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# Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ## Chapitre 1: Systèmes d'équations linéaires ### 1.1 Introduction Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ est un ensemble d'équations de la forme: $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} &a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a...

# Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ## Chapitre 1: Systèmes d'équations linéaires ### 1.1 Introduction Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues $x_1, x_2,..., x_n$ est un ensemble d'équations de la forme: $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} &a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \\ &a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \\ &... \\ &a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{aligned} \end{cases}$ où les coefficients $a_{ij}$ et les constantes $b_i$ sont des nombres réels (ou complexes). Une solution du système est un n-uplet $(x_1, x_2,..., x_n)$ de nombres réels (ou complexes) qui satisfait toutes les équations du système. Résoudre un système, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions. #### Exemples: 1. Le système $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} &x + y = 3 \\ &x - y = 1 \end{aligned} \end{cases}$ a une solution unique: $(x, y) = (2, 1)$. 2. Le système $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} &x + y = 1 \\ &2x + 2y = 2 \end{aligned} \end{cases}$ a une infinité de solutions: $(x, y) = (t, 1-t)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. 3. Le système $\qquad \begin{cases} \begin{aligned} &x + y = 1 \\ &x + y = 2 \end{aligned} \end{cases}$ n'a aucune solution. Un système est dit *compatible* s'il admet au moins une solution. Un système est dit *incompatible* s'il n'admet aucune solution. Un système compatible est dit *déterminé* s'il admet une solution unique. Un système compatible est dit *indéterminé* s'il admet une infinité de solutions. Deux systèmes sont dits *équivalents* s'ils ont le même ensemble de solutions. L'objectif de ce chapitre est de développer des méthodes systématiques pour résoudre les systèmes d'équations linéaires.