หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด PDF

# การสั่นสะเทือนทางกล ## Mechanical of vibration ผศ.ดร.ชัยนิกร กุลวงษ์ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด ## 1 DOF - $\downarrow F$ - $m$ - $k$ - $C$ - $\rightarrow w_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$ ## 2 DOF - $\downarrow F$ - $k_1$ - $m_1$ - $c_1$ - $k_2$ - $m_2$ - $c_2$ - $\rightarrow w_...

# การสั่นสะเทือนทางกล ## Mechanical of vibration ผศ.ดร.ชัยนิกร กุลวงษ์ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด ## 1 DOF - $\downarrow F$ - $m$ - $k$ - $C$ - $\rightarrow w_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$ ## 2 DOF - $\downarrow F$ - $k_1$ - $m_1$ - $c_1$ - $k_2$ - $m_2$ - $c_2$ - $\rightarrow w_n=q$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด ## Rayleigh's Method (i8m เรย์) - ความถี่ธรรมชาติอยู่ในวงค่าตามที่ธรรมชาติ - และค่าที่ได้จากสมการนั้น # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $\rightarrow T = \frac{1}{2} \dot{x}^T [m] \dot{x}$ = พลังงานจลน์ - $\rightarrow V = \frac{1}{2} \dot{x}^T [k] \dot{x}$ = พลังงานศักย์ - $x = \{x_1, x_2\}^T$ - $x = \{x_1, x_2\}^T$ - $\rightarrow V = \frac{1}{2} k x^2$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $\rightarrow x = \bar{x} coswt$, $\dot{x} = -\bar{x}(w)sinwt$ - รูปร่างโหมด (กราฟของโหมด) - $Tmax=Vmax$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $Tmax = \frac{1}{2} \bar{x}^T [m] \bar{x}w^2 = \frac{1}{2} \bar{x}^T [m] \bar{x}w^2$ - $Vmax = \frac{1}{2} \bar{x}^T [k] \bar{x}$ - $\rightarrow \frac{1}{2} \bar{x}^T [m] \bar{x}w^2 = \frac{1}{2} \bar{x}^T [k] \bar{x}$ - $\rightarrow w^2 = \frac{\bar{x}^T [k] \bar{x}}{\bar{x}^T [m] \bar{x}}$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $m_1=m_2=m_3 = m$ - $k_1=k_2=k_3 = k$ - $x = \{ 1 2 3 \}^T$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $k_1x_1$ - $m_1$ - $k_2(x_1-x_2)$ - $m_3$ - $m_2$ - $k_3(x_2-x_3)$ - $\rightarrow k_1x_1$ - $k_2(x_1-x_2)$ - $k_3(x_2-x_3)$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด ## mass 1 - $(+1)ZF = m_1 \ddot{x}_1$ - $-k_1x_1-k_2(x_1-x_2)=m_1\ddot{x}_1$ - $m_1\ddot{x}_1+(k_1+k_2)x_1+k2(x_2)=0$ - $(+1)ZF = m_2 \ddot{x}_2$ - $-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_2-x_3)=m_2\ddot{x}_2$ - $m_2\ddot{x}_2-k_2x_1+(k_2+k_3)x_2-k_3x_3=0$ ## mass 2 - $(+1)ZF = m_3 \ddot{x}_3$ - $-k_3(x_3 - x_2) = m_3 \ddot{x}_3$ - $m_3 \ddot{x}_3 - k_3x_2 + k_3x_3 = 0$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $m_1=m_2=m_3 = m$ - $k_1=k_2=k_3 = k$ - $x = \{ 1 2 3 \}^T$ - $x = \{ 1 2 3 \}^T$ - $\rightarrow w^2 = \frac{\bar{x}^T [k] \bar{x}}{\bar{x}^T [m] \bar{x}}$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $k_1x_1$ - $m_1$ - $k_2(x_1-x_2)$ - $m_3$ - $m_2$ - $k_3(x_2-x_3)$ - $\rightarrow k_1x_1$ - $k_2(x_1-x_2)$ - $k_3(x_2-x_3)$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด ## mass 1 - $(+1)ZF = m_1 \ddot{x}_1$ - $-k_1x_1-k_2(x_1-x_2)=m_1\ddot{x}_1$ - $m_1\ddot{x}_1+(k_1+k_2)x_1+k2(x_2)=0$ - $(+1)ZF = m_2 \ddot{x}_2$ - $-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_2-x_3)=m_2\ddot{x}_2$ - $m_2\ddot{x}_2-k_2x_1+(k_2+k_3)x_2-k_3x_3=0$ ## mass 2 - $(+1)ZF = m_3 \ddot{x}_3$ - $-k_3(x_3 - x_2) = m_3 \ddot{x}_3$ - $m_3 \ddot{x}_3 - k_3x_2 + k_3x_3 = 0$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $m_1=m_2=m_3 = m$ - $k_1=k_2=k_3 = k$ - $x = \{ 1 2 3 \}^T$ - $x = \{ 1 2 3 \}^T$ - $\rightarrow w^2 = \frac{\bar{x}^T [k] \bar{x}}{\bar{x}^T [m] \bar{x}}$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $k_1x_1$ - $m_1$ - $k_2(x_1-x_2)$ - $m_3$ - $m_2$ - $k_3(x_2-x_3)$ - $\rightarrow k_1x_1$ - $k_2(x_1-x_2)$ - $k_3(x_2-x_3)$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด ## mass 1 - $(+1)ZF = m_1 \ddot{x}_1$ - $-k_1x_1-k_2(x_1-x_2)=m_1\ddot{x}_1$ - $m_1\ddot{x}_1+(k_1+k_2)x_1+k2(x_2)=0$ ## mass 2 - $(+1)ZF = m_2 \ddot{x}_2$ - $-k_2(x_2-x_1)-k_3(x_2-x_3)=m_2\ddot{x}_2$ - $m_2\ddot{x}_2-k_2x_1+(k_2+k_3)x_2-k_3x_3=0$ ## mass 3 - $(+1)ZF = m_3 \ddot{x}_3$ - $-k_3(x_3 - x_2) = m_3 \ddot{x}_3$ - $m_3 \ddot{x}_3 - k_3x_2 + k_3x_3 = 0$ - $\begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{x_1} \\ \ddot{x_2} \\ \ddot{x_3} \\ \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} (k_1+k_2) & -k_2 & 0 \\ -k_2 & (k_2+k_3) & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{Bmatrix}$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $m_1=m_2=m_3 = m$ - $k_1=k_2=k_3 = k$ - $3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{Bmatrix}$ - $x=\{ 1 2 3 \}^T$ - $x = \{ 1 2 3 \}^T$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $w^2 = \frac{\bar{x}^T [k] \bar{x}}{\bar{x}^T [m] \bar{x}}$ - $= \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{Bmatrix}_{1x3} k \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{Bmatrix}_{3x1}$ - $\begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{Bmatrix}_{1x3} m \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{Bmatrix}_{3x1}$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด $\rightarrow \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{Bmatrix}_{1x3} k \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}_{3x1}$ - $\rightarrow \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{Bmatrix}_{1x3} k \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}_{3x1} = 3k$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{Bmatrix}_{3x1}$ - $\rightarrow \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{Bmatrix}_{1x3} m \begin{Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{Bmatrix}_{3x1}$ = $14m - $w = \frac{3k}{14m}$ - $\rightarrow w = \sqrt{\frac{3k}{14m}} = 0.214 \sqrt{\frac{k}{m}}$ # หน่วยที่ 6 วิธีการหาความถี่ธรรมชาติและรูปร่างโหมด - $w_n = 0.462 \sqrt{\frac{k}{m}}$ The document is a set of slides for a university course on mechanical vibration. It talks about finding natural frequencies and mode shapes of a system, in particular the Rayleigh's method. The document describes the Rayleigh's method and its applications in solving various problems. Slide 11 describes the calculation of a natural frequency by this method, and the document also provides several examples.