Tweedegraadsvergelijkingen oplossen 24_25 (1) PDF

Wiskunde W4TEW - 4NAWE 2023 - 2024 Tweedegraadsfuncties 1. Wat ken/kan je al? Een eerstegraadsvergelijking in de onbekende x is een vergelijking van de vorm ax + b = 0. Hierin stellen a en b reële getallen voor en is a , 0....

Wiskunde W4TEW - 4NAWE 2023 - 2024 Tweedegraadsfuncties 1. Wat ken/kan je al? Een eerstegraadsvergelijking in de onbekende x is een vergelijking van de vorm ax + b = 0. Hierin stellen a en b reële getallen voor en is a , 0. Een eerstegraadvergelijking kan je op twee manieren oplossen: 1 algebraïsch: door gebruik te maken van de eigenschappen van gelijkheden. 2 grafisch: door het snijpunt te bepalen van de grafieken van twee functies. De merkwaardige producten 1 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2 (A − B)2 = A2 − 2AB + B2 3 (A + B)(A − B) = A2 − B2 Een eerstegraadsongelijkheid in de onbekende x is een ongelijkheid van de vorm ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 of ax + b ≥ 0. Hierin stellen a en b reële getallen voor en is a , 0. Een eerstegraadsongelijkheid kan je op meerdere manieren oplossen: 1 algebraïsch: door gebruik te maken van de eigenschappen van ongelijkheden. 2 grafisch: door beide leden grafisch voor te stellen en het gevraagde deel af te lezen uit de grafiek. 3 met behulp van een tekenverloop: breng alle termen naar een lid en stel een tekenverloop op van de eerstegraadsfunctie die je verkrijgt. Lees de oplossingen- verzameling af. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 1/8 2. Tweedegraadsvergelijkingen Definitie Een tweedegraadsvergelijking, vergelijking van de tweede graad of vierkantsvergelijking (VKV) met één onbekende is een vergelijking die je kan herlei- den naar de standaardvorm ax2 + bx + c = 0. Hierin stellen a, b en c reële getallen voor en is a , 0. De oplossingen van ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R, a , 0) zijn de nulwaarden van de functie f (x) = ax2 + bx + c. Gevolg: een VKV heeft 0, 1 of 2 oplossingen. Deze oplossingen worden ook wortels genoemd. Zie ook boek p 154. 2.1 Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen Grafisch Zie boek p 155. VKV oplossen door ontbinden in factoren Definitie Een som of verschil ontbinden in factoren betekent dat je deze som of ver- schil schrijft als een product. Methode? 1 Gemeenschappelijke factor afzonderen. vb: 3x2 − 9x = 3x. (x − 3) 2 Merkwaardige producten gebruiken. a) A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 b) A2 − 2AB + B2 = (A − B)2 c) A2 − B2 = (A + B)(A − B) Stelling Een product is gelijk aan 0 als (minstens) één van de factoren gelijk is aan 0. In symbolen: A. B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0 J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 2/8 BELANGRIJK! Haal het ontbinden in factoren (= schrijf als een product) en het oplossen van een vergelijking (zoek de onbekende) niet door elkaar! Definitie Een tweedegraadsvergelijking ax2 + bx + c = 0 waarbij b = 0 of c = 0 of b = c = 0 noemen we een onvolledige VKV. Om onvolledige VKV op te lossen zullen we gebruik maken van ontbinden in factoren zodat we kunnen steunen op eerder genoemde stelling (A. B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0) om tot een oplossing te komen. Opmerking: als b = c = 0, dan is de vergelijking van de vorm ax2 = 0 en deze heeft als { } oplossingenverzameling V = 0. Zie boek p 156 - 158. VKV oplossen met discriminant Gegeven: de vergelijking ax2 + bx + c = 0 met a , 0. Gevraagd: formules voor de wortels van deze vergelijking (als die er zijn) Oplossing: ax2 + bx + c = 0 ⇔ 4a. (ax2 + bx + c) = 4a. 0 (beide leden vermenigvuldigen met 4a) ⇔ 4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0 (distributiviteit) ⇔ (2ax)2 + 2. 2ax. b + 4ac = 0 ⇔ (2ax)2 + 2. 2ax. b + b2 − b2 + 4ac = 0 (eerste twee termen aanvullen tot merkw. product) ⇔ (2ax + b)2 − b2 + 4ac = 0 (merkwaardig product) ⇔ (2ax + b)2 = b2 − 4ac Het linkerlid van deze vergelijking is positief. Het rechterlid is positief als b2 − 4ac positief is. Het aantal oplossingen van de vierkantsvergelijking ax2 + bx + c = 0 hangt dus af van het teken van het getal b2 − 4ac. Dit getal noemen we de discriminant van de vierkants- vergelijking en stellen we voor door D. De vergelijking wordt:(2ax + b)2 = D We onderscheiden drie gevallen. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 3/8  1 D>0 De vergelijking (2ax + b)2 = D heeft twee verschillende reële wortels. (2ax + b)2 = D √ √ ⇔ 2ax + b = D of 2ax + b = − D √ √ ⇔ 2ax = −b + D of 2ax = −b − D √ √ −b + D −b − D ⇔x= of x= 2a 2a 2 D=0 De vergelijking (2ax + b)2 = D heeft één reële wortel (of twee gelijke). (2ax + b)2 = 0 ⇔ 2ax + b = 0 ⇔ 2ax = −b −b ⇔x= 2a 3 D 0 dan zijn de oplossingen x1 = en x2 =. We vinden voor S en P: 2a 2a √ √ −b − D −b + D S = x1 + x2 = + 2a 2a −2b = 2a −2
b = (Vereenvoudigen) 2
a b =− a √ √ −b − D −b + D P = x1. x2 =. 2a √ 2a√ (−b − D)(−b + D) = 4a2 (−b) − D 2 = (Merkwaardig product) 4a2 b2 − (b2 − 4ac) = (D = b2 − 4ac) 4a2 4ac = 2 4a  4ac = (Vereenvoudigen) 4
a
2 c = a Zie ook boek p 163- 164. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 5/8 Ontbinden van een drieterm van de tweede graad Eigenschap Als x1 en x2 de wortels zijn van ax2 + bx + c = 0, dan is ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). Bewijs: We moeten alleen het geval D ≥ 0 behandelen. Immers, als D < 0 zijn x1 en x2 niet reëel en bijgevolg kunnen we de veelterm dan niet ontbinden in R. In het geval D > 0 vinden we: ( ) a(x − x1 )(x − x2 ) = a x2 − x2 x − x1 x + x1 x2 ( ) = a x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 ( ) ( b) c =a x − − x+ 2 a a ( b c ) = a x2 + x + a a = ax2 + bx + c Als D = 0, dan heeft de vergelijking ax2 + bx + c = 0 een dubbele wortel (x1 = x2 ) en is ax2 + bx + c = a(x − x1 )2. □ Voorbeeld 6x2 + 5x − 4 ontbinden in factoren. 4 1 1 Bepaal de wortels van 6x2 + 5x − 4 = 0. Deze zijn − en (reken na!). 3 2 2 Ontbind: ( )( ) ( 4) 1 6x + 5x − 4 = 6 x − − 2 x− 3 2 ( ) ( ) 4 1 =3 x+ 2 x− 3 2 = (3x + 4)(2x − 1) J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 6/8 3. Tweedegraadsongelijkheden Definitie Een tweedegraadsongelijkheid of ongelijkheid van de tweede graad in één onbekende x is een ongelijkheid van de vorm ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 of ax2 + bx + c ≥ 0. Hierin stellen a en b reële getallen voor en is a , 0. De oplossingenverzameling bestaat uit alle reële getallen die voldoen aan de ongelijkheid. Een tweedegraadsongelijkheid kan je op twee manieren oplossen: 1 grafisch: door de onderlinge ligging van twee grafieken te bekijken en de oplossingen- verzameling hieruit af te lezen. Zie ook boek p 169- 170. 2 met behulp van een tekenverloop. Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie Om een tekenverloop van een functie op te stellen, moet je altijd eerst de nulwaarden van de functie bepalen en de waarden zoeken waar de functie niet bestaat. In het geval van een tweedegraadsfunctie is het domein steeds gelijk aan R en bestaat de functie dus voor alle reële getallen. Voor het opstellen van een tekenverloop van een tweedegraadsfunctie kunnen we ons bijgevolg beperken tot het bepalen van de nulwaarden. Afhankelijk van het teken van de discriminant zijn er twee (D > 0), een (D = 0) of geen (D < 0) nulwaarden. Merk op dat uit het opstellen van de formules voor discriminant en de oplossingen ook volgt dat wanneer D = 0 de twee oplossingen gelijk zijn. We zeggen dat de oplossing multipliciteit twee heeft of dat de oplossing een dubbele nulwaarde is. Het tekenverloop zal verder nog afhangen van het teken van a (dalparabool of bergpa- rabool). Opstellen tekentabel tweedegraadsfunctie 1 Zoek de nulwaarden van de functie. Dit betekent: los de vergelijking f (x) op. 2 Onderzoek of je te maken hebt met een dal- of bergparabool. Dit betekent: kijk naar het teken van a. J. Uyttersprot - M. Luyckx - T. Wauters Wiskunde 7/8  3 Noteer het teken van a helemaal rechts onderaan in je tekenverloop en doorloop van rechts naar links. Telkens wanneer je een ’0’ tegenkomt, verander je van teken TENZIJ deze ’0’ afkomstig is van een nulwaarde met een even multipliciteit (in het geval van tweedegraadsfuncties: multipliciteit twee). In dit geval verander je niet van teken. Voor een tweedegraadsfunctie f (x) = ax2 + bx + c onderscheiden we zo drie gevallen: 1 D>0 x x1 x2 tegengesteld teken teken f (x) 0 teken 0 van a van a van a 2 D=0 x x1 = x2 teken teken f (x) 0 0 van a van a 3 D