Fachseminar Mathematik: Zahlen und Operationen 2024/2025 PDF

Staatliches Studienseminar für das Lehramt an Grundschulen Kaiserslautern 2024/2025 Fachseminar Mathematik Zahlen und Operationen „Alles ist Zahl.“...

Staatliches Studienseminar für das Lehramt an Grundschulen Kaiserslautern 2024/2025 Fachseminar Mathematik Zahlen und Operationen „Alles ist Zahl.“ Pythagoras Gliederung 1. Kompetenzbereich Zahlen und Operationen 2. Verortung in den Bildungsstandards/Rahmenplänen 2.1 Bildungsstandards 2.2 TRP 2.3 Allgemein 3. Zahlverständnis 4. Operationsverständnis 5. Zahlenraumerweiterung 5.1 Bündeln und Entbündeln 5.2 Stellenwertverständnis 6. Halbschriftliche Rechenstrategien 7. Literatur 8. Anhang/Anregungen 1. Kompetenzbereich Zahlen und Operationen Zentrale Kompetenz im Bereich „Zahlen und Operationen“ ist die Ausbildung einer tragfähigen Vorstellung von Zahlen in verschiedenen Darstellungen, unter verschiedenen Aspekten, ihren Eigenschaften und Beziehungen zu anderen Zahlen. Ein sicheres Operationsverständnis erwerben die Schülerinnen und Schüler über die strukturierte Herausbildung tragfähiger Vorstellungsbilder auf der Grundlage konkreter Handlungen und fortschreitender Abstrahierung. Die damit verbundenen Fähigkeiten und Fertigkeiten des schnellen Kopfrechnens stellen die Grundlage für jede Art des „Rechnens“ dar, aber auch für die Auseinandersetzung mit weiteren mathematischen Inhalten. Abrufbare Kenntnisse (z. B. 1+1, 1x1) unterstützen die Entwicklung mündlicher und halbschriftlicher Strategien. Das Durcharbeiten von Zusammenhängen (z. B. Aufgabe-Tauschaufgabe) und das Ausnutzen von Rechengesetzen fördern den Aufbau und die Anwendung von Kompetenzen. Schriftliche Rechenverfahren (Ziffernrechnen) werden mit halbschriftlichen Vorgehensweisen in Beziehung gesetzt, um ein Verständnis aller Verfahren zu stützen. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen am Ende der Grundschulzeit die schriftliche Addition mit mehreren Summanden, die schriftliche Subtraktion mit einem Subtrahenden (das Verfahren ist freigestellt) und die schriftliche Multiplikation mit mehrstelligen Faktoren sicher. Bei der schriftlichen Division dagegen liegt der Schwerpunkt auf den halbschriftlichen Verfahren. Im Unterricht wird der schriftliche Algorithmus mit einstelligem Divisor zwar eingeführt, ohne dass aber seine Automatisierung erwartet wird. Auf dem Weg zum flexiblen Rechnen haben neben dem Kopfrechnen und dem schriftlichen Rechnen vor allem die halbschriftlichen Rechenstrategien eine große Bedeutung. Und auch dem überschlagenden Rechnen kommt in diesem Zusammenhang eine wichtige Rolle zu. Es stützt Größenvorstellungen von Zahlen und ist im Alltag notwendige Kompetenz. (vgl. Mathematik unterrichten in der Grundschule: Inhalte-Leitideen-Beispiele; C. Selter, E. Zannetin, Klett 2018) 2. Verortung in den Bildungsstandards/Rahmenplänen 2.1 Bildungsstandards Leitidee Zahlen und Operationen Diese Leitidee umfasst den Aufbau von und den verständnisorientierten Umgang mit Vorstellungen zu Zahlen und Operationen sowie deren Beziehungen zueinander ebenso wie das sichere Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren unter sinntragender und flexibler Nutzung von Rechenstrategien, Rechengesetzen und Kontrollverfahren. Dazu gehört auch das sichere Verständnis der für die Primarstufe zentralen schriftlichen Algorithmen wie auch das sachgerechte Rechnen in und mit Kontexten. Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen Der Kompetenzbereich Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen bildet die Grundlage für die schon vorhandenen und die sich entwickelnden Rechenfähigkeiten. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, erklären und nutzen den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems (z.B. Bündelungsprinzip, Stellenwertprinzip), stellen Zahlen bis 1 000 000 auf verschiedene Weise dar (z. B. Anschauungsmittel, Stufenschrift, Stellenwerttabelle, Zifferndarstellung) und setzen diese zueinander in Beziehung, orientieren sich im Zahlenraum bis 1 000 000 (z. B. Zahlen der Größe nach ordnen, Nachbarzahlen bestimmen). Überprüfungsmöglichkeit: Können die Schülerinnen und Schüler z.B. - Zerlegungen der Zahlen bis 10 finden? - alle Zahlzerlegungen finden? - systematisch vorgehen bzw. Strukturen (z. B. 0+10, 1+9, 2+8,...) nutzen? - eine in einer Stellenwerttafel mit Plättchen dargestellte Zahl benennen und als Ziffer schreiben? - die Zerlegungsaufgabe zu einer (in der Stellenwerttafel) dargestellten Zahl notieren? Rechenoperationen verstehen und beherrschen Die Schülerinnen und Schüler verfügen über ein Operationsverständnis zu den vier Grundrechenarten und erkennen und nutzen die Zusammenhänge zwischen den Operationen, beherrschen die Grundaufgaben des Kopfrechnens (u. a. Zahlzerlegungen, Eins- pluseins, Einmaleins) gedächtnismäßig und leiten deren Umkehrungen sicher ab, übertragen die Grundaufgaben des Kopfrechnens auf analoge Aufgaben im Zahlenraum bis zur Million, verstehen mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien zu den vier Grundre- chenarten und setzen diese flexibel ein, beschreiben, vergleichen und bewerten verschiedene Rechenwege; finden, erklä- ren und berichtigen Rechenfehler, erkennen, erklären und nutzen Rechengesetze (z. B. Kommutativgesetz: Tausch- aufgaben), verstehen schriftliche Verfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation, be- schreiben den Algorithmus, führen diesen geläufig aus und wenden ihn bei geeig- neten Aufgaben an, kontrollieren Lösungen durch geeignete Vorgehensweisen (z. B. Überschlagsrech- nung, Umkehroperation).  Überprüfungsmöglichkeit: Können die Schülerinnen und Schüler z.B. - zu einem Bild eine Multiplikationsaufgabe finden? - eine Darstellungsmöglichkeit zu einer vorgegebenen Multiplikationsaufgabe finden (z. B. Rechengeschichte, Handlung oder ein Bild)? - verschiedene Darstellungen zu einer Multiplikationsaufgabe finden? - Aufgaben mit Hilfe eines bekannten Rechenweges lösen und diesen darstellen? - verschiedene Rechenwege für eine Aufgabe angeben und darstellen? - einen vorteilhaften Rechenweg auswählen und ihn begründen? - zu einer vorgegebenen Aufgabe die Umkehr-, Tausch- und Nachbaraufgabe nennen? - zu einer vorgegebenen Aufgabe die Umkehraufgabe als Probe nutzen? - Tausch- und Nachbaraufgaben zum vorteilhaften Rechnen nutzen? - Aufgaben mit Hilfe von bekannten halbschriftlichen Rechenverfahren lösen? - verschiedene halbschriftliche Verfahren nutzen? - vorteilhafte Rechenstrategien begründet auswählen? RechenoperationenIn Kontexten anwenden Der Kompetenzbereich In Kontexten rechnen hat verschiedene auf das Rechnen bezogene Funktionen und solche, die weit darüber hinausgehen. Die Einbettung von Operationen in Kontexte unterstützt das Verstehen von Beziehungen zwischen den vier Grundrechenarten. Über Sachbezüge kann z.B. inhaltlich deutlich werden, dass auch anspruchsvollere Rechenoperationen wie die Multiplikation und die Division mit additiven Konzepten bewältigt werden können. Die Schülerinnen und Schüler wenden bei Sachaufgaben Rechenoperationen an und beschreiben die Beziehun- gen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten, runden und überschlagen sachadäquat. Überprüfungsmöglichkeit: Können die Schülerinnen und Schüler z. B. - zu einer vorgegebenen Additionsaufgabe eine bekannte Darstellung zeichnen? - zu einer vorgegebenen Additionsaufgabe eine eigene Darstellung zeichnen? - einige Kombinationsmöglichkeiten z. B. durch Probieren finden? - viele Kombinationsmöglichkeiten finden? - systematisch alle Kombinationsmöglichkeiten finden und ihr Vorgehen begründen? ( Bildungsstandards im Fach Mathematik im Primarbereich: Beschluss der KMK 2022; Rasch/Schütte: Zahlen und Operationen, in: Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret, Cornelsen 2008) 2.2 TRP Für den TRP haben sich im Fach Mathematik im Primarbereich im Bereich Zahlen und Operationen folgende inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen entwickelt. Zahlen und Operationen (S.10) Zahlvorstellungen besitzen Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen Rechenoperationen verstehen und beherrschen In Kontexten rechnen Nähern und Schätzen: überschlägig rechnen Operatives Üben unter Erkennen und Nutzen von Mustern und Strukturen Kombinatorische Zählstrategien entwickeln und nutzen (Zählen von Mustern) Orientierungsrahmen (S.24ff) Zählen, Zahlen lesen und schreiben Zahlvorstellungen aktivieren und nutzen Zahlbeziehungen verstehen Mathematische Operationen von Addition und Subtraktion verstehen Mathematische Operationen von Multiplikation und Division verstehen Schriftliche Rechenverfahren verstehen In Kontexten rechnen (TRP Mathematik, Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Weiterbildung und Kultur Mainz, 2014) 2.3 Allgemein Im Themenfeld Zahlen und Operationen erfolgt eine deutliche Schwerpunktsetzung auf ein solides Zahl- und Operationsverständnis, auf sichere Fertigkeiten im Kopfrechnen und auf das verständnisorientierte halbschriftliche Rechnen. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten dabei mit den ihnen zur Verfügung stehenden Zahlen, ohne auf bestimmte Zahlenräume begrenzt zu werden. Das Zahlverständnis der Schülerinnen und Schüler wird ausgebaut und gefestigt. Die Schülerinnen und Schüler erwerben eine flexible Zählfähigkeit sowie eine Vorstellung von Zahlen. Der Aspektreichtum der Zahlen wird im Zusammenhang mit ihren vielfältigen Verwendungsmöglichkeiten im Alltag erlebt. Die Schülerinnen und Schüler durchschauen die unregelmäßige sprachliche Struktur der Zahlwortbildung in der deutschen Sprache und stellen diesbezüglich Vergleiche zu anderen Kulturen an. Sie erfahren, dass es dekadische und nichtdekadische Stellenwertsysteme gibt. In Lebensweltbezügen wenden sie das Prinzip der fortgesetzten Bündelung zu verschiedenen Basen an. Sie begreifen das Stellenwertprinzip. Dieses Verständnis wird durch den kreativen Umgang mit der Stellentafel in allen Jahrgangsstufen vertieft. Die Schülerinnen und Schüler gewinnen ein systematisches und beziehungsreiches Operationsverständnis. Das bedeutet, dass sie für jede Rechenoperation innermathe- matische Zusammenhänge und Strukturierungen erkennen sowie die Beziehungen zwischen den Operationen von Anfang an erfassen. Sie erwerben variable Rechenfähigkeiten und bringen ihre individuellen Strategien ein. Lehrerinnen und Lehrer vermeiden eine vorschnelle Festlegung auf bestimmte Vorgehensweisen. Die Strategien der Schülerinnen und Schüler werden als Ausgangspunkt für das Weiterlernen wertgeschätzt. Bis zum halbschriftlichen Rechnen sind die Grundaufgaben der Addition und Subtraktion (Einspluseins) sowie die Grundaufgaben der Multiplikation und Division (kleines Einmaleins) zu erarbeiten. Das sichere Ausführen der Grundrechenoperationen und der dazugehörigen Grundaufgaben ist Voraussetzung des Rechnens in allen Zahlenräumen. In den Jahrgangsstufen 1 bis 4 lernen die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Methoden zum Rechnen kennen. Kopfrechnen ist als Grundlage des Rechnens durch- gängig bedeutsam. Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Gefühl für Zahlen und den Umgang mit ihnen entwickeln. In diesem Zusammenhang wird den Fähigkeiten zum Überschlagen und Schätzen große Bedeutung beigemessen, auch wird der Unterschied zwischen Überschlagen und Runden herausgearbeitet. Ebenso bedeutungsvoll wie Kopf- rechnen ist halbschriftliches Rechnen und gestütztes Kopfrechnen. Hierfür entwickeln die Schülerinnen und Schüler eigene Wege, indem sie ihre Zahlvorstellungen, bekannte Zahlbeziehungen und Rechengesetze anwenden. Zur Unterstützung bieten Lehrerinnen und Lehrer geeignete Notationen an. Die Fähigkeit, halbschriftliche Strategien zu nutzen, verliert mit der Einführung schriftlicher Rechenverfahren nicht an Bedeutung. Mit dem schriftlichen Rechnen lernen die Schülerinnen und Schüler algorithmische Verfahren kennen. Sie erfahren an Beispiele gebunden, dass diese Konventionen in den einzelnen Kulturen unterschiedlich sein können. Ihnen wird die Gelegenheit gegeben, die Verfahren des schriftlichen Rechnens verständnisgestützt entdeckend zu entwickeln und in verschiedenen Situationen anzuwenden. Im Vordergrund steht das Verstehen der Verfahren, nicht das formale Einüben. Für die schriftliche Subtraktion kann das algorithmische Verfahren in Abstimmung zwischen Lehrenden und Lernenden frei gewählt werden. Das Verfahren der schriftlichen Division wird mit einstelligem Divisor und situationsabhängig mit ausgewählten zweistelligen Divisoren durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler benutzen den Taschenrechner als Hilfsmittel zur Kontrolle und Entlastung von aufwendigen Rechnungen zugunsten des Entdeckens und Problemlösens. In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in unterschiedlicher Weise darzustellen. (aus: Rahmenplan Grundschule Mathematik, MBJS Brandenburg) 3. Zahlverständnis Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen Ausgehend von Mathematik als etwas, das nicht wahrnehmbar, nicht fassbar ist, basiert das Begreifen von mathematischen Zusammenhängen auf dem Arbeiten mit Darstellungen z.B. Bildern, Handlungen, sprachlichen oder mathematischen Symbolen. Diese von der Mathematik benötigten Darstellungen sind allerdings oft mehrdeutig und vielseitig interpretierbar, da sie auf Konventionen beruhen. So sagen die Zahlsymbole beispielsweise noch nichts über die Zahlen selbst aus. Mathematik lernen heißt dann, die Konventionen zu verstehen und mit Hilfe der Darstellungen bestimmte Vorstellung zu dem mathematischen Objekt aufzubauen. Das mathematische Objekt „8“ wird so nicht nur als Ziffer, sondern als 8 Gegenstände, 8 Punkte etc. aufgefasst. Der Erwerb mathematischer Vorstellungen geschieht über verinnerlichte konkrete Handlungen. Mit „konkreten Handlungen“ sind allerdings nicht die äußerlich sichtbaren Handlungen, wie das konkrete Manipulieren mit Material, sondern die geistige Handlung bzw. Aktivität gemeint (vgl. Gerster und Schultz, 2000). (aus: 2011 © by PIK AS (http://www.pikas.uni-dortmund.de/) „Ein mathematisches Konzept wie eine Zahl (…) oder eine Funktion (beispielsweise y = x + 1) verstehen lernen heißt, ein reichhaltiges Geflecht von Beziehungen herzustellen zwischen verschiedenen Darstellungen, Vorstellungen und Anwendungssituationen…“ (Gerster &Schultz 2000, S. 33) Bedeutung von Zahlen und Beziehungen zwischen Zahlen Wird dieses „Geflecht“ von Beziehungen nicht hergestellt, kann bei einem Kind auch kein Zahlverständnis aufgebaut werden, die Vorstellungen Kinder zu einer Zahl aufbauen sollten und welche Darstellungen dabei helfen können, damit es ein tragfähiger Begriff ist, wird im Folgenden dargestellt: Verschiedene Vorstellungen zur Zahl „8“ verbunden mit verschiedenen Darstellungen.. 8 Plättchen, 8 Stifte, … 8 Plättchen auf dem Zwanzigerfeld Zahlwort: acht Zahlwortreihe: 1,2,3,4,5,6,7,8, … oder: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht 8 auf dem Zahlenstrahl doppelte von vier 8 als Nachfolger von 7, als Vorgänger von 9, 8= 4+4, 8=5+3, 8= 6+2, 8= 10-2 Diese verschiedenen Vorstellungen zu Zahlen sollen hier – anders als in vielen mathematikdidaktischen Texten – nicht gleichberechtigt nebeneinandergestellt, sondern hierarchisiert werden. (aus:2011©byPIKAS (https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/Haus_3_- _Umgang_mit_Rechenschwierigkeiten/FM/Modul_3.1/Sachinfos.pdf) Um Beziehungen zwischen Zahlen darzustellen (bzw. sich vorzustellen), braucht man eine kardinale Sicht auf Zahlen: Mengen werden in Beziehung zueinander gesetzt. (In der Grundschularithmetik sind insbesondere eine kardinale und ordinale Vorstellung entscheidend und sollten vertieft werden, sofern man die Maßzahlvorstellung ebenfalls als Aspekt einer kardinalen Vorstellung betrachtet, mit dem Unterschied, dass Maße quantifiziert werden.) Beziehungen zwischen Zahlen In der fachdidaktischen Literatur wird die Beziehung zwischen Zahlen zum einen als Teile- Ganzes-Konzept (oder Teil-Teil-Ganzes) bzw. der Teile-Ganzes-Beziehung (Resnick 1983) bezeichnet, andererseits liest man auch von der Relationalzahl (Stern1998). Annahme ist, dass beide Bezeichnungen im Grunde dasselbe meinen – nämlich Beziehungen zwischen Zahlen zu verstehen. Teile- Ganzes Beziehung: Zahlen zerlegen Damit ist die Einsicht gemeint, dass Zahlen zerlegbar und aus Teilen zusammensetzbar sind. Zahlen als Teile in einem Ganzen zu verstehen ist eine entscheidende und elementare Leistung in den ersten Schuljahren („major conceptual achievement of the early school years“ Resnick 1983). Es ist zu beachten, dass Kinder Unterschiede oder Beziehungen zwischen Mengen zunächst nur mit Mengen selbst und noch nicht mit Zahlsymbolen ausdrücken können (vgl. Resnick 1992). Die Zahl 7 ist z.B. zerlegbar in 4 und 3. Relationalzahlbegriff: Anzahlen vergleichen Anzahlen unterschiedlicher Mengen lassen sich vergleichen. Dabei lassen sich soge- nannte Differenzmengen bestimmen: Bezogen auf die Mengendarstellungen links, heißt das: „Im linken Muster sind drei Punkte weniger als im rechten bzw. im rechten Muster sind drei Punkte mehr als im linken“. Ein tragfähiger Zahlbegriff bzw. tragfähige Vorstellungen zu Zahlen aufzubauen ist die Grundlage für das Rechnen und die Entwicklung von Rechenstrategien. Eine aspektreiche Vorstellung zu Zahlen ist dementsprechend eine Voraussetzung für ein tragfähiges Operationsverständnis sowie ein Stellenwertverständnis, welches wiederum die Ablösung vom zählenden Rechnen unterstützt bzw. bewirkt. Nur wer zwischen Zahlen Beziehungen herstellen kann, kann auch Rechenoperationen verstehen. Reversibilität: Die Zerlegung einer Menge in zwei Teilmengen ändert nichts an der Gesamtmenge. Wichtiger Hinweis: Einige Kinder sehen beim Zerlegen nur noch die Teilmengen und verlieren dabei das Ganze aus den Augen. Daraus können später z.B. Schwierigkeiten im Umgang mit Subtraktionsaufgaben resultieren, wenn aus bildlichen Darstellungen beliebige Teile voneinander abgezogen werden, das Ganze aber nicht gesehen wird. Ohne die Kenntnis von der Zerlegbarkeit der Zahlen und einer umfassenden Zahlvorstellung sind mathematische Operationen und ihre Eigenschaften im allgemeinen nicht verständig durchführbar. Werden Kinder dazu angeregt, Beziehungen zwischen Zahlen zu erforschen, so erweitert dies die Zahlvorstellung sowie das Operationsverständnis. Auf diese Weise und nur so lassen sich elegantere Rechenstrategien entwickeln, bei denen es notwendig ist, Summanden oder Subtrahenden zu zerlegen, um einfacher und schneller zum Ergebnis zu kommen. Beispiel für die Addition: 7 + 8 = 7 + (3 + 5) oder = 7 + (7 + 1). Beispiel für die Subtraktion: 14 – 6 = 14 – (4 + 2) = 14 – 4 – 2  oder = 14 – (7 – 1) = 14 – 7 + 1 Für den arithmetischen Anfangsunterricht bedeutet das, dass den Kindern Gelegenheit gegeben wird, Beziehung zwischen Zahlen zu erforschen: - Vom Ganzen ausgehend, dieses zerlegen, Teile benennen und wieder zusammenführen: beide Teile zusammen ergeben das Ganze: o Eine Teilmenge aus einer Menge abschneiden o Eine Schokolade auseinanderbrechen und wieder zusammensetzen o… Es sollte darauf geachtet werden, dass die Übungen sprachbegleitend durchgeführt werden. Dabei ist auch zu beachten, dass der Begriff „zerlegen“ nicht dem herkömmlichen, alltäglichen Sprachgebrauch entspricht. Im Sinne eines Verstehens gehört auch ein Sprachverständnis dazu. Kinder können Aufgaben oft nicht korrekt lösen, weil ihnen die Aufgabenstellung oder einzelne Worte nicht klar sind. (aus: 2011 © by PIK AS (http://www.pikas.uni-dortmund.de/) Tipp: https://pikas-mi.dzlm.de/inhalte/zahlvorstellungen-zr-0-bis-100/einstieg 4. Operationsverständnis Ein zentraler Inhalt im Mathematikunterricht in der Grundschule ist, dass alle Kinder die vier Grundrechenarten beherrschen und ausführen können. Hierbei sollen Kinder nicht Aufgaben und Regeln stupide auswendig lernen. Vielmehr geht es darum eine Vorstellung zu den verschiedenen Rechenoperationen zu erlangen. Mit Hilfe eines sogenannten „Operationsverständnisses“ sollen die Kinder Kenntnis darüber erlangen, welche Handlungen mit der jeweiligen Operation verknüpft sind. Die Entwicklung eines umfassenden Operationsverständnisses zu jeder Rechenoperation ist wichtig, um reale Situationen deuten und diese mit einer Rechenoperation in Verbindung bringen zu können. Grundvorstellungen der verschiedenen Rechenoperationen : Addition: Zusammenzählen oder Weiterzählen Subtraktion: Wegnehmen, Ergänzen (Umkehrung der Addition) und Vergleichen Das Lösen von Vergleichssituationen fällt Kindern oft schwerer als Situationen des Abziehens oder Ergänzens. Ein Grund für diese Schwierigkeiten beim Lösen von Vergleichssituationen ist die fehlende oder mindestens nachrangige Thematisierung aller Grundvorstellungen zur Subtraktion in Schulbüchern und damit im Mathematikunterricht. Ein weiterer Grund ist, dass den Kindern bei Situationen zum "Abziehen" oder "Ergänzen" in den Aufgabenformulierungen konkrete Handlungsanweisungen gegebenen werden, wie z. B. "Wenn ich drei Kastanien wegnehme, wie viele bleiben übrig?", "Wie viele Kastanien müsste ich noch bekommen/abgeben, damit wir gleich viele haben?". Diese Handlung können Kinder konkret am Material oder mental im Kopf durchführen. Bei Situationen zum "Vergleichen" fehlt dieser Hinweis in der Aufgabenformulierung. Begrifflichkeiten wie "mehr" und "weniger" sollen nun von den Kindern inhaltlich verstanden werden. Dies stellt sie vor eine große Herausforderung Tipp: Sie können eine Vergleichsaufgabe "Wie viele Kastanien habe ich mehr/weniger?" zu Beginn der Thematisierung als Hilfestellung für die Kinder in eine Ergänzungsaufgabe umformulieren: "Wie viele Kastanien muss ich bekommen/abgeben, um gleich viele zu haben?". Wichtig ist dabei die Verknüpfung beider Vorstellungen mit der Subtraktion. Multiplikation: mehrfache-Addition- ein- und zweidimensional Division: gerecht Verteilen oder Aufteilen (Umkehrung der Multiplikation) Alle Grundvorstellungen können anhand von lebensweltlichen Situationen verdeutlicht werden. Zu beachten ist die Eindeutigkeit der Bilder. Missverstandene Darstellungen ergeben Probleme beim Wechsel der Darstellungsform. Bilder sind immer ein eigener Lernstoff mit möglichen Hürden und können oftmals mehrdeutig interpretiert werden. Die Vernetzung aller Darstellungsformen über konkrete Handlungen ist wichtig um ein umfassendes Operationsverständnis der Grundvorstellungen zur Rechenoperation zu entwickeln. Demnach sind für den Aufbau des Operationsverständnisses vielfältige Darstellungswechsel notwendig. Die verschiedenen Darstellungsformen (Handlung, Bild, Sprache, Mathesprache) können nicht alleinig durch ihre Präsenz ein Operationsverständnis erzeugen, denn die Rechenoperation kann nicht "gesehen" werden, sondern muss immer erst in die entsprechende Darstellungsform hineininterpretiert werden. Zum Operationsverständnis gehört demnach die Fähigkeit, Verbindungen zwischen allen Darstellungsformen zu einer Rechenaufgabe herstellen zu können. Dabei stellen diese Wechsel, also das "Übersetzen" zwischen den verschiedenen Darstellungsformen, einen komplexen Prozess dar. Die Darstellungsformen müssen immer wieder verglichen werden und sind keinesfalls als "Einbahnstraßen" zu verstehen. Die Kinder sollen "netzartige Geflechte" entwickeln mit dem Ziel, zwischen den verschiedenen Darstellungen flexibel hin- und herübersetzen zu können. (aus „Mathematik unterrichten in der Grundschule: Inhalte-Leitideen-Beispiele“; C.Selters, E. Zannetin; Kallmeyer 2018) Die Fähigkeit Beziehungen und Strukturen zwischen Aufgaben entdecken, nutzen und beschreiben zu können ist ein Hinweis für ein umfassendes Operationsverständnis. Der Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion (als Umkehroperation) ist wichtig für ein umfassendes Operationsverständnis der Subtraktion. Kinder sollten die Ergebnisse der Minusaufgaben sicher mit Hilfe der Beziehung zu den entsprechenden Plusaufgaben und anderen halbschriftlichen Rechenstrategien ableiten können. Dafür brauchen sie ein gesichertes Teile-Ganzes-Verständnis die gedächtnismäßige Verfügung über sogenannte Zahlentripel (7/5/12; 7 + 5 = 12; 12 - 5 = 7) die Grundvorstellung der Subtraktion als "Ergänzen" Das Übertragen von Rechenregeln der Addition auf die Subtraktion sind eine mögliche Schwierigkeit im Unterricht, da die von den Kindern bereits entdeckten Rechengesetze der Addition nicht automatisch für die Subtraktion gelten. Es kommt häufig vor, dass Kinder folgende "Operationseigenschaft" der Addition auf die Subtraktion übertragen: das Kommutativgesetz (4 + 3 = 3 + 4). Die Kinder müssen inhaltlich verstehen, warum die Rechenregel - in diesem Fall das Vertauschen der Zahlen bei der Subtraktion (7 - 5 ist nicht das gleiche wie 5 - 7) - "nicht geht" und es nicht einfach auswendig lernen, dass es eben "verboten" ist, die Zahlen zu vertauschen. Es ist wichtig, diese Operationseigenschaften mit Hilfe anderer Darstellungsformen zu veranschaulichen, beispielsweise indem passende Handlungen (Rollenspiele) zu Aufgaben durchgeführt werden: So können von sieben Äpfeln problemlos fünf Äpfel abgegeben werden, dann bleiben noch zwei Äpfel übrig. Doch wenn man von fünf vorher eingesammelten Äpfeln sieben Äpfel abgeben möchte, fehlen noch zwei Äpfel, um sie überhaupt weggeben zu können. Wichtig ist, dass die Schüler lernen, ihren Lösungsweg zu beschreiben und dabei Handlungen oder Zeichnungen zu nutzen.  Dies kann angeregt werden durch Aufgabenstellungen wie: Þ Lege passend zur Aufgabe. Þ Zeichne passend zur Aufgabe. Þ Erzähle eine Geschichte, die dazu passt. Ein umfassendes Operationsverständnis wird aufgebaut, wenn das Kind Grundvorstellungen zur Rechenoperation besitzt, die Fähigkeit besitzt die Darstellung zu wechseln und Beziehungen und Strukturen zwischen Aufgaben erkennt und nutzt. 5. Zahlenraumerweiterung Bei der Zahlenraumerweiterung bis 100 im ersten Drittel des zweiten Schuljahres geht es auch darum, diejenigen Eigenschaften, die bereits bei den Zahlen bis 20 untersucht wurden, auch bei den über 20 hinausgehenden Zahlen genauer kennen zu lernen. So sollen die Kinder Vorgänger und Nachfolger bestimmen, alle Zahlen der Größe nach ordnen sowie Größenvorstellungen entwickeln. Dieser Teil der Anforderungen stellt eine kontinuierliche Fortsetzung der Erarbeitung der Zahlen bis 20 dar. Darüber hinaus ist aber mit der Zahlenraumerweiterung bis 100 eine qualitativ weitaus höhere Anforderung verbunden. Die Kinder sollen nicht nur die größeren Zahlen, sondern deren dezimale Struktur lernen; sie sollen ein Verständnis für unser dezimales Stellenwertsystem entwickeln. Dazu gehören eine Grundvorstellung der Idee der dezimalen Bündelung sowie Verständnis und Beherrschung der Stellenwertschreibweise von Zahlen. Ein tragfähiges Stellenwertverständnis muss von allen Kindern entwickelt werden. Ohne die Einsicht in den Aufbau der Ziffern-Zahlen sind sowohl Zahlvorstellungen, als auch Operationsvorstellungen nicht tragfähig ausbildbar. Studien ergeben, dass Kinder mit tragfähigem Stellenwertverständnis bei der Addition und Subtraktion vielfältigere Strategien nutzen und weniger Fehler machen, als Kinder mit weniger guten Kenntnissen zum Dezimalsystem (vgl. ebd., S. 92f.). In engem Zusammenhang stehen vor allem die Teile-Ganzes-Beziehungen mit der Zusammensetzung von Zehnern und Einern. Das Teil- Ganzes-Konzept bildet darüber hinaus auch die Grundlage für flexible Rechenstrategien, die ebenfalls auf ein grundlegendes Stellenwertverständnis aufbauen. Zuletzt ist auch die Erweiterung des Zahlenraums zu Dezimalzahlen maßgeblich von Stellenwerten abhängig. (vgl. Gaidoschik 2007, S. 162f.) Insofern ist mit der Zahlenraumerweiterung bis 100 im zweiten Schuljahr eine Aufgabe verbunden, die grundlegend für alles weitere Mathematiklernen ist. (Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen: W. Schipper, Schroedel Verlag 2016) 5.1 Bündeln und Entbündeln Das Bündeln ist der erste Schritt um den Zahlenraum bis 100 und insbesondere unser Stellenwertsystem zu verstehen. Hierdurch werden die Begriffe Einer und Zehner eingeführt, was sich anschließend durch Bündelung von 10 Zehnern zu den Hundertern führt. Hat das Kind die Bündelung verstanden, dann ist auch die Addition großer Zahlen nicht mehr abschreckend: 37 + 42 sieht auf den ersten Blick schwierig aus und lässt sich durch Abzählen nur mit großem Aufwand lösen. Nimmt man aber die Zehner-Bündel und die Einer getrennt, ist es einfach: 3Z+4Z=7Z 7E+2E=9E Es ergeben sich also 7 Zehner und 9 Einer, zusammen sind das 79. (Ergeben sich bei dieser Rechnung 10 Einer oder mehr, kommt eine weitere Bündelung ins Spiel) Nach dem gleichen Prinzip erfolgen auch die übrigen Grundrechenarten Subtraktion, Multiplikation und Division großer Zahlen. Probleme hierbei sind letztendlich oft auf ein nicht ausreichendes Verständnis der Bündelung zurückzuführen! https://grundschule-kapiert.de/stellenwerttafel-klasse-2/ Die Grundidee des Bündelns sollte nicht nur an Materialien demonstriert werden, die – wie die Zehnersystemblöcke oder die Hunderter-Tafel – die Zehnerbündelung bereits enthalten. Sie sollte vielmehr im Unterricht konkret entwickelt werden. Erste Erfahrungen können von Kindern intuitiv gemacht werden. So können Kinder bspw. die Aufgabe gestellt bekommen eine größere Anzahl (>10) unstrukturierten Materials abzuzählen und diese zu verschriftlichen. Die Einsicht ist entscheidend, dass das einzelne Abzählen der Elemente mühsam und auf Dauer keine geschickte Lösung. Auch die Nachfrage, warum z.B. die Ziffer 1 und 2 „zwölf“ darstellen, obwohl 1+2 = 3 ist, setzt Impulse, das bloße Abzählen und Verschriftlichen zu hinterfragen. Auch Entbündelungsprozesse können mit Material erfahren werden. Besonders geeignet sind dafür Steckwürfel, die zunächst zu Zehnerstangen gebündelt und anschließend wieder auseinander genommen werden können. Weitere Beispiele: Ein mit Bohnen gefülltes Glas wird gezeigt. Die SchülerInnen sollen zunächst die Anzahl schätzen und anschließend die Bohnen zählen. -> Die SchülerInnen entwickeln Bündelungsstrategien. Immer 10 Murmeln werden in ein kleines Säckchen gegeben. Für 26 Murmeln brauchen wir zwei Säckchen; sechs Murmeln bleiben übrig. Wie viele Murmeln sind es, wenn wir fünf Säckchen und vier einzelne Murmeln haben? 38 Eier werden in Zehnerkartons verpackt: drei Kartons und acht einzelne Eier. Aus Büroklammern werden Zehnerketten gebildet, vier Zehnerketten und drei einzelne, also 43 Büroklammern. Beim Bündeln können Fehler dahingehend geschehen, dass z.B. 4 Zehner und 13 Einer zu einer Zahl gebündelt werden sollen und 13 nicht in 1 Zehner und 3 Einer gebündelt werden, so dass 413 notiert wird, statt 53. Solche Fehler können für den Lernprozess gut und lehrreich sein und müssen besprochen werden, um den Kindern die Konvention und Regeln und deren Sinn zu vermitteln. 5.2 Stellenwertverständnis Unsere heutige Zahlschrift ist äußerst elegant und effizient. Sie ist das Endprodukt eines jahrtausendealten Entwicklungsprozesses. Mit lediglich zehn Zahlsymbolen können wir leicht beliebig große und kleine Zahlen aufschreiben, und auch sehr einfach mit ihnen rechnen. Die Genialität unseres Zahlensystems spiegelt sich darin wider, dass den Ziffern kein fester Zahlwert zugeordnet ist, sondern dass der Wert sich je nach Position innerhalb der Zahl unterscheidet. Unser Stellenwertsystem lässt sich mit vier Prinzipien charakterisieren (vgl. Ross 1989): Stellenwertprinzip: Die Position einer Ziffer bestimmt ihren Wert. Bündelungsprinzip: Der Wert jeder Stelle/Bündelungseinheit steigt um den Faktor 10 von rechts nach links. Multiplikatives Prinzip: Da jede Ziffer die Anzahl der Elemente einer Bündelungseinheit angibt, ergibt sich ihr Zahlenwert aus Ziffer multipliziert mit ihrem Stellenwert. Additives Prinzip: Der Gesamtwert der Zahl ist die Summe der Zahlenwerte aller Ziffern. Neben der Einsicht in diese Prinzipien, sollten die SchülerInnen in der Lage sein, flexibel mit Zahldarstellungen umgehen zu können. Das heißt, sie können schnell und sicher verschiedene Teildarstellungen einer Zahl finden und zwischen ihnen wechseln. Die Zahl 23 lässt sich beispielsweise als 2Z 3E (Standard-Teilung), 1Z 13E oder 23E (nicht-Standard- Teilungen) darstellen. https://pikas-mi.dzlm.de/inhalte/zahlvorstellungen-tragfähige-vorstellungen-aufbauen-zr-bis- 1mio/einstieg/hintergrund/das Im Unterricht können Bündelungshandlungen und ein flexibles Stellenwertverständnis mit der Stellenwerttafel erarbeitet und geübt werden. Padberg & Benz (2011) empfehlen den Einsatz der Stellenwerttafel im Unterricht der Grundschule zur Verständnisförderung des Aufbaus und der Struktur des dezimalen Stellenwertsystems sowie zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen den einzelnen Stellenwerten. In einer Stellenwerttafel werden Zahlen repräsentiert, indem Plättchen als Einheiten in Spalten gelegt werden, die für Stellenwerte stehen. Die Tätigkeit des Verschiebens eines Plättchens von einer zur anderen Spalte hat innerhalb der herkömmlichen Stellenwerttafel eine Änderung des Zahlenwertes zur Folge (siehe Abbildung), da die Anzahl der verwendeten Plättchen gleich bleibt. https://dlgs.uni-potsdam.de/konzepte/zahlverstaendnis Wichtig ist auch die Rolle der Null im Stellenwertsystem. Durch sie wird angezeigt, wenn ein Stellenwert nicht besetzt wird, d.h. kein Bündel vorhanden ist. Wird ein Stellenwert nicht besetzt, muss dieses durch eine Null gekennzeichnet werden. Wird die Null weggelassen, verändert sich der Wert der Zahl (z.B. 302 oder 32). (vgl. Scherer & Moser-Opitz, 2010). Schwierigkeiten beim Stellenwertverständnis Dass viele Kinder auch nach der Grundschulzeit noch Schwierigkeiten haben das Stellenwertsystem zu verstehen und ein geeignetes Stellenwertverständnis aufzubauen macht die thematische Komplexität deutlich. Kinder, die Zahlen notieren und mit Anschauungsmaterial umgehen können und sich in einem bis dahin erarbeiteten Zahlenraum sicher bewegen, können dennoch im weiteren Lernprozess Schwierigkeiten entwickeln. So kann es bei der Zahlenraumerweiterung auf Dezimal- und Bruchzahlen bspw. zu Problemen kommen, die auf ein nicht hinreichend entwickeltes Stellenwertverständnis hindeuten. (vgl. Hußmann/ Nührenbörger/ Prediger/ Selter 2014, S. 21) Ein Kind, dass Zahlen nur als Position auf einer Zahlenreihe interpretiert und diese nicht als Menge erfasst, weist folgende Fehlvorstellungen auf: Die Zahlen 9 und 10 bspw. unterscheiden sich nicht voneinander, 10 ist einfach die nächste Zahl, die nach der 9 folgt. Der Grundgedanke unseres Zahlsystems ist es jedoch, dass wir im Sinne des Stellenwertsystems an jeder Stelle (Einer, Zehner, Hunderter,...) stets nur eine Anzahl von 9 festhalten können (alle Ziffern von 0 bis 9). Bei der Zahl 10 kommt es zur Bündelung in  die nächst höhere Stelle und dieser Prozess kann Kindern große Schwierigkeiten bereiten. Folgende Auffälligkeiten weisen auf Schwierigkeiten bzw. auf ein nicht vorhandenes Stellenwertverständnis hin: Zahlendreher beim Lesen, Schreiben und Rechnen (z.B. 34+7=50, da 43+7 gerechnet wird) Probleme beim Zählen. Vor allem rückwärts, insbesondere beim Übergang von einer Stelle zur nächsten: Typische Fehler sind bspw. 800, 900, 1000, 2000, 3000 oder 63,62,61,50,59,58 Nichterkennen von Analogien: Obwohl 3 + 3 auswendig beherrscht wird, kann bei 23 + 3 auf dieses Wissen nicht zurückgegriffen werden und es wird hochgezählt Wahlloses Verknüpfen der Zehner und Einer: Beispielsweise bei der Addition werden wahllos die Ziffern verrechnet (23 + 1 = 33) Schwierigkeiten mit „Nachbar-Aufgaben“ wenn 30 – 1 als 39 berechnet wird, durch die fehlerhafte Entbündelung Zehnerüber- und Zehnerunterschreitungen gelingen nicht oder nur zählend Fehlerhafte Größenvergleiche aufgrund der Ziffern, nicht aber der Stellenwerte, z.B. 19 größer als 33, wegen der vorkommenden 9 Keine Orientierung im Zahlenraum, wenn z.B. die 36 bei 60 am Zahlenstrahl gesucht wird aufgrund der Ziffer 6 (vgl. Das Recheninstitut zur Förderung mathematischen Denkens o.J.) 6. Halbschriftliche Rechenstrategien: Ab der zweiten Klasse spielen halbschriftliche Rechenstrategien eine zentrale Bedeutung im Unterricht und nehmen über die gesamte Grundschulzeit hinweg einen großen Raum ein. Es werden verschiedene Strategien thematisiert. Das Zerlegen von Aufgaben in leichtere Teilaufgaben ist das zentrale Kennzeichen des halbschriftlichen Rechnens. Einzelne Rechenschritte werden notiert, bis am Schluss das Ergebnis ermittelt ist. Unabhängig von der Rechenoperation (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sind die halbschriftlichen Strategien durch drei besondere Charakteristika gekennzeichnet. Besonderheiten bei halbschriftlichen Rechenverfahren: Die Rechenwege sind beim halbschriftlichen Rechnen, anders als beim schriftlichen Rechnen, nicht vorgegeben. Die Notationsweise ist nicht verbindlich vorgegeben. Es gibt verschiedene halbschriftliche Lösungsstrategien und es hängt von der jeweiligen Aufgabe ab, welche Lösungsstrategie besonders sinnvoll ist. Zusammenfassend kann man festhalten, dass drei Gründe von zentraler Bedeutung bei halbschriftlichen Rechenstrategen sind:  Sie sind neben dem Kopfrechnen, dem schriftlichen Rechnen und dem Taschenrechner ein sinnvoller und oftmals sehr ökonomischer Weg, um Aufgabenstellungen zu lösen. Sie bereiten Kopfrechenstrategien in größeren Zahlenräumen vor. Sie sind die Grundlage, um die schriftlichen Strategien zu verstehen. Dieses Verständnis ist wesentlich, um die schriftlichen Algorithmen richtig ausführen zu können. 7. Literatur Homepage PIKAS der Uni Dortmund Grassmann, M. u.a. Kompetent im Mathematikunterricht der Grundschule, Mathematikunterricht, Schneider Verlag Hohengehren GmbH) Rahmenplan Grundschule Mathematik, MBJS Brandenburg Rahmenplan Grundschule Mathematik, MBJS Brandenburg Bildungsstandards im Fach Mathematik im Primarbereich: Beschluss der KMK 2022; TRP Mathematik 2015 Krauthausen,G./Scherer,P.: Einführung in die Mathematikdidaktik, Spektrum 2007 Walther,G. u.a.: Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret, Cornelsen 2011 Schipper, Wilhelm: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen, Schroedel 2016 Selter, Zannetin: Mathematik unterrichten in der Grundschule: Inhalte-Leitideen- Beispiele; Klett 2018 Ulm,V.: Gute Aufgaben Mathematik, Cornelsen 2011 Mathematik differenziert/ 2-2010, Zahlenräume Mathematik differenziert/ 4-2010, Rechenstörungen Mathematik differenziert/ 2-2011, Das Einmaleins Mathematik differenziert/ 1-2013, Üben - Addition und Subtraktion üben Mathematik differenziert/ 2-2014 Division - Teilst Du mit mir? Mathematik differenziert/ 4-2016, Algebraische Vorstellungen anbahnen Grundschule Mathematik/ 35/2012, Zahlbeziehungen erkennen Grundschule Mathematik/ 37/2013, Die Multiplikation entdecken, erklären, erforschen Grundschule Mathematik/ 42/2014, Vom Raten zum Schätzen Grundschule Mathematik/ 44/2015, Tragfähige Zahlvorstellungen fördern Grundschule Mathematik/ 46/2015, Einstiege in arithmetische Stunden https://pikas.dzlm.de/pikasfiles/uploads/upload/Material/Haus_3_- _Umgang_mit_Rechenschwierigkeiten/FM/Modul_3.1/Sachinfos.pdf) https://dlgs.uni-potsdam.de/konzepte/zahlverstaendnis https://grundschule-kapiert.de/stellenwerttafel-klasse-2/ 8.Anhang/Anregungen è 1./2. Klasse Aufgaben erfinden Finde Plus- und Minusaufgaben mit den Zahlen 3, 5, 8 und 12. Verwende in jeder Aufgabe keine Zahl doppelt. Achte beim Schreiben auf eine Ordnung! Wie viele Aufgaben findest du insgesamt? Hier kannst zu Kärtchen zum Legen der Aufgaben ausschneiden: 3 5 8 12 + – = è 2.-4. Klasse è 2.-4. Klasse  è 2. bis 4. Klasse Anna, Can und die Kastanien Auf dem Heimweg von der Schule entdeckt die 8-jährige Anna, dass schon die ersten Kastanien vom Baum gefallen sind. Unter dem Baum, der ganz nahe bei der Schule liegt, sammelt sie 7 Kastanien. 3 Straßen weiter steht wieder ein Baum, dort findet sie 12 Kastanien. Sie freut sich sehr und läuft vergnügt weiter. Kurz bevor sie daheim ist, trifft sie den 9-jährigen Can. „Du schau mal, ich habe schon ein paar Kastanien gefunden“, erzählt sie ihm stolz. Can mag Kastanien auch und sieht schon den nächsten Kastanienbaum. „Komm, da gibt es noch mehr Kastanien. Wir wollen um die Wette suchen“, schlägt er vor. Can findet unter diesem Baum 14 Kastanien, Anna noch 11 Kastanien. Am Nachmittag treffen sich die beiden, um aus den Kastanien etwas zu basteln und ein Muster zu legen. Auf dem Heimweg von der Schule entdeckt Anna, dass schon die ersten Kastanien vom Baum gefallen sind. Unter dem Baum, der nach ganz nahe bei der Schule liegt, sammelt sie 7 Kastanien. An der nächsten Straßenecke weiter steht wieder ein Baum, dort findet sie 12 Kastanien. Sie freut sich sehr und läuft vergnügt weiter. Kurz bevor sie daheim ist, trifft sie Can. „Du schau mal, ich habe schon ein paar Kastanien gefunden“, erzählt sie ihm stolz. Can mag Kastanien auch und sieht schon den nächsten Kastanienbaum. „Komm, da gibt es noch mehr Kastanien. Wir wollen um die Wette suchen“, schlägt er vor. Can findet unter diesem Baum 14 Kastanien, Anna noch 11 Kastanien. Am Nachmittag treffen sich die beiden, um aus den Kastanien etwas zu basteln und ein Muster zu legen. Anna sucht Kastanien. Unter dem ersten Baum findet sie 7, beim nächsten Baum sind es 12. Da kommt Can vorbei und bringt noch 14 Kastanien mit. Anna sucht Kastanien. Unter dem ersten Baum findet sie 7, beim nächsten Baum sind es 12. Da kommt Can vorbei und schenkt ihr noch 14 Kastanien. Überlege dir Fragen und beantworte sie.