Statistics and Probability STAT 303 PDF

KINGDOM OF SAUDI ARABIA Technical and Vocational Training Corporation Technical College of Telecom & Information – Jeddah General studies department ‫المملك ـ ــة العربي ــة السعوديـ ــة‬ ‫والمهن‬ ‫التقن‬ ‫المؤسسة العامة للتدريب‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫الكلية التقنية لالتصاالت والمعلومات بجدة‬ ‫قسم الدراسات العا...

KINGDOM OF SAUDI ARABIA Technical and Vocational Training Corporation Technical College of Telecom & Information – Jeddah General studies department ‫المملك ـ ــة العربي ــة السعوديـ ــة‬ ‫والمهن‬ ‫التقن‬ ‫المؤسسة العامة للتدريب‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫الكلية التقنية لالتصاالت والمعلومات بجدة‬ ‫قسم الدراسات العامة‬ ‫اإلحصاء واالحتماالت‬ Statistics and Probability STAT 303 ‫هـ‬1445 ‫العام التدريبي‬ Presented by Dr. Turki Alotibi Department of General Studies ‫الفصل الثاني‬ nd 2 Chapter ‫المقاييس اإلحصائية الوصفية‬ Descriptive Statistical Measures Introduction ‫مقدمة‬ ‫المقاييس اإلحصائية الوصفية‬ ‫مقاييس النزعة المركزية‬ ‫الوسط الحسابي‬ ‫الوسيط‬ ‫المنوال‬ ‫مقاييس التشتت‬ ‫المدى‬ ‫التباين‬ ‫االنحراف المعياري‬ ‫مقاييس النزعة املركزية‬ ‫مقاييس النزعة المركزية‬ ‫في حالة البيانات غير المبوبة‬ ‫أوالا‪ :‬الوسط الحسابي ‪Arithmetic Mean‬‬ ‫يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من البيانات بأنه حاصل جمعها مقسوما ً على عددها‪.‬‬ ‫يرمز للوسط الحسابي بالرمز ‪ ( μ‬يقرأ ميو) ليمثل متوسط المجتمع أو بالرمز ‪( 𝑥ҧ‬يقرأ 𝑥 بار)‬ ‫ليمثل متوسط العينة‪.‬‬ ‫حساب الوسط الحسابي في حالة البيانات غير المبوبة‬ ‫مثال (‪)1-2‬‬ ‫احسب الوسط الحسابي لألجور اليومية بالدوالر للعينة التالية المكونة من خمس عمال بإحدى‬ ‫القطاعات؟‬ ‫‪60‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫مثال (‪)2-2‬‬ ‫احسب الوسط الحسابي للبيانات االتية والتي تمثل عدد أيام الغياب خالل ربع سنة لعينة‬ ‫عشوائية مكونة من ‪ 7‬موظفين بإحدى الشركات؟‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫مثال (‪)3-2‬‬ ‫احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪16‬‬ ‫مثال (‪)4-2‬‬ ‫مؤسسة لديها ‪ 6‬مصانع موزعة في مناطق مختلفة إلنتاج نفس المنتج وتبلغ السعة اإلنتاجية‬ ‫للوحدات من هذا المنتج في هذه المصانع كما يلي‪:‬‬ ‫‪1200 2500 3500 1000 2000 3000‬‬ ‫احسب متوسط إنتاج الشركة من هذا المنتج؟‬ ‫ثانيا ا‪ :‬الوسيط ‪Median‬‬ ‫هو القيمة العددية التي تقسم البيانات إلى قسمين متساويين بعد ترتيبها تصاعديا ا أو تنازليا ا‪.‬‬ ‫أو‬ ‫يمكن تعريف الوسيط بأنه القيمة الواقعة في المنتصف بعد ترتيبها تصاعديا ا أو تنازليا ا‪.‬‬ ‫ويرمز له بالرمز ‪m‬‬ ‫حساب الوسيط في حالة البيانات غير المبوبة‬ ‫إذا كانت‬ ‫القيم العددية فردية نتبع الخطوات‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫إذا كانت‬ ‫القيم العددية زوجية نتبع الخطوات‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫‪ -1‬نرتب البيانات حسب قيمها إما تصاعديا ا أو تنازليا ا‪.‬‬ ‫‪ -2‬نختار القيمة الواقعة في المنتصف‪.‬‬ ‫‪ -1‬نرتب البيانات حسب قيمها إما تصاعديا ا أو تنازليا ا‪.‬‬ ‫‪ -2‬نختار القيمتين الواقعة في المنتصف ومن ثم نوجد متوسطها (اجمع القيمتين واقسمها على ‪.)2‬‬ ‫مثال (‪)5-2‬‬ ‫أوجد وسيط األجور اليومية بالدوالر للعينة التالية‪:‬‬ ‫‪100 60‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫مثال (‪)6-2‬‬ ‫أوجد وسيط األجور اليومية بالدوالر للعينة التالية‪:‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫مثال (‪)7-2‬‬ ‫أوجد الوسيط للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مثال (‪)8-2‬‬ ‫أوجد الوسيط للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫مثال (‪)9-2‬‬ ‫إذا كان سعر االقفال لسهم إحدى الشركات (بمئات الرياالت) في إحدى البورصات خالل خمس‬ ‫أيام كما هو موضح بالجدول التالي‪:‬‬ ‫الخامس‬ ‫‪2.3‬‬ ‫الرابع‬ ‫‪1.7‬‬ ‫الثالث‬ ‫‪2.1‬‬ ‫الثاني‬ ‫‪1.9‬‬ ‫األول‬ ‫‪2‬‬ ‫أوجد الوسيط لسعر إقفال سهم هذه الشركة؟‬ ‫اليوم‬ ‫سعر إقفال السهم (بمئات الرياالت)‬ ‫ثالثا ا‪ :‬المنوال ‪Mode‬‬ ‫هو قيمة المفردة التي تتكرر أكثر من غيرها‪.‬‬ ‫أو‬ ‫يمكن تعريف المنوال بأنه القيمة أو الصفة األكثر تكرارا ا‪.‬‬ ‫ويرمز له بالرمز ‪D‬‬ ‫حساب المنوال في حالة البيانات غير المبوبة‬ ‫يمكن حسابه باستخدام التعريف مباشرة‪.‬‬ ‫ملاحظة‪:‬‬ ‫قد يكون هناك منوال واحد أو أكثر كما أنه قد ال يوجد منوال‪.‬‬ ‫مثال (‪)10-2‬‬ ‫جرى حصر عدد المخالفات المرورية التي ارتكبها كل شخص لعينة مكونة من ‪ 8‬أفراد فكانت‬ ‫كما يلي‪:‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪6,‬‬ ‫‪4,‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪2,‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫احسب المنوال؟‬ ‫مثال (‪)11-2‬‬ ‫أوجد المنوال للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪15, 13, 6,‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪4,‬‬ ‫‪9,‬‬ ‫‪7,‬‬ ‫‪11,‬‬ ‫‪8,‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪10,‬‬ ‫مثال (‪)12-2‬‬ ‫البيانات التالية تمثل تقديرات ‪ 7‬طالب في مقرر ميكانيكا الكم‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫أوجد المنوال لتلك البيانات؟‬ ‫مثال (‪)13-2‬‬ ‫أوجد المنوال للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪15, 14, 10, 11‬‬ ‫‪10,‬‬ ‫‪13,‬‬ ‫‪14,‬‬ ‫‪17,‬‬ ‫‪12,‬‬ ‫‪10,‬‬ ‫‪16,‬‬ ‫مثال توضيحي‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫الفرق بين كل‬ ‫مركز فئة مع‬ ‫الذي قبله‬ ‫يساوي طول‬ ‫الفئة ويرمز‬ ‫له بالرمز‬ ‫‪h‬‬ ‫في حالة البيانات المبوبة‬ ‫الحد األعلى للفئة ‪ +‬الحد األدنى للفئة‬ ‫= مركز الفئة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )4‬إلجياد الوسط احلسابي نستخدم القانون التايل‪:‬‬ ‫المجموع في أسفل العمود الرابع‬ ‫المجموع في أسفل العمود الثاني‬ ‫= الوسط الحسابي‬ ‫مثال (‪)14-2‬‬ ‫الجدول التالي يوضح توزيع عينة عشوائية من ‪ 108‬عامل في إحدى الشركات حسب درجات الروح‬ ‫المعنوية‪:‬‬ ‫‪76-82‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪70‬‬‫‪13‬‬ ‫احسب الوسط الحسابي؟‬ ‫‪64‬‬‫‪43‬‬ ‫‪58‬‬‫‪32‬‬ ‫‪52‬‬‫‪7‬‬ ‫‪46‬‬‫‪3‬‬ ‫‪40‬‬‫‪2‬‬ ‫درجة الروح المعنوية‬ ‫عدد العمال‬ ‫حل مثال (‪)14-2‬‬ ‫مثال (‪)15-2‬‬ ‫أحسب الوسط الحسابي للتوزيع التكراري لألجر اليومي (بالريال) لعينة عشوائية من ‪ 36‬عامل بإحدى‬ ‫المؤسسات كما في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪54-58‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪50‬‬‫‪4‬‬ ‫‪46‬‬‫‪8‬‬ ‫‪42‬‬‫‪10‬‬ ‫‪38‬‬‫‪7‬‬ ‫‪34‬‬‫‪3‬‬ ‫‪30‬‬‫‪1‬‬ ‫فئات األجر اليومي‬ ‫عدد العمال‬ ‫حل مثال (‪)15-2‬‬ ‫‪ )1‬نحدد قيمة ترتيب الوسيط ‪ c1‬والذي يحسب من العالقة التالية‪:‬‬ ‫𝑖𝑓 ‪σ‬‬ ‫= ‪𝑐1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال (‪)16-2‬‬ ‫احسب الوسيط لدرجات ‪ 28‬طالب في مادة اللغة اإلنجليزية كما هي موضحه في الجدول‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫‪68- 84-100‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪52‬‬‫‪10‬‬ ‫‪36‬‬‫‪6‬‬ ‫‪20‬‬‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫‪1‬‬ ‫درجات الطالب‬ ‫عدد الطالب‬ ‫حل مثال (‪)16-2‬‬ ‫مثال (‪)17-2‬‬ ‫احسب وسيط فئات الدخل الشهري (بآالف الرياالت) لــ ‪ 66‬أسرة موزعة كما بالجدول التالي‪:‬‬ ‫‪20-24‬‬ ‫‪16-‬‬ ‫‪12-‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪0-‬‬ ‫الدخل الشهري‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪5‬‬ ‫عدد األسر‬ ‫حل مثال (‪)17-2‬‬ ‫‪ h‬هو طول الفئة (الفرق بين الحد األعلى والحد األدنى للفئة)‬ ‫مثال (‪)18-2‬‬ ‫احسب المنوال لعدد الساعات األسبوعية التي قضاها ‪ 33‬متطوعا ا في العمل التطوعي الموضح‬ ‫في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪11-13‬‬ ‫‪9-‬‬ ‫‪7-‬‬ ‫‪5-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫الساعات األسبوعية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عدد المتطوعين‬ ‫حل مثال (‪)18-2‬‬ ‫مثال (‪)19-2‬‬ ‫اوجد المنوال للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪81-87‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪75‬‬‫‪3‬‬ ‫‪69‬‬‫‪5‬‬ ‫‪63‬‬‫‪8‬‬ ‫‪57‬‬‫‪10‬‬ ‫‪51‬‬‫‪9‬‬ ‫‪45‬‬‫‪4‬‬ ‫فئات الدرجات‬ ‫عدد الطالب‬ ‫حل مثال (‪)19-2‬‬ ‫مقاييس التشتت‬ ‫مقاييس التشتت‬ ‫أوالا‪ :‬المدى ‪Range‬‬ ‫في حالة البيانات غير المبوبة‬ ‫المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأقل قيمة من البيانات‪.‬‬ ‫أقل قيمة ‪ -‬أكبر قيمة =‪R‬‬ ‫في حالة البيانات المبوبة‬ ‫المدى هو الفرق بين الحد األعلى للفئة األخيرة والحد األدنى للفئة األولى‪.‬‬ ‫الحد األدنى للفئة األولى – الحد األعلى للفئة األخيرة =‪R‬‬ ‫مثال (‪)20-2‬‬ ‫احسب المدى للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫مثال (‪)21-2‬‬ ‫إذا كانت األجور اليومية بالريال لعينة من العمال في إحدى الشركات على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪75, 65, 67, 89, 80, 100, 60, 78, 90‬‬ ‫مثال (‪)22-2‬‬ ‫الجدول التالي يوضح توزيع ‪ 100‬شخص حسب أوزانهم بالكيلوجرام‪:‬‬ ‫‪90-98‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪82‬‬‫‪15‬‬ ‫‪74‬‬‫‪40‬‬ ‫‪66‬‬‫‪24‬‬ ‫احسب مدى الوزن لهؤالء األشخاص؟‬ ‫‪58‬‬‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬‫‪3‬‬ ‫فئات الوزن‬ ‫عدد األشخاص‬ ‫مثال (‪)23-2‬‬ ‫احسب المدى لتكلفة شراء سلعة معينة (بالريال) من ‪ 20‬محل تجاري بإحدى المدن الكبيرة كما‬ ‫هو موضح في الجدول التالي‪:‬‬ ‫‪600-620‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪580‬‬‫‪3‬‬ ‫‪560‬‬‫‪5‬‬ ‫‪540‬‬‫‪8‬‬ ‫‪520‬‬‫‪2‬‬ ‫‪500‬‬‫‪1‬‬ ‫فئات التكلفة (بالريال)‬ ‫عدد األشخاص‬ ‫ثانيا ا‪ :‬التباين ‪Variance‬‬ ‫هو عبارة عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي‪.‬‬ ‫يرمز لها بالرموز التالية‪:‬‬ ‫‪S2 or σ2‬‬ ‫ثالثا ا‪ :‬االنحراف المعياري ‪Standard Deviation‬‬ ‫هو الجذر التربيعي الموجب للتباين‪.‬‬ ‫يرمز لها بالرموز التالية‪:‬‬ ‫‪S or σ‬‬ ‫طريقة إجياد التباين واالحنراف املعياري‬ ‫في حالة البيانات غير المبوبة‬ ‫نجري الخطوات التالية‪:‬‬ ‫‪ )1‬نوجد الوسط الحسابي للبيانات ‪𝑥ҧ‬‬ ‫الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوما ا على عددها‬ ‫‪ )2‬نكون جدول من األعمدة التالية‪:‬‬ ‫أ‪ -‬العمود األول‪ :‬عبارة عن (القيم) ونرمز له 𝑖𝑥‬ ‫ب‪ -‬العمود الثاني‪ :‬عبارة عن حاصل طرح (القيم – الوسط الحسابي) ونرمز له ‪𝑥𝑖 − 𝑥ҧ‬‬ ‫ج‪ -‬العمود الثالث‪ :‬عبارة عن مربع (القيم – الوسط الحسابي) ونرمز له ‪(𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 2‬‬ ‫‪ )3‬نوجد المجموع للعمود الثالث ‪෍(𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 2‬‬ ‫‪ )4‬نوجد التباين باستخدام العالقة التالية‪:‬‬ ‫مجموع العمود‬ ‫الثالث‬ ‫‪2‬‬ ‫‪σ 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝑆= 𝜎‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫عدد القيم‬ ‫‪ )5‬نوجد االنحراف المعياري باستخدام العالقة التالية‪:‬‬ ‫‪𝑆2‬‬ ‫= ‪𝜎2‬‬ ‫=𝑆=𝜎‬ ‫مثال (‪)24-2‬‬ ‫احسب التباين واالنحراف المعياري للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫حل مثال (‪)24-2‬‬ ‫مثال (‪)25-2‬‬ ‫احسب التباين واالنحراف المعياري للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حل مثال (‪)25-2‬‬ ‫مثال (‪)26-2‬‬ ‫احسب التباين واالنحراف المعياري للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫حل مثال (‪)26-2‬‬ ‫في حالة البيانات المبوبة‬ ‫إلجياد التباين واالحنراف املعياري للبيانات املبوبة جنري اخلطوات التالية‪:‬‬ ‫الحد األعلى للفئة ‪ +‬الحد األدنى للفئة‬ ‫= مركز الفئة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )4‬نوجد الوسط احلسابي باستخدام القانون التايل‪:‬‬ ‫𝒊𝒇 ×‬ ‫𝒊𝒇 ×‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫𝒙‬ ‫‪෍ 𝒙𝒊 − ഥ‬‬ ‫=‬ ‫𝟐‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫𝒊𝒙 × 𝒊𝒇‬ ‫= 𝒊 𝒙 × 𝒊𝒇 ‪෍‬‬ ‫مركز الفئات 𝒊𝒙‬ ‫التكرار ‪fi‬‬ ‫= 𝒊𝒇 ‪෍‬‬ ‫الفئات‬ ‫مثال (‪)27-2‬‬ ‫أوجد التباين واالنحراف المعياري للكميات المستهلكة من المياه بالمتر المكعب خالل ثالثة‬ ‫أشهر لــ ‪ 75‬أسرة في مدينة الرياض‪:‬‬ ‫‪65-75‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪55‬‬‫‪10‬‬ ‫‪45‬‬‫‪20‬‬ ‫‪35‬‬‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬‫‪10‬‬ ‫الكمية المستهلكة‬ ‫عدد األسر‬ ‫حل مثال (‪)27-2‬‬ ‫𝒊𝒇 ×‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫مركز الفئات 𝒊𝒙‬ ‫عدد األسر ‪fi‬‬ ‫‪25 + 35‬‬ ‫‪= 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25-‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪35‬‬‫‪45-‬‬ ‫الكمية المستهلكة‬ ‫(الفئات)‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪2560‬‬ ‫‪(−16)2 = 256‬‬ ‫‪30 − 46 = −16‬‬ ‫‪10 × 30 = 300‬‬ ‫‪1080‬‬ ‫‪(−6)2 = 36‬‬ ‫‪40 − 46 = −6‬‬ ‫‪30 × 40 = 1200‬‬ ‫‪35 + 45‬‬ ‫‪= 40‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪320‬‬ ‫‪(4)2 = 16‬‬ ‫‪50 − 46 = 4‬‬ ‫‪20 × 50 = 1000‬‬ ‫‪45 + 55‬‬ ‫‪= 50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1960‬‬ ‫‪(14)2 = 196‬‬ ‫‪60 − 46 = 14‬‬ ‫‪10 × 60 = 600‬‬ ‫‪55 + 65‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪55-‬‬ ‫‪2880‬‬ ‫‪(24)2 = 576‬‬ ‫‪70 − 46 = 24‬‬ ‫‪5 × 70 = 350‬‬ ‫‪65 + 75‬‬ ‫‪= 70‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪65-75‬‬ ‫𝒊𝒇 ×‬ ‫𝟐‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪σ 𝒙𝒊 − ഥ‬‬ ‫𝒙‬ ‫‪=8800‬‬ ‫𝒊𝒙 × 𝒊𝒇‬ ‫𝒊 𝒙 × 𝒊𝒇 ‪෍‬‬ ‫𝟎𝟓𝟒𝟑 =‬ ‫𝟓𝟕 = 𝒊𝒇 ‪෍‬‬ ‫الوسط الحسابي‪:‬‬ ‫‪σ 𝑓𝑖 × 𝑥𝑖 3450‬‬ ‫= ‪𝑥ҧ‬‬ ‫=‬ ‫𝑖𝑓 ‪σ‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪𝑥ҧ = 46‬‬ ‫التباين‪:‬‬ ‫‪8800 8800‬‬ ‫=‬ ‫‪75−1 74‬‬ ‫=‬ ‫𝑖𝑓× ‪σ 𝑥𝑖 −𝑥ҧ 2‬‬ ‫‪σ 𝑓𝑖 −1‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑆2‬‬ ‫‪𝜎 2 = 𝑆 2 = 118.92‬‬ ‫االنحراف المعياري‪:‬‬ ‫‪𝜎 = 𝑆 = 118.9 = 10.9‬‬ ‫=‬ ‫‪𝜎2‬‬ ‫مثال (‪)28-2‬‬ ‫أوجد التباين واالنحراف المعياري للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪500-600‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪400‬‬‫‪7‬‬ ‫‪300‬‬‫‪10‬‬ ‫‪200‬‬‫‪8‬‬ ‫‪100‬‬‫‪3‬‬ ‫مبالغ القروض (آالف الرياالت)‬ ‫عدد القروض‬ ‫حل مثال (‪)28-2‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫مركز الفئات 𝒊𝒙‬ ‫عدد القروض ‪fi‬‬ ‫‪100 + 200‬‬ ‫‪= 150‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪100-‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪200‬‬‫‪300-‬‬ ‫مبالغ القروض‬ ‫(الفئات)‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪108300‬‬ ‫‪(−190)2‬‬ ‫‪= 36100‬‬ ‫‪150 − 340‬‬ ‫‪= −190‬‬ ‫‪3 × 150 = 450‬‬ ‫‪64800‬‬ ‫‪(−90)2 = 8100‬‬ ‫‪−90‬‬ ‫‪8 × 250 = 2000‬‬ ‫‪200 + 300‬‬ ‫‪= 250‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪(10)2 = 100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 × 350 = 3500‬‬ ‫‪300 + 400‬‬ ‫‪= 350‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪84700‬‬ ‫‪(110)2 = 12100‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪7 × 450 = 3150‬‬ ‫‪400 + 500‬‬ ‫‪= 450‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪400-‬‬ ‫‪88200‬‬ ‫‪(210)2 = 44100‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪2 × 550 = 1100‬‬ ‫‪500 + 600‬‬ ‫‪= 550‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪500-600‬‬ ‫𝒊𝒇 ×‬ ‫𝒊𝒇 ×‬ ‫𝟐‬ ‫‪ഥ‬‬ ‫𝒙 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫𝒊𝒙 × 𝒊𝒇‬ ‫𝒙‬ ‫‪෍ 𝒙𝒊 − ഥ‬‬ ‫𝒊 𝒙 × 𝒊𝒇 ‪෍‬‬ ‫𝟎𝟎𝟎𝟕𝟒𝟑 =‬ ‫𝟎𝟎𝟐𝟎𝟏 =‬ ‫𝟎𝟑 = 𝒊𝒇 ‪෍‬‬ ‫الوسط الحسابي‪:‬‬ ‫‪σ 𝑓𝑖 × 𝑥𝑖 10200‬‬ ‫= ‪𝑥ҧ‬‬ ‫=‬ ‫𝑖𝑓 ‪σ‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪𝑥ҧ = 340‬‬ ‫التباين‪:‬‬ ‫‪347000 347000‬‬ ‫=‬ ‫‪30−1‬‬ ‫‪29‬‬ ‫=‬ ‫𝑖𝑓× ‪σ 𝑥𝑖 −𝑥ҧ 2‬‬ ‫‪σ 𝑓𝑖 −1‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑆2‬‬ ‫=‬ ‫‪𝜎2‬‬ ‫‪𝜎 2 = 𝑆 2 = 11965.52‬‬ ‫االنحراف المعياري‪:‬‬ ‫ألف لاير ‪𝜎 = 𝑆 = 11965.52 = 109.4‬‬ ‫العالقة بني مقاييس النزعة‬ ‫املركزية ومقاييس التشتت‬ ‫العالقة بين مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت‬ ‫أوالا‪ :‬معامل االختالف ‪Coefficient of Variation‬‬ ‫هو معامل نسبي يستخدم للمقارنة بين تشتت ظاهرتين أو أكثر مختلفتين أو حتى متشابهتين في‬ ‫وحدة القياس‪.‬‬ ‫الظاهرة التي معامل اختالفها أكبر تكون أكثر تشتتا ا من األخرى‪.‬‬ ‫يرمز له بالرمز‪c.v :‬‬ ‫ويحسب من العالقة التالية‪:‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪𝑐. 𝑣 = × 100 %‬‬ ‫‪𝑥ҧ‬‬ ‫ثانيا ا‪ :‬معامل االلتواء ‪Skewness‬‬ ‫هو درجة بعد المنحنى التكراري عن التماثل‪.‬‬ ‫يرمز له بالرمز‪s.k :‬‬ ‫يقصد بالتماثل أنه إذا اسقطنا عمودا ا من قمة المنحنى التكراري وقسمه إلى قسمين منطبقين‬ ‫يكون التوزيع متماثلً‪.‬‬ ‫والعكس فيكون التوزيع غير متماثل أي ملتو إما إلى جهة اليمين أو إلى جهة اليسار‪.‬‬ ‫التوزيع غير متماثل وملتو لليسار‬ ‫التوزيع متماثل‬ ‫التوزيع غير متماثل وملتو لليمين‬ ‫إذا كان‪𝑥ҧ < 𝑚 < 𝐷 :‬‬ ‫إذا كان‪𝑥ҧ = 𝑚 = 𝐷 :‬‬ ‫إذا كان‪𝑥ҧ > 𝑚 > 𝐷 :‬‬ ‫‪s.k= -‬‬ ‫‪s.k= 0‬‬ ‫‪s.k= +‬‬ ‫ويحسب بالقانونين التاليين‪:‬‬ ‫مثال (‪)29-2‬‬ ‫أوجد معامل االختالف إذا علمت أن الوسط الحسابي يساوي ‪ 3.5‬واالنحراف‬ ‫المعياري يساوي ‪ 7‬؟‬ ‫مثال (‪)30-2‬‬ ‫أوجد معامل االختالف للبيانات التالية‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مالحظة‪ :‬تم حل هذا المثال سابقا ا حيث وجد أن االنحراف المعياري يساوي ‪3.21‬‬ ‫مثال (‪)31-2‬‬ ‫أوجد معامل االلتواء لهذه البيانات‪ ،‬وهل المنحنى متماثل أم غير متماثل‪:‬‬ ‫مثال (‪)32-2‬‬