Eesti Füüsikaolümpiaadi Ülesanded 2005-2018

EESTI FÜÜSIKAOLÜMPIAADI ÜLESANDED AASTATEST 2005 – 2018 koos vihjete ja lahendustega Koostas Taavet Kalda 2020 Sisukord Sissejuhatus...

EESTI FÜÜSIKAOLÜMPIAADI ÜLESANDED AASTATEST 2005 – 2018 koos vihjete ja lahendustega Koostas Taavet Kalda 2020 Sisukord Sissejuhatus 2 Ülesanded 3 Teema....................................... 3 Staatika...................................... 7 Kinemaatika................................... 16 Dünaamika.................................... 27 Taevamehaanika................................ 49 Gaasid...................................... 52 Vedelike mehaanika.............................. 60 Termodünaamika................................ 66 Elektrostaatika.................................. 79 Elektriahelad................................... 87 Magnetism.................................... 103 Geomeetriline optika.............................. 109 Varia....................................... 127 Laineoptika................................... 133 Vihjed 134 Lahendused 172 1 Sissejuhatus Siia on koondatud 400 gümnaasiumi ülesannet Eesti füüsikaolümpiaadi piirkon‐ navoorudest, lõppvoorudest ja lahtistest võistlustest. Igale ülesandele on juurde kirjutatud paarilauseline vihje. Juhul kui õpilane jääb ülesannet lahendades top‐ pama, on tal võimalik vihjet lugeda ning teisele katsele minna. Ülesanded on jaotatud teemade kaupa ning teemasiseselt raskuse järgi. Ras‐ kustaset tähistatakse kuni viie tärniga. Ülesannete lihtsamaks otsimiseks on üles‐ annete numbrite ette pandud „Ü“, vihjete ette „V“ ja lahenduste ette „L“. Näiteks ülesande 133 teksti number on kujul Ü133. Iga ülesande juures on kirjas ka selle autor ning olümpiaadi vooru lühinimetus, lisaks lühendid P 1, G 1 jne, kus tähed tähistavad põhikooli‐ ja gümnaasiumiastet. Näiteks G 9 viitab gümnaasiumiastme 9. ülesandele. 2  Ülesanded Teema Ü1 Jahipüss Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 1 Jahipüss massiga M = 3,5 kg ripub horisontaalselt kahe paralleelse niidi otsas. Tulistamisel kerkis jahipüss h = 20 cm võrra tagasilöögi tõttu. Kuuli mass m = 10 g. Määrata kuuli kiirus v0 torust väljalennu hetkel. Ü2 Veepark Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 2 Veepargis on punane ja roheline liumägi. Joonisel on näidatud nende profiilid. Mari alustab punaselt liumäelt laskumist algkiiruseta, Juri aga lasküb roheliselt mäelt algkiirusega v0 = 1 m/s. Kumma kiirus on laskumise lõpuks suurem ja mitu korda, kui Jüri kaalub mj = 70 kg ja Mari mm = 60 kg? Võib eeldada, et laskumise ajal mõjub neile mõlemale konstantne takistusjõud F = 20 N. Ü3 Kaitsmed Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 3 Rööpselt on lülitatud kaks sulavkaitset voolule IM max = 1 A ja IN max = 1,2 A takistustega vastavalt RM = 1 Ω ja RN = 2 Ω. Milline maksimaalne vool vôib taolist süsteemi läbida? Milline oleks maksimaalne vool kui IN max = 1,7 A? Ü4 Mootorratas Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 4 Inimene massiga m1 = 75 kg sõidab mootorrattaga, mille mass on m2 = 150 kg. Mootorratturi ja mootorratta ühine masskese asub kõrgusel h = 0,6 m maapinnast ja horisontaalsihis kaugusel l = 0,5 m tagumise ratta teljest. Millise kiirendusega sõites kerkib esiratas maapinnast lahti? Kui suur peab olema hõõrdetegur tagaratta ja maapinna vahel, et niimoodi saaks sõita? 3 Ü5 Mäed Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 5 Kahe teravatipulise lumise mäe vahel orus on keskpäeval päike seniidis. Lääne‐ poolse mäe kõrgus oru põhjast on H = 2000 m ja idapoolse mäe kõrgus oru põhjast on h = 1500 m. Mägede tippude vaheline kaugus horisontaalsihis on l = 5 km ja oru põhi on mõlemast tipust võrdsel kaugusel. Mitu tundi pärast otsese päikese‐ valguse kadumist toimub orus järsk hämardumine? Eeldada, et taevas on pilvitu. Ü6 Elektrikann Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 6 Elektrikannus soojendatakse vett. Teatud hetkel pandi kannu T0 = 0◦ C juures ole‐ vat jääd. Joonisel on toodud vee temperatuuri sôltuvus ajast. Kui suur oli jää mass, kui kannu võimsus P = 1 kW. Jää sulamissoojus on L = 335 kJ/K. Toatempera‐ tuur T1 = 20 ◦ C. Ü7 Laser Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 7 Läbipaistvast materjalist poolsilindri raadius on R ja aine murdumisnäitaja n. La‐ serkiir langeb risti poolsilindri tasapinnalisele küljele (vt. joonist). Leida maksi‐ maalne kaugus dmax , mille korral laserkiir veel väljub silindrilise pinna kaudu. Millistes piirides varieerub kaugus l (punkti O ning laserkiire ja optilise telje lōi‐ kepunkti A vahemaa), kui dmax > d > 0. Märkus. Väikeste nurkade korral võib lugeda sin α ≈ tan α ≈ α. Eeldatakse, et l on monotoonne funktsioon d‐st. 4 Ü8 Nööbid Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 8 Joonisel on kujutatud pealtvaates kahte nööpi A ja B, mis on omavahel ühendatud niidiga, mille pikkus l = 10 cm. Süsteem asub pöörleval alusel. Nööpide ja aluse vaheline hōõrdetegur on µ. Ühe nööbi külge on kinnitatud veel teine niit, mille abil hoitakse nööpe paigal (vt. joonist). On teada, et pöörlemiskese asub klotsist A kaugusel a = 10 cm ja mōlemad niidid on horisontaalsed. Kui suur on pöörlemis‐ keskme ja nööbi B vahekaugus ning nööbi B mass mB ? Nööbi A mass mA = 1,0 g ja niidid võib lugeda kaalututeks. Nööpide joonis on ära toodud ka eraldi lehel, mida vōib kasutada lahenduse esitamiseks. Ü9 Peeglid Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 9 Ekraan, kaks peeglit ning koherentse monokromaatilise kiirguse allikas (kiiratav lainepikkus λ) on paigutatud nii, nagu näidatud joonisel. Valgusallikast jõuab ek‐ raanile vaid peegeldunud valgus. Peeglite normaalide vaheline nurk on 2α. Peeg‐ lite puutepunkti ning valgusallika vaheline kaugus on a ning valgusallika kaugus ekraanist on samuti a. On teada, et punkti O lähedusse tekib interferentsimuster, kus järjestikuste tumedate triipude vaheline kaugus on d. Leida lainepikkus λ. Eel‐ dada, et a ≫ d. 5 Ü10 Elektriväli Autor: tundmatu, lõppvoor, 2004, G 10 Kaks metallkuuli raadiusega r ja massiga m on joodetud kerge metallvarda (pikkus l) otste külge. Süsteem asub kaalutuse tingimustes homogeenses elektriväljas tu‐ gevusega E. Kui suur on varrast pingestav jōud F ja süsteemi väikeste võnkumiste periood T ? Võite lugeda, et l ≫ r. 6  Staatika Ü11 Pendel Autor: Mihkel Heidelberg, piirkonnavoor, 2008, G 1 Otsast kinnitatud varras saab pöörelda ümber horisontaaltelje ühes tasandis. Var‐ da otsa on kinnitatud koormis massiga m. Varda pikkus on l. Varda kinnitusele mõjub hõõrdest tingitud pidurdav jõumoment M. Millistes nurkade vahemikes võib olla varras paigal (vt joonist)? Arvestada, et mgl > M. Ü12 Toru Autor: tundmatu, lahtine, 2007, G 2 Kaks inimest kannavad toru massiga m = 80 kg ja pikkusega l = 5 m. Esimene inimene hoiab toru kaugusel a = 1 m toru otsast, teine aga hoiab toru teist otsa. Leida jõud, mida toru avaldab kummalegi inimesele. Ü13 Nürinenud käärid Autor: Mihkel Kree, lõppvoor, 2009, G 1 Juku asus hekikääridega õunapuult jämedat kuivanud oksa lõikama. Et aga kää‐ rid olid juba ammu nürinenud, polnud neist mingit abi. Enamgi veel, oks hakkas kääride kokkuvajutamise ajal terade vahel lausa libisema. Libisemine peatus het‐ kel, mil terade vaheline nurk oli kahanenud α‐ni. Kui suur oli hõõrdetegur oksa ja nürinenud lõiketera vahel? Ü14 Kuul Autor: tundmatu, lahtine, 2005, G 3 Metallist kuul asetseb lauaaugus, mille sügavus on 2 korda väiksem kuuli raadiu‐ sest (vt joonist). Kui suure laua kaldenurga α puhul kukub kuul august välja? 7 Ü15 Katus Autor: Ott Krikmann, piirkonnavoor, 2005, G 2 Ühtlase lumekihiga kaetud katus on horisondi suhtes kaldu α = 40◦ nurga all. Ka‐ tus on ristküliku kujuline ja laius harjast räästani mööda katuse pinda on L. Katuse ja lume vaheline hõõrdetegur on µ = 1. Katuse harjast hakkab lumekihi ja katuse vahele voolama vesi, mis muudab märja katuse ja lumekihi vahelise hõõrdeteguri nulliks. Kui vesi jõuab katuseharjast kaugusele l, hakkab lumekiht alla libisema. Leidke suhe l/L. Ü16 Kast kaubikus Autor: Oleg Košik, lõppvoor, 2009, G 2 Kast massiga m = 15 kg on kinnitatud kaubiku tagaseina külge nööriga. Leida nööri pinge minimaalne võimalik väärtus äkkpidurduse ajal, kui kiirusega v0 = 45 km/h sõitev kaubik jääb seisma ajaga t = 5 s. Hõõrdetegur kasti aluse ja kaubi‐ ku põranda vahel µ = 0,2, nurk nööri ja kaubiku tagaseina vahel α = 45◦. Lugeda, et pidurdamine oli ühtlane ja kast püsis kogu aeg paigal. Ü17 Liivahunnik Autor: Roland Matt, piirkonnavoor, 2011, G 5 Millisele pindalale on võimalik mahutada koonusekujuline liivahunnik, kui liiva ruumala on V = 50 m3 ja libisevate liivakihtide vaheline efektiivne hõõrdetegur µ = 0,4? Liivahunniku ja aluspinna hõõrdeteguri võib lugeda väga suureks. Ü18 Tormituul Autor: Mihkel Kree, lõppvoor, 2011, G 3 Vaatleme tugeva külgtuule kätte jäänud veoautot lihtsustatult homogeense ristta‐ hukana. Auto laius on a = 2 m, kõrgus b = 3 m, pikkus c = 5 m. Missugune peaks olema hõõrdetegur rataste ja maapinna vahel, et piisavalt tugev külgtuul suudaks auto tuulepoolsed rattad maast lahti kergitada? Ü19 Rõngas Autor: Taavi Pungas, piirkonnavoor, 2014, G 6 Lae külge on nööriga, mille pikkus on L, kinnitatud kerge plastmassrõngas raadiu‐ sega R, mille küljes on omakorda raske metallist mutter. Mutrit saab mööda rõn‐ gast libistada. Rõnga ja mutri vaheline hõõrdetegur on µ. Juku tahab mutrit mööda rõngast nihutades saavutada olukorda, kus mutri ja lae vahekaugus h oleks võima‐ likult väike, aga süsteem püsiks veel ilma välise sekkumiseta tasakaalus. Leidke vä‐ him vahekaugus hmin , mille Juku võib saavutada. Eeldage, et rõnga mass on mutri omaga võrreldes tühiselt väike. 8 Ü20 Hammasrattad Autor: Siim Ainsaar, lõppvoor, 2010, G 4 Fikseeritud telgedega hammasrattad raadiustega r1 ja r2 hambuvad ja on ühen‐ datud venimatu nööriga, mis on mõlemale puutujaks. Esimest ratast pööratakse jõumomendiga M. Kui suur on nööri pinge T ? M r1 r2 Ü21 Poldilõikur Autor: Mihkel Rähn, piirkonnavoor, 2015, G 7 Leida, kui suurt jõudu avaldab poldilõikuri tera poldile (vt joonis), kui käepideme‐ tele avaldatud jõud on F = 90 N. F 600 mm 80 160 100 mm mm mm F 9 Ü22 Kuul Autor: tundmatu, lahtine, 2006, G 7 Kasti tasasel põhjal asub kuul. Kasti põhi asub nurga all horisontaalsuuna suhtes. Kuuli hoiab tasakaalus kasti seina külge kinnitatud niit, mis on paralleelne kasti põhjaga (vt joonist). Kui suure maksimaalse nurga φ võrra saab kasti kallutada, et kuul oleks veel tasakaalus? Hõõrdetegur kuuli ja kasti vahel on µ. Ü23 Toru Autor: Aigar Vaigu, lõppvoor, 2010, G 5 Kareda horisontaalselt kinnitatud toru (raadius R) peal tasakaalustatakse ristta‐ hukakujulist prussi. Leidke prussi paksus L, mille korral prussi asend torul on stabiilne. Märkus: kasulikud võivad olla väikeste nurkade korral kehtivad lähendused sin α ≈ α ja cos α ≈ 1 − α2 /2, kus nurgad on radiaanides. Ü24 Klotsid Autor: Mihkel Rähn, piirkonnavoor, 2014, G 7 Horisontaalsel laual asuva klotsi massiga m1 peale on asetatud teine klots massiga m2. Kahe klotsi vaheline seisuhõõrdetegur on µ2. Alumise klotsi ja laua vaheline liugehõõrdetegur on µ1. Leidke maksimaalne horisontaalne jõud F , millega võib alumist klotsi tõmmata, ilma et ülemine klots libiseks. Ü25 Polüspast Autor: Mihkel Rähn, lõppvoor, 2014, G 6 Jäälõhesse kukkunud alpinisti väljatõmbamiseks on käepärastest vahenditest (kolm plokki ja nöörijupid) koostatud polüspast. Lihtsustatud joonisel on jämeda joone‐ ga märgitud põhiköis, mille ühes otsas on kukkunu ning teisest otsast vinnatak‐ se. Plokid on peene joonega kujutatud nööri abil kinnitatud mittelibiseva sõlmega (joonisel täidetud ring) põhiköie külge. Leidke polüspasti ülekandetegur nii hõõr‐ dumist arvestamata kui ka eeldusel, et hõõrdumine vähendab jõuülekannet igal plokil 35 %. Eeldage, et kõik jõud on vertikaalsed. 10 Ü26 Kelk Autor: Andreas Valdmann, piirkonnavoor, 2018, G 9 Juku läks sõpradega kelgutama. Teel tagasi istusid Juku kaks sõpra kelgule ja Juku üritas kelku horisontaalsel lumisel teel enda järel vedada. Kui suur on minimaalne kelgunööri nurk maapinnaga, mille korral on Jukul võimalik kelk liikuma tõmma‐ ta? Juku mass m1 = 60 kg ja hõõrdetegur Juku saabaste ning lume vahel µ1 = 0,30. Kelgu mass koos Juku sõpradega m2 = 110 kg ja hõõrdetegur kelgu ning lume va‐ hel µ2 = 0,20. Ü27 Kuubik Autor: Riho Taba, piirkonnavoor, 2007, G 9 Kuubik massiga m = 10 kg ning küljepikkusega a = 0,1 m lebab laual. Laua ja kuubiku vaheline hõõrdetegur on µ = 0,5. Kas kuubikut on võimalik käega teisele küljele lükata, avaldades vaid jõudu kuni F = 40 N? Eeldada, et hõõrdetegur käe ja kuubiku vahel on väga suur ehk käsi ei libise. Raskusjõu kiirendus on g = 9,8 m/s2. 11 Ü28 Kuulid Autor: Jaan Kalda, lahtine, 2009, G 9 Kolm ühesuguse raadiusega kuuli A, B ja C on ühendatud kergete varraste abil võrdkülgseks kolmnurgaks ABC, mis lebab siledal (kuid nullist erineva hõõrde‐ teguriga) horisontaalpinnal. Kuuli C lükatakse hästi aeglaselt nii, et selle kiirus‐ vektor on kogu aeg risti sirgega AC. Kui kuul A on piisavalt raske (st masside suhe MA /MB on piisavalt suur), siis jääb kuul A paigale. Millise suhte MA /MB puhul hakkab kuul A libisema? Ü29 Rõngas Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2011, G 7 Ebaühtlase massijaotusega traadist on tehtud rõngas, mis kujutab endast ringi raa‐ diusega R. Selle rõnga massikese asub ringi keskpunktist kaugusel R/2. Rõngas asetatakse horisontaalsele võllile rippuma. Milline peab olema rõnga ja võlli vahe‐ line hõõrdetegur µ, et võlli aeglasel pöörlemisel rõngas võllil ei libiseks? Ü30 Niidirull Autor: Mihkel Kree, lahtine, 2013, G 8 Silinder massiga m, millele on keritud õhuke niit, asetatakse kaldpinnale nurgaga α. Millise minimaalse jõuga Fmin tuleb nöörist hoida, et silinder paigale jääks (vt joonist)? Hõõrdete‐ gur pinna ja silindri vahel on nii suur, et libisemist ei toimu. Ü31 Jalgrattur Autor: Andres Põldaru, lahtine, 2014, G 8 Jalgrattur sõidab alla ühtlase kallakuga nõlvast. Kui ta vajutab pidureid täpselt nii kõvasti, et tagumine ratas on peaaegu õhku tõusmas, siis tema kiirus mäest alla sõites ei muutu. Jalgratturist ja rattast koosneva süsteemi massikese asub täpselt kahe ratta vahel kaugusel h maapinnast, rataste telgede vahekaugus on d. Kui suur on nõlva ja horisontaalsihi vaheline nurk α? Kui suur peab olema ratta ja kaldpinna vaheline hõõrdetegur µ, et jalgrattur saaks kirjeldatud moel pidurdada? Ü32 Elektriliin Autor: tundmatu, lahtine, 2004, G 10 Elektriülekandeliini postid paiknevad üksteisest L = 100 m kaugusel. Postide va‐ hel rippuva traadi keskpunkt paikneb kinnituspunktidest H = 1 m võrra mada‐ lamal. Traat on valmistatud alumiiniumist, mille tihedus on ρ = 2700 kg/m3 ja tõmbetugevus 100 MPa. Kas traat peab mehaanilisele pingele vastu? Ü33 Varras Autor: Siim Ainsaar, lõppvoor, 2008, G 9 Peenike homogeenne varras toetub ühe otsaga vastu põrandat (hõõrdetegur varda otsa ja põ‐ randa vahel on µ) ning küljega vastu libedat ho‐ risontaalset silindrit (hõõrdetegur on tühiselt 12  väike), vt joonist. Silinder on liikumatult kinni‐ tatud põranda külge, varras on risti silindri tel‐ jega ning moodustab põrandaga nurga α. Mil‐ lise varda pikkuse l korral jääb varras sellisesse asendisse püsima? Ü34 Konn Autor: Taavi Pungas, lahtine, 2010, G 9 Väike puukonn suudab ronida mööda seinu ja la‐ gesid, luues enda ja seina vahele seinaga risti ole‐ va tõmbejõu (nt iminappade tekitatud vaakumi‐ ga) ning vältides libisemist selle tagajärjel tekkiva hõõrdejõu abil. Millise nurga all maapinna suhtes peab olema sein, et tal oleks end kõige raskem pai‐ gal hoida (mil libisemise vältimiseks vajalik seinaga risti olev jõud on maksimaalne)? Hõõrdetegur sei‐ na ja konna vahel on µ. Ü35 Torud Autor: Jaan Kalda, piirkonnavoor, 2010, G 10 Põrandale asetatakse kõrvuti kaks ühesugust silindrilist toru — paralleelselt ja kül‐ jetsi üksteist puutuvana. Kolmas samasugune toru asetatakse nende peale — sa‐ muti paralleelselt, nõnda et see toetub kahele alumisele. Milliseid tingimusi pea‐ vad rahuldama hõõrdetegur µ toru ja põranda vahel ning hõõrdetegur k kahe toru vahel selleks, et pealmine toru kahte alumist üksteisest eemale ei vajutaks? Ü36 Tungraud Autor: Valter Kiisk, lõppvoor, 2011, G 10 Joonisel on kujutatud lihtsa konstruktsiooniga tungraud, mille keerme samm on 3 mm. Tungrauale surub auto jõuga F = 5 kN. Vaatleme hetke, millal α = 40◦. Tungraua mõõtmeid vaadake jooniselt. a) Kui suure jõuga tuleb auto tõstmiseks vända käepidemele mõjuda, kui jätta ar‐ vestamata hõõrdumine kõigi libisevate pindade vahel? b) Kui hõõre oleks ka tegelikult tühiselt väike, siis ei püsiks tungraud üleskeera‐ tud asendis: niipea kui käepidemest lahti lasta, hakkaks see auto raskuse mõjul pöörlema ja auto vajuks taas alla. Vastake eelmisele küsimusele eeldusel, et hõõr‐ detegur on parajasti nii suur (st mitte suurem, kui hädapärast vaja), et tungraud jääks üleskeeratud asendisse püsima. 13 Ü37 Nöör rennis Autor: Stanislav Zavjalov, lahtine, 2012, G 9 Kaks plaati moodustavad V‐kujulise horison‐ taalse renni. Mõlemad plaadid on horisontaal‐ tasapinna suhtes nurga θ all. Rennis on jupp ühtlase massijaotusega nööri pikkusega L, mis L asub tervikuna renniga ristuvas tasandis nii, fL et mõlema plaadiga puutub kokku sama palju nööri. Renni põhja kohal ei toetu nöör enam θ θ pikkuse f L ulatuses plaatidele. Leidke f , kui nöör on libisemise piiril. Hõõrdetegur nööri ja plaatide vahel on µ = 1. Ü38 Katus Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2017, G 9 Kaks jäika traadijuppi pikkusega L on ühendatud otsapidi (nt niidiga seotud) nii, et nende otspunktid on kontaktis ja nende vaheline nurk saab takistuseta muutuda, moodustades V‐kujulise figuuri. See traadist moodustis asetatakse horisontaalse libedapinnalise silindri peale nõnda, et tasakaaluasendis moodustub traadist „ka‐ tus“ (tagurpidi „V“) tipunurgaga α. Massijaotus traadis on ühtlane, hõõre traadi ja silindri vahel puudub. a) Milline on silindri raadius R? b) Milline võrratus peab olema rahuldatud, et see asend oleks stabiilne (uurida stabiilsust vaid „katuse“ kui terviku pöördumise suhtes, eeldades et traatidevaheline nurk ei muutu)? Ü39 Platvorm Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2005, G 10 Siledas põrandas on pöörlev ringikujuline platvorm (joonisel pealtvaates, hall), mis on samast materjalist nagu põrandki (joonisel valge). Põranda ja platvormi ülemine pind on samal horisontaaltasandil. Kolm ühe‐ sugust keha ühendatakse kergete varraste abil kolm‐ nurgaks ning asetatakse sedasi, et kaks keha asuvad platvormil punktides A ja B (vt joonist). Vardad ei puu‐ duta ei põrandat, ega platvormi. 14  a) Kui kolmas keha lebaks põrandal punktis C, kas siis kolmnurk hakkaks põranda suhtes liikuma või jääks paigale? Põhjendage vastust. b) Märkige joonisel selline punktihulk X, kus võiks asuda kolmas keha nii, et kolm‐ nurk jääks põranda suhtes paigale. Märkus: kolmnurga külgede AC ja BC pikkusi võib muuta. Seega, kui kolmas keha asub punktis D ∈ X, siis üldjuhul |AD| ̸= |AC| ja |BD| ̸= |BC|. Ü40 Niidiga hantel Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2015, G 9 Horisontaalpinnal lebab hantel, mis koosneb kaalutust var‐ dast pikkusega l = 4a ning selle otstele kinnitatud kahest ühesuguse massi ja hõõrdeteguriga väikesest klotsist. Varda külge kaugusele a ühest klotsist on seotud pikk niit. Algul on α niidi suund horisontaalne ja risti vardaga. Niiti aeglaselt tõm‐ mates hakkab hantel pöörduma, sest alguses nihkub vaid üks klots. Milline on nurk α varda ja niidi vahel siis, kui ka teine 3a a klots nihkuma hakkab? 15  Kinemaatika Ü41 Autod Autor: Oleg Košik, piirkonnavoor, 2006, G 1 Tartu ja Tallinna vahemaa on s = 180 km. Jalgrattur sõidab Tartust Tallinna poo‐ le kiirusega v1 = 30 km/h. Sõites luges ta kokku, et t0 = 5 min jooksul tuli talle vastu n0 = 20 autot. Mitu Tallinnast Tartusse sõitvat autot on korraga maanteel? Eeldada, et autod sõidavad võrdsete vahemaadega kiirusega v2 = 90 km/h kogu maantee ulatuses. Ü42 Ummik Autor: Jaan Kalda, piirkonnavoor, 2007, G 2 Vaatleme kahe üherajalise tee, A ja B, liitumist üherajaliseks teeks C. Tipptunni ajal on kõik kolm teed täidetud autodega; kahe naaberauto keskmise vahemaa võib lugeda kõigil kolmel teel ühesuguseks. Tee A pikkus on LA = 1 km, tee B pikkus LB = 3 km ning tee C pikkus LC = 2 km. Autode keskmine kiirus teel A on vA = 3 km/h ning tee B läbimiseks kulub autol tB = 36 min. Kui kaua sõidab auto tee A algusest tee C lõpuni? Ü43 Auto Autor: tundmatu, lahtine, 2008, G 1 Paigalseisust liikuma hakanud autol kulus teatud vahemaa läbimiseks t = 15 s. Millise ajaga läbis auto viimase viiendiku sellest vahemaast? Auto liikumine lugeda ühtlaselt kiirenevaks. Ü44 Ratturid Autor: tundmatu, lahtine, 2009, G 1 Kolm ratturit sõitsid linnast A linna B. Linnast A väljusid nad üheaegselt. Esimese ratturi keskmine kiirus oli v1 = 30 km/h, teise ratturi oma v2 = 20 km/h. Esimene rattur jõudis sihtpunkti kell 19.00, teine rattur kell 20.00 ning kolmas rattur kell 21.00. Milline oli kolmanda ratturi keskmine kiirus v3 ? Ü45 Rong Autor: Koit Timpmann, piirkonnavoor, 2013, G 1 Kaubarong läbis kahe jaama vahelise teelõigu keskmise kiirusega 36 km/h. Kogu sõiduajast 2/5 vältel liikus rong ühtlaselt kiirenevalt, siis 2/5 vältel liikus jääva kii‐ rusega ning viimase 1/5 vältel pidurdas ühtlaselt aeglustuvalt. Kui suur oli rongi maksimaalne kiirus kahe jaama vahelisel teel? 16 Ü46 Veok Autor: Valter Kiisk, piirkonnavoor, 2005, G 1 Veok sõidab maanteel ühtlase kiirusega v1 = 80 km/h. Veokile järgneb l1 = 10 m kaugusel sõiduauto. Veoki pikkus on L1 = 12 m, sõiduauto pikkus L2 = 4 m. Sõi‐ duauto sooritab möödasõidu ühtlase kiirendusega a = 2 m/s2. Möödasõit lõpeb siis, kui sõiduauto on veokist l2 = 10 m kaugusel. Kui pikas minimaalses ulatuses s peaks vastassuunaline rada vaba olema ohutuks möödasõiduks? Ohutuks kaugu‐ seks vastutulevast autost loetakse l3 = 30 m. Vastutulevad autod sõidavad kiirusega v2 = 90 km/h. Ü47 Rongiõnnetus Autor: Oleg Košik, piirkonnavoor, 2011, G 4 Kehrast Aegviidu poole sõitis kiirusega v1 = 63 km/h kaubarong. Aegviidust hak‐ kas Kehra poole sama teed pidi sõitma elektrirong kiirendusega a2 = 0,15 m/s2. Kui rongide vahemaa oli s = 2750 m, märkas kaubarongi vedurijuht vastusõit‐ vat elektrirongi ning vajutas pidurile. Elektrirongi kiirus oli selleks hetkeks v2 = 18 km/h. Leidke rongide sõidukiirused vahetult kokkupõrke eel. Kaubarongi pi‐ dudrduskiirendus on a1 = −0,1 m/s2. Ü48 Rongivile Autor: Mihkel Kree, lahtine, 2015, G 1 Rong läheneb jaamale sirgjooneliselt ning muutumatu kiirusega. Vedurijuht laseb vilet kestusega t0 = 10 s, peatuses rongi ootav jaamaülem mõõdab vile kestuseks aga t1 = 9 s. Arvutage rongi liikumise kiirus v. Heli kiirus õhus c = 340 m/s. Ü49 Kaubarong Autor: Erkki Tempel, piirkonnavoor, 2015, G 1 Tavaliselt sõidab kaubarong ühtlase kiirusega v = 72 km/h, kuid seekord hilines jaama ∆t = 5 min. Raudteel olid hooldetööd ning rong pidi mingi aja sõitma kii‐ rusega vh = 18 km/h. Rongi kiirendus pidurdamisel oli ap = 0,2 m/s2 ning kiiren‐ damisel ak = 0,1 m/s2. Kui pika tee sõitis rong kiirusega 18 km/h? 17 Ü50 Kiirabiauto Autor: Sandra Schumann, lahtine, 2017, G 1 Jukust sõitis tänaval mööda kiirabiauto. Juku kuulis, et möödumisel langes kiirabi‐ auto sireeni toon väikese tertsi võrra. Kui kiiresti sõitis kiirabiauto? Heli kiirus õhus Juku juures oli vh = 343 ms. Eeldada, et Juku kaugus kiirabiauto sirgjoone‐ lisest trajektoorist on tühiselt väike. Doppleri seadus annab seose sageduste ja lii‐ kumiskiiruste vahel. fv vh + vv = , fa vh + va kus fv on vastuvõtja mõõdetud heli sagedus, fa on allika tekitatud heli sagedus, vv on heli vastuvõtja kiirus ja va on heliallika liikumise kiirus. Vihje. Väike terts on muusikaline intervall, mis vastab 1,5‐toonisele erinevusele heli sageduses. Üks oktav tähistab 2‐kordset erinevust heli sageduses ja vastab 6 toonile. Eeldada, et toonid on jaotatud oktavis nõnda, et kui kolme helisageduse f1 , f2 , f3 jaoks kehtib ff12 = ff32 ja f1 ning f2 vahel on üks toon, siis on ka f2 ja f3 vahel üks toon. Ü51 Pidurdus Autor: Mihkel Rähn, piirkonnavoor, 2017, G 2 Kaks autot sõidavad teineteise järel kiirustega v = 50 km/h. Esimene auto pidur‐ dab maksimaalselt, mida nähes tagumise auto juht samuti pidurdab maksimaal‐ selt. Esimese auto pidurid rakenduvad samal hetkel, kui süttivad pidurituled. Ta‐ gumise auto juhil kulub eesmise auto piduritulede süttimisest kuni oma auto pi‐ durite rakendumiseni t = 1,5 s. Teekatte hõõrdetegur µ = 1 ning raskuskiirendus g = 9,8 m/s2. a) Kui suur peaks olema autodevaheline vahemaa sõidu ajal, et pidurdamisel ei toimuks tagant otsasõitu? b) Kui autodevaheline vahemaa enne pidurdamist on l = 5 m, siis kui suur on autode kiirus üksteise suhtes kokkupõrke hetkel? Ü52 Sonar Autor: Oleg Košik, piirkonnavoor, 2006, G 3 Vaatame laeva kiiruse määramiseks järgmist meetodit: rannikult saadetakse eemal‐ duvale laevale ultraheli signaal sagedusega f1. Laevalt peegeldub signaal tagasi rannikule, kus vastuvõtja fikseerib signaali sagedusega f2. Teades, et heli kiirus õhus on vh , määrake laeva kiirus v. Ü53 Autod Autor: Jaan Kalda, piirkonnavoor, 2008, G 2 Juuresolev joonis on tehtud kõrgelt otse alla pildistatud foto põhjal, millel on jääd‐ vustatud kaks autot (tähistatud punktidega A ja B), mis lähenevad ristmikule jää‐ vate kiirustega vA = 40 km/h ja vB = 60 km/h. Kasutades joonist ja sellel antud mõõtkava, leidke autode edasisel liikumisel nende vaheline minimaalne kaugus. 18 Ü54 GPS Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2009, G 5 Tervisesportlane kasutab GPS seadet oma jooksutreeningu tulemuste salvestamiseks. Tema GPS seade määrab iga 15 sekundi järel jooksja täpse asukoha, mille põhjal ar‐ vutab ja salvestab GPS seade viimase 15 sekundi keskmise kiiruse ning esitab saa‐ dud tulemused graafikul punktidena, mis on ühendatud sirglõikude abil. Jooksja märkas lahti läinud ketsipaelu, peatus ja sidus paelad kinni. Tänu väikesele puh‐ kusele jätkas ta jooksmist juba kiiremini, vt juuresolevat GPS‐i esitatud graafikut. Kui kaua kestis peatus? Pidurdumiseks ning puhkusjärgselt kiirendamiseks kulu‐ nud aeg lugeda tühiseks; jooksu kiirus oli konstantne nii enne peatust kui ka pärast seda. 19 Ü55 Jalgrattur Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2013, G 3 Poiss mõõdab jalgrattaga sõites tuule kiirust enda suhtes: kui ta sõidab piki teed ühes suunas kiirusega 10 km/h, saab ta tulemuseks 20 km/h, ning kui ta sõidab vas‐ tassuunas kiirusega 20 km/h, siis saab ta tulemuseks samuti 20 km/h. Kui kiiresti maa suhtes puhub tuul? Ü56 Viiul Autor: Jaan Toots, lõppvoor, 2014, G 2 3 Viiulikeelt pikkusega L kaugusel ühest otsast alla vajutades ning lühemal osal 7L poognaga tõmmates kõlab mingi põhisagedusega heli. Samal kaugusel 37 L keelt ainult puudutades (alla vajutamata), on kõlav heli erinev. Milline on nende kahe põhisageduse suhe? Ü57 Pöördlava Autor: Taavi Pungas, piirkonnavoor, 2012, G 4 Sageli on teatrilava põranda osaks pöörlev ketas. Näitleja soovib sellise ketta kõrval olevast punktist A ajaga t jõuda võimalikult kaugele mõnda teise ketta kõrval ole‐ vasse punkti. Kus asub selline kaugeim sihtpunkt B? Väljendage vastus nurgana α = ∠AOB , kus O on ketta keskpunkt. Näitleja kõnnib kiirusega v, ketta pöörle‐ misperiood on T ja raadius r. Võite eeldada, et α < 180◦. Ü58 Pallivise Autor: Eero Vaher, lõppvoor, 2015, G 5 Juku elab silindrikujulises kosmosejaamas, mille pöörlemine tekitab kunstliku ras‐ kusjõu. Jaama raadius √ on R, selle pöörlemise nurkkiirus ω. Juku viskab palli otse üles algkiirusega v = 33 ωR. Kui kaugele Jukust mööda jaama pinda pall maan‐ dub? Ü59 Tsunami Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2005, G 6 Joonisel on ookeani kujutatud ülaltvaates ja põhja sügavus on kodeeritud halltooni‐ dega: tumehall vastab sügavamale, hele‐ hall madalamale veele. Ookeanipõhjas on astang, kus h1 = 5000 m sügavune vesi lä‐ heb h2 = 3200 m sügavuseks; ranna lä‐ hedal toimub madaldumine väga kiiresti. Rannale läheneb tsunami nii, nagu näida‐ tud √ joonisel. Tsunami liikumiskiirus v = gh, kus g = 9,8 m/s2 ja h tähistab vee sü‐ gavust. Millisesse ranna punkti jõuab kõige kõrgem laine? Põhjendage vastust. 20 Ü60 Hävituslennuk Autor: tundmatu, lahtine, 2011, G 7 Ühel ilusal augustipäeval käis Mati paraadil vaatamas NATO hävituslennukeid, mis tegid rahva kohal demonstratsioonlende. Diktor ütles valjuhääldist, et lennuk lendab horisontaalselt üle rahva kiirusega v = 1350 km/h. Matit huvitas aga, kui kõrgel lennuk lendab. Vajalike mõõtetulemuste saamiseks seisis ta nii, et tema ja läheneva lennukiga ühele joonele jäi täpselt üks 9 meetri pikkune elektripost ning Mati ise asus teise posti juures; postide vahekaugus oli 50 m. Mati käivitas oma mobiiltelefoni stopperi just siis, kui lennuk posti ülemise otsa tagant nähtavale il‐ mus, ning peatas hetkel, kui käis kõva pauk ja hakkas kostuma lennuki müra. Ta sai stopperi näiduks 32,04 s. Kodus mõõtis ta üle ka enda silma kõrguse maapin‐ nast: l = 1,68 m. Kui kõrgel lendas lennuk? Heli kiirus õhus on umbes u = 330 m/s. Vihje: kui lennuk lendab ülehelikiirusel, siis levib tema taga koonusekujuline löök‐ laine front, kusjuures
koonuse tipus on lennuk ja selle koonuse telglõike tipunurk on α = 2 arcsin uv. Ü61 Rehvid Autor: Siim Ainsaar, lõppvoor, 2012, G 5 Et autorehvid kuluksid vähimal määral, tasub auto ehitada nii, et kurvis pöörduk‐ sid esirattad eri nurga võrra. Leidke selles mõttes parim parema esiratta pöörde‐ nurk β paremkurvis, kus vasaku esiratta oma on α. Rataste vahekaugus on pikku‐ pidi a ja laiupidi b (vt joonist). α β a b Ü62 Kammid Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2014, G 5 Kaks kammi on asetatud üks‐ teise taha nii, nagu näidatud tume laik joonisel. Halli kammi liiguta‐ takse kiirusega v = 1 cm/s ning musta kammi hoitakse paigal. Millise kiirusega ja mil‐ lises suunas liiguvad tumedad 1 cm/s laigud? 21 Ü63 Fotograaf Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2011, G 6 Fotograaf pildistas kõrgest joast langevat veevoolu; päikesevalguses sätendavad veepiisad venisid piltidel vertikaalseteks triipudeks. Kui fotoaparaat oli pildista‐ misel normaalasendis, siis olid kõik triibud pikkusega l1 = 120 pikslit; kui foto‐ aparaat oli pildistamisel „jalad ülespidi“ (st seda pöörati ümber optilise telje 180 kraadi), siis oli triipude pikkuseks l2 = 200 pikslit. Kui pikad olid triibud siis, kui fotoaparaati hoiti pildistamisel „portree asendis“ (st seda pöörati ümber optilise telje 90 kraadi)? Eeldada, et säriaeg ja optilise telje suund oli kõigil juhtudel üks ja sama. Kui toodud andmete põhjal pole vastus üheselt leitav, siis andke kõik või‐ malikud vastused. Vihje: fotoaparaadi põhikomponendid on objektiiv (lääts) ja katik, millest esimene tekitab digitaalsensori (või filmi) tasandile pildistatavate esemete kujutise. „Puh‐ keasendis“ ei lange see kujutis siiski sensorile, sest katik varjab läbi objektiivi tul‐ nud valguse ära. Päästikule vajutamisel avaneb katik lühikeseks ajavahemikuks (säriajaks): objektide kujutis langeb nüüd tõesti sensorile ning sensori iga piksel mõõdab ära kogu selle aja vältel langeva valgusenergia. Harilikult kujutab katik endast kahte „kardinat“, mis paiknevad vahetult sensori ees ja katavad selle. Al‐ guses varjab sensorit esimene kardin, mille ülemine serv liigub päästikule vaju‐ tamisel konstantse kiirusega v ülevalt alla, avades sensori. Säriaja lõpetab teine kardin, mille alumine serv liigub samuti ülevalt alla, samasuguse kiirusega v nagu esimenegi. Kui säriaeg on hästi lühike, siis ei jõua sensor täielikult avaneda: mõle‐ mad kardinad liiguvad koos ülevalt alla ning sensor on avatud objektiivist tulevale valgusele vaid kardinate vahelise kitsa horisontaalse riba ulatuses (kusjuures see valgusele avatud riba liigub kiirusega v ülevalt alla). Ü64 Laev Autor: tundmatu, lõppvoor, 2007, G 5 Maailmas leidub jõgesid, kus vesi tõusude tõttu liigub kord ühes, kord teises suu‐ nas. Vaatleme laevaliiklust ühel sellisel jõel. Joonisel on antud vee liikumiskiiruse sõltuvus kellaajast. Positiivseks loetakse vee kiirus siis, kui see on suunatud punk‐ tist A punkti B poole. Leida optimaalne (lühimate sõiduaegadega) tunniplaan kau‐ balaeva regulaarseks liikumiseks üks kord päevas punktist A punkti B ja tagasi. Kaugus nende punktide vahel piki jõge on L = 20 km, laeva kiirus seisvas vees v0 = 4 km/h. 22 Ü65 Müra Autor: Siim Ainsaar, lahtine, 2009, G 10 Matkaja rõõmustab laagriplatsil, et elektrijaama müra tuuletu ilmaga nii vaikselt temani kostab. Hiljem, kui tuul tõuseb, on müra veel vaiksem. Puhub põhjatuul kiirusega βc, kus c on heli kiirus paigalseisvas õhus; jaam jääb matkajast edelasse (st tuule ja jaama suundade vaheline nurk on α = 135◦ ). a) Kas helisagedus on sama mis tuuleta? b) Kui tuuleta on tajutav helivõimsus P ja tuulega xP , siis kui suur on x? Võite lugeda, et elektrijaam on punktikujuline. Soovitus: uurige helifrondi levimist. 23 Ü66 Kaater Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2009, G 8 Mootorpaat sõidab jõe ühelt kaldalt punktist A teisele kaldale punkti B. Paadi kiirus on u = 7 m/s. a) Joonisel on näidatud paadi tekitatud veelained. Milline on jõe voolukiirus? √ b) On teada, et kui vee sügavus on h, siis lained levivad kiirusega w = gh, kus g on vabalangemise kiirendus. Kui sügav on jõgi? A B Ü67 Päikese pöörlemine Autor: Mihkel Kree, lahtine, 2014, G 10 Maa pöörleb ümber oma telje perioodiga Tm ≈ 24 h. Ka Päike pöörleb ümber oma telje. Selles võib veenduda näiteks päikeseplekkide liikumist jälgides, aga selles ülesandes kasutame hoopis infot Päikese ketta serval paiknevatest ekvaatori punk‐ tidest A ja B kiiratud spektrite kohta. Osutub, et kui mõõdetakse naatriumi kollase neeldumisjoone lainepikkusi, siis punktidest A ja B kiiratud spektritest saadakse selle lainepikkuse jaoks veidi erinevad väärtused. Mõõdetud lainepikkused erine‐ vad teineteisest ∆λ = 7,8 pm = 7,8 · 10−12 m võrra. Naatriumi kollase neeldumis‐ joone laboratoorne lainepikkus on λ0 = 590 nm, valguse kiirus c = 3,0 · 108 m/s, Päikese raadius r = 700 000 km. Leidke Päikese ekvatoriaalpiirkonna pöörlemis‐ periood Tp. Ü68 Traatrõngad Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2014, G 9 Kaks ühesugust traatrõngast raadiusega R on üksteise vahetus läheduses, rõngaste tasandid on paralleelsed ning rõngad puudutavad üksteist punktides A ja B. Kaa‐ rele AB vastav kesknurk on vaadeldaval ajahetkel α. Alumine rõngas on paigal, ülemine pöörleb nurkkiirusega ω ümber punkti A läbiva ning rõngaste tasandite‐ ga risti oleva telje. Leidke rõngaste puutepunkti B kiirus antud ajahetkel. Ü69 Kodarad Autor: tundmatu, lahtine, 2011, G 10 Horisontaalsel pinnal veerevast radiaalsete kodarate‐ ga rattast tehakse pilt. Fotokaamera säriaeg on mõõ‐ duka pikkusega: paigalseisvad objektid on pildil te‐ ravad, liikuvad esemed aga hägused. Muuhulgas on 24  ratta kodarad valdavalt hägused, kuid osade kodara‐ te teatud punktid on ometigi teravad. Võib eeldada, et kogu pilt on salvestatud samaaegselt. a) Kopeerige juuresolev skeem lahenduslehele ning näidake konstruktsiooni teel, milline kodara OP punkt (või punktid) kujutub fotol teravalt; põhjendage vastust. b) Konstrueerige kõver, millel asuvad ülejäänud kodarate teravalt kujutuvad punk‐ tid. Ü70 Anemomeeter Autor: Jaan Kalda, lahtine, 2016, G 9 Ultraheli anemomeeter mõõdab tuule kiirust sel teel, et määrab aja, mis kulub helisignaalil allikast senosoriteni jõudmiseks. Olgu heliallikas koordinaatide al‐ guspunktis O = (0; 0) ning kolm sensorit punktides koordinaatidega A = (0; a), B = (a; 0) ja C = (−a; 0), kus a = 211,1 mm (loeme lihtsustavalt, et nii heliallika kui ka sensorite mõõtmed on tühised). Anemomeetrit hoitakse nii, et kõik sensorid paiknevad ühes ja samas horisontaaltasandis ning helisignaali sensoriteni jõud‐ mise aegadeks mõõdetakse vastavalt tA = 627,0 μs, tB = 625,2 μs ja tC = 603,4 μs. Milline on tuule kiirus? Arvutustes võite kasutada mõistlikke lihtsustavaid lähen‐ dusi. Ü71 Kaater Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2016, G 9 Kaater sõitis l = 4 km kaugusel otse lõuna suunas asuvale saarele. Alguses võe‐ ti suund esimesele meremärgile, seejärel pöörati teise suunas ning lõpuks võeti kurss otse saare peale; seega koosnes trajektoor kolmest sirglõigust. Kaatrilt mõõ‐ deti tuule kiirust ja suunda: esimest lõiku sõideti t1 = 3 min ja tuule kiiruseks mõõ‐ deti v1 = 15 m/s ning tajutav suund oli otse idast, teist lõiku sõideti t2 = 1,5 min ja tuule kiiruseks mõõdeti v2 = 10 m/s ning tajutav suund oli otse kagust (lõuna‐ida vahelt), kolmandat lõiku sõideti t3 = 1,5 min ja tuule kiiruseks mõõdeti v3 = 5 m/s ning tajutav suund oli otse edelast (lõuna‐lääne vahelt). Mis oli tegelik tuule kiirus? Märkus. Eri lõikudel võis paadi kiirus olla erinev, kuid iga lõigu kestel hoiti kons‐ tantne; pööramiseks ja kiirendamiseks kulunud aeg oli tühine; tuule tegelik suund ja kiirus ei muutunud. Ü72 Propeller Autor: Andreas Valdmann, lõppvoor, 2010, G 10 See pilt pöörlevast lennukipropellerist on tehtud telefoni kaameraga, mis salves‐ tab korraga ühe vertikaalse veeru pikselid. Pilt tekib vasakult paremale veergude kaupa skaneerides. a) Mis suunas pöörleb propeller fotograafi poolt vaadatuna (päripäeva või vastu‐ päeva)? b) Mitu laba on propelleril? c) Mitu pööret teeb propeller ühes minutis, kui kogu pildi tegemiseks kulunud aeg on 1/8 sekundit? 25 26  Dünaamika Ü73 Kivi Autor: Aigar Vaigu, lõppvoor, 2005, G 1 Sirgjooneliselt ja jääva kiirusega v = 4 m/s tõusva õhupalli gondlis on poiss. Mingil hetkel kukutab poiss gondlist alla kivi ning seejärel viskab kivile järgi palli, mille‐ ga proovib langevat kivi tabada. Milline võib olla suurim ajavahemik kivi lahtilask‐ mise ja palli viskamise vahel, et see oleks veel võimalik? Maapinnal seistes suudaks poiss visata palli vertikaalselt üles kuni h = 20 m kõrgusele. Võib eeldada, et õhu‐ pall asub piisavalt kõrgel selleks, et pall tabaks kivi enne maapinnale kukkumist. Õhutakistus lugeda tühiseks. Raskuskiirendus g = 9,8 m/s2. Ü74 Pallid Autor: tundmatu, lahtine, 2007, G 1 Juku istub puu otsas ja laseb algkiiruseta lahti tema käes oleva palli. All seisab Juhan, kes samal hetkel viskab Juku pihta vertikaalselt üles täpselt samasuguse palli. Pärast pallide põrget jõuab Juku pall täpselt tema kõrgusele tagasi. Kas pall tabab Juhanit enne või pärast seda, kui Juku pall jõuab Jukuni? Lugeda, et pallide põrge on absoluutselt elastne. Ü75 Hobune Autor: Valter Kiisk, piirkonnavoor, 2007, G 1 Puuoksal istub poiss, kes soovib hüpata puu alt mööda galopeeriva hobuse sel‐ ga. Hobuse kiirus on v = 10 m/s ja puuoksa kõrgus sadula suhtes h = 3 m. Kui suur peab olema horisontaalsihiline distants sadula ja puuoksa vahel sel hetkel, kui poiss oksast lahti laseb? Ü76 Eiffeli torn Autor: Aigar Vaigu, piirkonnavoor, 2010, G 1 Eiffeli torni ülemiselt vaateplatvormilt (kõrgus maapinnast h = 273 m) lastakse kukkuda raudkuulil. Täpselt t = 3 sekundi pärast kukutatakse veel üks raudkuul. Kui suur on raudkuulide suurim kiiruste vahe langemisel? Kui suur on ajavahemik kuulide maapinnale jõudmiste vahel? Raskuskiirendus g = 9,8 m/s2. Katse käigus ükski külastaja viga ei saanud. Ü77 Kokkupõrge Autor: Andreas Valdmann, piirkonnavoor, 2011, G 1 Kaks autot massidega m = 1,5 tonni teevad laupkokkupõrke, mille võib lugeda täielikult plastseks. Kui suur energia kulus purustuste tekitamiseks, kui: a) mõlema auto kiirus oli va = 50 km h ; b) üks auto seisis paigal ja teise auto kiirus oli vb = 100 km h ? Võib arvestada, et autode lohisemisel pärast põrget olulist kahju ei teki. 27 Ü78 Lendav pudel Autor: Erkki Tempel, piirkonnavoor, 2014, G 1 Pooleliitrises pudelis, mille põhja on tehtud 0,4 V väike auk pindalaga S, on m grammi vett. Pudelil keeratakse kork pealt ning pudel visatakse õhku algkiiruse‐ ga v. Kui kiiresti voolab vesi pudeli põhjas olevast august välja siis, kui pudel veel üles liigub? Kui kiiresti voolab vesi august välja sel hetkel, kui pudel alla kukub? Põhjendage. Ü79 Potsataja ja pähklid Autor: Erkki Tempel, piirkonnavoor, 2014, G 2 Rongi viimase vaguni katusel istub Potsataja, kes loobib maha pähkleid. Potsataja viskab ühe pähkli maapinna suhtes horisontaalselt rongi liikumisega vastassuu‐ nas algkiirusega u. Samal hetkel viskab ta ka teise pähkli samuti maapinna suh‐ tes horisontaalselt ning sama algkiirusega u, kuid risti rongi liikumise suunaga. Rong liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt kiirusega v ning pähklid visatakse maapin‐ na suhtes kõrguselt h. Kui kaugel teineteisest pähklid maanduvad? Õhutakistust mitte arvestada. Ü80 Kurv Autor: Mihkel Rähn, lahtine, 2016, G 2 Kiirusega v = 90 km/h sõitev auto läbib kurvi raadiusega R = 250 m. Kui suur peab olema tee külgkalle (kraadides), et autos istujad ei tunneks kurvist tingitud külgsuunalist jõudu? Raskuskiirendus g = 9,8 m/s2. Ü81 Viplala Autor: tundmatu, lahtine, 2004, G 1 Viplala tahab liigutada laua peal olevat klotsi. Selleks valmistab ta bloki abil süs‐ teemi, et ära kasutada endale mõjuvat raskusjõudu ja nihutada klotsi, lastes ennast nööri otsa rippu (vt. joonist). Ta laskub põrandale kõrguselt H = 1 m. Oletame, et nöör ei veni, blokk on ideaalne ja klots jääb tervenisti lauale. a) Viplala valib liigutamiseks endast 2 korda raskema klotsi. Hõõrdetegur laua ja klotsi vahel on µ = 0,3. Kui kaua kestab Viplala laskumine laualt põrandani? Ras‐ kuskiirendus g = 10 m/s2. b) Mitu korda endast raskemat klotsi jõuaks Viplala maksimaalselt veel antud viisil nööri otsas laskudes liigutada? Eeldada, et nööri otsas sipeldes suudab ta kompen‐ seerida suurema seisuhõõrdeteguri alghetkel, kui klots on paigal. 28 Ü82 Tõus Autor: tundmatu, lahtine, 2005, G 2 Talvise ilmaga Tartust Tallinnasse sõitev auto peab oma teekonna alguses ületama järsu ja libeda tõusu Jakobi tänaval (vt joonist). Tõusu kallak horisontaalsihi suhtes α ≈ 5◦ , pikkus l ≈ 200 m. Hinnata, kui suur on minimaalne hõõrdetegur µ rataste ja tee vahel, mille puhul kiirusega v = 30 km/h mäkke üles sõitma hakanud auto suudab veel tõusu ületada? Ü83 Keha Autor: tundmatu, lahtine, 2006, G 3 Vertikaalselt üles visatud keha läbib kaks korda kõrgusel h asuvat punkti. Ajava‐ hemik nende kahe läbimise vahel on ∆t. Leida keha algkiirus v0 ja aeg τ keha liikumise algusest kuni algpunkti tagasi jõudmiseni. Ü84 Mootorratas Autor: tundmatu, lahtine, 2007, G 5 Mootorrattur tahab hüpata üle kraavi, mille mõõtmed on näidatud joonisel. Kui suur peab olema mootorratturi minimaalne kiirus v lennu alguses selleks, et tema ettevõtmine õnnestuks? Ü85 Kelk Autor: tundmatu, lahtine, 2008, G 2 29  Kelguga lastakse alla h = 10 m kõrgusest α = 30◦ kaldenurgaga orunõlvast. Kui kõrgele tõuseb kelk saadud hooga mööda sama suure kaldenurgaga vastasnõlva, kui hõõrdetegur on µ = 0,1? Märkus: joonis on ligikaudne, languselt tõusule üleminek on tegelikult sujuv ja põrkega seotud kiirusekadu seal ei toimu. Ü86 Hantel Autor: Mihkel Kree, lõppvoor, 2008, G 1 Hantel koosneb kahest võrdse massiga kerast (kumbki massiga m) ning neid ühen‐ davast massitust jäigast vardast. Alguses hoitakse hantel horisontaalselt õhus pai‐ gal. Nüüd antakse ühele kuulidest hetkega vertikaalsuunaline kiirus v ning hantel hakkab vabalt liikuma. Vabalangemise kiirendus on g. Missugune on süsteemi ki‐ neetiline energia hetkel, mil massikese saavutab maksimaalse kõrguse? Ü87 Pingpong Autor: Siim Ainsaar, lõppvoor, 2008, G 2 Pingpongipall kukutatakse kõrguselt h horisontaalsele lauale. Igal põrkel kahaneb palli energia k korda. Leidke palli lahtilaskmisest seismajäämiseni kuluv aeg t. Vabalangemise kiirendus on g. Ü88 Mürsk Autor: Mihkel Kree, piirkonnavoor, 2009, G 2 Kahurist välja lennanud mürsk (massiga M ) laguneb oma lennutrajektoori kõr‐ geimas punktis mingi sisemise vedrumehhanismi abil kaheks võrdseks pooleks (kumbki massiga M/2) nii, et üks osadest kukub mürsu senist trajektoori pidi lii‐ kudes täpselt kahurini tagasi. Kui kaugele kahurist maandub teine pool? Lagune‐ mispunkti projektsioon maapinnale asub kahurist kaugusel L. Ü89 Kerad Autor: Valter Kiisk, lahtine, 2010, G 1 On antud kolm väliselt identset ja ühesuguse massiga kera. On teada, et üks neist keradest on homogeenne, teine on seest õõnes ja kolmas on seest vedel. Kuidas saab lihtsate võrdlevate mehaanikakatsetega kindlaks teha, milline on iga kera si‐ semus? Abivahendeid võib vabalt valida, aga kerasid vigastada ei tohi. Ü90 Sild Autor: Valter Kiisk, lõppvoor, 2010, G 1 Risti üle l = 100 m laiuse jõe kulgeb kumer autoteega sild. Silla keskel on autotee kaldapealsest tasemest h = 5 m võrra kõrgemal. Silla profiiliks on ringjoone kaar. Auto massiga m = 1000 kg ületab silda muutumatu kiirusega v = 60 km/h. Kui suure jõuga rõhub auto silla keskkohta? Kui suure kiiruse juures hakkab kaduma kontakt rataste ja tee vahel? 30 Ü91 Varras Autor: Stanislav Zavjalov, lõppvoor, 2011, G 2 Mööda liigendi abil seina külge kinnitatud väga pikka ja tühiselt kerget varrast saab libiseda väike rõngas massiga m. Esialgu asub rõngas liigendist kaugusel l ja varras on horisontaalne. Ajahetkel t = 0 hakkab süsteem vabalt liikuma. Leid‐ ke varda ja horisontaali vahelise nurga α ajaline sõltuvus. Kõik liikumised lugeda hõõrdevabaks. Ü92 Kadunud rahakott Autor: Eero Vaher, lahtine, 2012, G 2 Suusahüppemäe hoovõturada asub nõlval, mille tõusunurk on α. Hoovõturaja alu‐ mine ots on horisontaalne. Suusahüppaja alustas hoovõttu kõrguselt h, kuid kohe hoovõtu alguses kukkus tal rahakott taskust välja. Kui kaugele äratõukepunktist (mööda horisontaali) rahakott lendab, kui see liigub ilma takistuseta? Ü93 Kivi Autor: Taavi Pungas, lahtine, 2013, G 1 Juku avastas maast välja turritamas poolkerakujulise kivi. Mõõtes mõõdulindiga selle ümbermõõdu, sai ta tulemuseks a = 2,4 m. Edasi võttis ta taskust tikutop‐ si ja hakkas seda poolkera tipust alates natukesehaaval allapoole liigutama, kuni lõpuks tikutops kivilt maha libises. Mõõdulindiga mööda poolkera mõõtes sai ta tipu ja libisemispaiga vaheliseks kauguseks b = 20 cm. Kui suur oli kivi ja tikutopsi vaheline hõõrdetegur? Ü94 Kelgutaja Autor: Taavi Pungas, piirkonnavoor, 2013, G 4 Lapsel kulus ühtlase kaldega nõlvast kõrgusega h = 2,0 m alla kelgutamiseks t = 3,0 s. kui suur vähemalt pidi sel juhul olema nõlva kaldenurk α, kui ta alustas sõitu paigalseisust? Ü95 Pall Autor: Taivo Pungas, lõppvoor, 2013, G 2 Madis analüüsis arvutiprogrammiga palli põrkamisest tehtud helilindistust ja sai joonisel toodud graafiku, mis näitab helisignaali kuju. Kui on teada, et pärast kol‐ mandat põrget tõusis pall täpselt 1 m kõrgusele, leidke palli maksimaalne kõrgus pärast esimest põrget. 31 Ü96 Kaubarong Autor: Mihkel Rähn, lahtine, 2014, G 1 Kaubarongi massiga m = 5000 t veab vedur võimsusega N = 2500 kW. Veerehõõr‐ detegur rataste ja rööpa vahel on µ = 0,002. a) Leidke rongi kiirus v1 horisontaalsel teel. b) Leidke rongi kiirus v2 tõusul üks sentimeeter ühe meetri kohta. Õhutakistusega mitte arvestada. Ü97 Vaakumkahur Autor: Andreas Valdmann, lahtine, 2014, G 2 Joonisel on kujutatud niinimetatud vaakumkahur. Laadimiseks pistetakse laske‐ moonaks olev pall vaakumkahuri toru vasakpoolsest otsast sisse. Seejärel kaetakse toru mõlemad otsad kergestirebeneva õhukindla membraaniga, näiteks fooliumi‐ ga, ning pumbatakse torust õhk välja. Nüüd on vaakumkahur laskevalmis. Tulis‐ tamiseks purustatakse vasakpoolne membraan, mille tagajärjel hakkab pall toru parempoolse otsa poole sööstma. Piisavalt pika toru korral purustab pall parem‐ poolse membraani ning lendab torust välja. Olgu palli läbimõõt võrdne toru si‐ seläbimõõduga d = 4,0 cm, palli mass m = 24 g ja asugu pall enne tulistamist l = 150 cm kaugusel toru parempoolsest otsast. Kui suur on palli kiirus vahetult enne parempoolse membraani läbimist? Õhurõhk on P0 = 100 kPa. Hõõrdumise‐ ga pole tarvis arvestada. l Toru Pump Ü98 Mängukahur Autor: EFO žürii, lahtine, 2016, G 1 Mängukahurist tulistatakse kummipall nii, et see põrkab risti kaldpinnaga, kahurist horison‐ taalkaugusel L. Pall põrkab kaldpinnast tagasi kaugusele l (vt joonis). Leidke, kui suur osa energiast neeldus põrkel. Kaldpinna kaldenurk on α. Ü99 Köievedu Autor: Oleg Košik, piirkonnavoor, 2016, G 2 Eero ja Oleg võistlevad köieveos nii, et kogu võistluse ajal on köis horisontaalne. Eero mass m1 = 110 kg ja Olegi mass m2 = 85 kg. Hõõrdetegur talla ja põranda vahel µ = 0,30 on mõlemal mehel sama. Kumb mees võidab? Millise maksimaalse kiirendusega saab võitja sundida kaotajat liikuma, nii et ta ise veel paigale jääks? Raskuskiirendus g = 9,8 m/s2. 32 Ü100 Vastlaliug Autor: Moorits Mihkel Muru, lõppvoor, 2017, G 1 Juss leidis vastlaliu laskmiseks künka, mil‐ le läbilõige koosneb kahest sirglõigust, na‐ h α gu näha joonisel, edasi on horisontaalne β maa. Esimese nõlvaosa kõrgus on h = 2 m s ja selle kalle α = 20◦ , teise osa pikkus on s = 20 m ja kalle β = 5◦. Jussi mass koos kelguga on m = 47 kg ja hõõrdetegur lume ja kelgu vahel on µ = 0,08, raskuskiirendus g = 9,8 sm2. Leidke, kui pikk on Jussi vastlaliug. Ü101 Karatist Autor: tundmatu, lahtine, 2007, G 6 Hinnake, millise kiirusega v peab karatisti käsi tabama kahele kivile toetuva laua‐ jupi keskpunkti (vt joonist), et laud murduks? Käe mass on m = 1,5 kg, laua mass M = 2 kg, laua jäikustegur k = 1,4 · 105 N/m, murdumiseks vajalik läbipaine (st laua keskpunkti nihe) d = 20 mm. Märkus: jäikustegur k on võrdetegur laua keskpunkti rakendatud jõu F ning laua keskpunkti nihke x vahel (vt joonist). Ü102 Veenus Autor: Mihkel Kree, lõppvoor, 2007, G 2 Lugegem Maa ja Veenuse orbiidid ümber Päikese ringikujulisteks. Planeedid tiir‐ levad ümber Päikese samas suunas ja Veenuse maksimaalne eemaldumus (nurk Veenuse ja Päikese vahel Maalt vaadates) on 46 kraadi. a) Leidke Veenuse ja Maa orbiitide raadiuste suhe. b) Mitu päeva jääb järjestikuste maksimaalsete eemaldumuste vahele? Vihje: Kepleri seaduse kohaselt on taevakehade tiirlemisperioodide ruudud võrde‐ lised vastavate orbiitide raadiuste kuupidega. Ü103 Auto Autor: Mihkel Heidelberg, piirkonnavoor, 2009, G 5 Auto kiirendab nii, et rattad libisevad. Hetkel on auto kiirus stabiilselt v, vedavate rataste nurkkiirus ω ja raadius r. Kui oletada, et mootori võimsus läheb ainult auto liikumisse ja vedavate rataste libisemisse, siis kui suur on kasutegur? 33 Ü104 Vedru Autor: Aigar Vaigu, piirkonnavoor, 2010, G 4 Raske tellis kukub poole meetri kõrguselt jäigale lühikesele vedrule. Põrge on elast‐ ne ja tellis lendab peaaegu algsele kõrgusele tagasi. Kui kõrgele maast kerkib vedru pärast põrget? Ü105 Pendel Autor: Taavi Pungas, piirkonnavoor, 2011, G 7 Pendel pandi väikese amplituudiga võnkuma ning stopperiga registreeriti neid het‐ ki, kui pendel läbis vasakult poolt tulles oma tasakaalupunkti. Kaks järjestikust sellist sündmust toimusid hetkedel t1 = 3,19 s ja t2 = 5,64 s. Pendlil lasti mõnda aega segamatult võnkuda, seejärel saadi kaheks järjestikuseks näiduks t3 = 61,14 s ja t4 = 63,54 s. Leidke võimalikult täpselt pendli võnkeperiood ning hinnake selle mõõtemääramatust. Ü106 Alpinist Autor: Kaur Aare Saar, lahtine, 2013, G 3 Alpinist massiga m = 75 kg on kinnitatud elastse nööri külge pikkusega L = 6 m. Nööri teine ots on kinnitatud kalju külge. Olles roninud 6 meetri kõrgusele kinni‐ tuskohast, ta kukub. Leidke, kui suur võib olla ülimalt nööri elastsustegur k, tea‐ des, et suurim nööri tõmbejõud, mida inimene talub, on T = 25mg. Õhutakistust ärge arvestage. Ü107 Langevarjuhüpe Autor: Taavi Pungas, piirkonnavoor, 2014, G 5 Juku massiga m = 60 kg ja tema isa Juhan massiga M = 90 kg otsustasid teha lan‐ gevarjuhüppe. Neile pandi selga ühesugused langevarjud massiga mv = 10 kg ning nad lükati lennukist välja. Mõlema langevarjud avanesid täielikult ühesugusel kõr‐ gusel h, pärast mida saavutasid hüppajad tühise aja jooksul konstantse kiiruse ja liuglesid sellel kiirusel maapinnani. Jukul kulus langevarju avanemisest maapin‐ nani jõudmiseks aega t = 110 s. Kui pikk aeg T kulus selleks Juhanil? Langevarju‐ le õhu poolt mõjuv takistusjõud on võrdeline langemiskiiruse ruuduga. Lihtsuse mõttes loeme hüppajatele endile mõjuva õhutakistuse tühiselt väikeseks. Ü108 Kelk Autor: Joonas Kalda, piirkonnavoor, 2016, G 4 Juku tahab kelguga ületada jääga kaetud jõge. Ta star‐ dib lumega kaetud kaldalt, mis on horisondiga α = 15◦ nurga all. Jõe laius l = 10 m, kelgu ja lume vaheline hõõrdetegur µ1 = 0,20, kelgu ja jää vaheline hõõrdetegur µ2 = 0,10. Kui kõrgele veepinnast peab kallas ulatuma, et Juku libiseks teise kaldani? Ü109 Pidurdus Autor: Eero Vaher, lõppvoor, 2016, G 2 1 Auto sõidab teel, mille kõrguse muut teepikkuse kohta on k = 30. Ühesuguse algkiiruse ning pidurdusjõu korral jääb auto ülesmäge liikudes seisma vahemaa s1 = 25 m jooksul, allamäge liikudes aga vahemaa s2 = 30 m jooksul. Mis on auto algkiiruse v väärtus? Raskuskiirendus g = 9,8 sm2. 34 Ü110 Kahurikuul Autor: Hans Daniel Kaimre, lõppvoor, 2016, G 3 Juku arvutas koolitunnis ülivõimsast kahurist otse üles lastud kuuli maksimaal‐ seks kõrguseks H = 400 km. Ta ei arvestanud aga seda, et sellistel kõrgustel gra‐ vitatsioonivälja muutus on juba märkimisväärne ning ei saa eeldada, et raskus‐ jõud on konstantne. Leidke, kui kõrgele kuul tegelikult lendaks. Maa raadius R = 6400 km. Õhutakistusega mitte arvestada. Ü111 Pendel Autor: Andreas Valdmann, piirkonnavoor, 2017, G 3 Nöörist ja koormisest koosnev pendel võngub nii, et amplituudasendis on nööri ja vertikaalsihi vaheline nurk α = 60◦. Mitu korda erinevad võnkumise käigus suurim ja vähim pinge nööris? Ü112 Mäenõlv Autor: Jonatan Kalmus, lõppvoor, 2017, G 2 Kui suure maksimaalse kaldenurgaga α mäenõlvast on võimalik jalgrattaga kons‐ tantse kiirusega üles sõita? Ratturi mass on m, jalgratta mass M , pedaali vända pikkus r1 , eesmise hammasratta raadius r2 , tagumise hammasratta raadius r3 , ratta raadius r4. Eeldada, et ratturi massikese püsib sõitmise käigus ratta suhtes paigal ja sõitja kannab kogu oma kehakaalu vajuval pedaalil. Hõõrdetegur pinna ja ratta vahel on piisavalt suur libisemise vältimiseks. Mehaanilise hõõrdumisega jõuülekandes mitte arvestada ning veerehõõrdejõu võib lugeda tühiseks. Eeldada, et jalgratta keskmine kiirus püsib ligikaudselt konstante ja kiiruse suhteline muu‐ tus veerand väntamisperioodi jooksul on tühiselt väike. Märkus. Ülesande teksti on olümpiaadil esineva versiooniga võrreldes kohandatud. Ü113 Aerud Autor: tundmatu, piirkonnavoor, 2005, G 6 Aerude pikkus tullist (punktist, kus aerud kinnituvad paadi kere külge) kuni käepi‐ demeni on a = 1 m ning tullist kuni labadeni on b = 1,5 m. Keskmine jõud, millega aerutaja tõmbab kumbagi aeru, on F = 60 N. Paadi ja vee vaheline takistusjõud on Fh = αv 2 , kus α = 20 kg/m. Kui suure keskmise kiirusega liigub paat? Hinnata aerutaja keskmist võimsust. Ü114 Kivi Autor: tundmatu, lahtine, 2006, G 4 Paelaga lae külge kinnitatud kivi liigub mööda horisontaaltasapinnas asuvat ring‐ joont, mille kaugus laest h = 1,25 m. Leida kivi tiirlemisperiood τ. Ü115 Kaldpind Autor: Mihkel Rähn, piirkonnavoor, 2006, G 4 Pall kukub kaldpinnale ja hakkab elastselt põrkuma (st energiakadudeta). Kui kau‐ gel on viies põrkekoht esimesest? Kaldpinna kaldenurk on α, palli algkõrgus esi‐ mesest põrkekohast oli h. 35 Ü116 Kuulike Autor: tundmatu, lahtine, 2008, G 5 Venimatu ja kaalutu niidi otsa kinnitati kuulike. Niit viidi horisontaalasendisse ja lasti lahti. Kuulikese kiiruse vertikaalne komponent hakkab esialgu suurenema, kuid teatud hetkest alates vähenema. Millise nurga moodustab niit vertikaalsihiga ajahetkel, kui kuulikese kiiruse vertikaalne komponent on maksimaalne? Ü117 Veerev silinder Autor: Andres Laan, lahtine, 2010, G 3 Alusele kinnitatud poolsilindril raadiusega R lebab sel‐ le kõrgeimas punktis seest tühi silinder raadiusega r. r Ühel hetkel nihkub keha veidi tasakaalust välja ja hak‐ kab selle tulemusel libisemiseta veerema (hõõrdetegur on väga suur). Leidke, kui kõrgel aluse kohal keha pool‐ R silindri pinnast eraldub. Vihje: kui veereva silindri mass on m ja ta masskese liigub kiirusega v, on ta kineetiline energia mv 2 (ilma kordajata 12 !). Ü118 Veoauto Autor: Kristian Kuppart, lahtine, 2011, G 3 Veoauto kastis kõrgusega H on vedelik, mille pinna kõrgus kasti põhjast on h, kus‐ juures h > H2. Kui suure kiirendusega a saab veoauto liikuda, ilma et vedelik kastist välja voolaks? Veoauto kasti pikkus on L. Märkus. Auto kiirendab sujuvalt ning tänu sellele vedelik võnkuma ei hakka. Ü119 Surmasõlm Autor: Andreas Valdmann, piirkonnavoor, 2012, G 5 Mudelauto rada on kujutatud joonisel: auto alustab kaldtee tipus seisvast asendist, kogub laskumisel kii‐ rust ja teeb silmuses surmasõlme. Mis on minimaal‐ ne kõrgus h, et auto silmuse läbimisel alla ei kukuks? d h Silmuse läbimõõt on d. Hõõrdumisega arvestada ei ole vaja. 36 Ü120 Veejuga Autor: Mihkel Kree, lõppvoor, 2012, G 2 Pildil on foto horisontaalsest torust väljuva veejoaga ning teljestik, mille väikseim jaotis on võrdne veejoa läbimõõduga selle algkõrgusel. Ühtlase kiirusega voolava veejoa alla pandud mõõteklaas ruumalaga V = 150 cm3 täitus ajaga t = 5 min. Leidke toru siseläbimõõt. Ü121 Lasketiir Autor: Aigar Vaigu, piirkonnavoor, 2016, G 6 Siselasketiirus tulistatakse vintpüssist, mille kuuli kiirus v = 320 m/s, kaugusel s = 30 m olevat märklauda. Laskur sihib püssiga samal kõrgusel olevat märki ja tabab seda otse kümnesse. Hinnake, kui kaugele sihtmärgist satuks kuul, kui relva enne laskmist keerata ümber sihtimistelje 180 kraadi? Õhutakistusega mitte arves‐ tada. Ü122 Silinder Autor: Kaur Aare Saar, lõppvoor, 2016, G 4 Silinder massiga m ja raadiusega R libiseb tasapinnal kiirusega v ja nurkkiirusega ω. Kui libisemine on lõppenud, liigub silinder kiirusega v esialgsega vastupidises suunas. Leidke silindri esialgne nurkkiirus. v ω 37 Ü123 Veok ringteel Autor: Jonatan Kalmus, piirkonnavoor, 2018, G 5 Veok sõidab ringteel kõverusraadiusega R ühtlase kiirusega. Leida veoki maksi‐ maalne võimalik kiirus, eeldusel et hõõrdetegur on piisavalt suur libisemise väl‐ timiseks. Veoki massikeskme kõrgus maapinnast on h ja veoki laius l. Raskuskii‐ rendus on g. Ü124 Sfäär Autor: Andre Sääsk, lahtine, 2005, G 6 Üks osa Pariisi Cité des Sciences’ teadusmuuseumi kompleksist — La Géode — ku‐ jutab endast hiigelsuurt sfääri raadiusega R = 18 m, mille sees asub maailma suu‐ rim kinoekraan (vt joonist). Hoonet väljastpoolt imetlev uudishimulik koolipoiss otsustab tabada selle hoone tipp‐punkti tennisepalliga. Kui suure minimaalse kii‐ rusega v peaks ta palli viskama, et palli liikumise trajektoor lõikuks hoone välis‐ pinnaga vaid ühes punktis — hoone tipp‐punktis — ja see oleks ühtlasi ka palli lii‐ kumise trajektoori kõrgeimaks punktiks? Pall alustab liikumist kõrgusel h = 1,5 m. Ü125 Anum Autor: tundmatu, lahtine, 2005, G 7 Siledal pinnal asub kerge ristkülikuline anum, mis on täidetud vedelikuga tihedu‐ sega ρ0 , vedeliku ruumala on V0. Anuma põhja sattunud põrnikas ruumalaga V ja tihedusega ρ hakkab anuma põhja suhtes roomama kiirusega u. Millise kiiru‐ sega hakkab anum pinnal liikuma? Anuma mass on tühine, veetase jääb kogu aeg horisontaalseks. Eeldada, et pinna ja anuma vahel hõõre puudub. 38 Ü126 Mullitaja Autor: Jaak Kikas, lõppvoor, 2005, G 7 Veekogu põhjas asub mullitaja — õhuballoon väikese avausega, millest võrdsete ajavahemike ∆t = 1 s järel väljuvad õhumullid raadiusega R = 0,3 mm. Taolise mullikese liikumisel vees mõjub sellele takistusjõud F = 6πηRv, kus η on vede‐ liku voolamistakistust iseloomustav tegur ehk vedeliku viskoossus (vee korral on selle suuruse väärtuseks 1 · 10−3 N s/m2 ) ja v on mullikese kiirus. Võite lugeda, et mullikese liikumine toimub kogu aeg kiirusega, mis on määratud tingimusega, et kõigi talle mõjuvate jõudude resultant on null. Vee tihedus ρ = 1000 kg/m3 , ras‐ kuskiirendus g = 9,8 m/s2 , õhurõhk p0 = 100 kPa. Mitu korda muutub vahemaa naabermullikeste vahel tõusul põhjast pinnale, kui veekogu sügavus on H = 27 m? Ü127 Plokk Autor: tundmatu, lahtine, 2006, G 5 Kui suure kiirendusega ak ja mis suunas hakkab liikuma kahest kehast koosneva süsteemi masskese, kui kehad on seotud niidiga, mis on tõmmatud üle ploki (vt joonist)? Kehade massid on m1 ja m2 (m1 < m2 ), niit on kaalutu ja mitteelastne. Ü128 Kada Autor: Oleg Košik, lõppvoor, 2006, G 3 Vaatame lihtsa kada ehk ragulka konstruktsiooni. Elastne kummipael tõmmatakse kahe fikseeritud otspunkti vahele, laskmiseks asetatakse kivi paela keskele, pael tõmmatakse koos kiviga pingule ja lastakse vabaks. Kivi lastakse lendu horison‐ taaltasandi suhtes nurga α = 10◦ all. Leidke, kui kaugele peab laskja tõmbama kivi, et tabada märki, mis asub kadast L = 25 m kaugusel ning sellega samal kõr‐ gusel. Kui suurt jõudu peab ta selleks paelale rakendama? Kummipaela pikkus pingestamata olekus on l = 60 cm, mis on ühtlasi ka paela kinnituspunktide va‐ hekaugus. Pael lugeda kaalutuks ning jäikusteguriga k = 50 N/m. Kivi mass on 39  m = 20 g. Õhutakistusega ei ole vaja arvestada. Raskusjõu mõju kivi kiirendamisel kadas pole vaja arvestada. Raskuskiirendus on g = 9,81 m/s2. Ü129 Hooratas Autor: Valter Kiisk, lõppvoor, 2007, G 4 Hooratas raadiusega R pöörleb nurkkiirusega ω. Lihtsuse huvides võib hooratast vaadelda peenikese rõngana (pöörlemistelg ühtib rõnga teljega). a) Milline on energia salvestustihedus w (kineetiline energia massiühiku kohta) hoorattas? b) Hooratas on valmistatud süsinikkiuga armeeritud polümeerist, mille tõmbetu‐ gevus σmax = 2,4 · 109 Pa ja tihedus ρ = 1500 kg/m3. Hinnake energia salvestus‐ tiheduse maksimaalselt võimalikku väärtust sellises hoorattas (andes numbrilise vastuse). Vihje: tõmbetugevus on maksimaalne jõud ristlõike pindala kohta, mida antud ma‐ terjal talub ilma purunemata. Ü130 Maaler Autor: Valter Kiisk, lahtine, 2010, G 5 Maaler on seina ülemise osa värvimiseks roninud kõrge, peaaegu vertikaalse rede‐ li tippu. Ettevaatamatu liigutuse tulemusena hakkab redel ümber kukkuma. Kas vähemohtlik oleks redelist kohe lahti lasta või pigem klammerduda redeli külge? Põrand on lai ja tühi, nii et (redeli) kukkumist ei takista miski. Redeli alumine ots ei libise. Vihje: homogeensel vardal pikkusega l ja massiga m on ümber otsa nurk‐ 2 2 kiirusega ω pööreldes kineetiline energia ml6ω. Ü131 Benji‐hüpe Autor: Andreas Valdmann, piirkonnavoor, 2010, G 6 Benji‐hüppaja massiga m = 80 kg kasutab köit pikkusega l = 35 m, mille jäikus‐ tegur k = 60 N/m. Kui kõrgele maapinnast tuleks tõsta hüppeplatvorm, et jääks ohutusvaru h = 5 m? Mis on suurim kiirus, mille hüppaja saavutab? Raskuskiiren‐ dus g = 9,8 m/s2. Hüppaja mõõtmetega arvestama ei pea. Ü132 Kloori molekul Autor: Ants Remm, lahtine, 2012, G 6 Kloori molekul, mis liigub kiirusega v = 600 m/s, neelab footoni lainepikkuse‐ ga λ = 350 nm ning jaguneb kaheks aatomiks. Ühe aatomi kiiruseks mõõdetak‐ se u = 1600 m/s, mis on risti molekuli esialgse kiirusega. Leidke kloori molekuli seoseenergia, kui kõik osakesed olid minimaalse siseenergiaga seisundis. Plancki konstant on h = 6,6 · 10−34 J s, valguse kiirus on c = 3,0 · 108 m/s, kloori aatom‐ number on 35 ning Avogadro arv on NA = 6,0·1023 mol−1. Footoni energia avaldub valemiga E = hcλ. Eeldada, et footoni impulss on tühine võrreldes Kloori impulsi‐ ga. 40 Ü133 Kiik Autor: Andres Põldaru, lahtine, 2014, G 5 Kiige ühe otsa peal kaugusel l1 kiige pöörlemisteljest asub mass m1. Kiige teise ot‐ sa peale, mis on pöörlemisteljest kaugusel l2 , kukub kõrguselt h mass m2. Kokku‐ põrge on absoluutselt mitteelastne ning kiik on kokkupõrkehetkel horisontaalne. Kiige mass on väga väike ja sellega ei pea arvestama. Kui kiiresti liigub esimene mass vahetult pärast kokkupõrget? Ü134 Vesiniku ioniseerimine Autor: Jaan Toots, lahtine, 2015, G 6 Kui suur on vähim vesiniku aatomit ioniseerida suutva vaba prootoni kineetiline energia K0 ? Eeldage, et elektron on vesiniku aatomis paigal ning elektromagne‐ tiline vastasmõju aatomi tuuma ja vaba prootoni vahel on tühine. Vesiniku seo‐ seenergia E0 = 13,6 eV, prootoni mass mp = 1,67 · 10−27 kg ja elektroni mass me = 9,11 · 10−31 kg. Ü135 Veetoru Autor: Kristian Kuppart, piirkonnavoor, 2015, G 5 Veetoru pikkusega L on kinnitatud seina külge nii, et see saab vertikaaltasandis vabalt pöörelda. Veetoru mass koos seda täitva veega on M. Toru ots ristlõikepindalaga S on ülejäänud toruga L võrreldes 90 kraadi pööratud (vt joonist) ning sellest voolab väl‐ ja vesi kiirusega v ja tihedusega ρ. Kui suure nurga all vertikaali suhtes paikneb toru telg? Raskuskiirenduse väärtus on g. Ü136 Põrge Autor: Mihkel Kree, piirkonnavoor, 2015, G 6 Algselt paigal olev rippuv varras massiga M ning pikkusega L on fikseeritud ülemisest otsast vabalt pöörleva kinnitusega. Varda inertsimoment otspunkti suhtes on I = 31 M L2. Teras‐ pall massiga m1 lendab vastu varrast ning tabab seda kaugusel h riputuspunktist. Põrge on elastne, st soojuskadudeta. Huvi‐ taval kombel jääb teraskuul pärast põrget hetkeks paigale ning hakkab seejärel vertikaalselt alla langema. Leidke kauguse h väärtus, mille korral niisugune seismajäämine võimalik on. Ü137 Rattur Autor: Ardi Loot, lahtine, 2016, G 6 Rattur massiga m = 100 kg sõidab ilma väntamata alla mäenõlvalt langemisnur‐ gaga θ1 = 4,8◦ (nurk horisondi ja mäenõlva vahel) ja märkab, et piisavalt pika nõlva korral on tema lõppkiiruseks v1 = 50 km/h. Kaks korda väiksema nõlva kor‐ ral (θ2 = 2,4◦ ) on ratturi lõppkiirus aga ∆v = 15 km/h võrra väiksem. Leidke, kui suur peab olema ratturi väntamise võimsus, et horisontaalsel teel hoida kiirust v = 20 km/h. Kui suur osa võimsusest kulub tuuletakistuse ületamiseks? Eeldage, et tegemist on tuulevaikse ilmaga ja raskuskiirendus g = 9,8 m/s2. Märkus. Arvestada tuleks nii kiirusest sõltumatu hõõrdejõuga kui ka tuuletakistu‐ sega, mis on võrdeline kiiruse ruuduga. 41 Ü138 Kaks kuuli ja vedru Autor: Rasmus Kisel, piirkonnavoor, 2017, G 7 Vedru erinevatesse otstesse on kinnitatud väikesed kuulid, millest ühe mass on M ning teise oma tundmatu. Kogu süsteem pannakse pöörlema nii, et tundma‐ tu massi kaugus pöörlemiskeskmest on võrdne vedru esialgse pikkusega. Mis on selle pöörlemise periood, kui vedru jäikus on k? Vedru mass on võrreldes kuulide massidega tühine. Ü139 Reisirong Autor: Moorits Mihkel Muru, lõppvoor, 2017, G 5 Reisirong sõidab mööda raudtee ringjoone kaarekujulist lõiku ühtlaselt aeglustu‐ des. Lõigu pikkus on s ja rongil kulub selle läbimiseks aeg t. Pärast selle lõigu läbi‐ mist on rongi liikumise suund muutunud nurga φ võrra ja lõigu alguses oli rongi kiirus α korda suurem, kui see on lõigu lõpus. Leidke seos rongis istuva reisija massi m ja tema kaalu P vahel, kui reisirong on parajasti selle lõigu keskpunktis. Leidke reisija mass, kui P = 840 N, s = 1,5 km, t = 60 s, α = 1,5, φ = 60◦ ja g = 9,8 sm2. Ü140 Kaheosaline pendel Autor: Hans Daniel Kaimre, lõppvoor, 2018, G 4 Punktis O kinnitatud niidi pikkusega l otsas ri‐ O pub väike kuulike. Kuulike viiakse kõrvale ja 1 3 vabastatakse tõuketa asendist 1. Kuuli jõudes l 2 asendisse 2, kohtab niit joonise tasandiga ris‐ l 2 α ti olevat varrast punktis A, mis asub punktist A O kaugusel l/2 sellega samal vertikaalil. Lei‐ da, millise nurga α väärtuse korral niidi pinge 2 T = 0 (asend 3). Õhutakistust ja hõõrdumist vardal arvestama ei pea. Ü141 Veerev pall Autor: Hans Daniel Kaimre, piirkonnavoor, 2016, G 8 Klotsist on välja lõigatud poolsilindrikujuline tükk raa‐ diusega R. Klots seisab siledal hõõrdevabal horison‐ A taalsel pinnal (vaata joonist). Klotsi mass on M. Punk‐ tist A lükatakse liikuma mööda silindrikujulise väljalõi‐ ke pinda väike pall raadiusega r ning massiga m. Kui palju on nihkunud klots hetkeks, mil pall jõuab punkti B? B Ü142 Vai Autor: Jaak Kikas, piirkonnavoor, 2006, G 10 Vertikaalset vaia pikkusega L ja massiga M lüüakse pin‐ nasesse nii, et tema otsa pihta lastakse kõrguselt H ≫ L vaia otsast kukkuda koor‐ misel massiga m. Lööki vaia pihta võib lugeda absoluutselt mitteelastseks, st pärast raskuse ja vaia kokkupuudet liiguvad nad kui üks tervik. Pinnase takistusjõud on F = F0 +kl, kus l on maa sees oleva vaiaosa pikkus. Kui suur on löökide arv N , mis 42  on vajalik selleks, et vai täies pikkuses maasse lüüa? Võite eeldada, et ühekordse löögi tagajärjel nihkub vai sügavamale väikese osa võrra oma pikkusest. Ü143 Pidurdamine Autor: Tanel Kiis, lahtine, 2012, G 7 Keha massiga M kukub vabalt raskusjõu toimel kiirendusega g. Tema kiirust proo‐ vitakse muuta, tulistades maalt otse üles iga t sekundi tagant väikeseid kuulikesi massiga m, mis põrkavad elastselt otse tagasi. Kui suur peab olema kuulikeste kii‐ rus u, et pärast iga põrget oleks langeva keha kiirus üks ja seesama v? Võib eeldada, et väikeste kuulikeste kiiruse muut raskusjõu toimel on tühine ja m ≪ M. Ü144 Robin Hood Autor: Madis Ollikainen, piirkonnavoor, 2012, G 9 Robin Hood on täpsuslaskmisvõistlustel, kus tal tuleb tabada märklauda, mis asub L = 200 m kaugusel. Millise nurga α all horisontaalsihi suhtes peab Robin vi‐ bust laskma, et tabada täpselt märklaua keskpunkti? Vibu vinnamisel teeb ta tööd A = 500 J ning vibu kasutegur on η = 0, 17. Noole mass on m = 54 g ja see lastak‐ se lendu märklaua keskpunktist h = 70 cm võrra kõrgemalt. Õhutakistusega ärge arvestage. Raskuskiirenduseks lugege g = 9,8 m/s2. Ü145 Sportauto Autor: Mihkel Rähn, lõppvoor, 2014, G 7 Leidke esirattaveolise sõiduauto maksimaalne kiirendus. Auto mass on m, esi‐ ja tagarataste telgede vahe b, masskeskme kõrgus h ning masskeskme horisontaalne kaugus tagateljest s. Hõõrdetegur rataste ja maa vahel on µ. Ü146 Latt Autor: Kaur Aare Saar, lahtine, 2015, G 8 Pikka horisontaaltasapinnal lebavat latti lükatakse ühest otsast muutumatu kii‐ rusega ning risti latiga. Kui kaugel sellest lati otsast asub lati pöörlemistelg? Lati pikkus on L. Hõõrdetegur lati ja tasapinna vahel on kõikjal ühesugune. Ü147 Klaaskuul Autor: Aigar Vaigu, piirkonnavoor, 2008, G 6 Klaaskuul kukkus vertikaalselt alla libedale horisontaalsele põrandale ning puru‐ nes kolmeks tükiks, mis lendasid mööda põrandat laiali. Sündmus jäädvustati fotol (vt joonist). Tükkide kujutised osutusid välja venitatuks, sest säriaeg oli võrdlemisi pikk. Millised olid kuuli tükkide masside suhted? Hõõrdejõud tükkide liikumisel lugeda tühiselt väikeseks. Fotoobjektiivi optiline peatelg oli pildistamisel vertikaal‐ ne 43 Ü148 Plokid Autor: Mihkel Kree, piirkonnavoor, 2008, G 9 Polüspast ehk liitplokk koosneb seitsmest plokist (vt. joonist). Koormiste massid M ja γM on näidatud joonisel. Missuguse kiirendusega hakkavad liikuma äärmised koormised? Mis tingimust peab rahuldama suurus γ, et äärmised koormised hak‐ kaksid langema? Plokkide ja nööri mass jätta arvestamata ning nöör lugeda veni‐ matuks. Ü149 Õõnes kera Autor: Tanel Kiis, piirkonnavoor, 2013, G 9 g Jukul on rauast kera (ϱFe = 7,9 cm3 ) raadiusega r = 10 cm ja massiga m = 30 kg. Juku teab, et kera sees on sfääriline õõnsus, mille keskpunkti kaugust d kera kesk‐ punktist ta üritab leida. Selleks riputas ta kuuli kaks korda nööri otsa rippuma, kasutades riputuskohtadeks kera vastaspunkte. Ühel korral moodustas neid kin‐ nituspunkte ühendav telg horisondiga nurga α = 60◦ , teisel korral aga nurga β = 45◦. Leidke d. 44 Ü150 Jalgpallurid Autor: Andreas Valdmann, lõppvoor, 2013, G 9 Kaks jalgpallurit proovisid trikilööki, kus kaks palli õhus kokku põrkavad. Jalgpal‐ lurid seisid teineteisest d = 20 m kaugusel ja andsid samal ajahetkel sooritatud löögiga kumbki oma pallile algkiiruse v = 15 m/s. Mis piirkonnas võisid pallid lennul kokku põrgata? Vastuseks tehke pealtvaates joonis, kuhu on kantud jalgpal‐ lurite asukohad ja kõikvõimalike kokkupõrkepunktide piirkond. Esitage ka selle piirkonna mõõdud. Võimalike kokkupõrkepunktide kõrgust maapinnast pole vaja eraldi välja arvutada ega joonisele kanda. Raskuskiirendus on g = 9,8 m/s2. Ü151 Mutrivõti Autor: Andres Põldaru, lahtine, 2015, G 9 Kui suur peab olema reguleeritava mutrivõtme keerete arv pikkusühiku kohta n, et mutreid saaks kõvasti kinni keerata? Hõõrdetegur kokkupuutepindade vahel on µ ja raadius reguleerija teljest kokkupuutepinnani on r. μ 2r Ü152 Plokid Autor: Taavet Kalda, lahtine, 2017, G 8 Joonisel on kujutatud kahest plokist ja kolmest raskusest, massidega m1 , m2 ja M koosnevat süsteemi. Nöörid on venimatud ning nööride ja plokkide massid on tühised võrreldes raskuste massidega. Hõõre ploki ja nööri vahel on tühiselt väike. Missugune peaks olema M väärtus selleks, et M jääks esialgu paigale, kui süsteem lahti lasta? 45 Ü153 Mänguauto Autor: Jaan Kalda, lahtine, 2017, G 9 Mänguauto telgede vaheline kaugus on L ning massikese asub võrdsel kaugusel telgedest kõrgusel h horisontaalpinnast. Auto esimesed rattad saavad vabalt pöö‐ relda ja on tühise massiga, tagumised rattad on aga jäigalt kinni kiilunud ega pöör‐ le üldse. Auto lebab horisontaalsel pinnal, rataste ja horisontaalpinna vaheline hõõrdetegur on µ, raskuskiirendus on g. Horisontaalpinda hakatakse liigutama kõrge sagedusega horisontaalselt edasi‐tagasi: ühe poolperioodi jooksul on pinna kiirusvektor suunatud auto tagaratastelt esi‐ ratastele ning teise poolperioodi jooksul on see vastassuunaline; mõlema pool‐ perioodi jooksul püsib kiiruse moodul konstantsena; võngutamisel liigutatakse pinda nii kiiresti, et auto libiseb pinna suhtes kogu aeg kas ühes või teises suu‐ nas. Millise keskmise kiirendusega hakkab liikuma auto? Ü154 Rong Autor: tundmatu, lahtine, 2006, G 10 Rong sõidab kiirusega v = 100 km/h ja pidurdab järsult (blokeerides rattad). Graa‐ fikul on toodud rongi rataste ja rööbaste vahelise hõõrdeteguri µ sõltuvus kiirusest (km/h). a) Kui pikk on rongi täieliku peatumiseni kulunud aeg? b) Kui suur on pidurdusmaa pikkus? Mõlemad vastused tuleb leida graafikualuste pindaladena sobilikult valitud teljestikes. Ü155 Värinaalarm Autor: Jaan Kalda, lahtine, 2011, G 9 Uurime lihtsustatud mudeli abil kergelt kaldus pinnal asetseva mobiiltelefoni lii‐ kumist värinaalarmi töötamise ajal. Kujutagu lauale asetatud mobiil risttahukat massiga M , mille sees liigub üles‐alla väike keha massiga m. Liikugu see keha ajahetkedel t = 0, 2τ, 4τ,... vahemaa x võrra hetkeliselt üles ning ajahetkedel t = τ, 3τ, 5τ,... algasendisse tagasi. Olgu mobiiltelefoni ja laua vaheline hõõrde‐ tegur µ ning laua kaldenurk α ≪ 1. Mobiiltelefoni ja laua vahelised põrked lugege 46  absoluutselt plastseiks. Millise keskmise kiirusega u hakkab mobiiltelefon mööda lauda liikuma? Ü156 Killud Autor: Jaan Kalda, lahtine, 2012, G 10 Savikuulike massiga 10 g kukkus vertikaalselt alla siledale horisontaalsele põran‐ dale ja läks kolmeks killuks. Killud lendasid laiali ja peatusid punktides, mis on näidatud juuresoleval joonisel (ülaltvaade, ristiga on märgitud kukkumiskoht). Mää‐ rake kildude massid. Joonisel (lisalehel) võib teha lisakonstruktsioone ja mõõtmi‐ si. Võite lugeda, et killud hakkasid kohe pärast kukkumist üles põrkumata libise‐ ma, õhuhõõre on tühine ja liugehõõrdetegur ei sõltu kiirusest. Ü157 Liivakell Autor: Roland Matt, lõppvoor, 2012, G 8 Uurime liivakella mudelit. Liivakell koosneb silindrilisest torust pikkusega L, mis on keskelt eraldatud ühtlaselt aukudega läbistatud plaadiga, millest liiv saab lä‐ bi voolata. Heas lähenduses ei sõltu liiva aukude läbimise masskiirus w ülemises anumas olevast liivahulgast. Liivakell asetatakse kaalule töörežiimis (kui liiv voo‐ lab) ja siis, kui kogu liiv on alla voolanud. Milline on kaalunäitude vahe? Liiva tihe‐ dus on ρ ja liivakella ristlõikepindala on S. Eeldage, et hetkel kukkuva liiva mass on tühine võrreldes liiva kogumassiga. Ü158 Silindrilised anumad Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2014, G 8 Silindriline anum siseraadiusega R = 30 mm on täidetud veega. Teine tü‐ hi silindriline anum raadiusega r = 25 mm, mille mass on tühiselt väike, on surutud koaksiaalselt suurema silindri sisse nii, et selle vettesukeldu‐ nud osa pikkus L = 300 mm (vt joonist). Leidke sisemise silindri kiirendus vahetult pärast seda, kui see vabaks lastakse. Vee pindpinevuse ning vis‐ koossusega arvestada pole tarvis. 47 Ü159 Vedru Autor: Mihkel Kree, lõppvoor, 2015, G 8 Kasti sees on vedru külge riputatud koormis. Nii kast kui koormis on mas‐ siga m. Vedru mass on tühiselt väike ning selle jäikustegur on k. Kastil lastakse kõr‐ guselt h vabalt maha kukkuda nii, et langemise ajal on koormis tasakaaluolekus. Kokkupõrkel pehme pinnaga jääb kast hetkeliselt paigale. Kast on piisavalt kõrge selleks, et koormis vastu kasti ei põrkaks. Vedrut ei suruta ühelgi hetkel täielikult kokku. a) Milline on vähim kõrgus hm , millelt kukkudes hüppab kast tagasi üles? b) Kastil lasti kukkuda punktis a) leitud algkõrguselt h ≈ hm. Kui pika ajavahemiku t veedab kast maapinnal enne üles kerkimist? Märkus. Pange tähele, et vabalangemises olev koormis on kaaluta olekus ning see‐ tõttu on vedru langemise ajal välja venitamata. Maapinnale jõudes pole koormis enam tasakaaluasendis ningq hakkab seetõttu uue tasakaaluasendi ümber võnku‐ k ma nurksagedusega ω = m. Ü160 Vardad Autor: Jaan Kalda, lahtine, 2017, G 10 Juuresoleval joonisel on kujutatud kahest var‐ B dast pikkusega 2l koostatud šarniirne konst‐ ruktsioon. Ühe varda otspunkt on fikseeritud 2l 2l liikumatuna punkti A ning teise varda ots‐ punkt C liigub konstantse kiirusega v piki sihti, l mis möödub punktist A kaugusel l. Leidke var‐ v A C raste ühenduspunkti B kiirendus hetkel, mil punktide A ja C vahekaugus on 2l. Ü161 Kuulid Autor: Jaan Kalda, lõppvoor, 2006, G 10 Joonisel kujutatud süsteem koosneb kolmest võrdkülg‐ se kolmnurga tippudes paiknevast kuulist massiga m ja kolmest kergest vardast pikkusega l, mis on omavahel šarniirselt ühendatud (liigendiga). Süsteem lebab hõõr‐ devabalt siledal horisontaalpinnal. Ühte kuuli lükatak‐ se teatud lühiajalise jõuga nii, et see omandab kiiruse v0 , mis on suunatud naaberkuuli poole. Leidke teiste kuulide kiiruste suunad ja moodulid ning kõigi kuuli‐ de kiirendused vahetult peale esimese kuuli lükkamist. 48  Taevamehaanika Ü162 Satelliit Autor: Mihkel Pajusalu, piirkonnavoor, 2011, G 2 Satelliit tiirleb ringikujulisel orbiidil (raadiusega r = 7000 km) ümber maakera, kusjuures satelliidi orbiit on samas tasapinnas Maa orbiidiga ümber Päikese. Kui suure osa ajast keskmiselt veedab satelliit Maa varjus? Maa läbimõõt on R = 6378 km. Päikeselt tulevad kiired võib lugeda paralleelseteks ja Maa liikumise ühe satelliidi orbiiditaalperioodi jooksul tühiseks. Ü163 Väike prints Autor: Urmo Visk, piirkonnavoor, 2009, G 1 Väike Prints elab sfäärilisel asteroidil B‐612. Jalutades märkas väike prints, et mi‐ da kiiremini ta kõnnib, seda kergemaks ta muutub. Kui väike prints jooksis piki asteroidi ekvaatorit kiirusega v = 6 m/s, siis muutus ta kaalutuks ja hakkas as‐ teroidi pinna kohal hõljuma. Kui suur on asteroidi raadius R? Eeldame, et aste‐ roid ei pöörle. Asteroidi tihedus on ρ = 5200 kg/m3 , gravitatsioonikonstant G = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2. Ü164 Maa pöörlemisperiood Autor: Eero Vaher, piirkonnavoor, 2014, G 3 Keskmiseks päikeseööpäevaks ehk tavatähenduses ööpäevaks nimetatakse kesk‐ mist perioodi, mille jooksul Päike näib Maaga seotud vaatleja jaoks tegevat taevas täisringi. Keskmise päikeseööpäeva pikkuseks on 24 h ehk 86 400 s. Maal kulub ühe tiiru tegemiseks ümber Päikese 365,256 keskmist päikeseööpäeva. Maa pöörlemis‐ suund ümber oma telje ühtib selle tiirlemissuunaga Päikese ümber. Leidke nende andmete põhjal Maa pöörlemisperiood sekundi täpsusega. Ü165 Eksinud satelliit Autor: tundmatu, lahtine, 2009, G 5 Sidesatelliidid paiknevad geostatsionaarsel orbiidil — st niisugusel ringorbiidil, mille raadius ja suund on sellised, et satelliit püsib maapinna suhtes kogu aeg pai‐ gal. Ühe sidesatelliidi saatmisel aga esines viga, nii et ta saavutas küll õige kõrgu‐ se, kuid ringorbiidi suund sattus juhuslik. Milline on suurim võimalik suhteline kiirus, millega võib selliselt „eksinud“ satelliit kokku põrkuda mõne teise sidesa‐ telliidiga? Maa raadius on R = 6400 km, raskuskiirendus maapinnal g = 9,8 m/s2. Ü166 Orbiit Autor: Mihkel Pajusalu, lahtine, 2014, G 3 Taevakehad tiirlevad teatavasti elliptilistel orbiitidel. Ka Kuu orbiit ümber Maa on elliptiline. Kui Kuu kõige väiksem kaugus Maa‐Kuu süsteemi massikeskmest (mil‐ le selles ülesandes võib lugeda ühtivaks Maa keskpunktiga) on r1 = 360 000 km ja orbitaalkiirus sellel kaugusel on v1 = 1,1 km/s, siis kui suur on ligikaudu suurim kaugus Maa ja Kuu vahel? Maa massiks võtta M = 6,0 · 1024 kg ja gravitatsiooni‐ 2 konstandiks G = 6,7 · 10−11 Nkgm2. 49 Ü167 Päikese tihedus Autor: Eero Vaher, piirkonnavoor, 2013, G 6 Leidke Päikese keskmine tihedus ϱ. Maa tiirlemisperiood on T = 1 aasta, gravitat‐ sioonikonstant G = 6,7 · 10−11 Nm2 /kg2 , Maa kaugus Päikesest R = 1,5 · 1011 m, Päikese nurkläbimõõt Maalt vaadatuna on α = 0,54◦ (see on nurk, mis moodus‐ tub kahe kiire vahel, mis on tõmmatud vaatleja silma juurest Päikese diameetri otspunktide juurde). Ü168 Ühendatud satelliidid Autor: Eero Vaher, piirkonnavoor, 2018, G 6 Kaks satelliiti, mõlemad massiga m, tiirlevad ümber planeedi massiga M ≫ m ringorbiitidel raadiustega R1 ning R2 = 2R1. Satelliidid on omavahel ühenda‐ tud tühise massiga pinges trossiga pikkusega R1 , mille tõttu on mõlema satelliidi tiirlemisperiood T. Mitu korda on satelliitide joonkiirused v1 ja v2 suuremad või väiksemad joonkiirustest v1′ ja v2′ , millega satelliidid tiirleksid oma orbiitidel trossi puudumisel? Ü169 Satelliit Autor: Eero Vaher, lõppvoor, 2013, G 5 Geostatsionaarseks orbiidiks nimetatakse sellist orbiiti, millel asuv satelliit Maa