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# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. **Conséquence:** La fonction ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et sa dérivée est la fonctio...

# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. **Conséquence:** La fonction ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction inverse: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ ## II. Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$, on a: - $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ - $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln a$ - $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$ - $\ln(a^n) = n \ln a$ - $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a$ ## III. Étude de la fonction ln - La fonction ln est définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ - $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$, donc la fonction ln est strictement croissante sur $]0; +\infty[$ ### Limites - $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ - $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ### Tableau de variations | $x$ | 0 | 1 | $+\infty$ | | ------ | --------- | --- | -------- | | $\ln x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ | ### Courbe représentative The image shows a graph with the x-axis ranging from 0 to 10 and the y-axis ranging from -4 to 4. The curve starts near negative infinity on the y-axis as x approaches 0 from the right, crosses the x-axis at x=1, and then increases slowly towards positive infinity as x increases. The curve is labeled as $y = \ln x$. ## IV. Dérivées | Fonction | Dérivée | | --------------------- | ---------------------------------------- | | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ | | $\ln(ax+b)$ | $\frac{a}{ax+b}$ | | $\ln(u(x))$ | $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | | $(\ln u(x))^n$ | $n \frac{u'(x)}{u(x)} (\ln u(x))^{n-1}$ | | $\ln |u(x)|$ | $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | | $\ln(f(x))$ | $\frac{f'(x)}{f(x)}$ | | $\ln(u(x) \cdot v(x))$ | $\frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)}$ | ## V. Équations et inéquations ### 1) Équations $\ln a = \ln b \Longleftrightarrow a = b$ **Exemple:** $\ln(2x+1) = \ln(x-3)$ $2x+1 = x-3$ $x = -4$ Or, $\ln(-4)$ n'existe pas. Donc $S = \emptyset$ ### 2) Inéquations $\ln a < \ln b \Longleftrightarrow a < b$ **Exemple:** $\ln(3x-1) < \ln(x+5)$ $3x-1 < x+5$ $2x < 6$ $x < 3$ Il faut aussi que $3x-1 > 0$ et $x+5 > 0$ Donc $x > \frac{1}{3}$ et $x > -5$. Donc $S = ]\frac{1}{3}; 3[$