Curs7 PDF - Mecanica Newtoniană - Oscilatii Armonice

MECANICA NEWTONIANĂ OSCILAŢII ARMONICE ▪ modelul pentru oscilatorul liniar armonic ▪ ecuația diferențială ▪ legea mișcării ▪ energia Compunerea a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi pulsaţie Compunerea a două oscilaţii armonice paralele cu pulsaţii...

MECANICA NEWTONIANĂ OSCILAŢII ARMONICE ▪ modelul pentru oscilatorul liniar armonic ▪ ecuația diferențială ▪ legea mișcării ▪ energia Compunerea a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi pulsaţie Compunerea a două oscilaţii armonice paralele cu pulsaţii puţin diferite Analiza Fourier a mișcării periodice  OSCILATORUL LINIAR ARMONIC ke -constanta de elasticitate a resortului, x -elongație=depărtarea faţă de poziţia de echilibru Fel Pentru majoritatea resorturilor Fel = − k e ⋅ x poziţia de echilibru Conform legii a 2a a lui Newton F = m ⋅ a 𝐝𝟐 𝐱 −𝐤 𝐞 ⋅ 𝐱 = 𝐦 ⋅ 𝐝𝐭 𝟐 ke Fie = 𝜔02 unde 0 pulsaţia proprie sau frecvenţa unghiulară a m oscilatorului LAB simulator https://phet.colorado.edu/en/simulation/mass-spring-lab  OSCILATORUL LINIAR ARMONIC 𝐝𝟐 𝐱(𝐭) 𝟐 Ecuaţia diferenţială ce rezultă este + 𝝎 𝟎 ⋅ 𝐱(𝐭) = 𝟎 dt𝟐 Teoria ecuaţiilor diferenţiale - soluţiile sunt de tip exponenţial: x(t) = eαt ⇒ α = ±i ⋅ 𝜔0 Soluţia generală este o combinaţie liniară: 𝐱(𝐭) = 𝐜𝟏 ⋅ 𝐞𝐢𝝎𝟎 𝐭 + 𝐜𝟐 ⋅ 𝐞−𝐢𝝎𝟎𝐭 𝒅𝒙 v 𝐭 = = 𝐜𝟏 ⋅ 𝒊 𝝎𝟎 𝐞𝐢𝝎𝟎𝐭 − 𝐜𝟐 ⋅ 𝒊 𝝎𝟎 𝐞− 𝐢𝝎𝟎 𝐭 𝒅𝒕 Cu x0= x(t=0) şi v0 =v(t=0) poziţia şi viteza oscilatorului la momentul iniţial x0 = c1 + c2 v0 = iω0 c1 − c2 1 v0 1 v0 c1 = x −i c2 = x +i 2 0 𝜔0 2 0 𝜔0  OSCILATORUL LINIAR ARMONIC Formula lui Euler 𝐱(𝐭) = 𝐜𝟏 ⋅ 𝐞𝐢𝝎𝟎 𝐭 + 𝐜𝟐 ⋅ 𝐞−𝐢𝝎𝟎𝐭 𝐞±𝐢𝛚𝐭 = 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 ± 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 x(t) = c1 + c2 cos( ω0 t) + i c1 − c2 sin( ω0 t) A sin φ = c1 + c2 ; Cu 𝐱(𝐭) = 𝐀 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 A cos φ = i(c1 − c2 ) x–elongaţia=depărtarea faţă de poziţia de echilibru; 𝐤𝐞 = 𝛚𝟐𝟎 A – amplitudinea = elongaţia maximă; 𝐦 ω0 t + φ - faza oscilaţiei; φ- faza iniţială ν0 -frecvenţa proprie oscilatorului; 𝟏 𝛚𝟎 = 𝟐𝛑𝛎𝟎 𝛎𝟎 = 𝐓𝟎 T0 -perioada proprie oscilaţiei 𝟏 𝟐𝛑 𝐦 !!!! LABORATOR: Determinarea constantei elastice a 𝐓𝟎 = = = 𝟐𝛑 resortului prin metoda dinamică 𝛎𝟎 𝛚𝟎 𝐤𝐞 !!!AFLAȚI masa unui corp folosind un resort, un cronometru și un corp cu masa cunoscută (FĂRĂ LINIAR)  OSCILATORUL LINIAR ARMONIC ( x(t ) = A sin 0 t +  ) Amplitudini diferite Faze diferite Frecvențe diferite  OSCILATORUL LINIAR ARMONIC 𝐱(𝐭) = 𝐀 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 𝐤𝐞 = 𝝎𝟐𝟎 𝐦 𝐝𝐱 𝐯(𝐭) = = 𝛚𝟎 𝐀 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 𝐝𝐭 𝐝𝐯 𝐝𝟐 𝐱 𝐤𝐞 𝐚(𝐭) = = 𝟐 = −𝛚𝟐𝟎 𝐀 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 = −𝛚𝟐𝟎 𝐱 = − 𝐱 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝐦 𝐅el = −𝐤 𝐞 ⋅ 𝐱 x, v, a ω A 2 a  ωA A v  A cos  x A sin  O O −A t −  2 A sin  T https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/SHM.htm#projection  OSCILATORUL LINIAR ARMONIC - Energia 𝐱(𝐭) = 𝐀 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 𝐦𝐯 𝟐 𝐦𝛚𝟐𝟎 𝐀𝟐 𝟐 𝐤 𝐞 𝐀𝟐 𝐄𝒄 = = 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 𝟐 𝟐 𝟐 𝐤 𝐞 𝐀𝟐 𝐱𝟐 𝐄𝒄 = 𝟏− 𝟐 𝟐 𝐀 𝐤𝐞𝐱𝟐 𝐤 𝐞 𝐀𝟐 𝟐 dEp 𝐄𝐩 = = 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗 F=− 𝟐 𝟐 dx 𝐤 𝐞 𝐀𝟐 𝐄𝐭 = 𝐄𝒄 + 𝐄𝐩 = = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭. 𝟐 K sau Ec U sau Ep https://www.surendranath.org/ GPA/Oscillations/SpringMass/ SpringMass.html (( Simulare Suplim https://ophysics.com/w1.html ))  OSCILAȚII LINIAR ARMONICE - EXEMPLE Pendulul θ t = θmax sin ω0 t + φ pentru oscilații mici sinθ ≈θ mg Frevenire = -mg sinθ ≅-mgθ= − x ≡ -kx L !!!! LABORATOR: Pendulul. Det. accelerației gravitaționale k 𝐠 ω0 = 𝛚𝟎 = m 𝐋 Pendulul fizic pentru oscilații mici sinθ ≈ θ 𝐦𝐠𝐋 𝛚𝟎 = Temă demonstrația !!!! 𝐈 I =momentul de inerție al solidului rigid față de punctul de pivotare  OSCILAȚII ARMONICE - EXEMPLE Pendulul de torsiune Ԧ𝐤 Momentul forței față de centrul de masă MCM = −bθk unde b=constanta elastică de torsiune; k = versor 𝐛 𝛚𝟎 = θ t = θmax sin ω0 t + φ 𝐈𝐂𝐌 Circuitul LC Temă demonstrația (cu 𝟏 𝛚𝟎 = ecuație diferențială 𝐋𝐂 pentru curent !!! L –inductanța bobinei C –capacitatea condensatorului i t = imax sin ω0 t + φ  COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PARALELE DE ACEEAŞI PULSAŢIE x1 (t) = A1 sin (ω t + φ1), Rezultatul compunerii osc. arm. ∥ de x2 (t) = A2 sin (ω t + φ2) aceeași ω este tot osc. arm. de aceeași ω x (t) = x1 (t) + x2 (t) x (t) = A sin (ω t + φ) Rezolvare trigonometrică sin(α ± β ) = sinα cosβ ± sinβ cosα. Rezolvare fazorială: fazor = un vector de modul A, care se roteşte cu viteza unghiulară ω0 şi la momentul iniţial se află orientat sub unghiul φ faţă de axa Ox 𝐀= 𝐀𝟐𝟏 + 𝐀𝟐𝟐 + 𝟐𝐀𝟏 𝐀𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛗𝟐 − 𝛗𝟏 𝐀𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝛗𝟏 + 𝐀𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝛗𝟐 𝐭𝐠𝛗 = 𝐀𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝛗𝟏 + 𝐀𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛗𝟐 A1 − A 2  A  A1 + A 2 A = A1 + A 2 atunci când  2 − 1 = 2n (n = 0,1,2,) A = A1 − A 2 atunci când  2 − 1 = (2n + 1)  (n = 0,1,2,) https://www.surendranath.org/GPA/Oscillations/PhaseDifference/PhaseDifference.html  COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PARALELE DE ACEEAŞI PULSAŢIE A1 sin (ω t + φ1) + A2 sin (ω t + φ2) =A sin (ω t + φ) Rezolvare trigonometrică sin(α ± β ) = sinα cosβ ± sinβ cosα A1 sin(ωt) cos φ1 +A1 cos(ωt) sin φ1 +A2 sin(ωt) cos φ2 +A2 cos(ωt) sin φ2 = A sin(ωt) cos φ +A cos(ωt) sin φ |2 A1 sin φ1 +A2 sin φ2 = A sin φ + A1 cos φ1 +A2 cos φ2 = A cos φ / |2 A1 sin 1 + A 2 sin  2 tg  = A = A12 + A 22 + 2A1 A 2 cos( 2 − 1 ) A1 cos 1 + A 2 cos  2  COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PARALELE CU PULSAŢII PUȚIN DIFERITE Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de pulsaţii diferite nu mai este o oscilaţie armonică (amplitudine şi pulsaţie variabilă). x1 (t) = A1 sin (ω1 t + φ1) a+b a−b sin a + sin b = 2 sin cos x2 (t) = A2 sin (ω2 t + φ2) 2 2 x (t) = x1 (t) + x2 (t) ; Dacă pulsaţiile sunt foarte apropiate între ele, iar amplitudinile oscilaţiilor care se compun sunt egale A1=A2=A , oscilaţia rezultantă este aproape sinusoidală: x(t) = A sin (ω1 t + φ1) + A sin (ω2 t + φ2)=   + 1  + 1    − 1  − 1  = 2A sin  2 t+ 2  cos  2 t+ 2   2 2   2 2    − 1  − 1    + 1  + 1  x(t ) = 2A cos  2 t+ 2  sin  2 t+ 2  𝐓𝐛 = 𝟐𝛑  2 2   2 2  𝛚𝟐 − 𝛚𝟏 ωb/2 ω În cazul frecvenţelor acustice, într-un punct în spațiu, 𝛚 +𝛚 sunetul de pulsaţie 𝟐 𝟏 se aude în timp întărindu-se şi t 𝟐 𝟐𝛑 slăbindu-se cu pulsaţia şi perioada bătăilor: 𝐓𝐛 = 𝛚𝟐 −𝛚𝟏 𝟒𝝅 𝐓= https://www.walter-fendt.de/html5/phen/beats_en.htm 𝝎𝟐 + 𝝎𝟏  COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE PARALELE Analiza Fourier a Mișcării Periodice Compunerea oscilațiilor parallele poate fi periodică dar nu și armonică. Pentru o sumă cu frecvența fundamentală ω, perioada elongației x este aceeași cu perioada oscilației armonice de frecvență ω. Compunând oscilații armonice paralele a căror frecvențe sunt multiplii de o frecvență numită fundamentală și care au amplitudinile adecvate, se poate obține aproape orice funcție periodică. Reciproc este demonstrat în matematică și anume: Teorema Fourier afirmă că o funcție periodică f(t) poate fi exprimată ca o sumă: f(t) = A0 + A1 cos ωt + A2 cos 2ωt +... + An cos nωt +... + B1 sin ωt + B2 sin 2ωt+... + Bn sin nωt +... Această formulă este cunoscută sub numele de serie Fourier. De ce oscilația liniar armonică este importantă !!?? 4 sume partial - simulare https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Fourier_series_square_wave_circles_animation.svg 16 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg MECANICA NEWTONIANĂ 22. Oscilatorul liniar armonic (forța de revenire, ecuația diferențială a mișcării, legea mișcării, legea vitezei, energia cinetică, energia potențială, energia totală); 23. Exemple pentru oscilații armonice simplă - sisteme reale; 24. Compunerea oscilațiilor armonice paralele (a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi pulsaţie; a două oscilaţii armonice paralele cu pulsaţii puţin diferite; Analiza Fourier a mișcării periodice )