Heat Transfer PDF

# الباب الثالث ## إنتقال الحرارة تنتقل الحرارة من جسم لآخر إذا اختلفت درجة حرارة الجسمين ويكون إنتقالا تلقائيا دون بذل عمل خارجي وذلك من الجسم الأعلى في درجة الحرارة إلى الجسم الأقل في درجة الحرارة وعمليات إنتقال الحرارة في الأوساط المجسمة تتم بثلاث طرق هي: ### 1) التوصيل (Conduction) ويتم ذلك خل...

# الباب الثالث ## إنتقال الحرارة تنتقل الحرارة من جسم لآخر إذا اختلفت درجة حرارة الجسمين ويكون إنتقالا تلقائيا دون بذل عمل خارجي وذلك من الجسم الأعلى في درجة الحرارة إلى الجسم الأقل في درجة الحرارة وعمليات إنتقال الحرارة في الأوساط المجسمة تتم بثلاث طرق هي: ### 1) التوصيل (Conduction) ويتم ذلك خلال المادة الموصلة للحرارة حيث تنتقل الحرارة في هذه الحالة عن طريق تبادل الطاقة لحرارية بين جزيئات المادة دون إنتقال هذه الجزيئات. ولتوضيح ذلك فإنه عند تسخين أحد طرفي ساق من المعدن فإنحركة الجزيئات عند هذا الطرف وهي حركة إهتزازية تزداد أي يزداد تردده (عدد الذبذبات التي يعملها في الثانية حول موضععه الثابت) ، وهذا يؤدى إلى زيادة عدد الصدمات التي يحدثها مع الجزئ المجاور له فتزداد درجة حرارته وتتكرر نفس العملية بالنسبة لباقي جزيئات الساق مما يؤدى إلى إنتقال الحرارة إلى الطرف الآخر من الساق المعدنية ويكون التوصيل الحراري سريعا إذا كانت المادة جيدة التوصيل للحرارة وبطيئا إذا كانت المادة رديئة التوصيل للحرارة. ويمكن أيضا أن يتم التوصيل الحرارى عن طريق حركة الإلكترونات الحرة السابحة في الأجسام الصلبة. ### 2) الحمل (Convection) ويتم ذلك عن طريق تحرك الجزيئات من المواضع الأعلى في درجة الحرارة حاملة إلى المواضع الأقل في درجة الحرارة بذلك للطاقة الحرارية ومن خلال تصادمها مع جزيئات المادة الأخرى يتم نقل جزء من طاقتها الحرارية إليها وعلى ذلك فالحل هو الطريقة التي تنتقل بها الحرارة بانتقال المادة الحاملة للطاقة الحرارية من مكان لآخر. لا يتم الحمل في الأجسام الصلبة ويتم فقط في السوائل والغازات. ### 3) الإشعاع(Radiation) ويتم ذلك عن طريق الموجات الكهرومغناطيسية حيث أن الطاقة الحرارية تتكون من موجات كهرومغناطيسية لها نفس خواص الموجات ولا يحتاج إنتقال الحرارة بالإشعاع إلى وجود وسط مادى. ## التوصيل الحراري: Thermal activity تنقسم المواد من حيث قابليتها للتوصيل الحراري إلى: * **1) معادن:** وهي أكثر المواد قدرة على نقل الحرارة بالتوصيل. * **2) مواد صلبة غير معدنية:** ومعامل توصيلها الحراري أقل من المعادن. * **3) سوائل:** وتعتبر مواد رديئة التوصيل للحرارة. * **4) غازات:** وتعتبر من أردأ المواد من حيث توصيلها الحراري. وعند قياس معامل التوصيل الحراري للمواد رديئة التوصيل الحراري يجب إتخاذ الإحتياطات الضرورية لمنع إنتقال الحرارة بالحمل والإشعاع. ## معامل التوصيل الحراري: Coefficient of Thermal Conductivity إنتقال الحرارة بالتوصيل خلال شريحة معدنية رقيقة تعتبر شريحة معدنية سمكها .8x. كما بالشكل مساحة مقطعها A ونظرا لإختلاف درجتي الحرارة يكون إنتقال الحرارة من السطح الأكثر سخونة 1 إلى السطح البارد ٢. وفي حالة الإتزان الحراري فإن معدل الإنتقال الحراري يتناسب طرديا مع: * **1) مساحة المقطع العمودي على الفيض الحراري A.** * **2) فرق درجات الحرارة.** ويتناسب عكسيا مع سمك الشريحة x 6 لذلك يكون معدل إنتقال الحرارة بالتوصيل هو : $ \frac {dQ} {dt} = -KA\frac {d\theta} {dx} $ ويأخذ نهايات الطرفين عندما $0 \rightarrow St$ نحصل على الصورة التفاضلية : $ \frac {dQ} {dt} =-KA\frac {d\theta} {dx} $ حيث dQ هي كمية الحرارة التي تنتقل عموديا من السطح الساخن إلى السطح البارد في زمن قدره dt يسمى **بالميل الحرارى** $ \frac {d\theta} {dx} $ K معامل التوصيل الحراري وهو مقدار ثابت لا يعتمد على الزمن أو المسافة للمادة الواحدة ولكن قيمتها تختلف باختلاف المادة وتتغير بتغير درجة الحرارة. الإشارة السالبة تعنى أنه بزيادة المسافة x تقل درجة الحرارة 0. وعلى هذا فإنه يمكن تعريف معامل التوصيل الحراري K على أنه معدل إنتقال الحرارة خلال شريحة متوازية الوجهين مساحة وجهيها الوحدة وعليها ميل حراري: $ K=[ \frac{dQ}{dt} [\frac{1}{A]}][\frac{d\theta}{dK}]^{-1} $ يساوى الوحدة. وحدات التوصيل الحراري هو : * كيلو كالورى متر - درجة ثانية * او الجول - متر - درجة ثانية مما سبق نستنتج أن معامل التوصيل الحرارى لقضيب معزول (isolated bar) هي: $ \frac {dQ} {dT} = KA \frac{d\theta}{dx} $ وقد وضع كل من وايدمان وفرانس Wiedemann-Franz علاقة توضح تغير K مع درجة الحرارة وهي: $ K'=\frac {3\sigma TR^2}{{N_0 e^2}} $ حيث o هو معامل التوصيل الكهربي للمعدن * T درجة الحرارة المطلقة * R الثابت العام للغازات * N عدد أفوجادرو * e شحنة الإلكترون فقد وجد وايدمان وفرانس عمليا أنه عندما تكون درجة الحرارة T ثابتة تكون النسبة K ` / σ ثابتة أيضا وجاء بعدها لورنستر Lorencter وأثبت أن رفع درجة الحراري يسبب زيادة النسبة K ` / σ . **مثال:** إستخدم معادلة التوصيل الحراري لدراسة كيفية توزيع درجات الحرارة خلال قضيب معدنى معزول عن الوسط المحيط به وفى حالة إتزان حراري. **الحل:** نعتبر قضيب طوله 1 معزول عن الوسط المحيط به وذلك بلفه بمادة عازلة ومن ثم يمكن إهمال تسرب الحرارة من جوانب القضيب ، عند الإتزان يكون معدل إنتقال الحرارة dQ/dt مقدارا ثابتا <start_of_image> č dQ de = -KA dx dx dQ/dt = -KA de dx = C de =Cdx 0=0₁ +Cx dt č من معادلة التوصيل الحراري حيث حيث 0 هي درجة الحرارة على بعد x من طرف القضيب الساخن. ولإيجاد الثابت C نستخدم الشروط الحدية Boundary condition فعند 1 = x فإن 02 = 0 وبالتعويض عن ذلك في المعادلة ينتج أن c $ C=\frac{0_2-0_1}{(0_1-0_2)} $ č وبالتعويض عن قيمة الثابت في المعادلة ينتج أن: $ 0=0_1-(0_1-0_2)x $ č وواضح أن هذه المعادلة تبين كيفية تناقص درجة الحرارة من المسافة x كما هو موضع بالشكل. ## توزيع درجات الحرارة خلال قضيب معدني غير معزول عن الوسط المحيط به وفي حالة إتزان حرارى في هذه الحالة تنتقل الحرارة بالتوصيل خلال القضيب وفى نفس الوقت فإن كمية الطاقة التي تمر خلال أيمقطع سوف يفقد جزء منها قبل الوصول إلى المقطع التالي عن طريق الفقد بالإشعاع من جوانب القضيب غير المعزولة. [image description: a graph showing the temperature of a cylindrical shaped rod changes linearly with the distance from the end of the rod. at distance = 0, the temperature = θ1, and as the distance increases to l, the temperature decreases to θ2.] وبتعريف معامل الإنبعاث E على أنه كمية الحرارة المشعة من وحدة المساحات من السطح في وحدة الزمن وذلك عندما يكون الفرق بين درجة حرارة القضيب والوسط المحيط به هي درجة واحدة فإن كمية الحرارة المشعة من سطح القضيب تعطى بالعلاقة $ q = ESO $ حيث q كمية الحرارة المشعة من سطح القضيب في الثانية الواحدة $0 $ الفرق في درجة حرارة القضيب والوسط. وشكل (١) يوضح خطوط الفيض الحرارى عبر القضيب وواضح أن معدل تغير كمية $\frac{ dQ}{dt}$ تكون أكبر من الحرارة عند المقطع 1 وهي: $ \frac{ dQ}{ dt_1}=\frac{ dQ}{ dt_2} + q $ وعند الإتزان الحراري $ \frac{dQdQ}{dt_1dt_2}=\frac{dQ}{dt_2} - ES0 = -E(pdx)0 $ يكون حيث P هو محيط مقطع القضيب العمودى على محوره. ومن معادلة التوصيل الحراري حيث : $ \frac{dQ}{dt} = KA \frac{d\theta}{dx} $ $ \frac{d\theta}{dx} = -KA \frac{dQ}{dt}-\frac{dQ}{dt} \frac{1}{Epd\theta}dx $ $ \frac{dQ}{dt1dt} \frac{1}{EP} \theta = -KA \frac{dQ}{dt} dx $ وباختيار dx صغيرة صغرا كافيا تصبح المعادلة على الصورة : $ \frac{ d^2 \theta}{dx^2} = \frac{Ep}{KA} 0 = \mu \theta $ حيث $ \mu = \frac{Ep}{KA} $ وحل المعادلة السابقة يكون على الصورة $ \theta = ae^{\mu x} + be^{-\mu x} $ (*) حيث b a ثابتتان تحدد قيمتهما من الشروط الحدية عند طرفى القضيب. 1 مقدار ثابت يتحدد من خواص القضيب الحرارية والهندسية. فمثلا باعتبار أن القضيب طويل جدا أي عندما * X يكون الفرق في درجة حرارة القضيب عند والوسط يساوى صفر. أى أنه في هذه الحالة وبالتعويض في المعادلة . نجد أن 0 = a ولإيجاد الثابت b نعتبر الحالة عندما 0 - 0 تكون 0 في هذه الحالة وهى الفرق بين درجة حرارة الطرف الساخن ودرجة حرارة الوسط هي 00 مثلا أى أن ) . وبالتعويض في المعادلة * نجد أن 0 = b. وبالتعويض مرة أخرى عن قيمة الثوابت 100 = 0 = a في المعادلة * نحصل على $ \theta = 0_0 e^{\mu x} $ أى أنه في حالة القضيب غير المعزول يكون توزيع درجات الحرارة رأسيا كما هو موضح بالشكل. [image description: a graph showing the temperature profile of a cylindrical rod with respect to the distance. It shows the temperature is higher at distance = 0 and deceases along the distance linearly. ] ملاحظة: إذا كان القضيب معزولا فإن كمية الحرارة المشعة من سطح القضيب 0 = q $ \frac{d^2\theta}{dx^2}=0 $ $ KA\frac{d\theta}{dx}=const $ ولذلك يكون: وبالتكامل أى أن الميل الحرارى d0/dx ثابت للقضيب منتظم المقطع المغطى بطبقة عازلة ومن ثم يمكن إيجاد توزيع درجات الحارة كما سبق دراسته. ## إنتقال الحرارة خلال جدار مستوى مكون من طبقتين مختلفتين في السمك والمادة : يوضح الرسم شريحة مكونة من مادتين B, A معاملا توصيلها K2K سمك كل منهما d d يتعرض الوجه L لمصدر حرارى وعند الإتزان تثبت درجة حرارة الوجه عند والوجه N عند درجة 03 وخط تلامس الشريحتين عند 02 [image description: a diagram showing a rectangular piece of material. The top layer is labeled A with the coefficient of thermal conductivity as K1 and the thickness as d1. Below the top layer, the second layer is labeled B with the coefficient of thermal conductivity as K2 and the thickness as d2. The temperature on the top of the first layer is represented as θ1, the bottom of the second layer is represented as θ3 and the interface of these two layers is represented as θ2.] وتكون كمية الحرارة التى تمر في وحدة الزمن خلال الشريحة B هي نفسها التي تمر خلال الشريحة A. وإذا فرضنا أن A موضل جيد أكثر من B فإن الميل الحراري في A يكون أقل في B كما بالشكل. [image description: a diagram showing two layers of the material with different coefficients of thermal conductivity and thickness. The top layer is labeled A and has a lower gradient of temperature compared to the bottom layer. The second layer is labeled B with a steeper gradient of temperature compared to the top layer. The temperature at the interface between two layers is θ2. ] أى أنه عند الإتزان الحرارى تنتقل الحرارة بمعدل ثابت خلال الطبقات $ \frac{dQ}{dt} =ΚΑ\frac{ \theta_1 - \theta_2 }{d₁} = ΚΑ\frac{ \theta_2 - \theta_3 }{d₂} $ $ \frac{1}{A}\frac{dQ}{dt}= \frac{ 1}{A} K₁(\theta_1 - \theta_2)= \frac {K_2}{A} (\theta_2 - \theta_3) $ $ (\theta_1 - \theta_2)=\frac{q}{AK_1}d_1 $ $ (\theta_2 - \theta_3)=\frac{q}{AK_2}d_2 $ حيث و معدل إنتقال الحرارة. $ \frac{ (\theta_1 - \theta_3)}{q}=[\frac{ d_1}{AK_1} + \frac{ d_2}{AK_2}] $ بالجمع $ \frac{dQ}{dt}= q = \frac{ \theta_1 - \theta_3}{ \frac{d_1}{AK_1} + \frac{ d_2}{AK_2} } $ وهذا يناظر قانون أومفى الكهربية الديناميكية حيث $q $ وتقابل شدة التيار $ (\theta_3-\theta_1) $ تناظر فرق الجهد $\frac{ 1}{AK_1}, \frac{ 1}{AK_2} $ تقابل المقاومة الكهربية الكلية $ \frac{ 1}{K} $ وهذه تمثل مجموع المقاومات الحرارية للطبقات المختلفة حيث $\frac{ 1}{K} $ تمثل المقاومة الحرارية النوعية. ## إنتقال الحرارة بالتوصيل خلال قشرة إسطوانية في إتجاه نصف القطر: إعتبر قشرة إسطوانية نصف قطرها الداخلي r1 والخارجي 12 وطولها l نعتبر أيضا أنه عند حالة الإتزان تكون: درجة حرارة السطح الداخلي 2011 والخارجي 02 حيث 02 < 0 نعتبر شريحة إسطوانية سمكها dr ونصف قطرها r طبقا لمعادلة التوصيل الحراري $ \frac{dQ}{dt} = -KA \frac{d\theta}{dr} $ [image description: a diagram of a cylindrical shell of inner radius r1 and outer radius r2. The temperature at the inner radius is θ1 and the temperature at the outer radius is θ2.] حيث في هذه الحلة تنتقل الحرارة بمعدل ثابت في إتجاهات عمودية على السطح الأسطواني للشريحة وحيث في هذه الحالة $ A = 2\pi rl $ $ \frac{dQ}{dt} = -Κ(2πrl). \frac{d\theta}{dr} $ مقدارا ثابتا ويكون $ - \frac{dQ}{dt} \frac{1}{2\pi κ } \frac{ d\theta}{dr}= -α \frac {1}{r} $ $ α= \frac{ \frac{ dQ}{dt} }{2π κ} $ $ \frac{dQ}{dt}= α 2 \pi κ $ $ \frac{d\theta}{dr}= -α \frac {1}{r} $ حيث أنه في حالة الإتزان الحرارة تكون $ \frac{ dQ}{dt} $ مقدارا ثابتا ويكون α مقدار ثابت وبفصل المتغيرات ينتج أن $ \int _{0_1}^{0_2} d\theta = \int _{r_1}^{r_2} -α \frac {dr}{r} $ بالتكامل $ \theta_2-\theta_1 = -α [ ln\frac{r_2}{r_1}] $ $ \theta_2-\theta_1 = -α \frac{ dQ/dt}{2π κ } ln\frac{r_2}{r_1} $ $ \frac{dQ}{dt} = 2π κ \frac{ \theta_1-\theta_2}{ ln \frac{r_2}{r_1}} $ وهذه هي صورة معادلة التوصيل الحرارى خلال قشرة إسطوانية. ## إنتقال الحرارة خلال قشرة كروية: نعتبر قشرة كروية قطرها الداخلي r1 والخارجي r2 ونفرض أن رجة حرارة السطح الداخلي للكرة هو 20 والخارجي هو 02 وذلك الإتزان حيث 0102 ونعتبر عنصرا كرويا سمكه dr ونصف قطره .. [image description: a spherical shell of inner radius r1 and outer radius r2. The temperature at the inner radius is θ1 and the temperature at the outer radius is θ2.] .. من معادلة التوصيل الحرارى يكون $ \frac{dQ}{dt} = -K(4\pi r^2) \frac{dQ}{dr} $ $ \frac{dQ}{dt} = -4\pi K\frac{d\theta}{dr} $ $ \frac{d\theta}{dr} = -α \frac{1}{r^2} $ حيث ثابت ، $ \frac{dQ}{dt} = 4\pi κ $ وبفصل المتغيرات $ d\theta = a \frac{ dr}{r^2} $ $ \theta_1 - \theta_2 = -α [ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}] $ $ \theta_1 - \theta_2 = -α [\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}] $ $ \theta_1 - \theta_3 = -α[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_3}] =\frac{ dQ /dt}{4π K }[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_3}] $ $ \frac{dQ}{dt} = 4πK(\theta_1 - \theta_3)[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_3}] $ $ \frac{dQ}{dt}= 4πK (\theta_1 - \theta_3) [\frac{r_3 - r_1}{ r_1 r_3}] $ $ \frac{dQ}{dt}= 4πK_1 \frac{ (\theta_1 - \theta_2)}{r_1 r_2 } + 4πK_2 \frac{ (\theta_2 - \theta_3)}{r_2 r_3} $ $ \frac{dQ}{dt}= 4 \pi (\theta_1 - \theta_3) [\frac{K_1 r_2 + K_2 r_1}{r_1 r_2 r_3}] $ وكما سبق فى حالة الإسطوانة يمكن إيجاد معدل إنتقال الحرارة خلال قشرة كروية مكونة من طبقتين مختلفتين حيث يكون: $ \theta_1 - \theta_2 = \frac{1}{4\pi K_1 }\frac{dQ}{dt}[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}] $ $ \theta_2 - \theta_3 = \frac{1}{4\pi K_2 }\frac{dQ}{dt}[\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}] $ $ \theta_1-\theta_3 = \frac{1}{4\pi} \frac{dQ}{dt} [\frac{1}{K_1}[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}] + \frac{1}{K_2}[\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}]] $ $ \frac{dQ}{dt}= \frac{1}{4\pi}[\frac{1}{K_1}[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}] + \frac{1}{K_2}[\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}]] ^{-1} 4\pi(\theta_1 - \theta_3) $ $ \frac{dQ}{dt} = 4 \pi (\theta_1 - \theta_3) [\frac{K_1 r_2 + K_2 r_1}{r_1 r_2 r_3}] $ ## حساب معدل تزايد سمك الجليد المتكون فوق سطح بحيرة متجمدة: نعتبر درجة حرارة الهواء فوق سطح البحيرة 01 زدرجة حرارة الماء في البحيرة 02 وسمك طبقة الجليد المتكونة فوق سطح البحيرة هو Z. نفرض أن هذا السمك يتزايد بمقدار dZ في زمن قدره dt. [image description: a rectangular shape represents a frozen lake. Above the lake, there are arrows showing upward heat transfer. At the top of the lake, the temperature is θ1 and at the bottom of the lake, the temperature is θ2. The thickness of the frozen layer is represented as Z.] وباعتبار أن الحرارة الكامنة لتجمد الماء هي L ومعامل التوصيل الحراري للجليد هي K فعندما تتجمد طبقة من الماء أسفل الجليد المتكون وتتحول إلى جليد عند الصفر فإنها تفقد كمية من الحرارة تنتقل إلى أعلى خلال الجليد المتكون وإلى الهواء المحيط بالجليد. وتكون كمية الحرارة المفقودة من الجليد المتكون في زمن dt تساوى كمية الحرارة التي تنتقل بالتوصيل خلال الجليد فوق سطح البحيرة. وباعتبار أن كمية الحرارة المفقودة من الجليد المتكون في زمن dt هي dQ ... dQ = L dm $ dQ = LpAdZ $ (1) حيث A هي مساحة سطح الجليد المتكون ، p كثافة الجليد. ومن معاملة التوصيل الحراري $ \frac{dQ}{dt}=-ΚΑ\frac{d\theta}{dx} $ $ \frac{dQ}{dt}=+KA\frac{0_2 -0_1}{Z} $ (٧٥) $ KA\frac{0_2 -0_1}{Z} dt $ (2) بمساواة (۱) ، (۲) وبفصل المتغيرات $ KA \frac{0_2 - 0_1}{Z} dt= LpAdZ $ $ Z dZ = (0_2 - 0_1)dt $ $ \frac{Z dZ}{Lp} =(0_2 - 0_1) dt $ $ \frac{1}{2} Z^2 = K(0_2 - 0_1) t $ $ Z^2 = 2K(0_2-0_1)t $ $ Z = \sqrt{2K(0_2-0_1)t} $ (4) $ \frac {dZ}{dt}=\frac{K(0_2-0_1)}{2Lp} \frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{K(0_2-0_1)}{2Lp} t^{\frac{-1}{2}} $ (5) إذا اعتبرنا أن سمك طبقة الجليد Z مقدار ثابت ، فإنه من المعادلة (۳) ينتج أن $ \frac{dZ}{dt}=\frac{K(0_2-0_1)}{LpZ} $ (6) **مثال:** أوجد معدل الزيادة في سمك الجليد على سطح بحيرة تحت الظروف الاتية: * درجة حرارة الماء في البحيرة 0°C * درجة حرارة الهواء 12- * سمك طبقة الجليد 0.03 cm * معامل التوصيل الحرارى للجليد 2.1Jm kg ومن ثم أوجد: أ) الزمن اللازم لزيادة سمك الجليد بمقدار 1 mm 1. ب) معدل الزيادة في سمك الجليد عندما يتضاعف سمك الجليد كمية الحرارة dQ التي يفقدها الماء نتيجة زيادة سمك طبقة الجليد بمقدار dz هي: $ dQ = p LA dZ $ (1) هذه الكمية تنتقل بالتوصيل خلال سمك طبقة الجليد في زمن قدره dt وحيث من معادلة التوصيل الحراري. [image description: a diagram showing the temperature profile of a frozen lake. The temperature of the lake is 0 degrees Celsius and the temperature of the air above is -12 degrees Celsius. ] $ \frac{dQ}{dt}=-ΚΑ\frac {d\theta}{dZ} $ (2) وحيث سمك طبقة الجليد مقدار ثابت )۲( ، )۱( من $ \frac {dQ}{dZ} = (0_2 - 0_1) $ $ \frac{dQ}{dt} =ΚΑ\frac{ (0_2 - 0_1)}{Z} $ $ \frac{dQ}{dt} =ΚΑ\frac{ (0_2 - 0_1)}{Z} dt $ $ pL AdZ=KA\frac{(0_2-0_1)}{Z} dt $ (3) $ \frac{dZ}{dt}=\frac{2.1 x 12}{920 x 3.3 x 10^5 x 0.03} = 2.7 x 10^{-6} m.sec^{-1} $ (4) لإيجاد الزمن اللازم لزيادة سمك الجليد بمقدار 1 mm 1 $ dt = \frac{1}{2.7 x 10^{-6}} dZ $ من المعادلة (٤). بالتكامل $ \int _{0}^{dt} dt = \frac{1}{2.7 x 10^{-6}} \int _{0}^{0.001} dz $ $ t = \frac{0.001}{2.7 x 10^{-6}} = 370 sec $ إذا تضاعف سمك الجليد فإن معدل الزيادة يصبح على الصورة : $ \frac{dZ}{dt} = \frac{K(\theta_2-\theta_1)}{pL(2Z)} $ $ \frac{dZ}{dt} = \frac{2.1 x 12}{920 x 3.3 x 10^5 x .06} = 1.35 x 10^{-6} $ **مسألة:** كرة من النحاس كتلتها (0.1 kg) علقت بواسطة سلك من النحاس قطره (mm 1.2) وطوله ( 0.08 ) فإذا أهملت كمية الحرارة التي تفقد بالإشعاع وثبت طرف عند درجة حرارة (15°C) فما هو معدل التغير في درجة حرارة الكرة عندما تكون درجة حرارتها (80°C) إذا علم أن الحرارة النوعية للنحاس (J K K 390) .)400 Jm¯¹ K-¹ sec-1( وأن معدل التوصيل الحرارى للنحاس **الحل:** معدل فقد كمية الحرارة من الكرة = معدل إنتقال كمية الحرارة بالتوصيل خلال سلك التعليق بالنسبة للكرة. $ \frac{dQ}{dt} = mc \frac{d\theta}{dt} $ $ \frac{dQ}{dt} = 0.1 x 390 \frac{d\theta}{dt} $ (1) بالنسبة للسلك [image description: a spherical object is suspended by a cylindrical rod. The upper side of the rod is labeled with a temperature of θ1 and the object is labeled with a temperature of θ2.] **مسألة:** خزان مكعب الشكل مملوء بماء في درجة حرارة (90°C) تم عزله تماما بمادة عازلة معامل التوصيل الحراري لمادتها (J m- K 6.4) فإذا كان طول ضلع المكعب هو (m 0.01) فاحسب معدل إنتقال الحرارة خلال طبقة المادة العازلة إذا كانت درجة حرارة السطح الخارجي للعازل هي 40°C. $ a = 6 a^2 $ $ a = 6 x 1 = 6 m^2 $ $ \frac{dQ}{dt}=KA\frac{d\theta}{dt} $ $ \frac{dQ}{dt}= 6.4 x 10^2 x 6x\frac{-2}{0.01} (90-40) $ $ \frac{dQ}{dt} = 1.92 x 10^3 Joule.sec^{-1} $ $ \frac{dQ}{dt}= 1.9210^3 Watt $ **الحل :** مساحة أوجه المكعب الستة ## مسألة: كرة من النحاس نصف قطرها 5cm محاطة بكرة أخرى متحدة معها في المركز ونصف قطرها 10 . فإذا ملئ الفراغ بينهما بمادة عازلة وسخنت الكرة الداخلية كهربيا بمعدل قدره watt 10 وكان افرق في درجة الحرارة الذي ينشأ بين سطحي الكرتين قدره 55K. فما هو معامل التوصيل الحراري للمادة العازلة؟ $ \frac{dQ}{dt}= 4πΚ\frac{(\theta_1 - \theta_2)}{r_1} $ $ \frac{dQ}{dt}= 4πΚr_1 r_2\frac{(\theta_1 - \theta_2)}{r_2 - r_1} $ $ 10 = 4 x 3.14 x K x 5 x 10^{-3} x 10 x 10^{-3} \frac{55}{5 * 10^{-3}} $ $ K = 0.69 Jm²¹K¯¹ sec-1 $ $ K = 0.69 watt. m²¹K-1 $ **الحل :** ### 1) طريقة سيرل لتعيين معامل التوصيل الحرارى لمدة جيدة التوصيل للحرارة : نختار عينة من المادة المراد تعيين معامل توصيلها الحراري على شكل قضيب منتظم المقطع ونعزله من جوانبه عزلا حراريا تاما وذلك بإحاطته بطبقة من اللباد السميك موضوعة في صندوق من الخشب. ونسخن أحد طرفي القضيب بإمرار تيار من البخار باستمرار بواسطة غرفة بخار ويحاط الطرف الآخر بأنبوبة حلزونية [image description: A diagram showing a cylindrical rod with a diameter of 1 cm is kept at 0 degree Celsius. The rod is made of three materials: copper at the top, aluminum in the middle and iron at the bottom. The copper part is kept at 100 degree Celsius and the iron part is kept at 0 degree Celsius. On the top of the rod, there is a steam chamber, and at the bottom, there is a cold reservoir of thermal heat. The temperature distribution is measured by 4 thermometers. The two thermometers T1 and T2 are kept at the beginning and end of the aluminum part, T3 is at the end of the copper part and T4 is at the beginning of the iron part. There is a constant flow of water through a chamber. The temperature of the water is measured by two thermometers T3 and T4.] معدنية رقيقة يمر بها تيار ثابت من الماء ونقيس درجة حرارة الماء عند دخولها وخروجها من الأنبوبة المعدنية بواسطة ترمومترين (٣) ، (٤). نضع ترمومترين (١) و (۲) في ثقبين في جسم القضيب البعد بينهما x وذلك لتعيين الإنحدار الحراري (شكل (۷) ، **شكل (۷)** ننتظر حتى تثبت درجات حرارة الترمومترات الأربعة وبذلك نكون قد وصلنا إلى حالة الإتزان الحرارى وتكون كمية الحرارة المارة هي الثانية عند اي مقطع من مقاطع القضيب ثابتة وهي تساوى كمية الحرارة التي يكتسبها تيار الماء في الثانية أي أن: معدل سريان الحرارة خلال القضيب = معدل إكتساب تيار الماء للحرارة $ ΚΑ \frac{ \theta_1 - \theta_2}{x} = MC(\theta_3 - \theta_4) $ حيث A مساحة مقطع القضيب ، C الحرارة النوعية للماء وتساوى الوحدة ، M هي كتلة الماء المارة في الثانية الواحدة. ومن المعادلة السابقة نستنتج قيمة معامل التوصيل الحراري k $ K =