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‫الكورس‬ ‫الصف‬ ‫الثاني عرش‬ ‫األول‬ ‫علمي‬ ‫‪WWW.TMKN.COM‬‬ ‫الكورس‬ ‫األول‬  ‫اﻟﻔﻬﺮس‬...

‫الكورس‬ ‫الصف‬ ‫الثاني عرش‬ ‫األول‬ ‫علمي‬ ‫‪WWW.TMKN.COM‬‬ ‫الكورس‬ ‫األول‬  ‫اﻟﻔﻬﺮس‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة اﻷوﻟﻰ‪:‬اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت واﻻﺗﺼﺎل‬ ‫‪٢.......................................................................................................................................‬‬ ‫اﻟﻨﻬﺎﯾﺎت‬ ‫‪٢١......................................................................................................‬‬ ‫ﻧﻬﺎﯾﺎت ﺗﺸﻤﻞ ‪∞ ، − ∞.‬‬ ‫‪٢٤......................................................................................................‬‬ ‫ﺻﯿﻎ ﻏﯿﺮ ﻣﻌﯿﻨﺔ‬ ‫‪٣ ٠.........................................................................................‬‬ ‫ﻧﻬﺎﯾﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﳌﺜﻠﺜﯿﺔ‬ ‫‪٣٧...................................................................................................................................‬‬ ‫اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﻧﻈﺮﯾﺎت اﻻﺗﺼﺎل ‪٤١...................................................................................................................................‬‬ ‫اﻻﺗﺼﺎل ‪.‬ﻓﺘﺮة ‪٤٩...............................................................................................................................‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪:‬اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس ‪٥٧........................................................................................................................................‬‬ ‫‪٥٨..............................................................................................................‬‬ ‫اﳌﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪٧٣....................................................................................................‬‬ ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫‪٨١......................................................................................................‬‬ ‫ﻣﺸﺘﻘﺎت اﻟﺪوال اﳌﺜﻠﺜﯿﺔ‬ ‫‪٨٦.....................................................................................................................‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫‪٩٤.......................................................................‬‬ ‫ﻣﺸﺘﻘﺎت ذات اﻟﺮﺗﺐ اﻟﻌﻠﯿﺎ واﻻﺷﺘﻘﺎق اﻟﻀﻤﻨﻲ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪:‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫‪١٠٤...................................................................‬‬ ‫اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻘﺼﻮى)اﻟﻌﻈﻤﯽ ‪ /‬اﻟﺼﻐﺮى (ﻟﻠﺪوال‬ ‫‪١١٤...........................................................................................................‬‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪ وﺗﻨﺎﻗﺺ اﻟﺪوال‬ ‫رﺑﻂ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﯽ ´𝒇𝒇 واﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ´´𝒇𝒇‪١١٩...................................................................................‬‬ ‫‪١٢٦..............................................................................................‬‬ ‫رﺳﻢ ﺑﯿﺎن دوال ﮐﺜﯿﺮات اﻟﺤﺪو‬ ‫‪١ ٣ ٣...............................................................................................‬‬ ‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت ‪.‬اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻘﺼﻮى‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺮاﺑﻌﺔ‪:‬اﻹﺣﺼﺎء‬ ‫‪١٤١...................................................................................................................‬‬ ‫اﻟﺘﻘﺪﯾﺮ‬ ‫اﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻔﺮوض اﻹﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ‪١٤٧............................................................................................................‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫ا ﻟ ﺸ ﮑ ﻞ ا ﳌ ﻘ ﺎﺑ ﻞ ‪ ،‬ﯾ ﻤ ﺜ ﻞ ﺑ ﯿ ﺎن ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ ‪ ،‬أ و ﺟ ﺪ إ ن أ ﻣﮑ ﻦ ‪:‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏→𝒙𝒙‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟒𝟒‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐&→𝒙𝒙‬ ‫ا ﻟ ﺸ ﮑ ﻞ ا ﳌ ﻘ ﺎﺑ ﻞ ‪ ،‬ﯾ ﻤ ﺜ ﻞ ﺑ ﯿ ﺎن ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ ‪ ،‬أ و ﺟ ﺪ إ ن أ ﻣﮑ ﻦ ‪:‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝟏𝟏&→𝒙𝒙‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟒𝟒‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟑𝟑→𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪2‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫اﻟﺸﮑﻞ اﳌﻘﺎﺑﻞ‪ ،‬ﯾﻤ ﺜﻞ ﺑﯿﺎن اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈‪ ،‬أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ‪:‬‬ ‫س‬ ‫)𝒕𝒕(𝒈𝒈 !𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏‬ ‫)𝒕𝒕(𝒈𝒈 "𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐‬ ‫𝟒𝟒&→𝒕𝒕‬ ‫𝟒𝟒&→𝒕𝒕‬ ‫‪٣‬‬ ‫)𝒕𝒕(𝒈𝒈 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑‬ ‫)𝟒𝟒‪𝟒𝟒) 𝒈𝒈(−‬‬ ‫𝟒𝟒&→𝒕𝒕‬ ‫‪3‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫𝟑𝟑‪𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟕𝟕 , 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = −‬‬ ‫ﺑ ﻔ ﺮض أ ن ‪:‬‬ ‫س‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈‪𝟖𝟖 𝒇𝒇(𝒙𝒙).‬‬ ‫))𝒙𝒙(𝒈𝒈 ‪𝟏𝟏) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥( 𝒇𝒇(𝒙𝒙) +‬‬ ‫))𝒙𝒙(𝒈𝒈 ‪𝟐𝟐) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥( 𝒇𝒇(𝒙𝒙).‬‬ ‫(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑‬ ‫أوﺟﺪ ‪) :‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈‪𝒇𝒇(𝒙𝒙)+‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪4‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫)𝟏𝟏𝟏𝟏 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟏𝟏→𝒙𝒙‬ ‫𝟔𝟔‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙+‬‬ ‫))𝟏𝟏 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ( 𝟑𝟑𝟑𝟑(𝟐𝟐𝟐𝟐 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٧‬‬ ‫𝟓𝟓‪𝒙𝒙→&𝟎𝟎.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫إذا ﮐﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = :𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 : 𝒙𝒙 < 𝟐𝟐 :‬ﻓﺄوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫س‪٨‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐 > 𝒙𝒙 ‪𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 :‬‬ ‫𝒙𝒙 ‪𝒙𝒙𝟑𝟑 +‬‬ ‫𝟏𝟏 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝒙𝒙 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3‬ﻓﺄوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝒙𝒙(𝒇𝒇 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫إذا ﮐﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈 ‪:‬‬ ‫س‪٩‬‬ ‫𝟏𝟏→𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪6‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫)|𝟐𝟐 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (𝒙𝒙𝟐𝟐 − |𝒙𝒙 +‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫𝟐𝟐&→𝒙𝒙‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟑𝟑 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 √𝒙𝒙 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١١‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟓𝟓 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 √𝒙𝒙𝟐𝟐 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٢‬‬ ‫𝟓𝟓→𝒙𝒙‬ ‫‪7‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫𝟓𝟓) 𝟏𝟏 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ( 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٣‬‬ ‫𝟏𝟏&→𝒙𝒙‬ ‫𝟒𝟒‬ ‫‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍8𝒙𝒙 + √𝒙𝒙 9‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٤‬‬ ‫𝟒𝟒→𝒙𝒙‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟓𝟓‪/ 𝒙𝒙𝟑𝟑 &𝟒𝟒𝟒𝟒+‬‬ ‫س ‪١٥‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫𝟏𝟏&→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪8‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ ‫𝟐𝟐&𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 ‪/‬‬ ‫س ‪١٦‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫𝟑𝟑→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‬ ‫‪9‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝟏𝟏→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙& 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟑𝟑𝟑𝟑+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝟐𝟐&→𝒙𝒙‬ ‫𝟒𝟒& 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪10‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟖𝟖&𝟑𝟑)𝒙𝒙‪(𝟐𝟐+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟗𝟗& 𝟐𝟐)𝟒𝟒‪(𝒙𝒙+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٤‬‬ ‫𝟕𝟕&→𝒙𝒙‬ ‫𝟕𝟕𝟕𝟕‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫|𝟏𝟏‪|𝒙𝒙/‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙→𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 /‬‬ ‫𝟕𝟕‪|𝒙𝒙+𝟐𝟐|/‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝟓𝟓→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐‪𝒙𝒙𝟐𝟐 /‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪12‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫|𝟐𝟐‪|𝒙𝒙+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٧‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙→&𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟑𝟑𝟑𝟑+‬‬ ‫𝟏𝟏𝟏𝟏&𝟐𝟐)𝒙𝒙‪(𝟒𝟒+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٨‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫‪13‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟏𝟏& 𝟑𝟑&𝟐𝟐𝟐𝟐√‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٩‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪14‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟑𝟑& 𝟓𝟓‪/𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐& 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫‪15‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟗𝟗&𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١١‬‬ ‫𝒙𝒙√&𝟑𝟑 𝟗𝟗→𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏&𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٢‬‬ ‫𝟏𝟏&𝒙𝒙√ 𝟏𝟏→𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪16‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟒𝟒& 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٣‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙→&𝟐𝟐 √𝒙𝒙+‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟏𝟏‪/𝒙𝒙𝟑𝟑+‬‬ ‫س ‪١٤‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫𝟏𝟏&→𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏‪√𝒙𝒙+‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟑𝟑‪𝒙𝒙𝟑𝟑 &𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 &𝟒𝟒𝟒𝟒+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٥‬‬ ‫𝟑𝟑→𝒙𝒙‬ ‫𝟑𝟑&𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐‪&𝒙𝒙𝟓𝟓 +𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒙𝒙+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٦‬‬ ‫𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪18‬‬  ‫إﻟﻐﺎء اﻟﻌﺎﻣﻞ اﻟﺼ ﻔﺮي‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫(𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫‪−٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫معلق )‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٧‬‬ ‫𝟏𝟏→𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏&𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏& 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫‪19‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ WWW.TMKNKW.COM 20  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺗﺸﻤﻞ ﻋﻠﻰ ∞‪±‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ)‪:(10‬‬ ‫إذا ﮐﺎن 𝒏𝒏 ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ زوﺟﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫إذا ﮐﺎن 𝒏𝒏 ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻓﺮدي ﻣﻮﺟﺐ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏‬ ‫∞=‬ ‫!𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫𝒏𝒏)𝒄𝒄 ‪𝒙𝒙→𝒄𝒄 (𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝒄𝒄→𝒙𝒙‬ ‫𝒏𝒏)𝒄𝒄 ‪(𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫"𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫𝒄𝒄→𝒙𝒙‬ ‫𝒏𝒏)𝒄𝒄 ‪(𝒙𝒙 −‬‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫| 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪١‬‬ ‫|𝟐𝟐)𝒙𝒙 𝟐𝟐→𝒙𝒙‬ ‫‪21‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺗﺸﻤﻞ ﻋﻠﻰ ∞‪±‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫|𝟏𝟏‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒙𝒙+‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝟏𝟏&→𝒙𝒙‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪22‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫)𝟏𝟏 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 +‬‬ ‫أوﺟد‬ ‫س‪٣‬‬ ‫‪𝒙𝒙→7‬‬ ‫)𝟒𝟒 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(−𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٤‬‬ ‫‪𝒙𝒙→7‬‬ ‫)𝟒𝟒 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (−𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 −‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٥‬‬ ‫‪𝒙𝒙→&7‬‬ ‫)𝟓𝟓 ‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 +‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٦‬‬ ‫‪𝒙𝒙→&7‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ)‪:(11‬‬ ‫إذا ﮐﺎﻧﺖ ﮐﻞ ﻣﻦ 𝒈𝒈 ‪ 𝒇𝒇,‬داﻟﺔ ﺣﺪودﯾﺔ‪:‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ 𝒇𝒇‬ ‫)𝟏𝟏‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫=‬ ‫ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟﺒ ﺴ ﻂ = ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟ ﻤ ﻘ ﺎﻡ‬ ‫‪𝒙𝒙→±+‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ 𝒈𝒈‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫)𝟐𝟐‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫𝟎𝟎 =‬ ‫ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟﺒ ﺴ ﻂ ﺃﺻ ﻐ ﺮ ﻣ ﻦ ﺩ ﺭ ﺟ ﺔ ﺍﻟ ﻤ ﻘ ﺎﻡ‬ ‫‪𝒙𝒙→±+‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫)𝒂𝒂‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أ و ﺟ ﺪ إ ن أ ﻣ ﮑﻦ ‪:‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙 ‪𝒙𝒙→7‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙+‬‬ ‫)𝒃𝒃‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟗𝟗‪𝒙𝒙→&7 𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟑𝟑 &𝟑𝟑𝟑𝟑+‬‬ ‫)𝒄𝒄‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫‪𝒙𝒙→7‬‬ ‫𝟓𝟓‪𝒙𝒙𝟑𝟑 +‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪−𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 +‬‬ ‫)𝒅𝒅‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝒙𝒙→+7 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 +‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐𝟐𝟐𝟐 +‬‬ ‫)𝒆𝒆‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫‪𝒙𝒙→&7‬‬ ‫𝟑𝟑 ‪𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 ‪𝟒𝟒 −‬‬ ‫)𝒇𝒇‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟓𝟓 ‪𝒙𝒙→7 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 +‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 −‬‬ ‫)𝒈𝒈‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫‪𝒙𝒙→&7‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 −‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝒙𝒙𝟒𝟒 −‬‬ ‫)𝒉𝒉‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 ‪𝒙𝒙→&7 𝟕𝟕 −‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪24‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫𝟑𝟑‪𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝒃𝒃𝒃𝒃+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﮐﻞ ﻣﻦ اﻟﺜﺎﺑﺘﯿﻦ 𝒃𝒃 ‪ 𝒂𝒂 ,‬إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝟑𝟑 =‬ ‫س‪٢‬‬ ‫‪𝒙𝒙→7‬‬ ‫𝟓𝟓‪𝟐𝟐𝟐𝟐+‬‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ﮐﻞ ﻣﻦ اﻟﺜﺎﺑﺘﯿﻦ 𝒃𝒃 ‪ 𝒂𝒂 ,‬إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝟏𝟏‪= −‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝟑𝟑&𝒃𝒃𝒃𝒃‪𝒙𝒙→7 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫𝟐𝟐&𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٤‬‬ ‫𝟒𝟒&𝟐𝟐𝟐𝟐‪𝒙𝒙→7 /𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪26‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫𝟓𝟓&𝟑𝟑𝟑𝟑‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟗𝟗&𝟐𝟐𝒙𝒙‪𝒙𝒙→&7 /‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫𝒙𝒙& 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐‪/‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٦‬‬ ‫‪𝒙𝒙→7‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙+‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪28‬‬  ‫ﺻﻴﻎ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ 29 WWW.TMKNKW.COM  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻣﻬﻤﺔ‬ ‫ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻣﻬﻤﺔ‬ ‫𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫)𝟏𝟏‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫𝟏𝟏 =‬ ‫𝟎𝟎 = )𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟏𝟏‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕‬ ‫)𝟐𝟐‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫𝟏𝟏 =‬ ‫𝟎𝟎 = )𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟐𝟐‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙𝒂𝒂𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫𝒂𝒂‬ ‫)𝟑𝟑‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫=‬ ‫𝟏𝟏 = )𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟑𝟑‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙𝒃𝒃‬ ‫𝒃𝒃‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙𝒂𝒂𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕‬ ‫𝒂𝒂‬ ‫)𝟒𝟒‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫=‬ ‫𝟏𝟏 = )𝒙𝒙𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 )𝟒𝟒‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙𝒃𝒃‬ ‫𝒃𝒃‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙𝒃𝒃‬ ‫𝒃𝒃‬ ‫)𝟓𝟓‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥‬ ‫=‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙𝒂𝒂𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫𝒂𝒂‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 & 𝟏𝟏 𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪30‬‬  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝟏𝟏 & 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝒙𝒙& 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫‪31‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ‪𝟓𝟓 𝒙𝒙+‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٤‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙 & 𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪32‬‬  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟑𝟑 & 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟓𝟓‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟒𝟒𝟒𝟒‬ ‫𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟑𝟑𝟑𝟑 ‪𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٧‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟓𝟓𝟓𝟓‬ ‫‪33‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝒙𝒙 ‪𝟑𝟑 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 +‬‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٨‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟓𝟓𝟓𝟓‬ ‫𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝟐𝟐 & 𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪٩‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟑𝟑𝟑𝟑‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪34‬‬  ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫𝟑𝟑&𝒙𝒙‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝒙𝒙 𝟐𝟐𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١١‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٢‬‬ ‫𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫‪35‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔‬ ‫𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س ‪١٣‬‬ ‫𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 𝟎𝟎→𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪36‬‬  ‫اﻻّﺗﺼﺎل‬ ‫𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 ‪𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙 :‬‬ ‫< = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 ‪:‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙+‬‬ ‫𝟗𝟗& 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = E‬اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 ‪: 𝒙𝒙 > 𝟑𝟑 :‬‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝟑𝟑&𝒙𝒙‬ ‫𝟕𝟕‬ ‫𝟑𝟑 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻻّﺗﺼﺎل‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐𝟐𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟐𝟐 < 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝟏𝟏 ? = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼ ﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇 ‪: 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 :‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟐𝟐 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫|𝟏𝟏‪|𝒙𝒙+‬‬ ‫𝟏𝟏‪− 𝟐𝟐𝒙𝒙 : 𝒙𝒙 ≠ −‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏‪ 𝒙𝒙 = −‬ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙+‬‬ ‫س‪٤‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 = −‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪38‬‬  ‫اﻻّﺗﺼﺎل‬ ‫𝟒𝟒‪𝒙𝒙𝟐𝟐 /𝟑𝟑𝟑𝟑/‬‬ ‫‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3‬‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 ≠ −‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏‪ 𝒙𝒙 = −‬ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙+‬‬ ‫𝟏𝟏‪−‬‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 = −‬‬ ‫𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟐𝟐𝒙𝒙‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫|𝒙𝒙| ‪C‬‬ ‫𝟎𝟎 ≠ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫اﺑﺤ ﺚ اﺗﺼ ﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝟑𝟑‪−‬‬ ‫𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻻّﺗﺼﺎل‬ WWW.TMKNKW.COM 40  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﻗﻮﺍﻋﺪ ﻣﻬﻤﺔ‪:‬‬ ‫‪ (1‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒌𝒌 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﺣﯿﺚ 𝑘𝑘 ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪𝑐𝑐 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ (٢‬داﻟﺔ ﮐﺜﯿﺮة اﻟﺤﺪود ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪𝑐𝑐 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ (٣‬اﻟﺪاﻟﺔ |𝒙𝒙| = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪𝑐𝑐 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ (٤‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪𝑐𝑐 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ (٥‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪𝑐𝑐 ∈ ℝ‬‬ ‫‪ (٦‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ 𝑐𝑐 ﯾﻨﺘﻤﻲ ﳌﺠﺎﻟﻬﺎ أي 𝐷𝐷 ∈ 𝑐𝑐‬ ‫𝒇𝒇‬ ‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ 𝑐𝑐 ﯾﻨﺘﻤﻲ ﳌﺠﺎﻟﻬﺎ أي 𝐷𝐷 ∈ 𝑐𝑐‬ ‫‪ (٧‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺤﺪودﯾﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‬ ‫𝒈𝒈‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ)‪:(14‬‬ ‫إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝒈𝒈 ‪ 𝒇𝒇,‬داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻨﺪ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ هﻲ دوال ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥‬ ‫𝑔𝑔 ‪1) 𝑓𝑓 +‬‬ ‫اﻟﺟ ﻣ ﻊ‬ ‫𝑔𝑔 ‪2) 𝑓𝑓 −‬‬ ‫اﻟط ر ح‬ ‫𝑓𝑓 ‪3) 𝑘𝑘.‬‬ ‫𝑅𝑅 ∈ 𝑘𝑘‬ ‫اﻟﺿ ر ب ﻓ ﻲ ﺛ ﺎ ﺑ ت ∶‬ ‫𝑔𝑔 ‪4) 𝑓𝑓.‬‬ ‫اﻟﺿ ر ب‬ ‫𝑓𝑓‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪𝑔𝑔(𝑐𝑐 ) ≠ 0‬‬ ‫اﻟﻘﺳ ﻣ ﺔ‬ ‫𝑔𝑔‬ ‫𝝅𝝅‬ ‫𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 −‬‬ ‫= 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫‪41‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫|𝒙𝒙| ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟑𝟑 +‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟑𝟑 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝒙𝒙 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕‬ ‫𝝅𝝅‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫= 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙+‬‬ ‫𝟒𝟒‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪42‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟐𝟐 /‬‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫‪−‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙/‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺔ)‪:(15‬‬ ‫𝒏𝒏‬ ‫𝒂𝒂( اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ 𝒙𝒙√ = 𝒚𝒚 ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪ 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∶ 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅 0‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ زوﺟﻲ ﻣﻮﺟﺐ‪،‬‬ ‫وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ ‪ 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∶ 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅 0‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ ﻓﺮدي أﮐﺒﺮ ﻣﻦ ‪.١‬‬ ‫𝒃𝒃( إذا ﮐﺎﻧﺖ 𝒇𝒇 داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥 وﮐﺎﻧﺖ ‪𝑓𝑓(𝑐𝑐) > 0‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ‪ 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = [𝑓𝑓(𝑥𝑥) :‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ 𝑐𝑐 = 𝑥𝑥‬ ‫𝟑𝟑 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 +‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐‪ 𝒙𝒙 = −‬ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝒙𝒙√‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐‪ 𝒙𝒙 = −‬ﺣﯿﺚ‬ ‫س‪٧‬‬ ‫𝟒𝟒‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪44‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪ :‬إذا ﮐﺎﻧﺖ ﮐﻞ ﻣﻦ 𝒇𝒇 ‪ 𝒈𝒈,‬داﻟ ﺘﯿﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿ ﺘﯿﻦ وﮐﺎن ﻣﺪى اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﻦ‬ ‫))𝒙𝒙(𝒇𝒇(𝒈𝒈 = )𝒙𝒙()𝒇𝒇 ∘ 𝒈𝒈( = )𝒙𝒙(𝒉𝒉‬ ‫ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈 ﻓﺈﻧﻪ ﯾ ﺘﻌﯿﻦ داﻟﺔ ﻣﺮﮐﺒﺔ 𝒉𝒉‪:‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ 𝒈𝒈 ‪ 𝒇𝒇,‬ﻣﻌﺮﻓﺘﺎن ‪ ℝ C‬ﮐﻤﺎ ﯾﻠﻲ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 , 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 :‬‬ ‫س‪٨‬‬ ‫)𝒙𝒙()𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈(‬ ‫)𝟏𝟏‪(𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈)(−‬‬ ‫)𝒙𝒙()𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇(‬ ‫)𝟏𝟏‪(𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇)(−‬‬ ‫ﻓ ﺄ وﺟﺪ ‪:‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒈𝒈 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ,‬ﻓﺄوﺟﺪ‪(𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇)(𝒙𝒙) ، (𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈)G√𝟑𝟑H :‬‬ ‫ﻟ ﺘ ﮑﻦ‪:‬‬ ‫س‪٩‬‬ ‫𝟒𝟒‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 ، 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 + 𝟕𝟕 :‬اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐‪𝒙𝒙 = −‬‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓 , 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 :‬اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈𝒈 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐‪𝒙𝒙 = −‬‬ ‫س ‪١١‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪46‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫|𝒙𝒙|‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇 اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ‪, 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 :‬‬ ‫س ‪١٢‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙+‬‬ ‫‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = J𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐J‬‬ ‫اﺑﺤﺚ اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ‬ ‫س ‪١٣‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻧﻈﺮ ﻳﺎت اﻻﺗﺼﺎل‬ WWW.TMKNKW.COM 48  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﻌﺮﻓﺔ ‪ D‬اﻟﻔﺘﺮة )𝒃𝒃 ‪ (𝒂𝒂,‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل أن اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ D‬اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ)𝒃𝒃 ‪ (𝒂𝒂,‬إذا ﮐﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ﮐﻞ 𝒙𝒙 ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﯽ اﻟﻔﺘﺮة )𝒃𝒃 ‪(𝒂𝒂,‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﻌﺮﻓﺔ ‪ D‬اﻟﻔﺘﺮة ]𝒃𝒃 ‪ [𝒂𝒂,‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ﻋﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ D‬اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫اﳌﻐﻠﻘﺔ ]𝒃𝒃 ‪ [𝒂𝒂,‬إذا ﺗﺤﻘﻘﺖ اﻟﺸﺮوط اﻟﺜﻼث اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬ ‫‪ (1‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ b‬اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ)𝒃𝒃 ‪(𝒂𝒂,‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ 𝒂𝒂 = 𝒙𝒙 ﻣﻦ ﺟﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ أي أن‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒂𝒂) :‬‬ ‫"𝒂𝒂→𝒙𝒙‬ ‫‪ (3‬اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ 𝒃𝒃 = 𝒙𝒙 ﻣﻦ ﺟﻬﺔ اﻟﯿﺴﺎر أي أن‪𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒃𝒃) :‬‬ ‫!𝒃𝒃→𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐‪−‬‬ ‫𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝟑𝟑 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = ? 𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ [𝟏𝟏, 𝟑𝟑] b‬ﺣﯿﺚ‪:‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝟑𝟑 < 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏 ‪:‬‬ ‫𝟔𝟔‬ ‫𝟑𝟑 = 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫‪:‬‬ ‫𝟏𝟏 = 𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟐𝟐 0‬‬ ‫` = )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ [𝟏𝟏, 𝟓𝟓]b‬ﺣﯿﺚ ‪: 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 < 𝟓𝟓 :‬‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐‬ ‫‪:‬‬ ‫𝟓𝟓 = 𝒙𝒙‬ ‫𝟓𝟓‬ ‫ا د ر س ا ﺗ ﺼ ﺎل ﮐ ﻞ ﻣ ﻦ ا ﻟ ﺪ و ا ل ا ﻟ ﺘ ﺎﻟ ﯿ ﺔ ‪ d‬ا ﻟ ﻔ ﺘ ﺮ ة ا ﳌ ﺒ ﯿ ﻨ ﺔ ‪:‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐𝟐𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 )𝒂𝒂‬ ‫]𝟑𝟑 ‪, [𝟎𝟎 ,‬‬ ‫𝟐𝟐 = )𝒙𝒙(𝒈𝒈 )𝒃𝒃‬ ‫]𝟐𝟐 ‪, [𝟎𝟎 ,‬‬ ‫𝟐𝟐 ‪𝒙𝒙 +‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝒙𝒙 −‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪50‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫𝟑𝟑 ‪𝒙𝒙 +‬‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 ≤ −‬‬ ‫‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = E‬‬ ‫𝟒𝟒‬ ‫ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ D‬ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫س‪٤‬‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 > −‬‬ ‫𝟑𝟑‪𝒙𝒙+‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫𝒂𝒂 ‪𝒙𝒙𝟐𝟐 −‬‬ ‫𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝟐𝟐 ? = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ b‬ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ‪ ℝ‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑ ﺘﯿﻦ 𝒃𝒃 ‪𝒂𝒂 ,‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ‪∶ 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 :‬‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝒃𝒃 ‪𝒂𝒂𝒂𝒂 +‬‬ ‫𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 ∶‬ ‫𝟓𝟓‬ ‫𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝒃𝒃 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = C𝒂𝒂𝒂𝒂 +‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪[𝟏𝟏, 𝟒𝟒] b‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇‪∶ 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 < 𝟒𝟒 :‬‬ ‫𝟖𝟖 ‪𝒃𝒃 +‬‬ ‫𝟒𝟒 = 𝒙𝒙 ∶‬ ‫س‪٧‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻢ اﻟﺜﺎﺑﺘﯿ ﻦ 𝒃𝒃 ‪𝒂𝒂 ,‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪52‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫أوﺟﺪ 𝒇𝒇𝑫𝑫 ﺛﻢ ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ [−𝟓𝟓, 𝟎𝟎] C‬ﺣﯿﺚ 𝟐𝟐𝟐𝟐 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟐𝟐 −‬‬ ‫س‪٨‬‬ ‫𝟏𝟏𝟏𝟏 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟕𝟕𝟕𝟕 +‬‬ ‫ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ [𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟏𝟏] D‬ﺣﯿﺚ‬ ‫س‪٩‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝟗𝟗 −‬‬ ‫أوﺟﺪ 𝒇𝒇𝑫𝑫 ﺛﻢ ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ [−𝟑𝟑, 𝟑𝟑] C‬ﺣﯿﺚ‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫𝟑𝟑 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √−𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟒𝟒 −‬‬ ‫ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ [𝟏𝟏, 𝟑𝟑] D‬ﺣﯿﺚ‬ ‫س ‪١١‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪54‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ :‬ﻧﺎﺗﺞ ﺗﺮﮐﯿﺐ داﻟﺘﯿﻦ ﮐﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ ℝ b‬هﻮ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ℝ b‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √−𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 :‬ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ‪ℝ D‬‬ ‫س ‪١٢‬‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪56‬‬  ‫ﻣﻴﻞ اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫)𝒂𝒂(𝒇𝒇))𝒉𝒉‪𝒇𝒇(𝒂𝒂0‬‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس‬ ‫𝒉𝒉‬ ‫ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس ﳌﻨﺤﻨ ﯽاﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ))𝑎𝑎(𝑓𝑓 ‪ ، (𝑎𝑎,‬هﻮ‬ ‫𝟎𝟎→𝒉𝒉‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎسّ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﳌﮑﺎﻓ ﺊ 𝟐𝟐 ‪ 𝒚𝒚 = (𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)𝟐𝟐 +‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )𝟑𝟑 ‪𝑨𝑨(𝟏𝟏,‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺒﺪﻳﻠﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻻﺷﺘﻘﺎﻕ‬ ‫ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 ‪ ،‬هﻲ )𝑎𝑎( ‪𝑓𝑓 ¢‬‬ ‫ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 ‪ ،‬هﻲ )𝑎𝑎( ‪𝑓𝑓 ¢‬‬ ‫)𝒂𝒂(𝒇𝒇 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) −‬‬ ‫)𝒂𝒂(𝒇𝒇 ‪𝒇𝒇(𝒂𝒂 + 𝒉𝒉) −‬‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = )𝒂𝒂( ‪𝒇𝒇¢‬‬ ‫𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 = )𝒂𝒂( ‪𝒇𝒇¢‬‬ ‫𝒂𝒂→𝒙𝒙‬ ‫𝒂𝒂 ‪𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝟎𝟎→𝒉𝒉‬ ‫𝒉𝒉‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ‪ ،‬أوﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 :‬ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐‪.𝒙𝒙 = −‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪58‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘ ﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮ ﯾﻒ اﻟﺒﺪﯾ ﻞ‪ ،‬أوﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 :‬ﻋﻨﺪ 𝒂𝒂 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ 𝟎𝟎 > 𝒂𝒂‬ ‫س‪٢‬‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝒃𝒃 = 𝒙𝒙 ﺣﯿﺚ 𝟎𝟎 ≠ 𝒃𝒃‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺸﺘﻘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇‪:‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫‪59‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝒙𝒙 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = P‬ﻟﻬﺎ ﻣﺸﺘﻘّﺔ ﻟﺠﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ‬ ‫𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫ﺑﯿّﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ‪:‬‬ ‫𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 ‪𝟐𝟐𝟐𝟐 :‬‬ ‫س‪٤‬‬ ‫وﻣﺸﺘﻘّﺔ ﻟﺠﻬّﺔ اﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙‪ ،‬ﻟﮑﻦ ﻟﯿﺲ ﻟﻬﺎ ﻣﺸﺘﻘّﺔ ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪60‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = |𝒙𝒙 − 𝟐𝟐| :‬اﺑﺤﺚ ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙‬ ‫س‪٥‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 ≤ −‬‬ ‫𝒙𝒙‬ ‫𝟏𝟏‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = Q‬ﺑﯿّﻦ أن ﻟﻠﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻣﺸﺘﻘّﺔ‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫ﻟ ﺘﮑﻦ اﻟ ﺪ اﻟ ﺔ‪:‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫‪𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 > −‬‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫ﻟﺠﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻣﺴﺎوﯾﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘّﺔ ﻟﺠﻬّﺔ اﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏‪𝒙𝒙 = −‬‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪62‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝟑𝟑𝒙𝒙 = )𝒙𝒙(𝒇𝒇 أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ اﳌﺸﺘﻘﺔ إن وﺟﺪت‪.‬‬ ‫س‪٧‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝟐𝟐 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻌﺮﯾﻒ اﳌﺸﺘﻘﺔ‪.‬‬ ‫س‪٨‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪ (١‬رﮐﻦ‪ :‬ﺗﮑﻮن اﳌﺸﺘﻘﺘﺎن ﻣﻦ ﺟﻬﺔ اﻟﯿﻤﯿﻦ وﻣﻦ ‪ (٢‬ﻧﺎب‪ :‬ﯾﮑﻮن ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﯽ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺟﻬﺔ ﻟﯿﺴﺎر ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻘﺎء اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺴﺎوﯾﯿﻦ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺤﺪدة ﯾﻘﺘﺮب ﻣﻦ ∞ ‪ d‬إﺣﺪى اﻟﺠﻬﺎت‬ ‫وﯾﻘﺘﺮب ﻣﻦ ∞‪ d −‬اﻟﺠﻬﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = |𝒙𝒙| :‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫وﯾﻮﺟﺪ ﻣﻤﺎس رأﺳﻲ ﻣﺜﺎل‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙 :‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫‪ (٤‬ﻋﺪم اﺗﺼﺎل‪ :‬ﺗﮑﻮن ﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ واﺣﺪة‬ ‫‪ (٣‬ﻣﻤﺎس رأﺳﯿﺎ‪ :‬ﯾﮑﻮن اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﯽ ﻋﻨﺪ‬ ‫أو ﮐﻞ ﻣﻦ اﻟﺠﻬﺘﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﻮﺟﻮدة‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺤﺪدة رأﺳﯿﺎ‪.‬‬ ‫𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 ‪−١ :‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = O‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 :‬‬ ‫𝟎𝟎 ≥ 𝒙𝒙 ‪١ :‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝟒𝟒 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d 𝒙𝒙 −‬اﺑﺤﺚ ﻗﺎﺑﻠﯿ ﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻟﻠﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙‬ ‫𝟐𝟐 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ 𝒇𝒇‪:‬‬ ‫س‪٩‬‬ ‫𝟐𝟐 ‪𝟑𝟑𝟑𝟑 −‬‬ ‫𝟐𝟐 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪64‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝟏𝟏 ‪−𝒙𝒙 −‬‬ ‫‪: 𝒙𝒙 > −‬‬ ‫‪𝒙𝒙 = −‬‬ ‫‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = f‬ﺑﯿﻦ أن 𝒇𝒇 د اﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟓𝟓𝒙𝒙 +‬‬ ‫‪: 𝒙𝒙 ≤ −‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫‪65‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝟏𝟏 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = C‬ادرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏 = 𝒙𝒙 وﻗﺎﺑﻠﯿ ﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪهﺎ‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟐𝟐 0‬‬ ‫س ‪١١‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐𝟐𝟐𝟐 −‬‬ ‫𝟏𝟏 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫معلق ‪٢٠٢٥-٢٠٢٤‬‬ ‫ﻋ ﻨﺪهﺎ‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪66‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫𝟓𝟓 ‪𝒙𝒙 +‬‬ ‫𝟑𝟑 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫𝟐𝟐 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = R‬أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝟑𝟑( @𝒇𝒇 ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇‪:‬‬ ‫س ‪١٢‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝟑𝟑 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝒙𝒙 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = S 𝟐𝟐𝒙𝒙 +‬أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 ≤ −‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇‪:‬‬ ‫س ‪١٣‬‬ ‫𝟐𝟐 ‪𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 −‬‬ ‫𝟏𝟏‪: 𝒙𝒙 > −‬‬ ‫)𝟏𝟏‪. 𝒇𝒇@ (−‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪68‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫(‬ ‫)‬‫𝟐𝟐‬ ‫𝟏𝟏 ‪ 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = S 𝒙𝒙 +‬أوﺟﺪ إن أﻣﮑﻦ )𝟎𝟎( @𝒈𝒈‪.‬‬ ‫𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﮑﻦ اﻟﺪاﻟﺔ 𝒇𝒇‪:‬‬ ‫س ‪١٤‬‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝟐𝟐𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟎𝟎 > 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ WWW.TMKNKW.COM 70  ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺍﻋﺪ ﺍﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻻﺷﺘﻘﺎﻕ‬ ‫𝒌𝒌 = 𝒚𝒚 )𝟏𝟏‬ ‫𝟎𝟎 = ‪→ 𝒚𝒚¢‬‬ ‫𝒙𝒙 = 𝒚𝒚 )𝟐𝟐‬ ‫𝟏𝟏 = ‪→ 𝒚𝒚¢‬‬ ‫𝒏𝒏𝒙𝒙 = 𝒚𝒚 )𝟑𝟑‬ ‫𝟏𝟏)𝒏𝒏𝒙𝒙 ‪→ 𝒚𝒚¢ = 𝒏𝒏.‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 ‪𝟒𝟒) 𝒚𝒚 = 𝒌𝒌.‬‬ ‫)𝒙𝒙( ‪→ 𝒚𝒚¢ = 𝒌𝒌. 𝒇𝒇¢‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈 ‪𝟓𝟓) 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) +‬‬ ‫)𝒙𝒙( ‪→ 𝒚𝒚¢ = 𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙) + 𝒈𝒈¢‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈 ‪𝟔𝟔) 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) −‬‬ ‫)𝒙𝒙( ‪→ 𝒚𝒚¢ = 𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙) − 𝒈𝒈¢‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈 × )𝒙𝒙(𝒇𝒇 = 𝒚𝒚 )𝟕𝟕‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇 ‪→ 𝒚𝒚¢ = 𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙). 𝒈𝒈(𝒙𝒙) + 𝒈𝒈¢ (𝒙𝒙).‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫)𝒙𝒙(𝒇𝒇‪𝒇𝒇¢ (𝒙𝒙).𝒈𝒈(𝒙𝒙))𝒈𝒈¢ (𝒙𝒙).‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈 = 𝒚𝒚 )𝟖𝟖‬ ‫→‬ ‫= ‪𝒚𝒚¢‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫‪8𝒈𝒈(𝒙𝒙)9‬‬ ‫𝒌𝒌‬ ‫)𝒙𝒙( ‪)𝒌𝒌𝒈𝒈¢‬‬ ‫)𝒙𝒙(𝒈𝒈 = 𝒚𝒚 )𝟗𝟗‬ ‫→‬ ‫= ‪𝒚𝒚¢‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫‪8𝒈𝒈(𝒙𝒙)9‬‬ ‫𝟏𝟏‬ ‫𝒙𝒙√ = 𝒚𝒚 )𝟏𝟏𝟏𝟏‬ ‫𝟐𝟐 = ‪→ 𝒚𝒚¢‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪N𝒙𝒙K W. C O M‬‬ ‫√‪WWW. TMK‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫𝒅𝒅𝒅𝒅‬ ‫ﺣﯿﺚ 𝟔𝟔 ‪𝒚𝒚 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫أوﺟ ﺪ‬ ‫س‪١‬‬ ‫𝒅𝒅𝒅𝒅‬ ‫)𝟔𝟔 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 (𝒙𝒙 +‬‬ ‫أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن‬ ‫س‪٢‬‬ ‫أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن )𝟐𝟐 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = (𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏)(𝟑𝟑𝟑𝟑 −‬‬ ‫س‪٣‬‬ ‫𝟐𝟐 )𝟒𝟒 ‪𝒇𝒇(𝒙𝒙) = (𝒙𝒙𝟑𝟑 −‬‬ ‫أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن‬ ‫س‪٤‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪72‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫𝟐𝟐𝟐𝟐‪𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 +‬‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﺸ ﺘ ﻘ ﺔ‪:‬‬ ‫س‪٥‬‬ ‫𝟓𝟓‪𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 +‬‬ ‫𝒅𝒅𝒅𝒅‬ ‫𝟕𝟕‪𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐+‬‬ ‫ﻋﻨﺪ 𝟏𝟏‪𝒙𝒙 = −‬‬ ‫= 𝒚𝒚 أوﺟﺪ‬ ‫ﻟ ﺘ ﮑﻦ‬ ‫س‪٦‬‬ ‫𝒅𝒅𝒅𝒅‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙𝟖𝟖‬ ‫‪73‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﻇﻢ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)𝒂𝒂 ‪ (𝒙𝒙 −‬ﻣﯿﻞ اﻟﻨﺎﻇﻢ = )𝒂𝒂(𝒇𝒇 ‪𝒚𝒚 −‬‬ ‫)𝒂𝒂 ‪ (𝒙𝒙 −‬ﻣﯿﻞ اﳌﻤﺎس = )𝒂𝒂(𝒇𝒇 ‪𝒚𝒚 −‬‬ ‫𝟏𝟏‪𝒙𝒙𝟑𝟑 +‬‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫‪ (𝟏𝟏 ,‬ﳌﻨﺤﻨﯽ اﻟﺪاﻟﺔ‪:‬‬ ‫أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﻌ ﺎ د ﻟ ﺔ ا ﳌ ﻤ ﺎ س و ﻣ ﻌ ﺎ دﻟ ﺔ ا ﻟﻨ ﺎ ﻇ ﻢ ﻋ ﻨ ﺪ ا ﻟ ﻨ ﻘ ﻄ ﺔ )‬ ‫س‪٧‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟑𝟑‬ ‫𝟒𝟒&‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇‬ ‫أوﺟﺪ )𝒙𝒙( @𝒇𝒇 إذا ﮐﺎن‬ ‫س‪٩‬‬ ‫𝟓𝟓‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟐𝟐𝟐𝟐+‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪74‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫𝟒𝟒&𝟑𝟑𝟑𝟑‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟎𝟎 = 𝒙𝒙‬ ‫أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﻌﺎ د ﻟ ﺔ ا ﳌ ﻤ ﺎ س ﳌ ﻨ ﺤ ﻨ ﯽ ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ‪:‬‬ ‫س‪٨‬‬ ‫𝟐𝟐‪𝒙𝒙+‬‬ ‫𝟖𝟖‬ ‫= )𝒙𝒙(𝒇𝒇 ﻋﻨﺪ 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙‬ ‫أ و ﺟ ﺪ ﻣ ﻌﺎ د ﻟ ﺔ ا ﳌ ﻤ ﺎ س ﳌ ﻨ ﺤ ﻨ ﯽ ا ﻟ ﺪ ا ﻟ ﺔ‬ ‫س ‪١٠‬‬ ‫𝟐𝟐𝒙𝒙 ‪𝟒𝟒 +‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝟐𝟐 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d 𝒙𝒙 +‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ b‬ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أوﺟﺪ )𝒙𝒙( 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬ ‫‪76‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫𝟐𝟐‬ ‫𝟏𝟏 ‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d 𝒙𝒙 +‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ b‬ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أوﺟﺪ )𝒙𝒙( 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪WWW.TMKNKW.COM‬‬  ‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫𝟏𝟏 ‪𝒙𝒙𝟐𝟐 +‬‬ ‫𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 ‪:‬‬ ‫‪ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = d‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ‪ b‬ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ أوﺟﺪ )𝒙𝒙(