Theorieheft_241009_124723 Quadratwurzeln PDF

# 1 Quadratwurzeln ## 1.1 Grundlagen Das Quadrat eines Wertes, *a* entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge *a*. $A = a^2$ Hat man nur *A* gegeben, so erhält man *a* durch "Radizieren" (Wurzel ziehen) **Definition** Die Quadratwurzel einer Zahl *r* ist diejenige positive Zahl...

# 1 Quadratwurzeln ## 1.1 Grundlagen Das Quadrat eines Wertes, *a* entspricht dem Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge *a*. $A = a^2$ Hat man nur *A* gegeben, so erhält man *a* durch "Radizieren" (Wurzel ziehen) **Definition** Die Quadratwurzel einer Zahl *r* ist diejenige positive Zahl *s*, welche mit sich selbst multipliziert *r* ergibt: $s = \sqrt{r}$ *r* heißt dann Radikand. ## 1.2 Reelle Zahlen Die Diagonale in einem Quadrat mit Seitenlänge 1 beträgt $\sqrt{2}$. Ist das eine rationale Zahl? $1^2 + 1^2 = 2$ Sei $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ mit *p*,*q* ∈ℕ und teilerfremd. Dann ist $(\frac{p}{q})^2 = 2 = \frac{p^2}{q^2}$. ⇒ $p^2 = 2q^2$ ⇒ *p*² ist gerade ⇒ *p*² = 2*r* (*r* ist "Restfaktor") ⇒ *p* = 2*r* ⇒ *p*² = (2*r)² = 4*r² ⇒ $q^2 = 2*r^2$ ⇒ *q* gerade. *p* und *q* sollten allerdings teilerfremd sein, das ist ein Widerspruch! ⇒ $\sqrt{2}$ ist keine rationale Zahl! **Definition:** Zahlen, die man auf der Zahlengeraden darstellen, aber nicht als Bruch schreiben kann, heißen irrational. Mit den rationalen Zahlen bilden sie die Menge der reellen Zahlen ℝ. Zu ℝ\ℚ (irrationale Zahlen) zählen z.B. $\sqrt{2}$; √3; √5 ... Auch π ist eine irrationale, aber reelle Zahl ## 1.3 Der Heron-Algorithmus **Grundgedanke:** Man wählt ein Rechteck mit Flächeninhalt *a*. Dieses Rechteck wandelt man nach dem Heron-Verfahren schrittweise in inhaltsgleiche Rechtecke um, die einem Quadrat immer näher kommen. Da das Produkt der Seitenlängen der Rechtecke jeweils *a* ist, stellen die Seitenlängen immer besser werdende Näherungswerte von √*a* dar. **Näherungswerte für √*a*, *a*₀ nach Heron:** 1. Schritt: Für das 1. Rechteck wähle *x*₁ beliebig und berechne $y₁ = \frac{a}{x₁}$. 2. Schritt: Das 2. Rechteck hat als Seitenlängen *x*₂ den Mittelwert aus *x*₁ und *y*₁. So: $x₂ = \frac{x₁ + y₁}{2}$ , $y₂ = \frac{a}{x₂}$ ... (*n+1*)-ter Schritt: Das (*n+1*)-te Rechteck hat als Seitenlänge *x*_*n+1* den Mittelwert aus *x*_*n* und *y*_*n*. So: $x_{n+1} = \frac{x_n + y_n}{2}$ , $y_{n+1} = \frac{a}{x_{n+1}}$ Für die Ermittlung immer genauerer Näherungswerte für √*a* genügt es, nur die Werte des Seitenlängen *x*_*n* zu betrachten. **Merke:** Mit dem Heron-Algorithmus lassen sich Näherungswerte für √*a*, *a*₀ berechnen. Mit einem Startwert *x*₁₀ erhält man die folgenden Werte: $x₂ = \frac{1}{2}(x₁ + \frac{a}{x₁})$, $x₃ = \frac{1}{2}(x₂ + \frac{a}{x₂})$ ... $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$ for *n* ∈ℕ Mit wachsendem *n* nähert sich der Wert von *x*_*n* dem Wert von √*a* immer mehr an. | Schritt | Seitenlänge *x*_*n* | Seitenlänge *y*_*n* | |---|---|---| | 1 | *x*₁ | $y_1 = \frac{a}{x_1}$ | | 2 | $x₂ = \frac{1}{2}(x_1 + \frac{a}{x_1})$ | $y₂ = \frac{a}{x₂}$ | | ... | ... | ... | | *n* | $x_n = \frac{1}{2}(x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}})$ | $y_n = \frac{a}{x_n}$ | | *n+1* | $x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$ | $y_{n+1} = \frac{a}{x_{n+1}}$ | ## 1.4 Rechenregeln für Quadratwurzeln (*a*b)² = *a*²*b*², aber (*a*+*b*)² ≠ *a*² + *b*²! Daraus folgt auch: √(*a*b) = √*a* ∙ √*b* √(*a*/b) = √*a* / √*b* Es gilt aber nicht: √(*a*+*b*) = √*a* + √*b*! **Teilweises Radizieren** Mit obiger Rechenregel folgt: √48 = √16∙3 = √16 ∙ √3 = 4 ∙ √3 = 4√3 Diese Schreibweise heißt teilweise radizieren. **Rationalmachen des Nenners** Ist der Nenner eines Bruches eine Wurzel, so wird er durch Erweitern mit sich selbst rational: $\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ × $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ## Binomische Formeln unter der Wurzel √(*p*² - 2*p*q + *q*²) = √(*p* - *q*²) = |*p* - *q*| **Betrag nicht vergessen!!**