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# Algèbre Linéaire ## Définition d'un Espace Vectoriel Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de deux opérations: - **Addition vectorielle**: $+: E \times E \rightarrow E$, qui à $(u, v)$ associe $u + v$. - **Multiplicati...

# Algèbre Linéaire ## Définition d'un Espace Vectoriel Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de deux opérations: - **Addition vectorielle**: $+: E \times E \rightarrow E$, qui à $(u, v)$ associe $u + v$. - **Multiplication scalaire**: $:: \mathbb{K} \times E \rightarrow E$, qui à $(\lambda, u)$ associe $\lambda \cdot u$ (ou simplement $\lambda u$). Ces opérations doivent satisfaire les axiomes suivants: 1. **Associativité de l'addition**: $\forall u, v, w \in E, (u + v) + w = u + (v + w)$. 2. **Commutativité de l'addition**: $\forall u, v \in E, u + v = v + u$. 3. **Existence d'un élément neutre pour l'addition**: $\exists 0_E \in E, \forall u \in E, u + 0_E = u$. 4. **Existence d'un inverse additif**: $\forall u \in E, \exists -u \in E, u + (-u) = 0_E$. 5. **Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication du corps**: $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E, \lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u$. 6. **Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle**: $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u, v \in E, \lambda \cdot (u + v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v$. 7. **Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire**: $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E, (\lambda + \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u$. 8. **Élément neutre pour la multiplication scalaire**: $\forall u \in E, 1_{\mathbb{K}} \cdot u = u$, où $1_{\mathbb{K}}$ est l'élément neutre de la multiplication dans $\mathbb{K}$. ### Exemples - $\mathbb{R}^n$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. - $\mathbb{C}^n$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ ou sur $\mathbb{R}$. - L'ensemble des matrices $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$, noté $M_{m,n}(\mathbb{K})$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$. - L'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. - $\mathbb{K}[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$. ## Sous-Espaces Vectoriels ### Définition Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si: 1. $F$ est non vide, i.e., $F \neq \emptyset$. 2. $F$ est stable par addition vectorielle: $\forall u, v \in F, u + v \in F$. 3. $F$ est stable par multiplication scalaire: $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in F, \lambda u \in F$. ### Caractérisation Pratique $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si: 1. $0_E \in F$. 2. $\forall u, v \in F, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda u + v \in F$. ### Exemples et Contre-exemples - Dans $\mathbb{R}^2$, les droites passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. - Dans $\mathbb{R}^3$, les plans passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. - L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, noté $\mathbb{K}_n[X]$, est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$. - L'ensemble des fonctions paires (resp. impaires) de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. - $\mathbb{Z}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}$ car il n'est pas stable par multiplication scalaire (par exemple, $\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$). ## Combinaisons Linéaires et Enveloppe Linéaire ### Combinaison Linéaire Étant donnés des vecteurs $u_1, u_2,..., u_n$ dans un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$, une combinaison linéaire de ces vecteurs est un vecteur $v$ de la forme: $$ v = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 +... + \lambda_n u_n $$ où $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$. ### Enveloppe Linéaire (Span) L'enveloppe linéaire (ou span) d'un ensemble de vecteurs $S = \{u_1, u_2,..., u_n\}$ dans un espace vectoriel $E$, notée $Vect(S)$ ou $Span(S)$, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de $S$: $$ Vect(S) = \{\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 +... + \lambda_n u_n \mid \lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n \in \mathbb{K}\} $$ Par convention, $Vect(\emptyset) = \{0_E\}$. ### Propriétés - $Vect(S)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. - $Vect(S)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $S$. - Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $S$, alors $Vect(S) \subseteq F$. ### Exemples - Dans $\mathbb{R}^2$, $Vect(\{(1, 0)\})$ est l'axe des abscisses. - Dans $\mathbb{R}^3$, $Vect(\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\})$ est le plan $xy$. - Dans $\mathbb{R}^3$, $Vect(\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}) = \mathbb{R}^3$. ## Familles Génératrices ### Définition Une famille de vecteurs $S = \{u_1, u_2,..., u_n\}$ d'un espace vectoriel $E$ est dite génératrice si $Vect(S) = E$. Autrement dit, tout vecteur de $E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de $S$. ### Exemples - La famille $\{(1, 0), (0, 1)\}$ est une famille génératrice de $\mathbb{R}^2$. - La famille $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ est une famille génératrice de $\mathbb{R}^3$. - La famille $\{1, X, X^2,..., X^n\}$ est une famille génératrice de $\mathbb{K}_n[X]$. ### Propriétés - Si $S$ est une famille génératrice de $E$, alors tout vecteur de $E$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs de $S$. - Un espace vectoriel peut avoir plusieurs familles génératrices différentes. ## Familles Libres et Bases ### Indépendance Linéaire Une famille de vecteurs $S = \{u_1, u_2,..., u_n\}$ d'un espace vectoriel $E$ est dite libre (ou linéairement indépendante) si la seule combinaison linéaire des vecteurs de $S$ qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls. Autrement dit: $$ \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 +... + \lambda_n u_n = 0_E \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 =... = \lambda_n = 0 $$ Si une famille n'est pas libre, elle est dite liée (ou linéairement dépendante). ### Bases Une base d'un espace vectoriel $E$ est une famille de vecteurs qui est à la fois libre et génératrice. ### Exemples - La famille $\{(1, 0), (0, 1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^2$ (base canonique). - La famille $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ est une base de $\mathbb{R}^3$ (base canonique). - La famille $\{1, X, X^2,..., X^n\}$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$ (base canonique). ### Propriétés - Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base. - Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé la dimension de l'espace vectoriel. - Si $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$, alors toute famille libre de $n$ vecteurs est une base de $E$, et toute famille génératrice de $n$ vecteurs est une base de $E$. ## Dimension d'un Espace Vectoriel ### Définition La dimension d'un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$, notée $dim_{\mathbb{K}}(E)$ ou simplement $dim(E)$, est le nombre de vecteurs dans une base de $E$. Si $E$ admet une base finie, on dit que $E$ est de dimension finie. Sinon, $E$ est de dimension infinie. ### Exemples - $dim(\mathbb{R}^n) = n$. - $dim(\mathbb{C}^n) = n$ (en tant qu'espace vectoriel sur $\mathbb{C}$). - $dim(\mathbb{K}_n[X]) = n + 1$. - $dim(M_{m,n}(\mathbb{K})) = m \cdot n$. ### Propriétés - Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $dim(F) \leq dim(E)$. - Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $dim(F) = dim(E)$, alors $F = E$. - Théorème de la base incomplète: Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $S$ est une famille libre de $E$, alors il existe une base de $E$ contenant $S$. ## Somme et Somme Directe de Sous-Espaces Vectoriels ### Somme de Sous-Espaces Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. La somme de $F$ et $G$, notée $F + G$, est l'ensemble de tous les vecteurs qui peuvent être écrits comme la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$: $$ F + G = \{u + v \mid u \in F, v \in G\} $$ $F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. ### Somme Directe La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ est dite directe si tout vecteur de $F + G$ peut être écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$. On note alors $F \oplus G$. De manière équivalente, $F + G$ est une somme directe si et seulement si $F \cap G = \{0_E\}$. ### Propriétés - Si $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et $E = F \oplus G$, alors $E$ est la somme directe de $F$ et $G$. On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$. - Si $E = F \oplus G$, alors $dim(E) = dim(F) + dim(G)$. - Plus généralement, si $E = F_1 \oplus F_2 \oplus... \oplus F_n$, alors $dim(E) = dim(F_1) + dim(F_2) +... + dim(F_n)$. ### Théorème du Rang Soit $f: E \rightarrow F$ une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie. Alors: $$ dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) $$ où $Ker(f)$ est le noyau de $f$ et $Im(f)$ est l'image de $f$. $dim(Im(f))$ est appelé le rang de $f$, noté $rg(f)$.