वर्ष-2020 गणित SET-1(MV) PDF

# वर्ष-2020 गणित SET-1(MV) ## Page 1 1. (2+√3) (2-√3) = 2 - (√3)² = 4-3 = 1 अपरिमेय संख्या है। विकल्प 1 2. ग्राफ x अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है, अतः बहुपद के चार शून्यांक होगें। विकल्प (D) सही है। 3. ∆ ABC ≅ ∆PQR विकल्प (B) सही है 4. Sinθ = cosθ = 0 Sinθ = cosθ Sinθ/cosθ = 1 tanθ = tan45° = 4...

# वर्ष-2020 गणित SET-1(MV) ## Page 1 1. (2+√3) (2-√3) = 2 - (√3)² = 4-3 = 1 अपरिमेय संख्या है। विकल्प 1 2. ग्राफ x अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है, अतः बहुपद के चार शून्यांक होगें। विकल्प (D) सही है। 3. ∆ ABC ≅ ∆PQR विकल्प (B) सही है 4. Sinθ = cosθ = 0 Sinθ = cosθ Sinθ/cosθ = 1 tanθ = tan45° = 45° अब, Sinθ + cosθ = Sin45°+ cos45° = 1/√2 + 1/√2 = 1+1/√2 = (√2+√2)/√2 = √2+√2/2 विकल्प (B) सही है 5. बिंदु (3,4) की y अक्ष से दूरी = x = 3 इकाई विकल्प (B) सही है 6. इक्का होने की प्रायिकता P(E) = 4/52 = 1/13 P(E) + P(E') = 1 1/13 + P(E') = 1 P(E') = 1 - 1/13 = 12/13 विकल्प-D CH-14 ## Page 2 7. समी० का कोई हल नहीं है, अत: a1 = b1 = c1 a2 = b2 ≠ c2 2K-1 = (K-1) ≠ - (2k+1) समी (1) व (ii) से 3/2K-1 = 1/(K-1) 3K-3 = 2k-1 K = 1+3 = 2 समी (1) व (iii) से 1/(K-1) ≠ - (2k+1) 2KH ≠ K-1 विकल्प (B) सही है 8. ∆ AOB और ∆ COD में AO/AC = BO/OC ∠AOB ≅ ∠COD ∴ ΔAOB ≅ ΔCOD ∴ AB = OA = BO DC = OD AB = BO ⇒ AB = 0.5 विकल्प (A) सही है 9. tan30° + cot30° = (1/√3) + (√3) = 1/√3 + √3/1 = (1)² + (√3)² = 1 + 3 = 4/3 विकल्प (D) सही है। ## Page 3 10. 1 लीप वर्ष = 366 दिन 7 से भाग करने पर 52 सप्ताह और 2 दिन प्राप्त होगें। वे 2 दिन होगें रविवार, सोमवार; सोमवार, मंगलवार; मंगलवार, बुधवार, बुधवार, वृहस्पतिवार; बृहस्पतिवार, शुक्रवार, शुक्रवार, शनिवार; शनिवार, रविवार; 52 रविवार होने की प्रायिकता = 1 x 5 = 5 विकल्प (A) सही है। 11. 12 और 42 का ल० स० = 84 10m+4 = 84 10m = 80 ⇒ m = 8 विकल्प (B) सही है। 12. 2x² + 8x - 8 α + β = -8/2 = - 4 αβ = c/a = - 8/- 2 = 4 ∴ αβ = αβ = 4 विकल्प (A) सही है। 13. 2x + y - 6 = 0 - (1) 2x + y = 6 4x - 2y - 4 = 0 4x - 2y = 4 - (2) समी (1) व (2) रखें 4x + 2y = 12 4x - 2y = 4 8x = 16 ⇒ x = 2 x का मान सभी ०७ में रखने पर 2x² + 4y = 2 विकल्प (D) सही है। ## Page 4 14. हत्त का क्षेत्रफल = 154 πr² = 154 22/7 x r² = 154 r² = 154 x 7/22 = 49 r = √49 = 7 विकल्प (C) सही हैं। 15. "प्रायिकता ऋणात्मक नहीं होती" ∴ विकल्प (B) सही है। 16. AB + BC = (6√3)² + b² = 144 AC² = 12² = 144 ∴ AB+BC = AC² ∴ दिया त्रिभुज समकोणीय होगा। ∠B = 90° विकल्प (A) सही है। 17. माना अभीष्ट अनुपात K:1 है x = mx² + n x = Kx6 + 1x - 3 -1 = Kx6 + 1x - 3 -K-1 = 6K - 3 -7K = -3 + 1 -7K = -2 ⇒ K = 2/7 अभीष्ट अनुपात = K:7 = 2/7:1 = 2:7 विकल्प (D) सही है। 18. an = a + (n-1)d a11 = -5 + (11-1) x 5 ⇒ -5 + 25 = 20 a11 = 20 विकल्प (A) सही है। ## Page 5 19. 2x² + 4x + 6 = 0 ∴ समी० का एक मूल 2 है, अत: x = 2 रखने पर, ∴ 2x² + ax² + 6 = 0 2a = -14 ⇒ a=-7 विकल्प (D) सही है। 20. एक लम्बू वृतीच शंकु में, उसके आधार के समान्तर खीचे गये तल काटा गया अनुप्रस्थ काट होता है. एक वृत्त विकल्प (C) सही है। (क) a = 9, R = 49, Sn = 265 Sn = n(a+l)/2 265 = n /2 (4 + 49) 5/2 x 265 = n x 53/2 ⇒ n=10 उत्तर (ख) A के मध्य बिन्दु के निर्देशांक x = -2 + 1/2 = -2/2 = -1 y = -7 + (-11)/2 = -18/2 = - 9 ∴ A के निर्देशांक = (-1, -9) बिंदु BA = √(x1-x2)²+(1-42)2 = √(2-(-1))²+(7-(-9))² = √(3)² + (16)² = √253 = √(25 + 4 = √29 उत्तर (ग) संगत लघु वृत्त खण्ड का क्षे० = πr²/360 [θ - Sinθ] = π(49)²/360 [θ - Sinθ] = π(49)²/360 [π/2 - Sinθ] π(49)²/360 [π/2 - Sinθ] = 25π(-2) ## Page 6 (घ) (cos30°+ sin30° + sin45°) (sin90°+ cos60° - cos45°) = (1/√3 + 1/2 + √2/2) (1 + 1/2 - √2/2) = (√3/6 + 3/6 + 3√2/6) (3/2 - √2/2) = (√ + 3 + 3√2)/6 * (3 -√2)/2 = (3√3 + 9 + 9√2 -√6 - 6 - 6√2)/12 = (√3 + 3√2 - √6)/12 = √3/4 + 3√2/4 - √6/12 उत्तर (ङ) C के लिए x = mx2 + mx1 = 1x9 + 2x3 = 15/3 = 5 = m+n = 1 + 2 y = my2 + ny1 = 1x9 + 2x3 = 15/3 = 5 = m+n = 1 + 2 = 1/2 ## Page 7 D के निर्देशांक = (हु) C D के लिए x = mx2 + mx1 = 2x9 + 1x3 = 21/3 = 7 = m+n = 2 + 1 y = my2 + ny1 = 2x9 + 1x3 = 15/3 = 5 = m+n = 2 + 1 = 3/2 D = (725) उत्तर (च) चाप की लम्बाई = θ/360 x 2πR = 120/360 x 2 x π x 12 = 8π यहाँ h = 12 सेमी, r = √d²+h² = √14² + h² ∴ 12 = √d² + h² ∴ 12 = √d² + h² दोनों ओर वर्ग करने पर, 144 = d² + 144 ⇒ 128 = h² h = √128 = 8√2 ∴ शंकु का आयतन V = 1/3 πr²h = 1/3 x π x 4² x 8√2 = 128√2/3 सेमी³ उत्तर ## Page 8 (ज) 2x² - 3 (3x+1) शून्यकों के लिए 2x-3=0 x=3 3x+1=0 x=-1/3 शून्यकों का योग = 3 + (-1/3) = 9 + (-1)/3 = 8/3 = b/a शून्यकों का गुणनफल = 3 x -1/3 = -3/3 = -1 = c/a उत्तर (ख) ∆OAP और ∆OBP में, OA = OB [एक वृत्त की त्रिज्या OP = OP (उभयनिष्ठ) ∠OAP = ∠OBP (प्रत्येक 90°) ∴ ΔOAP ≅ ΔOBP [SAS द्वारा] ∠AOP=∠BOP स्पशियाँ केन्द्र पर बराबर कोण बनाती है ∴∠AOB और ∠APB सम्पूरक कोण है, अत: ∴∠AOB + ∠APB = 180° 100° + ∠APB = 180° ∠APB = 180 - 100 = 80° ∴ ∠APO = ∠APB /2 = 80/2 = 40° उत्तर ## Page 9 (ग) L.H.S cos A / (1-tan A) = cos A / (1 - SinA/Cos A) = Cos A / ((Cos A - SinA)/Cos A) = Cos²A / (Cos A - SinA) = Sin²A / (Cos A - SinA) = (Cos²A - Sin²A) = (CosA + SinA) (Cos A - SinA) / (Cos A - SinA) = (CosA + SinA) / (Cos A - SinA) उत्तर (घ) C - I | | | | X | | 65-68 | 2 | 66.5 | -3 | -6 68-71 | 4 | 69.5 | 12 | -8 71-74 | 3 | 72.5 | -1 | -3 74-77 | 8 | 75.5 | 0 | 0 77-80 | 7 | 78.5 | 7 | 7 80-83 | 4 | 81.5 | 2 | 8 83-86 | 2 | 84.5 | 3 | 6 Σf = 30 Σfdi = 4 माध्य = Σfdi/ Σf = 4/30 = 75.5 + 4x3/30 = 75.5 + .4 = 75.9 उत्तर ## Page 10 (ङ) माना दहाई का अंक = x और इकाई का अंक = y ∴ संख्या = 10x + y प्रथम शर्त x = 3y x - 3y = 0 - (1) दूसरी शर्त 10x + y - 54 = 10y + x 9x - 9y = 54 x - y = 6 - (2) हल करने पर, y=3 x = 9 ∴ संख्या = 10x9 + 3 = 93 (च) कमरे का सम्पूर्ण आयुदन्न = बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन = πr²h + 2/3 πr³ = πr²(h + 2/3 r) प्रश्नानुसार, कमरे को भीतरी आयतन = 48510 5/3 πr³ = 48510 5/3 x π x 2² x r³ = 48510 r³ = 48510 x 3/5 x 7/22 x 1/4 r³ = 213 ⇒ r = 213 कमरे की ऊंचाई = 2r = 2x21 = 42 सेमी० उत्तर ## Page 11 3. समकोण △BCD में h/x = tan 45 h = x - (1) समकोण △ACD में x+50/h = tam 30° x+50 = h/√3 - (2) x का मान समी (2) में रखने पर h + 50 = h√3 ⇒ 50 = h√3 - h 50 = h(√3 -1) ⇒ h = 50/(√3 -1) h = 50/(√3 - 1) x √3 +1/√3 +1 = 50(√3 + 1)/(√3)²- 1² = 50(√3 + 1)/3 - 1 = 25(√3+1) उत्तर अथवा | C - I | | C.g | | -------- | -------- | | 1500 - 2000 | 14 | 14 | | 2000 - 2500 | 56 | 70 | | 2500 - 3000 | 60 = 80 | 130 | | 3000 - 3500 | 86 = 81 | 216 | | 3500 - 4000 | 74 = 82 | 290 | | 4000 - 4500 | 62 | 352 | | 4500 - 5000 | 48 | 400 | n = 400 यहाँ अधिकतम बारम्बारता 86 है, अतः बहुलक वर्ग 3000 - 3500 है। अतः बहुलक = l + [(f1 - f0)/(2f1 - f0 - f2)] x h = 3000 + [(86 - 80)/(2 x 86 - 80 - 82)] x 500 = 3000 + [6 / 90] x 500 = 3000 + 342.11 = 3342.11 ## Page 12 यहाँ, n = 400 = 200 जो कि 3000 - 3500 के अंतर्गत है Me = li + [(n/2 - cf)/(f)]xh = 3000 + [200/2 - 130/86] x 500 = 3000 + 406.97 = 3406.97 उत्तर 4. माना दो संख्याये x और y है, अत: x > y प्रथम शर्त x - y = 2 - (1) दूसरी शर्त x² + y² = 34 - (2) समी (1) से, x = y + 2 x का मान समी (2) में रखने पर (y + 2)² + y² = 34 y² + 4 + 4y + y² = 34 2y²+ 4y - 30 = 0 y² + 2y - 15 = 0 (y + 5)(y - 3) = 0 जब y = 3 तब x = y+2 = 3 + 2 = 5 जब y = -5 तब x = -5+2 = -3 ∴ संख्याये (5,3), (-5, -3) उत्तर अथवा (2x)² + [x(2x+3)]² + (3x(2x+3))² = 0 2x(2x + 3) + (2x + 3)(2x + 3) = 2x(2x + 3) + (2x + 3)² = 0 (2x + 3) (2x + 3 + x) = 0 (2x + 3)(3x + 3) = 0 ## Page 13 ⇒ 4x² + 6x + x - 3 + 3x + 9 = (x - 3)(2x + 3) ⇒ 4x² + 10x + 6 = 0 ⇒ 2x² + 5x + 3 = 0 D = b² - 4ac = 5² - 4 x 2 x 3 = 25 - 24 = 1 > 0 ∴ मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न-भिन्न होंगे। 2x² + 5x + 3 = 0 2x² + (2+3)x + 3 = 0 2x² + 2x + 3x + 3 = 0 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 (x + 1) (2x + 3) = 0 x = -1, -3/2 उत्तर 5. माना A = (-5,6) , B = (3,0) , C = (9,8) AB = √(x1-x2)² + (y1 - y2)² = √(5-3)² + (6-0)² = √(-8)² + 6² = √100 = 10 BC = √(3-9)² + (0-8)² = √(-8)² + 6² = √100 = 10 CA = √(9-(-5))² + (8-6)² = √200 = 10√2 ∴ AB² + B² = 10² + 10² = 100 + 100= 200 और CA² = (10√2)² = 200 ∴ CA² = AB² + B² ## Page 14 ∴ CA² = AB² + B² और AB=BC ∴ ये बिन्दु समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है। अथवा माना A = (8,3) , B = (6,7) , C = (2,3) तथा (0,- 1) AB = √(x1-x2)² + (y1 - y2)² = √(8-6)² + (3-7)² = √2² + (-4)² = √4 + 16 = √20 BC = √(6-(-2))² + (7-3)² = √8²+ 4² = √80 CD = √(-2-0)²+(3-(-1))² = √4+16=√20 DA = √(0-8)² + (1-3)² = √64 + 16 = √80 AC = √(8-(-2))² + (3-3)² = 10 BD = √(6-0)²+7-(-1))² = 10 ∴ AB = CD, BC = DA और AC = BD ∴ ये बिन्दु एक आयत को शीर्ष है। उत्तर