वर्ष-2020 गणित SET-1(MV) PDF

Summary

This document is a past mathematics paper from the year 2020. It contains a variety of questions and problems related to mathematics topics. This paper includes multiple choice questions and problems that are designed to assess the student's understanding of the underlying mathematical concepts and ability to apply them to real-world situations. The questions cover various aspects of mathematics, such as basic arithmetic, algebra, geometry, trigonometry, and calculus.

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# वर्ष-2020 गणित SET-1(MV) ## Page 1 1. (2+√3) (2-√3) = 2 - (√3)² = 4-3 = 1 अपरिमेय संख्या है। विकल्प 1 2. ग्राफ x अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है, अतः बहुपद के चार शून्यांक होगें। विकल्प (D) सही है। 3. ∆ ABC ≅ ∆PQR विकल्प (B) सही है 4. Sinθ = cosθ = 0 Sinθ = cosθ Sinθ/cosθ = 1 tanθ = tan45° = 4...

# वर्ष-2020 गणित SET-1(MV) ## Page 1 1. (2+√3) (2-√3) = 2 - (√3)² = 4-3 = 1 अपरिमेय संख्या है। विकल्प 1 2. ग्राफ x अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है, अतः बहुपद के चार शून्यांक होगें। विकल्प (D) सही है। 3. ∆ ABC ≅ ∆PQR विकल्प (B) सही है 4. Sinθ = cosθ = 0 Sinθ = cosθ Sinθ/cosθ = 1 tanθ = tan45° = 45° अब, Sinθ + cosθ = Sin45°+ cos45° = 1/√2 + 1/√2 = 1+1/√2 = (√2+√2)/√2 = √2+√2/2 विकल्प (B) सही है 5. बिंदु (3,4) की y अक्ष से दूरी = x = 3 इकाई विकल्प (B) सही है 6. इक्का होने की प्रायिकता P(E) = 4/52 = 1/13 P(E) + P(E') = 1 1/13 + P(E') = 1 P(E') = 1 - 1/13 = 12/13 विकल्प-D CH-14 ## Page 2 7. समी० का कोई हल नहीं है, अत: a1 = b1 = c1 a2 = b2 ≠ c2 2K-1 = (K-1) ≠ - (2k+1) समी (1) व (ii) से 3/2K-1 = 1/(K-1) 3K-3 = 2k-1 K = 1+3 = 2 समी (1) व (iii) से 1/(K-1) ≠ - (2k+1) 2KH ≠ K-1 विकल्प (B) सही है 8. ∆ AOB और ∆ COD में AO/AC = BO/OC ∠AOB ≅ ∠COD ∴ ΔAOB ≅ ΔCOD ∴ AB = OA = BO DC = OD AB = BO ⇒ AB = 0.5 विकल्प (A) सही है 9. tan30° + cot30° = (1/√3) + (√3) = 1/√3 + √3/1 = (1)² + (√3)² = 1 + 3 = 4/3 विकल्प (D) सही है। ## Page 3 10. 1 लीप वर्ष = 366 दिन 7 से भाग करने पर 52 सप्ताह और 2 दिन प्राप्त होगें। वे 2 दिन होगें रविवार, सोमवार; सोमवार, मंगलवार; मंगलवार, बुधवार, बुधवार, वृहस्पतिवार; बृहस्पतिवार, शुक्रवार, शुक्रवार, शनिवार; शनिवार, रविवार; 52 रविवार होने की प्रायिकता = 1 x 5 = 5 विकल्प (A) सही है। 11. 12 और 42 का ल० स० = 84 10m+4 = 84 10m = 80 ⇒ m = 8 विकल्प (B) सही है। 12. 2x² + 8x - 8 α + β = -8/2 = - 4 αβ = c/a = - 8/- 2 = 4 ∴ αβ = αβ = 4 विकल्प (A) सही है। 13. 2x + y - 6 = 0 - (1) 2x + y = 6 4x - 2y - 4 = 0 4x - 2y = 4 - (2) समी (1) व (2) रखें 4x + 2y = 12 4x - 2y = 4 8x = 16 ⇒ x = 2 x का मान सभी ०७ में रखने पर 2x² + 4y = 2 विकल्प (D) सही है। ## Page 4 14. हत्त का क्षेत्रफल = 154 πr² = 154 22/7 x r² = 154 r² = 154 x 7/22 = 49 r = √49 = 7 विकल्प (C) सही हैं। 15. "प्रायिकता ऋणात्मक नहीं होती" ∴ विकल्प (B) सही है। 16. AB + BC = (6√3)² + b² = 144 AC² = 12² = 144 ∴ AB+BC = AC² ∴ दिया त्रिभुज समकोणीय होगा। ∠B = 90° विकल्प (A) सही है। 17. माना अभीष्ट अनुपात K:1 है x = mx² + n x = Kx6 + 1x - 3 -1 = Kx6 + 1x - 3 -K-1 = 6K - 3 -7K = -3 + 1 -7K = -2 ⇒ K = 2/7 अभीष्ट अनुपात = K:7 = 2/7:1 = 2:7 विकल्प (D) सही है। 18. an = a + (n-1)d a11 = -5 + (11-1) x 5 ⇒ -5 + 25 = 20 a11 = 20 विकल्प (A) सही है। ## Page 5 19. 2x² + 4x + 6 = 0 ∴ समी० का एक मूल 2 है, अत: x = 2 रखने पर, ∴ 2x² + ax² + 6 = 0 2a = -14 ⇒ a=-7 विकल्प (D) सही है। 20. एक लम्बू वृतीच शंकु में, उसके आधार के समान्तर खीचे गये तल काटा गया अनुप्रस्थ काट होता है. एक वृत्त विकल्प (C) सही है। (क) a = 9, R = 49, Sn = 265 Sn = n(a+l)/2 265 = n /2 (4 + 49) 5/2 x 265 = n x 53/2 ⇒ n=10 उत्तर (ख) A के मध्य बिन्दु के निर्देशांक x = -2 + 1/2 = -2/2 = -1 y = -7 + (-11)/2 = -18/2 = - 9 ∴ A के निर्देशांक = (-1, -9) बिंदु BA = √(x1-x2)²+(1-42)2 = √(2-(-1))²+(7-(-9))² = √(3)² + (16)² = √253 = √(25 + 4 = √29 उत्तर (ग) संगत लघु वृत्त खण्ड का क्षे० = πr²/360 [θ - Sinθ] = π(49)²/360 [θ - Sinθ] = π(49)²/360 [π/2 - Sinθ] π(49)²/360 [π/2 - Sinθ] = 25π(-2) ## Page 6 (घ) (cos30°+ sin30° + sin45°) (sin90°+ cos60° - cos45°) = (1/√3 + 1/2 + √2/2) (1 + 1/2 - √2/2) = (√3/6 + 3/6 + 3√2/6) (3/2 - √2/2) = (√ + 3 + 3√2)/6 * (3 -√2)/2 = (3√3 + 9 + 9√2 -√6 - 6 - 6√2)/12 = (√3 + 3√2 - √6)/12 = √3/4 + 3√2/4 - √6/12 उत्तर (ङ) C के लिए x = mx2 + mx1 = 1x9 + 2x3 = 15/3 = 5 = m+n = 1 + 2 y = my2 + ny1 = 1x9 + 2x3 = 15/3 = 5 = m+n = 1 + 2 = 1/2 ## Page 7 D के निर्देशांक = (हु) C D के लिए x = mx2 + mx1 = 2x9 + 1x3 = 21/3 = 7 = m+n = 2 + 1 y = my2 + ny1 = 2x9 + 1x3 = 15/3 = 5 = m+n = 2 + 1 = 3/2 D = (725) उत्तर (च) चाप की लम्बाई = θ/360 x 2πR = 120/360 x 2 x π x 12 = 8π यहाँ h = 12 सेमी, r = √d²+h² = √14² + h² ∴ 12 = √d² + h² ∴ 12 = √d² + h² दोनों ओर वर्ग करने पर, 144 = d² + 144 ⇒ 128 = h² h = √128 = 8√2 ∴ शंकु का आयतन V = 1/3 πr²h = 1/3 x π x 4² x 8√2 = 128√2/3 सेमी³ उत्तर ## Page 8 (ज) 2x² - 3 (3x+1) शून्यकों के लिए 2x-3=0 x=3 3x+1=0 x=-1/3 शून्यकों का योग = 3 + (-1/3) = 9 + (-1)/3 = 8/3 = b/a शून्यकों का गुणनफल = 3 x -1/3 = -3/3 = -1 = c/a उत्तर (ख) ∆OAP और ∆OBP में, OA = OB [एक वृत्त की त्रिज्या OP = OP (उभयनिष्ठ) ∠OAP = ∠OBP (प्रत्येक 90°) ∴ ΔOAP ≅ ΔOBP [SAS द्वारा] ∠AOP=∠BOP स्पशियाँ केन्द्र पर बराबर कोण बनाती है ∴∠AOB और ∠APB सम्पूरक कोण है, अत: ∴∠AOB + ∠APB = 180° 100° + ∠APB = 180° ∠APB = 180 - 100 = 80° ∴ ∠APO = ∠APB /2 = 80/2 = 40° उत्तर ## Page 9 (ग) L.H.S cos A / (1-tan A) = cos A / (1 - SinA/Cos A) = Cos A / ((Cos A - SinA)/Cos A) = Cos²A / (Cos A - SinA) = Sin²A / (Cos A - SinA) = (Cos²A - Sin²A) = (CosA + SinA) (Cos A - SinA) / (Cos A - SinA) = (CosA + SinA) / (Cos A - SinA) उत्तर (घ) C - I | | | | X | | 65-68 | 2 | 66.5 | -3 | -6 68-71 | 4 | 69.5 | 12 | -8 71-74 | 3 | 72.5 | -1 | -3 74-77 | 8 | 75.5 | 0 | 0 77-80 | 7 | 78.5 | 7 | 7 80-83 | 4 | 81.5 | 2 | 8 83-86 | 2 | 84.5 | 3 | 6 Σf = 30 Σfdi = 4 माध्य = Σfdi/ Σf = 4/30 = 75.5 + 4x3/30 = 75.5 + .4 = 75.9 उत्तर ## Page 10 (ङ) माना दहाई का अंक = x और इकाई का अंक = y ∴ संख्या = 10x + y प्रथम शर्त x = 3y x - 3y = 0 - (1) दूसरी शर्त 10x + y - 54 = 10y + x 9x - 9y = 54 x - y = 6 - (2) हल करने पर, y=3 x = 9 ∴ संख्या = 10x9 + 3 = 93 (च) कमरे का सम्पूर्ण आयुदन्न = बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन = πr²h + 2/3 πr³ = πr²(h + 2/3 r) प्रश्नानुसार, कमरे को भीतरी आयतन = 48510 5/3 πr³ = 48510 5/3 x π x 2² x r³ = 48510 r³ = 48510 x 3/5 x 7/22 x 1/4 r³ = 213 ⇒ r = 213 कमरे की ऊंचाई = 2r = 2x21 = 42 सेमी० उत्तर ## Page 11 3. समकोण △BCD में h/x = tan 45 h = x - (1) समकोण △ACD में x+50/h = tam 30° x+50 = h/√3 - (2) x का मान समी (2) में रखने पर h + 50 = h√3 ⇒ 50 = h√3 - h 50 = h(√3 -1) ⇒ h = 50/(√3 -1) h = 50/(√3 - 1) x √3 +1/√3 +1 = 50(√3 + 1)/(√3)²- 1² = 50(√3 + 1)/3 - 1 = 25(√3+1) उत्तर अथवा | C - I | | C.g | | -------- | -------- | | 1500 - 2000 | 14 | 14 | | 2000 - 2500 | 56 | 70 | | 2500 - 3000 | 60 = 80 | 130 | | 3000 - 3500 | 86 = 81 | 216 | | 3500 - 4000 | 74 = 82 | 290 | | 4000 - 4500 | 62 | 352 | | 4500 - 5000 | 48 | 400 | n = 400 यहाँ अधिकतम बारम्बारता 86 है, अतः बहुलक वर्ग 3000 - 3500 है। अतः बहुलक = l + [(f1 - f0)/(2f1 - f0 - f2)] x h = 3000 + [(86 - 80)/(2 x 86 - 80 - 82)] x 500 = 3000 + [6 / 90] x 500 = 3000 + 342.11 = 3342.11 ## Page 12 यहाँ, n = 400 = 200 जो कि 3000 - 3500 के अंतर्गत है Me = li + [(n/2 - cf)/(f)]xh = 3000 + [200/2 - 130/86] x 500 = 3000 + 406.97 = 3406.97 उत्तर 4. माना दो संख्याये x और y है, अत: x > y प्रथम शर्त x - y = 2 - (1) दूसरी शर्त x² + y² = 34 - (2) समी (1) से, x = y + 2 x का मान समी (2) में रखने पर (y + 2)² + y² = 34 y² + 4 + 4y + y² = 34 2y²+ 4y - 30 = 0 y² + 2y - 15 = 0 (y + 5)(y - 3) = 0 जब y = 3 तब x = y+2 = 3 + 2 = 5 जब y = -5 तब x = -5+2 = -3 ∴ संख्याये (5,3), (-5, -3) उत्तर अथवा (2x)² + [x(2x+3)]² + (3x(2x+3))² = 0 2x(2x + 3) + (2x + 3)(2x + 3) = 2x(2x + 3) + (2x + 3)² = 0 (2x + 3) (2x + 3 + x) = 0 (2x + 3)(3x + 3) = 0 ## Page 13 ⇒ 4x² + 6x + x - 3 + 3x + 9 = (x - 3)(2x + 3) ⇒ 4x² + 10x + 6 = 0 ⇒ 2x² + 5x + 3 = 0 D = b² - 4ac = 5² - 4 x 2 x 3 = 25 - 24 = 1 > 0 ∴ मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न-भिन्न होंगे। 2x² + 5x + 3 = 0 2x² + (2+3)x + 3 = 0 2x² + 2x + 3x + 3 = 0 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 (x + 1) (2x + 3) = 0 x = -1, -3/2 उत्तर 5. माना A = (-5,6) , B = (3,0) , C = (9,8) AB = √(x1-x2)² + (y1 - y2)² = √(5-3)² + (6-0)² = √(-8)² + 6² = √100 = 10 BC = √(3-9)² + (0-8)² = √(-8)² + 6² = √100 = 10 CA = √(9-(-5))² + (8-6)² = √200 = 10√2 ∴ AB² + B² = 10² + 10² = 100 + 100= 200 और CA² = (10√2)² = 200 ∴ CA² = AB² + B² ## Page 14 ∴ CA² = AB² + B² और AB=BC ∴ ये बिन्दु समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है। अथवा माना A = (8,3) , B = (6,7) , C = (2,3) तथा (0,- 1) AB = √(x1-x2)² + (y1 - y2)² = √(8-6)² + (3-7)² = √2² + (-4)² = √4 + 16 = √20 BC = √(6-(-2))² + (7-3)² = √8²+ 4² = √80 CD = √(-2-0)²+(3-(-1))² = √4+16=√20 DA = √(0-8)² + (1-3)² = √64 + 16 = √80 AC = √(8-(-2))² + (3-3)² = 10 BD = √(6-0)²+7-(-1))² = 10 ∴ AB = CD, BC = DA और AC = BD ∴ ये बिन्दु एक आयत को शीर्ष है। उत्तर