حل المعادالت التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية ذات المعامالت المتغيرة PDF

‫بِسْمِ اهللِ الرَّحْمنِ الرَّحِيمِ‬ ‫()يَرْفَعِ اللََّهُ الََّذِينَ آمَنُوا مِنْكُمْ وَالََّذِينَ أُوتُوا الْعِلْمَ دَرَجَاتٍ وَاللََّهُ بِمَا تَعْمَلُونَ خَبِريٌ((‬ ‫سورة المجادلة‪ :‬اآلية ‪11‬‬...

‫بِسْمِ اهللِ الرَّحْمنِ الرَّحِيمِ‬ ‫()يَرْفَعِ اللََّهُ الََّذِينَ آمَنُوا مِنْكُمْ وَالََّذِينَ أُوتُوا الْعِلْمَ دَرَجَاتٍ وَاللََّهُ بِمَا تَعْمَلُونَ خَبِريٌ((‬ ‫سورة المجادلة‪ :‬اآلية ‪11‬‬ ‫‪1‬‬  ‫بسم هللا الرحمن الرحيم‬ ‫والحمد هلل الذي وفقنا خيراً فيما كنا ننوي فعله في عملنا هذا وفي اجتهاد ثمرة‬ ‫العلم والمعرفة فله الحمد والشكر دائما ً وابدا فهو هللا الذي ال ينسى العبد اذا لجأ‬ ‫اليه فنحمد هللا على كل شيء ‪.....‬وعن موسى الرضا (عليه السالم)‬ ‫ِين لم َيش ُك ِر ه َ‬ ‫هللا َع هز َو َج هل(‬ ‫قوله‪َ ) :‬من لَم َي ْش ُك ِر المُن ِع َم م َِن ال َم ْخلُوق َ‬ ‫أما بعد نتقدم بكل حرارة من القلب وكل تعب يد كتبت من اجل العلم والمعرفة‬ ‫بخالص والشكر والتقدير والوفاء الى مرشدنا واستاذنا الموقر ( م‪.‬د‪.‬خالد‬ ‫مزهر طاهر ) في جامعة ميسان – كلية التربية االساسية – قسم الرياضيات‬ ‫– على االشراف في المتابعة الخاصة ببحثنا هذا فكان له الفضل الكبير في تخطي‬ ‫العديد من صعوبات البحث والهتمامه الصادق والمتابعة العلمية واللغوية‬ ‫المستمرة ومالحظاته القيمة اثناء انجازنا في هذا البحث فنسأل هللا عز وجل ان‬ ‫يجزي ُه جزاء المحسنين كما نشكر كل من مد لنا يد العون والنصيحة خالل‬ ‫مسيرتنا العليمة واثناء انجازنا لهذا البحث ‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫االهـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــداء‬ ‫في خواتيم األيام الجامعية ونحن نطوي صفحة الدراسات االولية وننسج ثياب‬ ‫تخرجنا نهدي هذا الجهد الى والدينا ايمانا بفضلهما وعرفانا لكل ما بذاله لكي‬ ‫نقف بثبات على هذا الطريق ‪.‬‬ ‫أهدي ثمرة جهدنا المتواضع إلى من وهبونا الحياة واألمل‪ ،‬والنشأة على شغف‬ ‫االطالع والمعرفة‪ ،‬ومن علمونا أن نرتقي سلم الحياة بحكمة وصبر‪.‬‬ ‫والى اساتذتنا االفاضل الذين اناروا لنا طريق العلم نهدي هذا الجهد ونعلم أنه اقل‬ ‫من أن يليق بمكانتهم ولكنه اقصى ما قدرنا على تقديمه‬ ‫والى اللجنة العلمية الموقرة و مشرف بحثنا هذا ( بالخصوص م‪.‬د ‪.‬خالد مزهر‬ ‫طاهر ) والى اصدقائي االعزاء والى كل من دعى لنا دعوة يطيب بها القلب‬ ‫وايضا نهدي بحثنا هذا الى رئيس قسمنا ( م‪.‬سامي عطية السيد ) والى شهداء‬ ‫وطننا الحبيب ( العراق ) رمز الشموخ والعز والى األمة االطهار والى سيدنا‬ ‫وموالنا االمام صاحب العصر والزمان (عج) والى سيدنا االمام علي بن ابي‬ ‫طالب ( عليه السالم) والى جميع شيعتنا نهدي لكم هذا جميعا ً ‪.‬‬ ‫‪3‬‬  ‫المستخلــص ( ‪:) Abstract‬‬ ‫الهدف من هذه الدراسة هو تقديم طرق حل المعادالت التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية‬ ‫ذات المعامالت المتغيرة ‪.‬‬ ‫و قد تطرقنا في هذا البحث على ‪:‬‬ ‫الفصل االول الذي تطرقنا فيه على مقدمة عامة في المعادالت التفاضل و المبادئ‬ ‫والمفاهيم االساسية للمعادالت التفاضلية وبعض طرق حلها وشروطها ‪.‬‬ ‫و الفصل الثاني تطرقنا الى حل المعادالت التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية ذات‬ ‫المعامالت الثابتة وكيفية ايجاد حلولها ‪ ,‬وايضا ً قدما بعض الشروط المناسبة لها‪.‬‬ ‫وفي الفصل الثالث تعرفنا على عدة طرق لحل المعادالت التفاضلية الخطية من الرتبة‬ ‫الثانية ذات المعامالت المتغيرة ومن هذه الطرق هي ‪:‬‬ ‫‪ – 1‬طريقة تحليل المؤثر التفاضلي ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬معادلة اويلر التفاضلية ‪.‬‬ ‫‪ – 3‬طريقة تخفيض الرتبة ‪.‬‬ ‫‪ – 4‬طريقة التخلص من المشتقة االولى ‪.‬‬ ‫و تطرقنا في الفصل الثالث الى طريقتان هما ‪:‬‬ ‫‪ ‬طريقة تحليل المؤثر التفاضلي ‪.‬‬ ‫‪ ‬معادلة اويلر التفاضلية‪.‬‬ ‫‪4‬‬  ‫اقرار المشرف‬ ‫أشهد أن إعداد هذا البحث الموسوم بـ (حل المعادالت التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية‬ ‫ذات المعامالت المتغيرة)‬ ‫المقدم من قبل الطلبة ‪:‬‬ ‫‪ -1‬عقيــل حــافــظ عبــد الســادة ‪.‬‬ ‫‪ -2‬مــريــم رحيــم حسيــن ‪.‬‬ ‫‪ -3‬منتظــر زامـــل ‪.‬‬ ‫قد جرى تحت اشرافي في جامعة ميسان ‪ -‬كلية التربية األساسية – قسم الرياضيات‬ ‫وهي جزء من متطلبات نيل درجة البكالوريوس في كلية التربية االساسية ‪ -‬قسم الرياضيات‬ ‫اقرار المشرف‪:‬‬ ‫اسم المشرف ‪:‬م‪.‬د‪.‬خالـد مـزهـر طـاهر‬ ‫التاريخ ‪2024 \ \ :‬‬ ‫بناء على توصيات المشرف ارشح هذا البحث للمناقشة ‪.‬‬ ‫رأيس قسم الرياضيات‬ ‫م‪.‬سامي عطية السيد‬ ‫‪2024 / /‬‬ ‫التاريخ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬  ‫محتويات الفصل االول‬ ‫‪ : 1-1‬المقدمة…‪7............................................................................................:‬‬ ‫‪ : 2-1‬تعريف المعادلة التفاضلية‪8............................................................................‬‬ ‫‪ : 3-1‬أنواع المعادالت التفاضلية‪8............................................................................‬‬ ‫‪ : 1-3-1‬المعادالت التفاضلية االعتيادية‪8....................::...............................................‬‬ ‫‪ : 2-3-1‬المعادالت التفاضلية الجزئية‪8.......................................................................‬‬ ‫‪ : 4-1‬حلول المعادالت التفاضلية االعتيادية‪9................................................................‬‬ ‫‪ : 1-4-1‬الحل العام‪9...........................................................................................‬‬ ‫‪ : 2-4-1‬الحل الخاص‪9......................................................................................‬‬ ‫‪ : 3 -4 - 1‬الحل المنفرد‪10....................................................................................‬‬ ‫‪ :5-1‬تصـــــــــــــــنيف المعــــــــادالت التفاضــــــــــلية ( رتبة ودرجة ) المعـــــــــــــادلة‬ ‫التفاضــــــــــــــــلية‬ ‫‪ -1 : 5-1‬رتبة المعادلة التفاضلية ‪ -2,‬درجة المعادلة التفاضلية‪11.........................................‬‬ ‫‪ : 6-1‬طرق حل المعادالت التفاضلية االعتيادية من الرتبة االولى‪12......................................‬‬ ‫‪ :1-6-1‬طريقة فصل المتغيرات‪12.........................................................................‬‬ ‫‪ : 2-6-1‬المعادالت التفاضلية المتجانسة‪14...................................................................‬‬ ‫‪ :3 -6-1‬المعادالت التفاضلية العادية التي تؤول الى معادالت تفاضلية متجانسة‪15......................‬‬ ‫‪ :4-6-1‬المعادالت التفاضلية التامة‪20.........................................................................‬‬ ‫‪ :5-6-1‬المعادالت التفاضلية الغير تام‪24....................................................................‬‬ ‫‪ :6 -6-1‬المعادالت التفاضلية الخطية‪30......................................................................‬‬ ‫‪ :7-1‬معادلة برنولي‪33..................:.....................................................................‬‬ ‫‪6‬‬  ‫‪ :1-1‬المقدمة‬ ‫يمكن القول دون تجاوز او مبالغة ان المعادالت التفاضلية تحتل المكانة المرموقة في كل فروع العلوم‬ ‫الهندسية والفيزيائية حيث اغلب العالقات والقوانين الحاكمة بين متغيرات مسألة فيزيائية أو هندسية‬ ‫تظهر على صورة معادالت تفاضلية ولفهم هذه المسالة فالبد من حل هذه المعادلة التفاضلية او على‬ ‫االقل معرفة الكثير من خصائص هذا الحل ولقد استحوذ هذا االمر على الرياضيين منذ بداية علم‬ ‫التفاضل في القرن السابع عشر وحتى ايامنا هذه سواء من ناحية دراسة وجود الحل او من ناحية‬ ‫خصائص وطبيعة او من ناحية الحصول عليه‪.‬ولم يقف الرياضي طويال امام المعادالت التفاضلية التي‬ ‫يصعب حلها على صورة مغلقة بل تجاوز ذلك الى الحل التقريبي والحل العددي‪.‬وتتمثل الطرق العددية‬ ‫لحل المعادالت التفاضلية مساحه كبيرة من خريطة االبحاث الرياضية خصوصا ً في عصرنا هذا عصر‬ ‫الحاسبات االلية الكبيرة السعة والمفرطة السرعة‪.‬‬ ‫نشأتها‪:‬‬ ‫ظهرت المعادالت اوال مع اختراع حساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن واليبنز‪.‬في الفصل الثاني من‬ ‫عمله عام (‪ )1671‬قام اسحاق نيوتن بكتابة طريقة التدفقات ( طريقة التدفقات‪ :‬هو كتاب إل اسحاق نيوتن‬ ‫ثم االنتهاء من الكتاب عام (‪ )1671‬والتدفق هو مصطلح نيوتن للمشتق ) ‪.‬حيث قام بإدراج ثالث انواع‬ ‫من المعادالت التفاضلية وهي كاالتي ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫)‪1‬‬ ‫)𝑥(𝑓 =‬ ‫)‪2‬‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑓(𝑥,‬‬ ‫‪3)𝑥1‬‬ ‫‪+ 𝑥2‬‬ ‫𝑦=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝜕𝑥1‬‬ ‫‪𝜕𝑥2‬‬ ‫وفي عام (‪ )1695‬أقترح ياكوب برنولي معادلة برنولي التفاضلية معادلة تفاضلية عادية في شكلها التالي‬ ‫‪:‬‬ ‫𝑛 𝑦)𝑥(𝑄 = 𝑦)𝑥(𝑝 ‪𝑦 ′ +‬‬ ‫التي حاول اليبنيز في العام التالي حلحلتها من خالل تبسيطها ‪.‬وتاريخيا ً درست معضلة إهتزاز حبل ماء‬ ‫حبل الة موسيقية مثاالً ‪.‬من طرف كل من لورن دالمبير وليونهارد أويلر ودانيال برنولي وجوزيف لوي‬ ‫الغرانج ‪.‬وفي عام (‪ )1776‬أكتشف لورن دالمبير معادلة الموجة احادية البعد وبعد عشر سنين أكتشف‬ ‫اويلر معادلة الموجة ثالثية االبعاد ‪.‬وتم تطوير معادلة اويلر – الغرانج في خمسينات القرن الماضي‬ ‫من قبل اويلر والغرانج فيما يتعلق بدراستهم لمشكلة التاوتكرون هذه هي مشكلة تحديد منحني تسقط‬ ‫عليه الجسيمات الموزعه الى نقطة ثابته في فترة زمنية محددة بغض النضر عن نقطة البداية ‪.‬قام‬ ‫الكرانج بحل هذه المشكلة في عام (‪ )1755‬وارسل الحل الى اويلر ‪.‬قام كالهما بتطوير طريقة الكرانج‬ ‫وتطبيقاتها على الميكانيكا مما ادى الى صياغة ميكانيكا الكرانج‪.‬والغرض من حل المعادلة التفاضلية‬ ‫هو ايجاد جميع الدوال التي يمكن االن تحقق المعادلة ويرمز لهذه الدوال بالرمز (‪ Y‬او ص ) ويتم ايجاد‬ ‫مايسمى بالحل العام للمعادلة وهو عبارة عن مجموعة لكل الدوال التي تحقق المعادلة ويكون كل عنصر‬ ‫في هذه الدوال على حد يمثل حل خاص للمعادلة التفاضلية ‪.‬‬ ‫( بوقـــفــــة‪) 5 : 2010 :‬‬ ‫‪7‬‬  ‫‪ :2-1‬تعريف المعادلة التفاضلية‪:‬‬ ‫وهي عالقة بين المتغير التابع والمتغير المستقل تدخل فيها المشتقات أو التفاضالت وتسمى المعادلة‬ ‫التفاضلية االعتيادية اذا كان المتغير التابع دالة في متغير مستقل واحد وبالتالي ال تحتوي اال على‬ ‫مشتقات عادية‪.‬وليكن ‪ X‬المتغير المستقل وليكن ‪ Y‬المتغير التابع فاألمثلة التالية تمثل معادالت تفاضلية‬ ‫عادية‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪+ 𝑦 = 3𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑 ‪𝑑 2 𝑦 1‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+𝑦 =0‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑥 ‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫𝑦‪𝑑3‬‬ ‫𝑦𝑑 𝑦 ‪𝑑 2‬‬ ‫‪3) 𝑥 3 + (2 𝑠𝑖𝑛 𝑥) 2‬‬ ‫𝑦) ‪= (3 − 𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑 𝑥𝑑‬ ‫‪4) (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪= 5𝑥 + 3‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫( العويضي‪ :‬الجزء االول ‪)12 :‬‬ ‫‪ :3-1‬أنواع المعادالت التفاضلية‬ ‫‪:1-3-1‬المعادالت التفاضلية االعتيادية (‪: (ordinary differential equations‬‬ ‫هي عالقة بين المتغير التابع والمتغير المستقل تدخل فيها المشتقات أو التفاضالت وتسمى المعادلة‬ ‫التفاضلية االعتيادية ( ‪ )ordinary‬اذا كان المتغير التابع دالة في المتغير المستقل واحد وبالتالي ال‬ ‫تحتوي االعلى مشتقات عادية‪.‬‬ ‫ومن االمثلة عليها‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪= 5𝑥 + 3‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‪𝑑3‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫𝑦 𝑒 )‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 2( )2 = 1‬‬ ‫‪3) 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) 𝑥 ‪+ (sin‬‬ ‫‪+ 5𝑥𝑦 = 0‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫‪ : 2-3-1‬المعادالت التفاضلية الجزئية (‪: )partial differential equations‬‬ ‫هي معادلة تفاضلية فيها المتغير التابع دالة ألكثر من متغير مستقل اي تظهر فيها المشتقات الجزئية ‪.‬‬ ‫و من االمثلة عليها ‪:‬‬ ‫𝑦 ‪𝜕2‬‬ ‫𝑦 ‪𝜕2‬‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝑢 ‪𝜕2‬‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪3) 𝑥 2‬‬ ‫‪+3y‬‬ ‫‪+ (x- 𝑦 2 )u=0‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫‪8‬‬  ‫‪ : 4-1‬حلول المعادالت التفاضلية االعتيادية ‪:‬‬ ‫لحل المعادلة التفاضلية في الدالة المجهولة ( ‪ )y‬والمتغير المستقل (‪ )x‬على الفترة ( ‪ )ᴓ‬هو الدالة )‪y(x‬‬ ‫التي تحقق المعادلة التفاضلية تطابقا لجميع قيم ‪ x‬في ‪ᴓ‬‬ ‫مثال ‪ /‬هل ان الدالة 𝑥‪ 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠 2‬حيث ان ‪ 𝑐1‬و ‪ 𝑐2‬ثابتان اختياريان تكون‬ ‫حالً للمعادلة التفاضلية ‪ 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0‬؟‬ ‫بتفاضل ‪ y‬نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑥‪𝑦 ′ = 2𝑐1 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 2𝑐2 𝑠𝑖𝑛 2‬‬ ‫𝑥‪𝑦 ′′ = −4𝑐1 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 4𝑐2 𝑐𝑜𝑠 2‬‬ ‫‪𝑦 ′′ + 4𝑦 = (−4𝑐1 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 4𝑐2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥) + (4𝑐1 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 4𝑐2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥) = 0‬‬ ‫‪ 𝑦(𝑥) = 𝑐1‬تحقق المعادلة التفاضلية لجميع قيم ‪ x‬وتكون حالً‬ ‫‪2𝑥 + 𝑐2‬‬ ‫وبالتالي فانه الدالة 𝑥‪2‬‬ ‫على الفترة (∞‪.) - ∞ ,‬‬ ‫‪ : 1-4-1‬الحل العام )‪:(General Solution‬‬ ‫مساو لرتبة المعادلة‬ ‫ٍ‬ ‫أن الحل العام ألي معادلة تفاضلية هو حل يشتمل على عدد من الثوابت االختيارية‬ ‫التفاضلية فإذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة االولى وجب ان يكون حلها العام يحتوي على ثابت‬ ‫اختياري واحد وهو ثابت التكامل الذي يظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحيدة لمعادلة الرتبة االولى أما‬ ‫اذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية وجب اشتمال حلها العام على ثابتي تكامل نظراً ألجراء‬ ‫خطوتي تكامل عند حل المعادلة من الرتبة الثانية‪.‬‬ ‫فمثال الدالة 𝑥‪ 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠 2‬تكون حال للمعادلة التفاضلية ‪𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0‬حيث‬ ‫ان الدالة )‪ y(x‬تحتوي على ثوابت اختيارية ( ‪ 𝑐1‬و ‪ ) 𝑐2‬وتمثل الحل العام للمعادلة التفاضلية اعاله‬ ‫‪ : 2-4-1‬الحل الخاص ‪:‬‬ ‫هو اي حل من مجموعة الحل العام ينتج من تعويض قيمة عن الثوابت االختيارية التي تظهر في الحل‬ ‫العام ‪.‬‬ ‫ومن االمثلة عليها‪:‬‬ ‫‪ ‬الدالة 𝑥‪ ( 𝑦 = 5 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠 2‬باختيار ‪ 𝑐1 = 5‬و ‪) 𝑐2 = −3‬‬ ‫‪ ‬الدالة 𝑥‪ ( 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 2‬باختيار ‪ 𝑐1 = 1‬و ‪)𝑐2 = 0‬‬ ‫‪ ( 𝑦 = 0‬باختيار ‪ 𝑐1 = 0‬و ‪) 𝑐2 = 0‬‬ ‫‪ ‬الدالة‬ ‫( برونسن ‪) 10 : 2012 :‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪ : 3-4-1‬الحل المنفرد‪:‬‬ ‫يظهر لبعض المعادالت حل ليس من مجموعة الحل العام هذا الحل يسمى بالحل المنفرد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Example: 2𝑦 ′ = 3𝑦 3‬‬ ‫𝑦𝑑‪2‬‬ ‫= 𝑥𝑑‪ 𝑦 ≠ 0 , 3‬تكون عملية‬ ‫‪1‬‬ ‫واذا قمنا بحل هذه المعادلة التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات‬ ‫‪𝑦3‬‬ ‫الفصل ممكنة اذا كان ‪𝑦 ≠ 0‬‬ ‫‪3 1 𝑑𝑦 3 1‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→ ‪𝑦′ = 𝑦3‬‬ ‫→ ‪= 𝑦3‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫𝑦‬ ‫)𝑐 ‪3 𝑑𝑦 → 𝑦 3 = (𝑥 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫‪3 13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= (𝑥 + 𝑐)3 ) , 𝑥 + 𝑐 > 0‬‬ ‫الحل العام (‪) general solution‬‬ ‫اما اذا كان ‪ y=0‬فال يمكن اجراء عملية الفصل علما انه يحقق المعادلة التفاضلية وهو ال ينتمي الى‬ ‫مجموعة الحل العام ) ‪ ( 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑐)3‬الي قيمة ل ‪ c‬لذلك يكون الحل منفرد‪.‬‬ ‫‪ : 1-1‬مالحظات‪:‬‬ ‫‪ – 1‬قد يكون للمعادلة التفاضلية حل وحيد )‪ , (Unique Solution‬وقد يوجد لها حلول عديدة ‪(Many‬‬ ‫)‪ , Solution‬وقد ال يوجد لها حل على االطالق ‪.‬‬ ‫‪ – 2‬من الممكن ان يكون الحل في الصورة الصريحة )‪ y=f(x‬ومن الممكن ان يكون الحل في‬ ‫الصورة الضمنية ‪f(x,y)=0‬‬ ‫)𝑡(𝑥 = 𝑥‬ ‫{‬ ‫ومن الممكن ان يكون الحل في الصورة البارامترية‬ ‫)𝑡(𝑦 = 𝑦‬ ‫(العويضي‪)18:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ : 5-1‬تصــــنيف المعــــادالت التفاضــــلية ( رتبـــة ودرجـــة ) المعــــادلة التفاضـــــــلية‬ ‫‪ : 1-5-1‬رتبة المعادلة التفاضلية ‪:‬‬ ‫اذا كانت المشتقة النونية )𝑛( 𝑦 هي اعلى مشتقة تظهر في المعادلة التفاضلية العادية قيل ان هذه المعادلة‬ ‫من الرتبة) ‪( n‬‬ ‫ويمكن ايضاح ذلك من خالل االمثلة التالية ‪:‬‬ ‫‪1) 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0‬‬ ‫الرتبة االولى‬ ‫𝑥 ‪2( 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 𝑥 2 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin‬‬ ‫الرتبة الثانية‬ ‫‪3)2𝑦 ′′′ + 𝑥 2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫𝑥‪− 𝑦 ′ = −‬‬ ‫الرتبة الثالثة‬ ‫‪ : 2-5-1‬درجة المعادلة التفاضلية ‪:‬‬ ‫هي االس المرفوع اليها أعلى مشتقة بالمعادلة التفاضلية ‪ ,‬وقبل تحديد درجة المعادلة التفاضلية يجب‬ ‫وضعها على صورة قياسية وصحيحة من حيث المشتقات ‪.‬ويمكن ايضاح ذلك من خالل االمثلة التالية‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫‪1) 1 + ( )2 = (3‬‬ ‫‪+ 𝑥𝑦)2‬‬ ‫الدرجة الثانية‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫‪𝑑2𝑦 3‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫(‪2) 9‬‬ ‫)‬ ‫𝑦𝑥‪+ 6‬‬ ‫‪− ( )2 + 𝑥 2 𝑦 2 − 1 = 0‬‬ ‫الثالثة الدرجة‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥 = 𝑦𝑥‪3) 𝑦 ′′ − 7(𝑦 ′ )2 − 3‬‬ ‫االولى الدرجة‬ ‫‪ :2-1‬مالحظة ‪:‬‬ ‫هناك بعض المعادالت التي ال يمكن تحديد درجتها االبعد وضعها على صورة خالية من الجذور‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: [1 +‬‬ ‫] ‪( )2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪+ 𝑥𝑦 = 0‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬ ‫‪Solution:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫‪1 + ( )2 = (−3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑦𝑥 ‪−‬‬ ‫بتربيع الطرفين‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑑𝑦 2‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫‪1 + ( ) = 9 ( 2 ) + 6𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫𝑦‪𝑑2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪𝑑𝑦 2‬‬ ‫‪→ 9 ( 2 ) + 6𝑥𝑦 2 + 𝑥 𝑦 − 1 − ( ) = 0‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫(السامرائي وسعيد ‪(19 :‬‬ ‫أصبحت هذه المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الثانية والرتبة الثانية‪.‬‬ ‫‪11‬‬  ‫‪ : 6-1‬طرق حل المعادالت التفاضلية االعتيادية من الرتبة االولى‬ ‫(‪: ( First order linear differential equations and First degree‬‬ ‫يوجد صيغتان اساسيتان من المعادالت التفاضلية من الرتبة االولى والدرجة االولى وهما‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)𝑖‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑓(𝑥,‬‬ ‫‪𝑖𝑖) 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫وفيما يلي سوف نرى انه يمكن كتابة اي من الصيغتين بداللة الصيغة االخرى ونفترض تحقق الشروط و‬ ‫وجود الحلول‬ ‫‪ :1-6-1‬طريقة فصل المتغيرات (‪:) separating variables‬‬ ‫‪: 1-1-6-1‬الطريقة المباشرة‪:‬‬ ‫اذا امكن كتابة المعادلة التفاضلية من الرتبة والدرجة االولى على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫………… 𝑦𝑑)𝑦(𝑓 = 𝑥𝑑)𝑥(𝑓‬ ‫)‪(1‬‬ ‫حيث ان )‪ f(x‬دالة بداللة ‪ x‬فقط ودالة )‪ f(y‬بداللة ‪ y‬فأننا نقول في هذه الحالة ان المتغيرات منفصلة ‪.‬‬ ‫وتحل هذه المعادالت بتكامل الطرفين مع اضافة ثابت التكامل االختياري ألي من الطرفين وبذلك يكون‬ ‫الحل للمعادلة االولى هو ‪:‬‬ ‫……… 𝑦𝑑)𝑦(𝑓 ∫ = 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 ∫‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑠𝑒𝑠𝑠𝑎𝑝 𝑡𝑎‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝑡ℎ‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑒‪𝑡ℎ𝑟𝑜𝑢𝑔ℎ 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 (0,0) 𝐹𝑜𝑟 𝑡ℎ‬‬ ‫‪𝑒 𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑥 + (1 + 𝑒 𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫‪Solution :‬‬ ‫يمكن فصل متغيراتها وذلك بقسمة طرفي المعادلة التفاضلية على ( 𝑥 𝑒 ‪ cos 𝑦 ( 1 +‬فنحصل على‪:‬‬ ‫و بذلك يكون الحل العام هو ‪:‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑒‬ ‫𝑦 ‪sin‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫|𝑦 ‪1 + 𝑒 𝑥 = 𝑐|cos‬‬ ‫𝑥𝑒 ‪1 +‬‬ ‫𝑦 ‪cos‬‬ ‫𝑐 = ) 𝑦 ‪ln(1 + 𝑒 𝑥 ) − ln(cos‬‬ ‫وبالتكامل المباشر‪:‬‬ ‫و بالتعويض عن ‪x=0‬و ‪ y=0‬فأن‪:‬‬ ‫𝑥 𝑒‪1+‬‬ ‫( ‪ln‬‬ ‫𝑐=)‬ ‫استخدام خواص ‪ ln‬اخذ‪ e‬للطرفين‬ ‫‪c=0‬‬ ‫𝑦 ‪cos‬‬ ‫𝑥 𝑒‪1+‬‬ ‫𝑐=‬ ‫تبسيط الحل‬ ‫ويكون الحل الخاص ‪:‬‬ ‫𝑦 ‪cos‬‬ ‫|𝑦 ‪1 + 𝑒 𝑥 = 2|cos‬‬ ‫( العويضي‪)24 :‬‬ ‫‪12‬‬  ‫‪:2-1-6-1‬طريقة التعويض ‪:‬‬ ‫أذاكانت المعادلة التفاضلية على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)𝑐 ‪= 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +‬‬ ‫او‬ ‫)𝑦𝑏 ‪= 𝑓(𝑎𝑥 +‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫فانه يمكن اختزالها الى معادلة تفاضلية مفصولة متغيراتها ( فصل المتغيرات) ولهذا نفترض أن ‪:‬‬ ‫𝑧 = 𝑐 ‪𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +‬‬ ‫او‬ ‫𝑧 = 𝑦𝑏 ‪𝑎𝑥 +‬‬ ‫(العويضي‪)26,24:‬‬ ‫وتتضح هذه الحالة من خالل المثال التالي ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪𝑬𝒙𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆:‬‬ ‫𝑦 ‪= 2𝑥 +‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪Solution :‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫) وبفصل المتغيرات نجد ‪:‬‬ ‫) أو )𝑧 ‪= 2 +‬‬ ‫‪=2+‬‬ ‫بفرض )𝑦 ‪ ( 𝑧 = 2𝑥 +‬نجد ان ‪) :‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑥𝑑 =‬ ‫)‪(𝑧 + 2‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫∫‬ ‫𝑥𝑑 ∫ =‬ ‫)‪(𝑧 + 2‬‬ ‫𝑐 ‪ln(𝑧 + 2) = 𝑥 +‬‬ ‫𝑐‪𝑧 + 2 = 𝑒 𝑥+‬‬ ‫‪𝑧 = 𝑒 𝑥+𝑐 − 2‬‬ ‫‪2𝑥 + 𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑐 − 2‬‬ ‫او‬ ‫𝑥‪𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑐 − 2 − 2‬‬ ‫(كتبي‪)22:‬‬ ‫‪13‬‬  ‫‪: 2-6-1‬المعادالت التفاضلية المتجانسة‬ ‫(‪: )Homogeneous differential equation‬‬ ‫يقال ان المعادلة التفاضلية ‪ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0‬متجانسة اذا كان كل من (‪ )N,M‬دالة‬ ‫متجانسة من نفس الدرجة علما ً بأن )‪ f(x,y‬دالة متجانسة من درجة ‪n‬اذا كان ‪:‬‬ ‫)𝑦 ‪𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑛 𝑓(𝑥,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑅‪‬‬ ‫وعلى ذلكفان المعادلة التفاضلية المتجانسة يمكنانت توضع علىعلى الصورة التلية ‪:‬‬ ‫)𝑦 ‪𝑑𝑦 −𝑀(𝑥,‬‬ ‫=‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑓(𝑥,‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫)𝑦 ‪𝑁(𝑥,‬‬ ‫و حيث ان )‪ (N,M‬متجانسة من نفس الدرجة نجد ان )‪ f(x,y‬و درجة التجانس هي ‪n=0‬‬ ‫اي انه‪:‬‬ ‫)𝑥𝑦( 𝑓 = )𝑦 ‪𝑓(𝑥,‬‬ ‫(العويضي‪)28:‬‬ ‫الخالصة ‪:‬‬ ‫المعادلة التفاضلية ‪ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0‬اذاكان كل من )‪ (N,M‬متجانسة نفس الدرجة ‪.‬‬ ‫و في هذه الحالة نستخدم التعويض 𝑥𝑦 = 𝑣 اي ان 𝑥𝑣 = 𝑦 و بالتالي فأن‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑥𝑑 ثم تتحول المعادلة التفاضلية الى معادلة يمكن‬ ‫𝑥𝑑‪= v + x‬‬ ‫𝑥𝑑𝑣 ‪ 𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑣 +‬او‬ ‫فصل متغيراتها ثم تحل كما سبق ‪.‬و من خالل المثال سوف يتضح ذلك ‪:‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑛𝑜𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑔𝑛𝑖𝑤𝑜𝑙𝑙𝑜𝑓 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝐼𝑠 𝑡ℎ‬‬ ‫𝑥 ‪𝑑𝑦 𝑦 +‬‬ ‫=‬ ‫‪ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑜𝑢𝑠 ? 𝐴𝑛𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑦𝑖𝑜𝑛.‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛:‬‬ ‫)𝑦 ‪𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑛 𝑓(𝑥,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑅‪‬‬ ‫)𝑥 ‪(𝑦 + 𝑥) (𝑦 +‬‬ ‫𝑥‪𝑦+‬‬ ‫= )𝑦‪𝑓(𝑥, ‬‬ ‫→‬ ‫‪→ 0‬‬ ‫𝑥‪‬‬ ‫𝑥‪‬‬ ‫𝑥‬ ‫إذن المعادلة التنفاضلية متجانسة و درجة تجانسها ‪. n=0‬‬ ‫‪14‬‬  ‫هذه المعادلة غير قابلة للفصل ‪ ,‬ولكنها متجانسة ويمكن حلها من حالل تعويض المعادلتين ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑥‪=𝑣+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑥𝑣 = 𝑦‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑥‪𝑣𝑥+‬‬ ‫𝑥‪𝑣+‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪=1‬‬ ‫او‬ ‫‪𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 0‬‬ ‫والتي يمكن تبسيطها جبريا الى ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑐 = 𝑣𝑑 ∫ ‪∫ 𝑥 𝑑𝑥 −‬‬ ‫والمعادلة االخيرة قابلة للفصل ويكون حلها هو‪:‬‬ ‫|𝑥𝑘|𝑛𝑙 = 𝑣‬ ‫𝑐 ‪ 𝑣 = 𝑙𝑛|𝑥| −‬او‬ ‫وعند حساب التكاملين ينتج ان ‪:‬‬ ‫حيث وضعنا |𝑘|𝑛𝑙‪ 𝑐 = −‬والحظنا ان |𝑥𝑘|𝑛𝑙 = |𝑘|𝑛𝑙 ‪ 𝑙𝑛|𝑥| +‬واخيرا بتعويض‬ ‫𝑦‬ ‫= 𝑣 ) في المعادلة ( |𝑥𝑘|𝑛𝑙 = 𝑣 ) نحصل على حل المعادلة التفاضلية المعطاة وهو‬ ‫(‬ ‫𝑥‬ ‫|𝑥𝑘|𝑛𝑙𝑥 = 𝑦‬ ‫( برونسون‪)38 : 2012 :‬‬ ‫‪ :3-6-1‬المعادالت التفاضلية العادية التي تؤول الى معادالت تفاضلية متجانسة‬ ‫(‪:)Ordinary differential equations that lead to renewable‬‬ ‫تكون هذه المعادالت التفاضلية العادية على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫‪𝑑𝑦 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1‬‬ ‫=‬ ‫)‪… … … … (1‬‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2‬‬ ‫حيث ان ‪ (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐1 , 𝑐1 ) :‬ثوابت واذا كان ‪ 𝑐1 , 𝑐2 =0‬فان المعادلة التفاضلية (‪ )1‬تؤول الى‬ ‫المعادلة ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦 ‪𝑎1 + 𝑏1‬‬ ‫=‬ ‫)‪… … … … …. (2‬‬ ‫𝑦 ‪𝑑𝑥 𝑎2 𝑥 + 𝑏2‬‬ ‫وهي معادلة تفاضلية متجانسة حيث ان كل من دالتي البسط والمقام متجانسة ومن الدرجة االولى وفي‬ ‫هذه الحالة يمكن حل معادلة (‪ )2‬كما في البند السابق ‪.‬‬ ‫لحل المعادلة التفاضلية العادية (‪ )1‬فإننا نبحث فيما اذا كان الخطان المستقيمان يتقاطعان ام ال‪:‬‬ ‫‪𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0‬‬ ‫‪𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0‬‬ ‫‪15‬‬  ‫لذلك سنناقش الحالتين كل وحدة على حدا ‪:‬‬ ‫الحالة االولى‪ :‬أذا كان المستقيمان متقاطعان ( يتقاطع مستقيمان)‬ ‫‪𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0‬‬ ‫‪𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0‬‬ ‫‪𝑎1‬‬ ‫‪𝑏1‬‬ ‫|‬ ‫‪|≠0‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪𝑎1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≠ 𝑎2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فأنهما يحققان احد الشروط التالية‪:‬‬ ‫‪𝑎2‬‬ ‫‪𝑏1‬‬ ‫‪y=v+k ,x=u+h‬‬ ‫بافتراض ان نقاط التقاطع المستقيمان هي ( ‪ ) h,k‬فأننا نستخدم التعويض‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫وبالتعويض في المعادلة (‪ (1‬فإننا نحصل على ‪:‬‬ ‫=‬ ‫حيث ان ( ‪ ) h,k‬ثوابت وعلى ذلك فانه ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫) ‪𝑑𝑦 𝑎1 𝑢 + 𝑏1 𝑣 + (𝑎1 ℎ + 𝑏1 𝑘 + 𝑐1‬‬ ‫=‬ ‫)‪… … … ….. (3‬‬ ‫) ‪𝑑𝑥 𝑎2 𝑢 + 𝑏2 𝑣 + (𝑎2 ℎ + 𝑏2 𝑘 + 𝑐2‬‬ ‫( العويضي‪)32, 31 :‬‬ ‫وحيث ان (‪ ) h,k‬نقطة تقاطع المستقيمان (‪ , )3‬أي انها تقع على كل منهما وعلية فان ‪ :‬وعلى هذا فانه‬ ‫المعادلة (‪ )4‬تأخذ الصورة‬ ‫‪𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0‬‬ ‫‪𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0‬‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑣 ‪𝑎1 𝑢+𝑏1‬‬ ‫=‬ ‫(‪............. )4‬‬ ‫وعلى هذا فان المعادلة رقم (‪ )4‬تأخذ الصورة‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝒗 𝟐𝒃‪𝑎2 𝑢+‬‬ ‫وهذه المعادلة التفاضلية متجانسة في المتغيرين (‪ ) u,v‬ويمكن حلها كما سبق وذلك باستخدام التعويض‬ ‫‪ v=zu‬فتتحول المعادلة التفاضلية (‪ )5‬الى معادلة تفاضلية تحل بفصل المتغيرات ثم تستخدم التعويض‬ ‫𝒗‬ ‫= 𝒛 ثم نعوض بعد ذلك عن كل من ‪ u,v‬حيث ان ‪ u=x-h , v=y-k‬فنحصل على الحل العام‬ ‫𝒖‬ ‫للمعادلة التفاضلية رقم (‪)1‬‬ ‫واالن سنعطي مجموعة من االمثلة المحلولة على هذه الحالة‬ ‫‪16‬‬ ‫𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑦𝑟𝑎𝑛𝑖𝑑𝑟𝑜 𝑓𝑜 𝑛𝑜𝑖𝑡𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑟𝑒𝑛𝑒𝑔 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ‬‬ ‫‪𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦 − 3‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒‬ ‫=‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 − 𝑦 − 1‬‬ ‫‪Solution:‬‬ ‫)‪𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 … ….. (1‬‬ ‫)‪𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 … ….. (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‬ ‫‪| = (−1 × 1) − (1 × 1) = −2 ≠ 0 or 𝑎1 𝑏1 ≠ 𝑎2 𝑏2 → −1 ≠ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫من خالل تحقق الشروط اعاله نالحظ ان المستقيمان متقاطعان اذن يمكن ايجاد نقطة التقاطع من خالل‬ ‫حل المعادلة رقم (‪ )1‬ومعادلة رقم (‪ )2‬باحد طرق حل المعادالت الخطية إليجاد نقطة التقاطع (‪) h,k‬‬ ‫)‪𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 → (1‬‬ ‫)‪𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 → (2‬‬ ‫‪2𝑥 − 4 = 0 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2‬‬ ‫)‪𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 → (1‬‬ ‫نضرب معادلة رقم (‪ )2‬في (‪ )-1‬ونجمعها مع معادلة رقم (‪ )1‬أليجاد‬ ‫)‪𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 → (2‬‬ ‫قيمة ‪y‬‬ ‫‪2𝑦 − 2 = 0 → 2𝑦 = 2 → 𝑦 = 1‬‬ ‫اذن نقطة التقاطع ( ‪ )h,k‬هي (‪ )2,1‬االن نقوم بتعويض‬ ‫= 𝑦𝑥‬ ‫‪= 𝑢𝑣 +‬‬ ‫‪+ℎ‬‬‫→𝑘‬ ‫= 𝑦𝑥 →‬ ‫‪= 𝑢𝑣 +‬‬ ‫‪+2‬‬‫‪1‬‬ ‫𝑣𝑑 𝑦𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑢𝑑 𝑥𝑑‬ ‫( العويضي‪:‬الجزء االول‪) 35 :‬‬ ‫‪17‬‬  ‫𝐲𝐝‬ ‫في المعادلة التفاضلية لكي تؤول الى معادلة تفاضلية‬ ‫االن يتم تعويض قيمة 𝐱 وقيمة 𝐲 وكذلك قيمة‬ ‫𝐱𝐝‬ ‫متجانسة ‪.‬‬ ‫‪𝑑𝑣 (𝑢 + 2) + (𝑣 + 1) − 3‬‬ ‫‪1 + 𝑧2‬‬ ‫‪1 + 𝑧2‬‬ ‫=‬ ‫( = 𝑧𝑑 𝑢[‬ ‫()𝑢( ÷ ]𝑢𝑑 )‬ ‫)‬ ‫‪𝑑𝑢 (𝑢 + 2) − (𝑣 + 1) − 1‬‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫𝑣 ‪𝑑𝑣 𝑢 +‬‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑣 ‪𝑑𝑢 𝑢 −‬‬ ‫‪1 + 𝑧2‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫→ 𝑧𝑢 = 𝑣 ‪𝐿𝑒𝑡:‬‬ ‫𝑢=‬ ‫𝑧‪+‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫∫‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫=‬ ‫∫‬ ‫‪1 + 𝑧2‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑧𝑢 ‪𝑢 +‬‬ ‫𝑢‬ ‫= 𝑧‪+‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧𝑢 ‪𝑢 −‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑧‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫)𝑧 ‪𝑢(1 +‬‬ ‫∫‬ ‫‪−‬‬ ‫∫‬ ‫=‬ ‫∫‬ ‫‪1 + 𝑧2‬‬ ‫‪1 + 𝑧2‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫= 𝑧‪+‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫)𝑧 ‪𝑢(1 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑧‪1+‬‬ ‫𝑐 ‪𝑡𝑎𝑛−1 (𝑧) − 𝑙𝑛(1 + 𝑧 2 ) = 𝑙𝑛(𝑢) +‬‬ ‫𝑢‬ ‫= 𝑧‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫𝑧 ‪𝑑𝑧 1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑢‬ ‫=‬ ‫𝑧‪−‬‬ ‫𝑧 = ) ‪𝑡𝑎𝑛(𝑙𝑛(𝑢) + 𝑐) − 𝑙𝑛(1 + 𝑧 2‬‬ ‫𝑧 ‪𝑑𝑢 1 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪𝑑𝑧 (1 + 𝑧) − (𝑧 − 𝑧 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑣2‬‬ ‫𝑣‬ ‫𝑢‬ ‫=‬ ‫= ) ‪𝑡𝑎𝑛(𝑙𝑛(𝑢) + 𝑐) − 𝑙𝑛 (1 + 2‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫‪𝑑𝑧 1 + 𝑧 2‬‬ ‫𝑢‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(𝑢𝑧)2‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫) ‪𝑢𝑧 = 𝑢(𝑡𝑎𝑛(𝑙𝑛(𝑢) + 𝑐) − 𝑙𝑛 (1 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑢‬ ‫‪𝑑𝑧 1 + 𝑧 2‬‬ ‫𝑢[‬ ‫=‬ ‫𝑢𝑑 × ]‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑧‪1−‬‬ ‫)𝑐 ‪(𝑦 − 1) = (𝑥 − 2)(tan(ln(𝑥 − 2) +‬‬ ‫( العويضي و رجب و زراع ‪ :‬الجزء االول ‪) 35 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(𝑦 − 1) 2‬‬ ‫‪− 𝑙𝑛 (1 +‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(𝑥 − 2)2‬‬ ‫‪18‬‬  ‫الحالة الثانية ‪:‬‬ ‫يمكن للمستقيمين ان يكونا متوازيين في المعادلة رقم (‪ )3‬اذا حققا شرط التوازي وهو ‪:‬‬ ‫‪𝑎1‬‬ ‫‪𝑏1‬‬ ‫|‬ ‫‪|=0‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2‬‬ ‫‪𝑎2‬‬ ‫‪𝑏2‬‬ ‫𝑦 ‪𝑧 = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1‬‬ ‫‪or‬‬ ‫𝑦 ‪𝑧 = 𝑎2 𝑥 + 𝑏2‬‬ ‫وفي هذه الحالة نستخدم التعويض ‪:‬‬ ‫وفي هذه الحالة بعد التعويض تتحول المعادلة التفاضلية العادية (‪ )1‬الى معادلة تفاضلية‬ ‫تحل بطريقة فصل المتغيرات والتي ستتضح من خالل االمثلة االتية ‪:‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑒 𝑞𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑡ℎ‬‬ ‫‪𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦 − 5‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 + 𝑦 + 1‬‬ ‫‪Solution :‬‬ ‫)‪𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 … … … (1‬‬ ‫)‪𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 … … …. (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‬ ‫‪|=1−1=0‬‬ ‫‪or‬‬ ‫)‪𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2 → (1 × 1) = (1 × 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بما انه الشروط اعاله متحققة اذن المستقيمان متوازيان ‪:‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 𝑦𝑑‬ ‫→ 𝑦 ‪𝐿𝑒𝑡: 𝑧 = 𝑥 +‬‬ ‫‪=1+‬‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑥𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫‪𝑧−5‬‬ ‫=‪−1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪𝑑𝑧 𝑧 − 5‬‬ ‫=‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑧 + 1‬‬ ‫)‪𝑑𝑧 (𝑧 − 5) + (𝑧 + 1‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪𝑑𝑧 2𝑧 − 4‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪𝑑𝑧 2𝑧 − 4‬‬ ‫‪2𝑧 − 4‬‬ ‫= [‬ ‫( = 𝑧𝑑 → 𝑥𝑑 × ]‬ ‫𝑥𝑑 )‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪19‬‬  ‫‪2𝑧 − 4‬‬ ‫‪2𝑧 − 4‬‬ ‫( = 𝑧𝑑[‬ ‫( ÷ ]𝑥𝑑 )‬ ‫)‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫(‬ ‫𝑥𝑑 = 𝑧𝑑 )‬ ‫‪2𝑧 − 4‬‬ ‫‪𝑧+1‬‬ ‫(∫‬ ‫𝑥𝑑 ∫ = 𝑧𝑑 )‬ ‫‪2𝑧 − 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑐 ‪𝑧 + 3𝑙𝑛(𝑧 − 2) = 𝑥 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‪𝑥+‬‬ ‫𝑐 ‪+ 3𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦 − 2) = 𝑥 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(𝑥 + 𝑦) + 6𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦 − 2‬‬ ‫𝑐‪=𝑥+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪𝑦 = 2𝑥 + 2𝑐 − 𝑥 − 6𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦 − 2‬‬ ‫( العويضي‪ :‬الجزء االول‪)37:‬‬ ‫‪ :4-6-1‬المعادالت التفاضلية التامة ( ‪:) Exact differential equations‬‬ ‫تسمى المعادلة التفاضلية ذات الرتبة االولى ‪:‬‬ ‫)‪𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 … …. (1‬‬ ‫دالتين متصلتين وقابلتين‬ ‫‪(𝑀(𝑥, 𝑦) ,‬‬ ‫بالمعادلة التفاضلية التامة اذا كانت ) )𝑦 ‪𝑁(𝑥,‬‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫وألثبات العالقة (‪ )2‬نفرض ان لدينا‬ ‫=‬ ‫)‪… … ….. (2‬‬ ‫للتفاضل وتحقق العالقة ‪:‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫الدالة )𝑦 ‪ 𝑢(𝑥,‬وبكتابة المعادلة (‪ )1‬على الصورة التالية ‪:‬‬ ‫)‪𝑑[𝑢(𝑥, 𝑦)] = 0 … ….. (3‬‬ ‫𝑐 = )𝑦 ‪𝑢(𝑥,‬‬ ‫وبالتالي يكون حلها العام ‪:‬‬ ‫‪20‬‬  ‫وبما انه ‪:‬‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫= 𝑢𝑑 = 𝑦𝑑)𝑦 ‪𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,‬‬ ‫‪𝑑𝑥 +‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫=𝑀‬ ‫‪,‬‬ ‫=𝑁‬ ‫)‪… … … …. (4‬‬ ‫وعليه فأنه ‪:‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫وبتفاضل العالقة االولى في (‪ )4‬بالنسبة الى ‪ y‬والثانية بالنسبة الى ‪ x‬نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑢‪𝜕2‬‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑢‪𝜕2‬‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫𝑦𝜕𝑥𝜕 𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕𝑦𝜕 𝑥𝜕‬ ‫إذن نجد انه ‪:‬‬ ‫𝑀𝜕 𝑁𝜕‬ ‫=‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫اي ان العالقة (‪ )2‬هو شرط ضروري ليكون الطرف االيسر للمعادلة (‪ )1‬تفاضالً تاما ً للدالة‬ ‫)𝑦 ‪𝑢(𝑥,‬‬ ‫ولحل المعادلة التفاضلية التامة‬ ‫‪𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫بحيث انه ‪:‬‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑦𝑑 𝑁 ‪𝑑𝑢 = 𝑀 𝑑𝑥 +‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫ونحن وجدنا مسبقا ً من العالقة (‪ )4‬أن ‪:‬‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑀(𝑥,‬‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑁(𝑥,‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫وبالتالي نجد انه ‪:‬‬ ‫)𝑦(𝑓 ‪𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 +‬‬ ‫حيث انه عند حساب التكامل ( )𝑥𝜕)𝑦 ‪ )∫ 𝑀(𝑥,‬فإنه ( ‪ )y‬تعتبر كثابت وبالتالي تكون الدالة )‪f(y‬‬ ‫داله اختيارية في ‪ y‬وإليجاد )‪ f(y‬نحن سوف نفاضل الدالة )𝑦 ‪ 𝑢(𝑥,‬بالنسبة الى ‪: y‬‬ ‫‪21‬‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫)𝑦(𝑓𝑑‬ ‫=‬ ‫‪[∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥] +‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫= )𝑦 ‪ 𝑁(𝑥,‬فإنه ‪:‬‬ ‫وحيث انه ‪:‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫∂‬ ‫)𝑦(𝑓𝑑‬ ‫‪[∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) ∂𝑥] +‬‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑁(𝑥,‬‬ ‫𝑦∂‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫واالمثلة االتية )‪ f(y‬وباستخدام التكامل نحن نستطيع أن نجد )𝑦( ‪𝑓 ′‬ومن هذه المعادلة نحصل على‬ ‫تبين ذلك ‪.‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪𝑦 2 − 3𝑥 2‬‬ ‫‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝐼𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 3 𝑑𝑥 +‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑦4‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑡𝑖 𝑑𝑛𝑖𝑓 𝑑𝑛𝐴 ?𝑡𝑜𝑛 𝑟𝑜 𝑒𝑡𝑒𝑙𝑝𝑚𝑜𝑐 ‪= 0‬‬ ‫‪Solution :‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪𝑦 2 − 3𝑥 2‬‬ ‫‪𝑀(𝑥, 𝑦) = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )𝑦 ‪𝑁(𝑥,‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑦4‬‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑥‪6‬‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑥‪6‬‬ ‫‪=− 4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪=− 4‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫متحقق وهذا يعني ان الطرف االيسر في المعادلة المعطاة هو تفاضل‬ ‫=‬ ‫وعليه فإن الشرط‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫=𝑀‬ ‫=‬ ‫حيث ان ‪:‬‬ ‫تام لدالة المجهول )𝑦 ‪ 𝑢(𝑥,‬واالن سنبحث عن هذه الدالة ‪.‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫‪𝑦3‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫∫=𝑢‬ ‫‪3‬‬ ‫= 𝑥𝑑‬ ‫)𝑦(‪+ ℎ‬‬ ‫فإنه‪:‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑦3‬‬ ‫حيث ان )𝑦(‪ ℎ‬دالة مجهولة حتى االن في ‪ y‬وبتفاضل هذه العالقة بالنسبة الى ‪ y‬اخذنا في االعتبار انه‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫‪𝑦 2 −3𝑥 2‬‬ ‫=𝑁‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪𝑦4‬‬ ‫𝑐 ‪ℎ(𝑦) = − +‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪−3𝑥 2‬‬ ‫)𝑦( ‪′‬‬ ‫‪𝑦 2 − 3𝑥 2‬‬ ‫‪+ℎ‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑦4‬‬ ‫‪𝑦4‬‬ ‫‪𝑥2 1‬‬ ‫𝑐 ‪𝑢(𝑥, 𝑦) = 3 − +‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫‪1‬‬ ‫= )𝑦( ‪ℎ′‬‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫وبهذا يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∫ ℎ′ (𝑦) = ∫ 𝑦2‬‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟏‬ ‫هو (𝒄 ‪ )𝒚𝟑 − 𝒚 +‬حيث ان ‪ c‬هو ثابت اختياري‪.‬‬ ‫( كتبي ‪ :‬الطبعة االولى‪) 35 : 1999-‬‬ ‫‪22‬‬  ‫يمكن حل المعادلة التفاضلية التامة ايضا ً من خالل ما يلي ‪:‬‬ ‫نحسب ‪:‬‬ ‫)𝑖(‬ ‫𝑥𝑑)𝑦 ‪∫ 𝑀(𝑥,‬‬ ‫ثم نحسب ‪:‬‬ ‫)𝑖𝑖(‬ ‫𝑦𝑑)𝑦 ‪∫ 𝑁(𝑥,‬‬ ‫وبالتالي يكون الحل العام عبارة عن الحدود التي ظهرت في )𝒊( مضافا ً اليه الحدود التي ظهرت في‬ ‫)𝒊𝒊( ولم تظهر في )𝒊( = ثابت اختياري ‪.‬‬ ‫فالبنسبة للمثال السابق نجد ان ‪:‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫)𝑖(‬ ‫‪∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) = ∫ 3 𝑑𝑥 = 3‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑦 2 − 3𝑥 2‬‬ ‫‪1 3𝑥 2‬‬ ‫‪1 𝑥2‬‬ ‫)𝑖𝑖(‬ ‫∫ = )𝑦 ‪∫ 𝑁(𝑥,‬‬ ‫‪𝑑𝑦 = ∫ ( 2 − 4 ) 𝑑𝑦 = − + 3‬‬ ‫‪𝑦4‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦 𝑦‬ ‫وبالتالي يكون الحل العام هو ‪:‬‬ ‫‪𝑥2 1‬‬ ‫𝑐= ‪−‬‬ ‫𝑦 ‪𝑦3‬‬ ‫وهو نفس الجواب الذي حصلنا عليه مسبقا ً‪.‬‬ ‫(كتبي‪)32,37:‬‬ ‫‪23‬‬  ‫‪ : 5-6-1‬المعادالت التفاضلية الغير تامة (‪:)Not Exact differential equations‬‬ ‫في بعض االحيان تكون المعادلة التفاضلية ‪:‬‬ ‫)‪𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 … … …. (1‬‬ ‫غير تامه ‪.‬ولكن يمكن جعلها تامة وذلك بضربها في دالة مناسبة ولتكن ‪ 𝑔(𝑥, 𝑦) ≠ 0‬هذه الدالة‬ ‫تسمى معامل التكامل او المكاملة ( ‪ )Integration Factor‬للمعادلة (‪ )1‬وعلى ذلك فإنه ‪:‬‬ ‫)‪g(x,y). 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥, 𝑦). 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 … … …. (2‬‬ ‫تكون تامة اذا وفقط اذا تحقق الشرط ‪:‬‬ ‫)𝑁𝑔(𝜕 )𝑀𝑔(𝜕‬ ‫=‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫وبالتالي يكون ‪:‬‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑔‬ ‫𝑀‪+‬‬ ‫𝑔=‬ ‫𝑁‪+‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑔𝜕‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑁‪−‬‬ ‫(‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪).g = 0‬‬ ‫اي انه ‪:‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫وهذه المعادلة التفاضلية جزئية في الدالة المجهولة ‪ g‬والتي تعتمد على المتغيرين (‪ )x,y‬وبشكل عام‬ ‫تكون مسأألة تعيين عامل المكاملة )‪ g(x,y‬من هذه المعادلة اكثر صعوبة من تكامل المعادلة االصلية (‪)1‬‬ ‫‪.‬ولذلك نفرض ان ‪ g‬دالة في ‪ x‬أو ‪ g‬دالة في ‪ y‬فقط وذلك حسب ظروف المسألة ‪:‬‬ ‫𝒈𝝏‬ ‫وعليه فأنه ‪:‬‬ ‫أوالً ‪ /‬اذا كانت )‪ g=g(x‬فعند أذن يكون 𝟎 =‬ ‫𝒚𝝏‬ ‫𝑁𝑑 𝑀𝜕‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫‪−‬‬ ‫(‬ ‫𝑔‪).‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑦𝜕‬ ‫[=‬ ‫)𝐼( ‪] … … … … ….‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑁‬ ‫‪24‬‬  ‫𝒈𝝏‬ ‫وعليـــــه فإنه ‪:‬‬ ‫ثانيا ً ‪ /‬أما اذا كان عامل المكاملة دالة في ‪ y‬فقط اي انه )‪ g=g(y‬فإنه 𝟎 =‬ ‫𝒙𝝏‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫(‪−‬‬ ‫𝑔‪− ).‬‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬ ‫[=‬ ‫)𝐼𝐼( ‪] … … … …..‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑀‬ ‫( الخطيب‪)33 :‬‬ ‫( كتبي ‪)39:‬‬ ‫ثالثا ‪ /‬أذا كان معامل التكامل دالة ل ( ‪: ) x,y‬‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬ ‫= )𝑍( 𝑓‬ ‫𝑦𝑓𝑀 ‪𝑁𝑓𝑥 −‬‬ ‫)∗( … … … … 𝑧𝑑)𝑧(𝑓 ∫ 𝑒 = 𝜇‬ ‫‪,‬‬ ‫)𝑦 ‪𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥,‬‬ ‫أشتقاق معامل التكامل عندما يكون دالة ل ‪ x‬فقط من المعادلة (‪)2‬‬ ‫𝜇𝜕‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝜇𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑀‬ ‫𝜇‪+‬‬ ‫𝑁=‬ ‫𝜇‪+‬‬ ‫)‪… … … … … (2‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝜇𝜕‬ ‫𝑀 في المعادلة ‪ 2‬يساوي صفر‬ ‫المعامل دالة ل ‪ x‬فقط فيكون الحد‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝜇𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝜇‪0+‬‬ ‫𝑁=‬ ‫𝜇‪+‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫(‪μ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑁=)‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕 ‪1‬‬ ‫𝜇𝜕‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫= 𝑥𝑑 )‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕 𝑁‬ ‫𝜇‬ ‫‪XeX4kKrBOqs/youtu.be//https:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑆𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑡ℎ‬‬ ‫‪(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫‪:Solution‬‬ ‫𝑥 ‪𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 +‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑦𝑥 = )𝑦 ‪𝑁(𝑥,‬‬ ‫اذن المعادلة غير تامة‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑦‪= 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑦=‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫بأستخدام العالقة (𝑰) نجد انه ‪:‬‬ ‫𝑁𝑑 𝑀𝜕‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑦 ‪). 𝑔 2𝑦 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑦𝜕‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑔 ‪= ( ).‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑁‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫𝑔 𝑔𝑑‬ ‫𝑥𝑑 𝑔𝑑‬ ‫=‬ ‫‪,‬‬ ‫=‬ ‫𝑥 𝑦𝑑‬ ‫𝑔‬ ‫𝑥‬ ‫وبالتالي يكون ‪:‬‬ ‫فإنها تصبح تامة وعلى الصور ‪ x‬إذن أذا ضربنا المعادلة المعطاة في ‪ g=x‬وبتكامل الطرفين ينتج ان‬ ‫االتية ‪:‬‬ ‫وبالتالي نجد كما تعلمنا سابقا ً من ان حل المعادلة ‪(𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫التفاضلية يكون على الصورة‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑥 4 𝑥 2𝑦2 𝑥 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫= 𝑥𝑑 𝑥 ‪∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 𝑥𝑦 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑥 2𝑦2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑦𝑑)𝑦 𝑥(∫ = )𝑦 ‪∫ 𝑁(𝑥,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبذلك يكون الحل العام هو ‪:‬‬ ‫‪𝑥 4 𝑥 2𝑦2 𝑥 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑐=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(كتبي‪)40:‬‬ ‫حيث ان ‪ c‬ثابت اختياري ‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑡ℎ‬‬ ‫‪2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑦 2 − 3𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫‪:Solution‬‬ ‫𝑦𝑥‪𝑀 (𝑥, 𝑦) = 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 − 3𝑥 2‬‬ ‫𝑴𝝏‬ ‫𝑵𝝏‬ ‫) وبالتالي تكون المعادلة المعطاة غير تامة‬ ‫≠‬ ‫نالحظ ان (‬ ‫𝒚𝝏‬ ‫𝒙𝝏‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑥‪= 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑥‪= −6‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫اذن باستخدام العالقة (𝑰) نجد انه ‪:‬‬ ‫𝑁𝑑 𝑀𝜕‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑔‪).‬‬ ‫𝑥‪2𝑥 + 6‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑦𝜕‬ ‫‪= 2‬‬ ‫)𝑦 ‪= 𝑓(𝑥,‬‬ ‫𝑁‬ ‫‪𝑦 − 3𝑥 2‬‬ ‫وهذا بالطبع مرفوض النه معتمدة على متغيرين (‪ )x,y‬اذن نستخدم العالقة ( 𝐼𝐼) فنجد ‪:‬‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫(‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑥‪). 𝑔 −6𝑥 − 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)𝑦(𝑓 = ‪= −‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑀‬ ‫𝑦𝑥‪2‬‬ ‫𝑦‬ ‫اذن ‪:‬‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫𝑔‪4‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪= −4‬‬ ‫𝑔‬ ‫𝑦‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫∫‬ ‫‪= ∫ −4‬‬ ‫وبتكامل الطرفين‪:‬‬ ‫𝑔‬ ‫𝑦‬ ‫‪1‬‬ ‫=𝑔‬ ‫‪4‬‬ ‫تصبح‪:‬‬ ‫‪27‬‬  ‫𝟏‬ ‫) فأنها تصبح تامة وتصبح على الصورة ‪:‬‬ ‫𝟒‬ ‫إذن بضرب المعادلة المعطاة في (‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪1 3𝑥 2‬‬ ‫‪( 3 ) 𝑑𝑥 + ( 2 − 4 ) 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫وبالتالي نجد كما تعلمنا مسابقا ً من أن حل المعادلة التفاضلية التامة يكون على الصورة ‪:‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ ( 3 ) 𝑑𝑥 = 3‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫وكذلك ‪:‬‬ ‫‪1 3𝑥 2‬‬ ‫‪1 𝑥2‬‬ ‫‪∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) = ∫ ( 2 − 4 ) 𝑑𝑦 = − + 3‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦 𝑦‬ ‫وبذلك يكون الحل العام هو ‪:‬‬ ‫‪𝑥2 1‬‬ ‫𝑐= ‪−‬‬ ‫𝑦 ‪𝑦3‬‬ ‫‪𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑐𝑦 3‬‬ ‫( كتبي‪ ( ) 40 :‬الخطيب ‪) 34 :‬‬ ‫) 𝑥 ‪𝑬𝒙𝒂𝒎𝒑𝒍𝒆: 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝑥𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 𝑦 −‬‬ ‫‪:Solution‬‬ ‫نجد قيم ‪M,N‬‬ ‫‪𝑀 = 𝑥𝑦 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑥 ‪𝑁 = 𝑥2𝑦 −‬‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫𝑦𝑥‪= 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪= 2𝑥𝑦 − 1‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫≠‬ ‫𝑡𝑐𝑎𝑥𝐸 𝑡𝑜𝑁‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫‪28‬‬  ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬ ‫= )𝑍( 𝑓‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑦𝑥 ) ‪𝑁𝑓𝑥 − 𝑀𝑓𝑦 𝑦(𝑥 2 𝑦 − 𝑥 ) − 𝑥(𝑥𝑦 2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑧𝑑 𝑦 𝑦𝑥∫‬ ‫=𝜇‬ ‫𝑒‬ ‫=‬ ‫𝑦𝑥‬ ‫بضرب معامل التكامل في المعادلة االصلية ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥 − ) 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦=𝑀‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑁=𝑥−‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑁𝜕 𝑀𝜕‬ ‫=‬ ‫𝑡𝑐𝑎𝑥𝐸‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫)𝑦(𝑔 ‪𝑢 = ∫ 𝑀𝑑𝑥 → ∫ 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑥 +‬‬ ‫𝑢𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦𝑑 ‪= 𝑁 → 𝑥 + 𝑔′ (𝑦) = 𝑥 −‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑦‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑔′ (𝑦) = −‬‬ ‫𝑐 ‪→ ∫ 𝑔′ (𝑦)𝑑𝑦 = ∫ − 𝑑𝑦 → 𝑔(𝑦) = − ln(𝑦) +‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫𝑐 = )𝑦(‪𝑦𝑥 = − ln(𝑦) + 𝑐 → 𝑦𝑥 + ln‬‬ ‫‪https://youtu.be/XeX4kKrBOqs‬‬ ‫(برونسن‪)111:‬‬ ‫‪29‬‬  ‫‪ :6-6-1‬المعادالت التفاضلية الخطية (‪:)Linear Differential Equations‬‬ ‫تعريف ‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫)𝑛‬ ‫المعادلة التفاضلية ‪ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 , … … 𝑦 = 0‬تسمى خطية اذا كانت 𝐹 دالة خطية في‬ ‫المتغيرات ( 𝑛 𝑦 ‪ ) 𝑦, 𝑦 ′ , … …..‬وبالتالي تكون الصورة العامة للمعادلة التفاضلية الخطية الخطية من‬ ‫الرتبة 𝑛 على النحو االتي ‪:‬‬ ‫)𝑥(𝑔 = 𝑦)𝑥( 𝑛𝑎‪𝑎𝑜 (𝑥)𝑦 𝑛 + 𝑎1 (𝑥)𝑦 𝑛 + ⋯ … …. +‬‬ ‫واي معادلة تفاضلية التكون على هذه الصورة فإنها تكون غير خطية ‪.‬فمثال المعادلة التفاضلية‬ ‫‪ 𝑦 ′′′ + 2𝑒 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ = 𝑥 4‬غير خطية لوجود ( ‪ ) 𝑦𝑦 ′‬أما ( ‪ ) 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0‬فهي خطية ‪.‬‬ ‫والصورة العامة للمعادلة التفاضلية الخطية ذات الرتبة االولى هي ‪:‬‬ ‫)‪𝑦 ′ + 𝑝(𝑥). 𝑦 = 𝑄(𝑥) … ….. (1‬‬ ‫حيث ان ()𝑥(𝑝 ‪ ) 𝑄(𝑥) ,‬دوال متصلة في 𝑥 ومعامل ‪ 𝑦 ′‬يساوي الوحده وإذا كانت حالة خاصة‬ ‫‪ 𝑄(𝑥) = 0‬فتؤول المعادلة (‪ )1‬الى الصوره ‪:‬‬ ‫)‪𝑦 ′ + 𝑝(𝑥). 𝑦 = 0 … … … … (2‬‬ ‫تسمى المعادلة (‪ )2‬بالمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة أما المعادلة التفاضلية رقم (‪ )1‬فهي معادلة‬ ‫تفاضلية خطية غير متجانسة ومن السهل مكاملة المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة (‪ )2‬وذلك بفصل‬ ‫المتغيرات وكاالتي‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑝‪= −‬‬ ‫𝑦‬ ‫وبتكامل الطرفين نجد ‪:‬‬ ‫)𝑐(‪ln(𝑦) = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + ln‬‬ ‫وبأخذ ‪ e‬للطرفين نجد ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑝 ∫ ‪𝑦 = 𝑐𝑒 −‬‬ ‫ولحل المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة (‪ )1‬فإننا نقوم بإيجاد معامل التكامل ‪.‬ولذلك دعنا نكتب‬ ‫المعادلة (‪ )1‬على الشكل‬ ‫‪[𝑃(𝑥 )𝑦 − 𝑄(𝑥)] 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫) 𝑥( 𝑄 ‪𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑥 )𝑦 −‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑁(𝑥, 𝑦) = 1‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫𝑀𝜕‬ ‫𝑁𝜕‬ ‫)𝑥(𝑃 =‬ ‫‪,‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫إذن باستخدام العالقة ( 𝑰 ) نجد ان ‪:‬‬ ‫𝑁𝑑 𝑀𝜕‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑔‪).‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑦𝜕‬ ‫)𝑥(𝑃 =‬ ‫𝑁‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫𝑔 ‪= 𝑃(𝑥).‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑔𝑑‬ ‫∫‬ ‫𝑥𝑑) 𝑥(𝑃 ∫ =‬ ‫ومنها ‪:‬‬ ‫𝑔‬ ‫𝑥𝑑) 𝑥(𝑃 ∫ = )𝑔(‪ln‬‬ ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑃 ∫ 𝑒 = 𝑔‬ ‫وبأخذ ‪ e‬للطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫وهذا يبين لنا أن ( 𝑥𝑑)𝑥(𝑃 ∫ 𝑒 = 𝑔 ) يمثل المعامل التكاملي للمعادلة (‪. )1‬دعنا االن نضرب معادلة‬ ‫(‪ )1‬في هذا المعامل فنجد ان ‪:‬‬ ‫)‪𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (𝑦 ′ + 𝑃(𝑥 ) 𝑦 ) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥. 𝑄 (𝑥 ) … … ….. (3‬‬ ‫وحيث ان ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑) 𝑥(𝑃 ∫ 𝑑‬ ‫) 𝑥(𝑃 =‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫فإن هذه المعادلة (‪ )3‬يمكن كتابتها كاآلتي ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑃 ∫ 𝑑‬ ‫𝑒(‬ ‫) 𝑥( 𝑄 ‪. 𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥.‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫ويمكننا التحقق من ذلك بتفاضل حاصل ضرب الدالتين (𝑦 ‪. ) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥.‬‬ ‫( كتبي ‪) 44 :‬‬ ‫وبتكامل الطرفين نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑐 ‪𝑦𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥. 𝑄 (𝑥 )𝑑𝑥 +‬‬ ‫وبقسمة كل من الطرفين على ( 𝒙𝒅)𝒙(∫𝒆 ) نحصل على صيغة الحل العام للمعادلة (‪ )1‬كاآلتي ‪:‬‬ ‫)‪𝑦(𝑥 ) = 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥. 𝑄 (𝑥 )𝑑𝑥 + 𝑐] … … … … … …. (4‬‬ ‫‪31‬‬  ‫مالحظة ‪:‬‬ ‫المعامل التكاملي 𝒙𝒅)𝒙(𝑷 ∫𝒆 = )𝒙(𝒈 يستــــــخدم فقـــــط في المعادالت التفاضلية الخطية التي‬ ‫𝒚𝒅‬ ‫𝒅‬ ‫هو الوحــــدة ‪.‬‬ ‫يساوي الوحدة ولذلك يجب جعل معامل‬ ‫فيها ‪ ,‬معـــامــل‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑡ℎ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫) 𝑥(‪+ 2𝑦 = tan‬‬ ‫𝑥𝑑 )𝑥(‪tan‬‬ ‫عندما ‪y(0)=0 :‬‬ ‫‪Solution:‬‬ ‫بضرب طرفي المعادلة في ( )𝑥(‪ ) tan‬نجد انه ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)𝑥( ‪+ 2𝑦 tan(𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫) 𝑥(‪𝑃(𝑥 ) = 2 tan‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑄 (𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛2‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫إذن معامل التكامل يكون ‪:‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑔(𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 2 tan(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 −2 ln|cos(𝑥)| = 𝑠𝑒𝑐 2‬‬ ‫وبالتعويض في الصورة العامة للحل في (‪ )4‬نجد ان ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) 𝑥(𝑦‬ ‫‪2‬‬ ‫]𝑐 ‪[∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥 ) 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥 )𝑑𝑥 +‬‬ ‫)𝑥( 𝑐𝑒𝑠‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑡𝑎𝑛3‬‬ ‫𝑐‬ ‫= ) 𝑥(𝑦‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑠𝑒𝑐 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑠𝑒𝑐 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) 𝑥(𝑦‬ ‫) 𝑥( ‪𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥 ) 𝑡𝑎𝑛3 (𝑥 ) + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c=0‬‬ ‫وباستخدام الشرط المعطاة وهي 𝟎 = 𝒚 عندما ‪ x=0‬نجد ان‬ ‫( كتبي‪) 49:‬‬ ‫ومن ثم فالحل الخاص يكون على الصورة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑦(𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥 ) 𝑡𝑎𝑛3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪32‬‬  ‫‪ :7-1‬المعادالت التي تؤول الى معادالت خطية‬ ‫)‪:(Equations That Lead To Linear Equation‬‬ ‫‪ :7-1‬معادلة برنولي ( ‪: ) Bernoulli’s Equation‬‬ ‫معادلة برنولي هي معادلة تفاضلية من الرتبة االولى وصورتها العامة هي ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)‪+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑦 𝑛 … … …. (1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫حيث ان (𝑛 ) عدد ثابت أكبر من الصفر ‪ (.‬في حالة ‪ n=0‬فتؤول المعادلة (‪ )1‬الى المعادلة الخطية‬ ‫السابق التعامل معها ) ‪ ) 𝑄(𝑥) , 𝑃(𝑥)( ,‬دالتين متصلتين في 𝑥 أو ثابتان وتؤول هذه المعادلة الى‬ ‫المعادلة الخطية وذلك بأجراء التحويل االتي‪:‬‬ ‫بقسمة جميع حدود المعادلة على ( 𝑛 𝑦 ) نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑛‪𝑦 −‬‬ ‫)‪+ 𝑃(𝑥)𝑦 −𝑛+1 = 𝑄(𝑥) … … … (2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑛‪𝑍 = 𝑦1−‬‬ ‫ثم نجري التعويض ‪:‬‬ ‫𝑍𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑛‪= (1 − 𝑛)𝑦 −‬‬ ‫ومنها ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫وبالتعويض في (‪ )2‬نجد ان ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)𝑥(𝑄 = 𝑍 ‪+ 𝑃(𝑥).‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑛 ‪1 −‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫)𝑥(𝑄 ‪+ (1 − n)𝑃(𝑥). 𝑍 = (1 − 𝑛).‬‬ ‫اي انه‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫وهذه معادلة تفاضلية تحل كما في البنــــد الســـــابق‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑛𝑜𝑖𝑡𝑎𝑢𝑞𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡𝑛𝑒𝑟𝑒𝑓𝑓𝑖𝑑 𝑒‪𝐸𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 𝑡ℎ‬‬ ‫𝑥 𝑒 ‪+ 2𝑦 = 𝑦 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪Solution :‬‬ ‫بالقسمة على ( ‪ ) 𝑦 2‬نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪𝑦 −2‬‬ ‫)‪+ 2𝑦 −1 = 𝑒 𝑥 … … …. (1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪33‬‬  ‫بوضع ‪ 𝑍 = 𝑦 −1‬ومنها‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪= −𝑦 −2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫وبالتعويض في (‪ )1‬نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑥 𝑒 = 𝑍‪+ 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑧𝑑‬ ‫𝑥 𝑒‪− 2𝑍 = −‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫إذن معادلة تفاضلية خطية وبالتالي تكون ‪:‬‬ ‫‪𝑃(𝑥) = −2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑥 𝑒‪𝑄(𝑥) = −‬‬ ‫𝑥‪𝑔 = 𝑒 ∫ −2𝑑𝑥 = 𝑒 −2‬‬