3) f (x ) ‬‬ ‫‪(4) f (x )  tan x‬‬ ‫‪x 2 4‬‬ ‫‪(5) f (x )  cot x‬‬ ‫‪(6) f (x )  ln x‬‬ ‫‪56‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫احلل‪)6( :‬‬ ‫نا الخسم الدابق اجج أ‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪. f (x ) ‬‬ ‫وبالتالي ا السدتقيم ‪ x  3‬ةسثل خط تقا بي أسي لمسشحشي‬ ‫‪x 3‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫نا الخسم الدابق اجج أ‬ ‫‪56‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ x 2. f (x )  ‫ ةسثل خط تقا بي أسي لمسشحشي‬x  3 ‫وبالتالي ا السدتقيم‬ x 3 ‫) ادمم أ‬3(  x 2   x 2   1  1 lim  2   lim   x  2  x  2    lim  x  2   0   x 2  x  4  x 2   x 2    x 2   x 2   1  1 lim  2   lim    lim       x 2  x  4  x 2     x  2  x  2   x 2   x  2  0 x 2. f (x )  ‫ ةسثل خط تقا بي أسي لمسشحشي‬x  2 ‫وبالتالي ا السدتقيم‬ x 2 4 sin x ‫ وبالتالي أ‬f (x )  tan x  ‫) ادمم أ‬4( cos x x   3 ,  5 ,  7 ,....... ‫وبالسثل عشج كل الشقاط‬ 2 2 2   2n  1   ‫ تسثل خطنط تقا بي أسي‬x  x  : n is int eger  ‫وبالتالي ا السدتقيسات‬  2 . f (x )  tan x ‫لمسشحشي‬ 56 ‫ صالح الدين عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫‪lim ln x   ‬‬ ‫(‪ )6‬ادمم أ‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪. f (x )  ln x‬‬ ‫وبالتالي ا السدتقيم ‪ x  0‬ةسثل خط تقا بي أسي لمسشحشي‬ ‫قىانني النهايات‪:‬‬ ‫بفرض أن ‪ C‬مقدار ثابا وأن النهايتين ‪ lim f (x )  , lim  g (x ) ‬موجودتين فان‪:‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪56‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫‪ x n  an ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪12.‬‬ ‫‪lim  x  a   n a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x n  an  n‬‬ ‫‪n m‬‬ ‫‪13.‬‬ ‫‪lim  x m  a m   m a ‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫مثال‪ :‬أحسب النهاياا التالي مع توضيح الخطواا‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫‪56‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫ أحسب النهاياا التالي‬:‫مثال‬  x 2  1 x 2  x  6 (1) lim   (2) lim  x 2  x 1  x  1  x 2   :‫احلل‬  x 2  1   x  1 x  1  (1) lim  x  1   lim    lim  x  1  2 x 1   x 1  x 1  x 1 x 2  x  6   x  2  x  3  (2) lim  x  2   lim    lim  x  3  5 x 2   x 2  x 2  x 2 ‫ أحسب النهاياا التالي‬:‫مثال‬   3  h 2  9   t 2  9  3 (1) lim   (2) lim   h 0   h  x 0   t2    3  h 2  9    9  6h  h 2   9   h 6  h   (1) lim    lim    lim    6 :‫احلل‬ h 0  h 0    h   h  h 0  h  55 ‫ صالح الدين عباس أحمد‬/‫د‬.‫أ‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫‪lim x  0‬‬ ‫مثال‪ :‬أثبا أن‬ ‫‪x 0‬‬ ‫احلل‪ :‬نعلم أن‬ ‫‪lim x  0‬‬ ‫ولحلك أ‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫غيخ ننجن ة‪.‬‬ ‫‪lim  x ‬‬ ‫مثال‪ :‬أثبا أن‬ ‫‪x 0  ‬‬ ‫احلل‪ :‬من تعريف دال المقياس‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ /‬صالح الدين عباس أحمد‬ ‫تفاضل وتكامل‬ ‫النهايات‬ ‫‪ x ‬‬ ‫غير موجودة‬ ‫‪lim  x ‬‬ ‫ولذلك‬ ‫‪x 0  ‬‬ ‫إذا كاات‬ ‫‪lim  f (x )‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد‬ ‫‪x 4‬‬ ‫احلل‪:‬?