Higher Mathematics First Semester Revision Scope PDF

一、填空题： 1、无穷小相关题 x （1）当 x 0 时， 1  cos x 与 a sin 2 是等价无穷小，则 a 的值 2 ...

一、填空题： 1、无穷小相关题 x （1）当 x 0 时， 1  cos x 与 a sin 2 是等价无穷小，则 a 的值 2   1 （2）当 x 0 时， 1  ax 2 4  1 与 x sin x 是等价无穷小，则 a 的值 （3）当 x 0 时， x  sin x 与 ax 2 arctan x 是等价无穷小，则 a 的值 （4）当 x 0 时， x  tan x 与 x k 是同阶无穷小，则 k 的值 2、微分计算 （1）设 y  x tan x ，则 dy （2）设 y  arctanf x  ，且 f x  存在，则 dy x  2 3  x  4 （3）设 y  ，则 dy x  1 5  （4）设 y  ln x   a 2  x 2 ，则 dy x 1 3、拐点 （1）求曲线 y  2x 3  6x 2  10x  16 的拐点 （2）求曲线 y  x 3  3x 2 的拐点 （3）求曲线 y  x 3 的拐点 （4）求曲线 y  3 x 的拐点 4、计算定积分 1 （1）计算积分  1  x 2dx 0  （2）计算积分  sin xdx 0  （3）计算积分  2  6 cos4 xdx  2    （4）计算积分  2 sin xe arctan x  x cos x 2 dx 2  2 5、求弧长    （1）设函数 y  ln cos x  0  x   的一段弧长  6 x  a t  sin t  （2）求摆线  ，（ a  0 ）一拱（ 0  t  2 ）的长度 y  a 1  cos t  （3）求对数螺线 r  e  0      的一段弧长 x   （4）求曲线 y   0 tan tdt  0  x   的弧长  4 二、选择题： 1、判断函数间断点的类型 x2  1 （1） y  ，x  2 x 2  3x  2 x （2） y  ，x  0 tan x x  1,x  1 （3） y   ，x  1 3  x ,x  1 1 （4） y  arctan ，x  0 x 2、导数定义 f x  （1）设 f 0   2 ，其中 f 0   0 ，则 lim x 0 x f 1  f 1  h  （2）设 f 1  1 ，则 lim h 0 h f 2  3h   f 2 （3）设 f 2  2 ，则 lim h 0 h f 3  h   f 3 （4）设 f 3  2 ，则 lim h 0 2h 3、不定积分概念及性质 （1）设 f x   ，则  f x dx  1 x （2）设  f x dx  1 6   ln 3x 2  1  c ，则 f x   （3）设函数在  ,  上连续，则 d  f x dx   （4）下列性质中错误的是（ ） A.  f x dx  f x   C B.  2f x   g x dx   2  f x dx   g x dx  C. d dx  f x dx   f x  D.  f x   g x dx   f x dx   g x dx 4、比较定积分大小  ln x  dx ，则 m 与 n 的大小关系（ 2 2  ln xdx ， n 2 （1）设 m   ） 1 1 A. m  n B. m  n C. m  n D.无法确定  x  1dx ， n  1 1 （2）设 m   e dx ，则 m 与 n 的大小关系（ x ） 0 0 A. m  n B. m  n C. m  n D.无法确定   （3）设 m   0 4 sin xdx ， n   0 4 cos xdx ，则 m 与 n 的大小关系（ ） A. m  n B. m  n C. m  n D.无法确定    （4）设 I  0 4 ln sin xdx ，J   0 4 ln cot xdx ，K   0 4 ln cos xdx ，则 I ，J ， K 的大小关系（ ） A. I  J  K B. I  K  J C. J  I  K D. K  J  I 5、反常积分的计算  （1）计算反常积分  2 xe  x dx 0  1 （2）计算反常积分  dx  1  x 2 2 （3）计算反常积分  ln xdx 0 1 1 （4）计算反常积分  dx 1 x2 三、计算题： 求极限：  x 1  2x  3  1  tan x  1  sin x 1、 lim   2、 lim x  2x  1    x 0 x 1  cos x  3 x2 3、 lim e ex sin x 4、 lim  t dt 0 2  t t  sin t dt x x 0 x3 x 0 0 不定积分： sin x cos x 1 1、  dx 2、  dx 1  sin 4 x 1 3x dx 3、  4、  x sin xdx x 2  1 3 四、解答题： 隐函数求二阶导： 1、设函数 y  y x  由方程 y  1  xe y 所确定，求 y  0  与 y  0  2、设函数 y  y  x  由方程 e y  xy  e 所确定，求 y  0  与 y  0  3、设函数 y  y  x  由方程 x 2  y  1  e y 所确定，求 y  0  与 y  0  4、设函数 y  y  x  由方程 xy  e y  x  1 所确定，求 y  0  与 y  0  参数方程所确定函数的二阶导：  x  a cos t dy d2y 1、求由参数方程  所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 2  y  b sin t dx dx  x  a cos 3  dy d2y 2、求由参数方程  所确定的函数的一阶导数 及二阶导数  y  a sin  3 dx dx 2 x  ln 1  t 2 3、求由参数方程   所确定的函数的一阶导数 dy 及二阶导数  y  t  arctan t dx d2y dx 2 x  f t  dy d2y 4、求由参数方程  所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 2 y  tf t   f t  dx dx 其中设 f t  存在且不为零 五、证明题 罗尔定理： 1、设 f x  在 0,1上连续，在 0,1 内可导，f 0   1 ，f 1  ，证明：在 0,1 内 1 e 至少存在一点  ，使 f    e   2 、 设 f x  在 0,1 上 连 续 ， 在 0,1 内 可 导 ， f 0   0 ， f 1  ，证明： 4 1  x f x   1 在 0,1 内至少有一个实根 2 3、设 f x  在 0,1上连续，在 0,1 内可导， f 0   1 ，f 1  0 ，证明：在 0,1 内 f   至少存在一点  ，使  f    4、设 f x  在 1,2上连续，在 1,2 内可导，f 1  ， f 2  2 ，证明：在 1,2 内 1 2 2f   至少存在一点  ，使 f     不等式证明： 1 1、证明不等式：当 x  1 时， 2 x  3  x  1 2、证明不等式：当 0  x  时， tan x  x  x 3 2 3 3、证明不等式：当 x  0 时， 1  x  ln1  x   arctan x 4、证明不等式: 当 x  0 时， 1  x ln x    1  x2  1  x2 六、应用题 最值： 1、某车间靠墙壁要盖一间高度为 h 的长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙 壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 2、在周长一定的矩形中，面积最大时，长宽各为多少？ 3、要做一个底为正方形，容积为 108m 3 的长方体无盖容器，怎样做使用材料最 省? 4、要做一个上下均有底的圆柱形容器，容积是常数V0 ，问底半径 r 为多大时， 容器的表面积最小？并求出此最小面积？ 面积、体积： 1、求由抛物线 y 2  3x 与直线 x  3 所围成的图形（1）面积 D；（2）绕 x 轴旋 转所得的旋转体的体积 2、求由两条抛物线 y 2  x 与 y  x 2 所围成的图形（1）面积 D；（2）绕 y 轴旋 转所得的旋转体的体积 3、求由 y  x 3 ， x  2 ， y  0 所围成的图形（1）面积 D； （2）绕 y 轴旋转所 得的旋转体的体积 4、求过原点作抛物线 y  x 2  4 的切线，切线与抛物线 y  x 2  4 所围成的 图形（1）面积 D；（2）绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积