Thales Théorème Cours 2023 PDF

06 Thalès Le théorème de Thalès 1)Énoncé du théorème Propriété Théorème de Thalès Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. AM AN MN Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, al...

06 Thalès Le théorème de Thalès 1)Énoncé du théorème Propriété Théorème de Thalès Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. AM AN MN Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors = =. AB AC BC Voici les 3 configurations de Thalès « classiques » : Dans toutes les configurations de Thalès, on retrouve des triangles aux côtés parallèles et dont les longueurs sont proportionnelles. AM AN Remarque : Cette propriété permet d’affirmer que si ≠ , alors (BC) et AB AC (MN) ne sont pas parallèles. 2)Applications 1 Calculer une longueur Sur la figure suivante, IK = 9 cm, IJ =10 cm, KL = 5,4 cm, KM = 1,8 cm et (IJ)//(LM). Calculer LM et KJ. ème 3 1 Les droites (IL) et (JM) sont sécantes en K ; KM KL LM Et : (IJ)//(LM), donc d’après le théorème de Thalès, on a : = = KJ KI JI 1,8 5, 4 LM Donc : = = KJ 9 10 9×1, 8 10×5,4 D'où : KJ = = 3 cm. Et : LM = = 6 cm. 5,4 9 2 Démontrer que des droites ne sont pas parallèles. Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, on donne : EF= 3 cm ; FH = 4,1 cm ; EI = 10 cm ; EH = 4 cm et EG = 7 cm. Montrer que les droites (FH) et (GI) ne sont pas parallèles. Les droites (FG) et (HI) se coupent en E. EH 4 D’une part : = =0, 4 EI 10 EH EF Donc : ≠ EF 3 EI EG D’autre part: = ≈0, 43 EG 7 Si (FH) et (GI) étaient parallèles, d’après le théorème de Thalès, EH EF on aurait : = EI EG Cette égalité n’est pas vérifiée. Donc les droites (FH) et (GI) ne sont pas parallèles. Réciproque du théorème de Thalès Propriété Soient (BM) et (CN) deux droites sécantes en A. AM AN Si = et si les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés AB AC dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. ème 3 2 Exemple d’utilisation : Sur cette figure qui n’est pas faite en vraie grandeur, on a les longueurs suivantes : OB = 4 cm ; DB = 1 cm ; OE = 6 cm et EF = 1,5 cm. Montrer que les droites (BE) et (FD) sont parallèles. Les droites (EF) et (BD) sont sécantes en O. OE 6 6 D’une part : = = =0, 8 OF 6+1, 5 7, 5 OE OB Donc : = OB 4 4 OF OD D’autre part: = = =0 ,8 OD 4+1 5 De plus, les points O, E, F et les points O, B, D sont alignés dans le même ordre. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EB) et (FD) sont parallèles. ème 3 3