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# Matrizen ## 1. Definition Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenschema (oder allgemeiner: ein Schema von Elementen eines Körpers $K$) der Form $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2}...

# Matrizen ## 1. Definition Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Zahlenschema (oder allgemeiner: ein Schema von Elementen eines Körpers $K$) der Form $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ Kurzschreibweise: $A = (a_{ij})_{m \times n}$ $a_{ij}$: Elemente der Matrix $i$: Zeilenindex, $i = 1, \dots, m$ $j$: Spaltenindex, $j = 1, \dots, n$ $m \times n$: Format der Matrix ($m$ Zeilen, $n$ Spalten) Eine $m \times n$ Matrix heißt *quadratisch*, falls $m = n$ ist. ## 2. Spezielle Matrizen ### Nullmatrix $A = 0 = (0)_{m \times n} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$ ### Quadratische Matrix $A = (a_{ij})_{n \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ * **Diagonalmatrix**: $A = (a_{ij})_{n \times n}$ mit $a_{ij} = 0$ für $i \neq j$ $A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ * **Einheitsmatrix**: $E_n = (\delta_{ij})_{n \times n}$ mit $\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{für } i = j \\ 0 & \text{für } i \neq j \end{cases}$ (Kronecker-Symbol) $E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$ * **Dreiecksmatrix**: * *Obere Dreiecksmatrix*: $A = (a_{ij})_{n \times n}$ mit $a_{ij} = 0$ für $i > j$ $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ * *Untere Dreiecksmatrix*: $A = (a_{ij})_{n \times n}$ mit $a_{ij} = 0$ für $i < j$ $A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ ## 3. Rechnen mit Matrizen Voraussetzung: $A, B$ seien $m \times n$ Matrizen, $C$ sei eine $n \times p$ Matrix, $\lambda \in \mathbb{R}$ (oder ein anderer Körper $K$) ### Gleichheit $A = B \Leftrightarrow a_{ij} = b_{ij}$ für alle $i = 1, \dots, m$ und $j = 1, \dots, n$ ### Addition $A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$ ### Multiplikation mit einem Skalar $\lambda A = (\lambda a_{ij})_{m \times n}$ ### Matrixmultiplikation $A \cdot C = (\sum_{k=1}^{n} a_{ik} c_{kj})_{m \times p}$