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# UNIDAD 4: ÁLGEBRA ## 4.1. Expresiones algebraicas ### 4.1.1. Conceptos básicos - **Expresión algebraica:** combinación de números y letras (variables) unidas por operaciones aritméticas. - **Término algebraico:** cada sumando de una expresión algebraica. - **Consta de:** - **Coefici...

# UNIDAD 4: ÁLGEBRA ## 4.1. Expresiones algebraicas ### 4.1.1. Conceptos básicos - **Expresión algebraica:** combinación de números y letras (variables) unidas por operaciones aritméticas. - **Término algebraico:** cada sumando de una expresión algebraica. - **Consta de:** - **Coeficiente:** factor numérico. - **Parte literal:** letras con sus exponentes. - **Valor numérico:** resultado de sustituir las letras por números y operar. **Ejemplo:** $3x^2 - 5x + 2$ * Expresión algebraica * Términos: $3x^2, -5x, 2$ * Coeficientes: $3, -5, 2$ * Partes literales: $x^2, x$ * Valor numérico para $x = 1$: $3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0$ ### 4.1.2. Clasificación de expresiones algebraicas * **Monomio:** un solo término. * Ejemplo: $5x^3$ * **Polinomio:** dos o más términos. * **Binomio:** dos términos. * Ejemplo: $2x + 3$ * **Trinomio:** tres términos. * Ejemplo: $x^2 - 4x + 1$ ### 4.1.3. Monomios semejantes * Monomios con la misma parte literal. * Se pueden sumar o restar: se suman/restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. **Ejemplo:** $2x^2 + 5x^2 = (2+5)x^2 = 7x^2$ ## 4.2. Operaciones con polinomios ### 4.2.1. Suma y resta * Se suman o restan los términos semejantes. **Ejemplo:** $(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 5x - 3) = (3+1)x^2 + (-2+5)x + (1-3) = 4x^2 + 3x - 2$ ### 4.2.2. Multiplicación * Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro. * Se suman los exponentes de las partes literales iguales. **Ejemplo:** $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$ ### 4.2.3. División * Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. * Se multiplica el resultado por el divisor y se resta al dividendo. * Se repite el proceso hasta que el grado del resto sea menor que el del divisor. **Ejemplo:** $(x^2 - 5x + 6) : (x - 2)$ ``` x - 3 x - 2 | x^2 - 5x + 6 - (x^2 - 2x) ----------- -3x + 6 -(-3x + 6) ----------- 0 ``` * Cociente: $x - 3$ * Resto: $0$ ## 4.3. Productos notables ### 4.3.1. Cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ **Ejemplo:** $(x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ ### 4.3.2. Cuadrado de una diferencia $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ **Ejemplo:** $(x - 2)^2 = x^2 - 2(x)(2) + 2^2 = x^2 - 4x + 4$ ### 4.3.3. Suma por diferencia $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ **Ejemplo:** $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$ ### 4.3.4. Cubo de una suma $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ **Ejemplo:** $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ ### 4.3.5. Cubo de una diferencia $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ **Ejemplo:** $(x - 2)^3 = x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ ## 4.4. Factorización ### 4.4.1. Factor común * Se busca el factor que se repite en todos los términos. * Se divide cada término por el factor común y se escribe el resultado dentro de un paréntesis. **Ejemplo:** $6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)$ ### 4.4.2. Diferencia de cuadrados $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ **Ejemplo:** $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$ ### 4.4.3. Trinomio cuadrado perfecto $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ **Ejemplo:** $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ ### 4.4.4. Trinomio de la forma $x^2 + bx + c$ * Se buscan dos números que sumados den $b$ y multiplicados den $c$. **Ejemplo:** $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ ### 4.4.5. Trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$ * Se buscan dos números que multiplicados den $ac$ y sumados den $b$. **Ejemplo:** $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$ ## 4.5. Fracciones algebraicas ### 4.5.1. Simplificación * Se factorizan el numerador y el denominador. * Se simplifican los factores comunes. **Ejemplo:** $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2}$ ### 4.5.2. Operaciones * **Suma y resta:** se busca un denominador común y se suman o restan los numeradores. * **Multiplicación:** se multiplican los numeradores y los denominadores. * **División:** se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. **Ejemplo:** $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{(x+1) + 2x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x^2+x}$