Tema 4 Resumen Final PDF

Tema 4. Cinemática Índice I. Introducción.......................................................................................................................... 1 II. Desarrollo............................................................................................................

Tema 4. Cinemática Índice I. Introducción.......................................................................................................................... 1 II. Desarrollo.............................................................................................................................. 2 1. Cinemática......................................................................................................................... 2 2. Elementos para la descripción del movimiento................................................................ 2 2.1 Vector de Posición..................................................................................................... 2 2.2 Vector Velocidad....................................................................................................... 2 2.3 Vector Aceleración.................................................................................................... 3 3. Movimientos de especial interés...................................................................................... 4 3.1 Movimientos Rectilíneos........................................................................................... 4 3.2 Movimiento Circular.................................................................................................. 5 3.3 Movimiento Armónico Simple (MAS)........................................................................ 6 3.4 Composición de Movimientos................................................................................... 7 3.5 Movimientos Relativos.............................................................................................. 8 4. Métodos para el estudio experimental del movimiento................................................ 10 4.1 Métodos tradicionales............................................................................................ 10 4.2 Otros métodos........................................................................................................ 10 III. Conclusiones....................................................................................................................... 10 IV. Conexión Curricular............................................................................................................. 11 V. Bibliografía.......................................................................................................................... 11 I. Introducción El movimiento es el fenómeno físico más general y frecuente en la Naturaleza, ya que todos los sucesos y procesos físicos están originados en primera instancia por él, constituyendo así la base fundamental de Mecánica. La Mecánica define el movimiento como el cambio de la posición de un cuerpo a lo largo del tiempo respecto a un sistema de referencia concreto. La importancia de elegir un sistema de referencia radica en que el concepto de movimiento es relativo. Se distingue entre sistemas de referencia inerciales, aquellos que o están fijos o presentan un movimiento rectilíneo y uniforme respecto a cualquier otro sistema inercial y no inerciales, definidos como sistemas acelerados con respecto a cualquier sistema inercial. En el presente tema, se aborda el estudio de la Cinemática (del griego “kinema”, movimiento). En él se estudiarán los elementos descriptores del movimiento, analizando los movimientos de mayor interés, destacando los movimientos rectilíneos, circulares y el movimiento armónico simple, así como algunos casos de mayor complejidad como la composición de movimientos y el movimiento relativo, concluyendo con la descripción de algunos métodos experimentales para su estudio. 1 II. Desarrollo 1. Cinemática La Cinemática es la rama de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin atender a las causas que los producen, que son las fuerzas. Para simplificar el estudio del movimiento, se emplean modelos idealizados donde el estudio del movimiento de cualquier cuerpo queda reducido al de una partícula puntual de dimensiones despreciables respecto a la longitud del camino que recorre. Esta simplificación se realiza en base a los teoremas de la dinámica de sistemas de partículas. 2. Elementos para la descripción del movimiento Para llevar a cabo la descripción del movimiento es necesaria la introducción de diferentes magnitudes, cuya variación con el tiempo permite caracterizar los diferentes tipos de movimiento. Estos han de referirse al sistema de referencia escogido. Además de la diferenciación inicial entre SR inerciales y no inerciales, también suelen distinguirse entre absolutos (fijos en un punto) y relativos (en movimiento). 2.1 Vector de Posición El movimiento se establece por una dependencia fundamental entre la variable tiempo (t) y la posición de la partícula, la cual vendrá definida por el vector de posición 𝑟⃗, trazado desde el origen de coordenadas (O) hasta la posición de esta (P). El movimiento queda totalmente determinado al conocer las tres coordenadas del vector de posición como funciones del tiempo, siendo la ecuación vectorial del movimiento: 𝑟⃗ t x t 𝚤⃗ y t 𝚥⃗ z t 𝑘⃗ La cual está definida empleando los vectores cartesianos unitarios 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘. La partícula, en su movimiento, describe una curva (C) a la que se denomina trayectoria. El camino que realiza la partícula sobre dicha trayectoria se denomina espacio recorrido (s). La ecuación asociada es la Ley horaria del movimiento: s= s(t) 2.2 Vector Velocidad La velocidad representa la variación del vector posición con respecto al tiempo. Se distingue entre velocidad media (𝑣 ⃗) e instantánea (𝑣⃗), en función de si el intervalo de tiempo (Δt) considerado es medible o infinitesimal. 𝛥𝑟⃗ 𝑣⃗ 𝛥𝑡 𝛥𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗ 𝑣⃗ lim → 𝛥𝑡 𝑑𝑡 Análogamente, las magnitudes escalares Velocidad Media y velocidad instantánea en la Trayectoria se define como: 𝛥𝑠 𝛥𝑠 𝑑𝑠 𝑣 ; 𝑣 lim 𝛥𝑡 → 𝛥𝑡 𝑑𝑡 Esta magnitud escalar suele denominarse como celeridad. Las unidades de la velocidad el SI son m/s. 2 Δs y 𝛥𝑟⃗ son por definición diferentes y no coincidentes. Es fácil demostrar la relación existente entre ambas velocidades, vectorial y escalar: 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑠 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑣⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Siendo 𝑢⃗ un vector unitario tangente a la trayectoria en el punto considerado. El vector velocidad puede desarrollarse en función de sus componentes cartesianas, resultando: 1 2 2 2 2 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑣⃗ 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑘⃗; 𝑣 |𝑣⃗| 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2.3 Vector Aceleración Cuando el movimiento de una partícula tiene en cada punto de la trayectoria un vector de velocidad diferente, indica una variación de la velocidad en su módulo, dirección y sentido. La variación de la velocidad con el tiempo viene dada por la aceleración. Se distingue entre aceleración media e instantánea en función del intervalo de tiempo considerado: Δ𝑣⃗ 𝛥𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ 𝑑2 𝑟⃗ 𝑎⃗ ; 𝑎⃗ lim Δ𝑡 𝛥𝑡→0 𝛥𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡2 Por tanto, el vector aceleración tendrá como componentes: 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑧 𝑎⃗ 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑘⃗ 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑘⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡2 𝑑𝑡2 𝑑𝑡2 La aceleración suele descomponerse en una componente tangente (at) y otra perpendicular (an) a la trayectoria, conocidas como componentes intrínsecas de la aceleración. 𝑑𝑣⃗ 𝑑 𝑑𝑣 𝑑𝑢⃗𝑡 𝑎⃗ 𝑣 𝑢⃗𝑡 𝑢⃗𝑡 𝑣 𝑎⃗ 𝑎⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡  La aceleración tangencial indica como varía el módulo de la velocidad con el tiempo 𝑑𝑣 𝑎⃗ 𝑢⃗𝑡 𝑑𝑡  La aceleración normal e indica como varía la dirección de la velocidad con el tiempo. 𝑑𝑢⃗𝑡 𝑎⃗ 𝑣 𝑑𝑡 Seguidamente se analiza la dirección de la 𝑎 ⃗. Para ello, se consideran los vectores unitarios tangente (𝑢⃗) y normal 𝑢 ⃗) a la trayectoria en un punto P. 𝑢⃗ senθ𝚤⃗ cosθ𝚥⃗ 𝑢⃗ cosθ𝚤⃗+senθ𝚥⃗ Si 𝑢⃗ se deriva con respecto al tiempo se obtiene: 3  𝑑𝑢⃗ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝚤⃗ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝚥⃗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝚤⃗ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝚥⃗ 𝑢⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Conociendo que la velocidad angular se define como 𝜔 , y que esta se relaciona con la velocidad lineal a través del radio de curvatura (r): 𝑣 𝜔 𝑟 Por tanto: 𝑑𝑢⃗ 𝑣 𝑢⃗ 𝜔 𝑢⃗ 𝑑𝑡 𝑟 Y la 𝑎 ⃗ queda definida como: 𝑑𝑢⃗𝑡 𝑣2 𝑎⃗ 𝑣 𝑢⃗ 𝑑𝑡 𝑟 𝑛 Por tanto, la aceleración puede expresarse como: 𝑑𝑣 𝑣 𝑎⃗ 𝑎⃗ 𝑎⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑑𝑡 ρ Siendo su módulo y el ángulo que forma con la tangente a la trayectoria: |𝑎𝑛⃗| 𝑎 |𝑎⃗| 𝑎 𝑎 ; 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 |𝑎⃗| 𝑡 Las unidades en el S.I. de la aceleración son m/s2. 3. Movimientos de especial interés En función de los valores de las componentes intrínsecas de la aceleración es posible determinar el tipo de movimiento de una partícula: 𝑎 0 Si 𝑎⃗ 0 𝑎 0 M. Rectilíneo Uniforme ⎧𝑎 0 𝑀. 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙í𝑛𝑒𝑜 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝑎 𝑐𝑡𝑒, 𝑚. 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙í𝑛𝑒𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ⎪𝑎 0 Si 𝑎⃗ 0 𝑎 0 M. Curvilíneo si 𝑎 𝑐𝑡𝑒, 𝑚. 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 ⎨𝑎 0 ⎪𝑎 0 𝑀. 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑖𝑙í𝑛𝑒𝑜 si 𝑎 𝑐𝑡𝑒 𝑦 𝑎 𝑐𝑡𝑒, 𝑚. 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ⎩𝑎 0 Estos movimientos, junto con el Movimiento Armónico Simple, son estudiados a continuación. 3.1 Movimientos Rectilíneos Se encuentra definido por tener una aceleración normal nula (𝑎 0), de donde se obtiene que: 𝑣 𝑎 0; 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣 0, 𝑟 ∞ 𝑟 Debido a su carácter unidimensional puede obviarse el tratamiento vectorial. A) Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Sendas componentes intrínsecas de la aceleración son nulas. Si se analiza la aceleración tangencial se obtiene que su velocidad será constante: 𝑑𝑣 𝑎 0; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑡 4 Integrando la celeridad, se obtiene la ecuación que determina la posición: 𝑑𝑠 𝑣𝑑𝑡 ; 𝑠 𝑠 𝑣 𝑡 𝑡 B) Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado En él, 𝑎 0 𝑐𝑡𝑒. Por lo que v variará con el tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son: 𝑑𝑣 𝑎 𝑎 ; 𝑑𝑣 𝑎𝑑𝑡 ; 𝑣 𝑣 𝑎 𝑡 𝑡 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑡 1 𝑑𝑠 𝑑𝑣 𝑣 𝑎 𝑡 𝑡 𝑑𝑡; 𝑠 𝑠 𝑣 𝑡 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡 𝐸. 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 2 Si se eliminar la variable tiempo operando con sendas ecuaciones, se obtiene: 𝑣 𝑣 2𝑎 𝑠 𝑠 Un ejemplo de ello es el movimiento de caída libre de un cuerpo bajo la acción del campo gravitatorio terrestre. En este caso, la aceleración sería la que produce la gravedad (g=9,8 m/s2). Para el caso de un cuerpo que cae partiendo del reposo desde una altura H, sus ecuaciones serían: 9,8 𝑣 9,8𝑡 ; 𝑦 𝐻 𝑡 2 El tiempo que tardaría en llegar al suelo sería: 2𝐻 𝑡 9,8 3.2 Movimiento Circular Movimiento cuya trayectoria es una circunferencia. Se caracteriza porque 𝑎 ⃗ 0 y además constante, por lo que tiene un radio de curvatura (r) constante (trayectoria circular). En ellos, 𝑎 ⃗ está dirigida siempre hacia el centro de la circunferencia trayectoria, denominándose aceleración centrípeta. Generalmente se parametriza en función de magnitudes angulares. Se define la velocidad angular media (ωm) y la velocidad angular instantánea (para Δt infinitesimales) como: 𝛥𝜃 𝛥𝜃 𝑑𝜃 ω ; ω lim 𝛥𝑡 → 𝛥𝑡 𝑑𝑡 Se expresa en el SI rad/s y representa el ángulo girado o barrido por unidad de tiempo. En toda circunferencia se cumple que ds=rdθ. Si se deriva esta expresión con respecto al tiempo se obtiene la relación existente entre la velocidad lineal y la velocidad angular: 𝑑𝑠 𝑑𝜃 𝑟 ; 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑣 𝑟𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 A la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo se le denomina aceleración angular. 𝑑𝜔 𝑑 𝜃 𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Las componentes intrínsecas de la aceleración quedarían definidas en términos angulares como: 5  𝑑𝑣 𝑑 𝜔𝑟 𝑑𝜔 𝑣 𝜔𝑟 𝑎 𝑟 𝑟𝛼; 𝑎 𝜔 𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 r r A) Movimiento Circular Uniforme (MCU) Se caracteriza porque 𝑎 0y𝑎 0 y además es constante. La ecuación característica del MCU se obtiene integrando la expresión: 𝑑𝜃 𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡; 𝜃 𝜃 𝜔 𝑡 𝑡 Cabe señalar el carácter periódico del MCU, cuyas variables se repiten a intervalos iguales de tiempo, que se conocen como periodos (T). 𝑇 2𝜋/𝜔 Como inversa del periodo, aparece la frecuencia (número de repeticiones que el móvil describe en la unidad de tiempo). 3.2.1 Movimiento circular Uniformemente Acelerado (MCUA) Se caracteriza porque 𝑎 0 y constante y 𝑎 0 y constante. Como la 𝛼 𝑎 /𝑟, esta será diferente de cero, con lo que la velocidad angular variará con el tiempo. Integrando las expresiones de ω y α se obtienen las ecuaciones del MCUA: 𝜃 𝜃 𝜔 𝑡 𝑡 𝛼 𝑡 𝑡 ; 𝜔 𝜔 𝛼 𝑡 𝑡 ; 𝜔 𝜔 2𝛼 𝜃 𝜃 3.3 Movimiento Armónico Simple (MAS) Cuando una partícula, que realiza un movimiento periódico, se mueve alternativamente en un sentido y otro sobre una misma trayectoria, recibe el nombre de movimiento oscilatorio. El movimiento oscilatorio más importante es el MAS, el cual describe numerosos fenómenos de la naturaleza. Por ejemplo, cuando lanzamos una piedra a un charco, cada partícula describe un MAS. Por su desarrollo matemático, este movimiento puede verse como la proyección del MCU sobre uno de sus diámetros. La posición en cualquier instante del punto respecto de la posición de equilibrio se denomina elongación (x). A la elongación máxima se le denomina amplitud (A), que coincide con el radio del MCU proyectado. Por tanto, la elongación en cada instante es: 𝑥 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜙 Donde A, ω y ϕ son las constantes propias del M.A.S. La cantidad dada por (ωt+ϕ) se denomina fase del movimiento y ϕ es la fase inicial (t=0). Su velocidad será: 𝑑𝑥 𝜋 𝑣 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠 ωt ϕ ωAsen ωt ϕ 𝑑𝑡 2 Y su aceleración: 6  𝑑𝑣 𝑎 𝜔 𝐴𝑠𝑒𝑛 ωt ϕ 𝑘 𝜔 𝑋 𝑑𝑡 Por tanto, la aceleración (y, por ende, la fuerza) es proporcional a la posición, siendo este el único movimiento de la naturaleza donde esto ocurre. 3.4 Composición de Movimientos La composición de movimientos se efectúa en base al “Principio de Galileo”, que enuncia: “Si un punto está dotado, por causas diferentes, de dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de que los movimientos actúen sucesiva o simultáneamente”. De ello se deduce: 𝑟⃗ 𝑟⃗ 𝑟⃗ ⋯ 𝑟⃗ y derivando 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ ⋯ 𝑣⃗ Algunos movimientos que se pueden obtener a partir de la composición de movimientos son: Tiro horizontal (Eje X: MRU; Eje y: MRUA) M. Espiral (MRU y MCU en el plano xy) Helicoidal (Eje z: MRU; plano xy:.. MCU) 3.4.1 Tiro Oblicuo Puede asociarse al movimiento que seguiría un balón de fútbol cuando un portero saca de puerta. La velocidad inicial es 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 En el eje x se da un MRU, mientras que en el eje y se produce un MRUA, con aceleración igual a la gravedad. Por tanto: 𝑥 𝑣 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 𝑣 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑦 𝑣 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔𝑡 𝑣 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔𝑡 2  La altura máxima se alcanzará en el instante tmax en el que la componente vertical de la velocidad se hace nula (vy=0) o sea: 𝑣 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔𝑡 ; 𝑡 𝑔 𝑔 7 Si se sustituye ahora en la ecuación de posición de la componente y: 1 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 𝑣 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔𝑡 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 2 𝑔 2 𝑔 𝑔 2 𝑔 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 ℎ 2𝑔 Por simetría, el tiempo total del movimiento es el doble del tiempo necesario para alcanzar la altura máxima: 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡 2 𝑔 Por tanto, el alcance máximo será: 2𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑥 𝑎 𝑣 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑔 𝑔 El alcance horizontal será máximo cuando seno(2θ)=1, lo que ocurre cuando 2θ=90⁰ y θ=45⁰ Para determinar la trayectoria vasta con despejar el tiempo en la ecuación de posición en el eje x y llevarla a la ecuación de posición en el eje y, obteniendo: 𝑥 1 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑡𝑔𝜃 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3.5 Movimientos Relativos En ocasiones es necesario estudiar la cinemática de una partícula desde dos sistemas de referencia, uno de los cuales es móvil, respecto a otro que está fijo, como podría ser el movimiento de una persona en el interior de un tren, respecto a otra parada en el andén. Los dos movimientos relativos de mayor importancia son traslación y rotación. A) Movimiento de traslación Se considera un SR móvil S’(x’,y’,z’), que se mueve con respecto a uno fijo S (x,y,z). El vector posición de una partícula P respecto del sistema de referencia fijo (𝑟⃗), vendrá dada por: 𝑟⃗ 𝑟⃗ 𝑟⃗′ siendo 𝑟⃗ el vector posición de S’, respecto de S y 𝑟⃗′ la posición de la partícula respecto de S’. Al derivar la posición se obtiene: 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟′⃗ 𝑣 𝑣⃗ 𝑣⃗ ; 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Y la aceleración será: 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑣′⃗ 𝑎 𝑎⃗ 𝑎⃗ ; 𝑎 𝑎⃗ 𝑎⃗ 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Si la aceleración de un sistema con respecto a otro es cero (𝑣⃗ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒): 𝑎⃗ 0y 𝑎 𝑎⃗ , siendo el sistema móvil (S’) un sistema de referencia inercial. 8  B) Movimiento relativo de rotación Se considera un SR móvil (S’) que rota a una distancia 𝑟⃗ con respecto a un SR fijo(S). El vector posición de una partícula P respecto SR fijo será: 𝑟⃗ 𝑟⃗ 𝑟⃗′ siendo 𝑟⃗ el vector posición de S’, respecto de S y 𝑟⃗′ la posición de la partícula respecto de S’. La relación de velocidades será: 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟′⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ ; 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Si se analiza el término 𝑣⃗ es necesario considerar que: 𝑟⃗′ 𝑥′𝚤⃗′ 𝑦′𝚥⃗′ 𝑧′𝑘⃗′. Donde los vectores unitarios (𝚤′⃗, 𝚥′⃗, 𝑘′⃗ unidos al sistema móvil (S’), no son constantes en el tiempo, sino que varían con el movimiento del sistema, por lo que su derivada temporal será: 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑥 ⃗ 𝑑𝑦 ⃗ 𝑑𝑧 ⃗ 𝑑𝚤′⃗ 𝑑𝚥⃗ 𝑑𝑘⃗ 𝑣′⃗ 𝚤′ 𝚥′ 𝑘′ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 El primer término se corresponde con la velocidad de la partícula respecto del sistema de referencia móvil, 𝑣⃗. Por otra parte, los cambios de los vectores unitarios con respecto al tiempo se corresponden con la velocidad de un punto situado a una distancia unitaria del centro, girando con velocidad angular (ω). Por consiguiente, se obtienen las denominadas fórmulas de Poisson: 𝑑𝚤′⃗ 𝑑𝚥′⃗ 𝑑𝑘′⃗ 𝜔⃗ 𝚤′⃗ 𝜔⃗ 𝚥′⃗ 𝜔⃗ 𝑘′⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 En base a este análisis: 𝑣′⃗ 𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝚤⃗ 𝑥 𝜔⃗ 𝚥⃗ 𝑦 𝜔⃗ 𝑘⃗ 𝑧 𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝚤⃗𝑥 𝚥⃗𝑦′ 𝑘⃗𝑧 𝑣′⃗ 𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝑟′⃗ Resultando, por tanto: 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝑟⃗′ A la agrupación de términos (𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝑟⃗′) se le denomina velocidad de arrastre 𝑣⃗. La derivada temporal de 𝑣⃗ proporciona el valor de la aceleración : 𝑑𝑣⃗ 𝑑 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑣 ⃗ 𝑑𝜔⃗ 𝑑𝑟⃗′ 𝑎⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝑟⃗ 𝑟′⃗ 𝜔⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Para el primer término, (𝑑𝑣⃗/𝑑𝑡), se aplica el mismo análisis matemático que el realizado para (d𝑟⃗ /𝑑𝑡), obteniendo: 𝑑𝑣⃗ 𝑎⃗ 𝜔⃗ 𝑣⃗ 𝑑𝑡 Mientras que el término (𝑑𝜔⃗/𝑑𝑡) equivale a la aceleración angular (𝛼⃗). Finalmente, el valor del ⃗ término se ha hallado anteriormente y es 𝑣⃗ 𝜔⃗ 𝑟′⃗. Por tanto: 𝑎⃗ 𝑎⃗ 𝜔⃗ 𝑣⃗𝑟 𝑎0⃗ 𝛼⃗ 𝑟′⃗ 𝜔⃗ 𝑣⃗𝑟 𝜔⃗ 𝑟⃗′ 9 Agrupando términos: 𝑎⃗ 𝑎⃗ 𝑎0⃗ 𝛼⃗ 𝑟′⃗ 𝜔⃗ 𝜔⃗ 𝑟⃗′ 2 𝜔⃗ 𝑣⃗𝑟 𝑎⃗ 𝑎𝑎⃗ 𝑎⃗𝑐 Expresión cuyos sumandos tienen el siguiente significado físico: 𝑎 ⃗: Aceleración del punto P respecto del sistema móvil, prescindiendo del giro de este. 𝑎 ⃗ 𝑎 ⃗ 𝛼⃗ 𝑟′⃗ 𝜔⃗ 𝜔⃗ 𝑟⃗′ : Aceleración de arrastre, constituida por 𝑎 ⃗, aceleración del S’ respecto a S; 𝛼⃗ 𝑟′⃗, aceleración tangencial producida por el giro de S’ y 𝜔⃗ 𝜔⃗ 𝑟⃗′ , aceleración centrífuga debido al giro de S’. 𝑎 ⃗ 2 𝜔⃗ 𝑣 ⃗: Aceleración de Coriolis, que aparece siempre que el SR gira y la partícula tiene una velocidad 𝑣⃗ no paralela a 𝜔⃗. 4. Métodos para el estudio experimental del movimiento 4.1 Métodos tradicionales Son los métodos más utilizados en los laboratorios, destacando los experimentos de caída de los cuerpos en un plano inclinado, que ya hacía Galileo. Conocidos los valores iniciales de las magnitudes desplazamiento (s) y ángulo de inclinación (α), es posible determinar la velocidad final (v) y la aceleración (v2‐v02=2as), donde v0=0. Realizando múltiples ensayos con distintos valores de s y α, se obtendrán los valores a, los cuales deben corresponderse con la aceleración de la gravedad. 4.2 Otros métodos Los métodos asistidos por ordenador son los métodos actuales más avanzados y exactos. Se precisa de un ordenador, un programa de software de laboratorio asistido por ordenador (L.A.O.), un interfaz de transmisión de datos y los materiales de laboratorios específicos del experimento para cada práctica. Otro método frecuentemente utilizado es la fotografía estroboscópica que consiste en fotografiar sobre el mismo negativo la imagen del móvil en distintas posiciones a lo largo de su trayectoria. Puesto que la separación temporal de dos imágenes en la fotografía es igual al intervalo de tiempo entre dos destellos del estroboscopio y es conocido, midiendo la separación espacial entre las imágenes podemos obtener representaciones gráficas de la posición en función del tiempo. Recientemente, los simuladores y laboratorios virtuales suponen una herramienta muy útil y gráfica para el estudio del movimiento, disponiendo de múltiples alternativas que permiten parametrizar distintos tipos de movimiento y estudiar como se ven afectados estos por las distintas variables. III. Conclusiones Fue A.M. Ampère, en el s.XVIII el primer científico en definir como "Cinemática" al estudio del movimiento en el que se prescinde de las fuerzas que lo provocan. Sin embargo, la cinemática como tal lleva estudiándose desde decenas de siglos antes. 10 La trayectoria de los cañones utilizados en la época Medieval o el movimiento de los planetas son ejemplos de sucesos y fenómenos estudiados en base a principios cinemáticos. El movimiento ha sido estudiado por físicos tan ilustres como Aristóteles, Galileo, Copérnico, Kepler, Newton o Einstein, lo cual proporciona una idea de su importancia. La figura de Einstein marca un hito en la historia de la Cinemática, ya que como consecuencia de la Teoría de la Relatividad se abrió un nuevo marco de estudio, la Mecánica relativista, donde ni el tiempo, ni la masa, ni el espacio son absolutos. El estudio de la Cinemática es fundamental, ya que sin él es imposible analizar el funcionamiento de cualquier cuerpo en movimiento (automóviles, satélites, etc.), del mismo modo que su estudio por parte del alumnado es imprescindible para entender la mayor parte de los conocimientos de Física (Dinámica, Energía, Campos eléctrico y magnético, etc.). He aquí la principal baza a resaltar sobre este tema ante un posible alumnado de Física y Química de ESO o bachillerato. IV. Conexión Curricular V. Bibliografía 11