Teoría Completa 2.0 PDF - Simulación de Sistemas

UNCAUS Año 2022  Desarrollar competencias para construir software de simulación y trabajar productivamente en equipo Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Desarrollar las siguientes competencias específicas en los estudiantes: Reconocer los tipos de problemas que pue...

UNCAUS Año 2022  Desarrollar competencias para construir software de simulación y trabajar productivamente en equipo Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Desarrollar las siguientes competencias específicas en los estudiantes: Reconocer los tipos de problemas que pueden ser estudiados con técnicas de Simulación. Diferenciar el tipo de Simulación a aplicar de acuerdo a los objetivos del estudio. Construir modelos a partir de los conocimientos sobre sistemas que los mismos ya poseen y las técnicas de modelización vistas. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Aplicar las etapas en el desarrollo de software de simulación desde una perspectiva de la Ingeniería del Software. Generar variables aleatorias a partir de distribuciones de probabilidad empíricas y teóricas. Desarrollar modelos de Simulación discreta y continua, aplicando métodos y herramientas apropiados para cada caso. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Seleccionar y usar lenguajes y entornos de simulación de propósitos específicos. Desarrollar destrezas interpretativas, tanto visuales como analíticas, de los resultados de una simulación. Desarrollar aptitudes investigativas incursionando en las nuevas tendencias y avances de la Simulación Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Desarrollar las siguientes competencias transversales en los estudiantes: Hacer inferencias razonables a partir de observaciones. Sintetizar e integrar informaciones e ideas. Pensar holísticamente (atendiendo tanto al todo como a las partes). Organizar eficazmente su trabajo. Trabajar productivamente con otros. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Unidad 1: Simulación y Modelos Unidad 2: Generación de variables aleatorias Unidad 3: Simulación de Eventos Discretos Unidad 4: Simulación de Sistemas Continuos Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Veamos el video para responder: 1. ¿Qué es la simulación? 2. ¿Por qué cree que es conveniente simular? 3. ¿Qué desventajas consideran que puede haber al simular? Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es una técnica que permite la generación de posibles estados o imágenes de un sistema por medio del modelo que lo representa Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital, los cuales requieren ciertos tipos de modelos lógicos y matemáticos que describen el comportamiento de un sistema (o de algún componente de él) en períodos extensos de tiempo real. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  El fundamento para usar la simulación en cualquier disciplina es la búsqueda constante del hombre por adquirir conocimientos relativos a la predicción del futuro  La simulación sirve de soporte para la toma de decisiones Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Observar ciertos procesos en el mundo real puede ser imposible o extremadamente costoso ◦ La simulación puede ser utilizada como un medio efectivo para generar datos numéricos que describen procesos, que de otro modo, proporcionarían la información a un costo muy elevado Lic. Federico Rosenzvaig 2022  El sistema observado puede ser tan complejo que sea imposible describirlo en términos de un sistema de ecuaciones matemáticas, del cual se pueden tener soluciones analíticas para ser usadas con propósitos predictivos ◦ La simulación constituye un instrumento extremadamente efectivo para trabajar con problemas de este tipo Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Aún cuando un modelo matemático logre formularse para describir algún sistema de interés, puede no obtenerse una solución del modelo por medio de técnicas analíticas directas, por lo que no se podrían realizar predicciones acerca del futuro comportamiento del sistema ◦ Cabría la oportunidad de usar estos complejos modelos matemáticos para simular el sistema de interés. ◦ Aunque este método no garantice soluciones exactas ni óptimas, es posible experimentar con un número de soluciones alternativas. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Resulta muy costoso realizar experimentos de validación en los modelos matemáticos que describen al sistema. ◦ Este problema radica en obtener los datos numéricos para verificar el modelo matemático y su solución. ◦ Los datos simulados pueden usarse para resolver hipótesis alternativas. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 1. La simulación hace posible estudiar y experimentar con las complejas interacciones que ocurren en el interior de un sistema dado. 2. A través de la simulación se pueden estudiar los efectos de ciertos cambios informativos, de organización y ambientales en la operación de un sistema. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 3. La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso conocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y cómo obran entre sí. 4. La simulación permite estudiar sistemas dinámicos 5. Puede emplearse para experimentar con situaciones nuevas acerca de las cuales tenemos muy poca o ninguna información, para estar preparados para alguna eventualidad Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Proyección: es la extrapolación de la trayectoria histórica de una variable. Sinónimo de tendencia Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Previsión: Un caso particular de la simulación, en el que el modelo matemático que representa al sistema está constituido exclusivamente por ecuaciones de comportamiento determinísticas y se puede tener un control efectivo de las variables exógenas y paramétricas, y las trayectorias futuras de las variables pueden ser pronosticadas con certeza Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Simulación: Genera diversos posibles estados futuros del sistema cuando las ecuaciones de comportamiento son borrosas y/o no se tiene un control efectivo de las variables exógenas y parámetros. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Escenario: conjunto de hipótesis coherentes sobre las condiciones en que va ha desenvolverse el sistema.  Imagen: situación en la que se encontrará el sistema si se dan las circunstancias expresadas por un determinado escenario.  A cada escenario le corresponde una imagen. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Perspectivas: La naturaleza de las operaciones de un sistema Ventajas de simular Desventajas de simular Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La naturaleza de las operaciones de un sistema: Variabilidad Interconexiones Complejidad Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Ventajas de la simulación: Frente a experimentar con el sistema real: Costo Tiempo Control de condiciones de experimentación Sistemas que no existen en la realidad Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Ventajas de la simulación: Frente a otros enfoques de modelado: Modelar la variabilidad Asumción de restricciones Transparencia Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Ventajas de la simulación: Desde una perspectiva de administración: Desarrolla la creatividad Genera conocimiento y comprensión Visualización y comunicación Construcción de consenso Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Desventajas de la simulación: Es cara Consume tiempo Necesidad de datos Requiere experticia Se trabaja con una simplificación de la realidad Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Veamos los videos uno y dos para responder: 1. ¿Cuáles son los fenómenos simulados en cada caso? 2. ¿Qué características observa entre una simulación y otra? Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Simulación Discreta: analiza un sistema centrándose en hechos puntuales (eventos) que ocurren en el tiempo y hacen que el sistema cambie de estado. Utiliza variables individuales.  Simulación Continua: analiza un sistema centrándose en la evolución del mismo en el tiempo. Le interesan los cambios suaves de las variables intervinientes. Utiliza variables agregadas. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Ejemplo simulación continua  El nivel de una presa conforme entra y sale el agua conforme sucede la precipitación y la evaporación. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Ejemplo simulación discreta  Un sistema de fabricación de partes que llegan y se van en tiempos específicos y descansos para los trabajadores. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Elaborar grupalmente una lista con tres ejemplos de modelos  Luego indique por qué creen que son modelos Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es una abstracción de la realidad.  Es una representación de la realidad que ayuda a entender como funciona.  Es una representación simplificada de la realidad, formada por los elementos que caracterizan el aspecto de la realidad y las relaciones entre esos elementos. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es la representación formal de un sistema.  Es una construcción intelectual y descriptiva de una entidad en la cual un observador tiene interés Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Un objeto M es un modelo del Fenómeno X, para un observador O, si O puede emplear M para responder a cuestiones que le interesan de X. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  ¿Modelar la siguiente realidad?  ¿Qué aspecto es importante?  ¿De quién depende la importancia? Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Modelo Obser- Sistema vador Real Lic. Federico Rosenzvaig 2022  ¿Para qué? O con qué finalidad se quiere estudiar la realidad.  Características del Investigador (observador): conocimiento propio, actitudes y aptitudes Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La misma realidad para distintos observadores produce diferentes modelos = 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅, ≠ 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 ⇒ ≠ 𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐𝒔 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Una realidad puede ser representada por una gran variedad de modelos = 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅, ≠ 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 ⇒ ≠ 𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐𝒔 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Grado de Grado de Realismo Utilidad 100% Realidad 0% Sistema 1 Sistema 2… Sistema n Modelo 1 Modelo 2… Modelo n 0% 100% Modelo Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Exacto: libre de errores  Precisión: es el grado de acercamiento a la realidad Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La precisión y la exactitud no siempre van juntas en el modelo  A la hora de modelizar buscamos exactitud, no precisión. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La clave para construir un modelo útil radica en identificar de manera adecuada los elementos cruciales, definirlos de manera exacta y operativa, y establecer las principales relaciones entre ellos. El mejor modelo es el más útil. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Objetivo:  Representar esquemáticamente, pero de manera exacta y útil, la historia y el estado actual de un sistema Fin: (sobre todo del modelado matemático)  Proyectar hacia el futuro cuáles pueden ser los diferentes estados del sistema ante diferentes hipótesis o escenarios. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Modelos Mentales. Depende de nuestro punto de vista, suele ser incompleto y no tiene un enunciado preciso, no son fácilmente transmisibles. Ideas, conceptualizaciones  Modelos Formales. Están basados en reglas, son transmisibles. Planos, diagramas, maquetas Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Determinístico: no se permite que las variables sean al azar. Supone relaciones exactas para sus características de operación. Es posible resolverlos con algún método de resolución analítica. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Estocástico: por lo menos una de sus características de operación está dada por una función de probabilidad Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Estático: Si el estado de las  Dinámico: Si el estado de variables no cambian las variables puede cambiar mientras se realiza algún mientras se realiza algún cálculo. cálculo  Método analítico: algún  Método numérico: usa método de resolución procedimientos analítica computacionales para resolver el modelo matemático Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Continuo: El estado de las  Discreto: El estado del variables cambia sistema cambia en tiempos continuamente como una discretos del tiempo función del tiempo.  Método analítico: usa  Método numérico: usa razonamiento de procedimientos matemáticas deductivas para computacionales para definir y resolver el problema resolver el modelo matemático Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Tiempo-Continuo: El modelo permite que los estados del sistema cambien en cualquier momento.  Tiempo-Discreto: Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Entidad: objetos de interés de un sistema Atributo: propiedad de una entidad Actividad: Todo proceso que provoca un cambio de estado en el sistema Estado del Sistema: una descripción de las entidades, atributos y actividades de acuerdo con su existencia en algún punto del tiempo Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Relacionan componentes Exógenas: entrada a un modelo. De Estado: describe el estado de los diferentes componentes del sistema al comienzo, al final o durante un período de tiempo Endógenas: son generadas por la interacción entre las variables de estado y las exógenas Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Identidades: definiciones o declaraciones tautológicas relativas a componentes del sistema. Ejem: utilidad = ingreso – costo Características de operación: es una hipótesis, generalmente una ecuación matemática que relaciona las var. Endógenas y de estado con sus variables exógenas. Ejem: Nac = fexp(IPC); donde IPC = ingreso per capita (var. exógena) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Formación en Bloque: organización de la descripción del sistema en una serie de bloques o sub bloques.  Relevancia: inclusión solo de aspectos del sistema que hagan a la consecución de los objetivos del estudio  Exactitud: evitar errores de transmisión y de cálculo  Agregación: grado con que pueden agruparse las distintas entidades individuales en entidades más grandes Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Elijan un fenómeno X. Propongan una cuestión investigable sobre el mismo. Considerando los dos puntos anteriores, respondan: Cuál sería una entidad de interés para el modelo? Qué atributos interesan de esa entidad? Cuál sería una actividad de interés para el modelo? Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La simulación en computadora debería utilizarse si y sólo si la respuesta a las siguientes preguntas es afirmativa: 1. ¿Estamos seguros de que es posible obtener una solución aproximada satisfactoria a nuestro problema a través de la simulación en computadora? 2. ¿Es la simulación el procedimiento de menor costo para resolver el problema? 3. ¿Se presta la técnica particular a una interpretación relativamente fácil para aquellos que utilizarán los resultados del estudio de simulación? Lic. Federico Rosenzvaig 2022 1. Formulación del problema 2. Recolección y procesamiento de datos tomados de la realidad 3. Formulación de los modelos matemáticos 4. Estimación de Parámetros 5. Evaluación del modelo y de los parámetros estimados 6. Programación 7. Validación 8. Diseño de los experimentos de simulación 9. Análisis de los Datos Simulados Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se formula el problema y se declaran explícitamente los objetivos del experimento.  Seguramente la exposición original del problema varía considerablemente de su versión final, ya que la formulación del problema es un proceso secuencial que generalmente requiere una reformulación continua y progresiva y un refinamiento de los objetivos del experimento durante su realización. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Los objetivos generalmente toman la forma de  (1) preguntas que deben contestarse  (2) hipótesis que deben probarse  (3) efectos por estimarse  Siempre se debe decidir los objetivos de la simulación y el conjunto de criterios para evaluar el grado de satisfacción al que debe ajustarse el experimento. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Necesitamos colectar y procesar una cierta cantidad de datos antes de definir algún problema.  No es posible formular un problema o un conjunto de objetivos para un experimento sin tener acceso a la información adecuada acerca del sistema que se investiga. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Razones necesarias para disponer de un sistema eficiente para el procesamiento de datos 1. La información sobre el sistema que se va investigar es un requisito previo a la formulación del problema. 2. Los datos que hayan sido reducidos a una forma significativa pueden sugerir hipótesis de cierta validez, las cuales se usarán en la formulación de los modelos matemáticos que describen el comportamiento de un sistema dado. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 3. Los datos también pueden sugerir mejoras o refinamientos en los modelos matemáticos existentes en el sistema por simularse. 4. Los datos reducidos a una forma final, se utilizan para estimar los parámetros y las características de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y de estado del sistema. 5. Sin los datos no se podría probar la validez de un modelo para simulación. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Funciones del procesamiento de datos 1. Recolección: proceso de captación de los hechos disponibles para poder ser procesados posteriormente 2. Almacenamiento: ocurre simultáneamente con el anterior (la recolección implica que los datos sean almacenados). Lic. Federico Rosenzvaig 2022 3. Conversión: la manera en la cual los datos se almacenan durante la primera etapa del procesamiento generalmente no es la forma más eficiente que se debe emplear en las etapas posteriores, por lo que se necesita la conversión de los datos de una forma u otra. 4. Transmisión: bajo ciertas circunstancias existen problemas adicionales en la conversión de los datos de una forma a la otra que implica una transmisión de ellos, esto es el transporte de la información desde una localidad hasta el lugar donde será procesada. 5. Manipulación de Datos 6. Salida Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Consiste en 3 pasos: 1. Especificación de los componentes 2. Especificación de las variables o parámetros 3. Especificación de las relaciones funcionales Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Hay dos tipos básicos de diseño para formular modelos matemáticos a utilizar en simulación 1. Diseños generalizados: representan un intento por describir el comportamiento de un sistema completo 2. Diseños modulares o en bloques: se hace un conjunto de modelos que describen los componentes principales de un sistema. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se estiman los valores de los parámetros que intervienen en los modelos que describen el comportamiento del sistema.  Entre los métodos que se pueden emplear se encuentran: ◦ Mínimos cuadrados ordinarios ◦ Mínimos cuadrados indirectos ◦ Mínimos cuadrados de dos etapas ◦ Mínimos cuadrados de tres etapas Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se debe probar el modelo.  Serían pocos los beneficios que se obtendrían con la utilización de un modelo inadecuado para realizar experimentos de simulación.  El interés en este paso es probar las suposiciones o entradas que se programarán en la computadora. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se formula un programa para computadora cuyo propósito sea dirigir los experimentos de simulación con nuestros módulos del sistema bajo estudio.  Se consideran las siguientes actividades: 1. Diagrama de flujo 2. Elección del lenguaje(propósito gral. o específico) 3. Búsqueda de errores 4. Determinar datos de entrada y condiciones iniciales del experimento 5. Generación de datos 6. Reportes de salida Lic. Federico Rosenzvaig 2022  El problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica complejidades de tipo teóricas, prácticas y estadísticas.  Dos pruebas se consideran para validar los modelos de simulación:  ¿Qué tan bien coinciden los valores simulados de las variables endógenas con datos históricos conocidos, si es que estos están disponibles?  ¿Qué tan exactas son las predicciones del comportamiento Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se diseña un conjunto de experimentos que satisfagan los objetivos del estudio.  Un factor que debe considerarse es el costo de correr el modelo en el computador, ya que ello puede limitar el número de corridas que puedan hacerse.  Si esta limitación no existe, igualmente se debe ponderar el número de corridas que se necesitan, para que al final no exista sólo una masa de datos que se haya recabado sin un plan determinado.  También debe considerarse el significado estadístico de los resultados cuando existen eventos aleatorios en la simulación. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Consiste 3 pasos: 1. Recolección y procesamiento de datos simulados. 2. Cálculo de las estadísticas de las pruebas 3. Interpretación de los resultados.  Aún cuando el análisis de los datos simulados es semejante al análisis de los datos del mundo real, existen diferencias importantes que hacen más difícil el análisis de los datos simulados Lic. Federico Rosenzvaig 2022 La principales dificultades son: 1. La aleatoriedad en los experimentos de simulación se considera en una forma muy complicada. 2. La simulación trata los modelos dinámicos. 3. En un estudio de simulación intervienen un gran número de parámetros. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS  Generar números pseudoaleatorios.  Comprobar la aleatoriedad uniforme en sucesiones de números pseudoaleatorios,.  Resolver problemas de simulación que contengan variables aleatorias cuyo comportamiento responda a distribuciones de probabilidad empíricas y teóricas. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Variable estocástica: es una variable que representa el resultado de una actividad aleatoria. Se estudian en torno a funciones.  Una variables aleatoria es una función de valor real definida sobre un espacio muestral asociado con los resultados de un experimento de naturaleza azarosa.  El resultado particular de un experimento, es el valor de la variable aleatoria.  Clarifiquemos el concepto con el siguiente video. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Las variables aleatorias se clasifican de acuerdo con sus funciones de densidad de probabilidad.  Nos interesan aquellas v.a. que poseen una función de densidad de probabilidad uniforme.  La función de distribución uniforme estandarizada está definida por: 0 x0 F(x) x 0x1 1 x1 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Ejemplos 1 F(x), función de distribución acumulada Variable aleatoria 2 f(x), valor de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X, cuando X = x 3 Cuáles serían las v. a. en un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire? Lic. Federico Rosenzvaig 2022  En la página http://ce-bios.com.ar, encontramos usos prácticos reales de simulaciones. Exploremos el “Modelo” → Vías Venosas Centrales → “Simulador de Vías Centrales Subclavio Yugular”.  Es posible identificar variables aleatorias?. Por qué? Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Variable aleatoria: es una función de valor real sobre el espacio muestral asociado con los resultados de un experimento de naturaleza aleatoria. Número aleatorio: es el valor numérico que toma una variable aleatoria, o sea el resultado particular de un experimento. Está dado en forma de dígitos con un intervalo y un sistema de numeración bien definido. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 En la práctica, se requieren sucesiones de números aleatorios. Así, los métodos que se consideran para generarlos involucran algún proceso cuasi-aleatorio, que genera números aleatorios de cualquier longitud. Lehemer define el número pseudoaleatorio como: Una sucesión en la cual cada término es impredecible para la persona ajena al problema, cuyos dígitos se someten a una serie de pruebas comunes a los estadísticos, y que dependen del uso que se le dará a la sucesión. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  MANUALES FÍSICOS Clasificación HISTÓRICOS O TABLAS DE BIBLIOTECA DE COMPUTACIÓN ANALÓGICA DE COMPUTACIÓN DIGITAL Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Manuales: Simples (V) Poco prácticos (D) Lentos (D) La sucesión no se puede reproducir (D)  Físicos: Rápidos (V) Poco prácticos (D) Complejos, pues analizan variables físicas (D) La sucesión no se puede reproducir (D) Lic. Federico Rosenzvaig 2022   Históricos: simples práctico la sucesión se puede reproducir si se repite el método de búsqueda. es lento Puede no haber en la tabla suficientes números para el experimento Siempre se usan los mismos números. ⚫ De Computación Analógica: rápidos la sucesión no se puede reproducir poco prácticos Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Métodos de Provisión externa por medio de procesos físicos Clasificación Métodos de generación interna por medio de una relación de recurrencia Lic. Federico Rosenzvaig 2022 ⚫ Desventajas de los Métodos de Provisión externa por medio de procesos físicos: Los procesos aleatorios que dan origen a os números pueden salirse de control La comprobación sólo puede efectuarse en un conjunto muy grande de datos, lo que limita la capacidad de almacenamiento. la sucesión no se puede reproducir  Ventajas de los Métodos de generación interna por medio de una relación de recurrencia No se requieren dispositivos de entrada especiales. No se requiere almacenamiento de valores previos la sucesión se puede reproducir Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Según Lehmer un número pseudoaleatorio se define como una sucesión en la cual cada término es impredecible para la persona ajena al problema, cuyos dígitos se someten a cierto número de pruebas, comunes a los estadísticos, y que dependen en algún sentido del uso que se le dará a la sucesión. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  MÉTODO DE LOS CUADRADOS MEDIOS Clasificación MÉTODO DE LEHMER Aditivo MÉTODOS Multiplicativo CONGRUENCIALES Mixto Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Consiste en tomar un número al azar X0, de 2 x N cifras, elevarlo al cuadrado, tomar las 2 x N cifras centrales y repetir la operación Desventajas: ⚫ Los números generados pueden repetirse cíclicamente después de una secuencia corta. ⚫ Difícil de analizar y relativamente lento. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se parte de un número al azar X0 de N cifras, se lo multiplica por un número Y de K cifras, dando lugar a un número Z de N+K cifras. De Z se separan las K cifras de la izquierda obteniéndose un número U de N cifras. De U se resta el de K cifras que se había separado. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Condiciones que deben reunir los métodos Producir sucesiones de números:  Uniformemente distribuidos  Estadísticamente independientes  Reproducibles  Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión  Generar números a gran velocidad  Requerir un mínimo de almacenamiento Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se basan en el concepto matemático de números congruentes.  El nro. entero X es congruente con Y módulo m si x-y es divisible por m.  Es decir X e Y dan el mismo resto al dividir por m Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Presupone K valores iniciales dados y computa una sucesión de números mediante la siguiente relación de congruencia: Xi = Xi-1 + Xi-k (mod M) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Calcula una sucesión {xi} de enteros no negativos, cada uno de los cuales siempre es menor que M, por medio de la siguiente relación de congruencia: Xi = a Xi-1 (mod M) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Los valores de los parámetros deben ser seleccionados de acuerdo a los siguientes criterios:  El valor de la semilla puede ser cualquier entero impar no divisible entre 5 y debe ser relativamente primo a M.  El valor seleccionado de a debe ser obtenido de acuerdo a la siguiente identidad: a = 200 t ± p Donde t es cualquier entero positivo p es cualquiera de los siguientes valores (3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 69, 77, 83, 91)  El valor seleccionado de M puede ser 10d. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Genera una secuencia de números pseudoaleatorios, en la cual el próximo numero es determinado a partir del ultimo numero generado mediante la siguiente relación de congruencia: Xi = a Xi-1 + c (mod M) con a > 0 y c > 0 donde X0 > 0 (semilla): m > X 0, m > a y m > c Lic. Federico Rosenzvaig 2022  De acuerdo con Hull y Dobell, los mejores resultados para un generador congruencial mixto en una computadora binaria son:  c = 8*a±3, c>0  a = cualquier entero; a>0  X0 = Cualquier entero impar; X0 > 0.  M = 2b donde b >2 y que m sea aceptado por la computadora; m>X0; m>a;m>c. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Otros autores afirman que:  a debe ser un número impar, no divisible ni por 3 ni por 5.  c usualmente puede ser cualquier constante, sin embargo, para asegurar buenos resultados, se debe seleccionar c de tal forma que, ◦ c mod 8 = 5 para una computadora binaria, o ◦ c mod 200 = 21 para computadora decimal.  m debe ser el número entero más grande que la computadora acepte. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Son Pruebas que permiten comprobar que una sucesión de números pseudo-aleatorios se encuentran uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Prueba de Frecuencia o Test de Ji Cuadrado  Test de Kolmogorov-Smirnov  Test de las Rachas  Pruebas de los Promedios  Prueba de Series  Prueba del Poker  Prueba de las Corridas Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Prueba la uniformidad de una sucesión de M conjuntos consecutivos de N números pseudoaleatorios.  Para cada conjunto de N números pseudoaleatorios r1, r2, …, rn dividimos el intervalo unitario (0,1) en X subintervalos iguales Ij, todos de igual tamaño.  El número esperado de números pseudoaleatorios que se encuentran en cada 𝑁 subintervalos es conocida como FE 𝑋 frecuencia esperada Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Denotamos con fj, j=1,…,x al número que realmente se tiene de números pseudoaletorios en cada subintervalo.  Esto se conoce como frecuencia observada dentro de cada subintervalo Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos del Método 1. Agrupar los N números pseudoaleatorios en x subintervalos de igual amplitud (I1, I2,…, Ix) y contar la cantidad de números ri pseudoaleatorios que hay en cada subintervalo, asignando dicho valor a FOj Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos del Método 2. Considerar el estadístico X02 𝑥 (𝐹𝑂𝑗 − 𝐹𝐸𝑗 )2 𝑋0 2 =෍ 𝐹𝐸𝑗 𝑗=1 Donde: FOj: frecuencia observada en el intervalo j FEj: frecuencia esperada en el intervalo j Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos del Método 3. Fijar un nivel de significación  que representa la probabilidad de rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios provienen de una distribución uniforme, cuando en realidad si provienen. A continuación encontramos el valor de Ji cuadrado 𝑋 2 𝑥−1,𝛼 en la tabla con (x-1) grados de libertad y un nivel de significado . Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos del Método 4. Comparar el estadístico con el valor extraído de la tabla de ji cuadrado, de manera que si 𝑋0 2 > 𝑋 2 𝑥−1,𝛼 Entonces se rechaza la hipótesis de que la secuencia de números proviene de una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0,1) Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Dados los N números pseudoaleatorios x1, x2,…, xn se construye una sucesión formada por:  Signos + si xi < xi+1  Signos – si xi > xi+1  Cada grupo de signos + o – recibe el nombre de racha. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos: 1. Calcular el número de las rachas de la sucesión de números pseudoaleatorios que se tenga y hacer R = n° rachas 2. Probar que R sigue una distribución normal 1 con una media igual a 2𝑛 − 1 y una 3 1 varianza 16𝑛 − 29 y evaluar 90 𝑅 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑍= 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 3. Fijar un nivel de significación 0,05 (5%) y calcular en la tabla de la normal 𝑍1−𝛼 2 4. Si |Z| < 𝑍1−𝛼 entonces se acepta la hipótesis 2 de que la sucesión de números pseudoaleatorios se encuentra uniformemente distribuida en el intervalo (0,1) Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es una prueba de frecuencia especial para combinaciones de cinco o más dígitos en un número aleatorio.  La forma como esta prueba se realiza es tomando 5 dígitos a la vez y clasificándolos como: par, dos pares, tercia, póker, escalera, full y todos diferentes.  Los números generado son de 5 dígitos cada uno, o bien, en caso de que el número tenga más de 5 dígitos, solamente se consideran los primeros 5. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 1. Tomar 5 dígitos a la vez de cada número y clasificarlos como Par = solo 2 iguales Dos pares = 2 iguales, 2 iguales y 1 diferente Tercia = 3 iguales, 2 diferentes Póker = 4 iguales, 1 diferente Escalera Full = 3 iguales, 2 iguales Todos diferentes Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 2. Usar las probabilidades P Probabilidad (P) Par 0,50400 Dos Pares 0,10800 Tercia 0,07200 Póker 0,00450 Escalera 0,00010 Full 0,00900 Todos diferentes 0,30240 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 3. Calcular la frecuencia esperada 𝐹𝐸 = σ 𝐹𝑂 ∗ 𝑃 4. Calcular el estadístico muestral Ji cuadrado 7 𝐹𝑂𝑖 −𝐹𝐸𝑖 2 𝑋20 = σ𝑖=1 𝐹𝐸𝑖 para buscar en la tabla de Ji cuadrado el valor 𝑋 2 𝛼,𝑛−1 donde n=manos de póker=7 2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 5. Comparar el estadístico muestral respecto al valor de la tabla si 𝑋 2 0 < 𝑋 2 𝛼,𝑛−1 2 se acepta la hipótesis de que la sucesión proviene de una distribución normal. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Prueba la hipótesis de que la distribución acumulada de una variable aleatoria x0 es F0(x).  Para ello una muestra de tamaño n es obtenida de una distribución continua F(x). Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 1. Generar n números pseudoaleatorios uniformes 2. Ordenar dichos números en forma ascendente. 3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la expresión 𝑖 𝐹𝑛 𝑥 = 𝑛 donde i es la posición que ocupa el número xi en el vector obtenido en el paso 2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 4. Calcular el estadístico Kolmogorov-Smirnov del siguiente modo: 𝐷𝑛 = 𝑚á𝑥 𝐹𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 , ∀ 𝑥𝑖 5. Si 𝐷𝑛 < 𝑑𝛼,𝑛 , entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme La distribución 𝐷𝑛 ha sido tabulada como una función de n y 𝛼 para cuando 𝐹𝑛 𝑥 = 𝐹0 𝑥 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se utiliza para comparar el grado de aleatoriedad entre números sucesivos.  Consiste en formar parejas de números, los cuales son considerados como coordenadas de las celdas en un cuadrado unitario dividido en n2 celdas  Esta idea se puede extender a ternas de números pseudoaleatorios que representan puntos en un cubo unitario. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Generar N números pseudoaleatorios con los cuales se forman parejas aleatorias en Ui y Ui+1, es decir, si se generan 10 números, las parejas aleatorias que se pueden formar serían: (U1, U2); (U2, U3); (U3, U4); (U4, U5); (U5, U6); (U6, U7); (U7, U8); (U8, U9); (U9, U10);  A continuación se muestra como formar el cuadrado unitario. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se determina la celda a la que pertenece cada pareja ordenada, con lo que se determina la frecuencia observada de cada celda.  La frecuencia esperada (FE) de cada celda se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas (N-1) entre el total de celdas(n2) 𝑁−1 𝐹𝐸 = 𝑛2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Con FO y FE de cada celda se obtiene el estadístico X20. 2 σ𝑛𝑖=1 σ𝑛𝑗=1 𝐹𝑂𝑖𝑗 − 𝐹𝐸𝑖𝑗 2 𝑋 0 = 𝐹𝐸𝑖𝑗 𝑛 𝑛 2 𝑛2 𝑁−1 𝑋2 0 = ∗ ෍ ෍ 𝐹𝑂𝑖𝑗 − 𝑁−1 𝑛2 𝑖=1 𝑗=1  Donde FOij es la frecuencia observada de la celda ij.  Si 𝑋 2 0 < 𝑋 2 𝛼,𝑛2−1 no se puede rechazar la hipótesis de que los números provienen de una distribución uniforme Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se trata de probar que los números pseudoaleatorios generados provienen de un universo uniforme con media 0,5  Una prueba de hipótesis de promedios puede ser planteada de la siguiente forma: 1  Hipótesis nula: 𝐻0 = 𝜇 = = 0,5 2 1  Hipótesis alternativa: 𝐻1 = 𝜇 ≠ 2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 1. Generar N números pseudoaleatorios 2. Calcular su promedio aritmético como 𝑈 + 𝑈 + …+𝑈𝑁 𝑋ത = 1 2 𝑁 ത 1 𝑋− 𝑁 1. Determinar el estadístico 𝑍0 = 2 1 12 2. Si 𝑍0 < 𝑍𝛼 , entonces no se puede rechazar la 2 hipótesis de que los números pseudoaleatorios generados provienen de un universo uniforme con media 0,5 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Esta prueba puede ser realizada de dos maneras: ◦ Considerar los números pseudoaleatorios generados como dígitos; ◦ Considerarlos como números reales Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Consiste en tomar el número de dígitos que aparece entre ocurrencias sucesivas de un mismo dígito. Por ejemplo: 58245 ilustra un hueco de tamaño 3 entre los dos 5.  La probabilidad de cada uno de los tamaños de huecos (i = 0, 1, 2, …) se obtiene: 𝑃𝑖 = 0,1. 0,9 𝑖 para i = 0, 1, 2, … 1  Sin embargo, como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de i mayores o iguales de un determinado valor n. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Tal sumatoria se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión: ∞ 𝑃𝑖≥𝑛 = ෍ 0,1. 0,9 𝑚+𝑛 = 0,9 𝑛 2 𝑚=0  Con las ecuaciones (1) y (2) se obtienen las frecuencias para cada tamaño de hueco. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  I Pi FOi FEi 0 0,1 FO0 ෍ 𝐹𝑂𝑖. 0,1 1 0,1. 0,9 FO1 ෍ 𝐹𝑂𝑖. 0,1 0,9 2 0,1. 0,9 2 FO2 ෍ 𝐹𝑂𝑖. 0,1 0,9 2.... i 0,1. 0,9 𝑖 FOi ෍ 𝐹𝑂𝑖. 0,1 0,9 𝑖.... ≥𝑛 0,9 𝑛 FOn ෍ 𝐹𝑂𝑖. 0,1 0,9 𝑛 Total 1 ෍ 𝐹𝑂𝑖 ෍ 𝐹𝑂𝑖 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Si las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas para cada tamaño de hueco son parecidas, se puede decir que los números pseudoaleatorios pasan la prueba de la distancia.  El estadístico 𝑋 2 0 que se usa se obtiene así 𝑛 2 𝐹𝑂𝑖 − 𝐹𝐸𝑖 𝑋20 =෍ 𝐹𝐸𝑖 𝑖=1  Si 𝑋 2 0 < 𝑋 2 𝛼,𝑛 Entonces los números pseudoaleatorios pasan la prueba de la distancia. Es muy importante señalar que el valor seleccionado de n, debe ser tal que la suma de las frecuencias esperadas de todos los tamaños de huecos agrupados sea mayor que 5. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Para realizar esta prueba es necesario seleccionar un intervalo 𝛼, 𝛽 el cual debe estar contenido en el intervalo (0, 1) es decir 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1  Si Uj es elemento de 𝛼, 𝛽 , y Uj+1 hasta Uj+i no son elementos del intervalo, y luego Uj+i+1 vuelve a ser elemento del intervalo 𝛼, 𝛽 , entonces se tiene un hueco de tamaño i.  Ejemplo: 𝛼 =.3, 𝛽 =.5 se tiene los siguientes números: 0,32415; 0,22257; 0,19147; 0,75103; 0,49383 entonces el hueco es de tamaño 3. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La distribución de probabilidad del tamaño del hueco es: 𝑃𝑖 = 𝜃. 1 − 𝜃 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0, 1, 2, … 3  donde 𝜃 = 𝛽 − 𝛼 representa la probabilidad de caer en el intervalo 𝛼, 𝛽  Es necesario agrupar las probabilidades para valores 𝑖 ≥ 𝑛 de manera que: ∞ 𝑚+𝑛 𝑛 4 𝑃𝑖≥𝑛 = ෍ 𝜃. 1 − 𝜃 = 1−𝜃 𝑚=0 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Con (3) y (4) se obtienen las frecuencias esperadas.  El estadístico 𝑋 2 0 que se usa se obtiene así 𝑛 𝐹𝑂𝑖 − 𝐹𝐸𝑖 2 𝑋20 =෍ 𝐹𝐸𝑖 𝑖=1  Si 𝑋 2 0 < 𝑋 2 𝛼,𝑛 Entonces los números pseudoaleatorios pasan la prueba de la distancia. Es importante señalar que el valor de 𝛼 y 𝛽 no tienen ninguna influencia en la bondad de la prueba. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  I Pi FOi FEi 0 𝜃 FO0 ෍ 𝐹𝑂𝑖. 𝜃 1 𝜃. 1−𝜃 FO1 ෍ 𝐹𝑂𝑖. 𝜃 1−𝜃 2 𝜃. 1−𝜃 2 FO2 ෍ 𝐹𝑂𝑖. 𝜃 1−𝜃 2.... i 𝜃. 1−𝜃 𝑖 FOi ෍ 𝐹𝑂𝑖. 𝜃 1−𝜃 𝑖.... ≥𝑛 1−𝜃 𝑛 FOn ෍ 𝐹𝑂𝑖. 𝜃 1−𝜃 𝑛 Total 1.0 ෍ 𝐹𝑂𝑖 ෍ 𝐹𝑂𝑖 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Hay dos versiones de la prueba de las corridas: ◦ Corridas abajo y arriba del promedio ◦ Corridas abajo y arriba Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es un caso ligeramente modificado de la prueba de la distancia en la cual 𝛼 = 0 y 𝛽 = 0,5  Se genera una secuencia de números U1, …, Un  En seguida se genera una secuencia binaria donde se coloca 0 si Ui < 0,5 y 1 si Ui > 0,5  Luego se cuenta la cantidad de veces que una corrida de longitud i se repite en la secuencia (frecuencia observada de la corrida de longitud i) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Corrida de longitud i: es una sucesión i de ceros (unos) enmarcada por uno (cero) en los extremos.  Número total esperado de corridas y número esperado para cada tamaño de corrida 𝑁+1 𝐸 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑁−𝑖+3 𝐹𝐸𝑖 = 2𝑖+1 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Calcular 𝑛 𝐹𝑂𝑖 − 𝐹𝐸𝑖 2 𝑋20 =෍ 𝐹𝐸𝑖 𝑖=1  Si 𝑋 2 0 > 𝑋 2 𝛼,2 entonces se rechaza la hipótesis de que los números provienen de una distribución uniforme. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se genera una secuencia de números U1, …, Un  En seguida se genera una secuencia binaria donde se coloca 0 si Ui < Ui+1 y 1 si Ui > Ui+1  Luego se cuenta la cantidad de veces que una corrida de longitud i se repite en la secuencia (frecuencia observada de la corrida de longitud i) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Número total esperado de corridas y número esperado para cada tamaño de corrida 2𝑁 + 1 𝐸 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠 = 3 𝑖 2 +3𝑖+1 𝑁− 𝑖 3 +3𝑖 2 −𝑖−4 𝐹𝐸𝑖 = 2 para 𝑖 < 𝑁 − 1 𝑖+3 ! 2 𝐹𝐸𝑁−1 = para 𝑖 = 𝑁 − 1 𝑁! Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Calcular 𝑛 𝐹𝑂𝑖 − 𝐹𝐸𝑖 2 𝑋20 =෍ 𝐹𝐸𝑖 𝑖=1  Si 𝑋 2 0 > 𝑋 2 𝛼,2 entonces se rechaza la hipótesis de que los números provienen de una distribución uniforme. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Consideraciones  Es importante señalar que la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debe ser mayor o igual a cinco.  Si las FE para corridas de tamaño grande son menores que 5, tales FE se deben agrupar con las adyacentes de tal modo que la FE de los tamaño de corrida sea de al menos 5. Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Una variable de tipo U es un número pseudoaleatorio, continuo en el sentido numérico, que toma valores en el intervalo (0, 1) y su función de densidad de probabilidad es constante.  Continua en el sentido numérico, con una precisión p = 4, significa que toma valores entre 0,0000 y 0,9999 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Métodos Generales: ◦ Transformada Inversa (func. continuas y discretas) ◦ De Eliminación o Rechazo (func. Continuas y discretas) ◦ De la Composición (func. Continuas)  Métodos especiales o de las funciones teóricas ◦ Funciones Continuas  Exponencial  Normal  Uniforme  Gamma ◦ Funciones Discretas  Poisson  Binomial  Pascal  Geométrica Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Este método (tanto para funciones discretas como continuas) utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular.  Como F(x) está definida en el intervalo [0,1) se puede generar un número aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual a R 𝐹 𝑥 = 𝑅 ó 𝑥 = 𝐹 −1 (𝑅)  La principal dificultad de este método es la dificultad de encontrar la transformada inversa Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Supongamos un dado equiprobable x f(x) F(x) 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 1 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Lo que hacemos ahora es invertir los ejes (inversa) y representar F(x) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Ahora supongamos que con algún generador de números pseudoaleatorios generamos u=0,27 al cual le corresponde el valor 2 u Lic. Federico Rosenzvaig 2022 1. Encontrar f(x) como una f.d.p., para lo cual el área bajo la curva debe ser 1 10 12 𝑏×ℎ 2×ℎ =1⇒ =1⇒ℎ=1 2 2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  2. Encontrar f(x). Para ello apliquemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥 Luego 𝑓 𝑥 = − 5 2 3. Encontrar la función acumulada 𝐹 𝑥 = ‫𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 ׬‬ 𝑥 1 𝑥2 1 2 𝐹 𝑥 = න − 5 𝑑𝑥 =. − 5𝑥 + 𝑐 = 𝑥 − 5𝑥 + 𝑐 2 2 2 4 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 4. Encontrar el valor de c. Para ello, tenemos en cuenta que la acumulada en el primer punto del intervalo es 0 y en el último es 1 𝐹 10 = 0 ∧ 𝐹 12 = 1; 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 10 100 − 50 + 𝑐 = 0 ⇒ −25 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = 25 4 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 5. Determinar 𝐹 −1 (𝑥) Para ello tenemos en cuenta que 𝐹 𝑥 =𝑈 ⇒𝐹 𝑥 −𝑈 =0 𝐹 −1 𝑈 = 𝑥 1 2 𝐹 𝑥 − 𝑈 = 𝑥 − 5 𝑥 + 25 − 𝑈 = 0 4 5 ± 25 − 25 + 𝑈 𝑥= = 0 ⇒ 𝑥 = 10 ± 2 𝑈 1ൗ 2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 6. Determinar con cual signo se sigue trabajando Para U=0 +: 2 5 + 0 = 10 −: 2 5 − 0 = 10 Para U=1 +: 2 5 + 1 = 12 −: 2 5 − 1 =8 No verifica Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Trabajamos con la formula del signo + 𝑥 = 10 + 2 𝑈 ⇒ 𝑥 = 2 5 + 𝑈  Todos estos pasos son previos al siguiente algoritmo: 1. Calcular U 2. Calcular x en base a la fórmula encontrada  Condiciones para aplicar el método de la transformada inversa ❖ Debe existir f(x) como f.d.p. ❖ f(x) debe ser integrable. ∃ 𝐹 𝑥 = ‫𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 ׬‬ ❖ F(x) debe ser inversible. ∃ 𝐹 −1 (𝑥) Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Consiste en generar primeramente un valor y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando.  Condiciones para aplicar el método de eliminación ❖f(x) debe ser acotada, y debe tener máximo ❖La variable aleatoria x debe tener un rango finito, es decir, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Se aplica a funciones donde es difícil calcular la integral y/o la inversa.  Consiste en generar un valor para la variable x, al que denominaremos x propuesto o x postulado.  Luego probamos que ese valor proviene de la distribución que se está analizando Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 1. Generar los números u1 y u2 2. Definir x como una función lineal de u: 𝑥 = 𝐼𝑁𝑇 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 1 𝑢1 3. Evaluar la función de probabilidad en x: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 1 𝑢1 4. Hacer la Probabilidad Relativa de Aceptación 𝑓(𝑥) 𝑃𝑅𝐴 = ; donde 𝑀𝐴𝑋 = 𝑚á𝑥 𝑓(𝑥)/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑀𝐴𝑋 5. Comparar el valor de u2 con PRA. Si 𝑢2 ≤ 𝑃𝑅𝐴, entonces el x postulado se acepta, de lo contrario, nuevamente se vuelve al paso 1. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Recordemos el ejemplo de esta función 1 10 12 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 1. Encontrar f(x) como una f.d.p. h=1 2. Encontrar el valor de f(x) 𝑥 𝑓 𝑥 = −5 2 3. Postular la x-probabilidad en el intervalo con 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑢1 (10,12) luego 𝑥 = 10 + 2𝑢1 4. Generar u1 y u2 y calcular el valor de x u1=0,35 u2=0,86 luego x=10,7 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 5. Evaluar la función en el punto x 10,7 𝑓 𝑥 = 𝑓 10,7 = − 5 = 0,35 2 6. Calcular la PRA 𝑓(𝑥) 0,35 𝑃𝑅𝐴 = = = 0,35 𝑀𝐴𝑋 1 7. Si 𝑢2 ≤ 𝑃𝑅𝐴 se acepta el x propuesto. Caso contrario generar nuevamente u1 y u2 y aplicar el método. 0,86 ≤ 0,35 ⇒ no se acepta x Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Funciones Discretas ◦ Desventaja: genera dos números u como mínimo y no todas las x se aceptan ◦ Ventaja: respecto de la función inversa no se necesita calcular la función de probabilidad acumulada  Funciones Continuas ◦ Desventaja: genera dos números u como mínimo y de los x postulados no todos se aceptan ◦ Ventaja: no es necesario hallar la integral y la inversa, aspecto muy importante porque no todas las funciones son integrables. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  La distribución de probabilidad f(x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad fi(x) seleccionadas adecuadamente.  El procedimiento para la selección de fi(x) se basa en el objetivo de minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Pasos 1. Dividir la distribución de probabilidad original en subáreas. 2. Definir una distribución de probabilidad para cada subárea. 3. Expresar la distribución de probabilidad original de la siguiente forma: 𝑓 𝑥 = 𝐴1 𝑓1 𝑥 + 𝐴2 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) y σ 𝐴𝑖 = 1 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 4. Obtener la distribución acumulada de las áreas fi (x) F(x) = ∑ Ai f1 (x) A1 f2 (x) A1 + A2 f3 (x) A1 + A2 + A3 f4 (x) A1 + A2 + A3 + A4 f5 (x) A1 + A2 + A3 + A4 + A5 5. Generar dos números uniformes u1 y u2 Lic. Federico Rosenzvaig 2022 6. Seleccionar la distribución de probabilidad fi(x) con la cual se va a simular el valor de x. La selección se obtiene al aplicar el método de la transformada inversa, en el cual el eje y representa la distribución acumulada de las áreas y el eje x las distribuciones fi(x). Para esta selección de utiliza el número uniforme u1 7. Utilizar u2 para simular por el método de la transformada inversa o algún otro procedimiento especial, números al azar que sigan la distribución de probabilidad fi(x) seleccionada en el paso anterior. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Continuo: cualquier fenómeno con duración significativa en el tiempo  Evento: es un hecho que ocurre en un continuo que abarca una duración tal del mismo que impide que ocurran 2 eventos simultáneos. Por lo tanto se puede distinguir un evento en cada punto del continuo. Los eventos son elementos puntuales de un continuo, o sea que tienen longitud despreciable Lic. Federico Rosenzvaig 2022 Lic. Federico Rosenzvaig 2022  Es una función constante en el intervalo (a,b) y cero fuera de él.  Surge cuando se estudian las características de los errores de redondeo, al registrar un conjunto de medidas sujetas a cierto nivel de precisión.  Por ejemplo, si se registran medidas de peso con una aproximación determinada en gramos puede suponerse que la diferencia en gramos entre el peso real y el peso registrado es un número entre -0,5 y 0,5; y que el error se encuentra uniformemente distribuido en ese intervalo. Lic. Federico Rosenzvaig 2022  El valor de esta técnica respecto a las otras es su simplicidad y el hecho de que se puede emplear para simular variables aleatorias a partir de casi cualquier tipo de distribución de probabilidad Función de densidad uniforme: 1 𝑎