BME VIK Valószínűségszámítás és Statisztika Past Paper 2023 PDF

BME VIK - Valószínűségszámítás és statisztika 2023. október Ismétlő feladatok Zárthelyi dolgozatra készüléshez 1. Legyenek az A és B független  C pedig mindke...

BME VIK - Valószínűségszámítás és statisztika 2023. október Ismétlő feladatok Zárthelyi dolgozatra készüléshez 1. Legyenek az A és B független  C pedig mindkettőjüket kizáró esemény. Tegyük fel, hogy  események, P(A) = P(B) = P(C) = 13. P A ∩ B ∪ C =? 2. Egy tesztelés alatt lévő gyártóeszközről kiderül, hogy a vizsgált gyártmány 0,15 valószínűséggel anyag- hibás, 0,3 valószínűséggel mérethibás, és 0,2 valószínűséggel felületi hibás. A hibák páronként függet- lenek, de együttesen nem: 0,02 valószínűséggel egyszerre következik be mindhárom hibatípus. Mennyi a valószínűsége, hogy egy termék hibátlan? 3. Két urna közül az egyikben 5 zöld és 7 kék, a másikban 3 zöld és 8 kék golyó van. Az elsőből talá- lomra átrakunk kettőt a másodikba, majd onnan átteszünk egyet az elsőbe. Mi az esélyünk kék golyó húzására, ha a) az első b) a második urnából húzunk? 4. A vizsgázók 75%-a A szakos, 15%-a B szakos, és 10%-a C szakos. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy egy hallgató ötöst kap, az A szakosok esetében 0,4, a B szakosoknál 0,7, és a C szakosoknál 0,6. Ha egy személyről tudjuk, hogy ötösre vizsgázott, akkor milyen valószínűséggel lehet a) A, b) B, c) C szakos? 5. Aladár és Béla a következő játékot játsszák: mindketten dobnak egy-egy dobókockával, és ha egyikőjük legalább kétszer akkorát dob, mint a másik, akkor a vesztes kifizeti a dobott számok összegének háromszorosát a nyertesnek (egyébként döntetlen). Mennyi Aladár nyereményének várható értéke? 6. Válasszunk ki egy pontot véletlenszerűen az egységnégyzetben. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a pont közelebb van a négyzet egy oldalához, mint egy átlójához? 7. Tekintsük azt az f valós függvényt, amire f (x) = α · x4 , ha x ∈ (2, 3), és 0 egyébként. Milyen α para- méterérték mellett lesz ez sűrűségfüggvény? Adja meg ebben az esetben a megfelelő eloszlásfüggvényt. Jelölje X a sűrűségfüggvényhez tartozó valószínűségi változót. Mennyi P(X > 12) illetve E(X)? 8. Legyen Y olyan valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye valamilyen α ∈ R esetén ( α (1+x)2 ha − 5 < x < −2, fY : x 7→ 0 egyébként. Határozzuk meg a P(−4 < Y < −3) valószínűséget. (2019, pótZH) 9. Egy kosárba próbálunk bedobni egy papírgalacsint. A találat valószínűsége minden próbálkozásnál 0,2 (a többi próbálkozástól függetlenül). Mennyi a szükséges próbálkozások átlagos száma? Ha az első találat után tovább próbálkozunk, várhatóan hányadik dobásra találunk be másodszor? 10. A márkaszervizbe a tulajdonosok időnként betelefonálnak a kérdéseikkel (egymástól függetlenül, egy- forma valószínűséggel). Annak a valószínűsége, hogy egy óra alatt nem történik hívás, 25%. a) Várhatóan hány hívás érkezik 3 óra alatt? b) Mi annak a valószínűsége, hogy 8 órából legalább 2-ben legfeljebb 1 hívás érkezik be? 11. Egy városban az utakon 25% az olyan napok aránya, amikor egyetlen baleset sem történik. Renge- teg autó közlekedik, nagyságrendileg minden nap ugyanannyi, és minden autó egymástól független, egyforma valószínűséggel okoz balesetet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a jövő héten pontosan 2 napon lesz 1-nél több baleset? 12. Egy réten nagyon sok 10 dekagrammos egér él: annak a valószínűsége, hogy pontosan egy egér van ott, 2e−2. Egy macska kimegy egerészni a rétre és az ott lévő összes egeret megfogja. Hány dekagramm az általa fogott egerek összsúlyának szórása? BME VIK - Valószínűségszámítás és statisztika 2023. október 13. Egy mezőn előforduló, véletlenszerűen választott nyúl kilogrammban mért X testtömegének eloszlás- függvénye     0, ha x < 2, (x − 2)2  FX (x) = , ha 2 ≤ x ≤ 10,    64  1, ha x > 10. Határozzuk meg X sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórásnégyzetét. 14. Egy okostelefonon 2 játékalkalmazás és 3 közösségi média alkalmazás van. A telefon operációs rendszere először véletlenszerűen kiválaszt az öt alkalmazásból egyet, amit frissít, majd ha ez egy közösségi média alkalmazás volt, akkor a maradék négyből kiválaszt még egyet véletlenszerűen, amit frissít, ha pedig játékalkalmazás volt, akkor a három közösségi média alkalmazás közül választ ki egyet, amit szintén frissít. Jelölje X a frissített játékalkalmazások és Y a frissített közösségi média alkalmazások számát. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását és peremeloszlásait, továbbá D2 (Y )-t és E(XY )-t. Független-e X és Y ? 15. Lajoska nagyon szereti a villamosokat, ezért a nyári szünet egy szép napján kimegy a Határ útra és megfigyel 3 db egymás után közlekedő 3-as villamost. Tegyük fel, hogy a villamosok egymástól függetlenül 70% valószínűséggel CAF és 30% valószínűséggel hannoveri típusúak. Jelölje X a Lajoska által megfigyelt CAF és Y az általa megfigyelt hannoveri villamosok számát. (a) Milyen eloszlású Y és milyen paraméterekkel? (b) Határozzuk meg D2 (X)-et és D2 (Y )-t. (c) Adjuk meg X és Y együttes eloszlását. Megjegyzés: Ha úgy könnyebb, (a)-t és (b)-t (c) után is megoldhatjuk. (d) Határozzuk meg E(XY )-t. (e) Független-e X és Y ?