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# Capítulo 2: Derivación ## 2.1 La Derivada ### Definición La derivada de una función $f$ en un punto $x$ se define como: $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ si este límite existe. Si este límite existe para todo $x$ en un intervalo $(a, b)$, decimos que $f$ es derivable en $(a...

# Capítulo 2: Derivación ## 2.1 La Derivada ### Definición La derivada de una función $f$ en un punto $x$ se define como: $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ si este límite existe. Si este límite existe para todo $x$ en un intervalo $(a, b)$, decimos que $f$ es derivable en $(a, b)$. ### Interpretaciones de la Derivada 1. **Geométricamente:** $f'(x)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $y = f(x)$ en el punto $(x, f(x))$. 2. **Físicamente:** Si $f(x)$ representa la posición de un objeto en el tiempo $x$, entonces $f'(x)$ representa la velocidad instantánea del objeto en el tiempo $x$. 3. **Tasa de Cambio:** $f'(x)$ representa la tasa de cambio instantánea de $f$ con respecto a $x$. ### Notación Además de $f'(x)$, otras notaciones comunes para la derivada son: $$ \frac{dy}{dx}, \quad y', \quad Df(x) $$ ### Ejemplo Calcular la derivada de $f(x) = x^2$ usando la definición. $$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h) \\ &= 2x \end{aligned} $$ Por lo tanto, $f'(x) = 2x$. ## 2.2 Reglas de Derivación ### Reglas Básicas 1. **Regla de la Constante:** Si $f(x) = c$ (donde $c$ es una constante), entonces $f'(x) = 0$. 2. **Regla de la Potencia:** Si $f(x) = x^n$ (donde $n$ es un número real), entonces $f'(x) = nx^{n-1}$. 3. **Regla del Múltiplo Constante:** Si $f(x) = cf(x)$ (donde $c$ es una constante), entonces $(cf(x))' = cf'(x)$. 4. **Regla de la Suma/Resta:** Si $h(x) = f(x) \pm g(x)$, entonces $h'(x) = f'(x) \pm g'(x)$. ### Reglas de Productos y Cocientes 1. **Regla del Producto:** Si $h(x) = f(x)g(x)$, entonces $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. 2. **Regla del Cociente:** Si $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, entonces $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$. ### Regla de la Cadena Si $h(x) = f(g(x))$, entonces $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ### Ejemplos 1. Derivar $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$ $f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$ 2. Derivar $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 3x)$ Usando la regla del producto: $f'(x) = (2x)(x^3 - 3x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 3)$ $f'(x) = 2x^4 - 6x^2 + 3x^4 - 3x^2 + 3x^2 - 3$ $f'(x) = 5x^4 - 6x^2 - 3$ 3. Derivar $f(x) = \frac{x^2}{x + 1}$ Usando la regla del cociente: $f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2)(1)}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$ 4. Derivar $f(x) = (2x + 1)^5$ Usando la regla de la cadena: $f'(x) = 5(2x + 1)^4 \cdot 2$ $f'(x) = 10(2x + 1)^4$ ## 2.3 Derivadas de Funciones Trascendentales ### Funciones Trigonométricas 1. $(\sin x)' = \cos x$ 2. $(\cos x)' = -\sin x$ 3. $(\tan x)' = \sec^2 x$ 4. $(\csc x)' = -\csc x \cot x$ 5. $(\sec x)' = \sec x \tan x$ 6. $(\cot x)' = -\csc^2 x$ ### Funciones Exponenciales y Logarítmicas 1. $(e^x)' = e^x$ 2. $(a^x)' = a^x \ln a$ 3. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ 4. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ ### Ejemplos 1. Derivar $f(x) = \sin(x^2)$ Usando la regla de la cadena: $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$ $f'(x) = 2x \cos(x^2)$ 2. Derivar $f(x) = e^{\cos x}$ Usando la regla de la cadena: $f'(x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x)$ $f'(x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$ 3. Derivar $f(x) = \ln(\tan x)$ Usando la regla de la cadena: $f'(x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$ $f'(x) = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ $f'(x) = \frac{1}{\cos x \sin x}$ $f'(x) = \frac{2}{2 \sin x \cos x}$ $f'(x) = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$ ## 2.4 Derivación Implícita Cuando una función $y = f(x)$ está definida implícitamente por una ecuación, podemos encontrar $\frac{dy}{dx}$ usando derivación implícita. ### Pasos 1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a $x$, usando la regla de la cadena donde sea necesario. 2. Resolver para $\frac{dy}{dx}$. ### Ejemplo Encontrar $\frac{dy}{dx}$ si $x^2 + y^2 = 25$. 1. Derivar ambos lados con respecto a $x$: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ 2. Resolver para $\frac{dy}{dx}$: $2y \frac{dy}{dx} = -2x$ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ ## 2.5 Derivadas de Orden Superior La segunda derivada de $f$, denotada por $f''(x)$, es la derivada de $f'(x)$. En general, la n-ésima derivada de $f$, denotada por $f^{(n)}(x)$, es la derivada de $f^{(n-1)}(x)$. ### Notación $$ f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2}, \quad f'''(x) = \frac{d^3y}{dx^3}, \quad f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n} $$ ### Ejemplo Encontrar la segunda derivada de $f(x) = x^4 - 3x^2$. $f'(x) = 4x^3 - 6x$ $f''(x) = 12x^2 - 6$