Wiskunde voor Economen (T)EW-deel1_ PDF

Module 1 Wiskundig taalgebruik en notaties §1 Wiskundig taalgebruik Het is geen verrassing dat je wiskunde moeilijk kan neerschrijven zonder sym- bolen en notaties. In principe zou men wiskundige uitspraken en bijbehorende redeneringen volledig formeel in symbolen kunnen neerschrijven, d.w.z. zon- der gewone woorden te gebruiken. Het overgrote deel van de wiskunde, om niet te zeggen de totaliteit, wordt echter niet op zo’n extreem formele wijze gecommuniceerd. Want dergelijke puur formele taal is moeilijk ontcijferbaar — eerder een soort combinatie van rebussen en hiërogliefen met een wirwar van pijltjes en haakjes — dus zeker niet geschikt voor vlotte communicatie. Vermits wiskunde vooral een zaak van denken is (meer nog dan van reke- nen), wordt wiskunde bij voorkeur neergeschreven in de taal waarin we als mensen van nature denken, met name de gewone taal, onze moedertaal1 , met volledige, nauwkeurige en grammaticaal correcte zinnen. Dit is ook de stijl die we in dit handboek hanteren. Niet dat we hier taalpurisme of literaire hoogstandjes willen nastreven, maar we formuleren deﬁnities, resultaten en redeneringen altijd in volwaardige zinnen. Onvermijdelijk bevatten dergelijke zinnen wel symbolen daar waar ze verwijzen naar wiskundige objecten. Maar die symbolen nemen steeds binnen de zin waarin ze optreden, een grammati- caal correct invulbare plaats in, d.w.z. je moet zo’n zin kunnen voorlezen als een normaal klinkende zin. Wanneer we het bijvoorbeeld hebben over twee reële getallen, a en b, is volgende zin een goede combinatie van gewone taal met symbolen: “Omdat a2 = b2 , moet a = ±b.” 1 of een andere levende taal 1.1 Deze zin laat zich immers perfect luidop voorlezen in de gewone taal als een onmiddellijk te begrijpen zin: “Omdat a kwadraat gelijk is b kwadraat, moet a gelijk zijn aan plus of min b.” Hoe vanzelfsprekend het ook moge lijken dat je met volwaardige en beteke- nisvolle zinnen moet communiceren, toch leert de ervaring dat vele studenten dit voor wiskunde schijnen te vergeten. Veel te vaak zie je in hun oplossingen van oefeningen bijna uitsluitend symbolen staan, hoogstens aangevuld met hier en daar wat pijltjes of dubbele pijltjes (waarvan er sommigen dan nog niet gelden als logische “implicatie”). Je hebt er dan het raden naar wat de schrijver bedoelde. We raden de lezer ten stelligste aan om zich een goede schrijf- en argumen- teerstijl eigen te maken, a fortiori voor wetenschappelijke teksten. Voor wat wiskunde betreft kan de stijl die in dit handboek (en overigens in de meeste andere handboeken) gebruikt wordt, model staan. Men zal merken dat het boek bol staat van zinsneden als “omdat... , weten we dat... ”, “Veronderstel dat.... Dan mogen we besluiten dat... ”, “Uit... volgt dat... ”, “Om te bewijzen dat... , volstaat het te veriﬁëren dat... ”, enz. Dergelijke zinsneden zijn onontbeerlijk in een wiskundige tekst. Zij dragen immers de redenering, het “verhaal”. Niet alleen laten ze de lezer toe te begrijpen welke redenering de schrijver volgt, maar ook behoeden ze de schrijver zelf tegen het maken van redeneerfouten omdat hij via die zinsneden de redenering ook voor zichzelf duidelijk moet expliciteren. Vermits elke lezer van dit handboek veronder- steld wordt zelf schrijver te zijn voor de oplossingen van de oefeningen, is dit laatste aspect bijzonder belangrijk. Zelf controleren of je schrijfstijl de goede is, is niet moeilijk: doe de “voorleestest”! Lees je oplossing luidop voor; als dit klinkt als normale betekenisvolle taal, zit je wellicht goed. §2 Notaties uit de verzamelingenleer Met het begrip “verzameling” is iedereen eigenlijk intuïtief vertrouwd. Een aantal objecten samengebracht tot een geheel noemt men een verzameling. Belangrijk is dat men van elk object moet kunnen zeggen of het tot dit geheel, die verzameling, behoort of niet. De objecten die tot een verzameling behoren, noemt men de elementen van die verzameling. Als een object a tot een verzameling A behoort noteert men a ∈ A (lees: “a is een element van A”), als een object b niet tot A behoort, noteert men b ∈/ A. De lege verzameling, genoteerd met ∅, bevat geen elementen. Een verzameling die juist één element bevat, noemt men een singleton. Een verzameling A wordt eindig genoemd als ze slechts een eindig aantal elementen bevat; dat aantal noteert men dan met #A. Een eindige verzameling (met niet al te veel elementen) wordt soms genoteerd door al haar elementen op te lijsten tussen accolades. Zo kan bijvoorbeeld de verzameling van de mogelijke uitkomsten van de worp met één dobbelsteen 1.2 worden genoteerd als {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Als A en B verzamelingen zijn en elk element van A ook tot B behoort, dan zegt men dat A een deelverzameling is van B; notatie: A ⊆ B of A ⊂ B. We kunnen een deelverzameling A van een gegeven verzameling B speciﬁëren door de (nodige en voldoende) voorwaarde op te geven waaraan de elementen van B moeten voldoen om tot A te behoren. Hier hoort dan ook een notatie bij: A = {x ∈ B | x voldoet aan... }. Deze notatie wordt gelezen als: A is de verzameling van alle x-en uit B die voldoen aan.... We geven enkele voorbeelden. (1) Zij B de verzameling van alle Belgen. De deelverzameling V van de Belgische vrouwen is dan V = {x ∈ B | x is een vrouw}. In woorden: V is de verzameling van alle x-en uit B die vrouw zijn. (2) Het interval [1, 5] kunnen we beschrijven als deelverzameling van de verzameling R van de reële getallen2 als volgt [1, 5] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5}. In woorden: het interval [1, 5] is de verzameling van alle reële getallen x die liggen tussen 1 en 5. (3) De verzameling A van de oneven natuurlijke getallen kunnen we be- schrijven als deelverzameling van de verzameling N van alle natuurlijke getallen als volgt A = {n ∈ N | er bestaat een m ∈ N zo dat n = 2m + 1}. Hoe lees je bovenstaande uitdrukking? Met twee gegeven verzamelingen A en B kun je op een aantal manieren nieuwe verzamelingen bouwen: de unie van A en B; notatie: A ∪ B. Dit is de verzameling van de objecten die behoren tot A of B. Dus A ∪ B = {x | x ∈ A of x ∈ B}. Opmerking: In informele taal, zoals spreektaal, wordt ‘of’ meestal exclusief gebruikt, d.w.z. ‘het ene of het andere maar niet beide samen’. In for- mele taal, zoals in wiskunde, wordt ‘of’ gebruikt in de betekenis ‘of/en’. 2 Wie niet vertrouwd zou zijn met de verzameling van de reële getallen, kan terecht in Module 2. 1.3 de doorsnede van A en B; notatie: A ∩ B. Dit is de verzameling van de objecten die behoren tot A en B. Dus A ∩ B = {x | x ∈ A en x ∈ B}. het verschil van A en B; notatie: A \ B. Dit is de verzameling van de objecten die behoren tot A maar niet tot B. Dus A \ B = {x | x ∈ A en x ∈ / B}. het cartesiaans3 product, ook de productverzameling van A en B genoemd; notatie: A × B. Dit is de verzameling van de koppels (= geordende tweetallen) (a, b) waarbij a ∈ A en b ∈ B. Dus A × B = (a, b) a ∈ A en b ∈ B. Als A en B eindige verzamelingen zijn, is A×B ook eindig en #(A×B) = #A.#B. Toemaatje: het Griekse alfabet4 Om wiskundige objecten (zoals bv. getallen, functies,... ) te noteren heeft men letters nodig. Om de leesbaarheid te verhogen zal men vaak eenzelfde soort objecten met “gelijkaardige” letters noteren. Klassieke letters voor func- ties zijn bv. f , g en h; voor onbekenden of variabelen ziet men dikwijls x, y en z verschijnen. Anderzijds, als men met verschillende soorten wiskundige objecten tegelijk werkt, is het aangewezen letters te gebruiken die voldoende “anders” zijn om dat onderscheid ook notationeel te suggereren. Zo kan het gebeuren dat de voorraad gewone (d.w.z. Latijnse) letters min of meer uitge- put raakt. In dat geval kunnen we Griekse letters gaan gebruiken. Of soms gebruikt men om puur traditionele redenen in sommige contexten of voor be- paalde types objecten Griekse letters (bv. voor hoeken). Ook in dit handboek zullen we (een beperkte set van) Griekse letters gebruiken. Hieronder vind je het volledige Griekse alfabet (zowel kleine letters als hoofdletters). 3 genoemd naar René Descartes, Frans filosoof en wiskundige (1596 – 1650) 4 Kan ook nuttig zijn op vakantie... 1.4 α A alfa ν N nu β B bêta ξ Ξ xi γ Γ gamma o O omikron δ Δ delta π Π pi ε E epsilon ρ P rho ζ Z zêta σ Σ sigma η H êta τ T tau θ Θ thêta υ Υ upsilon ι I iota ϕ Φ phi κ K kappa χ X chi λ Λ lambda ψ Ψ psi μ M mu ω Ω omega §3 Begrippen en notaties uit de logica Dat wiskundige redeneringen verlopen volgens de regels van de logica is de evidentie zelve. We hebben in § 1 opgemerkt dat we bij het neerschrijven van wiskundige uitspraken en redeneringen voldoende woorden moeten gebruiken om tot betekenisvolle zinnen te komen. Niettemin gaan we in dit handboek ook, zij het eerder spaarzaam, gebruik maken van symbolen uit de logica die eigenlijk hele zinsneden in één symbool samentrekken. Het voordeel is dat we zo heel kernachtig sommige dingen kunnen opschrijven (bijvoorbeeld wat het betekent dat een rij convergeert). Een potentieel gevaar is evenwel dat voor sommigen de afstand met de taal waarin we gewoonlijk denken en formuleren te groot geworden is en dat daardoor de echte betekenis van een zin met logische symbolen niet goed doordringt. Daarom is het belangrijk dat je dergelijke kernachtige genoteerde uitspraken steeds blijft lezen/verwoorden als een ‘normaal’ klinkende (en dus begrijpbare) zin. We beperken ons hier tot de notaties uit de logica die eﬀectief in dit handboek zullen gebruikt worden. 3.1 Implicaties, equivalenties Vooreerst is er de implicatie. De wiskunde en ook het dagelijkse taalgebruik lopen over van uitspraken van het type “Als... , dan... ”. Enkele voorbeelden: (1) Veronderstel dat n een natuurlijk getal is. Beschouw volgende uitspraak: Als n een viervoud is, dan is n even. (2) Veronderstel dat n een natuurlijk getal is. Beschouw volgende uitspraak: Als n een drievoud is, dan is n even. (3) Veronderstel dat f een aﬂeidbare functie van R naar R is. Beschouw volgende uitspraak: Als f een maximum bereikt in een a, dan is de afgeleide van f in a nul. 1.5 (4) Een bezorgde vader zegt tegen zijn ‘studerende’ zoon: Als jij kan slagen zonder te studeren, dan ben ik Napoleon. (5) Zelfde context als hierboven maar nu met een andere strategie: Als je er door bent in juni, dan krijg je een brommer. Dergelijke uitspraken kunnen waar zijn of vals.5 Maar ze hebben hoe dan ook alle vijf dezelfde structuur: Als p, dan q, waarbij p en q staan voor uitspraken (die op hun beurt waar of vals kunnen zijn). Bijvoorbeeld staat p in (1) voor de uitspraak “n is een viervoud” en q voor “n is even”. En in (4) staat p voor “jij kan slagen zonder studeren” en q voor “ik ben Napoleon”. In de logica gebruikt men volgende notatie voor dergelijke uitspraken: p⇒q en men leest dit als “p impliceert q” of gewoonweg “als p, dan q” of nog “q volgt uit p”. Zo ziet bijvoorbeeld uitspraak (5) er in deze notatie als volgt uit: (je bent er door in juni) ⇒ (je krijgt een brommer) Het waar of vals zijn van de uitspraak p ⇒ q hangt af van waar of vals zijn van de uitspraken p en q. Bekijk bijvoorbeeld alle mogelijke scenario’s voor uitspraak (5). Elke studerende zoon (of dochter) voelt feilloos aan in welke scenario’s zijn (haar) vader zijn belofte “Als... , dan... ” houdt en in welke scenario’s hij ze niet houdt. Volgend overzicht van de mogelijke scenario’s is dus zeker geen verrassing: scenario belofte is p is waar, d.w.z. q is waar, d.w.z. waar je bent er door in juni je krijgt een brommer p is waar, d.w.z. q is vals, d.w.z. vals je bent er door in juni je krijgt geen brommer p is vals, d.w.z. q is waar, d.w.z. waar je bent er niet door in juni je krijgt een brommer p is vals, d.w.z. q is vals, d.w.z. waar je bent er niet door in juni je krijgt geen brommer In het algemeen verkrijgen we volgende waarheidstabel voor de implicatie. p q p⇒q waar waar waar waar vals vals vals waar waar vals vals waar 5 In plaats van te zeggen dat een uitspraak waar resp. vals is, zegt men ook wel dat een uitspraak voldaan resp. niet voldaan is, of dat een uitspraak geldt resp. niet geldt. 1.6 We stellen vast dat uitspraak p ⇒ q vals is, enkel als p waar is en q vals. Een implicatie p ⇒ q ontkennen komt dus neer op zeggen dat p voldaan is en dat toch q niet voldaan is. De ontkenning van uitspraak (5) is dus: Je bent er door in juni en toch krijg je geen brommer. We zien ook dat een implicatie p ⇒ q altijd waar is als p vals is (onafhan- kelijk dus van het feit of q waar of vals is). Dit betekent bijvoorbeeld dat uitspraak (4) hierboven een ware uitspraak is, zelfs als die niet door Napoleon uitgesproken wordt. Inderdaad, het is een feit dat de eerste nog moet geboren worden die slaagt zonder te studeren, m.a.w. bij (4) is p vals. Uitspraak (1) is wat de waarde van n ook moge zijn, altijd een ware uitspraak. Inderdaad, als p waar is, d.w.z. als n een veelvoud van 4 is, dan kan men gemakkelijk argumenteren dat n deelbaar moet zijn door 2 en dus even moet zijn; m.a.w. als p waar is, zal q waar zijn. Indien p niet waar is, d.w.z. indien n geen veelvoud is van 4; dan is de implicatie p ⇒ q sowieso waar. De waarheidwaarde van (2) hangt af van de keuze van n. Als je bijvoorbeeld n = 5 had gekozen wordt uitspraak (2): “als 5 een drievoud is, dan is 5 even”. Dit is een ware uitspraak om de eenvoudige reden dat 5 geen drievoud is, waardoor de p in deze uitspraak vals is, en dus de implicatie p ⇒ q waar is zelfs als in dit geval (met n = 5) q manifest vals is.6 Voor andere keuzes van n kan (2) evenwel een valse uitspraak zijn. Neem bijvoorbeeld n = 9, dan is n een drievoud (dus p is waar), maar n is natuurlijk niet even (dus q is hier vals). Van uitspraak (3) zullen we later aantonen dat ze altijd, dus voor elke aﬂeidbare functie f , waar is. In de context van implicaties hanteert men ook vaak de terminologie nodige voorwaarde en voldoende voorwaarde. Veronderstel dat de implicatie p ⇒ q geldt. Een alternatieve manier om dit uit te drukken is: q is een nodige voorwaarde voor p, of, anders gezegd, opdat p zou gelden, is het nodig dat q geldt. Men kan hetzelfde nog anders zeggen: p is een voldoende voorwaarde voor q, of nog opdat q zou gelden, is het voldoende dat p geldt. Beschouw bijvoorbeeld de (ware) implicatie (1) van hierboven: als n een vier- voud is, is n even. Alternatieve manieren om precies hetzelfde te zeggen zijn: opdat n een viervoud zou zijn, is het nodig dat n even is, 6 Uitspraak (2) voor n = 5 is vanuit logisch standpunt eigenlijk helemaal analoog aan uitspraak (4) als die gezegd wordt door iemand die niet Napoleon is. In beide gevallen zijn immers zowel p en q vals. 1.7 of opdat n even zou zijn, is het voldoende dat n een viervoud is. In dit voorbeeld is meteen duidelijk dat een nodige voorwaarde niet voldoende hoeft te zijn en omgekeerd. Dit brengt ons meteen bij een redeneerfout die vaak voorkomt in verband met implicaties en waarvoor we nadrukkelijk willen waarschuwen. Veronderstel dat men een uitspraak heeft van de vorm p ⇒ q waarvan men weet dat ze waar is (bijvoorbeeld uitspraken (1) en (3) hierboven). Soms trekt men dan verkeerdelijk de conclusie dat als p niet waar is, dan ook q niet waar zal zijn, of wat op hetzelfde neerkomt, als q waar is, dan ook p waar moet zijn.7 In de context van voorbeeld (1) zou dat betekenen dat men zou besluiten dat als een getal n geen viervoud is, het niet even is, of wat op hetzelfde neerkomt, als een getal even is, het een viervoud moet zijn. Dit is uiteraard fout. Als je weet dat de uitspraak p ⇒ q een ware uitspraak is, en je weet dat p niet geldt dan kan je niets besluiten over de geldigheid van q ! Dit is eigenlijk een evidentie. Toch leert de ervaring dat daar in de praktijk al te vaak tegen gezondigd wordt. Wellicht komt dat doordat men in het dagelijks taalgebruik dikwijls slordig omspringt met het gebruik van “als... , dan... ” en daarbij soms meer bedoelt dan men strikt genomen zegt. Beschouw bijvoorbeeld uitspraak (5) hierboven die de vader tegen zijn zoon zegt. Wat de vader behalve uitspraak (5) wellicht ook bedoelde, zonder het evenwel expliciet te zeggen, is: “als je er niet door bent in juni, kan je naar die brommer ﬂuiten”, of wat op hetzelfde neerkomt, “als je die brommer wil krijgen, dan moet je er door zijn in juni”. Als we met p de uitspraak “je bent er door in juni” aanduiden en met q de uitspraak “je krijgt een brommer”, dan zegt de vader in (5) “p ⇒ q” maar daar bovenop bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook “q ⇒ p”. In de wetenschap en in de wiskunde in het bijzonder kunnen we ons natuurlijk dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven. Heel veel wis- kundige resultaten (proposities, stellingen,... ) zijn geformuleerd in de vorm: “Als bepaalde voorwaarden voldaan zijn, dan geldt volgende conclusie.” En in tegenstelling met het soms onzorgvuldig dagdagelijks taalgebruik, wordt daar dan niets meer mee bedoeld dan wat er letterlijk staat. M.a.w. als de voorwaarden van de stelling niet vervuld zijn, dan wordt niets beweerd over de geldigheid van de conclusie. We keren nog even terug naar het vader-zoon-tafereeltje van (5). Als we on- dubbelzinnig willen formuleren wat de vader in (5) wellicht echt bedoelde, komen we tot de uitspraak: “Je krijgt een brommer als en slechts als je er door bent in juni.” (1.1) 7 Anders gezegd, men besluit verkeerdelijk uit het feit dat q een nodige voorwaarde is voor p dat q ook een voldoende voorwaarde is voor p. Of, nog anders gezegd, men besluit verkeerdelijk uit het feit dat p een voldoende voorwaarde is voor q dat p ook een nodige voorwaarde is voor q. 1.8 en dit is eigenlijk de combinatie van twee implicaties: “Als je er door bent in juni, dan krijg je een brommer” én “Als je een brommer krijgt, dan ben je er door in juni.” Met de notatie p en q zoals in de vorige paragraaf, kunnen we de uitspraak (1.1) weergeven als “q als en slechts als p” (1.2) wat dus de combinatie is van twee implicaties: p⇒q én q ⇒ p. We noteren uitspraak (1.2) kortweg door q⇔p We noemen zo’n uitspraak een equivalentie tussen q en p. Deze naam is goed gekozen want uitspraak (1.2) is waar als en enkel als p en q beide waar of beide vals zijn. De waarheidstabel voor een equivalentie wordt dus gegeven door: p q q⇔p waar waar waar waar vals vals vals waar vals vals vals waar We geven nog een eenvoudig wiskundig voorbeeldje van een ware equivalentie- uitspraak: zij n een natuurlijk getal, (n is even) ⇔ (n is deelbaar door 2). 3.2 Kwantoren Veronderstel dat je ergens een blad papier vindt waarop enkel het volgende staat: x2 − 4 = 0. (1.3) Dan is niet duidelijk wat de schrijver hiermee bedoelde. Vooreerst is niet duidelijk waarvoor x staat. Met wat goede wil kunnen we wel vermoeden dat er bedoeld wordt dat x een reëel getal is. De schrijver had die mogelijke twijfel weggenomen als hij bijvoorbeeld had geschreven: x2 − 4 = 0 (x ∈ R). Maar nu is nog niet duidelijk wat er precies bedoeld wordt. We geven drie mogelijke interpretaties: 1.9 (1) Zoek alle x ∈ R die voldoen aan x2 − 4 = 0. (2) Er bestaat een x ∈ R waarvoor x2 − 4 = 0. (3) Voor alle x ∈ R is x2 − 4 = 0. Elk van de drie bovenstaande uitspraken is nu ondubbelzinnig. In (1) krijgen we de opdracht alle reële oplossingen van een vierkantsvergelijking te zoe- ken. In (2) en (3) worden ondubbelzinnige beweringen gemaakt. Bewering (3) is weliswaar manifest fout, maar het is wel een duidelijke en ondubbelzin- nige uitspraak. De oorspronkelijke uitdrukking (1.3) daarentegen is helemaal waardeloos; ze is immers zo vaag dat je zelfs niet eens kan zeggen of ze waar of vals is. Wat leren we hieruit? Vooreerst moeten we altijd expliciet aangeven waarvoor de symbolen die we gebruiken, staan (wat is x?). Bovendien moeten we steeds voldoende woorden bij formules geven om tot een ondubbelzinnige uitspraak te komen (voor alle x?, voor sommige x?,... ). In dit verband verwijzen we nog eens naar het pleidooi in § 1 voor het gebruik van volwaardige zinnen in het communiceren van wiskunde. We gaan nu wat verder in op de zinsneden “er bestaat een” en “voor alle” in uitdrukkingen (2) en (3) hierboven. Deze woordcombinaties geven aan voor “hoeveel” x-en (voor welke “kwantiteit” x-en) de uitspraak die volgt zou moeten gelden. Men noemt ze in de logica daarom kwantoren en men voert er notaties voor in: – de existentiële kwantor: ∃ ( er bestaat een, of, er bestaat minstens één) – de universele kwantor: ∀ (voor alle) In termen van deze notaties kunnen we (2) en (3) nu compact opschrijven als (2’) ∃x ∈ R : x2 − 4 = 0. (3’) ∀x ∈ R : x2 − 4 = 0. Als je dergelijke uitdrukkingen met kwantoren ontmoet, is het voor een goed begrip ervan belangrijk dat je ze spontaan blijft lezen als een volwaardige zin (in de voorbeelden dus in hun oorspronkelijke verwoordingen zoals in (2) en (3)). We hebben het reeds hoger opgemerkt, uitspraak (3) (en dus (3’)) is natuurlijk fout: het is niet waar dat x2 − 4 = 0 voor alle x ∈ R. Er bestaat immers een x ∈ R (bijvoorbeeld x = 0) waarvoor x2 − 4 = 0. Dit voorbeeld geeft meteen aan hoe je een uitdrukking met een universele kwantor ontkent: zeggen dat het niet waar is dat voor elke x een uitspraak die afhangt van x, noteer ze met p(x), geldt, komt neer op zeggen dat er een x bestaat waarvoor p(x) niet 1.10 geldt. Of, compacter geformuleerd, het is niet waar dat (∀x : p(x) geldt) komt neer op ∃x : p(x) geldt niet. Of, in het concrete voorbeeld (3’), het is niet waar dat (∀x ∈ R : x2 − 4 = 0) komt neer op ∃x ∈ R : x2 − 4 = 0. Door ontkennen gaat een uitdrukking die begint met een universele kwantor dus over in een uitdrukking die begint met een existentiële kwantor.8 Om- gekeerd gaat een uitdrukking die begint met een existentiële kwantor door ontkennen over in een uitdrukking die begint met een universele kwantor. Bijvoorbeeld, het is niet waar dat (∃x ∈ R : x2 + 1 = 0) komt neer op ∀x ∈ R : x2 + 1 = 0. In het algemeen, het is niet waar dat (∃x : p(x) geldt) komt neer op ∀x : p(x) geldt niet. In eenzelfde uitdrukking kunnen meerdere kwantoren voorkomen. Beschouw bijvoorbeeld de (ware) uitspraak: Voor alle x ∈ R bestaat er een y ∈ R waarvoor x + y = 5. (1.4) We kunnen die compact opschrijven als ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x + y = 5. (1.5) Om goed te begrijpen wat dergelijke uitdrukking betekent is het belangrijk dat je ze blijft voluit lezen, bijvoorbeeld zoals ze verwoord is in (1.4). Of een goede alternatieve leeswijze van (1.5) is ook: Voor elke x in R kunnen we een y in R vinden waarvoor x + y = 5. 8 Spijts het misschien wat academisch woordgebruik is dit feit overigens volledig in over- eenstemming met het gewone gezonde boerenverstand. Hoe zou je bijvoorbeeld moeten argumenteren dat het niet waar is dat alle moslims terroristen zijn? 1.11 Het is duidelijk dat de y in (1.4) afhangt van x. Verander je x, dan verandert ook de y waarvoor x + y = 5. Dit is hier triviaal vermits je meteen expliciet kunt neerschrijven hoe y van de keuze van x afhangt, namelijk y = 5 − x. In het algemeen zal in uitspraken van de vorm “Voor alle a bestaat er een b waarvoor geldt dat... ” b afhangen van wat je voor a kiest (ook al is er niet altijd een eenduidige manier of een “formule” om met een bepaalde a een geschikte b te laten corresponderen). Mede door die afhankelijkheid is het natuurlijk uit den boze de volgorde waarin de kwantoren ∀ en ∃ in een uitspraak voorkomen, om te draaien. Zo is de betekenis van uitspraak (1.5) helemaal anders dan van ∃y ∈ R, ∀x ∈ R : x + y = 5. Die laatste uitspraak is overigens vals (waarom?). In het gewone taalgebruik zal men de fout van een omwisseling van de kwantoren ∀ en ∃ niet gauw maken. Beschouw bijvoorbeeld de uitspraak: elke getrouwde vrouw heeft een echtgenoot, of anders geformuleerd, voor elke getrouwde vrouw bestaat er een man die met die vrouw getrouwd is. Genoteerd met behulp van kwantoren wordt dit: ∀v ∈ V, ∃m ∈ M : m is getrouwd met v, waarbij V staat voor de verzameling van de getrouwde vrouwen en M voor de verzameling van de mannen. Beschouw nu de uitspraak ∃m ∈ M, ∀v ∈ V : m is getrouwd met v. Wat betekent die uitspraak... ? Nu is hopelijk meteen duidelijk tot welke onoverzichtelijke toestanden je komt als je zomaar kwantoren van plaats wis- selt. De ervaring leert dat sommigen die omwisselingsfout toch maken in een wis- kundige context en zich daarbij van geen kwaad bewust zijn, terwijl ze die fout (hopelijk) nooit zouden maken in het gewone taalgebruik. Dit stemt tot nadenken... We vermoeden heel sterk dat dit vooral te wijten is aan het feit dat men de betekenis van formeel genoteerde uitspraken met kwantoren niet door heeft; alsof men naar een hiëroglyfen-opschrift op een Egyptische tempel staart. Vandaar dat we nogmaals willen onderstrepen hoe belangrijk het is dat je dergelijke compact genoteerde uitspraken, en bij uitbreiding alle uitdrukkingen met wiskundige symbolen, spontaan voluit leest als normale betekenisvolle zinnen. 3.3 Opdrachten 1. Noteer de uitspraak “als het morgen mooi weer is, gaan we wandelen.” als een implicatie (met gebruik van de notatie ⇒). Formuleer de ontkenning van deze uitspraak als een gewone zin. 1.12 2. Beschouw de (twijfelachtige) uitspraak: “Als de inﬂatie toeneemt, dan neemt de werkloosheid af.” Welk van de onderstaande uitspraken is hier- mee equivalent? (a) Opdat de werkloosheid zou afnemen, moet de inﬂatie toenemen. (b) Een voldoende voorwaarde opdat de werkloosheid zou afnemen, is dat de inﬂatie toeneemt. (c) Een nodige voorwaarde opdat de werkloosheid zou afnemen, is dat de inﬂatie toeneemt. (d) De werkloosheid kan enkel afnemen als de inﬂatie toeneemt. (e) Als de werkloosheid niet afneemt, dan stijgt de inﬂatie niet. (f) Een nodige voorwaarde opdat de inﬂatie zou toenemen, is dat de werkloosheid afneemt. (g) Als de inﬂatie afneemt, dan neemt de werkloosheid toe. 3. Elk kind heeft een moeder. Herschrijf deze uitspraak in termen van kwan- toren. Gebruik hierbij de notatie K voor de verzameling van de kinderen en V voor de verzameling van de vrouwen. Illustreer aan de hand van deze uitspraak dat de volgorde van de kwantoren zeer belangrijk is. 4. Schrijf elk van volgende uitspraken met behulp van de notatie van formele logica (d.w.z. kwantoren (∀ en ∃), implicatie (⇒),... ). Voer daarbij zelf notaties in voor bepaalde verzamelingen die relevant zijn in de diverse uitspraken. (a) Op elk potje past een deksel. (b) Er is een deksel dat op elk potje past. (c) Als iemand goed studeert, zal hij slagen. (d) Voor elk examen slaagt er minstens één student. (e) Er is een examen waarvoor elke student slaagt. (f) Er is een student die voor alle examens slaagt. 5. Ontken elk van de uitspraken in vorige oefening. Formuleer je resultaat zowel in gewone spreektaal als in de taal van de formele logica. 6. Beschouw de uitspraak9 ∀x ∈ R, ∀y ∈ R : (x2 = y 2 ) ⇒ (x = y). (a) Formuleer deze uitspraak voluit in woorden. 9 Deze oefening vergt een minimale kennis over R, die bij de meeste lezers wel als voor- kennis aanwezig zal zijn. Die voorkennis is hoe dan ook te vinden in Module 2. 1.13 (b) Ontken deze uitspraak. Formuleer de ontkenning zowel formeel met kwantoren als voluit in gewone spreektaal. (c) Welk van beide uitspraken is waar, de gegeven uitspraak of de ont- kenning ervan? 1.14 Module 2 Getallenverzamelingen Zodra men bepaalde grootheden wil gaan kwantiﬁceren, heeft men behoefte aan getallenverzamelingen. Typisch voor getallen is dat we ermee kunnen rekenen. Dit zorgt ervoor dat de getallenverzamelingen een zogenaamde alge- braïsche structuur hebben. De primaire noties van ‘meer’ en ‘minder’ geven aanleiding tot een natuurlijke orde. We overlopen kort de intuïtief gekende getallenverzamelingen N, Z en Q. Daarna beschrijven we de verzameling R van de reële getallen met zijn rijke structuur. We belichten hierbij ook enkele rekenvaardigheden. Tenslotte zul- len we ook de verzameling Rn van de n-tallen van reële getallen bekijken. §1 De getallenverzamelingen N, Z en Q 1.1 De natuurlijke getallen N De natuurlijke getallen zijn de getallen waarmee men aantallen telt. De verzamelingen van de natuurlijke getallen noteert men met N, dus N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Men noteert ook N0 = N \ {0}. De verzameling N is oneindig. Op N is een natuurlijke orde gedeﬁnieerd. Eveneens zijn er bewerkingen op N gedeﬁnieerd, nl. de optelling en de vermenigvuldiging. Men zegt dat deze bewerkingen een algebraïsche structuur op N deﬁniëren. Deze structuur is op N vrij arm. Zo heeft bijvoorbeeld de eenvoudige vergelijking x + 5 = 0 geen oplossing voor x in N evenmin als de vergelijking 2x = 1. We hebben dus behoefte aan een grotere getallenverzameling. Vooraleer we N gaan uitbreiden, vermelden we hier even een operatie met 2.1 natuurlijke getallen, met name de faculteitsoperatie. Ze wordt als volgt gedeﬁnieerd. 1.1.1 Deﬁnitie Zij n ∈ N0. We deﬁniëren het natuurlijk getal n! (lees: n-faculteit) door n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1. Per conventie stellen we 0! = 1. Je kan narekenen dat 1! = 1 2! = 2 × 1 = 2 3! = 3 × 2 × 1 = 6 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1720 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040. Merk op dat n! ontzettend snel groeit als n groter wordt. Zo is bijvoorbeeld 30! = 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000. De faculteitsoperatie treedt vaak op in telproblemen. Het is niet zo moeilijk in te zien dat n! het aantal manieren geeft waarin we n verschillende objecten kunnen rangschikken (op een rij zetten). Ga dit expliciet na voor n = 3. 1.2 De gehele getallen Z De verzameling Z van de gehele getallen breidt de natuurlijke getallen uit met “negatieve getallen”, dus Z = {... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}. Men noteert ook Z0 = Z \ {0}. De bewerkingen en de orde op N breiden op een evidente manier uit tot Z. De algebraïsche structuur die we zo op Z verkrijgen is nu reeds wat rijker. Bijvoorbeeld de vergelijking x + n = 0 (met n ∈ N) heeft nu (per constructie) wel een oplossing voor x ∈ Z, nl. x = −n. Voor de vermenigvuldiging blijkt Z nog te klein te zijn; de vergelijking 2x = 1 heeft ook voor x ∈ Z nog geen oplossing. 2.2 1.3 De rationale getallen Q De verzameling Q van de rationale getallen is de verzameling van de “breu- ken”: n n ∈ Z, m ∈ Z0 m waarbij men deﬁnieert dat mn = pq als en slechts als nq = mp (in Z). Z kan worden opgevat als een deel van Q door de identiﬁcatie van n in Z met n1 in Q. Men noteert ook Q0 = Q \ {0}. De optelling en de vermenigvuldiging worden van Z tot Q uitgebreid door n p nq + pm + = m q mq en n p np =. m q mq In Q kan men nu goed rekenen.1 Vergelijkingen van de vorm px + q = 0 met p ∈ Q0 en q ∈ Q hebben nu altijd een oplossing voor x ∈ Q. Dit “goed kunnen rekenen” in Q hebben we te danken aan de rijke structuur van Q. Deze structuur wordt beschreven door volgende eigenschappen. Eigenschappen van de optelling in Q 1. + is associatief, d.w.z. ∀x, y, z ∈ Q : (x + y) + z = x + (y + z). 2. 0 is het neutraal element voor +, d.w.z. ∀x ∈ Q : x + 0 = x = 0 + x. 3. ∀x ∈ Q, ∃y ∈ Q : x + y = 0 = y + x. 4. + is commutatief, d.w.z. ∀x, y ∈ Q : x + y = y + x. Eigenschappen van de vermenigvuldiging in Q 5. · is associatief, d.w.z. ∀x, y, z ∈ Q : (xy)z = x(yz). 6. 1 is het neutraal element voor · in Q0 , d.w.z. ∀x ∈ Q0 : x1 = x = 1x. 7. ∀x ∈ Q0 , ∃y ∈ Q0 : xy = 1 = yx. 8. · is commutatief, d.w.z. ∀x, y ∈ Q : xy = yx. Eigenschap die · verbindt met + 9. · is distributief t.o.v. +, d.w.z. ∀x, y, z ∈ Q : x(y + z) = xy + xz. Eigenschappen 1 → 9 vat men samen door te zeggen dat (Q, +,. ) een veld is. 1 We gaan er van uit dat de lezer perfect met breuken kan rekenen. Wie toch proble- men heeft met het optellen, vermenigvuldigen en delen van breuken, moet dat UITERST DRINGEND (d.w.z. te beginnen met vandaag) bijspijkeren!!! 2.3 De orde breidt op een natuurlijke manier uit van Z tot Q: we kunnen elk paar van rationale getallen vergelijken met elkaar: ofwel is het eerste groter of gelijk aan het tweede ofwel is het tweede groter of gelijk aan het eerste.2 Deze orde gedraagt zich behoorlijk ten opzichte van de bewerkingen in Q: we kunnen het lijstje hierboven van eigenschappen 1 → 9 van Q aanvullen met twee extra eigenschappen. Eigenschappen die de bewerkingen verbinden met de orde 10. ∀x, y, z ∈ Q : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z. 11. ∀x, y, z ∈ Q : (x ≤ y en 0 ≤ z) ⇒ xz ≤ yz. Eigenschappen 1 → 11 samen genomen drukken uit dat (Q, +,. , ≤) een (to- taal) geordend veld is. De orde op Q mag dan wel een natuurlijke uitbreiding zijn van de orde op N en Z, toch is er een belangrijk verschil voor wat de orde betreft tussen enerzijds N en Z en anderzijds Q: in N en Z heeft elk element n een opvolger (d.i. een element m > n zo dat er geen andere elementen meer tussen m en n zitten), nl. n + 1. In Q is dit niet meer waar. Integendeel, tussen twee verschillende rationale getallen zal altijd een derde rationaal getal zitten, d.w.z. ∀x, y ∈ Q met x < y, ∃z ∈ Q : x < z < y. Men vat deze laatste eigenschap samen door te zeggen dat Q een dichte geordende verzameling is. Als totaal geordend veld heeft (Q, +,. , ≤) een mooie en rijke structuur. Toch heeft Q nog belangrijke gebreken. Eén ervan kenden de oude Grieken al: eenvoudige vergelijkingen als x2 − 2 = 0 hebben geen oplossing in Q. Er bestaat immers geen breuk waarvan het kwadraat 2 is. In zekere zin zitten er dus “gaten” in Q. §2 De reële getallen R 2.1 R als totaal geordend veld met de supremumeigenschap Uit het vorige bleek dat Q te klein is en dus “vervolledigd” moet worden. Daarom heeft men een grotere getallenverzameling ingevoerd, namelijk R, de verzameling van de reële getallen. 2 Test even je vaardigheid om met breuken te werken: vergelijk 3/7 met 9/22. Welke is het grootste van beide? Als je dat niet binnen de 20 seconden kan vinden zonder rekenmachine, verwijzen we je meteen naar de vorige voetnoot... 2.4 We gaan niet in op de eigenlijke constructie van R vanuit Q. Deze is ab- stract en technisch en valt ver buiten de doelstellingen van dit handboek. Het komt er op neer dat men de “gaten” die in Q zitten, op de één of an- dere manier opvult. De getallen die we zo “bijcreëren” worden irrationale getallen genoemd. Om een beeld te krijgen van dat “bijcreëren” helpt het aan de intuïtief vertrouwde decimale ontwikkeling te denken. We kunnen ratio- nale getallen schrijven met hun decimale ontwikkeling. Sommigen hebben een eindige decimale ontwikkeling, bijvoorbeeld: 1 25 3781 = 0.25 = 1.5625 = 2.95390625 4 16 1280 Rationale getallen kunnen ook een oneindige decimale ontwikkeling hebben maar dan is die ontwikkeling altijd repeterend, d.w.z. dat een bepaalde op- eenvolging van decimalen vanaf een bepaalde plaats telkens opnieuw herhaald wordt. Enkele voorbeelden: 5 = 2.66666666666 · · · 3 32 = 1.523809 523809 523809 · · · 21 458636 = 0.7345 521 521 521 521 · · · 624375 Omgekeerd bepaalt elke eindige of oneindig repeterende decimale ontwikke- ling een rationaal getal. We “creëren” nu nieuwe getallen, die we irrationale getallen noemen, door de decimale ontwikkelingen erbij te nemen die oneindig zijn én niet repeteren zoals bijvoorbeeld 7.3030030003000030000030000003 · · · √ Andere voorbeelden van irrationale getallen zijn 2 en π. Het uitbreiden van Q tot R kan dus opgevat worden als het toevoegen van de oneindige niet-repeterende decimale ontwikkelingen bij de verzameling van de eindige of oneindig repeterende decimale ontwikkelingen. We kunnen R identiﬁceren met een rechte. Die identiﬁcatie wordt uniek vast- gelegd eens we op die rechte twee punten gekozen hebben: een punt dat overeenkomt met het getal 0 en een ander punt dat correspondeert met het getal 1. Men noemt die rechte de reële rechte. 0 1 De bewerkingen + en · en de totale orde ≤ kunnen op een natuurlijke wijze van Q tot R worden uitgebreid. Op de reële rechte hierboven hebben we met- een een zicht op de orde: als x, y ∈ R zal x ≤ y als en slechts als het punt op de rechte dat met x correspondeert links ligt van het punt dat met y cor- respondeert. Op deze manier wordt ook (R, +,. , ≤) een totaal geordend veld 2.5 (d.w.z. eigenschappen 1 → 11 van 1.3 zijn voldaan waarbij men Q vervangt door R). Tot zover hebben we dus nog geen verschil gemerkt tussen de eigenschappen van Q en R. Er is nochtans een zeer belangrijk verschil! Ruwweg gezegd komt het er op neer dat R (in tegenstelling tot Q) “volledig” is. Eén van de mogelijke formuleringen van wat die volledigheid precies betekent, is de volgende: 12. R heeft de supremumeigenschap, d.w.z. elke niet-lege naar bo- ven begrensde deelverzameling van R heeft een kleinste boven- grens3. Dit is een sleuteleigenschap van R die in de hele opbouw van de analyse4 een zeer cruciale rol speelt. Maar je kan pas merken hoe die eigenschap zijn fundamentele rol speelt als je bij de opbouw van de analyse voldoende diep graaft om de fundamenten bloot te leggen, d.w.z. als je alle resultaten rigou- reus bewijst. Dit gaan wij voor de doelgroep van deze cursus natuurlijk niet doen... Wij blijven meer aan de oppervlakte en zullen die supremumeigen- schap verder niet rechtstreeks meer ontmoeten. Daarom gaan we hier zelfs niet nader in op het begrip ‘kleinste bovengrens’ dat voorkomt in de formule- ring van de supremumeigenschap. Het begrip ‘naar boven begrensd’ zal straks in Deﬁnitie 2.3.1 wel nauwkeurig omschreven worden. Het blijkt nu dat R door de eigenschappen 1 → 12 uniek bepaald is. Alles wat over R te vertellen valt, is dus in principe af te leiden uit de eigenschappen 1 → 12. Voor we een aantal van dergelijke ‘afgeleide eigenschappen’ geven, voeren we nog wat notaties in: We schrijven R+ voor de verzameling van positieve reële getallen. De verzameling van de strikt positieve reële getallen noteren we met R+ 0. Analoog noteert men R− (resp. R− 0 ) voor de verzameling negatieve (resp. strikt negatieve) reële getallen. Voor de verzameling van de reële getallen verschillend van nul schrijven we R0. Als n ∈ N0 noteren en deﬁniëren we de n-de macht van een reëel getal a ∈ R door an = a × a × · · · × a. n factoren 0 Per conventie stellen we a = 1. Negatieve gehele machten van een a ∈ R0 deﬁniëren we als volgt 1 a−n = met n ∈ N0. an 3 De kleinste bovengrens van een naar boven begrensde verzameling, voor zover die be- staat, wordt het supremum van die verzameling genoemd. Vandaar de naam “supremum- eigenschap”. 4 Analyse is de tak van de wiskunde waarin limieten op de één of andere manier een rol spelen. Afgeleiden en integralen zijn bijvoorbeeld typische analyseonderwerpen. 2.6 Volgende twee proposities geven enkele rekeneigenschappen die zeer eenvoudig af te leiden zijn uit eigenschappen 1 → 12 van R. Om ze af te leiden heb je zelfs eigenschap 12 (de supremumeigenschap) niet nodig. Ze gelden dus ook in Q (uiteraard!). 2.1.1 Propositie Zij a, b ∈ R. Dan geldt: (1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (2) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3. (3) (a − b)(a + b) = a2 − b2. (4) (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3. Bewijs : Je kan (1) → (4) gemakkelijk aantonen door rechttoe rechtaan de linkerleden uit te werken. Doe dit zelf bij wijze van oefening. Geef bij elke stap aan welke van de eigenschappen 1 → 11 van R je gebruikt. 2.1.2 Propositie Zij a, b ∈ R0 en n, m ∈ Z. Dan geldt: 1 (1) a−n = an. (2) an+m = a am. n (3) (an )m = anm. (4) (ab)n = an bn. Bewijs : (1) volgt meteen uit de deﬁnitie van een gehele macht. De bewijzen van (2), (3) en (4) komen in essentie neer op het tellen van de factoren a (en b) in linker- en rechterlid. Geef zelf de details van de argumentatie. 2.7 Een belangrijk resultaat dat af te leiden is uit de eigenschappen 1 → 12 van totaal geordend veld met de supremumeigenschap, levert ons het bestaan in R van wortels van positieve getallen. Het betekent dat één van de gebreken van Q (zie blz. 2.4), althans ten dele5 , verholpen is. 2.1.3 Stelling Als x ∈ R+ en n ∈ N0 , dan √ bestaat er een unieke y ∈ R+ zo dat y√ n = x. 1/n n Notatie: y = x of y = x; indien n = 2 schrijft men kortweg x. √ Terminologie: men noemt x1/n (of n x) de n-de machtswortel van x Voor n = 2 spreekt men van de vierkantswortel. Vermits Stelling 2.1.3 niet geldt voor Q, kan het niet anders dan dat het bewijs ervan essentieel gebruik maakt van de enige eigenschap die R onderscheidt van Q, met name de supremumeigenschap. Het bewijs blijkt inderdaad niet- triviaal te zijn en valt in elk geval buiten de doelstellingen van dit handboek. We voerden reeds gehele machten in. Dankzij Stelling 2.1.3 kunnen we nu ook op natuurlijke wijze rationale machten deﬁniëren. 2.1.4 Deﬁnitie Zij a ∈ R+ 0 en q ∈ Q. We deﬁniëren: n aq = (an )1/m waarbij = q met n ∈ Z en m ∈ N0. m Opmerkingen: (1) We moeten in principe veriﬁëren dat rationale machten van a op bovenstaande manier éénduidig gedeﬁnieerd zijn. Er zijn immers meerdere manieren om een gegeven rationaal getal q ∈ Q te schrijven als een breuk n/m met n ∈ Z en m ∈ N0. We moeten dus nagaan dat (an )1/m niet afhangt van de keuze van n en m. Doe dit zelf in een concreet geval: duidelijk is 2/3 = 4/6; ga na dat (a2 )1/3 = (a4 )1/6. (2) De uitdrukking aq wordt ook in het geval dat q ∈ / N gelezen als “a tot de macht q” ook al is de oorspronkelijke betekenis van “tot de macht”, namelijk a zoveel maal met zichzelf vermenigvuldigd als de macht aangeeft, in dat geval uiteraard niet meer zinvol. 5 Strikt negatieve getallen hebben nog steeds geen vierkantswortel in R. Zo is er bij- voorbeeld geen enkel reëel getal x waarvoor x2 = −1. Men kan hieraan verhelpen door andermaal de getallenverzameling uit te breiden en de zogenaamde complexe getallen in te voeren. Deze vallen echter buiten het bestek van dit handboek. 2.8 Propositie 2.1.2, die beschrijft hoe je rekent met gehele machten, blijft onver- kort gelden voor rationale machten. 2.1.5 Propositie Zij a, b ∈ R+ 0 en p, q ∈ Q. Dan geldt: 1 (1) a−q = aq. (2) ap+q = a aq. p (3) (ap )q = apq. (4) (ab)q = aq bq. Het bewijs van deze propositie is in principe niet moeilijk maar wel wat om- slachtig. Daarom gaan we er hier niet op in. We raden je niettemin heel sterk aan om de eigenschappen in een paar concrete gevallen (d.w.z. voor concrete waarden van p en q) aan te tonen. Toon bijvoorbeeld (met behulp van Propositie 2.1.2 en Stelling 2.1.3) aan dat voor alle a ∈ R+ 0 geldt dat a2/3 a5/4 = a2/3+5/4 en (a−3/4 )7/6 = a−7/8. Met behulp van de eigenschappen 10 en 11 van totaal geordend veld (de eigenschappen die aangeven hoe de orde zich gedraagt t.o.v. de optelling en de vermenigvuldiging) kan het volgende aangetoond worden. 2.1.6 Propositie Zij a, b, c ∈ R. Er geldt: (1) Als a ≤ b en c ≤ 0, dan is ac ≥ bc. 1 1 (2) Als 0 < a ≤ b, dan is ≥. a b 1 1 (3) Als b ≤ a < 0, dan is ≤. a b (4) Als 0 < a ≤ b en q ∈ Q+0 , dan is aq ≤ bq. (5) Als 0 < a ≤ b en q ∈ Q− 0 , dan is a ≥ b. q q Het spreekt vanzelf dat al de (reken)eigenschappen die we hierboven zagen, niet dienen om enkel in kadertjes te prijken en voor de rest mogen vergeten worden. Je moet ze feilloos en op automatische piloot kunnen toepassen!6 6 Eigenlijk moet je deze rekenvaardigheid al lang verworven hebben tijdens je middelbare schooltijd! 2.9 Test jezelf meteen even met volgende opdrachten. Ze zouden een ﬂuitje van een cent moeten zijn7... 1. Zij a, b ∈ R. Werk de haakjes weg in (a + b)(a − b)(a2 + b2 ). √ 2. Zij a ∈ R−. Vereenvoudig: a2. a−7 (a2 b3 c4 )2 3. Zij a, b, c ∈ R+ 0. Vereenvoudig: 4. (abc10 )3 (b3 c19 )−2 x+1 4. Los op naar x ∈ R0 : = x + 1. x x−1 x+1 5. Vind alle x ∈ R \ {−1, 1} die voldoen aan <. x+1 x−1 Teken de oplossingsverzameling op de reële rechte. We besluiten deze sectie met een resultaat dat beschrijft hoe Q in R zit. Ruwweg gezegd leert het ons dat de verzameling Q van rationale getallen en de verzameling R \ Q van de irrationale getallen helemaal in elkaar “verstrengeld” zijn. 2.1.7 Propositie Q is dicht in R d.w.z. als x, y ∈ R en x < y, dan bestaat er een q ∈ Q zo dat x < q < y. Deze propositie is relevant voor het dagdagelijkse rekenwerk. Bij numeriek re- kenwerk op rekenmachines of computers kunnen we immers enkel met getallen met een eindig aantal decimalen werken. Dergelijke getallen zijn natuurlijk rationaal (waarom?). Maar de propositie garandeert ons dat we een irratio- naal getal x tot op elke gewenste graad van nauwkeurigheid kunnen benaderen met een rationaal getal q. Neem bijvoorbeeld in de propositie y = x + 10−10. Volgens de propositie bestaat er dan een q ∈ Q zo dat x < q < x + 10−10. Er is dus een rationaal getal q dat op minstens 9 decimalen nauwkeurig x benadert. 7 Indien niet, ga onverwijld naar de monitor die je raad kan geven hoe jij hieraan kan én moet remediëren. 2.10 2.2 Absolute waarde, afstand in R 2.2.1 Deﬁnitie Voor een reëel getal a deﬁniëren we de absolute waarde als a als a ≥ 0, |a| = −a als a < 0. Zo is bijvoorbeeld √ √ √ 3 √ 3 | − 17| = 17, |12| = 12, | 2| = 2, |− 20| = 20. Uit de deﬁnitie volgt direct dat voor alle a ∈ R geldt dat |a| ≥ 0, |a| = | − a| en − |a| ≤ a ≤ |a|. Als we R identiﬁceren met een rechte waarop we twee punten (0 en 1) gekozen hebben, dan zien we dat |a| de afstand geeft van a tot 0 (waarbij de eenheid voor afstand zodanig gekozen is dat 1 op een afstand 1 tot 0 ligt). Dit inspi- reert ons meteen om een natuurlijke afstand (of metriek) tussen willekeurige punten van R in te voeren. 2.2.2 Deﬁnitie De afstand tussen x en y in R deﬁniëren we als |x − y|. Volgend resultaat staat bekend onder de naam driehoeksongelijkheid. Het is een ongelijkheid die zeer vaak gebruikt wordt in afschattingen. We geven twee (equivalente) vormen van deze ongelijkheid. 2.2.3 Propositie (Driehoeksongelijkheid) (1) Voor alle a, b ∈ R is |a + b| ≤ |a| + |b|. (2) Voor alle x, y, z ∈ R is |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Het is gemakkelijk in te zien dat (2) dadelijk uit (1) volgt (omgekeerd overigens ook). Het bewijs van (1) kan gebeuren door de ongelijkheden −|a| ≤ a ≤ |a| en −|b| ≤ b ≤ |b| lid aan lid bij elkaar op te tellen. We laten de details als 2.11 eenvoudige oefening. Het is de vorm (2) die de naam ‘driehoeksongelijkheid’ motiveert: de onge- lijkheid drukt uit dat de “directe” afstand van een punt x naar een punt y korter is dan de afstand van de “omweg”: eerst van x naar een z en dan van z naar y. Dit is typisch voor elke notie van afstand8. 2.3 Speciale types deelverzamelingen We beschouwen nu enkele speciale types van deelverzamelingen van R: be- grensde/onbegrensde deelverzamelingen, intervallen en tenslotte open en ge- sloten deelverzamelingen. 2.3.1 Deﬁnitie Zij A ⊆ R. We noemen A naar boven begrensd als er een M in R bestaat zo dat x ≤ M voor alle x ∈ A. We noemen A naar onder begrensd als er een m in R bestaat zo dat m ≤ x voor alle x ∈ A. We noemen A kortweg begrensd als A zowel naar boven als naar onder begrensd is. Verzin zelf meteen enkele voorbeelden die deze begrippen demonstreren. Geef daarbij voorbeelden van verzamelingen die niet naar onder en niet naar boven begrensd zijn, verzamelingen die wel naar boven maar niet naar onder be- grensd zijn, verzamelingen die wel naar onder maar niet naar boven begrensd zijn en verzamelingen die begrensd zijn. 2.3.2 Deﬁnitie Een interval in R is een niet-lege deelverzameling I van R waarvoor elk element van R dat tussen twee elementen van I ligt, tot I behoort, m.a.w. I is een interval als aan volgende eigenschap voldaan is: als z ∈ R en x, y ∈ I zo dat x ≤ z ≤ y, dan moet z ∈ I. Laat ons een aantal voorbeelden en tegenvoorbeelden van intervallen bekijken. De verzameling A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} is een interval. Inderdaad, veronderstel dat z ∈ R een element is waarvoor er x, y ∈ A bestaan zo dat 8 We zullen in 3.2.2 de driehoeksongelijkheid terug zien komen voor de afstand tussen punten in het vlak R2 ; in deze context zal de terminologie ‘driehoek’ in ‘driehoeksongelijk- heid’ ook visueel duidelijk zijn. 2.12 x ≤ z ≤ y. Dan is 1 ≤ x ≤ z ≤ y ≤ 2 en dus is 1 ≤ z ≤ 2 en daarom is z ∈ A. Bijgevolg is A een interval. Traditioneel noteert men dat interval met [1, 2]. De verzameling B = {1, 2} is geen interval want 1 ≤ 3/2 ≤ 2, maar 3/2 ∈ / B. De verzameling C = {x ∈ R | x > 5} is een interval. Inderdaad, veronderstel dat z ∈ R een element is waarvoor er x, y ∈ C bestaan zo dat x ≤ z ≤ y. Dan is 5 < x ≤ z ≤ y en dus is zeker 5 < z en daarom is z ∈ C. Bijgevolg is C een interval. Traditioneel noteert men dat interval met ]5, +∞[. De verzameling R0 = {x ∈ R | x = 0} is geen interval. Waarom niet? Hoe zien de intervallen in R er in het algemeen uit? We kunnen ze systematisch catalogeren. Beschouw een interval I ⊆ R. Dan zijn er volgende mogelijkheden: I is naar onder én naar boven begrensd. Eén mogelijkheid is dat I een singleton is, d.w.z A = {a} voor een a ∈ R. In het geval A geen singleton is, kunnen we vier mogelijke gevallen onderscheiden: – Er bestaan a, b ∈ R met a < b zo dat I = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is [a, b]. Men leest dit als “het gesloten9 interval a, b”. – Er bestaan a, b ∈ R met a < b zo dat I = {x ∈ R | a ≤ x < b}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is [a, b[. Men leest dit als “het halfopen interval a, b; open in b”. – Er bestaan a, b ∈ R met a < b zo dat I = {x ∈ R | a < x ≤ b}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is ]a, b]. Men leest dit als “het halfopen interval a, b; open in a”. – Er bestaan a, b ∈ R met a < b zo dat I = {x ∈ R | a < x < b}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is ]a, b[. Men leest dit als “het open10 interval a, b”. I is naar onder maar niet naar boven begrensd. We hebben nu twee mogelijke gevallen: – Er bestaat een a ∈ R zo dat I = {x ∈ R | x ≥ a}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is [a, +∞[. Men leest dit als “het gesloten11 interval a, plus oneindig”. 9 De terminologie ‘gesloten’ duidt er in eerste instantie op dat de ‘randpunten’ a en b tot het interval behoren. Maar zo dadelijk krijgt het begrip ‘gesloten’ een diepere (topologische) betekenis. 10 De terminologie ‘open’ duidt er in eerste instantie op dat de ‘randpunten’ a en b niet tot het interval behoren. Maar zo dadelijk krijgt het begrip ‘open’ een diepere (topologische) betekenis. 11 Afgaand op de stand van de intervalhaakjes zou men in de verleiding kunnen komen om dergelijk interval ‘halfopen’ te noemen. Maar daarachter schuilt een misopvatting. Men baseert zich hierbij wellicht op de mystieke opvatting dat +∞ een ‘randpunt’ zou zijn van I, wat pure onzin is vermits +∞ in deze context gewoon een symbool is dat, net als de intervalhaakjes, deel uitmaakt van de intervalnotatie en dus geen punt van R is of van wat dan ook, laat staan een randpunt. We noemen een interval van dit type ‘gesloten’ omdat het een verzameling is die gesloten is in de algemene (topologische) betekenis van het woord. 2.13 – Er bestaat een a ∈ R zo dat I = {x ∈ R | x > a}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is ]a, +∞[. Men leest dit als “het open interval a, plus oneindig”. I is naar boven maar niet naar onder begrensd. We hebben weer twee mogelijke gevallen: – Er bestaat een b ∈ R zo dat I = {x ∈ R | x ≤ b}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is ]−∞, b]. Men leest dit als “het gesloten interval min oneindig, b”. – Er bestaat een b ∈ R zo dat I = {x ∈ R | x < b}. De standaardnotatie voor dergelijk interval is ]−∞, b[. Men leest dit als “het open interval min oneindig, b”. I is niet naar onder en niet naar boven begrensd. In dat geval is I = R. Soms schrijft men ook I = ]−∞, +∞[. Bij de classiﬁcatie van de intervallen lieten we al de woorden ‘open’ en ‘geslo- ten’ vallen. Deze verwijzen naar zogenaamde topologische eigenschappen die deze deelverzamelingen van R hebben, eigenschappen die men niet alleen voor intervallen maar ook voor willekeurige deelverzamelingen van R kan invoeren. 2.3.3 Deﬁnitie Zij A een deelverzameling van R. We noemen A open als A leeg is of als er rond elk punt a ∈ A een open interval bestaat dat helemaal in A ligt, m.a.w. als er voor elke a ∈ A een δ > 0 bestaat zo dat ]a − δ, a + δ[ ⊆ A. We noemen A gesloten als R \ A open is. Ruwweg uitgedrukt is een deelverzameling open als ze geen ‘rand’ heeft; een gesloten deelverzameling kan wel ‘randpunten’ hebben. We illustreren de begrippen open en gesloten met een aantal voorbeelden. (1) Zoals de naam het suggereert is een ‘open’ interval ook open in de be- tekenis van Deﬁnitie 2.3.3. Beschouw bijvoorbeeld het interval ]1, 3[. Volgende redenering bewijst dat dit interval open is. Kies een willekeurige a ∈ ]1, 3[. We moeten argumenteren dat we een δ > 0 kunnen vinden zo dat ]a − δ, a + δ[ ⊆ ]1, 3[. Op een tekening wordt snel duidelijk hoe we zo’n δ kunnen vinden: δ moet zowel kleiner zijn dan de afstand tussen a en 1 als de afstand tussen a en 3. a−δ a a+δ 0 1 3 δ 2.14 Neem dus δ > 0 zo dat δ ≤ min{a − 1, 3 − a}. Dan kan men gemakkelijk nagaan dat ]a − δ, a + δ[ ⊆ ]1, 3[. Inderdaad, kies een willekeurige x ∈ ]a − δ, a + δ[. Dan is x > a − δ ≥ a − (a − 1) = 1 en x < a + δ ≤ a + (3 − a) = 3 en dus is x ∈ ]1, 3[. (2) Zoals de naam het suggereert is een ‘gesloten’ interval ook gesloten in de betekenis van Deﬁnitie 2.3.3. Beschouw bijvoorbeeld het interval [0, 4]. We argumenteren dat X = R\[0, 4] open is. Merk op dat X = ]−∞, 0[∪ ]4, +∞[. Kies nu een willekeurige a ∈ X. We moeten aantonen dat we een δ > 0 kunnen vinden zo dat ]a − δ, a + δ[ ⊆ X. We onderscheiden twee gevallen: ofwel is a ∈ ]−∞, 0[, ofwel is a ∈ ]4, +∞[ (maak een tekening). In het eerste geval nemen we 0 < δ ≤ |a|, in het tweede geval 0 < δ ≤ a − 4. In beide gevallen kan men gemakkelijk nagaan dat dan ]a − δ, a + δ[ ⊆ X. Bijgevolg is X open en dus is per deﬁnitie [0, 4] gesloten. (3) Een ‘halfopen’ interval is noch open, noch gesloten in de betekenis van Deﬁnitie 2.3.3. Beschouw bijvoorbeeld het interval I = [−1, 5[. Dan is I niet open want rond −1 is er geen open interval dat helemaal binnen I ligt (maak een tekening). Evenmin is X = R \ I open want rond 5 is er geen open interval dat helemaal binnen X ligt. Daarom is I ook niet gesloten. (4) R is open én gesloten. Dat R open is, is evident. Anderzijds is R ook gesloten want R \ R = ∅ en de lege verzameling is per deﬁnitie open. (5) Q is niet gesloten, want X = R \ Q is niet open. Inderdaad, neem een a ∈ X. We argumenteren dat er geen open interval rond a bestaat dat helemaal in X ligt, of wat op hetzelfde neerkomt, dat elk open interval rond a punten zal bevatten die niet in X liggen. Kies dus een willekeurige δ > 0. Volgens Propositie 2.1.7 bestaat er een q ∈ Q zo dat a − δ < q < a + δ. Dus is q ∈ ]a − δ, a + δ[ maar vermits q ∈ Q is q ∈ / X. Men kan eveneens op vrij analoge wijze argumenteren dat Q ook niet open is. Uit bovenstaande voorbeelden blijkt dat ‘open’ en ‘gesloten’ geen complemen- taire begrippen zijn: er zijn verzamelingen die noch open, noch gesloten zijn, en er bestaan verzamelingen die zowel open als gesloten zijn. 2.4 Het sommatieteken 2.4.1 Hoe meer termen, hoe meer vreugd met Veronderstel dat je honderd getallen gegeven hebt — laten we ze noteren met a1 , a2 ,... , a100 — en dat je die allemaal bij elkaar moet optellen. Een manier 2.15 om die som te schrijven is a1 + a2 + a3 + · · · + a99 + a100. Maar vaak is dit geen handige notatie. Het sommatieteken biedt dan een al- ternatief. Met behulp van dit sommatieteken wordt bovenstaande som verkort geschreven als 100 notatie a1 + a2 + a3 + · · · + a99 + a100 = ak. k=1 We lezen dit als “de som van de termen ak waarbij (de index) k loopt van 1 tot 100”. Het sommatieteken zelf, , is de Griekse hoofdletter sigma, dus de Griekse ‘S’ en die letter verwijst natuurlijk naar Som. De index k telt de termen die moeten opgeteld worden. De keuze van de letter k om die index/teller aan te duiden is daarom volledig arbitrair. Je kan voor die index eender welke letter gebruiken; het enige dat van belang is, is de verzameling van waarden die de index doorloopt (in dit geval dus van 1 tot en met 100). Zo is 100 100 100 100 ak = a = ai = aj k=1 =1 i=1 j=1 maar in het algemeen is 100 67 ak = ak. k=1 k=3 Leg uit waarom. 2.4.2 Voorbeelden (1) Beschouw de som 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. Dit is de som van de termen k, waarbij k loopt van 2 tot en met 8 en kan dus verkort genoteerd worden met 8 k. k=2 Deze schrijfwijze met behulp van een sommatieteken is natuurlijk niet uniek, men kan dezelfde som ook noteren met bijvoorbeeld 6 9 (k + 2) of met (k − 1). k=0 k=3 (2) Beschouw de som 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100. Wat is de gemeen- schappelijke vorm van deze termen? Het zijn allemaal volkomen kwadraten. 2.16 We kunnen elke term dus schrijven als k 2 , waarbij k de waarden 3 t.e.m. 10 aanneemt. De som kan bijgevolg genoteerd worden met 10 k2. k=3 (3) Beschouw een x ∈ R. Dan is 2 x2k+1 (−1)k (2k + 1)! k=0 x2·0+1 x2·1+1 x2·2+1 = (−1)0 + (−1)1 + (−1)2 (2 · 0 + 1)! (2 · 1 + 1)! (2 · 2 + 1)! 3 5 x x = x− +. 6 120 Volgende eigenschappen zijn gemakkelijk als oefening te veriﬁëren. 2.4.3 Propositie Beschouw a1 , a2 ,... , an , b1 , b2 ,... , bn ∈ R en een λ ∈ R. Dan geldt: n n (1) (λak ) = λ ak. k=1 k=1 n n n (2) (ak + bk ) = ak + bk. k=1 k=1 k=1 n (3) λ = λn. k=1 2.4.4 Extra voorbeelden We geven nog enkele voorbeelden waarin het gebruik van de sommatienotatie handig is. (1) Veronderstel dat L1 , L2 ,... , Ln de lichaamslengtes zijn van n ver- schillende personen. Dan wordt de gemiddelde lichaamslengte van die groep mensen gegeven door 1 n Lgemiddeld = Lk. n k=1 2.17 (2) Het Bruto Binnenlands Product van een land is de marktwaarde van alle ﬁnale goederen die in het land worden geproduceerd tijdens de beschouwde periode. Stel door qi de geproduceerde hoeveelheid van ﬁnaal goed i voor, en door pi zijn prijs per eenheid. Indien de economie in totaal n ﬁnale goede- ren produceert, dan is het Bruto Binnenlands Product, voorgesteld door de variabele BBP , gelijk aan n BBP = p1 q1 + p2 q2 + · · · + pn qn = pi qi. i=1 (3) Een onderneming produceert n verschillende goederen en verkoopt deze op m verschillende markten. Deﬁnieer de variabele xij als de waarde van de verkochte hoeveelheid van goed i op markt j. We kunnen dan de volgende variabelen construeren: m de totale omzet van goed k = xkj j=1 n de totale omzet gerealiseerd op markt = xi i=1 n m de totale omzet = xij i=1 j=1 2.4.5 Bewijs door (volledige) inductie We lassen hier even een kort intermezzo in over een bijzonder elegante en krachtige bewijsstrategie, met name de techniek van een bewijs door (volle- dige) inductie. Een bewijs door inductie kan vaak gebruikt worden in situaties waarin we moeten aantonen dat één of andere uitspraak over een natuurlijk getal n geldt voor alle n ∈ N0. We zullen deze bewijstechniek hier demonstre- ren door een bepaalde identiteit met een sommatie aan te tonen. We starten met volgende observatie: 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 We beginnen te vermoeden dat er iets speciaal aan de hand is met de som van eerste n oneven getallen: ze tellen op tot een volkomen kwadraat, meer bepaald tot n2. We formuleren dat vermoeden als volgt: Voor alle n ∈ N0 is 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 2.18 of, met het sommatieteken neergeschreven, voor alle n ∈ N0 is n (2k − 1) = n2. (2.1) k=1 In de observatie hebben we in elk geval al nagegaan dat (2.1) klopt voor n = 1, n = 2,... , n = 5. Maar hoe kunnen we zeker zijn of (2.1) correct is voor alle n? Duidelijk volstaat het niet nu nog eens na te rekenen of (2.1) opgaat voor n = 6, dan nog eens voor n = 7 en — als er nog wat tijd over is — nog eens voor n = 8 om dan maar te hopen dat het wel zal kloppen voor alle n. Het controleren van de eigenschap n per n is uiteraard ondoenbaar, omdat er oneindig veel n-en zijn. Het is in dergelijke situaties dat een bewijs door (volledige) inductie de oplossing biedt. Dit werkt hier als volgt. Bewijs : Stel n S = n ∈ N0 (2k − 1) = n2. k=1 S is dus de verzameling van de natuurlijke getallen groter dan of gelijk aan 1, waarvoor (2.1) opgaat. We willen aantonen dat S = N0 , dus dat (2.1) opgaat voor elk natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 1. Om dit te doen is het voldoende te bewijzen dat (1) 1 ∈ S (start), m.a.w. (2.1) geldt voor n = 1. (2) Als m ∈ S (inductiehypothese), dan is ook (m + 1) ∈ S (inductiestap), m.a.w. als (2.1) geldt voor m, dan geldt (2.1) ook voor m + 1. (1) is onmiddellijk te veriﬁëren want voor n = 1 herleidt (2.1) zich tot 1 = 1 wat natuurlijk klopt. m (2) Veronderstel dat m ∈ S; dit betekent dat (2k − 1) = m2. Bijgevolg is k=1 m+1 m (2k − 1) = (2k − 1) + 2(m + 1) − 1 k=1 k=1 2 = m + 2(m + 1) − 1 = m2 + (2m + 1) = (m + 1)2 , m.a.w. (m + 1) ∈ S. 2.19 2.5 Opdrachten 1. Zij A een deelverzameling van R. Bespreek het verband tussen volgende uitspraken over A: (a) A is een eindige verzameling. (b) A is een begrensde verzameling. Impliceert de ene uitspraak de andere? Argumenteer! 2. Zij A ⊆ R. Toon aan dat A begrensd is als en slechts als er een R ∈ R+ bestaat zo dat |x| ≤ R voor alle x ∈ A. 3. (a) Vermits R een totaal geordend veld is, weten we dat ∀x, y, z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z. Gebruik deze eigenschap (twee keer) om aan te tonen dat volgende eigenschap geldt: ∀a, b, c, d ∈ R : (a ≤ b en c ≤ d) ⇒ (a + c ≤ b + d), m.a.w. ongelijkheden kan je lid aan lid optellen bij elkaar. (b) Kan je ook ongelijkheden aftrekken van elkaar? M.a.w. als je weet dat a ≤ b en c ≤ d, mag je dan besluiten dat a − c ≤ b − d? Argumenteer! (d.w.z. als je “ja ” antwoordt, moet je zoals in (a) een bewijs geven gebaseerd op de eigenschappen van totaal geordend veld; als je “nee” antwoordt, moet je een concreet tegenvoorbeeld geven.) 4. We weten dat volgende eigenschappen gelden in R: Uit a ≤ b en 0 ≤ c volgt dat ac ≤ bc. In woorden: een ongelijkheid blijft behouden als je beide leden ver- menigvuldigt met eenzelfde positief getal. Uit a ≤ b volgt dat −a ≥ −b. In woorden: de ongelijkheid draait om als je beide leden van teken verandert. Zo draait de ongelijkheid ook om als je beide leden vermenigvuldigt met eenzelfde strikt negatief getal. Toon nu met concrete tegenvoorbeelden aan dat volgende uitspraken geen algemeen geldende eigenschappen zijn in R. (a) Uit a ≤ b en c ≤ d volgt dat ac ≤ bd. (b) Uit a ≤ b en 0 ≤ c ≤ d volgt dat ac ≤ bd. 1 (c) Uit a ≤ b en a = 0 = b volgt dat a ≥ 1b. 2.20 (d) a ≤ b als en slechts als a2 ≤ b2. √ √ (e) a ≤ b als en slechts als a ≤ b. Verander iets aan deze uitspraken tot je wel een relevante en algemeen geldende eigenschap bekomt. Formuleer die eigenschap dan in woorden. Hint: Maak bij de laatste drie oefeningen een graﬁek van de bijhorende functie. 5. (a) Zij x, a ∈ R en ε ∈ R+ 0. Toon aan dat |x − a| < ε als en slechts als a − ε < x < a + ε. (b) Teken op de reële rechte de oplossingsverzameling van volgende on- gelijkheden voor x ∈ R: (i) |x − 3| ≤ 5 (ii) |x + 2| ≥ 5 (iii) |9 − x2 | > 9 6. Toon aan: (a) Voor alle a ∈ R is −|a| ≤ a ≤ |a|. (b) Als a ∈ R en r ∈ R+ voldoen aan −r ≤ a ≤ r, dan is |a| ≤ r. (c) Voor alle a, b ∈ R is max{a, b} = 12 a + b + |a − b|. 7. Bewijs beide vormen van de driehoeksongelijkheid (zie Propositie 2.2.3 en de schets van bewijs die daar al gegeven werd.). 8. Welke van volgende uitspraken over reële getallen a, b ∈ R zijn waar, welke zijn vals? Geef een tegenvoorbeeld voor de valse uitspraken. (a) |ab| = |a| |b|. (b) |a − b| ≤ |a| + |b|. (c) |a − b| ≤ |a| − |b|. 9. Veronderstel dat x en y reële getallen zijn waarvan je weet dat |x + 5| ≤ 2 en |y +5| ≤ 6. Hoe groot kan |x−y| maximaal zijn? Geef ook een concreet voorbeeld waarvoor die maximale waarde van |x − y| bereikt wordt. 10. Bestaan er x, y, z ∈ R waarvoor |x + 1| ≤ 2, |y + 1| ≤ 3, |y − z| ≤ 1 en |x − z| ≥ 7? Argumenteer! (d.w.z. als je “ja” antwoordt, moet je een concreet voorbeeld geven; als je “nee” antwoordt moet je bewijzen dat dergelijke x, y en z niet kunnen bestaan.) 11. Leg uit waarom men het interval [2, +∞[ een gesloten interval noemt (en niet, zoals de intervalhaakjes lijken te suggereren, halfopen). 12. Beschouw a1 , a2 ,... , an , b1 , b2 ,... , bn ∈ R. Mag je in het algemeen zeggen 2.21 dat n n n ak b k = ak bk ? k=1 k=1 k=1 Argumenteer! 13. Veronderstel dat we (n × m) reële getallen gegeven hebben die we noteren met xij waarbij i = 1,... , n en j = 1,... , m. Mag je in het algemeen zeggen dat n m m n xij = xij ? i=1 j=1 j=1 i=1 Argumenteer! 14. In het algemeen wordt een prijsindex Pt van jaar t als volgt geconstrueerd n pit Pt = 100 wi , i=1 pi0 waarbij pit (pi0 ) de prijs is van goed i in periode t (in het basisjaar 0) en wi is het gewicht toegekend aan goed i, met 0 < wi < 1 en ni=1 wi = 1. Anderzijds deﬁnieert men de impliciete prijsdeﬂator P It van het Bruto Binnenlands Product in jaar t als volgt: n i=1 pit qit P It = 100 n , i=1 pi0 qit met qit de in jaar t geproduceerde hoeveelheid van het ﬁnale goed i. Toon aan dat de impliciete prijsdeﬂator van het BBP een prijsindex is en interpreteer de gewichten die hierbij gehanteerd worden. 15. Toon met behulp van volledige inductie aan dat voor alle n ∈ N0 geldt dat (a) 1 + 2 + 3 +... + (n − 1) + n = 12 n(n + 1). (b) 2n ≥ 1 + n. n 1 n (c) = k(k + 1) n+1 k=1 1 − rn+1 (d) Als r ∈ R en r = 1, dan is 1 + r + r2 +... + rn =. 1−r Opmerking: voor elk van de vier uitspraken is het ook mogelijk een bewijs te geven dat niet op volledige inductie gebaseerd is. Probeer eens. 2.22 §3 De ruimte Rn R is de relevante getallenverzameling wanneer we grootheden kwantiﬁceren die zich door één getal laten beschrijven (prijs van één product, aanbod van één product, vraag naar één product, werkloosheidsgraad, inﬂatie, tijd, tem- peratuur, druk,... ). Maar soms hebben we te maken met grootheden waarbij je meer dan één getal nodig hebt om ze te beschrijven. De positie van een deeltje in een vlak moet je bijvoorbeeld vastleggen met twee reële getallen. De relevante verzameling is hier dan de verzameling van koppels van reële getallen, dus de verzameling R × R, kortweg genoteerd met R2 , m.a.w. R2 = (x1 , x2 ) x1 , x2 ∈ R. Een ander voorbeeld: we willen de vraag naar dvd-lezers kwantiﬁceren; daar- bij is het zinvol onderscheid te maken tussen stand-alone dvd-spelers voor in de huiskamer enerzijds en dvd-drives voor in een PC anderzijds. De vraag naar dvd-lezers wordt aldus beschreven door een koppel (q1 , q2 ) ∈ R2 waarbij q1 de vraag voorstelt naar stand-alone spelers en q2 de vraag naar dvd-drives. In andere situaties gaan we drie, vier of meer reële getallen nodig hebben om grootheden te kwantiﬁceren. De relevante verzameling is dan R3 , de ver- zameling van de drietallen van reële getallen, of R4 , de verzameling van de viertallen van reële getallen, of in het algemeen Rn , de verzameling van de n-tallen van reële getallen, m.a.w. Rn = (x1 , x2 ,... , xn ) x1 , x2 ,... , xn ∈ R. Hieronder gaan we een deel van de structuur, begrippen en eigenschappen van R overdragen naar Rn. In Rn kan op een natuurlijke manier gerekend worden; hierdoor krijgen we een algebraïsche structuur op Rn. Bovendien kan men in Rn ook spreken over afstand tussen punten en over hoeken; dit verwijst naar de euclidische structuur. Tenslotte maakt de notie van afstand het ook mo- gelijk om, net zoals in R, te spreken over de “omgeving” van een punt in Rn en “open” en “gesloten”verzamelingen in Rn. Dit laatste heeft dan de maken met de zogenaamde topologische structuur van Rn. Voor we hiermee van wal steken, willen we nog even de aandacht vestigen op vrij evidente maar toch nuttige meetkundige modellen voor R2 resp. R3. Het is immers altijd handig als onze intuïtie ondersteund wordt door een visuele voorstelling. In § 2 merkten we al op dat R kan voorgesteld worden als een rechte. Nu kunnen we R2 opvatten als een vlak waarin we een rechthoekig coördinatensysteem hebben gekozen. Elk element (x1 , x2 ) van R2 correspon- deert dan met één punt van het vlak (en omgekeerd). Men noemt (x1 , x2 ) dan de coördinaten van dat punt t.o.v. het gekozen coördinatensysteem. Volledig analoog kunnen we R3 identiﬁceren met de driedimensionale ruimte waarin we een rechthoekig coördinatensysteem hebben gekozen. Elk element (x1 , x2 , x3 ) van R3 correspondeert dan met één punt van de driedimensionale ruimte (en omgekeerd). Men noemt (x1 , x2 , x3 ) dan de coördinaten van dat punt t.o.v. het gekozen coördinatensysteem. 2.23 R2 R3 x3 (x1 , x2 ) x2 (x1 , x2 , x3) 1 1 0 1 x2 1 0 x1 0 1 x1 In het algemeen kan Rn opgevat worden als een n-dimensionale ruimte maar voor n > 3 kunnen we moeilijk tekeningen maken en laat onze dagdagelijkse visuele intuïtie ons een beetje in de steek. 3.1 Algebraïsche structuur van Rn Om te motiveren hoe we op een natuurlijke manier bewerkingen kunnen deﬁni- ëren in Rn , hernemen we even het voorbeeld uit de inleiding hierboven van de vraag naar dvd-lezers, opgesplitst in de vraag naar stand-alone dvd-spelers en de vraag naar dvd-drives. Veronderstel dat (q1 , q2 ) de vraag van vorige maand beschrijft en (q1 , q2 ) de vraag van deze maand. Als je de vraag van vorige maand en deze maand samen wilt beschouwen, moet je beide vragen ‘optellen’ en het is evident hoe je dat moet doen: (q1 , q2 ) + (q1 , q2 ) = (q1 + q1 , q2 + q2 ). Naast de optelling is er nog een andere bewerking zinvol. Veronderstel dat je wil uitdrukken dat de vraag (zowel naar spelers als naar drives) deze maand 7% groter is dan vorige maand, of m.a.w. dat de vraag deze maand 1,07 keer de vraag van vorige maand is. Het ligt andermaal voor de hand hoe je de vraag met 1,07 of, in het algemeen, met een getal λ ∈ R moet vermenigvuldigen: λ(q1 , q2 ) = (λq1 , λq2 ). Onderstaande deﬁnities voor de bewerkingen in Rn komen dus in elk geval niet zomaar uit de lucht gevallen. We deﬁniëren de optelling in Rn door (x1 , x2 ,... , xn ) + (y1 , y2 ,... , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ,... , xn + yn ). We kunnen de optelling gemakkelijk meetkundig interpreteren, bijvoorbeeld voor n = 2. 2.24 x2 + y2 6 (x1 + y1 , x2 + y2 ) y2 (y1 , y2 ) (x 1 , x2 ) x2 - (0, 0) y1 x1 x1 + y1 De punten (0, 0), (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) en (x1 + y1 , x2 + y2 ) vormen dus een paral- lellogram. De scalaire vermenigvuldiging met een getal λ ∈ R is gegeven door λ(x1 , x2 ,... , xn ) = (λx1 , λx2 ,... , λxn ). De bovengedeﬁnieerde bewerkingen voldoen aan een aantal evidente eigen- schappen. (1) ∀x, y, z ∈ Rn : x + (y + z) = (x + y) + z (2) ∀x ∈ Rn : x + 0 = 0 + x = x (waarbij 0 = (0, 0,... , 0)) (3) ∀x ∈ Rn : x + (−x) = 0 = (−x) + x (4) ∀x, y ∈ Rn : x + y = y + x (5) ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn : λ(x + y) = λx + λy (6) ∀λ, μ ∈ R, ∀x ∈ Rn : (λ + μ)x = λx + μx (7) ∀λ, μ ∈ R, ∀x ∈ Rn : (λμ)x = λ(μx) (8) ∀x ∈ Rn : 1x = x Men vat die ganse reeks eigenschappen samen door te zeggen dat Rn een vec- torruimte is over R. De elementen van Rn noemt men daarom ook vecto- ren. Nog wat terminologie: gegeven v1 , v2 ,... , vk ∈ Rn en λ1 , λ2 ,... , λk ∈ R, noemt men de uitdrukking λ1 v1 + λ2 v2 +... + λk vk een lineaire combinatie van de vectoren v1 , v2 ,... , vk met coëﬃciënten λ1 , λ2 ,... , λk. 3.2 Euclidische12 structuur van Rn Centraal in dit stukje staan de norm en het inproduct. Ze zullen ons toelaten de notie van afstand en hoek zin te geven in Rn. 12 Naar Euclides, Alexandrië (Egypte), ca. 315-235 voor Christus 2.25 3.2.1 Deﬁnitie Zij x = (x1 , x2 ,... , xn ) ∈ Rn. Dan deﬁniëren we x = x21 + x22 +... + x2n. We noemen x de norm van x. Indien x = 1, noemen we x genor- meerd (of een eenheidsvector). Merk op dat x = |x| als n = 1. Voor n = 2 en n = 3 vinden we dat de norm x correspondeert met wat we de gewone (euclidische) afstand van x tot 0 noemen. 6 x2 (x1 , x2 ) > x = - (0, 0) x1 3.2.2 Propositie (1) Als x = 0 voor een x ∈ Rn , dan is x = 0. (2) ∀x ∈ Rn , ∀λ ∈ R : λx = |λ| x (3) De norm voldoet aan de driehoeksongelijkheid, d.w.z. ∀x, y ∈ Rn : x + y ≤ x + y Bewijs : (1) en (2) zijn triviaal. We argumenteren enkel (3). Zij x = (x1 , x2 ,... , xn ) en y = (y1 , y2 ,... , yn ). Dan is voor elke λ ∈ R: 0 ≤ (x1 + λy1 )2 +... + (xn + λyn )2 = x21 + 2λx1 y1 + λ2 y12 +... + x2n + 2λxn yn + λ2 yn2 = x2 + λ2 y2 + 2λS met S = x1 y1 +... + xn yn. Als bovenstaande kwadratische uitdrukking in λ voor elke λ ∈ R positief moet zijn, moet de discriminant negatief (of nul) 2.26 zijn, dus S 2 − x2 y2 ≤ 0 of dus |S| ≤ x y. Nu is x + y2 = (x1 + y1 )2 +... + (xn + yn )2 = x2 + y2 + 2S ≤ x2 + y2 + 2|S| 2 ≤ x2 + y2 + 2x y = x + y , wat (3) bewijst. 3.2.3 Deﬁnitie Zij x, y ∈ Rn. De (euclidische) afstand tussen x en y wordt gedeﬁnieerd als x − y (= (x1 − y1 )2 +... + (xn − yn )2 ). Als n = 1, vinden we x − y = |x − y|. Voor n = 2 en n = 3 correspondeert deze notie van afstand met het gewone afstandsbegrip in het vlak en de ruimte. 6 x2 x HH Y 6 H H HH x − y |x2 − y2 | HH HH y2 ? HH j - y |x1 − y1 | - x1 y1 Merk nog op dat uit de driehoeksongelijkheid voor de norm volgt dat ∀x, y, z ∈ Rn : x − y ≤ x − z + z − y. Kan je nu de term ‘driehoek’ in het woord driehoeksongelijkheid motiveren? 3.2.4 Deﬁnitie Zij x = (x1 , x2 ,... , xn ), y = (y1 , y2 ,... , yn ) ∈ Rn. We deﬁniëren het inproduct (of scalair product) van x met y door x, y = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn. Een andere notatie voor het scalair product is x·y. Merk op dat x2 = x, x. Volgende eigenschappen zijn heel gemakkelijk te bewijzen. 2.27 3.2.5 Propositie (1) ·, · is bilineair, d.w.z. λx + μy, z = λx, z + μy, z, ∀λ, μ ∈ R, ∀x, y, z, ∈ Rn : x, λy + μz = λx, y + μx, z. (2) ·, · is symmetrisch, d.w.z. ∀x, y ∈ Rn : x, y = y, x. (3) ·, · is positief definiet, d.w.z. ∀x ∈ Rn : x, x ≥ 0 en als x, x = 0, dan is x = 0. 3.2.6 Cauchy13 -Schwarz14 -ongelijkheid Voor alle x, y ∈ Rn is x, y ≤ x y. Bewijs : Dit hebben we in feite reeds aangetoond terwijl we Propositie 3.2.2 bewezen. 3.2.7 Betekenis van het inproduct Beschouw x, y ∈ Rn met x = 0 = y. x Q k Q Q Q Q x − y Q x Q Q Q Q Qs : y θ y 9 0 15 De cosinusregel uit de driehoeksmeetkunde leert ons dat x − y2 = x2 + y2 − 2x y cos θ. 13 Augustin Louis Cauchy, Frans wiskundige, 1789-1857 14 Hermann Amandus Schwarz, Duits wiskundige, 1843-1921 15 De cosinusfunctie die hier gebruikt worden, behandelen we in Module “Belangrijke functies” van het deel Analyse. 2.28 Anderzijds is x − y2 = x − y, x − y = x, x − y, x − x, y + y, y = x2 + y2 − 2x, y. Bijgevolg is x, y = x y cos θ, of dus x y x , y = cos θ. x, y < 0 x, y = 0 x, y > 0 x x x AA DD A D A D D.....................θ = π π π A........................ θ > 2 y 2 y θ <............ 2 y A... D... .. 0 0 0 3.2.8 Deﬁnitie Zij x, y ∈ Rn. We noemen x en y orthogonaal (notatie: x ⊥ y) als x, y = 0. Elk paar vectoren ei en ej (met i = j) uit de standaardbasis van Rn zijn bijvoorbeeld orthogonaal. 3.3 Topologische structuur van Rn Topologie heeft te maken met “omgevingen van punten”. We hebben hiervan enkel maar wat elementaire basisbegrippen nodig. Eerst voeren we de noties open en gesloten in. We zagen die concepten reeds in de context van R (cf. 2.3.3) maar veralgemenen dit nu tot Rn. In dit handboek spelen de noties open en gesloten weliswaar een eerder bescheiden rol. Maar we zien ze verschijnen in de formulering van de voorwaarden van sommige belangrijke stellingen. We moeten er dus wel een minimaal begrip van hebben. We beginnen met de notie van “open interval rond een punt van R” te veral- gemenen naar Rn. 2.29 3.3.1 Deﬁnitie Zij x ∈ Rn en r ∈ R+ 0. De open bol met middelpunt x en straal r wordt genoteerd en gedeﬁnieerd door B(x, r) = y ∈ Rn ||y − x < r. Voor n = 1, dus in R, is B(x, r) = ]x − r, x + r[. Voor n = 2, dus in R2 , is B(x, r) een cirkelschijf met middelpunt x en straal r zonder de “rand”. Voor n = 3, dus in R3 , is B(x, r) een gewone bol met middelpunt x en straal r zonder de “rand”. 3.3.2 Deﬁnitie Zij A ⊆ Rn. We noemen A open als rond elk punt x van A een open bol bestaat met x als middelpunt die volledig in A ligt, dus als ∀x ∈ A, ∃r > 0 : B(x, r) ⊆ A. We noemen A gesloten als Rn \ A open is. Ruwweg kunnen we ons een open verzameling voorstellen als een verzameling die geen “rand” heeft; eengesloten verzameling kan wel een “rand” hebben. Zo is de verzameling A = (x1 , x2 ) ∈ R2 |x1 | < 1 en |x2 | < 1 bijvoorbeeld een open deel van R2 omdat we rond elk punt van A een open cirkelschijfje kunnen vinden dat helemaal in A ligt. 16 - −1 1 −1 Hier past dezelfde opmerking die we al in de context van R maakten: ‘open’ en ‘gesloten’ zijn geen complementaire begrippen. Er zijn verzamelingen die noch open, noch gesloten zijn, en er bestaan verzamelingen die zowel open als gesloten zijn. 2.30 3.4 Opdrachten 1. Beschouw de elementen x = (1, 1) en y = (3, 4) in R2. Zoek λ, μ ∈ R z

Wiskunde voor Economen (T)EW-deel1_ PDF

Document Details

Tags

Related

Summary

Full Transcript

Upgrade to continue