0 Grundbegriffe PDF

0 Grundbegriffe 0.1 Einführung a) Thematik Was ist die Thematik der Lehrveranstaltung „Dynamische Netzwerke“? Bisher: Gleichstromrechnung oder Wechselstromrechnung an statischen Netzwerken (Grundlagen der Elektrotechni...

0 Grundbegriffe 0.1 Einführung a) Thematik Was ist die Thematik der Lehrveranstaltung „Dynamische Netzwerke“? Bisher: Gleichstromrechnung oder Wechselstromrechnung an statischen Netzwerken (Grundlagen der Elektrotechnik) Ausnahme: Kondensatoren, Spulen, gekoppelte Spulen (Trafo)  dynamische Elemente (Elektrische und magnetische Felder) Statisches Netzwerk: Ausgangswerte (Größen im Netzwerk) hängen stets ausschließlich von den zum gleichen Zeitpunkt anliegenden Eingangswerten (Quellen) ab  Bauelemente sind statisch, das Verhalten kann durch Kennlinien beschrieben werden. Betrachtung des zeitlichen Verlaufs von Strömen und Spannungen in einem dynamischen Netzwerk unter Berücksichtigung von Strom- und Spannungsquellen  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 1 Dynamisches Netzwerk: Ausgangswerte (Größen im Netzwerk) hängen von Eingangswerten (Quellen) und inneren Zuständen (Kondensatorspannungen, Spulenströme) ab  Enthält statische und dynamische Elemente (L, C, M) Lineare Netzwerke Nichtlineare Netzwerke enthalten ausschließlich lineare enthalten neben linearen auch Bauelemente: nichtlineare Bauelemente, z. B.: R, L, C, M, unabhängige Quellen, linear gesteuerte Quellen  Halbleiterdiode,  Beschreibung durch lineare Gleichungen  Transistor,  bis in den nichtlinearen Bereich ausgesteuerte Spulen mit Kern, u i  nichtlinear gesteuerte Quellen (Quadrierer, Multiplizierer) Kennenlernen eines sehr effektiven Analyseverfahrens für (Teil-)Ziel dieser Vorlesung diese Netzwerkklasse Symbolische Analyse  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 2 b) Problemstellung Gegeben: u i Netzwerkanalyse Mathematische Beschreibung des zeitlichen Verhaltens von Strömen und Spannungen in einem Netzwerk Lineares Netzwerk: (Gleichstromnetzwerke wurden in GET behandelt, hier nun R, L, C, M, Übertragungsfaktoren Wechselstromnetzwerke mit zeitlich variabler Erregung) der gesteuerten Quellen Erregungen (unabhängige Quellen, zeitveränderlich) Kirchhoffsche Gleichungen & u‐i‐Relationen der Zweige Anfangswerte der Kondensator‐ Knotengleichungen Klemmenverhalten der spannungen und Spulenströme Maschengleichungen Grundschaltelemente Knotenspannungsanalyse Maschenstromanalyse Netzwerkgleichungen (gewöhnliche Differentialgleichungen) Gesucht: Zeitverläufe der Ströme und Bestimmen der Lösungen Spannungen im Netzwerk  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 3 0.2 Zeitveränderliche Größen a) Übersicht Ströme und Spannungen (sowie abgeleitete Größen), deren momentane Werte sich zeitlich ändern  üblich sind Kleinbuchstaben: u(t), i(t), p(t), w(t) deterministisch nichtdeterministisch periodische Funktion nichtperiodische Funktion t : x  t   x  t  T  x : x  t   x  t  T  harmonische andere z. B.: z. B. Spannungs‐ (Sinus‐, Kosinus‐) (Dreieck‐, Rechteck‐) Sprungfunktion, schwankungen Funktion Funktion Impuls (Rauschen) an einem Widerstand harmonische periodische Schaltvorgänge Erregung Erregung  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 4 b) Periodische Zeitfunktionen (kurze Wiederholung aus dem 1. Semester) Periodizität: Wiederholung des Verlaufs in konstanten Zeitintervallen x Momentanwert x(t) (positiver) Spitzenwert, Amplitude X̂ xt   xt  T  Periodendauer T t Frequenz f = 1/T T Arithmetischer Mittelwert, Gleichwert x t0 T 1 x  xt dt x 0 t T t0 t0 T Gleichrichtwert x t 0 T x 1 0 t x T  xt  dt t0 t0 T Effektivwert, Quadratischer Mittelwert t 0 T t0 T 1 1  u t dt  i t dt 2 2  wird für Spannungen und Ströme verwendet: U I T t0 T t0  setzt an einem ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Leistung um wie die zeitveränderliche Größe  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 5 c) Klemmenverhalten der Grundschaltelemente (kurze Wiederholung aus dem 2. Semester) Widerstand Kondensator Spule Transformator u1 i1 L1 i R i C i L )M u u u i2 L2 u2 u  R i di1 di u1  L1 M 2 du di dt dt i C u  L 1 dt dt di di i u u2  M 1  L2 2 R dt dt  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 6 0.3 Analysebeispiel (Berechnung im Zeitbereich bei harmonischer Erregung) R iR Gegeben: i uq  t   Uˆ q cos t  q  t0 uR uq  t  u 0   U 0 C u (Anfangsbedingung) Netzwerkdifferentialgleichung(en): Maschensatz u q  u R  u  0 u‐i‐Relationen u R  iR  R Knotensatz i  iR  0 du i C dt i  R  u  uq du   u  Uˆ q cos t  q    RC dt Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit reellen konstanten Koeffizienten  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 7 Lösung der homogenen DGL: du H   uH  0 Ansatz: uH  a  ebt dt   a  b  ebt  a  ebt  0   b  1  a  ebt  0 1  t b uH  a  e   Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung: duP  uP  Uˆ q cos t  q  (siehe Anhang für die  Ansatz: uP  Uˆ cos t    Variante mit Variation dt der Konstanten) Einsetzen in DGL:  Uˆ sin t     Uˆ cos t     Uˆ q cos t  q  Additionstheorem: A cos    B sins   Uˆ 1     cos t    arctan     Uˆ q cos t  q  2  B  sgn  A   A2  B 2  cos    arctan   A Lösung: 1 Uˆ  Uˆ q   q  arctan   1    2  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 8  Lösung: 1 Uˆ  Uˆ q   q  arctan   1    2 t  Vollständige Lösung: u  t   uH  uP  a  e   Uˆ cos t    Bestimmung von a aus der Anfangsbedingung: u  0   a  Uˆ cos    U 0  a  U 0  Uˆ cos   t  Einsetzen: u  t   U 0  Uˆ cos     e   Uˆ cos t    vom Anfangswert von der Erregung abhängige abhängige Eigenlösung erzwungene Lösung t t   u t   U0  e   U cos    e   Uˆ cos t    ˆ transiente Lösung stationäre Lösung  0 für t   Nach einem Übergangsvorgang verbleibt die stationäre Lösung als ein harmonisches Signal mit der gleichen Frequenz wie die Erregung: u  t   Uˆ cos t    Interessiert nur die stationäre Lösung, so braucht die Netzwerk‐DGL nicht gelöst zu werden.  Bestimmung von Û und  per Symbolische Analyse Im Kapitel 9 Schaltvorgänge sind transienter und stationärer Anteil der Lösung von Interesse. Hier wird jedoch die Erregung vorzugsweise konstant sein, so dass der stationäre Anteil ebenfalls eine Konstante ist.  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0‐ 9 0.4 Zusammenfassung  Dynamisches Netzwerk: enthält nicht nur statische, sondern auch dynamische Elemente (U‐I‐Zusammenhang ist nicht zeitlich konstant)  Beschreibung des Verhaltens durch Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssysteme  Lösungen setzen sich im allgemeinen aus einem ‐ transienten (abklingenden) und einem ‐ stationären Anteil zusammen  Bei linearen Netzwerken mit harmonischer Erregung muss für die stationäre Lösung nicht das Differentialgleichungssystem gelöst werden  Symbolische Methode  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0 ‐ 10 0.5 Anhang ‐ Bestimmung der partikulären Lösung durch Variation der Konstanten Lösung der homogenen DGL: du H uH  a  ebt   uH  0 Ansatz: dt   a  b  ebt  a  ebt  0   b  1  a  ebt  0 t  1 uH  a  e  b  Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung: t  Variation der Konstanten mit dem Ansatz: uP  a  t   e  duP   uP  Uˆ q cos t  q  dt  t 1   t t  a  t   e   a  t   e  Uˆ q cos t  q       a  t   e       t t t  Uˆ q cos t  q       a  t   e   a  t   e   a  t   e  Uˆ q t a  t   cos t  q  e    Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0 ‐ 11  Uˆ q t t q a t     e cos t   q  dt  0  Substitution: t  t   d t  dt  q t Uˆ q  q  t e ax a t   e    e cos  t  d t  Integraltafel:  e cos  bx  dx  a 2  b2  a cos  bx   b sin  bx   ax  q  Uˆ q q  1  q  1 q       1  1  1 t   q  q   cos q    sin q     a t   e   e  cos  t     sin  t    e    1 2          2  Uˆ q t  a t    1   2 2  e cos   t   q  sin   t   q  cos  q    sin    q      B Additionstheorem: A cos   B sin   sgn  A   A2  B 2 cos    arctan   A Uˆ q  t  a t   2 2  1    e 1    2 2 cos   t   q     1    2 2 cos   q    ,    arctan    Uˆ q  t  a t    e cos   t   q     q   cos    1    2 2  t  Uˆ q t      q    uP  a  t   e   cos  t   q    e  cos       arctan   1   2 2    Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0 ‐ 12 Vollständige Lösung t Uˆ q  t  cos t  q     e cos q       u  t   uH  uP  a  e    1    2 2  u 0   a  U 0 (Bestimmung von a aus der Anfangsbedingung) vom Anfangswert von der Erregung abhängige abhängige Eigenlösung erzwungene Lösung t Uˆ q t Uˆ q cos q     e cos t  q      u t   U0  e        arctan   1   2 2 1   2 2 transiente Lösung stationäre Lösung  0 für t   Nach einem Übergangsvorgang verbleibt die stationäre Lösung als ein harmonisches Signal mit der gleichen Frequenz wie die Erregung. Interessiert nur die stationäre Lösung, so braucht die Netzwerk‐DGL nicht gelöst zu werden.  Symbolische Analyse  Professur für Grundlagen der Elektrotechnik 0 ‐ 13